第十八讲：多项式与多项式相乘（暑期预习衔接讲义）（知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年八年级数学上册（人教版2024）

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版八年级数学上册 第十八讲：多项式与多项式相乘 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：多项式与多项式相乘 1.一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加 ＝ap＋aq＋bp＋bq(a，b，p，q都是单项式) 2. 多项式与多项式相乘的几何解释：如图16.2－2，大长方形的面积可以表示为(a＋b)(p＋q)，也可以将大长方形的面积视为四个小长方形的面积之和，即ap＋aq＋bp＋bq. 所以(a＋b)(p＋q)＝ap＋aq＋bp＋bq. 知识点02：知识总结 考点1：计算多项式乘多项式 【典型例题】 若，则的值分别为（    ） A．7， B．1， C．， D．7，12 【变式训练1】 已知，则的值为（   ） A． B．0 C． D．p 考点2：已知多项式乘积求系数问题 【典型例题】 为常数，展开式中项的系数与常数项都等于10，则的值等于（   ） A．6 B．6 C．8 D．8 【变式训练1】 已知多项式与的乘积展开式中不含的项，则的值为（   ） A． B． C．2 D．3 【变式训练2】 若的乘积中不含项，则常数a的值为（   ） A．2 B． C． D． 考点3：多项式乘多项式的化简求值 【典型例题】 已知，则的值为（   ） A．1 B．3 C． D． 【变式训练1】 已知：，，化简的结果是（   ） A． B．8 C．6 D． 【变式训练2】 若，则的值是（   ） A． B． C．1 D．25 考点4：多项式乘多项式与面积问题 【典型例题】 如图，现有正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，若要拼一个长为，宽为的大长方形，则需C类卡片张数为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】 从前，一位庄园生把一块长为米，宽为米的长方形土地租给租户张老汉．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增加5米，宽减少5米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（　　） A．变小了 B．变大了 C．没有变化 D．无法确定 【变式训练2】 下面四个备选答案所提供的整式中，表示图中阴影部分面积的是（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．下列各个多项式的乘积是的是（   ） A． B． C． D． 2．如果，那么m、n的值分别是（   ） A．，12 B．7，12 C．， D．7， 3．若，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 4．如果，那么m、n的值分别是（    ） A．，12 B．11，12 C．， D．11， 5．规定，若，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 6．若的展开式中不含项，则实数的值为（    ） A．2 B． C． D．4 7．已知的乘积项中不含的一次项，则与的关系是（    ） A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．乘积为－1 8．已知，，则的值为（   ） A． B． C． D．6 9．已知，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 10．如图，一个长为a、宽为b的长方形，它的周长为18，面积为17，则的值为（   ） A．27 B．30 C．33 D．36 二、填空题 11．计算： ． 12．已知，则的值为 ． 13．已知，，则的值是 ． 14．当 时，展开后不含项． 15．聪聪计算一道整式乘法的题：，由于聪聪将第一个多项式中的“”抄成“”，得到的结果为．这道题的正确结果是 ． 16．已知代数式与积是一个关于的三次多项式，且化简后含项的系数为1，则的值为 17．如图，向阳小区内有一块长为，宽为的长方形空地，小区管理者计划在中间留一块边长为的正方形地块修建一个花坛，然后将剩余部分进行绿化，则绿化部分的面积是 ．（用含，的代数式表示，要化简） 18．已知等式：，若括号内所填的式子记为A，则 ． 三、解答题 19．计算： (1)． (2)． 20．化简求值：，其中． 21．关于x的代数式 化简后不含 项和常数项． (1)求m，n的值； (2)求 的值． 22．回答下列问题： (1)计算： ①___________； ②___________； ③___________． (2)总结公式（___________）； (3)已知均为整数，且，求的所有可能值． 23．如图，城建部门计划在长为米、宽为米的长方形草坪内修建两条互相垂直，且宽均为b米的硬化通道． (1)求剩余草坪的面积；（用含a，b的式子表示） (2)若，，求剩余草坪的面积的具体值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版八年级数学上册 第十八讲：多项式与多项式相乘 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：多项式与多项式相乘 1.一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加 ＝ap＋aq＋bp＋bq(a，b，p，q都是单项式) 2. 多项式与多项式相乘的几何解释：如图16.2－2，大长方形的面积可以表示为(a＋b)(p＋q)，也可以将大长方形的面积视为四个小长方形的面积之和，即ap＋aq＋bp＋bq. 所以(a＋b)(p＋q)＝ap＋aq＋bp＋bq. 知识点02：知识总结 考点1：计算多项式乘多项式 【典型例题】 若，则的值分别为（    ） A．7， B．1， C．， D．7，12 【答案】B 【分析】本题考查了多项式的乘法将左边多项式展开后与右边比较对应项的系数，即可确定a和b的值． 【详解】解：左边展开： ， ∵右边为， ∴，． 因此，和的值分别为1和， 故选：B． 【变式训练1】 已知，则的值为（   ） A． B．0 C． D．p 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，求代数式的值，通过展开左边多项式并与右边比较对应系数，得出关于和的关系式，进而求解的值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 故选：B． 考点2：已知多项式乘积求系数问题 【典型例题】 为常数，展开式中项的系数与常数项都等于10，则的值等于（   ） A．6 B．6 C．8 D．8 【答案】D 【分析】本题考查多项式乘多项式．利用多项式乘多项式的法则进行运算，再根据条件得出方程求解即可． 【详解】解：∵ ， ∵展开式中项的系数与常数项相等，都等于， ∴，， 解得：，． 故选：D． 【变式训练1】 已知多项式与的乘积展开式中不含的项，则的值为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】先根据多项式乘多项式法则计算多项式与的乘积，然后根据乘积展开式中不含的项，列出关于的方程，解方程即可． 本题考查了整式的混合运算，熟练掌握多项式乘多项式法则是解题的关键． 【详解】解： ， 多项式与的乘积展开式中不含的项， ， ． 故选：D． 【变式训练2】 若的乘积中不含项，则常数a的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，合并同类项．利用多项式乘多项式的法则运算并合并同类项，再令项的系数为0得到关于a的方程求解即可． 【详解】解： , ∵多项式的乘积中不含项， ∴，解得：． 故选D． 考点3：多项式乘多项式的化简求值 【典型例题】 已知，则的值为（   ） A．1 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查多项式乘以多项式并求值，根据多项式乘以多项式的法则，将表达式展开后，利用已知条件代入计算即可． 【详解】解： ∵，， ∴ 故选D． 【变式训练1】 已知：，，化简的结果是（   ） A． B．8 C．6 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式——化简求值，正确计算是解题的关键． 先把所求式子化简为，然后把已知条件式整体代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， ． 故答案为：． 【变式训练2】 若，则的值是（   ） A． B． C．1 D．25 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘以多项式，通过展开左边多项式并与右边比较系数，解出m和n的值，再计算即可． 【详解】解： ． ． ∴，解得；，解得； ∴， 故选C． 考点4：多项式乘多项式与面积问题 【典型例题】 如图，现有正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，若要拼一个长为，宽为的大长方形，则需C类卡片张数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式与面积．利用多项式乘以多项式计算即可求解． 【详解】解：， ∴需C类卡片张数为4张． 故选：B 【变式训练1】 从前，一位庄园生把一块长为米，宽为米的长方形土地租给租户张老汉．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增加5米，宽减少5米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（　　） A．变小了 B．变大了 C．没有变化 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘多项式，根据多项式乘以多项式法则计算现面积与原面积的差，即可判断． 【详解】解：由题意可知：原面积为（平方米）， 第二年按照张老汉的想法则面积变为（平方米） ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， ∴面积变小了， 故选：A． 【变式训练2】 下面四个备选答案所提供的整式中，表示图中阴影部分面积的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了多项式乘法的运算能力，关键是能准确根据题意列式、计算．根据题意列式表示出该阴影部分的面积，再运用多项式的乘法法则进行化简、计算． 【详解】解：图中阴影部分面积为：，或或， 故选：D． 一、单选题 1．下列各个多项式的乘积是的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A. ，不符合题意，本选项错误； B. ，不符合题意，本选项错误； C. ，不符合题意，本选项错误； D. ，符合题意，本选项正确； 故选：D． 2．如果，那么m、n的值分别是（   ） A．，12 B．7，12 C．， D．7， 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据多项式乘多项式法则计算即可． 【详解】解：， 又， ，， 故选：A． 3．若，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是多项式的乘法运算，先计算，结合已知可得，，，再进一步求解即可. 【详解】解：∵ 与右边 对比，系数相等可得： ∴，，， 解得：，，， ∴，，， ∴D选项结论不正确，符合题意； 故选：D. 4．如果，那么m、n的值分别是（    ） A．，12 B．11，12 C．， D．11， 【答案】A 【分析】本题考查整式乘法中多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解答关键．将原式按整式乘法运算展开，与的每一项一一对应即可． 将左边的多项式展开后，与右边的多项式对应项系数比较，即可确定m和n的值． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴，． 故选：A． 5．规定，若，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了新定义的整式运算． 根据新定义即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 即， 故选：B． 6．若的展开式中不含项，则实数的值为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【分析】本题考查多项式乘多项式的法则，不含某一项就是该项的系数等于0．先根据多项式乘多项式展开式子，合并同类项，不含x的一次项，就是该项系数为0，进而求出m的值．掌握多项式乘多项式的法则和合并同类项是解题的关键． 【详解】解：， ∵的展开式中不含项， ∴， 解得：， 故选：D 7．已知的乘积项中不含的一次项，则与的关系是（    ） A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．乘积为－1 【答案】B 【分析】此题考查整式乘法的运用．根据多项式乘法展开后，令一次项的系数为零，即可确定p与q的关系． 【详解】解：将表达式展开，得到：， 由于乘积中不含的一次项，则一次项系数， 即与互为相反数． 故选：B． 8．已知，，则的值为（   ） A． B． C． D．6 【答案】A 【分析】本题考查多项式乘以多项式．先利用多项式乘以多项式化简，将，代入即可得到答案． 【详解】解： ， ∵，， ∴原式， 故选：A． 9．已知，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．利用整式的相应的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可． 【详解】解：∵， ∴ 故选：B． 10．如图，一个长为a、宽为b的长方形，它的周长为18，面积为17，则的值为（   ） A．27 B．30 C．33 D．36 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘多项式及求代数式的值；根据题意得；再把代数式用多项式乘多项式法则展开，整体代入即可求解． 【详解】解：∵长方形的周长为18，面积为17， ∴， 即； ∴； 故选：A． 二、填空题 11．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式的运算法则进行计算即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 12．已知，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查多项式乘多项式的计算，先将原式化简，对应题中给出的化简结果即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 13．已知，，则的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了多项式与多项式的乘法运算，化简求值． 把展开，再把和的值代入，即可得到结果． 【详解】解：，， ． 故答案为：4． 14．当 时，展开后不含项． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，整式的无关型问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理，再结合展开后不含项得出，然后解得，即可作答． 【详解】解： ∵展开后不含项 ∴ ∴， 故答案为：． 15．聪聪计算一道整式乘法的题：，由于聪聪将第一个多项式中的“”抄成“”，得到的结果为．这道题的正确结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式乘法，熟练掌握运算法则是解题关键．根据整式乘法的运算法则即可得，将代入，根据整式乘法的运算法则即可得． 【详解】解：由题意，， ∴， 解得：； ∴正确的结果是： ， 故答案为：． 16．已知代数式与积是一个关于的三次多项式，且化简后含项的系数为1，则的值为 【答案】 【分析】由题意列式为，利用多项式乘多项式法则展开并合并同类项，再根据积是一个关于的三次多项式，且化简后含项的系数为求得，的值，将其代入中计算即可． 【详解】解：， 代数式与积是一个关于的三次多项式，且化简后含项的系数为， ，， 解得：，， 则， 故答案为：． 17．如图，向阳小区内有一块长为，宽为的长方形空地，小区管理者计划在中间留一块边长为的正方形地块修建一个花坛，然后将剩余部分进行绿化，则绿化部分的面积是 ．（用含，的代数式表示，要化简） 【答案】 【分析】此题考查了多项式乘多项式，弄清题意列出相应的式子是解本题的关键．利用多项式乘多项式法则，及去括号合并同类项即可得出结果． 【详解】解：由题意可得： ， 绿化部分的面积为． 故答案为：． 18．已知等式：，若括号内所填的式子记为A，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查整式的混合运算，掌握整式的混合运算法则是解题关键．根据题意有，结合整式的混合运算法则求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 三、解答题 19．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了同底数的乘法，幂的乘方，单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算同底数的乘法，幂的乘方，然后合并即可； （2）首先计算单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，然后合并即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 20．化简求值：，其中． 【答案】；4 【分析】本题考查整式的化简求值，熟练掌握整式乘法的运算法则是解题的关键，先根据整式的乘法法则和合并同类项化简，再利用整体代入的思想即可求值． 【详解】解：原式， ， ， ， 原式． 21．关于x的代数式 化简后不含 项和常数项． (1)求m，n的值； (2)求 的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查已知多项式乘积不含某项求字母的、积的乘方的逆运算、代数式求值，熟练掌握整式运算法则是解题的关键． （1）先将原式括号展开，再合并同类项，最后根据不含和常数项得出，，即可解答； （2）根据幂的运算法则得出，根据（1）中得出的和的值，即可解答． 【详解】（1）解： ∵不含的项和常数项 ∴，， ∴，； （2）解：， 由（1）知，，， ∴原式． 22．回答下列问题： (1)计算： ①___________； ②___________； ③___________． (2)总结公式（___________）； (3)已知均为整数，且，求的所有可能值． 【答案】(1)①；②；③ (2) (3)或6 【分析】本题主要考查整式运算的知识，解题的关键是熟练掌握多项式乘以多项式的性质： （1）根据多项式乘以多项式的计算法则求解即可； （2）根据多项式乘以多项式的计算法则求解即可； （3）根据（2）可得，结合都是整数，通过计算即可得到答案． 【详解】（1）解：①； ②； ③； 故答案为：①；②；③； （2）解： ， 故答案为：； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵都是整数，， ∴或或或， ∴或或或， 综上，的值为或6． 23．如图，城建部门计划在长为米、宽为米的长方形草坪内修建两条互相垂直，且宽均为b米的硬化通道． (1)求剩余草坪的面积；（用含a，b的式子表示） (2)若，，求剩余草坪的面积的具体值． 【答案】(1)平方米 (2)剩余草坪的面积是19800平方米 【分析】本题考查多项式乘以多项式运算的实际应用， （1）将两条路平移后，可以用代数式表示出剩余草坪的面积； （2）将，代入（1）中的结果，即可解答本题． 【详解】（1）解：由题意可得， ∴剩余草坪的面积为平方米； （2）解：若，， ∴剩余草坪的面积是19800平方米． 学科网（北京）股份有限公司 $$