专题08 三角形（河北专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题08 三角形 考点一、三角形的三边关系 1．（2022·河北·中考真题）平面内，将长分别为1，5，1，1，d的线段，顺次首尾相接组成凸五边形（如图），则d可能是（    ） A．1 B．2 C．7 D．8 【答案】C 【详解】解：如图，设这个凸五边形为，连接，并设， 在中，，即， 在中，，即， 所以，， 在中，， 所以， 观察四个选项可知，只有选项C符合， 故选：C． 考点二、三角形的角 2．（2021·河北·中考真题）定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 已知：如图，是的外角． 求证：． 下列说法正确的是（    ） A．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整 B．证法1用严谨的推理证明了该定理 C．证法2用特殊到一般法证明了该定理 D．证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理 【答案】B 【详解】解：A. 证法1给出的证明过程是完整正确的，不需要分情况讨论，故A不符合题意； B. 证法1给出的证明过程是完整正确的，不需要分情况讨论，故选项B符合题意； C. 证法2用量角器度量两个内角和外角，只能验证该定理的正确性，用特殊到一般法证明了该定理缺少理论证明过程，故选项C不符合题意； D. 证法2只要测量够一百个三角形进行验证，验证的正确性更高，就能证明该定理还需用理论证明，故选项D不符合题意． 故选择： 3．（2021·河北·中考真题）下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应 （填“增加”或“减少”） 度． 【答案】 减少 10 【详解】解：∵∠A+∠B=50°+60°=110°， ∴∠ACB=180°-110°=70°， ∴∠DCE=70°， 如图，连接CF并延长， ∴∠DFM=∠D+∠DCF=20°+∠DCF， ∠EFM=∠E+∠ECF=30°+∠ECF， ∴∠EFD=∠DFM+∠EFM=20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°， 要使∠EFD=110°，则∠EFD减少了10°， 若只调整∠D的大小， 由∠EFD=∠DFM+∠EFM=∠D+∠DCF+∠E+∠ECF=∠D+∠E+∠ECD=∠D+30°+70°=∠ D+100°， 因此应将∠D减少10度； 故答案为：①减少；②10． 考点三、三角形的三边关系 4．（2024·河北·中考真题）观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（    ） A．角平分线 B．高线 C．中位线 D．中线 【答案】B 【详解】解：由作图可得：， ∴线段一定是的高线； 故选B 5．（2022·河北·中考真题）如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕l，则l是△ABC的（    ） A．中线 B．中位线 C．高线 D．角平分线 【答案】D 【分析】根据折叠的性质可得，作出选择即可． 【详解】解：如图， ∵由折叠的性质可知， ∴AD是的角平分线， 故选：D． 【点睛】本题考查折叠的性质和角平分线的定义，理解角平分线的定义是解答本题的关键． 考点四、全等三角形的性质和判定 6．（2023·河北·中考真题）在和中，．已知，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】解：过A作于点D，过作于点， ∵， ∴， 当在点D的两侧，在点的两侧时，如图，    ∵，， ∴， ∴； 当在点D的两侧，在点的同侧时，如图，    ∵，， ∴， ∴，即； 综上，的值为或． 故选：C． 7．（2025·河北·中考真题）如图．四边形的对角线，相交于点，，，点在上，． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 又∵，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴，即. 考点五、等腰三角形的性质和判断 8．（2023·河北·中考真题）四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，对角线的长为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解：在中，， ∴，即， 当时，为等腰三角形，但不合题意，舍去； 若时，为等腰三角形， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形三边关系以及等腰三角形的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 9．（2022·河北·中考真题）题目：“如图，∠B＝45°，BC＝2，在射线BM上取一点A，设AC＝d，若对于d的一个数值，只能作出唯一一个△ABC，求d的取值范围．”对于其答案，甲答：，乙答：d＝1.6，丙答：，则正确的是（    ） A．只有甲答的对 B．甲、丙答案合在一起才完整 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 【答案】B 【详解】过点C作于，在上取 ∵∠B＝45°，BC＝2， ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴ 若对于d的一个数值，只能作出唯一一个△ABC 通过观察得知： 点A在点时，只能作出唯一一个△ABC（点A在对称轴上），此时，即丙的答案； 点A在射线上时，只能作出唯一一个△ABC（关于对称的AC不存在），此时，即甲的答案， 点A在线段（不包括点和点）上时，有两个△ABC（二者的AC边关于对称）； 故选：B 专练一、三角形的三边关系 10．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，小明将一根吸管折叠后，伸入一个空玻璃瓶中，使吸管一端顶住瓶壁，再轻轻一提，瓶子就被提起来了．这其中用到的数学原理是（      ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．垂线段最短 D．三角形具有稳定性 【答案】D 【详解】解：吸管一端顶住瓶壁，可以构造一个三角形， ∴这其中用到的数学原理是三角形具有稳定性． 故选：D． 11．（2025·河北唐山·三模）嘉嘉同学用三角板作的边上的高，下列三角板摆放位置正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 解：三角板摆放位置正确， 故选：D． 12．（2025·河北廊坊·二模）如图，平面上点C为线段外一点，，连接，．线段的长可能是（    ） A．7 B．9 C．10 D．11 【答案】D 【详解】解：根据三角形三边关系可知：， 故线段的长可能是11， 故选：D 13．（2025·河北邯郸·二模）如图，将折叠，使点A、B重合，折痕为．连接 甲：能够比较与的大小 乙：能够比较与的长短 下列判断正确的是（   ） A．甲、乙的说法都正确 B．甲、乙的说法都不正确 C．甲的说法正确，乙的说法不正确 D．甲的说法不正确，乙的说法正确 【答案】A 【详解】解：根据折叠可得， ， 根据折叠可得， ， 在中，，即， ∴甲、乙的说法都正确， 故选：A． 14．（2025·河北邯郸·二模）如图，有甲、乙两根小棒，现用剪刀把其中一根小棒剪开，若得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形，则剪开的小棒是(   ) A．甲 B．乙 C．甲或乙 D．甲或乙均不可以 【答案】B 【详解】解：假设剪开乙小棒，设乙小棒长度为，剪成两段长度分别为、，甲小棒长度为． ∵乙小棒的长度大于甲小棒，即 ∴ ∴剪开乙小棒得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形； 假设剪开甲小棒， ∵乙小棒的长度大于甲小棒， ∴同理可得，甲小棒减成的两根小棒的和小于乙小棒，故围不成三角形，不符合题意． 综上所述，剪开的小棒是乙． 故选：B． 15．（2025·河北唐山·二模）三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，它们的长度如图所示．若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是（   ） A．2 B．3 C．4或5 D．6 【答案】C 【详解】解：有图可知，一根小棒的长度为，一根小棒的长度为， 设第三根小棒的长度是，若三根小棒可以围成三角形， 则由三角形三边关系可知， 即， 再由图中挡板高度为，则， 结合四个选项可知，第三根小棒的长度可以是4或5， 故选：C． 16．（2025·河北邯郸·一模）如图1，细铁丝围成的正方形边长为2，现在将该细铁丝围成，如图2，则的长可能是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】解：∵正方形边长为2， ∴正方形的周长为8， ∴的周长也是8， ∵， ∴， ∴即， 故的长可能是3， 故选：A． 17．（2025·河北邢台·二模）用直尺和圆规作的中线，作图正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、由图可知：是的中线，故符合题意； B、由图可知：不是的中线，故不符合题意； C、由图可知：不是的中线，故不符合题意； D、由图可知：不是的中线，故不符合题意； 故选A． 18．（2025·河北邢台·一模）如图，根据尺规作图的痕迹，可以判断是的（　　） A．角平分线 B．高线 C．中位线 D．中线 【答案】D 【详解】解：由作图的痕迹可知：点D是线段的中点， ∴线段是的中线． 故选：D． 19．（2025·河北邯郸·二模）有三根长度分别为的木棒，已知为整数，若这三根木棒能围成三角形，则的值为 ． 【答案】2 【详解】解：由三角形的三边关系可知，，即． ∵， ∴， ，且， ∴， ∴， 为整数， 的值为2， 故答案为：2． 专练二、三角形的内角和外角 20．（2025·河北邯郸·三模）如图，从处观察，两处的视角，从处观察处的仰角为，点，在同一水平线上，则从处观察处的仰角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，延长至点， 是的外角， ， ∵，， ， 即从处观察处的仰角为， 故选：． 21．（2025·河北邢台·三模）为了验证如图所示的四边形中与所在直线的夹角是否为，如下方案， 方案一：测量出和的度数； 方案二：测量出和的度数． 下列判断正确的是（    ） A．方案一正确、方案二正确 B．方案一不正确、方案二正确 C．方案一正确、方案二不正确 D．方案一不正确、方案二不正确 【答案】A 【详解】解：如图，延长交于点，则与所在直线的夹角为， 方案一：测量出和的度数，则与所在直线的夹角，故方案一正确； 方案二：测量出和的度数，可得，则与所在直线的夹角，故方案二正确； 故选：A． 22．（2025·河北·模拟预测）如图，把等边纸片沿折叠，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由折叠可知， 又， 是等边三角形， ， ． 故选：B． 23．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，，直线l与，都相交（不经过点O），随着直线l位置的改变，则的度数之和（    ） A．始终等于 B．始终等于 C．始终等于 D．随着直线l位置的改变而改变 【答案】C 【详解】解：∵，直线l与，都相交（不经过点O）， ∴的度数之和， 故选：C 24．（2025·河北唐山·二模）如图是手机支架的侧面示意图，若调整支撑杆的角度，使得，，则直线与所夹锐角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴直线与所夹锐角的大小， 故选：D． 25．（2025·河北保定·二模）如图，在中，，为边上的高，，将沿直线折叠得到，则（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵为边上的高， ∴， 在中，， 在中，， 由折叠的性质可得，， ∴三点共线， ∴， 故选：C． 26．（2025·河北唐山·二模）直线a，b，c按照如图所示的方式摆放，与相交于，将直线绕点按照逆时针方向旋转后，，则的值为（   ） A．60 B．40 C．30 D．20 【答案】C 【详解】解：根据三角形外角的性质可得， 已知将直线绕点按照逆时针方向旋转 ()后，， 故. 故选：C． 27．（24-25九年级下·河北邯郸·开学考试）如图，（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据三角形内角和可知，， 故选：B． 28．（2025·河北保定·一模）如图，在中，，，点，分别在，上将沿折叠得到，当时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如下图所示， 在中，，， ， 根据折叠的性质可得：， ， ， ， 根据折叠的性质可得：， ． 故选：C． 专练三、全等三角形的性质与判定 29．（2025·河北沧州·模拟预测）下图是三个叠在一起的三角形（三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ），部分图形被遮盖，要作出与图中三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ完全相同的三角形，下列说法正确的是（   ） A．只有Ⅰ可以 B．只有Ⅰ、Ⅱ可以 C．作出三角形Ⅱ的依据是 D．作出三角形Ⅲ的依据是 【答案】B 【详解】解：Ⅰ可以根据“”来作出完全相同的三角形，Ⅱ可以根据“”来作出完全相同的三角形． 故选：B． 30．（2025·河北邯郸·二模）如图，在三角形纸片中，，将折叠，使得边落在射线上，折痕为，将纸片展开．再将折叠，使得边落在射线上，折痕为，点的对应点为．若以点为圆心，长为半径画弧，交于点，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如解图，连接，由题意，分别为，的平分线， ， ， ， ， ， 选项A正确，不符合题意； ， ， ， ， ∴， ， ， ， 选项B正确，不符合题意， ， ， ， ∴点与点重合，即， D选项正确，不符合题意． 无法判断与长度关系，故C选项错误． 31．（2025·河北石家庄·一模）如图，四边形，已知，且点在外部，则之间的距离可能是（   ） A．4 B． C．9 D．11 【答案】C 【详解】解：如图所示，连接，交于点O 在中，， ∴，即， 在中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， 在中，， 点在外部，即， ∴， 故选：C ． 