9.4 矩形、菱形、正方形 暑假巩固练习2024-2025学年苏科版八年级数学下册

苏科版八年级下册 9.4 矩形、菱形、正方形 暑假巩固 一、正方形的性质与判定 1.如图，点P是边长为的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，连接AP并延长，交射线BC于点H，交射线DC于点M，连接EF交AH于点G，当点P在BD上运动时（不包括B、D两点），以下结论中：①MF＝MC；②AH⊥EF；③当EF∥BD时，四边形PFCE为正方形；④EF的最小值是1．其中正确结论的序号是（　　） A.①②③ B.③④ C.②③④ D.①②④ 2.下列说法错误的是（　　） A.正方形是平行四边形 B.正方形是菱形 C.正方形是矩形 D.菱形和矩形都是正方形 3.如图，在正方形ABCD中，AB＝8，F是对角线AC，BD的交点，G，E分别是AD，CD上的动点，且保持AG＝DE，连接GE，GF，EF．在此运动变化的过程中，有下列结论：①△GFE是等腰直角三角形；②四边形DGFE可能为正方形；③GE长度的最小值为4；④四边形DGFE的面积保持不变．其中正确的是（　　） A.仅①②③ B.仅①②④ C.仅②③④ D.①②③④ 4.如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB边的中点，点F在BC边上，点B关于直线EF的对称点记为B′，连接B′D，B′E，B′F．当点F在BC边上移动使得四边形BEB′F′成为正方形时，B′D的长为 　　　　　． 5.现有一张边长等于a（a＞16）的正方形纸片，从距离正方形的四个顶点8 cm处，沿45°角画线，将正方形纸片分成5部分，则阴影部分是 　　（填写图形的形状）（如图），它的一边长是 　　． 6.如图，将正方形ABCD的四边各延长一倍．即DM＝AD，CN＝CD，AQ＝AB，BP＝BC．连接M，N，P，Q四点，试判断MNPQ的形状，并予以证明． 7.如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点F，∠E＝90°，ED＝EC．求证：四边形DFCE是正方形． 二、利用对角线判定菱形 1.已知：如图，四边形ABCD是菱形，E、F是直线AC上两点，AF＝CE．求证：四边形FBED是菱形．几名同学对这个问题，给出了如下几种解题思路，其中正确的是（　　） 甲：利用全等，证明四边形FBED四条边相等，进而说明该四边形是菱形； 乙：连接BD，利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形，判定四边形FBED是菱形； 丙：该题目错误，根据已知条件不能够证明该四边形是菱形． A.甲、乙 B.乙、丙 C.甲．乙、丙 D.甲、丙 2.依据下列各图所标识的数据和符号，不能判定▱ABCD为菱形的是（　　） A. B. C. D. 3.已知如图，在▱ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角，将△ABC沿对角线AC边平移，得到△A′B′C′，连接AB′和C′D，若使四边形AB′C′D是菱形，需添加一个条件，现有三种添加方案，甲方案：AB′＝DC′；乙方案：B′D⊥AC′；丙方案：∠A′C′B′＝∠A′C′D；其中正确的方案是（　　） A.甲、乙、丙 B.只有乙、丙 C.只有甲、乙 D.只有甲 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝　　　时，平行四边形CDEB为菱形． 5.如图，四边形ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB＝OD，请你添加一个适当的条件　　　　　，使四边形ABCD是菱形．（只需添加一个即可） 6.如图，在△ABC中，D是边BC的中点，M，N分别在AD及其延长线上，CM∥BN，连接BM，CN． （1）求证：四边形BMCN是平行四边形． （2）当△ABC满足什么条件时，四边形BMCN是菱形？判断并说明理由． 7.如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC中点，过点O作AC的垂线，分别与边AB、CD交于点F、E． （1）求证：△AOF≌△COE； （2）连接AE、CF，求证：四边形AFCE是菱形． 三、利用直角判定矩形 1.依据所标数据，下列不一定是矩形的为（　　） A. B. C. D. 2.平行四边形内角平分线能够围成的四边形是（　　） A.梯形 B.矩形 C.正方形 D.不是平行四边形 3.依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是（　　） A. B. C. D. 4.一个木匠要制作矩形的踏板．他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯两次，就能得到矩形踏板．理由是 　　　　　　　　　　　　． 5.如图，在▱ABCD中，AC、BD相交于点O，点E、F在BD上，BE＝DF，顺次连接A、F、C、E，添加一个条件使得四边形AECF是矩形，则该条件可以是 　　.（填一个即可） 6.如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADB，交AB于点E，BF平分∠CBD，交CD于点F． （1）求证：DE＝BF； （2）若AD＝BD，求证：四边形DEBF是矩形． 7.如图，在平行四边形ABCD中，E、F为BC上两点，且BE＝CF，AF＝DE，求证： （1）△ABF≌△DCE； （2）四边形ABCD是矩形． 四、利用对角线判定矩形 1.下列测量方案能判定四边形台面为矩形的是（　　） A.测量得出对角线相等 B.测量得出对角线互相平分 C.测量得出两组对边分别相等 D.测量得出对角线交点到四个顶点的距离相等 2.如图，用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线AC，BD的长就可以判断，其数学依据是（　　） A.三个角都是直角的四边形是矩形 B.对角线互相平分的四边形是矩形 C.对角线相等的平行四边形是矩形 D.对角线互相垂直平分的四边形是矩形 3.在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，添加下列一个条件，能使▱ABCD成为矩形的是（　　） A.AB＝BC B.∠ABC＝∠ADC C.AC＝BD D.AC⊥BD 4.如图，在▱ABCD中AC、BD相交于点O，AC＝12，当OD＝　　时，▱ABCD是矩形． 5.如图，已知在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，要使四边形ABCD是矩形，可添加一个条件是 　　． 6.如图，在▱ABCD中，AC、BD相交于点O，点E、F分别是OA、OC上的点，连接BE、BF、DE、DF． 给出以下三个条件：①BE∥DF；②AE＝CF；③OD＝OE．从中选择两个条件，使四边形BEDF是矩形，并加以证明． 你选择的条件是 　　． 7.如图，在平行四边形ABCD中，点M是对角线BD上一点，连接AM并延长至点E，使ME＝AM，连接DE，CM． （1）求证：BD∥CE； （2）当AE＝2AB，CM∥DE时，试说明四边形CEDM为矩形． 五、矩形的对角线的性质 1.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则DE的长是（　　） A.5 B. C. D. 2.如图，延长矩形ABCD的边CB至点E，使BE＝AC，连接DE，若∠BAC＝56°，则∠E的度数是（　　） A.34° B.17° C.44° D.22° 3.如图，延长矩形ABCD的边CB至点E，使EB＝AC，连接DE，若∠BAC＝α，则∠E的度数是（　　） A. B. C.α﹣45° D. 4.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O．若∠COD＝60°，CD＝2，则AD＝　　． 5.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB＝OB，则∠BOC的度数是 　　． 6.如图，在矩形ABCD中，点F在CB的延长线上，AF＝AC，求证：四边形AFBD是平行四边形． 7.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，DF⊥AC于点F．求证：AE＝DF． 六、利用边判定菱形 1.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为边BC的中点，连接EO并延长交边AD于点F，∠ABC＝60°，BC＝2AB．下列结论错误的是（　　） A.AB⊥AC B.AD＝4OE C.四边形AECF为菱形 D.S△BOES△ABC 2.如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是（　　） A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.等腰梯形 3.依据所标识的数据，下列平行四边形一定为菱形的是（　　） A. B. C. D. 4.以A点为圆心，5为半径画弧，再以B点为圆心，相同长度为半径画弧，交前弧于M、N两点，已知AB＝6，则以A、B、M、N四点为顶点的四边形的面积是 　　． 5.如图，在▱ABCD中，AD＝5，AB＝3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC的长为　　． 6.如图，在▱ABCD中，AC⊥AB，E、F分别是BC、AD的中点，连接AE、CF．求证：四边形AECF是菱形． 7.如图，△ABC是等边三角形，∠DCE＝60°，CD＝CE，过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F． （1）求证：△ACE≌△BCD； （2）求证：四边形ABCF是菱形． 七、矩形的判定与性质的综合应用 1.在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，在下列条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（　　） A.AO＝CO，BO＝DO，∠BAD＝90° B.AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD C.∠BAD＝∠BCD，∠ABC+∠BCD＝180°，AC⊥BD D.∠BAD＝∠ABC＝90°，AC＝BD 2.在四边形ABCD中，AB＝DC，AB∥DC，请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形，添加的条件不能是（　　） A.AC⊥BD B.AB⊥BC C.∠C＝90° D.AC＝BD 3.已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中不能判定这个平行四边形为矩形的是（　　） A.∠A＝∠B B.∠A＝∠C C.AC＝BD D.AB⊥BC 4.如图，矩形ABCD中，CD＝6，BC＝8，点P为对角线BD上一动点（不与B、D重合），PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，则线段EF长的最小值为 　　　　　　　　　　　． 