微专题05 全等三角形中常见的几何模型（截长补短模型）-初中数学几何模型常考经典模型（北师大版）

微专题05 全等三角形中常见的几何模型 截长补短模型 全等三角形是初中阶段最重要的几何知识，贯穿于整个初中几何；而全等三角形中的模型问题则是解决此类问题的重要方法，学会将全等三角形的相关问题转化为简单的模型问题，这样就可以快速解决全等三角形的题型；体会模型中其各种变式和联系以达到解决问题的效果。本微专题主要讲解“截长补短”模型． 模型来源 “截长补短法”是一种常用于几何证明或解题的技巧，尤其在处理线段或角度关系时。其核心思想是通过“截取”或“补充”线段/角度的方式，将复杂问题转化为更简单的已知模型（如全等三角形、等腰三角形等），专将不等关系转化为相等关系，便于运用全等、相似或比例性质，是数学教育工作和研究者为了解决特定几何问题而创造的，主要用于帮助学生理解和应用全等三角形的性质和判定方法。这些模型在数学教育中被广泛使用，特别是在中学几何教学中，帮助学生在解决复杂几何问题时提供直观的思路和工具。 截长补短模型 一、例题讲模型 例题．如图，△ABC中，∠B=2∠A，∠ACB的平分线CD交AB于点D，已知AC=16，BC=9，求BD的长. 分析：如图，在上截取 连接证明利用全等三角形的性质证明 求解 再证明 从而可得答案． 解：如图，在上截取 连接 平分 二、提炼模型 1．如图，在中，AD平分，，，，则AC的长为（    ） A．3 B．9 C．11 D．15 2．如图，与有一条公共边AC，且AB=AD，∠ACB=∠ACD=x，则∠BAD= ．（用含有x的代数式表示） 3．如图，在中，平分交于点D，若，求的度数． 模型运用 1．在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且，当，，时，的周长等于 ． 2．如图，中，E在上，D在上，过E作于F，，， ，则的长为 ． 3．已知：如图所示，四边形中，是上一点，且平分平分，若 ，求四边形的面积． 4．如图，在五边形中，，平分，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 5．如图，，点在线段上，、分别是、的角平分线，若，，求的长．    6．等边中，点、分别在边、上，且，连接、交于点． （1）如图1，求的度数； 图1 （2）连接，若，求的值； （3）如图2，若点为边的中点，连接，且，则的大小是___________． 图2 7．在中，，，点在直线上(除外)，分别经过点和点作和的垂线，两条垂线交于点，研究和的数量关系． （1）某数学兴趣小组在探究的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，他们发现当点是的中点时，只需要取边的中点(如图1)，通过推理证明就可以得到和的数量关系，请你按照这种思路直接写出和的数量关系； （2）那么当点是直线上(除外)(其它条件不变)，上面得到的结论是否仍然成立呢？请你从“点在线段上”，“点在线段的延长线”，“点在线段的反向延长线上”三种情况中，任选一种情况，在图2中画出图形，并证明你的结论； （3） 当点在线段的延长线上时，若()，请直接写出的值． 8．如图1，在正方形ABCD中，点P为AD延长线上一点，连接AC、CP，过点C作CF⊥CP交于C，交AB于点F，过点B作BM⊥CF于点N，交AC于点M． （1）若AP=AC，BC=4，求S△ACP； （2）若CP﹣BM=2FN，求证：BC=MC； （3）如图2，在其他条件不变的情况下，将“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且AB≠BC，AC=AP，取CP中点E，连接EB，交AC于点O，猜想：∠AOB与∠ABM之间有何数量关系？请说明理由． 9．如图一，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点． （1）求证：（提示：取的中点，连接）． （2）如图二所示，若把条件“点是边的中点”改为“点为上任意一点”，其他条件不变，那么结论是否成立呢？若成立，请你证明，若不成立，请说明理由． （3）如图三所示，若把条件“点是边的中点”改为“点为延长线上任意一点”，其他条件不变，那么结论是否成立呢？若成立，请你证明，若不成立，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题05 全等三角形中常见的几何模型 截长补短模型 全等三角形是初中阶段最重要的几何知识，贯穿于整个初中几何；而全等三角形中的模型问题则是解决此类问题的重要方法，学会将全等三角形的相关问题转化为简单的模型问题，这样就可以快速解决全等三角形的题型；体会模型中其各种变式和联系以达到解决问题的效果。本微专题主要讲解“截长补短”模型． 模型来源 “截长补短法”是一种常用于几何证明或解题的技巧，尤其在处理线段或角度关系时。其核心思想是通过“截取”或“补充”线段/角度的方式，将复杂问题转化为更简单的已知模型（如全等三角形、等腰三角形等），专将不等关系转化为相等关系，便于运用全等、相似或比例性质，是数学教育工作和研究者为了解决特定几何问题而创造的，主要用于帮助学生理解和应用全等三角形的性质和判定方法。这些模型在数学教育中被广泛使用，特别是在中学几何教学中，帮助学生在解决复杂几何问题时提供直观的思路和工具。 截长补短模型 一、例题讲模型 例题．