32．（2025·河北张家口·二模）为测量校园内的旗杆的高度，嘉嘉设计的方案是：如图，在距旗杆底端水平距离为的处，使用测角仪测得，由于75°角不方便计算，淇淇提出了一种解决问题的方案：在的延长线上取一点，将一根木棒竖直立在地面上的点处，，此时测得，故淇淇得出结论，进而推得，则下列选项中淇淇证明全等用到的依据可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴淇淇证明全等用到的依据可能是， 故选：B 33．（2025·河北唐山·一模）如图，在中，，根据尺规作图痕迹，以下结论不一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵根据尺规作图的痕迹，是的角平分线，， ∵， ∴， ∴， ∵是直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 无法证明， 故选：A． 34．（2025·河北邯郸·一模）有一张三角形纸片，已知，按如下两种方案用剪刀沿着箭头方向剪开，若方案中两个阴影部分的三角形一定全等打“√”，若不一定全等打“×”．则下列关于两种方案中两个阴影部分三角形全等情况的判断正确的是（   ）    A．方案一：√、方案二：√ B．方案一：×、方案二：× C．方案一：×、方案二：√ D．方案一：√、方案二：× 【答案】D 【详解】解：方案一：如图1所示，   ，，， ， 是对应边，由判定两个小三角形全等， 故方案一：√； 方案二：如图2所示，   ，，， ，所以其对应边应该是和， 而已知给的是，所以不能判定两个小三角形一定全等， 故方案二：×； 综上所述，方案一：√、方案二：×． 故选：D． 35．（2025·河北邢台·二模）如图，在中，，，在外的中，，，连接，转动使的延长线与线段相交于点M，点M为中点，连接，下列几人的结论： 甲同学说：为直角三角形且； 乙同学说：的长是的长的2倍； 丙同学说：与的面积相等． 其中正确的是（   ） A．甲的说法正确 B．乙的说法正确 C．丙的说法正确 D．三人的说法都正确 【答案】D 【详解】解：延长，过点A作于点F，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴， ∵点M为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴为直角三角形且，故甲说法正确； ∵，， ∴，故乙说法正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故丙说法正确； 综上分析可知：三个人的说法都正确． 故选：D． 36．（2025·河北沧州·模拟预测）【发现】如图1，线段，，相交于点，为的中点．求证： ； 【应用】如图2，有一块不规则的土地，，点，分别在和上，以为分割线，把土地分给了甲、乙二人，现经甲、乙二人协商，想把分割线变为最短，且保证甲、乙二人的土地面积不变，请给出你的方案，并证明方案的正确性． 【答案】[发现]见解析；[应用]见解析 【详解】[发现] 证明：∵为中点， ∴， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴． [应用] 解：如图，取的中点，过点作于点，延长交于点， 线段为新的分割线， 证明：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴根据两条平行线间垂线段最短，此时分割线为最短， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴甲分割出去的土地的面积等于补还给甲的土地的面积，甲和乙的土地面积没有发生改变． 37．（2025·河北邯郸·三模）如图1，在中，，，D是上的一点，且，连接，． (1)试判断与的位置关系和数量关系，并说明理由； (2)如图2，若将绕点E旋转一定的角度后，仍然有，，试判断与的位置关系和数量关系是否发生变化； (3)如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，且与交于点F，其他条件不变． ①请直接写出与的数量关系； ②你能求出与所成的较小的角的度数吗？如果能，请直接写出该角的度数；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)，，理由见解析 (2)没有发生变化 (3)①，②能， 【详解】（1）解：，． 理由：延长交于点F，如图 在和中， ． ，． ， ． ， ． ， ． （2）由题意得， ． ． 在和中， ． ，． ， ． ， ． ， ． 与的位置关系和数量关系没有发生变化． （3）①，理由见②． ②能，与所成的较小的角的度数为． 和是等边三角形， ，，，． ． ． 在和中， ． ． ． 即与所成的较小的角的度数为． 专练四、角平分线和线段垂直平分线的性质与判定 38．（2025·河北保定·一模）下面是定理：“角平分线上的点到角两边的距离相等”的证明过程，需要补充符号处要填写的内容，则下列答案错误的是（   ） 已知：如图，是的平分线，点在上，，垂足分别为、． 求证：． 证明：∵是的平分线， ∴（①） ∵， ∴， ∵ ∴（③）， ∴（④） A．①处应填写“角平分线的定义” B．②处应填写“” C．③处应填写“ASA” D．④处应填写“全等三角形对应边相等” 【答案】C 【详解】证明：∵是的平分线， ∴（角平分线的定义） ∵， ∴， ∵ ∴， ∴（全等三角形对应边相等） 原证明过程中③处填写错误， 故选：C． 39．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，，以点O为圆心，以任意长为半径作弧交于C，D两点；分别以C，D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；以O为端点作射线，在射线上截取线段，则M点到的距离为（  ） A．4 B．3 C．2 D． 【答案】B 【详解】解：如图，过点作于点， 由题意可得：是的角平分线， ∴， ， 故选：B． 40．（2025·河北邯郸·二模）如图，在中，．观察图中的尺规作图痕迹，可知的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由尺规作图知，直线是的垂直平分线， ∴， ∴． ∵， ． 故选：B 41．（2025·河北邯郸·二模）如图，在中，，一定不可能经过点的是（    ） A．边的中线 B．边的垂线 C．边的平行线 D．边的垂直平分线 【答案】D 【详解】解：， 边的垂直平分线一定不经过点， 故选：D． 42．（2025·河北唐山·三模）如图，在中，，，平分交于点，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线，交于点，则的长为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】解：连接， 由作图得：垂直平分， ， ， ， 平分， ， ， ， 设， ， ， ， 解得：， 故的长为， 故选：C． 43．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，把折叠，使点与点重合，展开后得到折痕与交于点，交于点，连接，则下列结论正确的是（　　） A．平分 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题中折叠可知，为线段的垂直平分线， ，故C正确，符合题意， 其余选项均不能证明，不符合题意， 故选：C． 44．（2025·河北·模拟预测）下面是根据如图所示的作图写出的两个推理过程： 推理一： ∵是的垂直平分线， ∴，， ∴点F是的平分线与的交点， ∴， ∴， ∴， ∴． 推理二： ∵是的垂直平分线， ∴． ∵平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 下列是对上面两个推理的正确性进行的判断，判断正确的是（    ） A．推理一正确 B．推理二正确 C．两个推理过程都正确 D．两个推理过程都错误 【答案】D 【详解】解：推理一的第二、三行过程中，由和不能推出点F是的平分线与的交点，故过程出现错误； 推理二的第三、四行过程中，由平分不能推出，故过程出现错误； 综上所述，两个推理过程都错误． 故选：D． 45．（2025·河北·模拟预测）如图，在中，小明按以下叙述作图： ①分别以A，B为圆心，大于的长为半径画弧，相交于P，Q两点． ②连接，则即为所求． 小明完成的是哪一个问题（   ） A．的平分线 B．的垂直平分线 C．边上的中线 D．边上的高 【答案】B 【详解】解：如图所示，小明完成的是的垂直平分线， 故选：B． 46．（2025·河北石家庄·三模）如图，在中，按下列步骤利用尺规作图： ①以C为圆心，适当长度为半径画弧，分别与交于H，G； ②分别以H，G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点K，作射线； ③分别以B，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于M，N两点； ④作直线，分别交于点D，E； ⑤连接． 则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由作图可知，是的垂直平分线，由作图可知，是的平分线， ∴，，故A正确； ∴，故B正确； 由作图可知，是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，故D正确； 无法说明，故C错误． 故选C． 47．（2025·河北张家口·二模）如图，在中，，，． (1)尺规作图：作的平分线交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：尺规作图如图所示． （2）解：过点作于点． 在中，，，， 由勾股定理得． ， ， ∴， ∴， ∴． 在中，， 即， 解得． 专练五、等腰三角形的性质与判定 48．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，在中，D，E分别是边，的中点．将沿折叠，使点A落在平面上的处．下列不一定正确的是（   ） A． B． C． D．是等腰三角形 【答案】A 【详解】解：选项A：如图，当时，∵D是边的中点， ∴，故符合题意， 选项B：由题意得，点A、关于对称， ∴垂直平分， ∴，故不符合题意； 选项C：∵D，E分别是边，的中点， ∴是的中位线， ∴，故不符合题意； 选项D：∵D，E分别是边，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴，， 由折叠的性质得，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，故不符合题意； 故选：A． 49．（2025·河北邯郸·三模）如图，，点为线段上一点．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， ，，， ． 又， ， 故选：C． 50．（2025·河北邯郸·二模）如图，一艘渔船由南向北航行，上午8时，发现灯塔在渔船的北偏西方向，上午10时，却发现灯塔在渔船的南偏西方向．已知渔船的速度是28海里/小时，渔船上午8时和10时的位置分别用点表示，则的距离为（    ）    A．28海里 B．42海里 C．56海里 D．70海里 【答案】C 【详解】解：由题意可得：， ， ， （海里）． 故选C． 51．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，等腰直角三角形中，，将绕点B顺时针旋转（），得到，连接，点H在射线上，则的度数（    ） A．随着的增大而增大 B．随着的增大而减小 C．不变 D．随着的增大，先增大后减小 【答案】C 【详解】解：过点A作于点M，如图 ∵将绕点B顺时针旋转θ（），得到， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ 即的度数是定值， 故选C． 52．（2025·河北·一模）如图，在中，，，点D在边上，点O为的内心，当为钝角三角形时，，则和的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】解：在中，，， ， ∵为的内心， ， ， ∵点在线段上（不与重合）， ， ， ， ∵为钝角三角形，，， ， ， ， ， 综上，， ∴，． 故选：C． 53．（2025·河北邯郸·三模）已知的三条边的长度依次为a，b，c，且满足，则一定是 三角形． 【详解】解：∵ ∴， ∴①， 又∵a，b，c是的三边， ∴， ∴①式中只能，即， ∴一定是等腰三角形． 故答案为：等腰． 54．（2025·河北邯郸·二模）如图，在等腰三角形中，，，D是边上靠近点C的三等分点，且满足，点是点B关于直线的对称点，则线段的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接． 点是点关于直线的对称点， ． ， 点在上，即点三点共线， ． 又， ， ，． ， ，即． ，是边上靠近点的三等分点， ， ， ． 故答案为：． 55．（2025·河北石家庄·模拟预测）将一副三角尺按图所示方式摆放，它们共用顶点，，分别交于点，．若，，，，则的度数是 ． 【答案】/75度 【详解】解：，，， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 56．（2025·河北唐山·二模）如图，直线经过线段的中点，，为射线上的一动点，为射线上的一动点，，连接. (1)求证：. (2)若，当时，求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵为的中点， ∴， 在和中， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴为等边三角形 ∴， ∴. 专练六、等边三角形的性质与判定 57．（2025·河北石家庄·二模）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，下列结论错误的是（   ） A． B． C．，两点之间的距离为 D．，，三点共线 【答案】B 【详解】解：、由旋转性质可知，，原选项正确，不符合题意； 、由旋转性质可知，， ∵， ∴， 由于题中没有说明， ∴不能说明，原选项错误，符合题意； 、连接， 由旋转性质可知，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴，两点之间的距离为，原选项正确，不符合题意； 、由旋转性质可知，， ∵， ∴， ∴，，三点共线，原选项正确，不符合题意； 故选：． 58．（2025·河北秦皇岛·一模）一副三角板如图所示摆放，，以A为旋转中心，逆时针旋转三角板，当点E再次落到边上时，点D走过的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意，得：，， ∴， ∴， ∵旋转， ∴， ∴为等边三角形， ∴，即：旋转角为， ∴， ∴点D走过的长度为为； 故选A． 59．（2025·河北·一模）如图，等边的边长为4，点P在边所在直线的下方（且在的内部），，，，的面积分别记为，，，．若，则线段的长的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：如图， ，， ， 设中边上的高为，中边上的高为， 则，， ， ， 是等边三角形， ，， 点在平行于，且到的距离等于的线段上， 当点在的垂直平分线上时，取得最小值， 的最小值为， 故答案为：． 60．（2025·河北邯郸·一模）【问题提出】 （1）如图①，、均为等边三角形，点D、E分别在边、上．将绕点A沿顺时针方向旋转，连结、．在图②中证明． 【学以致用】 （2）在（1）的条件下，当点D、E、C在同一条直线上时，求的大小． 【拓展延伸】 （3）在（1）的条件下，连结．若，，直接写出的面积S的最大值和最小值． 【答案】（1）见解析；（2）或；（3）最大值为，最小值为 【详解】（1）证明：∵、均为等边三角形， ∴，， ∵将绕点A沿顺时针方向旋转， ∴， ∴； （2）解：分以下两种情况： 如图③， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图④， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上，的大小为或； （3）解：过A作于H， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 如图⑤， 当与在同一条直线上，且点D在的外部时，的面积最大， ， 如图⑥， 当与在同一条直线上，且点D在的内部时，的面积最小， ， 综上所述，的面积S的最大值为，最小值为． 61．（2025·河北邯郸·一模）【问题提出】 （1）如图，和都是等边三角形，点在内部，连接，，． 求证：； 若，求证：； 【问题探究】 （2）如图．和都是等边三角形，点在外部，若仍然成立，求的度数． 【答案】（）见解析；见解析；（）． 【详解】解：（）证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴； ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由知， ∴； （）解：和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 62．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）已知等边中，点为射线上一点，作，交直线于点． (1)如图1，当点在线段上时，线段、、之间的数量关系是______； (2)如图2，当点在的延长线上时，（1）中的、、数量关系是否成立，若成立，说明理由，若不成立，求出、、之间的数量关系； (3)如图3，在（2）的条件下，的平分线交于点，过点A作于，当时，求的长． 【答案】(1) (2)不成立， (3) 【详解】（1）解：∵为等边三角形， ∴， 过点D作，交于点M，如图所示， 则，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：不成立． 过作交的延长线于N，如图所示， 则， ∴，是等边三角形， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接，如图， ∵， ∴， ∴， 平分， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 专练七、勾股定理及其逆定理的应用 63．（2025·河北石家庄·三模）如图，点A，B，C，D均在正方形网格的格点上，则比线段短的是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】A 【详解】解：由题意得，， ， ∵， ∴， ∴比线段短的是线段， 故选；A． 64．（2025·河北邯郸·二模）如图，在矩形中，是边上的点，将矩形沿所在的直线折叠，得到点的对应点，点的对应点．若点在边的延长线上，则的长为（    ） A． B．3 C．4 D． 【答案】C 【详解】解：四边形是矩形， ． 设，则． 由折叠的性质，得 ，点在边的延长线上， ． 在中， ， 解得 的长为4． 故选：C． 65．（2025·河北唐山·二模）如图，等边三角形，D为边上的动点，将线段绕点D逆时针旋转，得到线段，连接，，则周长的最小值是（   ） A． B． C．14 D．12 【答案】D 【详解】解：连接，延长到点G， ∵为等边三角形，， ∴， ∵线段绕点D逆时针旋转，得到线段， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， 故点E在定直线上运动， 过点A作于点N，交于点M， ∵， ∴ ∴， 故点A与点M关于直线对称， ∵周长为， 故当取得最小值时，的周长才有最小值， 故点E与点N重合时，取得最小值，且， 故周长最小值为， 故选：D． 66．（2025·河北保定·三模）如图，在菱形中，，，是上一点，，是边上一动点，将四边形沿直线折叠，的对应点．当的长度最小时，则的长为（    ）    A．7 B．6 C．5 D．6.5 【答案】A 【详解】解：∵菱形中，，， ∴， ∴点在以P为圆心以为半径的弧上，故此当C，P，在一条直线上时，有最小值， 如图所示：过点C作，垂足为H， 在中，，， 则，． ∵， ∴， 在中，依据勾股定理可知：， ∴由翻折的性质可知：． ∵， ∴． ∴． ∴． 故选：A． 67．（2025·河北沧州·模拟预测）勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是将图1放入矩形内得到的，，点D，E，F，G，H，I都在矩形的边上，则空白部分的面积为 【答案】60 【详解】解：如图，延长交于点，延长交于点， 则， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 同理可证， ， ∵， ∴， ，， 长方形的面积为， ∴空白部分的面积为：， 故答案为：． 68．（2025·河北唐山·二模）如图1，有三个边长为2的正方形并排放置在直线l上． （1）如图2，若中间的正方形绕其中点O旋转，则点O到直线l的距离为 ； （2）将（1）中旋转后的正方形向上平移至图3的位置，使两侧正方形的顶点分别落在，边上，则点A到直线l的距离为 ． 【答案】 / 【详解】解：（1）如图，连接， 根据题意得，点在上， ∵正方形中，，， ∴， ∴， ∴点O到直线l的距离为， 故答案为：； （2）如图，连接并延长交直线于点H，连接交于点G， 同理得：共线，且， ∴， ∵， ∴， ∴， 由题意得， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴点A到直线l的距离为， 故答案为：． 69．（2025·河北唐山·二模）三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图放置，点C在的延长线上，点B在上，，，，，． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：在中，，，， ， ． ； （2）解：过点作于点， ∵， ， ，， 在中，，， ， ， ． 70．（2025·河北保定·模拟预测）观察下列等式： 第1个等式 第2个等式 第 3个等式 第 4个等式 …… …… （1）补充上述表格． 