第二章《实数》单元回顾与思考 课件 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

第二章 实数 单元回顾与思考 2024版北师大数学八年级数学上册 典例精选 知识网格 复习目标 思想方法 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 教学设计的基本环节： 复习目标 知识目标 能力目标 素养目标 1.理解实数的概念,能对实数进行正确分类,清晰区分有理数和无理数； 2.掌握实数的相反数、绝对值、倒数的概念及求法,能准确求出一个实数的相反数、绝对值和倒数； 3.明确实数与数轴上点的一一对应关系,知道数轴上的点如何表示实数,以及实数如何在数轴上找到对应的点； 4.熟练进行实数的加、减、乘、除、乘方、开方运算,掌握运算规则和技巧,确保运算结果的准确性 1.能够运用实数的相关知识解决实际问题， 将实际问题转化为数学问题并进行求解； 2.提高实数的计算能力,做到快速、准确 地进行各种运算;培养逻辑推理能力; 3.能通过已知条件推理得出结论；提升对 实数性质的灵活运用能力,在不同的问题 情境中恰当运用性质解决问题 1.培养数感，能对实数的大小、变化趋势有直观的感知; 2.在运算和推理过程中做到认真细致、一丝不苟；体会 数学的严谨性和逻辑性，增强对数学学习的兴趣和信心 1.有理数和无理数有什么区别？分别举几个有理数和无理数的例子 2.开方运算和乘方运算有什么联系？请举例说明 3.你在生活中使用过估算的方法吗？你能用有理数估计一个无理数的大致范围吗？请举例说明 4.举例说明如何进行二次根式的运算及化简二次根式 5.梳理本章内容，用适当的方式呈现全章知识结构，并与同伴进行交流 知识网格 知识网格 典例精选 知识点1：实数的分类 1.把下列各数的序号分别填入相应的集合内： ；；；；；； ； （相邻两个3之间0的个数逐次加1）； . 23； . （1）整数集合：{________ …}. （2）有理数集合：{ ______________ …}. （3）无理数集合：{ __________ …}. （4）负实数集合：{ __________ …}. ③④⑥ ①③④⑥⑨⑩ ②⑤⑦⑧ ①③⑥⑦ 典例精选 知识点2：数轴表示无理数 2.如图,于点以点为圆心, 的长为半径画弧,交数 轴于点则点 表示的数为_______. 回顾在数轴上表示无理数的基本方法. 典例精选 知识点3：方根的计算 3.求下列各式的值 (1)(2)(3) (4)(5) (6) 解: (1) (2)0.5 (3) (4)-1 (5)(6) 计算时要注意符号 典例精选 知识点4：估算 4.估算下列各数的大小 (1)(结果精确到0.1)；（2）（结果精确到1） 解： (1)因为 所以 6.7 解： (1)因为所以 ≈4或5 典例精选 知识点5：比较大小 5.比较与 的大小. 解： . ， . . 作差法是比较数与式大小的常用方法. 巩固拓展 知识点6：二次根式的相关概念 6.(1)下列各式：；； ；； . 其中一定是最简二次根式的有( ) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 C (2)若与最简二次根式 能合并(同类二次根式)， 则 的值为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 B 巩固拓展 知识点6：二次根式的相关概念 在进行代数式化简时，我们有时会碰上如， 这样的式子，其实 我们还可以将其进一步化简： ; . 这种化简的方法叫分母有理化. 巩固拓展 知识点6：二次根式的相关概念 （3）化简： . 解：原式 . 典例精选 知识点7：二次根式的混合运算 （1） . 解：原式 . （2） . 解：原式 . 7.计算下列各式： 典例精选 知识点7：二次根式的混合运算 7.计算下列各式： （3） . 解：原式 . 巩固拓展 知识点8：实数运算的应用 8.小明在学习二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个式子 的平方,如 .善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中,,, 均为正整数）,则有 . , . 这样小明就找到了一种把形如 的式子化为平方式的方法.请仿 照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当,,,均为正整数时,若,用含, 的 式子分别表示,,得__________, ______. 巩固拓展 知识点8：实数运算的应用 （2）利用所探索的结论,找一组正整数,,,填空：_______ _______ . 13 4 1 （3）若,且,,均为正整数,求 的值. 解：根据题意,得, . . , 为正整数, ,或, . 当，时， ; 当，时， . 的值为7或13. 巩固拓展 9.2024年5月6日，“从北京到巴黎——中法艺术家奥林匹克行”中国艺术大展 在巴黎举办.非遗苏绣作品《荷露娇欲语（苏绣）》亮相巴黎，向世人展示东 方美学的韵味.现有一张长方形绣布，长、宽之比为，绣布面积为 . 知识点8：实数运算的应用 （1）求绣布的周长. 解：设绣布的长为，则宽为 .根据题意，得 ， 即 . 由边长的实际意义，得 . ， . 绣布的长为，宽为 . 绣布的周长为 . 巩固拓展 知识点8：实数运算的应用 （2）刺绣师傅想用这张绣布裁出一张面积为 的完整圆形绣布 来绣花鸟图，她能裁出来吗？请说明理由 取3 . 解：不能裁出来.理由如下： 设完整的圆形绣布的半径为 .根据题意，得 . 取3，，解得 （负值舍去）. ，即， . 不能裁出来. 巩固拓展 知识点8：实数运算的应用 10.如图,拦河坝的横截面是梯形,其上底 是,下底是,高是 . （1）求横截面的面积. 解： . 答：横截面的面积为 . 巩固拓展 知识点8：实数运算的应用 （2）若用 的土,可以修多长的拦河坝？ 解： . 答：用的土可以修 长的拦河坝. 巩固拓展 11.(学科融合)“高空抛物，害人害己.”小明同学每次回家 进入电梯间时，总能看见如图所示的警示漫画.为进一 步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高 空抛物物体下落的时间和高度 近似地满足公式 .（不考虑风速的影响， ，参考数 据： ） 知识点8：实数运算的应用 （1）求从 高空抛物到落地的时间.（结果保留根号） 解： . 该物品落地的时间约为 . 巩固拓展 知识点8：实数运算的应用 （2）小明查阅资料得知，伤害无防护人体只需要 的动能，高空抛物动能 .某质量为 的玩具在高空被抛出后，最少经过几秒落地就会 伤害到楼下的行人？ 解：该玩具最低的下落高度为 ， . 最少经过 落地就会伤害到楼下的行人. 巩固拓展 知识点9：课本拓展阅读 设三角形的三边长分别为 ，则有下列三角形面积公式成立： （海伦公式）， （秦九韶公式） （1）一个三角形的三边长分别为 5，6，7，利用上面两个公式分别求这个三角形的面积； （2）一个三角形的三边长分别为5​，6​，7​，利用上面两个公式分别求这个三角形的面积； （3）试说说你对海伦公式和秦九韶公式的认识. 巩固拓展 知识点9：课本拓展阅读 设三角形的三边长分别为 ，则有下列三角形面积公式成立： （海伦公式）， （秦九韶公式） （1） （2） （3）两者都可以用来计算三角形的面积,海伦公式直接利用三角形的三条边长计算,形式相对简洁,便于记忆和直接应用；秦九韶公式则是利用三角形三边的平方进行计算,在某些以平方形式给出边长条件的情况下，使用起来可能更方便. 思想方法 分类讨论思想：在对实数进行分类时，需要根据不同的标准进行分类，如按定义分为有理数和无理数，按正负分为正实数、0、负实数.例如，在判断一个数属于哪类实数时，就要运用分类讨论思想. 数形结合思想：实数与数轴上的点一一对应，通过数轴可以直观地理解实数的大小、相反数等性质. 转化思想：在进行实数运算时，常常将复杂的运算转化为简单的运算，如将开方运算转化为乘方运算的逆运算. 当堂检测 计算下列各题（限时3分练）： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 反思总结 1.本章研究的对象是什么？一般的研究方法是怎样的？你收获了怎样的学习体验？ 2.本章数域扩充的背景是什么?对未来数学的发展产生怎样的影响？ 3.实数的相关概念、性质、运算法则与有理数区别不大，对此你有哪些思考？ 作业设计 一、基础巩固作业： P49-51 第3题、第6题、第9题 二、素养类作业 P51 第16题 三、挑战类作业 你认为将有理数扩充到实数给我们带来了哪些便利？将你的认识写成一篇小短文. 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $$