第十六讲：幂的运算（暑期预习衔接讲义）（知识总结梳理+5大考点典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年八年级数学上册（人教版2024）

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版八年级数学上册 第十六讲：幂的运算 （知识总结梳理+5大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：同底数幂的乘法 推导过程: 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，am·an＝ ·＝ ＝am＋n 符号表示: am·an＝am＋n(m，n都是正整数) 文字叙述:同底数幂相乘，底数不变，指数相加 知识点02：幂的乘方 幂的乘方的意义：幂的乘方是指几个相同的幂相乘. 推导过程: 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，(am)n＝＝ ＝amn 符号表示: am)n＝amn(m，n都是正整数) 知识点03：积的乘方 推导过程: 一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n，(ab)n＝ ＝·＝anbn 符号表示: (ab)n＝anbn(n是正整数) 考点1：同底数幂的乘法 【典型例题】 计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂相乘．根据同底数幂相乘的运算法则进行计算即可． 【详解】解：=． 故选：D． 【变式训练1】 计算的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据同底数幂的乘法法则进行作答，即可求解． 【详解】根据同底数幂相乘的法则，当底数相同时，指数相加，即：， 选项A为，对应幂的乘方法则（指数相乘），但题目中是乘法，故错误； 选项B为，错误地将底数相乘，不符合法则； 选项D为，底数被错误地相加，结果显然不成立； 选项C符合同底数幂相乘的法则，因此正确答案为C； 故选：C． 【变式训练2】 下列各式的计算结果为的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 根据同底数幂相乘法则判断即可． 【详解】解：A：，故该选项不符合题意； B：，故该选项不符合题意； C：，故该选项符合题意； D：，故该选项不符合题意． 故选：C． 考点2：同底数幂的乘法的逆运算 【典型例题】 已知，，则的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的逆用，根据，求出，然后代入求解即可，掌握同底数幂相乘的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 28．若，，则的值是（    ） A．729 B．243 C．27 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，可得，即可解答，熟知同底数幂相乘，底数不变指数相加是解题的关键． 【详解】解：∵，， ， 故选：B． 【变式训练1】 已知，则x的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，解题的关键是将等式两边的数都转化为以2为底数的幂的形式，再根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加的法则进行计算． 将方程中的各数转化为以2为底的幂，利用同底数幂相乘法则进行计算，解方程即可． 【详解】解： ， ， 故选：A． 考点3：幂的乘方 【典型例题】 计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查幂的乘方，根据幂的乘方运算法则求解即可． 【详解】解：， 故选：B． 【变式训练1】 下列运算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是积的乘方，同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项，根据以上运算的运算法则分别计算即可判断． 【详解】解：，故选项A运算正确，符合题意； ，故选项B运算不正确； ，故选项C运算不正确； 和次数不同，不能直接相加，∴选项D运算不正确； 故选：A． 考点4：积的乘方 【典型例题】 计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了幂的、积的乘方运算，掌握运算法则是解题的关键． 根据幂的、积的乘方运算法则即可求解． 【详解】解：， 故选：B． 【变式训练1】 下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的运算，根据同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，合并同类项的法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、不能合并，原选项计算错误，不符合题意； B、，原选项计算错误，不符合题意； C、，原选项计算错误，不符合题意； D、，原选项计算正确，符合题意； 故选D． 考点5：幂的混合运算 【典型例题】 已知，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查的是积的乘方运算，合并同类项，求解代数式的值，通过合并同类项并比较系数和指数，确定未知数m和n的值，再代入计算即可. 【详解】解：∵， ∴是同类项； ∴，， ∴， ∴ 故选：A 【变式训练1】 我们学习的“幂的运算”有四种：①同底数幂的乘法，②同底数幂的除法，③幂的乘方，④积的乘方．在“”的运算过程中，运用了上述幂的运算中的（   ） A．①② B．③④ C．①③ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查幂的运算，根据幂的运算法则判断即可． 【详解】解：第一步： 应用了积的乘方（法则④），即 ，因此分解为 ； 第二步： 应用了幂的乘方（法则③），即 ，因此计算为 ， 结论：整个过程中仅用到③（幂的乘方）和④（积的乘方）， 故选：B． 【变式训练1】 计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了积的乘方运算，首先计算n个相加的结果，再将其平方计算即可得出答案． 【详解】解：n个相加，即（共n项）， 可表示为． 将和平方，即，根据平方的性质，负号被消去，结果为， 因此，最终结果为， 故选：C． 一、单选题 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，积的乘方计算，同底数幂乘法计算，合并同类项，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 2．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查积的乘方运算，根据积的乘方法则，进行计算判断即可． 【详解】解：； 故选D． 3．如果：；则n的值为：（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，幂的乘方计算，同底数幂乘法计算，根据题意可得，据此求解即可． 将等式两边转换为同底数的幂形式，利用指数相等求解。 【详解】解：左边为32个相加，即，右边为n个4相乘，即， 将32写为，4写为，则左边可化为，右边化为 ∴等式变为， ∴， 解得， 故选：A 4．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了积的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，根据同底数幂乘法的逆运算法则可把原式变形为，根据积的乘方的逆运算法则进一步变形为，据此计算求解即可． 【详解】解： ， 故选：D． 5．若，是正整数，且满足，则下列与的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法．根据已知等式可得，则． 【详解】解：∵， ， ， ， 故选：B． 6．已知，则的值是（   ） A．2 B．6 C．8 D．16 【答案】D 【分析】本题主要考查了幂的运算，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．根据幂的乘方逆运算法则以及同底数幂的乘法逆运算法则计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：D． 7．的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂的乘法，解题的关键在于掌握同底数幂相乘的法则． 根据同底数幂相乘的运算法则进行计算即可． 【详解】解： ； 故选：B． 8．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查同底数幂比较大小，根据底数相同，指数越大，值越大即可求解． 【详解】解：，，， ∵， ∴ ， 故选：C． 9．下面计算中①，②，③，④，⑤，⑥．其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂的乘法，合并同类项，解题的关键是熟练掌握运算法则． 依据同底数幂相乘法则和合并同类项的方法，逐一判断各式的正确性即可． 【详解】解：∵，，，，与无法合并，， ∴只有符合题意， 故选：． 10．已知，则的值为（　　） A．6 B．9 C．16 D．27 【答案】B 【分析】本题考查的是幂的运算性质，将转化为底数为3的幂形式，结合幂的运算法则和已知条件求解． 【详解】解：原式可化为： 由，代入得： 因此，． 故选：B． 二、填空题 11．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12．若，，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆运算，熟记法则是解题的关键． 根据同底数幂的逆运算求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：4． 13．若，则的值为 ． 【答案】72 【分析】本题考查了积的乘方，幂的乘方逆运算法则，利用积的乘方运算法则求出，再利用幂的乘方逆运算法则将转化为，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴的值为． 故答案为：． 14．计算的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查积的乘方的逆运算，有理数的乘方，解答的关键是掌握积的乘方，同底数幂相乘法则的逆用． 把原式化为，即可求解． 【详解】解：原式 ； 故答案为：． 15．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查含乘方的有理数的运算，根据和互为倒数，可以运用简便算法得到答案； 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 16．如果，那么 ． 【答案】4 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算，根据题意，把代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：4 17．已知，，那么 ． 【答案】20 【分析】本题考查同底数幂的乘法和幂的乘方逆运算，解题的关键是逆用同底数幂乘法幂的乘方运算运算法则，本题属于基础题型． 根据同底数幂的乘法和幂的乘方运算逆运算法则即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为：20． 18．已知，，求 ． 【答案】60 【分析】本题考查代数式求值，涉及同底数幂的乘法运算的逆用，根据题意，将，代值求解即可得到答案．熟记同底数幂的乘法运算的逆运算是解决问题的关键． 【详解】解：，， ， 故答案为：60． 三、解答题 19．计算： (1) ； (2) ； (3) ； (4) 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（1）根据幂的乘方法则（m、n为正整数）解答即可． （2）根据幂的乘方法则（m、n为正整数）解答即可． （3）根据幂的乘方法则（m、n为正整数）解答即可． （4）根据幂的乘方法则（m、n为正整数）解答即可，同底数幂乘法解答即可． 本题考查了幂的乘方，同底数幂乘法，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． （5）； （6）． 【详解】解：（5） （6） 20．已知，，求 (1)； (2)． 【答案】(1)241 (2)5400 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用、同底数幂乘法的逆用，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据幂的乘方的逆用可得，代入计算即可得； （2）先根据同底数幂乘法的逆用可得，再根据幂的乘方的逆用可得，代入计算即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ． （2）解：∵，， ∴ ． 21．已知：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)16 (2)48 【分析】本题考查了幂的运算：同底数幂的乘法逆运算及幂的乘方逆运算，求代数式的值，熟练掌握运算法则是关键． （1）先利用同底数幂的乘法，再逆用幂的乘方，最后整体代入即可； （2）逆用幂的乘方，最后整体代入计算即可 【详解】（1）解：； （2）解：． 22．下图是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列问题． 东东的作业 计算：． 解：原式． (1)计算：①； ②； (2)若，请求出n的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方运算，熟练掌握积的乘方法则是解答本题的关键． （1）①直接逆用积的乘方法则计算即可； ②先逆用同底数幂的乘法变形，再逆用积的乘方法则计算即可； （2）先利用幂的乘方法则变形，再利用同底数幂的乘法法则计算，进而可求出n的值． 【详解】（1）①； ② ； （2）解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版八年级数学上册 第十六讲：幂的运算 （知识总结梳理+5大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：同底数幂的乘法 推导过程: 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，am·an＝ ·＝ ＝am＋n 符号表示: am·an＝am＋n(m，n都是正整数) 文字叙述:同底数幂相乘，底数不变，指数相加 知识点02：幂的乘方 幂的乘方的意义：幂的乘方是指几个相同的幂相乘. 推导过程: 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，(am)n＝＝ ＝amn 符号表示: am)n＝amn(m，n都是正整数) 知识点03：积的乘方 推导过程: 一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n，(ab)n＝ ＝·＝anbn 符号表示: (ab)n＝anbn(n是正整数) 考点1：同底数幂的乘法 【典型例题】 计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂相乘．根据同底数幂相乘的运算法则进行计算即可． 【详解】解：=． 故选：D． 【变式训练1】 计算的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据同底数幂的乘法法则进行作答，即可求解． 【详解】根据同底数幂相乘的法则，当底数相同时，指数相加，即：， 选项A为，对应幂的乘方法则（指数相乘），但题目中是乘法，故错误； 选项B为，错误地将底数相乘，不符合法则； 选项D为，底数被错误地相加，结果显然不成立； 选项C符合同底数幂相乘的法则，因此正确答案为C； 故选：C． 【变式训练2】 下列各式的计算结果为的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 根据同底数幂相乘法则判断即可． 【详解】解：A：，故该选项不符合题意； B：，故该选项不符合题意； C：，故该选项符合题意； D：，故该选项不符合题意． 故选：C． 考点2：同底数幂的乘法的逆运算 【典型例题】 已知，，则的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的逆用，根据，求出，然后代入求解即可，掌握同底数幂相乘的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 28．若，，则的值是（    ） A．729 B．243 C．27 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，可得，即可解答，熟知同底数幂相乘，底数不变指数相加是解题的关键． 【详解】解：∵，， ， 故选：B． 【变式训练1】 已知，则x的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，解题的关键是将等式两边的数都转化为以2为底数的幂的形式，再根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加的法则进行计算． 将方程中的各数转化为以2为底的幂，利用同底数幂相乘法则进行计算，解方程即可． 【详解】解： ， ， 故选：A． 考点3：幂的乘方 【典型例题】 计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查幂的乘方，根据幂的乘方运算法则求解即可． 【详解】解：， 故选：B． 【变式训练1】 下列运算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是积的乘方，同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项，根据以上运算的运算法则分别计算即可判断． 【详解】解：，故选项A运算正确，符合题意； ，故选项B运算不正确； ，故选项C运算不正确； 和次数不同，不能直接相加，∴选项D运算不正确； 故选：A． 考点4：积的乘方 【典型例题】 计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了幂的、积的乘方运算，掌握运算法则是解题的关键． 根据幂的、积的乘方运算法则即可求解． 【详解】解：， 故选：B． 【变式训练1】 下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的运算，根据同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，合并同类项的法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、不能合并，原选项计算错误，不符合题意； B、，原选项计算错误，不符合题意； C、，原选项计算错误，不符合题意； D、，原选项计算正确，符合题意； 故选D． 考点5：幂的混合运算 【典型例题】 已知，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查的是积的乘方运算，合并同类项，求解代数式的值，通过合并同类项并比较系数和指数，确定未知数m和n的值，再代入计算即可. 【详解】解：∵， ∴是同类项； ∴，， ∴， ∴ 故选：A 【变式训练1】 我们学习的“幂的运算”有四种：①同底数幂的乘法，②同底数幂的除法，③幂的乘方，④积的乘方．在“”的运算过程中，运用了上述幂的运算中的（   ） A．①② B．③④ C．①③ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查幂的运算，根据幂的运算法则判断即可． 【详解】解：第一步： 应用了积的乘方（法则④），即 ，因此分解为 ； 第二步： 应用了幂的乘方（法则③），即 ，因此计算为 ， 结论：整个过程中仅用到③（幂的乘方）和④（积的乘方）， 故选：B． 【变式训练1】 【变式训练1】 计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了积的乘方运算，首先计算n个相加的结果，再将其平方计算即可得出答案． 【详解】解：n个相加，即（共n项）， 可表示为． 将和平方，即，根据平方的性质，负号被消去，结果为， 因此，最终结果为， 故选：C． 一、单选题 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 3．如果：；则n的值为：（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 4．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 5．若，是正整数，且满足，则下列与的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 6．已知，则的值是（   ） A．2 B．6 C．8 D．16 7．的值是（   ） A． B． C． D． 8．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 9．下面计算中①，②，③，④，⑤，⑥．其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．已知，则的值为（　　） A．6 B．9 C．16 D．27 二、填空题 11．计算： ． 12．若，，则 ． 13．若，则的值为 ． 14．计算的结果是 ． 15．计算： ． 16．如果，那么 ． 17．已知，，那么 ． 18．已知，，求 ． 三、解答题 19．计算： (1) ； (2) ； (3) ； (4) （5）； （6）． 20．已知，，求 (1)； (2)． 21．已知：． (1)求的值； (2)求的值． 22．下图是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列问题． 东东的作业 计算：． 解：原式． (1)计算：①； ②； (2)若，请求出n的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$