发现： （2）请用含n(n为正整数，且n>1)的等式表示上述规律： ； 应用： （3）若三个整数能构成直角三角形的三条边长，则称这三个数为勾股数(例如：3，4，5)．现有一个直角边为14的直角三角形，它的三边长为勾股数，请求这个直角三角形的面积． 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】解：（1）补充上述表格，， 故答案为：； （2）用含（ 为正整数，且 ）的等式表示上述规律：， 故答案为：； （3）由（2）中规律， 则存在以、为直角边，为斜边的直角三角形， 当有一个直角边为14的直角三角形时，它的三边长为勾股数，可得，解得， 直角三角形的另一个直角边是， 则这个直角三角形的面积为． 71．（2025·河北唐山·三模）如图，在中，，．将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作，垂足为． (1)如图，线段、、之间有什么数量关系，并加以证明； (2)如图，的平分线与的延长线相交于点，连接，的延长线与的延长线相交于点，猜想与的数量关系，并加以证明； (3)如图，在（）的条件下，将沿折叠，在变化过程中，当点落在点的位置时，连接． 比较与的大小关系，并说明理由； 若，直接写出的面积． 【答案】(1)，证明见解析； (2)，证明见解析； (3)，理由见解析；． 【详解】（1）证明：如图， 由题意得，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； （2）猜想：， 证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：， 由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解：过点作交于点，连接， ∵， ∴， 设，， ∴， 由翻折得， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 整理得， 解得或（舍去，此时）， 在中，由勾股定理得，解得， ∴， ∵，是的中点， ∴点为的中点， ∴， ∴． 试卷第2页，共74页 2 / 63 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 三角形 考点一、三角形的三边关系 1．（2022·河北·中考真题）平面内，将长分别为1，5，1，1，d的线段，顺次首尾相接组成凸五边形（如图），则d可能是（    ） A．1 B．2 C．7 D．8 考点二、三角形的角 2．（2021·河北·中考真题）定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 已知：如图，是的外角． 求证：． 下列说法正确的是（    ） A．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整 B．证法1用严谨的推理证明了该定理 C．证法2用特殊到一般法证明了该定理 D．证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理 3．（2021·河北·中考真题）下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应 （填“增加”或“减少”） 度． 考点三、三角形的三边关系 4．（2024·河北·中考真题）观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（    ） A．角平分线 B．高线 C．中位线 D．中线 5．（2022·河北·中考真题）如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕l，则l是△ABC的（    ） A．中线 B．中位线 C．高线 D．角平分线 考点四、全等三角形的性质和判定 6．（2023·河北·中考真题）在和中，．已知，则（    ） A． B． C．或 D．或 7．（2025·河北·中考真题）如图．四边形的对角线，相交于点，，，点在上，． (1)求证：； (2)若，求证：． 考点五、等腰三角形的性质和判断 8．（2023·河北·中考真题）四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，对角线的长为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 9．（2022·河北·中考真题）题目：“如图，∠B＝45°，BC＝2，在射线BM上取一点A，设AC＝d，若对于d的一个数值，只能作出唯一一个△ABC，求d的取值范围．”对于其答案，甲答：，乙答：d＝1.6，丙答：，则正确的是（    ） A．只有甲答的对 B．甲、丙答案合在一起才完整 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 专练一、三角形的三边关系 10．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，小明将一根吸管折叠后，伸入一个空玻璃瓶中，使吸管一端顶住瓶壁，再轻轻一提，瓶子就被提起来了．这其中用到的数学原理是（      ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．垂线段最短 D．三角形具有稳定性 11．（2025·河北唐山·三模）嘉嘉同学用三角板作的边上的高，下列三角板摆放位置正确的是（   ） A． B． C． D． 12．（2025·河北廊坊·二模）如图，平面上点C为线段外一点，，连接，．线段的长可能是（    ） A．7 B．9 C．10 D．11 13．（2025·河北邯郸·二模）如图，将折叠，使点A、B重合，折痕为．连接 甲：能够比较与的大小 乙：能够比较与的长短 下列判断正确的是（   ） A．甲、乙的说法都正确 B．甲、乙的说法都不正确 C．甲的说法正确，乙的说法不正确 D．甲的说法不正确，乙的说法正确 14．（2025·河北邯郸·二模）如图，有甲、乙两根小棒，现用剪刀把其中一根小棒剪开，若得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形，则剪开的小棒是(   ) A．甲 B．乙 C．甲或乙 D．甲或乙均不可以 15．（2025·河北唐山·二模）三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，它们的长度如图所示．若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是（   ） A．2 B．3 C．4或5 D．6 16．（2025·河北邯郸·一模）如图1，细铁丝围成的正方形边长为2，现在将该细铁丝围成，如图2，则的长可能是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 17．（2025·河北邢台·二模）用直尺和圆规作的中线，作图正确的是（   ） A． B． C． D． 18．（2025·河北邢台·一模）如图，根据尺规作图的痕迹，可以判断是的（　　） A．角平分线 B．高线 C．中位线 D．中线 19．（2025·河北邯郸·二模）有三根长度分别为的木棒，已知为整数，若这三根木棒能围成三角形，则的值为 ． 专练二、三角形的内角和外角 20．（2025·河北邯郸·三模）如图，从处观察，两处的视角，从处观察处的仰角为，点，在同一水平线上，则从处观察处的仰角为（    ） A． B． C． D． 21．（2025·河北邢台·三模）为了验证如图所示的四边形中与所在直线的夹角是否为，如下方案， 方案一：测量出和的度数； 方案二：测量出和的度数． 下列判断正确的是（    ） A．方案一正确、方案二正确 B．方案一不正确、方案二正确 C．方案一正确、方案二不正确 D．方案一不正确、方案二不正确 22．（2025·河北·模拟预测）如图，把等边纸片沿折叠，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 23．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，，直线l与，都相交（不经过点O），随着直线l位置的改变，则的度数之和（    ） A．始终等于 B．始终等于 C．始终等于 D．随着直线l位置的改变而改变 24．（2025·河北唐山·二模）如图是手机支架的侧面示意图，若调整支撑杆的角度，使得，，则直线与所夹锐角的大小为（    ） A． B． C． D． 25．（2025·河北保定·二模）如图，在中，，为边上的高，，将沿直线折叠得到，则（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 26．（2025·河北唐山·二模）直线a，b，c按照如图所示的方式摆放，与相交于，将直线绕点按照逆时针方向旋转后，，则的值为（   ） A．60 B．40 C．30 D．20 27．（24-25九年级下·河北邯郸·开学考试）如图，（   ）    A． B． C． D． 28．（2025·河北保定·一模）如图，在中，，，点，分别在，上将沿折叠得到，当时，的度数为（    ） A． B． C． D． 专练三、全等三角形的性质与判定 29．（2025·河北沧州·模拟预测）下图是三个叠在一起的三角形（三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ），部分图形被遮盖，要作出与图中三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ完全相同的三角形，下列说法正确的是（   ） A．只有Ⅰ可以 B．只有Ⅰ、Ⅱ可以 C．作出三角形Ⅱ的依据是 D．作出三角形Ⅲ的依据是 30．（2025·河北邯郸·二模）如图，在三角形纸片中，，将折叠，使得边落在射线上，折痕为，将纸片展开．再将折叠，使得边落在射线上，折痕为，点的对应点为．若以点为圆心，长为半径画弧，交于点，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 31．（2025·河北石家庄·一模）如图，四边形，已知，且点在外部，则之间的距离可能是（   ） A．4 B． C．9 D．11 32．（2025·河北张家口·二模）为测量校园内的旗杆的高度，嘉嘉设计的方案是：如图，在距旗杆底端水平距离为的处，使用测角仪测得，由于75°角不方便计算，淇淇提出了一种解决问题的方案：在的延长线上取一点，将一根木棒竖直立在地面上的点处，，此时测得，故淇淇得出结论，进而推得，则下列选项中淇淇证明全等用到的依据可能是（   ） A． B． C． D． 33．（2025·河北唐山·一模）如图，在中，，根据尺规作图痕迹，以下结论不一定正确的是（ ） A． B． C． D． 34．（2025·河北邯郸·一模）有一张三角形纸片，已知，按如下两种方案用剪刀沿着箭头方向剪开，若方案中两个阴影部分的三角形一定全等打“√”，若不一定全等打“×”．则下列关于两种方案中两个阴影部分三角形全等情况的判断正确的是（   ）    A．方案一：√、方案二：√ B．方案一：×、方案二：× C．方案一：×、方案二：√ D．方案一：√、方案二：× 35．（2025·河北邢台·二模）如图，在中，，，在外的中，，，连接，转动使的延长线与线段相交于点M，点M为中点，连接，下列几人的结论： 甲同学说：为直角三角形且； 乙同学说：的长是的长的2倍； 丙同学说：与的面积相等． 其中正确的是（   ） A．甲的说法正确 B．乙的说法正确 C．丙的说法正确 D．三人的说法都正确 36．（2025·河北沧州·模拟预测）【发现】如图1，线段，，相交于点，为的中点．求证： ； 【应用】如图2，有一块不规则的土地，，点，分别在和上，以为分割线，把土地分给了甲、乙二人，现经甲、乙二人协商，想把分割线变为最短，且保证甲、乙二人的土地面积不变，请给出你的方案，并证明方案的正确性． 37．（2025·河北邯郸·三模）如图1，在中，，，D是上的一点，且，连接，． (1)试判断与的位置关系和数量关系，并说明理由； (2)如图2，若将绕点E旋转一定的角度后，仍然有，，试判断与的位置关系和数量关系是否发生变化； (3)如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，且与交于点F，其他条件不变． ①请直接写出与的数量关系； ②你能求出与所成的较小的角的度数吗？如果能，请直接写出该角的度数；如果不能，请说明理由． 专练四、角平分线和线段垂直平分线的性质与判定 38．（2025·河北保定·一模）下面是定理：“角平分线上的点到角两边的距离相等”的证明过程，需要补充符号处要填写的内容，则下列答案错误的是（   ） 已知：如图，是的平分线，点在上，，垂足分别为、． 求证：． 证明：∵是的平分线， ∴（①） ∵， ∴， ∵ ∴（③）， ∴（④） A．①处应填写“角平分线的定义” B．②处应填写“” C．③处应填写“ASA” D．④处应填写“全等三角形对应边相等” 39．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，，以点O为圆心，以任意长为半径作弧交于C，D两点；分别以C，D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；以O为端点作射线，在射线上截取线段，则M点到的距离为（  ） A．4 B．3 C．2 D． 40．（2025·河北邯郸·二模）如图，在中，．观察图中的尺规作图痕迹，可知的度数为（   ） A． B． C． D． 41．（2025·河北邯郸·二模）如图，在中，，一定不可能经过点的是（    ） A．边的中线 B．边的垂线 C．边的平行线 D．边的垂直平分线 42．（2025·河北唐山·三模）如图，在中，，，平分交于点，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线，交于点，则的长为（   ） A． B． C． D．1 43．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，把折叠，使点与点重合，展开后得到折痕与交于点，交于点，连接，则下列结论正确的是（　　） A．平分 B． C． D． 44．（2025·河北·模拟预测）下面是根据如图所示的作图写出的两个推理过程： 推理一： ∵是的垂直平分线， ∴，， ∴点F是的平分线与的交点， ∴， ∴， ∴， ∴． 推理二： ∵是的垂直平分线， ∴． ∵平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 下列是对上面两个推理的正确性进行的判断，判断正确的是（    ） A．推理一正确 B．推理二正确 C．两个推理过程都正确 D．两个推理过程都错误 45．（2025·河北·模拟预测）如图，在中，小明按以下叙述作图： ①分别以A，B为圆心，大于的长为半径画弧，相交于P，Q两点． ②连接，则即为所求． 小明完成的是哪一个问题（   ） A．的平分线 B．的垂直平分线 C．边上的中线 D．边上的高 46．（2025·河北石家庄·三模）如图，在中，按下列步骤利用尺规作图： ①以C为圆心，适当长度为半径画弧，分别与交于H，G； ②分别以H，G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点K，作射线； ③分别以B，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于M，N两点； ④作直线，分别交于点D，E； ⑤连接． 则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 47．（2025·河北张家口·二模）如图，在中，，，． (1)尺规作图：作的平分线交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求的长． 专练五、等腰三角形的性质与判定 48．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，在中，D，E分别是边，的中点．将沿折叠，使点A落在平面上的处．下列不一定正确的是（   ） A． B． C． D．是等腰三角形 49．（2025·河北邯郸·三模）如图，，点为线段上一点．若，，则（    ） A． B． C． D． 50．（2025·河北邯郸·二模）如图，一艘渔船由南向北航行，上午8时，发现灯塔在渔船的北偏西方向，上午10时，却发现灯塔在渔船的南偏西方向．已知渔船的速度是28海里/小时，渔船上午8时和10时的位置分别用点表示，则的距离为（    ）    A．28海里 B．42海里 C．56海里 D．70海里 51．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，等腰直角三角形中，，将绕点B顺时针旋转（），得到，连接，点H在射线上，则的度数（    ） A．随着的增大而增大 B．随着的增大而减小 C．不变 D．随着的增大，先增大后减小 52．（2025·河北·一模）如图，在中，，，点D在边上，点O为的内心，当为钝角三角形时，，则和的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 53．（2025·河北邯郸·三模）已知的三条边的长度依次为a，b，c，且满足，则一定是 三角形． 54．（2025·河北邯郸·二模）如图，在等腰三角形中，，，D是边上靠近点C的三等分点，且满足，点是点B关于直线的对称点，则线段的长为 ． 55．（2025·河北石家庄·模拟预测）将一副三角尺按图所示方式摆放，它们共用顶点，，分别交于点，．若，，，，则的度数是 ． 56．（2025·河北唐山·二模）如图，直线经过线段的中点，，为射线上的一动点，为射线上的一动点，，连接. (1)求证：. (2)若，当时，求的长. 专练六、等边三角形的性质与判定 57．（2025·河北石家庄·二模）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，下列结论错误的是（   ） A． B． C．，两点之间的距离为 D．，，三点共线 58．（2025·河北秦皇岛·一模）一副三角板如图所示摆放，，以A为旋转中心，逆时针旋转三角板，当点E再次落到边上时，点D走过的长度为（   ） A． B． C． D． 59．（2025·河北·一模）如图，等边的边长为4，点P在边所在直线的下方（且在的内部），，，，的面积分别记为，，，．若，则线段的长的最小值是 ． 60．（2025·河北邯郸·一模）【问题提出】 （1）如图①，、均为等边三角形，点D、E分别在边、上．将绕点A沿顺时针方向旋转，连结、．在图②中证明． 【学以致用】 （2）在（1）的条件下，当点D、E、C在同一条直线上时，求的大小． 【拓展延伸】 （3）在（1）的条件下，连结．若，，直接写出的面积S的最大值和最小值． 61．（2025·河北邯郸·一模）【问题提出】 （1）如图，和都是等边三角形，点在内部，连接，，． 求证：； 若，求证：； 【问题探究】 （2）如图．和都是等边三角形，点在外部，若仍然成立，求的度数． 62．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）已知等边中，点为射线上一点，作，交直线于点． (1)如图1，当点在线段上时，线段、、之间的数量关系是______； (2)如图2，当点在的延长线上时，（1）中的、、数量关系是否成立，若成立，说明理由，若不成立，求出、、之间的数量关系； (3)如图3，在（2）的条件下，的平分线交于点，过点A作于，当时，求的长． 专练七、勾股定理及其逆定理的应用 63．（2025·河北石家庄·三模）如图，点A，B，C，D均在正方形网格的格点上，则比线段短的是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 64．（2025·河北邯郸·二模）如图，在矩形中，是边上的点，将矩形沿所在的直线折叠，得到点的对应点，点的对应点．若点在边的延长线上，则的长为（    ） A． B．3 C．4 D． 65．（2025·河北唐山·二模）如图，等边三角形，D为边上的动点，将线段绕点D逆时针旋转，得到线段，连接，，则周长的最小值是（   ） A． B． C．14 D．12 66．（2025·河北保定·三模）如图，在菱形中，，，是上一点，，是边上一动点，将四边形沿直线折叠，的对应点．当的长度最小时，则的长为（    ）    A．7 B．6 C．5 D．6.5 67．（2025·河北沧州·模拟预测）勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是将图1放入矩形内得到的，，点D，E，F，G，H，I都在矩形的边上，则空白部分的面积为 68．（2025·河北唐山·二模）如图1，有三个边长为2的正方形并排放置在直线l上． （1）如图2，若中间的正方形绕其中点O旋转，则点O到直线l的距离为 ； （2）将（1）中旋转后的正方形向上平移至图3的位置，使两侧正方形的顶点分别落在，边上，则点A到直线l的距离为 ． 69．（2025·河北唐山·二模）三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图放置，点C在的延长线上，点B在上，，，，，． (1)求的长； (2)求的长． 70．（2025·河北保定·模拟预测）观察下列等式： 第1个等式 第2个等式 第 3个等式 第 4个等式 …… …… （1）补充上述表格． 发现： （2）请用含n(n为正整数，且n>1)的等式表示上述规律： ； 应用： （3）若三个整数能构成直角三角形的三条边长，则称这三个数为勾股数(例如：3，4，5)．现有一个直角边为14的直角三角形，它的三边长为勾股数，请求这个直角三角形的面积． 71．（2025·河北唐山·三模）如图，在中，，．将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作，垂足为． (1)如图，线段、、之间有什么数量关系，并加以证明； (2)如图，的平分线与的延长线相交于点，连接，的延长线与的延长线相交于点，猜想与的数量关系，并加以证明； (3)如图，在（）的条件下，将沿折叠，在变化过程中，当点落在点的位置时，连接． 比较与的大小关系，并说明理由； 若，直接写出的面积． 试卷第2页，共74页 26 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $$