22.1.2二次函数的y=ax²的图象和性质导学案2025-2026学年人教版数学九年级上册

本文围绕二次函数$y = x^{2}$的图象及性质展开，承接函数图象绘制基础，为后续深入学习二次函数奠基。通过自主探究、小组讨论等环节，培养学生抽象能力、运算能力等核心素养，引导学生用数学眼光观察、思维思考、语言表达。 该设计创新点在于任务驱动教学，特色教法为问题引导与归纳总结结合。从学生层面看，提升其分析解决问题能力；从教师层面看，提供清晰授课路径；从课堂效果看，有效突破教学难点。

22.1.2 二次函数的图象 学习目标： 1.知道二次函数的图象是一条抛物线； 2．会画二次函数的图象； 3．掌握二次函数的性质，并会灵活应用． 复习： 1.画一个函数图象的一般过程是① ；② ；③ 2．在研究一次函数时，我们都研究了一次函数的哪些性质？ 任务1——二次函数的图像【要求：独立完成下面的探究、思考内容，小组交流讨论并进行归纳。】 探究：画二次函数y＝x2的图象． 1.确定自变量取值范围： 2.列表： x －3 －2 －1 0 1 2 3 y＝x2 （3） 在图（3）中描点，并连线列表：（2） （1） 思考：图（1）和图（2）中的连线正确吗？为什么？应该注意什么？ 归纳：由图象可得二次函数y＝x2的性质： 1．形状：二次函数y＝x2是一条曲线，把这条曲线叫做______________． 2．开口方向：二次函数y＝x2中，二次项系数a＝___，抛物线y＝x2的开口_______． 3．顶点坐标与最值： 与 的交点叫做抛物线的顶点．抛物线的顶点坐标是 ．它是抛物线的最 点（填“高”或“低”），即当x=0时，y有最 值等于0． 4．对称性：观察图象，当两点的横坐标互为相反数时，函数y值相等，所描出的各对应点关于________对称，从而图象关于___________对称． 5.增减性：在对称轴的左侧，图象从左往右呈 趋势，在对称轴的右侧，图象从左往右呈 趋势；即<0时，随的增大而 ，>0时，随的增大而 ． 任务2——二次函数的性质【要求：完成例1和例2，并阅读教材第30页至第32页的内容，并归纳二次函数的性质。】 例1在图（4）中，画出函数，，的图象． 解：列表：（4） x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 … … … x … －2 -1.5 －1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 … … … 归纳1： 1.形状：抛物线，，的图象的形状都是 。 2.开口方向：二次项系数_______0；开口都 ； 3．顶点坐标与最值：顶点坐标都是 ．它都是抛物线的最 点（填“高”或“低”），即当x= 时，y有最 值等于 ． 4．对称性：．对称轴都是_________. 5.增减性：在对称轴的左侧，图象从左往右均呈 趋势，在对称轴的右侧，图象从左往右均呈 趋势；即<0时，随的增大而 ，>0时，随的增大而 ； 例2 请在图（4）中画出函数，，的图象． 列表： x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … … … x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … … … x … －2 -1.5 －1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 … … … 归纳2： 1.形状：抛物线，，的图象的形状都是 。 2.开口方向：二次项系数_______0；开口都 ； 3．顶点坐标与最值：顶点坐标都是 ．它都是抛物线的最 点（填“高”或“低”），即当x= 时，y有最 值等于 ． 4．对称性：．对称轴都是_________. 5.增减性：在对称轴的左侧，图象从左往右均呈 趋势，在对称轴的右侧，图象从左往右均呈 趋势；即<0时，随的增大而 ，>0时，随的增大而 ； 总结： 函数 a＞0 a＜0 图像 形状 开口方向 顶点坐标 最值 对称性 增减性 联系 1. 抛物线y＝x2与y＝－x2关于________对称，因此，抛物线y＝ax2与y＝－ax2关于_______对称。 2. ｜a｜相等，则抛物线开口大小____________． 3．当a＞0时，a越大，抛物线的开口越___________； 当a＜0时，｜a｜ 越大，抛物线的开口越_________； 因此，｜a｜ 越大，抛物线的开口越___，反之，｜a｜ 越小，抛物线的开口___． 追踪练习： 1. 点A（-2，y1）、B（-1，y2）在y=3x2图像上，则 y1 y2 2. 点A（-5，y1）、B（5，y2）在y=x2图像上，则 y1 y2 3．二次函数的图象开口 ，当＞0时，随的增大而 ；当＜0 时，随的增大而 ；当＝0时，函数有最 值是 ． 4．若抛物线y=ax2经过点A(，－9)，则其表达式为_______________． 5．已知点A（2，），B（4，）在二次函数的图象上，则 . 6．函数y=ax2（a≠0）与直线y=2x-3的图象交于点（1，b）． 求：（1）a和b的值； （2）求抛物线y=ax2的开口方向、对称轴、顶点坐标； （3）作y=ax2的草图． 巩固提升： 1. 函数y=，当k= 时，它的图象是开口向下的抛物线；此时当x 时，y随x的增大而减小. 2．已知a<－1，点(a－1，y1)，(a，y2)(a+1，y3)都在函数y =-x2的图象上，比较y1、y2、y3的大小． 3.二次函数y=ax2经过（-3,2）点，则它的函数解析式为 ；则与它关于x轴对称的函数图象解析式为 ． 4．二次函数图象上的两个不同点P（t1，-2）、Q（t2，-2）,则t1+t2= ． 课堂检测： 1.填表： 开口方向 顶点 对称轴 有最高或最低点 最值 y＝x2 当x＝____时，y有最____值，是____． y＝－8x2 2．若二次函数y＝ax2的图象过点（1，－2），则a的值是___________． 3．二次函数y＝(m－1)x2的图象开口向下，则m____________． 4．点A（，b）是抛物线上的一点，则b= ；过点A作x轴的平行线交抛物线另一点B的坐标是 ． 5．A、B分别为上两点，且线段AB⊥y轴于点（0,6），若AB=6，则该抛物线的表达式为 ． 6．如图， ① y＝ax2 ② y＝bx2 ③ y＝cx2 ④ y＝dx2 比较a、b、c、d的大小，用“＞”连接． ________________ 7. 当m= 时，抛物线开口向下． 8. 二次函数与直线交于点P（1，b）． （1）求a、b的值； （2）写出二次函数的关系式，并指出x取何值时，该函数的y随x的增大而减小． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$