5.3实际问题与一元一次方程 同步讲义-2025-2026学年七年级数学上册人教版（2024）

第五章 一元一次方程 5.3实际问题与一元一次方程 模块导引： 学习目标 知识精讲 思维导图 考点解析 课后作业 . 熟练掌握用一元一次方程解决常见实际问题，如行程、工程、销售等问题。​ . 体会方程思想在解决实际问题中的作用，提升分析和解决问题的能力。 . 一.列一元一次方程解应用题的步骤 ①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系 ②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x） ③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系 ④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程 ⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值 ⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称） 二.用一元一次方程解决实际问题的常见类型 1.行程问题：路程＝速度×时间 2.顺水逆水问题：顺水速度=船速+水速；逆水速度=船速-水速 3.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率 4.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价 5.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量 6.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期数 7.数字问题：多位数的表示方法：例如： 考点一：实际问题与一元一次方程之古代问题 1．《周髀算经》是我国现存最早的数理天文学著作，书中记载了一种用于观测星辰位置的圭表，已知圭的长度比表的长度长5尺，且圭和表的长度之和为21尺．嘉嘉根据题意，设圭的长度为尺，列出方程，淇淇根据题意，设表的长度为尺，列出方程，则下列说法正确的是（   ） A．嘉嘉、淇淇都正确 B．嘉嘉错误、淇淇正确 C．嘉嘉正确、淇淇错误 D．嘉嘉、淇淇都错误 【答案】A 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，根据题意，分别分析嘉嘉和淇淇所列方程的正确性。嘉嘉设圭的长度为x尺，则表的长度为尺，两者之和为，符合题意；淇淇设表的长度为y尺，则圭的长度为尺，两者之和为，同样符合题意，因此两人均正确. 【详解】解：嘉嘉的方程：设圭的长度为尺，则表的长度为尺， 根据题意，圭和表的长度之和为21尺， 故方程为：， 淇淇的方程：设表的长度为尺，则圭的长度为尺，根据题意，两者之和为21尺，故方程为：； 综上，两人所列方程均正确， 故选A 2．“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这是出自我国《孙子算经》中著名的“雉（鸡）兔同笼”问题，设有x只鸡，则可列方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 设鸡有x只，则兔子有只，根据鸡的脚数加兔子的脚数等于总脚数94，建立方程即可． 【详解】解：设有x只鸡，则可列方程为， 故选：B． 考点二：实际问题与一元一次方程之销售问题 3．小博士文具店里某品牌笔记本“买四送一”，壮壮结账时有5个笔记本，那么现在每本笔记本的价钱相当于原价打（    ） A．一折 B．四折 C．七五折 D．八折 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设现在每本笔记本的价钱相当于原价打折，根据题意列出方程，解出的值即可得出答案． 【详解】解：设现在每本笔记本的价钱相当于原价打折， 由题意得，， 解得：， ∴现在每本笔记本的价钱相当于原价打八折， 故选：D． 4．某商店出售两件衣服，每件卖了500元，其中一件赚了，而另一件赔了．那么商店在这次交易中（    ） A．亏了5元钱 B．亏了25元钱 C．赚了20元钱 D．赚了25钱 【答案】B 【详解】解：设一件的进件为x元，另一件的进价为y元， 则，， 解得，，， ∴， ∴这家商店这次交易亏了25元， 故选：B． 考点三：实际问题与一元一次方程之方案问题 5．某游泳馆在每年的夏季推出两种游泳付费方式．方式一：先购买会员证，每张会员证200元，只限本人当年使用，凭证游泳每次再付费10元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费20元．