5.如图，在矩形ABCD中，AB＝5 cm，M为边AD的中点，P为BC上一点，PE⊥MC于点E，PF⊥MB于点F，当BC长为 　　　　　cm时，四边形PEMF为矩形． 6.在数学活动课上，小明给同组的伙伴出了如下框图中的解答题． 小星和小红分别给出了自己的证明思路． 根据上面的信息，解决问题： （1）请分别对小星、小红的证明思路是否可行作出判断； （2）请给出框图中解答题的证明过程． 7.如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，AD∥BC，∠ADC＝∠ABC，OA＝OB． （1）如图1，求证：四边形ABCD为矩形； （2）如图2，E是AD边上任意一点，EF⊥BD，EG⊥AC，F、G分别是垂足，若AD＝12，AB＝5，求EG+EF的值． 八、有关正方形边、角的性质 1.如图，在正方形ABCD中，点E是AB边上一个动点（不与点A，点B重合），连结CE，作BF⊥CE交AD于点F，垂足为点G，连结CF，记△BEG，△CDF，△CFG，△BCG，四边形AEGF的面积分别为S1，S2，S3，S4，S5，方方通过探究，得到以下两个结论：①S1+S2＝S3，②S4＝S5．则下列选项中，正确的是（　　） A.①②都正确 B.①②都错误 C.①正确②错误 D.①错误②正确 2.如图，正方形ABCD中，M是正方形内一点，连结BM，使BM＝BC，再连接CM，DM，过点D有DN⊥DM，且DN＝DM，连接AN，若∠CBM＝α，则∠DAN的度数是（　　） A.90°﹣2α B.α C.45° D. 3.如图，C是AB上一点，分别以AC、BC为边画正方形ACDE与正方形BCFG，连接CG、DG．已知，△CDG的面积为，则正方形ACDE与正方形BCFG的面积的和为（　　） A. B. C.22 D.13 4.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为2，∠DAO＝60°，则点C的坐标为 　　． 5.如图，直线l经过正方形ABCD的顶点A，分别过该正方形的顶点B、D作BE⊥l于E，DF⊥l于F．若BE＝3，DF＝6，则EF的长为 　　． 6.如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边AD，AB上，且AE＝BF，连接CE、DF相交于点M． （1）当∠ADF＝35°时，∠DCE＝　　°； （2）判断CE与DF的关系，并证明． 7.如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，延长CD到F，使DF＝BE，连接AF、EF，若AE＝3，求EF的长． 九、正方形的判定 1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，添加下列条件不能判定矩形ABCD为正方形的是（　　） A.AC⊥BD B.AB＝AD C.∠BAO＝∠ABO D.∠BAC＝∠DAC 2.学习了正方形之后，老师提出问题：要判断一个四边形是正方形，有哪些思路？ 甲同学说：先判定四边形是菱形，再确定这个菱形有一个角是直角； 乙同学说：先判定四边形是矩形，再确定这个矩形有一组邻边相等； 丙同学说：先判定四边形的对角线相等，再确定对角线互相垂直； 丁同学说：先判定四边形是平行四边形，再确定这个平行四边形有一个角是直角并且有一组邻边相等． 上述四名同学的说法中，正确的是（　　） A.甲、乙 B.甲、丙 C.乙、丙、丁 D.甲、乙、丁 3.下列图形：①一组邻边相等的矩形；②两条对角线互相垂直的矩形；③有一个角是直角的菱形；④对角线相等的菱形；⑤对角线互相垂直的平行四边形．其中一定是正方形的有（　　） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 4.将菱形的两个相邻的内角记为m°和n°（m＞n），定义为菱形的“接近度”，则当“接近度”为 　　　　时，这个菱形就是正方形． 5.如图，要使矩形ABCD成为正方形，需添加一个条件为 　　　　　　　　． 6.如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF＝BD，连接BF． （1）求证：D是BC的中点； （2）如果AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并说明理由． 7.如图1，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF，∠CFE的外角平分线交于点A，过点A作AB⊥CE的延长线于B，过点A作AD⊥CF的延长线于D．求证：四边形ABCD是正方形． 十、菱形的四条边相等 1.如图，在菱形ABCD中，E、F分别为AD、CD上的点，且DE＝DF．若∠DAF＝20°，则∠DCE的度数为（　　） A.10° B.16° C.20° D.40° 2.如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC＝120°，则MA+MB+MD的最小值是（　　） A. B.3+3 C.6 D. 3.如图，直线l1∥l2，菱形ABCD和等边△EFG在l1，l2之间，点A，F分别在l1，l2 上，点B，D、E、G在同一直线上．若∠α＝50°，∠ADE＝146°，则∠β＝（　　） A.42° B.43° C.44° D.45° 4.如图，平面直角坐标系xOy中，四边形AOBC是菱形．若点A的坐标是（6，8），则菱形的周长为 　　． 5.菱形ABCD的周长为12，则边长AB＝　　． 6.如图，在菱形ABCD中，P，Q是对角线BD上的两点，连接CP，CQ，且BP＝DQ． （1）求证：∠BCP＝∠QCD； （2）若PQ＝CQ，∠DCQ＝2∠CDQ，求∠A的度数． 7.如图，菱形ABCD中，E，F分别是CB．CD上的点，且BE＝DF．求证：∠AEF＝∠AFE． 十一、菱形的性质与判定的综合应用 1.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD，连接BD，∠BAD的角平分线交BD，BC分别于点O、E，若EC＝3，CD＝4，则BO的长为（　　） A.4 B.3 C. D.2 2.下列关于某个四边形的三个结论：①它对角线互相平分；②它是一个菱形；③它是一个平行四边形．下列推理过程正确的是（　　） A.由②推出③，由③推出① B.由①推出②，由②推出③ C.由③推出①，由①推出② D.由①推出③，由③推出② 3.如图是以KL所在的直线为对称轴的轴对称图形，六边形EFGHLK的各个内角相等，记四边形HCH′L、四边形EKE′A、△BGF的周长分别为C1、C2、C3，且C1＝2C2＝4C3，已知FG＝LK，EF＝6，则AB的长是（　　） A.9.5 B.10 C.10.5 D.11 4.如图，①以点A为圆心2 cm长为半径画弧分别交∠MAN的两边AM、AN于点B、D；②以点B为圆心，AD长为半径画弧，再以点D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点C； ③分别连接BC、CD、AC．若∠MAN＝60°，则∠ACB的大小为 　　． 5.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，BD＝BC，点E为CD的中点，射线BE交AD的延长线于点F，连接CF．若AD＝1，CF＝2，则BF为 　　． 6.如图，四边形ABCD是菱形，点M、N分别在AB、AD上，且BM＝DN，MG∥AD，NF∥AB，点G、F分别在CD、BC上，MG与NF相交于点E．求证：ME＝NE． 7.如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）求证：四边形BEDF是菱形． 十二、菱形对角线垂直 1.菱形的对角线不具备的性质是（　　） A.对角线互相平分 B.对角线一定相等 C.对角线一定垂直 D.对角线平分一组对角 2.如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8，则菱形的高为（　　） A. B. C.12 D.24 3.如图，在菱形ABCD中，BD＝3，AC＝2，则该菱形ABCD的面积是（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 4.点E是菱形ABCD的对称中心，∠B＝56°，连接AE，则∠BAE的度数为 　　． 5.如图，四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，延长BC到点E，CM平分∠DCE，过点D作DF⊥CM，垂足为F．若DF＝1，则对角线BD的长是 　　． 6.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E． （1）求证：四边形ACDE是平行四边形； （2）若DE＝8，BD＝6，求菱形ABCD的面积． 7.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE⊥AD，垂足为点E，AC＝16，BD＝12，求AD、OE的长． 十三、正方形对角线的性质 1.如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE＝AC，连结CE，则∠BCE的度数是（　　） A.20° B.22.5° C.40 D.67.5° 2.如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE，BE交对角线于点F，连接DF，若∠ABE＝35°，则∠CFD的度数为（　　） A.80° B.70° C.75° D.45° 3.如图，在正方形ABCD中，E是BD上一点，DE＝DC，F是CB延长线上一点，EF＝EC，连接AF，则∠BAF的度数为（　　） A.15° B.20° C.22.5° D.25° 4.如图，正方形ABCD的边长为2，菱形BEDF的边长为，则EF的长为 　　． 5.如图，E是正方形ABCD边BC延长线上的一点，且CE＝BD．则∠E的度数为____度． 6.如图，在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F，连接AE、AF、CE、CF，且AE＝AF，求证：四边形AECF是菱形． 7.小明正在思考一道几何证明题： 如图1，在正方形ABCD中，点E，F在对角线AC上，连接DE，DF，BE，BF，且DE＝DF．求证：四边形BFDE是菱形． 请指出小明想法中的错误之处，并按小明的思路，写出正确的证明． 十四、平行线间的距离 1.如图，已知点A在直线a上，C、B两点在直线b上，且a∥b，∠ABC是个钝角，若AB＝5，则a、b两直线的距离可以是（　　） A.8 B.6 C.5 D.4 2.如图，l1∥l2，线段AB与l1、l2分别垂直于点A、B，关于线段AB的长度，下列说法不正确的是（　　） A.是点A到点B的距离 B.是点B到直线l1的距离 C.是直线l1、l2之间的距离 D.是点A到直线l2的最大距离 3.如图是两条平行线，则表示这两条平行线间距离的线段有（　　） A.0条 B.1条 C.2条 D.无数条 4.如图，直线l1∥l2，l1和AB的夹角∠DAB＝135°，且AB＝4 mm，则两平行线l1和l2之间的距离是 　　　　． 5.如图，直线a∥b，直线c与a，b分别交于A，B两点，若AB＝4，∠1＝30°，则直线a，b之间的距离为 　　　． 6.如图，直线a∥b，直线AB与a，b分别相交于点A，B，AC⊥AB，AC交直线b于点C． （1）若∠1＝65°，求∠2的度数； （2）若AC＝3，AB＝4，BC＝5，求直线a与b的距离． 7.如图，已知在四边形ABCD中，AB∥CD，∠C＝∠D． （1）求证：AD＝BC； （2）若AB＝17，AD＝2CD＝10，求AB与CD间的距离． 苏科版八年级下册 9.4 矩形、菱形、正方形 暑假巩固（参考答案） 一、正方形的性质与判定 1.如图，点P是边长为的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，连接AP并延长，交射线BC于点H，交射线DC于点M，连接EF交AH于点G，当点P在BD上运动时（不包括B、D两点），以下结论中：①MF＝MC；②AH⊥EF；③当EF∥BD时，四边形PFCE为正方形；④EF的最小值是1．其中正确结论的序号是（　　） A.①②③ B.③④ C.②③④ D.①②④ 【答案】C 【解析】∵当点P与BD中点重合时，CM＝0，显然FM≠CM，故①错误； 连接PC交EF于O．根据对称性可知∠DAP＝∠DCP， ∵四边形PECF是矩形， ∴OF＝OC， ∴∠OCF＝∠OFC， ∴∠OFC＝∠DAP， ∵∠DAP+∠AMD＝90°， ∴∠GFM+∠AMD＝90°， ∴∠FGM＝90°， ∴AH⊥EF，故②正确； ∵EF∥BD，EF⊥AH， ∴BD⊥AH，即点P与BD中点重合， ∴PF＝PE， ∴四边形PECF是正方形，故③正确； ∵四边形PECF是矩形， ∴EF＝PC， ∴当CP⊥BD时，PC的值最小，此时A、P、C共线， ∵AC＝2， ∴PC的最小值为1， ∴EF的最小值为1，故④正确； 故选：C． 2.下列说法错误的是（　　） A.正方形是平行四边形 B.正方形是菱形 C.正方形是矩形 D.菱形和矩形都是正方形 【答案】D 【解析】∵正方形的两组对边分别平行， ∴正方形是平行四边形， 故A不符合题意； ∵正方形的四条边都相等， ∴正方形是菱形， 故B不符合题意； ∵正方形的四个角都是直角， ∴正方形是矩形， 故C不符合题意； ∵菱形的内角不一定是直角， ∴菱形不一定是正方形； ∵矩形的邻边不一定相等， ∴矩形不一定是正方形， 故D符合题意， 故选：D． 3.如图，在正方形ABCD中，AB＝8，F是对角线AC，BD的交点，G，E分别是AD，CD上的动点，且保持AG＝DE，连接GE，GF，EF．在此运动变化的过程中，有下列结论：①△GFE是等腰直角三角形；②四边形DGFE可能为正方形；③GE长度的最小值为4；④四边形DGFE的面积保持不变．其中正确的是（　　） A.仅①②③ B.仅①②④ C.仅②③④ D.①②③④ 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD是正方形，AB＝8，F是对角线AC，BD的交点， ∴∠ADC＝90°，AD＝CD＝AB＝8，AF＝CF，BD⊥AC， ∴DF＝AF＝CFAC，∠AFD＝∠CFD＝90°， ∴∠FAD＝∠FDA＝∠FDC＝∠FCD＝45°， 在△AFG和△DFE中， ， ∴△AFG≌△DFE（SAS）， ∴GF＝EF，∠AFG＝∠DFE， ∴∠GFE＝∠DFE+∠DFG＝∠AFG+∠DFG＝∠AFD＝90°， ∴△GFE是等腰直角三角形， 故①正确； 当点G是AD的中点时，则FG⊥AD， ∴∠FGD＝∠GDE＝∠GFE＝90°， ∴四边形DGFE是矩形， ∵GF＝EF， ∴四边形DGFE是正方形， ∴四边形DGFE可能是正方形， 故②正确； ∵∠GFE＝90°，GF＝EF， ∴GEGF， 当GF⊥AD时，GF的值最小，此时AG＝DG， ∴GFAD8＝4， ∴GE4＝4， ∴GE长度的最小值为4， 故③正确； ∵当GF⊥AD时，GF＝4， ∴S△AFD8×4＝16， ∵△AFG≌△DFE， ∴S△AFG＝S△DFE， ∴S四边形DGFE＝S△DFG+S△DFE＝S△DFG+S△AFG＝S△AFD＝16， ∴四边形DGFE的面积保持不变， 故④正确， 故选：D． 4.如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB边的中点，点F在BC边上，点B关于直线EF的对称点记为B′，连接B′D，B′E，B′F．当点F在BC边上移动使得四边形BEB′F′成为正方形时，B′D的长为 　　　　　． 【答案】 【解析】如图，连接BB'，连接BD， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BDAB＝2，BD平分∠ABC， ∵E为AB边的中点， ∴AE＝BE＝1， ∵四边形BEB'F是正方形， ∴BB'BE，BB'平分∠ABC， ∴点B，点B'，点D三点共线， ∴B'D＝BD﹣BB'， 故答案为：． 5.现有一张边长等于a（a＞16）的正方形纸片，从距离正方形的四个顶点8 cm处，沿45°角画线，将正方形纸片分成5部分，则阴影部分是 　　（填写图形的形状）（如图），它的一边长是 　　． 【答案】正方形； cm 【解析】如图，作AB平行于小正方形的一边，延长小正方形的另一边与大正方形的一边交于B点， ∴△ABC为直角边长为8 cm的等腰直角三角形， ∴ABAC＝8， ∴阴影正方形的边长＝AB＝8 cm． 故答案为：正方形， cm． 6.如图，将正方形ABCD的四边各延长一倍．即DM＝AD，CN＝CD，AQ＝AB，BP＝BC．连接M，N，P，Q四点，试判断MNPQ的形状，并予以证明． 【答案】解：四边形MNPQ为正方形． 理由：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝BC＝CD＝DA，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°， ∴∠QAM＝∠PBQ＝∠NCP＝∠MDN＝90°． ∵DM＝AD，CN＝CD，AQ＝AB，BP＝BC， ∴DM＝CN＝BP＝AQ， ∴AB+AQ＝AD+DM＝CD+CN＝CB+BP， ∴BQ＝AM＝DN＝CP． 在△MAQ和△QBP中, ， ∴△MAQ≌△QBP（SAS）， ∴MQ＝QP，∠AMQ＝∠BQP，∠AQM＝∠BPQ． ∵∠BPQ+∠BQP＝90°， ∴∠AQM+∠BQP＝90°， 即∠PQM＝90°， 同理可得，△QBP≌△PCN≌△NDM， ∴QP＝PN＝NM， ∴MQ＝QP＝PN＝NM， ∴四边形MNPQ为菱形． ∵∠PQM＝90°， ∴菱形MNPQ为正方形． 7.如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点F，∠E＝90°，ED＝EC．求证：四边形DFCE是正方形． 【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠FDC＝∠DCF＝45°， ∵∠E＝90°，ED＝EC， ∴∠EDC＝∠ECD＝45°， ∴∠FCE＝∠FDE＝∠E＝90°， ∴四边形DFCE是矩形， ∵DE＝CE， ∴四边形DFCE是正方形． 二、利用对角线判定菱形 1.已知：如图，四边形ABCD是菱形，E、F是直线AC上两点，AF＝CE．求证：四边形FBED是菱形．几名同学对这个问题，给出了如下几种解题思路，其中正确的是（　　） 甲：利用全等，证明四边形FBED四条边相等，进而说明该四边形是菱形； 乙：连接BD，利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形，判定四边形FBED是菱形； 丙：该题目错误，根据已知条件不能够证明该四边形是菱形． A.甲、乙 B.乙、丙 C.甲．乙、丙 D.甲、丙 【答案】A 【解析】甲：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠BAC＝∠DAC＝∠BCA＝∠DCA， ∴∠BAF＝∠DAF＝∠BCE＝∠DCE， 在△BAF和△DAF中， ， ∴△BAF≌△DAF（SAS）， ∴BF＝DF， 同理：△DCE≌△BCE（SAS），△BAF≌△BCE（SAS）， ∴BE＝DE，BF＝BE， ∴BF＝DF＝BE＝DE， ∴四边形FBED是菱形； 乙：连接BD交AC于O，如图所示： ∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD， ∵AF＝CE， ∴OA+AF＝OC+CE， 即OF＝OE， ∴四边形FBED是平行四边形， 又∵AC⊥BD， ∴平行四边形FBED是菱形； 综上所述，甲对、乙对， 故选：A． 2.依据下列各图所标识的数据和符号，不能判定▱ABCD为菱形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，且AB＝BC＝3， ∴▱ABCD为菱形， 故A不符合题意； ∵由OB＝AB＝3不能证明AB＝BC＝3， ∴OB＝AB＝3不能判定▱ABCD为菱形， 故B符合题意； ∵∠B＝70°，∠BCA＝55°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠BCA＝180°﹣70°﹣55°＝55°， ∴∠BCA＝∠BAC， ∴AB＝BC， ∴▱ABCD是菱形， 故C不符合题意； ∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD， ∴▱ABCD是菱形， 故D不符合题意， 故选：B． 3.已知如图，在▱ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角，将△ABC沿对角线AC边平移，得到△A′B′C′，连接AB′和C′D，若使四边形AB′C′D是菱形，需添加一个条件，现有三种添加方案，甲方案：AB′＝DC′；乙方案：B′D⊥AC′；丙方案：∠A′C′B′＝∠A′C′D；其中正确的方案是（　　） A.甲、乙、丙 B.只有乙、丙 C.只有甲、乙 D.只有甲 【答案】B 【解析】根据题意可知AD＝B'C'，AD∥B'C'， ∴四边形AB'C'D是平行四边形． 方案甲，AB'＝C'D不能判断四边形AB'C'D是菱形； 方案乙，由B'D⊥AC'， ∴平行四边形AB'C'D是菱形； 方案丙，由∠A'C'B'＝∠A'C'D，又AD∥B'C'， ∴∠DAC'＝∠A'C'B'， ∴∠DAC'＝∠AC'D， ∴AD＝C'D， ∴平行四边形AB'C'D是菱形． 所以正确的是乙和丙． 故选：B． 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝　　　时，平行四边形CDEB为菱形． 【答案】 【解析】如图，连接CE交AB于点O． ∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3， ∴AB5． 若平行四边形CDEB为菱形， 则CE⊥BD，OD＝OB，CD＝CB． ∵S△ACBAB•OCAC•BC， ∴OC． 在Rt△BOC中，根据勾股定理得，OB， ∴AD＝AB﹣2OB． 故答案为：． 5.如图，四边形ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB＝OD，请你添加一个适当的条件　　　　　，使四边形ABCD是菱形．（只需添加一个即可） 【答案】OA＝OC. 【解析】OA＝OC， ∵OB＝OD，OA＝OC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形， 故答案为：OA＝OC． 6.如图，在△ABC中，D是边BC的中点，M，N分别在AD及其延长线上，CM∥BN，连接BM，CN． （1）求证：四边形BMCN是平行四边形． （2）当△ABC满足什么条件时，四边形BMCN是菱形？判断并说明理由． 【答案】（1）证明：∵CM∥BN， ∴∠DBN＝∠DCM， ∵D是边BC的中点， ∴BD＝CD， 在△BDN和△CDM中， ， ∴△BDN≌△CDM（ASA）， ∴DN＝DM， ∴四边形BMCN是平行四边形． （2）解：当△ABC满足AB＝AC时，四边形BMCN是菱形，理由如下： 由（1）可知，四边形BMCN是平行四边形， ∵AB＝AC，D是边BC的中点， ∴AN⊥BC， ∴平行四边形BMCN是菱形. 7.如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC中点，过点O作AC的垂线，分别与边AB、CD交于点F、E． （1）求证：△AOF≌△COE； （2）连接AE、CF，求证：四边形AFCE是菱形． 【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC． ∴∠OAE＝∠OCF． ∵O是AC中点，∴AO＝CO． 在△AOE和△COF中， ． ∴△AOF≌△COE（ASA）． （2）四边形AFCE为菱形，理由如下： ∵△AOF≌△COE， ∴AF＝CE． 又AF∥CE， ∴四边形AFCE为平行四边形， ∵EF⊥AC， ∴平行四边形AFCE为菱形． 三、利用直角判定矩形 1.依据所标数据，下列不一定是矩形的为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】A、对边平行且相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，故该选项不符合题意； B、不能证明是矩形，故该选项符合题意； C、有三个角是直角的四边形是矩形，故该选项不符合题意； D、有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一个直角的平行四边形是矩形，故该选项不符合题意． 故选：B． 2.平行四边形内角平分线能够围成的四边形是（　　） A.梯形 B.矩形 C.正方形 D.不是平行四边形 【答案】B 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BAD+∠ABC＝180°， ∵AE、BE分别是∠BAD、∠ABC的平分线， ∴∠BAE+∠ABE∠BAD∠ABC180°＝90°， ∴∠AEB＝90°， ∴∠FEH＝90°， 同理可求∠F＝90°，∠FGH＝90°，∠H＝90°， ∴四边形EFGH是矩形． 故选：B． 3.依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】A、∵AD＝BC＝4，AB＝CD＝3， ∴四边形ABCD是平行四边形，不能判定为矩形，故选项A符合题意； B、∵∠A＝∠B＝∠D＝90°， ∴四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意； C、∵∠A＝∠B＝90°， ∴∠A+∠B＝180°， ∴AD∥BC， ∵AD＝BC＝4， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵∠A＝90°， ∴平行四边形ABCD为矩形，故选项C不符合题意； D、∵AB＝CD＝3，AD＝BC＝4， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC＝5， ∴AB2+BC2＝AC2， ∴△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意； 故选：A． 4.一个木匠要制作矩形的踏板．他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯两次，就能得到矩形踏板．理由是 　　　　　　　　　　　　． 【答案】有一个角为直角的平行四边形是矩形 【解析】∵在一边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次得到的两条边平行， ∴得到了一个平行四边形， ∵与两边分别垂直， ∴就能得到矩形踏板， 故答案为：有一个角为直角的平行四边形是矩形． 5.如图，在▱ABCD中，AC、BD相交于点O，点E、F在BD上，BE＝DF，顺次连接A、F、C、E，添加一个条件使得四边形AECF是矩形，则该条件可以是 　　.（填一个即可） 【答案】∠EAF＝90° 【解析】添加∠EAF＝90°使得四边形AECF是矩形． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵BE＝DF， ∴OE＝OF， ∴四边形AECF是平行四边形， 又∵∠EAF＝90°， ∴四边形AECF是矩形． 故答案为：∠EAF＝90°． 6.如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADB，交AB于点E，BF平分∠CBD，交CD于点F． （1）求证：DE＝BF； （2）若AD＝BD，求证：四边形DEBF是矩形． 【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴∠ADB＝∠CBD， ∵DE平分∠ADB，BF平分∠CBD， ∴∠EDB∠ADB，∠DBF∠CBD， ∴∠EDB＝∠DBF， ∴DE∥BF， 又∵AB∥CD， ∴四边形DEBF是平行四边形． ∴DE＝BF． （2）∵AD＝BD，DE平分∠ADB， ∴DE⊥AB， 又∵四边形DEBF是平行四边形， ∴四边形DEBF是矩形． 7.如图，在平行四边形ABCD中，E、F为BC上两点，且BE＝CF，AF＝DE，求证： （1）△ABF≌△DCE； （2）四边形ABCD是矩形． 【答案】证明：（1）∵BE＝CF，BF＝BE+EF，CE＝CF+EF， ∴BF＝CE． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝DC． 在△ABF和△DCE中， ， ∴△ABF≌△DCE（SSS）． （2）∵△ABF≌△DCE， ∴∠B＝∠C． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD． ∴∠B+∠C＝180°． ∴∠B＝∠C＝90°． ∴四边形ABCD是矩形． 四、利用对角线判定矩形 1.下列测量方案能判定四边形台面为矩形的是（　　） A.测量得出对角线相等 B.测量得出对角线互相平分 C.测量得出两组对边分别相等 D.测量得出对角线交点到四个顶点的距离相等 【答案】D 【解析】A、∵对角线互相平分且相等的四边形才是矩形， ∴对角线相等的四边形不是矩形，故选项A不符合题意； B、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形， ∴对角线互相平分且相等的四边形才是矩形，故选项B不符合题意； C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故选项C不符合题意； D、∵对角线交点到四个顶点的距离都相等， ∴对角线互相平分且相等， ∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故选项D符合题意； 故选：D． 2.如图，用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线AC，BD的长就可以判断，其数学依据是（　　） A.三个角都是直角的四边形是矩形 B.对角线互相平分的四边形是矩形 C.对角线相等的平行四边形是矩形 D.对角线互相垂直平分的四边形是矩形 【答案】C 【解析】推理依据是对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项符合题意． 故选：C． 3.在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，添加下列一个条件，能使▱ABCD成为矩形的是（　　） A.AB＝BC B.∠ABC＝∠ADC C.AC＝BD D.AC⊥BD 【答案】C 【解析】根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，故C选项符合题意．故选：C． 4.如图，在▱ABCD中AC、BD相交于点O，AC＝12，当OD＝　　时，▱ABCD是矩形． 【答案】6 5.如图，已知在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，要使四边形ABCD是矩形，可添加一个条件是 　　． 【答案】AC＝BD（答案不唯一） 【解析】∵OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形， 故答案为：AC＝BD（答案不唯一）． 6.如图，在▱ABCD中，AC、BD相交于点O，点E、F分别是OA、OC上的点，连接BE、BF、DE、DF． 给出以下三个条件：①BE∥DF；②AE＝CF；③OD＝OE．从中选择两个条件，使四边形BEDF是矩形，并加以证明． 你选择的条件是 　　． 【答案】解：选择②③，证明如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵AE＝CF， ∴OA﹣AE＝OC﹣CF， 即OE＝OF， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∵OD＝OE， ∴OE＝OD＝OF＝OB， ∴EF＝BD， ∴平行四边形BEDF是矩形. 7.如图，在平行四边形ABCD中，点M是对角线BD上一点，连接AM并延长至点E，使ME＝AM，连接DE，CM． （1）求证：BD∥CE； （2）当AE＝2AB，CM∥DE时，试说明四边形CEDM为矩形． 【答案】（1）证明：连接AC，交BD于点O， ∵平行四边形ABCD， ∴AO＝OC， ∵ME＝AM， ∴MO是△ACE的中位线， ∴MO∥CE， ∴BD∥CE． （2）解：∵平行四边形ABCD， ∴AO＝OC， ∵AE＝2ME＝2AM， ∴MO是△ACE的中位线， ∴MO∥CE， ∴BD∥CE． ∵CM∥DE， ∴四边形CEDM是平行四边形， ∵AE＝2AB，AE＝2ME＝2AM， ∴AB＝ME， ∵平行四边形ABCD， ∴AB＝DC， ∴CD＝ME， ∴四边形CEDM为矩形． 五、矩形的对角线的性质 1.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则DE的长是（　　） A.5 B. C. D. 【答案】C 【解析】连接EC， ∵AB＝6，BC＝8， ∴AC＝10（勾股定理）； ∴AOAC＝5， ∵EO⊥AC， ∴AE＝EC， 又∵∠EDC=90°， ∴， 设ED=x， ∴， 解得：x=， ∴DE＝， 故选：C． 2.