专题2 分数混合运算（解决问题讲义）数学北师大版六年级上册

第二单元 分数混合运算 1. “连续求一个数的几分之几是多少”的应用题： ----根据分数乘法的意义，用这个数连续乘几分之几； ---- 这个数×几分之几×几分之几 2. “已知一个数比另一个数多(或少)几分之几，求这个数”的应用题： ----（1）依据分数乘法的意义，可以先求出多（或少）的部分，再加上这个数； 这个数= 另一个数+另一个数×几分之几 或这个数=另一个数-另一个数×几分之几 ----（2）或也可以先求出这个数占单位“1”的几分之几（即分率），再根据分数乘法的意义，求出这个数。 这个数=另一个数×（1+几分之几） 或这个数=另一个数×（1-几分之几） 3. “已知总量及一部分量占总量的几分之几，求另一部分量”的应用题： ----（1）总量-总量×已知部分量占总量的分率=另一部分量; ----（2）或总量×(1-已知部分量占总量的分率)=另一部分量； ----先找准题中的单位“1”，再根据已知或未知的量确定计算方法。 4. “已知比一个数多(或少)几分之几的数是多少，求这个数”的应用题： ----（1）先求比这个数多(或少)的数占这个数(即单位“1”)的几分之几，再根据分数乘法的意义列方程解答: ----（2）或先求出比这个数(即单位“1”)多(或少)的几分之几是多少，再根据加减关系列方程解答。 ----（3）或用算式方法解答（量率对应）： 已知量÷（1±几分之几）=单位“1”的量。 5. “已知一部分量占总量的几分之几及另一部分量，求总量”的应用题： ----（1）把总量看作单位“1”，可以根据“总量×(1-已知部分量占总量的分率)=另一部分量”列方程解答; ----（2）或也可以根据“总量-总量×已知部分量占总量的分率=另一部分量”列方程解答。 ----（3）或算式方法解答（量率对应）： 总量=另一部分量÷（1-几分之几） 6.“和倍或差倍关系”的分数应用题： ----已知两个数的和（或差）及其中一个数是另一个数的几分之几，求这两个数； ----（1）根据“另一个数±另一个数×几分之几=和（或差）”列方程解答。 ----（2）先求出单位“1”的量=和（或差）÷（1±几分之几） ，再求出另一个数； 类型1 “连续求一个数的几分之几是多少”的应用题 典型例题1： 某超市运进一批水果，总质量是 400 千克，其中苹果的质量占这批水果的，梨的质量是苹果的。超市运进梨的质量是多少千克？ 思路分析： 梨的质量和 的质量有关系，要求梨的质量必须要先求 的质量；苹果的质量除了与梨的质量有直接关系，还和 的质量有直接关系。根据乘法的意义，求一个的几分之几用 法计算，得到两个数量关系： ×=苹果的质量， ×=梨的质量。综合列式为 ××= （千克）。 还可以先求出梨的质量是这批水果质量的几分之几，列式为 × = ，再求梨的质量；这批水果质量× =梨的质量，列出乘法算式计算即可。综合列式为 ×（×= （千克）。 答题区： 变式训练： 1.希望小学合唱组有120人，美术组的人数是合唱组的，科技组的人数是美术组的。 （1）画图表示科技组与美术组、合唱组之间的人数关系。 （2）算一算科技组有多少人？ 2.一本书共有120页,明明第一天读了全书的，第二天看的页数是第一天，第三天应从第几页读起。 类型2 “已知一个数比另一个数多(或少)几分之几，求这个数”的应用题： 典型例题2： 某儿童乐因七月的票房收入比六月的票房收入多，已知六月的票房收入为9万元，七月的票房收入是多少万元？ 思路分析： 方法一：多，是指 月增加的票房收入是 月的。所以要求七月的票房收入，可以先求出 月增加的票房收入，再加上 月的票房收入。所以七月的票房收入=六月的票房收入+六月的票房收入×，列式为9+ × =（元）。 方法二：七月的票房收入比六月的票房收入多，把 月的票房收入为单位“1”，则七月的票房收入是六月票房收入的（1+ ）。所以七月的票房收入=六月的票房收入×（1+），列式为 ×（1+ ）= （元）。 答题区： 变式训练： 1.暑假期间，某游乐园第一天的门票收入为1200元，第二天比第一天增加了。 （1）画图表示第二天的门票收入。 （2）算一算第二天的门票收入是多少元。 2.一本书共有120页,明明第一天读了全书的，第二天比第一天多读了，第三天应从第几页读起。 类型3 “已知总量及一部分量占总量的几分之几，求另一部分量”的应用题： 典型例题3： 明明看一本120页的故事书,已经看了全书总页数的,还剩多少页没看? 思路分析： 方法一：剩下的页数，可以先求出 的页数，再用这本书的页数-看了的页数=剩下的页数；看了的页数为 × = （页），则剩下的页数为120- = （页）。 方法二：也可以先求出剩下的页数占 的几分之几，再用这本书总页数×几分之几=剩下的页数；剩下了这本书总页数的（1- ），剩下的页数为 ×（1- ）= （页） 答题区： 变式训练： 1.六(1)班42名同学中的参加了兴趣小组,还有多少名同学没有参加兴趣小组？ 2.某果园有果树120棵，其中梨树占，苹果树占，其余是桃树。 （1）梨树比苹果树多多少棵？ （2）如果明年把总棵数增加，将是多少棵？ 3.两根铁棒，插入容器中的长度都是米。第一根露出外面的部分是全长的，第二根的长度正好是第一根的。这两根铁棒各长多少米？ 类型4 “已知比一个数多(或少)几分之几的数是多少，求这个数”的应用题： 典型例题4： 某学校图书馆在世界读书日期间新进了--批图书，其中文学类图书有1200本，比新进的科技类图书少，该学校图书馆新进的科技类图书有多少本？ 思路分析： 文学类图书有1200本，比新进的科技类图书少，， 类图书本数多， 类图书本数少。根据题意得出两种数量关系：一是“科技类图书本数- 图书本数的=文学类类图书本数”；二是：也可以看作是“文学类图书本数是 类图书本数的（1-）”。根据上面两种等量关系可以列出两种方程解答。 也可以根据“量率对应”列出算式方法解答：“文学类图书本数÷文学类类图书的分率（1-）=科技书类图书本数”。即1200÷（ - ）= （本） 答题区： 变式训练： 学校轮滑社团有学生40人，参加轮滑社团的人数比烹饪社团的少，参加烹饪社团的学生 有多少人？ 类型5 “已知一部分量占总量的几分之几及另一部分量，求总量””的应用题： 典型例题5： 齐思在售货机购买了一瓶饮料，喝了后，还剩下200升。这瓶饮科原来有多少升？ 思路分析： 根据数量关系列出两种方程解答： 数量关系式是：“一瓶饮料总量-喝了的量=剩下的量”，即“一瓶饮料总量-这瓶饮料总量的=剩下的量”；或也可以“这瓶饮料的（1-）是200升”。 解：设这瓶饮科原来有x升。 x- =200，解得x= ； 或 （ - ）× = 200，解得x= 。 也可以列出算式方法解答： 算式： ÷（ - ）= （升） 答题区： 变式训练： 1.修路队修一条路，一月份修了全长的，二月份修了全长的，已知二月份比一月份多修 15千米。这条路全长多少千米? 类型6 “和倍或差倍关系”的分数应用题： 典型例题6： 六(1)班有学生50人，男生人数是女生人数的，女生有多少人，男生有多少人？ 思路分析： 本题已知六（1）班全班人数和男生人数与女生人数的倍数关系，求男生人数和女生人数，所以为“和倍关系分数应用题”。 可以找出数量关系式：“男生人数+女生人数=全班人数”，而男生人数= ×，所以“女生人数+ ×=全班人数”。也可以看作“全班人数相当于女生人数的（1+ ）” 。 解：设女生有x人。 列出方程为 + =50； 或（1+ ）x=50，解得x= 。男生人数为50-x=50- = （人） 还可以列出算式方法解答：50÷（1+ ）= （人）。 答题区： 变式训练： 甲数比乙数多36，且乙数是甲数的，求甲数和乙数。 A夯实基础 一、填空题 1. 一袋面粉,用去它的,还剩它的（ ），若这袋面粉中15kg,则还剩下（ ）kg。 2. 一个篮球的现价是60元,比原价便宜了,比原价便宜了（ ）元。 3. 山羊的只数比绵羊多,如果绵羊有20只,那么山羊有（ ）只；如果山羊有20只,那么绵羊有（ ）只。 二、选择题 1. 一个篮球的价格是 200 元，足球的价格是篮球的，排球的价格是足球的。排球的价格是多少元?列式是（ ） A.200×+200× B. 200×× C. 1×× D. 200× 2.六年级学生参加课后活动，其中参加合唱组的有60人， ，参加美术组的有多少人?如果列式为60÷（1-），那么横线上应该补充的条件是（ ）。 A.合唱组的人数比美术组多 B..美术组的人数比合喝组多 C.合唱组的人数比美术组少 D，美术组的人数比合唱组少 3.一条公路，一辆小汽车已经行了全长的后，超过中点 15 千米。如果设这条公路全长x千米，那么下面列式正确的是（ ）。 A. x-x=15 B.x=15 C. x-x=15 D. x+x=15 B培优拔高 1.一双运动鞋,降价后的售价为210元,这双运动鞋的原价为多少元？ 2. 一个厨师需要用一定量的面粉做面包，他用了面粉总量的，做了18个面包。如果他用面粉的做面包，他可以做多少个面包? 3. 乙数是48，甲数的与乙数的相等，甲数是多少？ C思维拓展 1. 六(5)班有学生45人，男生人数是女生人数的，男、女生各有多少人？ 2.一本书共有 150页,奇思第一天读了全书的，第二天读了余下的，第三天应从第几页读起。 3. 工厂原有职工 128 人，男职工人数占总数的，后来又调入男职工若干人，调入后男职工人数占总人数的，后来又来了男职工多少人？ 答案解析 类型1 答案解析 典型例题1： 思路分析：苹果质量 苹果质量 这批水果总质量 乘 这批水果总质量 苹果质量 400 100 答题区： 400××=100（千克） 答：超市运来梨的总量是100千克。 变式训练答案： 1.（1）画图如下： （2）120××=48（人） 答：科技组有48人。 2.第一天读的页数：120×=40（页） 第二天读的页数：40×=50（页） 一共读的页数：40+50=90（页） 第三天读的开始页数：90+1=91（页） 答：第三天应该从第91页读起。 类型2 答案解析 典型例题2： 思路分析：七 六 七 六 9 六 9 10.8 答题区： 9+9×=10.8（万元） 或9×（1+）=10.8（万元） 答：七月份的票房收入是10.8万元。 变式训练答案： 1、（1）作图如下： （2）1200+1200×=1500（元） 或1200×（1+）=1500（元） 答：第二天的门票是1500元。 2、120×+120×（1+）+1=40+160+=201（页） 答：第三天应该从201页考试读起。 类型3 答案解析 典型例题3： 思路分析：看了的 120 75 75 45 总页数 120 45 答题区： 120-120×=45（页） 或120×（1-）=45（页） 答：还剩下45页没看。 变式训练答案： 1. 42×（1-）=7（名）或42-42×=7（名） 答：还有7名同学木参加兴趣小组。 2.（1）120×（-）=20（棵）或120×-120×=20（棵） （2）120+120×=170（棵）或120×（1+）=170（棵） 答：梨树比苹果树多20棵，如果明年把总棵数增加，将是170棵。 3.第一根： ÷（1-）=（米） 第二根：×=（米） 类型4 答案解析 典型例题4： 思路分析：科技类 文学类 科技类 科技类 1 3000 答题区： 解：设科技类图书有x本。 x-x=1200 x=1200 X=3000 或（1-）x=1200 X=3000 或1200÷（1-）=3000（本） 答：该学校图书馆新进的科技类图书有3000本。 变式训练答案： 解：设参加轮滑社团的学生有x人。 x-x=40，解得x=64 或（1-）x=40，解得=64 或40÷（1-）=64（人） 答：参加烹饪社团的学生有64人。 类型5 答案解析 典型例题5： 思路分析：x 700 1 700 1 x 700 200 1 700 答题区： x-x=200，解得x=700 或（1） X=200，解得x=700 或200÷（1）=700（升） 答：这瓶饮科原来有700升。 变式训练答案： 解：设这条路全长为x千米。 x-x=15，解得x=180 或（-）x=15，解得x=180 或15÷（-）=180（千米） 答：这条路全长180千米。 类型6 答案解析 典型例题6： 思路分析：女生人数 女生人数 x x 30 30 20 20 答题区： 解：女生人数有x人，则男生有x人。 x+x=50，解得x=30；男生人数×30=20（人） 或（1+）x=50，解得x=30；男生人数50-30=20（人） 或50÷（1+）=30（人），男生人数50-30=20（人） 答：女生有30人，男生有20人。 变式训练答案： 解：设甲数是x，则乙数是x。 x-x =36，解得x=108，乙数为×108=72 或（1-）x=36，解得x=108，乙数为108-36=72 或甲数为72÷（1-）=108，乙数为108-36=72。 答：甲数是108，乙数是72。 A夯实基础 一、填空题 1.答案： 9 解析：1-=，15×（1-）=9（千克） 2.答案：24 解析：60÷（1-）-60=24（元） 3.答案：25 16 解析：20×（1+）=25（只） ，20÷（1+）=16（只） 二、选择题 1.答案：B 解析：先求足球再求排球个数，为连乘应用题 2.答案：C 解析：用“除法列式”，求的是单位“1”的量，（1-）表示合唱组的人数比美术组少。 3.答案：C 解析：超过中点 15 千米，表示已行的路程比一半路程长15千米。已行的路程占全程的，一半路程为全程的 ，即表示全程的比全程的长50千米。解：设全程为x千米，列方程为x-x=15。 B培优拔高 1.答案：300 解析：210÷（1-）=300（元） 2.答案：20个 解析：18÷×=20（个） 3.答案：36 解析：24×÷=36 C思维拓展 1.答案：27人，18人 解析：和倍应用题 解：设男生有x人，则男生有x人。 x+x=45,解得x=27,男生人数为45-27=18（人） 或女生人数：45÷（1+）=27（人） 男生人数：45-27=18（人） 2.答案：第71页 解析：找准单位“1”，奇思第一天读了全书的（以全书页数为单位“1”），第二天读了余下的（以第一天后余下的页数为单位“1”）。 第一天：150×=30（页） 第二天：（150-30）×=40（页） 第三天开始页数：30+40+1=71（页） 面积：3.14×82÷2=100.48（平方米） 3.答案： 32人 解析：（抓不变量：女职工人数为不变量） 女职工人数：128×（1-）=96（人） 现在总人数：96÷（1-）=160（人） 增加人数：160-128=32（人） 学科网（北京）股份有限公司 $$