如图，△ABC中，∠B=2∠A，∠ACB的平分线CD交AB于点D，已知AC=16，BC=9，求BD的长. 分析：如图，在上截取 连接证明利用全等三角形的性质证明 求解 再证明 从而可得答案． 解：如图，在上截取 连接 平分 二、提炼模型 1．如图，在中，AD平分，，，，则AC的长为（    ） A．3 B．9 C．11 D．15 【答案】C 【解析】在AC上截取AE=AB，连接DE， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠DAC， 在△ABD和△AED中， ， ∴△ABD≌△AED（SAS）， ∴∠B=∠AED，∠ADB =∠ADE， AB=AE， 又∠B=2∠ADB ∴∠AED=2∠ADB，∠BDE=2∠ADB， ∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠ADB，∠BDE=∠C+∠DEC=2∠ADB， ∴∠DEC =∠EDC， ∴CD=CE， ∵，， ∴AC =AE+CE=AB+CD = 5+6=11． 故选：C． 2．如图，与有一条公共边AC，且AB=AD，∠ACB=∠ACD=x，则∠BAD= ．（用含有x的代数式表示） 【答案】180°-2x 【解析】解：在CD上截取CE=CB，如图所示， 在△ABC和△AEC中， ∴△ABC≌△AEC(SAS) ∴AE=AB，∠B=∠AEC, ∵AB=AD， ∴AD=AE， ∴∠D=∠AED， ∵∠AED+∠AEC=180°， ∴∠D+∠B=180°， ∵∠DAB+∠ABC+∠BCD+∠CDA=360° ∴∠DAB+∠BCD =360°-∠ABC-∠CDA=360°-180°=180°， ∵∠BCD =∠ACB +∠ACD =x+x=2x ∴∠DAB=180°-∠BCD=180°-2x 故答案为：180°-2x 3．如图，在中，平分交于点D，若，求的度数． 【答案】 【解析】解：如图，在上截取，连接． ∵平分， ． ∵， ， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 设， 则． ∵在中，， 解得， ∴． 模型运用 1．在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且，当，，时，的周长等于 ． 【答案】13 【解析】解：在上取点G，使， ∵，， ∴， 在与中 ， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在与中 ， ∴ ∴． ∴ ∴的周长等于， ∵，，， ∴的周长等于 故答案：． 2．如图，中，E在上，D在上，过E作于F，，， ，则的长为 ． 【答案】 【解析】解：在上取一点T，使得，连接，在上取一点K，使得，连接． ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴ ， 故答案为：． 3．已知：如图所示，四边形中，是上一点，且平分平分，若 ，求四边形的面积． 【答案】12. 【解析】解：在AB上截， ∵AO平分∠BAD， ∴∠DAO=∠EAO， 在△AOD和△AOE中, ∴， ， ，平分，平分， ∴∠AOB=90°， ， ∵BO平分∠ABC， ∴∠ABO=∠CBO， 在△BOC和△BOE中,   ∴， 四边形ABCD的面积的面积= =12. 故答案为12. 4．如图，在五边形中，，平分，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【解析】（1）解：在上截取，连接．   ∵平分， ∴． 在和中， ∴ ∴，． 又∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． 在和中，， ∴ ∴． ∴． （2）∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 5．如图，，点在线段上，、分别是、的角平分线，若，，求的长．    【答案】5 【解析】解：如图，在上截取，连接，    是的角平分线， ， 在△和△中， ， ，， ， ， ， ， 是的角平分线， ， 在和中， ， ， ． 6．等边中，点、分别在边、上，且，连接、交于点． （1）如图1，求的度数； 图1 （2）连接，若，求的值； （3）如图2，若点为边的中点，连接，且，则的大小是___________． 图2 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ，，， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）在上取点，使． 由（1）知， 又， ∴． 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）． 提示：目测即得答案．详细理由如下： 由（1）知．延长至，使为等边三角形． 延长交于． ∵ ， ∴， 在和中， , ∴， ∴． ∴， ∴． ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∵ ∴为等边三角形， ∴ ∴． 7．在中，，，点在直线上(除外)，分别经过点和点作和的垂线，两条垂线交于点，研究和的数量关系． （1）某数学兴趣小组在探究的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，他们发现当点是的中点时，只需要取边的中点(如图1)，通过推理证明就可以得到和的数量关系，请你按照这种思路直接写出和的数量关系； （2）那么当点是直线上(除外)(其它条件不变)，上面得到的结论是否仍然成立呢？