如图，延长矩形ABCD的边CB至点E，使BE＝AC，连接DE，若∠BAC＝56°，则∠E的度数是（　　） A.34° B.17° C.44° D.22° 【答案】B 【解析】连接BD交AC于点O， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°，OA＝OCAC，OB＝ODBD，AC＝BD， ∴OA＝OB， ∴∠OBA＝∠BAC＝56°， ∴∠CBD＝90°﹣56°， ∵BE＝AC＝BD， ∴∠BDE＝∠E， ∴∠CBD＝∠BDE+∠E＝2∠E， ∴2∠E＝90°﹣56°， ∴∠E＝45°17°， 故选：B． 3.如图，延长矩形ABCD的边CB至点E，使EB＝AC，连接DE，若∠BAC＝α，则∠E的度数是（　　） A. B. C.α﹣45° D. 【答案】B 【解析】连接BD交AC于点O， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°，OA＝OCAC，OB＝ODBD，AC＝BD， ∴OA＝OB， ∴∠OBA＝∠BAC＝α， ∴∠CBD＝90°﹣α， ∵BE＝AC＝BD， ∴∠BDE＝∠E， ∴∠CBD＝∠BDE+∠E＝2∠E， ∴2∠E＝90°﹣α， ∴∠E＝45°， 故选：B． 4.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O．若∠COD＝60°，CD＝2，则AD＝　　． 【答案】2 【解析】∵四边形ABCD为矩形， ∴OC＝OD， ∵∠COD＝60°， ∴△COD为等边三角形， ∴OC＝CD＝2， ∴AC＝2OC＝4，AD2． 故答案为：2． 5.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB＝OB，则∠BOC的度数是 　　． 【答案】120° 【解析】矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O， ∴AO＝OC＝OB， ∵AB＝OB， ∴△AOB是等边三角形， ∴∠AOB＝60°， ∴∠BOC＝120°， 故答案为：120°． 6.如图，在矩形ABCD中，点F在CB的延长线上，AF＝AC，求证：四边形AFBD是平行四边形． 【答案】证明：∵四边形ABCD矩形， ∴AD∥FB，AD＝BC，AB⊥FC， ∵AF＝AC， ∴FB＝BC， ∴AD＝FB， ∴四边形AFBD是平行四边形． 7.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，DF⊥AC于点F．求证：AE＝DF． 【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O， ∴OA＝OC＝OB＝OD， ∵AE⊥BD，DF⊥AC， ∴∠AEO＝∠DFO＝90°， 在△AOE和△DOF中， ， ∴△AOE≌△DOF（AAS）， ∴AE＝DF． 六、利用边判定菱形 1.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为边BC的中点，连接EO并延长交边AD于点F，∠ABC＝60°，BC＝2AB．下列结论错误的是（　　） A.AB⊥AC B.AD＝4OE C.四边形AECF为菱形 D.S△BOES△ABC 【答案】D 【解析】∵点E为BC的中点， ∴BC＝2BE＝2CE， 又∵BC＝2AB， ∴AB＝BE， ∵∠ABC＝60°， ∴△ABE是等边三角形， ∴∠BAE＝∠BEA＝60°，AE＝BE＝CE， ∴∠EAC＝∠ECA＝30°， ∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝90°， 即AB⊥AC，故A正确，故该选项不符合题意； 在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，AO＝CO， ∴∠CAD＝∠ACB， 在△AOF和△COE中， ， ∴△AOF≌△COE（ASA）， ∴AF＝CE， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AE＝CE， ∴平行四边形AECF是菱形，故C正确，故该选项不符合题意； ∴AC⊥EF， 在Rt△COE中，∠ACE＝30°， ∴，则AD＝4OE，故B正确，故该选项不符合题意； 在平行四边形ABCD中，OA＝OC， 又∵点E为BC的中点， ∴，故D错误，故该选项符合题意； 故选：D． 2.如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是（　　） A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.等腰梯形 【答案】B 【解析】∵分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D， ∴AC＝AD＝BD＝BC， ∴四边形ADBC一定是菱形， 故选：B． 3.依据所标识的数据，下列平行四边形一定为菱形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵四边形是平行四边形， ∴对角线互相平分，故A不一定是菱形； ∵四边形是平行四边形， ∴对边相等，故B不一定是菱形； ∵四边形是平行四边形， ∴对边平行，故D不一定是菱形， ∵图C中，根据三角形的内角和定理可得：180°﹣70°﹣55°＝55°， ∴邻边相等， ∵四边形是平行四边形， ∴邻边相等的平行四边形的菱形，故C是菱形； 故选：C． 4.以A点为圆心，5为半径画弧，再以B点为圆心，相同长度为半径画弧，交前弧于M、N两点，已知AB＝6，则以A、B、M、N四点为顶点的四边形的面积是 　　． 【答案】24 【解析】根据作图过程可知：AN＝AM＝BM＝BN＝5， ∴四边形AMBN是菱形， ∴AB⊥MN于点O， ∵AM＝5，OA＝AB6＝3， ∴OM4， ∴MN＝2OM＝8， ∴菱形AMBN的面积AB•MN6×8＝24． 故答案为：24． 5.如图，在▱ABCD中，AD＝5，AB＝3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC的长为　　． 【答案】2 【解析】过点E作EF∥AB，交AD于F, ∵在▱ABCD，EF∥AB, ∴AB＝EF，AF＝BE, ∵∠FAE＝∠BAE, ∴△AFE≌△ABE, ∴AB＝BE＝EF＝AF, ∴ABEF为菱形, ∴EC＝AD﹣AB＝2． 故答案为：2． 6.如图，在▱ABCD中，AC⊥AB，E、F分别是BC、AD的中点，连接AE、CF．求证：四边形AECF是菱形． 【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵E、F分别是BC、AD的中点， ∴AFAD，CEBC， ∴AF＝CE， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AC⊥AB， ∴∠BAC＝90°， ∵E是BC的中点， ∴AEBC＝CE， ∴平行四边形AECF是菱形． 7.如图，△ABC是等边三角形，∠DCE＝60°，CD＝CE，过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F． （1）求证：△ACE≌△BCD； （2）求证：四边形ABCF是菱形． 【答案】证明：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴AC＝BC，∠ACB＝60°， ∵CF∥AB， ∴∠ACF＝∠BAC＝60°， ∵∠DCE＝60°， ∴∠BCD＝∠ACE， 在△ACE与△BCD中， ， ∴△ACE≌△BCD（SAS）； （2）∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC，∠BAC＝∠B＝60°， ∵△ACE≌△BCD， ∴∠CAE＝∠B＝60°， ∴∠B+∠BAF＝60°+60°+60°＝180°， ∴BC∥AF， ∵AB∥CF， ∴四边形ABCF是平行四边形， ∵AB＝BC， ∴四边形ABCF是菱形． 【解析】 七、矩形的判定与性质的综合应用 1.在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，在下列条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（　　） A.AO＝CO，BO＝DO，∠BAD＝90° B.AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD C.∠BAD＝∠BCD，∠ABC+∠BCD＝180°，AC⊥BD D.∠BAD＝∠ABC＝90°，AC＝BD 【答案】C 【解析】A、∵AO＝CO，BO＝DO， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵∠BAD＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意； B、∵AB＝CD，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意； C、∵∠ABC+∠BCD＝180°， ∴AB∥CD， ∵∠BAD＝∠BCD， ∴∠ABC+∠BAD＝180°， ∴AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， AC⊥BD，平行四边形ABCD不是矩形，故选项C符合题意； D、∵∠BAD＝∠ABC＝90°， ∴AD∥BC， 在Rt△ABD和Rt△BAC中， ， ∴Rt△ABD≌Rt△BAC（HL）， ∴AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意； 故选：C． 2.在四边形ABCD中，AB＝DC，AB∥DC，请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形，添加的条件不能是（　　） A.AC⊥BD B.AB⊥BC C.∠C＝90° D.AC＝BD 【答案】A 【解析】∵AB＝DC，AB∥DC， ∴四边形ABCD是平行四边形， A、根据对角线相等的平行四边形是矩形，所以当AC⊥BD时不一定得到矩形，故选项A符合题意； B、∵AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意； C、∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形，故选项C不符合题意； D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意； 故选：A． 3.已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中不能判定这个平行四边形为矩形的是（　　） A.∠A＝∠B B.∠A＝∠C C.AC＝BD D.AB⊥BC 【答案】B 【解析】A、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B+∠A＝180°， ∵∠A＝∠B， ∴∠A＝∠B＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意； B、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C， ∴选项B不能判定这个平行四边形为矩形，故选项B符合题意； C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形，故选项C不符合题意； D、∵AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意； 故选：B． 4.如图，矩形ABCD中，CD＝6，BC＝8，点P为对角线BD上一动点（不与B、D重合），PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，则线段EF长的最小值为 　　　　　　　　　　　． 【答案】 【解析】连接PC，如图所示： ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BCD＝90°， ∴BD10， ∵PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F， ∴∠PEC＝∠PFC＝∠BCD＝90°， ∴四边形PECF为矩形， ∴EF＝PC， 当PC⊥BD时，PC取得最小值， 此时，PC， ∴EF的最小值为， 故答案为：． 5.如图，在矩形ABCD中，AB＝5 cm，M为边AD的中点，P为BC上一点，PE⊥MC于点E，PF⊥MB于点F，当BC长为 　　　　　cm时，四边形PEMF为矩形． 【答案】10 【解析】∵PE⊥MC于点E，PF⊥MB于点F， ∴四边形PEMF为矩形． ∴∠FME＝90°． ∵M为边AD的中点， ∴BM＝CM． ∴∠MBC＝45°． 在矩形ABCD中，AD∥BC，则∠AMB＝∠MBC＝45°． ∴AM＝AB＝5 cm． ∴AD＝10 cm． ∴BC＝AD＝10 cm． 故答案为：10． 6.在数学活动课上，小明给同组的伙伴出了如下框图中的解答题． 小星和小红分别给出了自己的证明思路． 根据上面的信息，解决问题： （1）请分别对小星、小红的证明思路是否可行作出判断； （2）请给出框图中解答题的证明过程． 【答案】（1）解：小星：利用矩形的定义“有一个角是直角的平行四边形叫做矩形”来证明，正确， 小红：利用定理“有三个角是直角的四边形是矩形”来证明，正确； （2）证明：小星的思路： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB，CD＝AB， ∵AF＝CE， ∴AB﹣AF＝CD﹣CE， 即BF＝DE， ∴四边形BFDE是平行四边形， ∵BE⊥AB， ∴∠BED＝90°， ∴平行四边形BFDE是矩形． 小红的思路： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB，AD＝CB，∠A＝∠C， ∵BE⊥CD， ∴BE⊥AB， ∴∠BED＝∠EBF＝∠BEC＝90°， 在△ADF和△CBE中， ， ∴△ADF≌△CBE（SAS）， ∴∠DFA＝∠BEC＝90°， ∴∠BED＝∠EBF＝∠DFB＝90°， ∴四边形BFDE是矩形． 7.如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，AD∥BC，∠ADC＝∠ABC，OA＝OB． （1）如图1，求证：四边形ABCD为矩形； （2）如图2，E是AD边上任意一点，EF⊥BD，EG⊥AC，F、G分别是垂足，若AD＝12，AB＝5，求EG+EF的值． 【答案】（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠ABC+∠BAD＝180°，∠ADC+∠BCD＝180°， ∵∠ABC＝∠ADC， ∴∠BAD＝∠BCD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OCAC，OB＝ODBD， ∵OA＝OB， ∴AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形； （2）解：如图，连接OE， ∵AD＝12，AB＝5， ∴BD13， ∴BO＝OD＝AO＝CO， ∵S△AODS矩形ABCD12×5＝15， ∴S△AOE+S△DOE＝15， ∵EF⊥BD，EG⊥AC， ∴EGEF＝15， ∴EG+EF． 八、有关正方形边、角的性质 1.如图，在正方形ABCD中，点E是AB边上一个动点（不与点A，点B重合），连结CE，作BF⊥CE交AD于点F，垂足为点G，连结CF，记△BEG，△CDF，△CFG，△BCG，四边形AEGF的面积分别为S1，S2，S3，S4，S5，方方通过探究，得到以下两个结论：①S1+S2＝S3，②S4＝S5．则下列选项中，正确的是（　　） A.①②都正确 B.①②都错误 C.①正确②错误 D.①错误②正确 【答案】A 【解析】由正方形ABCD，BF⊥CE， 得△ABF≌△BCE（ASA）， 得S1+S5＝S1+S4， 得S4＝S5， 由S1+S2+S5＝S3+ S4， 得S1+S2＝S3． 故选：A． 2.如图，正方形ABCD中，M是正方形内一点，连结BM，使BM＝BC，再连接CM，DM，过点D有DN⊥DM，且DN＝DM，连接AN，若∠CBM＝α，则∠DAN的度数是（　　） A.90°﹣2α B.α C.45° D. 【答案】D 【解析】∵BM＝BC，∠CBM＝α， ∴， ∵四边形ABCD是正方形， ∴DC＝DA，∠ADC＝∠DCB＝90°， ∴， ∵DN⊥DM， ∴∠MDN＝90°， ∴∠NDA＝∠MDC， ∵DN＝DM， ∴△NDA≌△MDC（SAS）， ∴， 故选：D． 3.如图，C是AB上一点，分别以AC、BC为边画正方形ACDE与正方形BCFG，连接CG、DG．已知，△CDG的面积为，则正方形ACDE与正方形BCFG的面积的和为（　　） A. B. C.22 D.13 【答案】B 【解析】设AC＝a，BC＝b， ∵四边形ACDE为正方形， ∴CD＝AC＝a， ∵四边形BCFG为正方形， ∴FG＝BC＝b，GF⊥CD， ∵， ∴， ∵△CDG的面积为， ∴， 即2ab＝7， ∴， 即， ∴， ∴正方形ACDE与正方形BCFG的面积的和为， 故选：B． 4.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为2，∠DAO＝60°，则点C的坐标为 　　． 【答案】（，1） 【解析】过点C作CE⊥x轴，CF⊥y轴，如图： ∵正方形ABCD的边长为2，∠DAO＝60°， ∴∠ADO＝30°， ∴AO＝1，DO， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD，∠ADC＝90°， ∴∠ADO＝∠DCF， ∴△AOD≌△DFC（AAS）， ∴AO＝DF＝1，DO＝CF， ∴CE＝1， ∴点C的坐标为：（，1）． 故答案为：（，1）． 5.如图，直线l经过正方形ABCD的顶点A，分别过该正方形的顶点B、D作BE⊥l于E，DF⊥l于F．若BE＝3，DF＝6，则EF的长为 　　． 【答案】9 【解析】∵正方形ABCD， ∴AD＝AB， ∵∠FAD+∠FDA＝90°，且∠EAB+∠FAD＝90°， ∴∠FDA＝∠EAB， 在△ABE和△ADF中， ， ∴△ABE≌△DAF（AAS）， 即AE＝DF＝6，AF＝BE＝3， ∴EF＝AE+AF＝6+3＝9． 故答案为：9． 6.如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边AD，AB上，且AE＝BF，连接CE、DF相交于点M． （1）当∠ADF＝35°时，∠DCE＝　　°； （2）判断CE与DF的关系，并证明． 【答案】解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴CD＝AD＝AB，∠CDE＝∠DAF＝90°， 又∵AE＝BF， ∴DE＝AF， 在△CDE和△DAF中， ， ∴△CDE≌△DAF（SAS）， ∴∠DCE＝∠ADF， ∵∠ADF＝35°， ∴∠DCE＝35°， 故答案为：35； （2）CE，DF的关系是互相垂直且相等． 证明：由（1）知∠DCE＝∠ADF， ∵∠ADF+∠MDC＝∠CDE＝90°， ∴∠DCE+∠MDC＝90°， ∴∠DMC＝90°， ∴CE⊥DF， 即CE，DF的位置关系互相垂直． ∴∠ADF+∠DEC＝90°， ∵∠ADF+∠AFD＝90°， ∴∠DEC＝∠AFD， ∵AD＝DC，∠A＝∠ADC， ∴△EDC≌△FAD（AAS）， ∴CE＝DF， ∴CE，DF的关系是互相垂直且相等． 7.如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，延长CD到F，使DF＝BE，连接AF、EF，若AE＝3，求EF的长． 【答案】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠ADF＝∠ABE， 在△ADF和△ABE中， ， ∴△ADF≌△ABE（SAS）， ∴AF＝AE＝3，∠DAF＝∠BAE， ∵∠BAE+∠EAD＝90°， ∴∠DAF+∠EAD＝90°， ∴∠FAE＝90°， ∴EF3， 即EF的长是3． 九、正方形的判定 1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，添加下列条件不能判定矩形ABCD为正方形的是（　　） A.AC⊥BD B.AB＝AD C.∠BAO＝∠ABO D.∠BAC＝∠DAC 【答案】C 【解析】A、正确．对角线互相垂直的矩形是正方形，不符合题意； B、正确．有一组邻边相等的矩形是正方形，故不符合题意； C、错误．∵四边形ABCD是矩形， ∴OD＝OBBD，OC＝OA，BD＝AC， ∴AO＝OB， ∴∠BAO＝∠ABO， ∴矩形ABCD不能为正方形，故符合题意； D、正确，∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ACB， ∵∠BAC＝∠DAC， ∴∠BAC＝∠ACB， ∴AB＝BC， ∴矩形ABCD是正方形，故不符合题意． 故选：C． 2.学习了正方形之后，老师提出问题：要判断一个四边形是正方形，有哪些思路？ 甲同学说：先判定四边形是菱形，再确定这个菱形有一个角是直角； 乙同学说：先判定四边形是矩形，再确定这个矩形有一组邻边相等； 丙同学说：先判定四边形的对角线相等，再确定对角线互相垂直； 丁同学说：先判定四边形是平行四边形，再确定这个平行四边形有一个角是直角并且有一组邻边相等． 上述四名同学的说法中，正确的是（　　） A.甲、乙 B.甲、丙 C.乙、丙、丁 D.甲、乙、丁 【答案】D 【解析】甲同学说：先判定四边形是菱形，再确定这个菱形有一个角是直角，故选项说法正确； 乙同学说：先判定四边形是矩形，再确定这个矩形有一组邻边相等，故选项说法正确； 丙同学说：判定四边形的对角线相等，并且互相垂直平分；故选项说法错误； 丁同学说：先判定四边形是平行四边形，再确定这个平行四边形有一个角是直角并且有一组邻边相等，故选项说法正确； 故选：D． 3.下列图形：①一组邻边相等的矩形；②两条对角线互相垂直的矩形；③有一个角是直角的菱形；④对角线相等的菱形；⑤对角线互相垂直的平行四边形．其中一定是正方形的有（　　） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【答案】C 【解析】①一组邻边相等的矩形是正方形，正确，符合题意； ②两条对角线互相垂直的矩形是正方形，正确，符合题意； ③有一个角是直角的菱形是正方形，正确，符合题意； ④对角线相等的菱形是正方形，正确，符合题意； ⑤对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不符合题意； 故选：C． 4.将菱形的两个相邻的内角记为m°和n°（m＞n），定义为菱形的“接近度”，则当“接近度”为 　　　　时，这个菱形就是正方形． 【答案】1 【解析】∵有一个角是直角的菱形就是正方形，且菱形相邻的两个内角互补， ∴当菱形相邻的两个内角都为90度时，该菱形是正方形， ∴， ∴当时，这个菱形就是正方形， 故答案为：1． 5.如图，要使矩形ABCD成为正方形，需添加一个条件为 　　　　　　　　． 【答案】AB＝BC或AC⊥BD（答案不唯一） 【解析】添加的条件可以是AB＝BC或AC⊥BD．理由如下： ∵四边形ABCD是矩形，AB＝BC， ∴四边形ABCD是正方形． 故答案为：AB＝BC或AC⊥BD（答案不唯一）． 6.如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF＝BD，连接BF． （1）求证：D是BC的中点； （2）如果AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并说明理由． 【答案】（1）证明：∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DCE， ∵E是AD的中点， ∴AE＝DE， 在△AEF和△DEC中， ， ∴△AEF≌△DEC（AAS）， ∴AF＝DC， ∵AF＝BD， ∴BD＝CD； （2）解：四边形AFBD是矩形． 理由： ∵AB＝AC，D是BC的中点， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB＝90° ∵AF＝BD， ∵过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，即AF∥BC， ∴四边形AFBD是平行四边形， 又∵∠ADB＝90°， ∴四边形AFBD是矩形． 7.如图1，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF，∠CFE的外角平分线交于点A，过点A作AB⊥CE的延长线于B，过点A作AD⊥CF的延长线于D．求证：四边形ABCD是正方形． 【答案】证明：作AG⊥EF于G，如图1所示： ∴∠AGE＝∠AGF＝90°， ∵AB⊥CE，AD⊥CF， ∴∠B＝∠D＝∠C＝90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∵AF平分∠DFE，AE平分∠BEF， ∴∠AEB＝∠AEG，∠AFG＝∠AFD， 在△AEB和△AEG中， ， ∴△AEB≌△AEG（AAS）， ∴AB＝AG， 同理可证明：△AFG≌△AFD（AAS）， ∴AD＝AG， ∴AB＝AD， ∴四边形ABCD是正方形． 十、菱形的四条边相等 1.如图，在菱形ABCD中，E、F分别为AD、CD上的点，且DE＝DF．若∠DAF＝20°，则∠DCE的度数为（　　） A.10° B.16° C.20° D.40° 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是菱形， ∴CD＝AD， 在△CDE和△ADF中， ， ∴△CDE≌△ADF（SAS）， ∴∠DCE＝∠DAF＝20°， 故选：C． 2.如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC＝120°，则MA+MB+MD的最小值是（　　） A. B.3+3 C.6 D. 【答案】D 【解析】如图，过点M作ME⊥AB于点E，连接BD交AC于O， ∵菱形ABCD中，∠ABC＝120°， ∴∠DAB＝60°，AD＝AB＝DC＝BC， ∴△ADB是等边三角形， ∴∠MAE＝30°， ∴AM＝2ME， ∵MD＝MB， ∴MA+MB+MD＝2ME+2DM＝2DE， 点M运动到DE上，且DE⊥射线AB时，DE取得最小值，此时DE最短，即MA+MB+MD最小， ∵菱形ABCD的边长为6， ∴DE3， ∴2DE＝6． ∴MA+MB+MD的最小值是6． 故选：D． 3.如图，直线l1∥l2，菱形ABCD和等边△EFG在l1，l2之间，点A，F分别在l1，l2 上，点B，D、E、G在同一直线上．若∠α＝50°，∠ADE＝146°，则∠β＝（　　） A.42° B.43° C.44° D.45° 【答案】C 【解析】如图，延长BG， ∵∠ADE＝146°， ∴∠ADB＝180°﹣∠ADE＝34°， ∵∠α＝∠ADB+∠AHD， ∴∠AHD＝∠α﹣∠ADB＝50°﹣34°，＝16°， ∵l1∥l2， ∴∠GIF＝∠AHD＝16°， ∵∠EGF＝∠β+∠GIF， ∵△EFG是等边三角形， ∴∠EGF＝60°， ∴∠β＝∠EGF﹣∠GIF＝60°﹣16°＝44°， 故选：C． 4.如图，平面直角坐标系xOy中，四边形AOBC是菱形．若点A的坐标是（6，8），则菱形的周长为 　　． 【答案】40 【解析】过A作AH⊥OB于H， ∵点A的坐标是（6，8）， ∴OH＝6，AH＝8， ∴OA10， ∵菱形的四边相等， ∴菱形的周长为4×10＝40． 故答案为：40． 5.菱形ABCD的周长为12，则边长AB＝　　． 【答案】3 【解析】∵菱形ABCD的周长为12， ∴； 故答案为：3． 6.如图，在菱形ABCD中，P，Q是对角线BD上的两点，连接CP，CQ，且BP＝DQ． （1）求证：∠BCP＝∠QCD； （2）若PQ＝CQ，∠DCQ＝2∠CDQ，求∠A的度数． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴BC＝CD，∠CBD＝∠CDB， 在△BCP和△DCQ中， ， ∴△BCP≌△DCQ（SAS）， ∴∠BCP＝∠DCQ； （2）解：∵△BCP≌△DCQ， ∴CP＝CQ， ∵PQ＝CQ， ∴△PCQ是等边三角形， ∴∠PQC＝60°， ∵∠DCQ＝2∠CDQ，∠PQC＝∠DCQ+∠CDQ， ∴∠DCQ＝∠BCP＝40°， ∴∠BCD＝140°， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠A＝∠BCD＝140°． 7.如图，菱形ABCD中，E，F分别是CB．CD上的点，且BE＝DF．求证：∠AEF＝∠AFE． 【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，∠B＝∠D， 在△ABE和△ADF中， ， ∴△ABE≌△ADF（SAS）， ∴AE＝AF， ∴∠AEF＝∠AFE． 十一、菱形的性质与判定的综合应用 1.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD，连接BD，∠BAD的角平分线交BD，BC分别于点O、E，若EC＝3，CD＝4，则BO的长为（　　） A.4 B.3 C. D.2 【答案】D 【解析】连接DE． 在直角三角形CDE中，EC＝3，CD＝4，根据勾股定理，得DE＝5． ∵AB＝AD，AE平分∠BAD， ∴AE⊥BD， ∴AE垂直平分BD，∠BAE＝∠DAE． ∴DE＝BE＝5． ∵AD∥BC， ∴∠DAE＝∠AEB， ∴∠BAE＝∠AEB， ∴AB＝BE＝5， ∴BC＝BE+EC＝8， ∴四边形ABED是菱形， 由勾股定理得出BD， ∴BOBD＝2， 故选：D． 2.下列关于某个四边形的三个结论：①它对角线互相平分；②它是一个菱形；③它是一个平行四边形．下列推理过程正确的是（　　） A.由②推出③，由③推出① B.由①推出②，由②推出③ C.由③推出①，由①推出② D.由①推出③，由③推出② 【答案】A 【解析】∵对角线互相平分的四边形推不出是菱形、平行四边形不一定是菱形， ∴由①推出②错误，由③推出②错误， 故选项B，C，D错误， 故选：A． 3.如图是以KL所在的直线为对称轴的轴对称图形，六边形EFGHLK的各个内角相等，记四边形HCH′L、四边形EKE′A、△BGF的周长分别为C1、C2、C3，且C1＝2C2＝4C3，已知FG＝LK，EF＝6，则AB的长是（　　） A.9.5 B.10 C.10.5 D.11 【答案】D 【解析】∵六边形EFGHLK的各个内角相等， ∴该六边形的每个内角为120°，每个外角都是60°， ∴△BFG，△AEK，△CHL都是等边三角形， ∴∠B＝∠BAC＝∠ACB＝60°，BF＝FG，AE＝AK，CL＝HL， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，即BF+FE+AE＝AK+KL+CL， 又∵BF＝FG＝KL， ∴EF＝CL＝6＝CH， 由轴对称可得，四边形HCH′L、四边形EKE′A都是菱形， ∵C1＝2C2， ∴AECH＝3， 又∵2C2＝4C3， ∴C3C212＝6， ∴BF6＝2， ∴AB＝BF+EF+AE＝2+6+3＝11， 故选：D． 4.如图，①以点A为圆心2 cm长为半径画弧分别交∠MAN的两边AM、AN于点B、D；②以点B为圆心，AD长为半径画弧，再以点D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点C； ③分别连接BC、CD、AC．若∠MAN＝60°，则∠ACB的大小为 　　． 【答案】30° 【解析】由题意可得：AB＝BC＝CD＝AD＝2 cm， ∴四边形ABCD是菱形， ∴BC∥DA，∠CAB＝∠CAD∠MAN＝30°， ∴∠ACB＝∠CAD＝30°， 故答案为：30°． 5.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，BD＝BC，点E为CD的中点，射线BE交AD的延长线于点F，连接CF．若AD＝1，CF＝2，则BF为 　　． 【答案】2 【解析】∵AD∥BC， ∴∠FDE＝∠BCE， ∵点E为CD的中点， ∴DE＝EC， 在△BCE与△FDE中， ， ∴△BCE≌△FDE（ASA）， ∴BC＝FD， ∵AD∥BC， ∴四边形BCFD为平行四边形， 又∵BD＝BC， ∴平行四边形BCFD是菱形， ∴BD＝DF＝CF＝2， ∴AF＝AD+DF＝3， ∵∠A＝90°， ∴AB， ∴BF2， 故答案为：2． 6.如图，四边形ABCD是菱形，点M、N分别在AB、AD上，且BM＝DN，MG∥AD，NF∥AB，点G、F分别在CD、BC上，MG与NF相交于点E．求证：ME＝NE． 【答案】证明：∵MG∥AD，NF∥AB， ∴四边形AMEN是平行四边形， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD， ∵BM＝DN， ∴AB﹣BM＝AD﹣DN， ∴AM＝AN， ∴四边形AMEN是菱形， ∴ME＝NE． 7.如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）求证：四边形BEDF是菱形． 【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠BAE＝∠DCF， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（SAS）； （2）如图，连接BD，交AC于O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴BD⊥AC，AO＝CO，BO＝DO， ∵AE＝CF， ∴EO＝FO， ∴四边形BEDF是平行四边形， 又∵BD⊥EF， ∴平行四边形BEDF是菱形． 十二、菱形对角线垂直 1.菱形的对角线不具备的性质是（　　） A.对角线互相平分 B.对角线一定相等 C.对角线一定垂直 D.对角线平分一组对角 【答案】B 【解析】菱形的性质：四条边都相等，对角线互相垂直平分，是轴对称图形，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的对角线不一定相等； 故选：B． 2.如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8，则菱形的高为（　　） A. B. C.12 D.24 【答案】B 【解析】设AC与BD交于点O，作出BC边的高h， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AO⊥BO，且AC＝2AO，BD＝2BO． 在Rt△AOB中利用勾股定理可得BO4． ∴BD＝2BO＝8． ∴菱形的面积为BD×AC6×8＝24． 设BC变上的高为h，则BC×h＝24， 即5h＝24， 解得：h． 故选：B． 3.如图，在菱形ABCD中，BD＝3，AC＝2，则该菱形ABCD的面积是（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】A 【解析】∵四边形ABCD是菱形，BD＝3，AC＝2， ∴该菱形ABCD的面积AC•BD3×2＝3， 故选：A． 4.点E是菱形ABCD的对称中心，∠B＝56°，连接AE，则∠BAE的度数为 　　． 【答案】62° 【解析】如图，连接BE， ∵点E是菱形ABCD的对称中心，∠ABC＝56°， ∴点E是菱形ABCD的两对角线的交点， ∴AE⊥BE，∠ABE∠ABC＝28°， ∴∠BAE＝90°﹣∠ABE＝62°． 故答案为：62°． 5.如图，四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，延长BC到点E，CM平分∠DCE，过点D作DF⊥CM，垂足为F．若DF＝1，则对角线BD的长是 　　． 【答案】2 【解析】连接AC交BD于点O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC，∠CBO＝∠ABO，OB＝OD，AC⊥BD， ∵∠ABC＝60°， ∴∠OBC＝30°，∠BCD＝120°， ∴∠DCE＝60°， ∵CM平分∠DCE， ∴∠DCF＝∠ECF＝30°， ∵DF＝1， ∴DC＝2DF＝2， ∴OCCD＝1， ∴OD， ∴BD＝2OD＝2． 故答案为：2． 6.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E． （1）求证：四边形ACDE是平行四边形； （2）若DE＝8，BD＝6，求菱形ABCD的面积． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥CD，AC⊥BD， ∴∠AOD＝90°， ∵BD⊥DE， ∴∠EDB＝90°， ∴∠AOD+∠EDB＝180°， ∴AC∥ED， ∵AB∥CD， ∴四边形ACDE是平行四边形； （2）解：∵四边形ACDE是平行四边形， ∴AC＝DE＝8， ∵BD＝6， ∴菱形ABCD的面积24． 7.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE⊥AD，垂足为点E，AC＝16，BD＝12，求AD、OE的长． 【答案】解：∵菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC＝16，BD＝12， ∴， ∴， ∵OE⊥AD， ∴， ∴． 十三、正方形对角线的性质 1.如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE＝AC，连结CE，则∠BCE的度数是（　　） A.20° B.22.5° C.40 D.67.5° 【答案】B 【解析】∵四边形ABCD是正方形， ∴∠CAB＝∠ACB＝45°， ∵AE＝AC， ∴， ∴∠BCE＝∠ACE﹣∠ACB＝22.5°． 故选：B． 2.如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE，BE交对角线于点F，连接DF，若∠ABE＝35°，则∠CFD的度数为（　　） A.80° B.70° C.75° D.45° 【答案】A 【解析】∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝DC，∠BCF＝∠DCF＝∠BAF＝45°， ∵∠ABE＝35°， ∴∠CFB＝∠ABE+∠BAF＝80°， 在△BCF和△DCF中， ， ∴△BCF≌△DCF（SAS）， ∴∠CFD＝∠CFB＝80°， 故选：A． 3.如图，在正方形ABCD中，E是BD上一点，DE＝DC，F是CB延长线上一点，EF＝EC，连接AF，则∠BAF的度数为（　　） A.15° B.20° C.22.5° D.25° 【答案】C 【解析】连接AE， 由DB是正方形ABCD的对称轴，DE＝DC，EF＝EC， 得EF＝EC＝EA，∠BAE＝∠BCE＝∠EFC， 得∠AEF＝∠ABF＝90°， 得△AEF是等腰直角三角形， 得∠EAF＝45°， 由DE＝DC＝DA，∠EDA＝45°， 得∠DAE＝（180﹣45）÷2＝67.5°， 得∠BAF＝∠DAE+∠EAF﹣∠DAB＝67.5+45﹣90＝22.5°． 故选：C． 4.如图，正方形ABCD的边长为2，菱形BEDF的边长为，则EF的长为 　　． 【答案】2 【解析】如图，连接BD与EF交于点O， ∵四边形正ABCD为正方形， ∴AD＝AB＝2，∠DAB＝90°， 由勾股定理得BD， ∵四边形BEDF为菱形， ∴BD⊥EF，OE＝OF，OD＝OB， ∴∠EOD＝90°，OD， 在Rt△EOD中，由勾股定理得OE， ∴EF＝2OE＝2， 故答案为：2． 5.如图，E是正方形ABCD边BC延长线上的一点，且CE＝BD．则∠E的度数为____度． 【答案】22.5 【解析】连接AC， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC＝BD，∠ACB＝45°， ∵CE＝BD． ∴AC＝CE， ∴∠CAE＝∠E， ∵∠CAE+∠E＝45°， ∴∠E＝22.5°， 故答案为：22.5． 6.如图，在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F，连接AE、AF、CE、CF，且AE＝AF，求证：四边形AECF是菱形． 【答案】证明：设AC与BD交于点O， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，OA＝OC＝OB＝OD， ∵AE＝AF，AO⊥EF， ∴OE＝OF， 又∵OA＝OC， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AE＝AF， ∴四边形AECF是菱形． 7.小明正在思考一道几何证明题： 如图1，在正方形ABCD中，点E，F在对角线AC上，连接DE，DF，BE，BF，且DE＝DF．求证：四边形BFDE是菱形． 请指出小明想法中的错误之处，并按小明的思路，写出正确的证明． 【答案】解：第一步由SSA证明△DEA≌△DFC是错误的； 证明如下：由DE＝DF， 得∠DEO＝∠DFO， 得∠DEA＝∠DFC， 由DA＝DC，∠DAE＝∠DCF＝45°， 得△DEA≌△DFC（AAS）， 得AE＝CF， 连接BD（如图2），交AC于点O， 可证得 OB＝OD，OE＝OF， 得四边形BFDE是平行四边形； 由DE＝DF，四边形BFDE是平行四边形， 得四边形BFDE是菱形． 十四、平行线间的距离 1.如图，已知点A在直线a上，C、B两点在直线b上，且a∥b，∠ABC是个钝角，若AB＝5，则a、b两直线的距离可以是（　　） A.8 B.6 C.5 D.4 【答案】D 【解析】根据平行线之间的距离的定义可得a、b两直线的距离应该小于5， 故选：D． 2.如图，l1∥l2，线段AB与l1、l2分别垂直于点A、B，关于线段AB的长度，下列说法不正确的是（　　） A.是点A到点B的距离 B.是点B到直线l1的距离 C.是直线l1、l2之间的距离 D.是点A到直线l2的最大距离 【答案】D 【解析】∵l1∥l2，线段AB与l1、l2分别垂直于点A、B， ∴线段AB表示的是点A到点B的距离，点B到直线l1的距离，直线l1、l2之间的距离，点A到直线l2的距离， ∴选项A、B、C说法正确，选项D点A到直线l2的最大距离说法错误， 故选：D． 3.如图是两条平行线，则表示这两条平行线间距离的线段有（　　） A.0条 B.1条 C.2条 D.无数条 【答案】D 【解析】表示这两条平行线间距离的线段有无数条， 故选：D． 4.如图，直线l1∥l2，l1和AB的夹角∠DAB＝135°，且AB＝4 mm，则两平行线l1和l2之间的距离是 　　　　． 【答案】2 mm 【解析】过A作AC⊥l2，交l2于点C， ， ∴∠ACB＝90°， ∵直线l1∥l2，∠DAB＝135°， ∴∠ABC＝45°， ∴AC＝AB• sin∠ABC＝2（mm）， 故答案为：2 mm． 5.如图，直线a∥b，直线c与a，b分别交于A，B两点，若AB＝4，∠1＝30°，则直线a，b之间的距离为 　　　． 【答案】2 【解析】如图，作AC⊥b于点C， ∵AB＝4，∠1＝30°， ∴ACAB＝2， ∴直线a，b之间的距离为2． 故答案为：2． 6.如图，直线a∥b，直线AB与a，b分别相交于点A，B，AC⊥AB，AC交直线b于点C． （1）若∠1＝65°，求∠2的度数； （2）若AC＝3，AB＝4，BC＝5，求直线a与b的距离． 【答案】解：（1）∵AC⊥AB， ∴∠2+∠3＝90°， ∵a∥b， ∴∠3＝∠1＝65°， ∴∠2＝90°﹣65°＝25°； （2）设直线a与b的距离为h， ∵AC⊥AB， ∴，即：3×4＝5h， ∴； ∴直线a与b的距离为． 7.如图，已知在四边形ABCD中，AB∥CD，∠C＝∠D． （1）求证：AD＝BC； （2）若AB＝17，AD＝2CD＝10，求AB与CD间的距离． 【答案】（1）证明：过点C，D分别作AB的垂线，垂足分别为E，F，如下图所示： ∵CE⊥AB，DF⊥AB，AB∥CD， ∴CE⊥CD，DF⊥CD， ∴四边形DCEF为矩形， ∴DF＝CE，∠FDC＝∠ECD＝90°，∠AFD＝∠BEC＝90°， ∵∠BCD＝∠ADC， ∴∠BCD﹣∠ECD＝∠ADC﹣∠FDC， ∴∠BCE＝∠ADF， 在△ADF和△BCE中， ， ∴△ADF≌△BCE（ASA）， ∴AD＝BC； （2）解：∵AB＝17，AD＝2CD＝10， ∴CD＝5， ∵四边形DCEF为矩形， ∴EF＝CD＝5， ∵△ADF≌△BCE， ∴AF＝BE（AB﹣EF）（17﹣5）＝6， 在Rt△ADF中，AD＝10，AF＝6， 由勾股定理得：DF8． 故AB与CD间的距离为8． 学科网（北京）股份有限公司 $$