有下列结论： ①若小明计划今年夏季游泳的总费用为300元，则他选择方式一游泳的次数比较多； ②若小明计划今年夏季游泳的次数为25次，则他选择方式二游泳的总费用比较少； ③若小明今年夏季在该游泳馆游泳，两种付费方式的总费用相同，则他计划游泳的次数为20． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． 通过建立方程比较两种付费方式在不同条件下的总费用或次数，逐一验证各结论的正确性即可． 【详解】解：结论①：设方式一的游泳次数为，则总费用为，解得．方式二的次数为．因，结论①错误． 结论②：游泳25次时，方式一总费用为元，方式二为元．因，结论②错误． 结论③：设游泳次数为，由，解得．此时两种方式费用相等，结论③正确． 综上，正确结论仅1个， 故选：B． 6．一群人去袁山公园坐小船游湖，若租用座的小船若干条，则有人没座位，若租用座小船则刚好坐满，但要多租条，若同时租两种或只租一种，使每条小船坐满且每人都有座位，则共有租船方案（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程和二元一次方程的应用，设需租座的小船条，则需租座的小船条，利用一元一次方程求出人数，再设租座的小船条，座的小船条，可得二元一次方程，根据解方程即可求解，根据题意，找到等量关系，正确列出一元一次方程和二元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设需租座的小船条，则需租座的小船条， 依题意得，， 解得， ∴人数， 设租座的小船条，座的小船条， 依题意得，， ∴， ∵均为非负整数， ∴当时， 当时，； 当时，； 当时，； ∴共有种租船方案， 故选：． 考点四.实际问题与一元一次方程之配套问题 7．某车间有30名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片240片或镜架60个．两个镜片和一个镜架配套，应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安排名工人生产镜片，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，特别是配套问题．熟练掌握根据配套关系找出等量关系并列出方程是解题的关键．在配套问题中，要明确各部分之间的数量比例关系，以此来建立方程求解．根据生产镜片和镜架的工人数量表示出镜片和镜架的数量，再结合配套关系列出方程．已知安排名工人生产镜片，那么生产镜架的工人数量为名，然后分别计算出镜片和镜架的数量，根据两个镜片和一个镜架配套这一条件列出方程． 【详解】解：∵安排名工人生产镜片，名工人每天可生产镜片片， ∴每天生产镜片的数量为片； ∵生产镜架的工人数量为名，名工人每天可生产镜架个， ∴每天生产镜架的数量为个； ∵两个镜片和一个镜架配套，即镜片数量是镜架数量的倍， ∴可列方程为, 故选：A． 8．某工厂计划生产某种零件，每个零件需要个螺丝和个螺母配套，已知车间每天可以生产个这样的螺丝或个这样的螺母，现在要求天生产的螺丝和螺母刚好完全配套，设安排天生产螺母，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设安排天生产螺母，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设安排天生产螺母， 由题意得，， 故选：． 考点五.实际问题与一元一次方程之工程问题 9．一项工程，甲单独做要天，乙单独做要天，丙单独做要天，三人合做期间，甲因故请假，工程6天完工，则甲请了（　　）天假． A．1 B．3 C．5 D．6 【答案】B 【分析】此题主要考查工作时间、工作效率、工作总量三者之间的数量关系，搞清每一步所求的问题与条件之间的关系，选择正确的数量关系解答，设甲请x天假，根据三人的总工作量是“1”列出方程并解答． 【详解】解∶设甲请了x天假，由题意知， 解得． 答∶甲请了3天假． 故选：B． 10．完成某项工程，甲单独做6天完成，乙单独做4天完成．现在甲先做了1天，乙再加入一起做，求完成这项工程甲、乙合作了多少天．若设完成此项工程甲、乙合作了天，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，把工作总量看做单位“1”，则甲的工作效率为，乙的工作效率为，再根据工作总量等于工作效率乘以工作时间分别求出甲、乙的工作总量，二者的和为1，据此列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：B． 考点六.实际问题与一元一次方程之行程问题 11．一艘轮船从甲码头到乙码头顺流航行，用了；从乙码头返回甲码头逆流航行用了．