请你从“点在线段上”，“点在线段的延长线”，“点在线段的反向延长线上”三种情况中，任选一种情况，在图2中画出图形，并证明你的结论； （3）当点在线段的延长线上时，若()，请直接写出的值． 【答案】（1）；（2）仍然成立．证明见解析；（3）． 【解析】解：（1）， 连接GE ∵，点是的中点，点G为AC的中点 ∴AG=CG=CE=EB， 因为， 所以，． 所以． 因为，， 所以， 所以． 所以． 在与中， 所以． 所以 （2）仍然成立． 在上截取，连接． 因为， 所以． 因为，， 所以， 所以． 所以． 因为， 所以，． 所以． 在与中， 所以． 所以． （3）如下图所示，在的延长线上截取，连接，AF 因为， 所以． 因为，， 所以， 所以． 所以． 因为， 所以， ∴∠EBF=180°－∠ABF－∠ABC=45°． 所以． 在与中， 所以． 所以． ∴为等腰直角三角形 设CA=CB=a，则 ∴CE=a＋na 由勾股定理可得AE== ∴， ∴． 8．如图1，在正方形ABCD中，点P为AD延长线上一点，连接AC、CP，过点C作CF⊥CP交于C，交AB于点F，过点B作BM⊥CF于点N，交AC于点M． （1）若AP=AC，BC=4，求S△ACP； （2）若CP﹣BM=2FN，求证：BC=MC； （3）如图2，在其他条件不变的情况下，将“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且AB≠BC，AC=AP，取CP中点E，连接EB，交AC于点O，猜想：∠AOB与∠ABM之间有何数量关系？请说明理由． 【答案】（1）7；（2）证明见解析；（3）∠AOB=3∠ABM，理由见解析． 【解析】解：（1）∵四边形ABC是正方形， ∴AD∥BC，AB=BC=CD=4，∠ADC=∠CDP=∠ABC=∠BCD=90°， ∴AC==4， ∴AP=AC=×4=， ∴S△ACP=AP×CD=××4=7； （2）在CF上截取NG=FN，连接BG，如图1所示： 则CF﹣CG=2FN， ∵CF⊥CP， ∴∠PCF=90°， ∴∠BCF=∠DCP， 在△BCF和△DCP中，， ∴△BCF≌△DCP（ASA）， ∴CF=CP， ∵CP﹣BM=2FN， ∴CG=BM， ∵∠ABC=90°，BM⊥CF， ∴∠ABM=∠BCG，∠BFG=∠CBM， 在△ABM和△BCG中，， ∴△ABM≌△BCG（SAS）， ∴∠AMB=∠BGC， ∴∠BMC=∠BGF， ∵GN=FN，BM⊥CF， ∴BF=BG， ∴∠BFG=∠BGF， ∴∠BMC=∠CBM， ∴BC=MC； （3）∠AOB=3∠ABM；理由如下： 连接AE，如图2所示： ∵AC=AP，E是CP的中点， ∴AE⊥CP，∠PAE=∠CAE， ∵AD∥BC， ∴∠BCA=∠PAC=2∠PAE， ∵CF⊥CP， ∴∠PCF=90°， ∴∠BCF=∠DCP， ∵∠ADC=∠AEC=90°， ∴A、D、E、C四点共圆， ∴∠DCP=∠PAE， ∴∠BCF=∠PAE， 又∵∠ABM=∠BCF， ∴∠ABM=∠BCF=∠PAE， ∴∠BCA=2∠ABM， ∵∠AOB=∠BCF+∠BCA， ∴∠AOB=3∠ABM． 9．如图一，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点． （1）求证：（提示：取的中点，连接）． （2）如图二所示，若把条件“点是边的中点”改为“点为上任意一点”，其他条件不变，那么结论是否成立呢？若成立，请你证明，若不成立，请说明理由． （3）如图三所示，若把条件“点是边的中点”改为“点为延长线上任意一点”，其他条件不变，那么结论是否成立呢？若成立，请你证明，若不成立，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）成立，证明见解析；（3）成立，证明见解析 【解析】：（1）证明：取AB中点M，连接EM， ∵AB=BC，E为BC中点，M为AB中点， ∴AM=CE=BE， ∴∠BME=∠BEM=45°， ∴∠AME=135°=∠ECF， ∵∠B=90°， ∴∠BAE+∠AEB=90°， ∵∠AEF=90°， ∴∠AEB+∠FEC=90°， ∴∠BAE=∠FEC， 在△AME和△ECF中， ， ∴△AME≌△ECF（ASA）， ∴AE=EF； （2）解：成立， 理由是：如图2，在AB上截取BM=BE，连接ME， ∵∠B=90°， ∴∠BME=∠BEM=45°， ∴∠AME=135°=∠ECF， ∵AB=BC，BM=BE， ∴AM=EC， 在△AME和△ECF中， ， ∴△AME≌△ECF（ASA）， ∴AE=EF； （3）成立． 证明：如图3，在BA的延长线上取一点N．使AN=CE，连接NE． ∴BN=BE， ∴∠N=∠NEC=45°， ∵CF平分∠DCG， ∴∠FCE=45°， ∴∠N=∠ECF， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BE， ∴∠DAE=∠BEA， 即∠DAE+90°=∠BEA+90°， ∴∠NAE=∠CEF， ∴△ANE≌△ECF（ASA）， ∴AE=EF． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$