已知水流的速度是，设轮船在静水中的平均速度为，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据顺流和逆流时路程相等建立方程．顺流速度为静水速度加水流速度，逆流速度为静水速度减水流速度，利用时间与速度的乘积表示路程． 【详解】设轮船在静水中的平均速度为，则顺流航行的速度为，逆流航行的速度为． 顺流航行2小时的路程为，逆流航行2.5小时的路程为． 由于往返路程相等，可得方程： 故选A． 12．小明从家里骑自行车到学校，每小时骑，可早到10分钟，每小时骑就会迟到5分钟，问他家到学校的路程是多少？设他家到学校的路程是，则据题意列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程．依题意设他家到学校的路程是，根据每小时骑，可早到10分钟，即，每小时骑就会迟到5分钟，即，进行列方程即可． 【详解】解：设他家到学校的路程是， 由题意得，． 故选：B． 考点七.实际问题与一元一次方程之数字问题 13．对幻方的研究体现了中国古人的智慧，如图是一个幻方的图案，每个方格中的点数分别代表对应的数字，每一横行、每一竖列、每一斜对角线上的点数的和都是．如图是一个没有填完整的幻方，它每一横行、每一竖列、每一斜对角线上的个数的和都相等，那么左上角方格中的数字为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是图形规律，整式的加减运算，一元一次方程的应用，解题关键是理解数量关系． 根据题意，它处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的个数的和都相等，由此列式得，每一横行、每一竖列、每一斜对角线上的和为，求出最中间的数后即可得解． 【详解】解：如图所示： 依题得：， ，每一横行、每一竖列、每一斜对角线上的和为， 最中间的数为， 则每一横行、每一竖列、每一斜对角线上的和为， 左上角方格中的数字为． 故选：． 14．一个三位数，十位上的数减5等于个位上的数，个位上的数加2等于百位上的数，把这个三位数倒序排列所成的数与原数的和等于524，则该三位数各个位上的数之和为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】本题主要考查代数式；设三位数的百位、十位、个位分别为、、，根据题意建立方程并计算求解即可． 【详解】解：设三位数的百位为，十位为，个位为，则原数为． 十位数减5等于个位数：，即． 个位数加2等于百位数：，即． ∵倒序数与原数的和为524， 倒序数为，故有： 将和代入方程，化简得： ， 整理：， 解得：； ∴，，故三位数为． 验证：原数与倒序数之和为，符合条件． ∴各位数之和： ． 故选：C． 考点八.实际问题与一元一次方程之比赛问题 15．某校为了增强学生的防范电信网络诈骗意识，举行了一次知识抢答赛，抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分．小勇一共得76分，则小勇答对的个数为（    ） A．16 B．15 C．13 D．14 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是列出方程求解是解题的关键． 设小勇答对的个数为个，则小勇答错或不答的个数为个，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设小勇答对的个数为个，则小勇答错或不答的个数为个， 由题意得，， 解得， 故选：A． 16．学校组织数学知识竞赛，共设道选择题，每一题答对得分，答错或不答扣分，晓国同学得分，他答对的题目数量为(    )． A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设晓国同学答对道题目，则答错或不答道题目，利用得分答对题目数答错或不答题目数，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设晓国同学答对道题目，则答错或不答道题目， 根据题意得：， 解得：， 晓国同学答对道题目． 故选：C． 考点九.实际问题与一元一次方程之几何问题 17．如图，数轴上三点所表示的数分别是，已知，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，绝对值方程，利用数轴比较大小等知识点，熟练掌握数轴的相关知识点是解题的关键． 先根据数轴上两点距离求出，由数轴可得，化简绝对值，解方程即可求出． 【详解】解：∵，表示的数为， ∴点表示的数为， ∵，且由数轴可得， ∴， ∴， 故选：B． 18．【找规律】用小棒摆正方形（如图），按照图形的变化规律，用31根小棒可摆出（    ）个正方形． A．10 B．11 C．9 D．12 【答案】A 【分析】本题考查图形类规律探索，一元一次方程的应用，根据所给图形找到规律是解题的关键． 由图形可得1个正方形需要4根小棒，2个正方形需要7根小棒，每多一个小正方形，则多出3根小棒，得到个正方形需要根小棒，则，解方程即可． 【详解】解：第一个图形1个正方形需要4根小棒； 第二个图形2个正方形需要7根小棒； 第三个图形3个正方形需要10根小棒； 第四个图形4个正方形需要13根小棒； 则第个图形有个正方形需要根小棒， ∴当时， 解得， ∴可摆出10个正方形， 故选：A． 考点十.实际问题与一元一次方程之电费水费问题 19．某市按以下规定收取每月的燃气费，用燃气不超过30立方米，按每立方米1．2元收费；如果超过30立方米，超过部分按每立方米2元收费．已知3月份张老师家的燃气费平均每立方米元，那么3月份张老师家应缴燃气费（   ） A．48元 B．60元 C．72元 D．90元 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解收费规定建立方程是解题的关键． 根据3月份张老师家的燃气费平均每立方米元，可知用户用量超过30立方米，设3月份燃气用量为x，则根据平均每立方米元，可得出方程，解出x后，即可得出答案． 【详解】解：∵3月份张老师家的燃气费平均每立方米元， ∴用户燃气用量超过30立方米， 设3月份燃气用量为x， 由题意得，， 解得：， 则3月份张老师家应交燃气费为：（元） 答：3月份张老师家应交燃气费72元． 故选：C 20．某市对居民用水实行“阶梯收费”：规定每户每月不超过月用水标准量的水价为元/吨，超过月用水标准量部分的水价为元/吨．该市小明家月份用水吨，交水费元，则该市每户的月用水标准量为（    ） A．吨 B．吨 C．吨 D．吨 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，属于基础题，解题关键是判断出x的范围，根据等量关系∶不超过标准量的部分的水费超过标准量的部分的水费元列出方程求解即可得出答案． 【详解】解：设该市每户的月用水标准量为x吨， ∵（元），， ∴． 根据题意得：， 解得：． 故选C． 一、单选题 1．若一根绳子的长度等于它本身的 加上 米，则这根绳子全长是（   ）米 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设绳子的全长为米，根据绳子的长度等于它本身的加上米建立方程并求解． 【详解】解：设绳子全长为米．根据题意，绳子的长度等于它本身的加上米，即： 将方程整理为： 合并同类项得： 两边同时乘以4，解得： 验证：当时，左边为3米，右边为米，等式成立．因此，绳子全长为3米， 故选：B 2．某校买来7只篮球和10只足球共付1230元．已知每只足球的价钱是每只篮球价钱的2倍少12元，问每只篮球和足球各多少元？ A．篮球每只50元，足球每只88元 B．篮球每只60元，足球每只88元 C．篮球每只60元，足球每只108元 D．篮球每只55元，足球每只98元 【答案】A 【分析】设每只篮球的价格为x元，则每只足球的价格为元，根据题意，得到方程，解答即可． 本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】解：设每只篮球的价格为x元，则每只足球的价格为元， 根据题意，得到方程， 解得， ． 所以篮球每只50元，足球每只88元． 故选：A． 3．烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子，第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……，按照这一规律，有一种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是134个，请问这是第几种化合物的分子结构？（    ） A．64 B．65 C．66 D．67 【答案】C 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，一元一次方程的应用．根据第1种，第2种，第3种氢原子的个数可得第n种有个氢原子，即可求解． 【详解】解：第1种如图①有个氢原子， 第2种如图②有个氢原子， 第3种如图③有个氢原子， ……， 按照这一规律，第n种有个氢原子， 当时， 此时． 故选：C 4．我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知道有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，不多不少．下列说法正确的是（   ） A．设牧童有人，所列方程为 B．设竹竿有根，所列方程为． C．竹竿有28根 D．牧童有7人 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用．设牧童有人，根据每人分6竿多14竿，竹竿总数为；每人分8竿刚好分完，竹竿总数为，由此建立方程求解．同理，设竹竿有根时，人数可表示为和，建立方程验证选项的正确性． 【详解】解：设牧童有人， 根据题意，每人分6竿多14竿，竹竿总数为， 每人分8竿刚好分完，竹竿总数为， 列方程：，故A错误； 解得：， 因此，牧童有7人，竹竿有根．故C错误；D正确； 设竹竿有根， 根据题意，每人分6竿时，人数为， 每人分8竿时，人数为， 列方程：，故B错误； 故选：D． 5．我国古代著作《算学启蒙》中有一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之” ，题意：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，设快马x天可以追上慢马，列方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据快马和慢马的总路程相等时，快马追上慢马，列方程即可． 【详解】解：设快马用天追上慢马．快马的总路程为里， 慢马在快马出发前已走了天，路程为里，之后又走了天，路程为里． 因此，慢马的总路程为里． 根据追及时路程相等，可得方程： 将方程整理为： 故选D． 6．建水某紫陶坊有7名工人，每人每天可以制作茶壶8个或茶杯24个，1个茶壶和4个茶杯配成一套．为使每天制作的茶壶和茶杯刚好配套，设有名工人制作茶壶，余下工人制作茶杯，则的值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设有名工人制作茶壶，则制作茶杯的工人为名．每天制作的茶壶数量为个，茶杯数量为个．根据配套要求，1个茶壶需配4个茶杯，故茶杯数量应为茶壶数量的4倍，可得出关于x的一元一次方程，即可得出结论． 【详解】解：设有名工人制作茶壶，则制作茶杯的工人为名． 每天制作的茶壶数量为个，茶杯数量为个． 根据配套要求，1个茶壶需配4个茶杯，故茶杯数量应为茶壶数量的4倍，即： 解得：． 故选D． 7．端午节即将来临，小明和妈妈打算去超市买粽子，已知每个肉粽比素粽多1元，他们购买10个肉粽和5个素粽共用去70元，那么每个素粽（   ）元． A．3元 B．4元 C．5元 D．6元 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．设每个素粽的价格为元，则每个肉粽的价格为元．根据购买10个肉粽和5个素粽的总费用为70元，建立方程求解． 【详解】解：设每个素粽元，则每个肉粽元，根据题意得： ， 解得：． 答：每个素粽4元． 故选：B． 8．小亮同学在2025年1月的日历表中圈出了三个数a，b，c，并求出它们的和为34，则这三个数在日历中的排列位置可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查的是一元一次方程的应用，关键是根据题意对每个选项列出方程求解论证； 设这三天中任意一天为x，根据日历中的每个数都是整数且上下相邻是7，左右相邻相差是1，用代数式表示出其他两个； 根据题目中的三数之和为34列出方程，进行求解，即得答案． 【详解】解：A、设a为x，则 ，解得，故本选项不合题意； B、设a为x，则，解得，故本选项符合题意； C、设b为x， ，解得，故本选项不合题意； D、设a为x， ，解得，本选项不合题意． 故选：B． 9．我省某地落实乡村振兴政策，开设乡村民宿业务，李经理统计了近一周民宿预定数量（预定渠道为团购和平台直播），其中总订单为500单，通过团购预定单量比平台直播预定单量的2倍少100单，则平台直播预定单量为（   ） A．150单 B．200单 C．250单 D．300单 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题关键是要选择合适的量设为未知数． 设平台直播预定的单量为，根据题意建立方程并求解即可． 【详解】解：设平台直播预定的单量为单，则团购预定的单量为单，根据总订单量可列方程： ， 解得：， 所以平台直播预定单量为200单． 故选：B． 10．我国古代名著《算学启蒙》中记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”意思是：“快马每天走240里，慢马每天走150里．慢马先走12天，问快马几天可以追上慢马？”若设快马天可以追上慢马，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，读懂题意找到等量关系是解题的关键．设快马天可以追上慢马，根据快马追上慢马时它们所走的路程相等，结合路程速度时间，列出方程即可． 【详解】设快马天可以追上慢马， 根据题意得，． 故选：B． 2、 填空题 11．如图，从一块长方形钢板上截下一个正方形钢板，剩下部分（阴影部分）的面积是76平方分米，那么截下的正方形钢板的周长是 分米． 【答案】 【分析】设正方形的边长为分米，根据阴影部分的面积是76平方分米列方程，解方程进而求得截下部分的周长． 【详解】解：设正方形的边长为分米，根据阴影部分的面积是76平方分米 列方程， 解得． ∴（分米） 答：截下部分的周长是40分米． 故答案为：40． 12．停车场有三轮车和自行车共40辆，一共有92个轮子，则有 辆三轮车， 辆自行车． 【答案】 12 28 【分析】本题考查一元一次方程的应用，找到等量关系是解题的关键． 设有x辆三轮车，根据三轮车和自行车共40辆，一共有92个轮子，列出一元一次方程，即可解答． 【详解】解：设有x辆三轮车，依题意，得 ， 解得 ， ∴． 故答案为：12，28． 13．【方程的应用】小明在330米长的环行跑道上跑了一圈．已知他前一半时间每秒跑6米，后一半时间每秒跑5米，那么后一半路程小明跑了 秒． 【答案】 【分析】此题主要考查一元一次方程的应用和有理数混合运算的应用．设跑了一圈一半时间为秒，根据路程列方程，解方程求出跑了一圈一半时间，再依次求出求出后一半时间小明跑的路程，后一半路程每秒跑6米的路程，后一半路程每秒跑6米的时间，即可得到答案． 【详解】解：设跑了一圈一半时间为秒，则 ， 解得 ∴后一半时间小明跑的路程为米， 后一半路程每秒跑6米的路程为米， 后一半路程每秒跑6米的时间为秒， ∴后一半路程小明跑了秒， 故答案为：． 14．【差倍问题】一根铜线长21厘米，一根铝线长16厘米，把这两根金属线都剪掉 厘米，剩下的铜线恰好是铝线长度的2倍． 【答案】11 【分析】本题考查一元一次方程的应用，正确理解题意列出方程是解题的关键．可设两根金属线都剪掉x厘米，那么可得到等量关系式：铜线的长度剪掉的长度（铝线的长度剪掉的长度），把未知数带入等量关系式进行计算即可得到答案． 【详解】解：设两根金属线都剪掉x厘米， ， 解得：， 故答案为：11． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 一元一次方程 5.3实际问题与一元一次方程 模块导引： 学习目标 知识精讲 思维导图 考点解析 课后作业 . 熟练掌握用一元一次方程解决常见实际问题，如行程、工程、销售等问题。​ . 体会方程思想在解决实际问题中的作用，提升分析和解决问题的能力。 . 一.列一元一次方程解应用题的步骤 ①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系 ②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x） ③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系 ④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程 ⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值 ⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称） 二.用一元一次方程解决实际问题的常见类型 1.行程问题：路程＝速度×时间 2.顺水逆水问题：顺水速度=船速+水速；逆水速度=船速-水速 3.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率 4.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价 5.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量 6.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期数 7.数字问题：多位数的表示方法：例如： 考点一：实际问题与一元一次方程之古代问题 1．《周髀算经》是我国现存最早的数理天文学著作，书中记载了一种用于观测星辰位置的圭表，已知圭的长度比表的长度长5尺，且圭和表的长度之和为21尺．嘉嘉根据题意，设圭的长度为尺，列出方程，淇淇根据题意，设表的长度为尺，列出方程，则下列说法正确的是（   ） A．嘉嘉、淇淇都正确 B．嘉嘉错误、淇淇正确 C．嘉嘉正确、淇淇错误 D．嘉嘉、淇淇都错误 2．“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这是出自我国《孙子算经》中著名的“雉（鸡）兔同笼”问题，设有x只鸡，则可列方程为（    ）． A． B． C． D． 考点二：实际问题与一元一次方程之销售问题 3．小博士文具店里某品牌笔记本“买四送一”，壮壮结账时有5个笔记本，那么现在每本笔记本的价钱相当于原价打（    ） A．一折 B．四折 C．七五折 D．八折 4．某商店出售两件衣服，每件卖了500元，其中一件赚了，而另一件赔了．那么商店在这次交易中（    ） A．亏了5元钱 B．亏了25元钱 C．赚了20元钱 D．赚了25钱 考点三：实际问题与一元一次方程之方案问题 5．某游泳馆在每年的夏季推出两种游泳付费方式．方式一：先购买会员证，每张会员证200元，只限本人当年使用，凭证游泳每次再付费10元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费20元．有下列结论： ①若小明计划今年夏季游泳的总费用为300元，则他选择方式一游泳的次数比较多； ②若小明计划今年夏季游泳的次数为25次，则他选择方式二游泳的总费用比较少； ③若小明今年夏季在该游泳馆游泳，两种付费方式的总费用相同，则他计划游泳的次数为20． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．一群人去袁山公园坐小船游湖，若租用座的小船若干条，则有人没座位，若租用座小船则刚好坐满，但要多租条，若同时租两种或只租一种，使每条小船坐满且每人都有座位，则共有租船方案（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 考点四.实际问题与一元一次方程之配套问题 7．某车间有30名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片240片或镜架60个．两个镜片和一个镜架配套，应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安排名工人生产镜片，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 8．某工厂计划生产某种零件，每个零件需要个螺丝和个螺母配套，已知车间每天可以生产个这样的螺丝或个这样的螺母，现在要求天生产的螺丝和螺母刚好完全配套，设安排天生产螺母，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 考点五.实际问题与一元一次方程之工程问题 9．一项工程，甲单独做要天，乙单独做要天，丙单独做要天，三人合做期间，甲因故请假，工程6天完工，则甲请了（　　）天假． A．1 B．3 C．5 D．6 10．完成某项工程，甲单独做6天完成，乙单独做4天完成．现在甲先做了1天，乙再加入一起做，求完成这项工程甲、乙合作了多少天．若设完成此项工程甲、乙合作了天，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 考点六.实际问题与一元一次方程之行程问题 11．一艘轮船从甲码头到乙码头顺流航行，用了；从乙码头返回甲码头逆流航行用了．已知水流的速度是，设轮船在静水中的平均速度为，可列方程为（    ） A． B． C． D． 12．小明从家里骑自行车到学校，每小时骑，可早到10分钟，每小时骑就会迟到5分钟，问他家到学校的路程是多少？设他家到学校的路程是，则据题意列出的方程是（    ） A． B． C． D． 考点七.实际问题与一元一次方程之数字问题 13．对幻方的研究体现了中国古人的智慧，如图是一个幻方的图案，每个方格中的点数分别代表对应的数字，每一横行、每一竖列、每一斜对角线上的点数的和都是．如图是一个没有填完整的幻方，它每一横行、每一竖列、每一斜对角线上的个数的和都相等，那么左上角方格中的数字为（   ） A． B． C． D． 14．一个三位数，十位上的数减5等于个位上的数，个位上的数加2等于百位上的数，把这个三位数倒序排列所成的数与原数的和等于524，则该三位数各个位上的数之和为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 考点八.实际问题与一元一次方程之比赛问题 15．某校为了增强学生的防范电信网络诈骗意识，举行了一次知识抢答赛，抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分．小勇一共得76分，则小勇答对的个数为（    ） A．16 B．15 C．13 D．14 16．学校组织数学知识竞赛，共设道选择题，每一题答对得分，答错或不答扣分，晓国同学得分，他答对的题目数量为(    )． A．16 B．17 C．18 D．19 考点九.实际问题与一元一次方程之几何问题 17．如图，数轴上三点所表示的数分别是，已知，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 18．【找规律】用小棒摆正方形（如图），按照图形的变化规律，用31根小棒可摆出（    ）个正方形． A．10 B．11 C．9 D．12 考点十.实际问题与一元一次方程之电费水费问题 19．某市按以下规定收取每月的燃气费，用燃气不超过30立方米，按每立方米1．2元收费；如果超过30立方米，超过部分按每立方米2元收费．已知3月份张老师家的燃气费平均每立方米元，那么3月份张老师家应缴燃气费（   ） A．48元 B．60元 C．72元 D．90元 20．某市对居民用水实行“阶梯收费”：规定每户每月不超过月用水标准量的水价为元/吨，超过月用水标准量部分的水价为元/吨．该市小明家月份用水吨，交水费元，则该市每户的月用水标准量为（    ） A．吨 B．吨 C．吨 D．吨 一、单选题 1．若一根绳子的长度等于它本身的 加上 米，则这根绳子全长是（   ）米 A．2 B．3 C．4 D．5 2．某校买来7只篮球和10只足球共付1230元．已知每只足球的价钱是每只篮球价钱的2倍少12元，问每只篮球和足球各多少元？ A．篮球每只50元，足球每只88元 B．篮球每只60元，足球每只88元 C．篮球每只60元，足球每只108元 D．篮球每只55元，足球每只98元 3．烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子，第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……，按照这一规律，有一种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是134个，请问这是第几种化合物的分子结构？（    ） A．64 B．65 C．66 D．67 4．我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知道有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，不多不少．下列说法正确的是（   ） A．设牧童有人，所列方程为 B．设竹竿有根，所列方程为． C．竹竿有28根 D．牧童有7人 5．我国古代著作《算学启蒙》中有一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之” ，题意：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，设快马x天可以追上慢马，列方程是（　　） A． B． C． D． 6．建水某紫陶坊有7名工人，每人每天可以制作茶壶8个或茶杯24个，1个茶壶和4个茶杯配成一套．为使每天制作的茶壶和茶杯刚好配套，设有名工人制作茶壶，余下工人制作茶杯，则的值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 7．端午节即将来临，小明和妈妈打算去超市买粽子，已知每个肉粽比素粽多1元，他们购买10个肉粽和5个素粽共用去70元，那么每个素粽（   ）元． A．3元 B．4元 C．5元 D．6元 8．小亮同学在2025年1月的日历表中圈出了三个数a，b，c，并求出它们的和为34，则这三个数在日历中的排列位置可能是（   ） A． B． C． D． 9．我省某地落实乡村振兴政策，开设乡村民宿业务，李经理统计了近一周民宿预定数量（预定渠道为团购和平台直播），其中总订单为500单，通过团购预定单量比平台直播预定单量的2倍少100单，则平台直播预定单量为（   ） A．150单 B．200单 C．250单 D．300单 10．我国古代名著《算学启蒙》中记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”意思是：“快马每天走240里，慢马每天走150里．慢马先走12天，问快马几天可以追上慢马？”若设快马天可以追上慢马，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2、 填空题 11．如图，从一块长方形钢板上截下一个正方形钢板，剩下部分（阴影部分）的面积是76平方分米，那么截下的正方形钢板的周长是 分米． 12．停车场有三轮车和自行车共40辆，一共有92个轮子，则有 辆三轮车， 辆自行车． 13．【方程的应用】小明在330米长的环行跑道上跑了一圈．已知他前一半时间每秒跑6米，后一半时间每秒跑5米，那么后一半路程小明跑了 秒． 14．【差倍问题】一根铜线长21厘米，一根铝线长16厘米，把这两根金属线都剪掉 厘米，剩下的铜线恰好是铝线长度的2倍． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$