精品解析：内蒙古赤峰市2024-2025学年高一下学期期末联考数学试题

2025年赤峰市高一年级学年联考试题 数学2025.07 考试范围：必修第一册，必修第二册第六章第七章第八章 本试卷共19题，共150分，共6页，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴条形码区域内. 2.选择题答案必须使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次不等式化简集合,即可根据集合的交运算求解. 【详解】， 故， 故选：B 2. 已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由面面平行的性质、线面、面面平行的判定即可判断. 【详解】因为，若，则由线面平行的性质可知，故“”是“”的充分条件， 设，，显然，从而有成立，但此时不平行. 故选：A. 3. 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的性质判断函数在内单调递增，最多有一个零点，分别计算选项中涉及区间的函数值，根据判断区间内存在零点. 【详解】在上单调递增，在上单调递增， 在单调递增，即最多有一个零点. 的零点位于区间 故选：C. 4. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二倍角公式展开，然后弦化切即可得解. 【详解】因为，且， 所以. 故选：D 5. 若函数是奇函数，则实数的值为（ ） A. B. 1 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数定义域为，利用可求，再检验即可. 【详解】因为函数是奇函数，定义域为， 所以，解得， 时，， ， 所以函数是奇函数，则. 故选：C. 6. 已知圆锥的侧面展开图为半圆，则该圆锥的侧面积与其表面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出圆锥底面圆半径与母线的关系即可求解. 【详解】设圆锥底面圆半径为，母线长为，依题意，，则， 所以该圆锥侧面积与其表面积的比为. 故选：B 7. 已知中，分别为角的对边，已知，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦定理可得，由此可得，，然后解三角即可得到周长. 【详解】，由正弦定理得 ， 又， 所以， 则，或，（舍）， 所以，， 则， . 故选：A. 8. 已知是的重心，过点的直线与线段、分别交于点、，，则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据重心的性质先用将表示出来，然后利用向量共线定理得出，最后利用基本 不等式的性质求出的最小值. 【详解】根据重心的性质，重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍. 所以. 因为，所以. 所以. 因为三点共线，根据向量共线定理可得，化简得. 所以. 当且仅当时，即时等号成立，此时的最小值为6. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在复平面内对应的点位于第一象限 C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据复数的共轭复数的定义，复数的几何意义以及模长公式、复数的乘法法则计算即可逐一判断. 【详解】对于A，复数的共轭复数即，故A正确； 对于B，复数对应的点为位于第一象限，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，因，则，，故D错误. 故选：ABC. 10. 函数在一个周期内的图象如图所示，则下列关于函数的说法，正确的有（ ） A. 的最小正周期 B. 是的一个对称中心 C. 在区间上的值域为 D. 将函数的图象向左平移后得到的图象，则 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，由图中可得函数的对称轴，根据正弦函数的对称性，可得其正误；对于B，根据正弦函数的对称性，利用中点坐标公式以及周期，可得其正误；对于C，利用整体思想，根据正弦函数的值域，可得其正误；对于D，根据函数图像的变换以及诱导公式，可得其正误. 【详解】对于A，由图可得函数的最小正周期为，故A正确； 对于B，由，则函数的对称中心为，其中， 显然不存在，使得，故B错误； 对于C，由图可得，由A可知，解得， 由B可得，其中，解得，其中， 所以， 由，则，可得，故C错误； 对于D，由题可得，故D正确. 故选：AD. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点，是线段上的动点，则（ ） A. 存在点使平面 B. 直线与平面所成角的正弦值为 C. 三棱锥的体积是定值 D. 经过四点的球的表面积 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据平行的传递性可得，结合线面平行的判定定理即可判断A；先利用线面垂直的判定定理得平面，根据线面角的定义可知即为所求的线面角，在求解即可判断B；结合三棱锥体积公式判断C；易知经过四点的球即为长方体的外接球，求出球的半径即可判断D. 【详解】 连接，当是的中点时， 因为，所以． 因为平面，平面，所以平面，故A正确， 如图，在正方体中，连接， 设， 因为，分别是，的中点，所以， 根据正方体的性质可知平面，平面， 所以，又，，平面， 所以平面，所以平面， 所以为直线在平面的射影，所以即为所求的线面角， 在中，， 所以，故B错误， 因为为正方体，所以平面， 直线上的点到面的距离为，而， 所以是定值，故C正确， 设G，H分别为的中点， 则为长宽高分别为，，的长方体， 根据分割补形法知：经过四点的球即为长方体的外接球， 所求球的直径满足：， 经过四点的球的表面积为，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12. 命题“”的否定是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在在量词命题易知. 【详解】根据全称量词命题的否定为存在在量词命题可知： 命题“”的否定是. 故答案为： 13. 已知，的夹角为120°，则________________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意可得：， 则：. 14. 已知，则①为奇函数；②；③在上单调递增；④，使与恰有两个交点，则以上结论正确的是_____. 【答案】①② 【解析】 【分析】根据奇函数定义可判断①；借助基本不等式求值域可判断②；取特值验证可判断③；根据奇函数的对称性可判断④. 【详解】对于①，易知的定义域为，且， 所以为奇函数，正确； 对于②，当时，， 当时，， 因为当时，，当且仅当时等号成立，得； 当时，，即，当且仅当时等号成立，得. 综上，，正确； 对于③，易知，所以在上不单调递增，错误； 对于④，易知为上的奇函数，且也是上的奇函数， 所以原点是函数与的一个交点， 由奇函数的对称性可知，函数与的交点个数必为奇数，错误. 故答案为：①② 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在平面直角坐标系中，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序实数对（x,y）叫做在坐标系中的坐标.设. （1）计算的大小； （2）若与互相垂直，求的值； （3）若，求与夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量的模长公式计算即得； （2）根据向量垂直的坐标公式计算即得； （3）利用向量夹角的坐标公式计算即可. 【小问1详解】 因为，所以. 所以. 【小问2详解】 因为，所以. 又， . 解得. 【小问3详解】 设与的夹角为， 由题知，，则. 又，. 则. 16. 已知. （1）求的单调递增区间； （2）求使成立的的取值集合. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换先化简，令，解出即可求解； （2）令，由得，，即，解出即可. 【小问1详解】 由题意有 . ， 令， 解得， 所以增区间为. 【小问2详解】 令， 由得，， 所以， 解得， 所以使成立的的取值集合为. 17. 已知函数. （1）当时，求的单调递减区间； （2）当在上恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数定义域，再利用对数函数、二次函数单调性求出递减区间. （2）按分类求出函数在指定区间上的最大值，再建立不等式求解即得. 【小问1详解】 函数有意义，则，解得， 此时，令， 函数在上单调递增，在上单调递减， 而当时，函数在上单调递增， 所以函数的单调递减区间是. 【小问2详解】 由（1）得，当时，函数在上单调递减，， 依题意，，解得； 当时，函数在上单调递增，， 依题意，，解得， 所以的取值范围是. 18. 已知中，分别为角的对边，设，求证： （1）三角形面积； （2）三角形面积. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意作图，根据三角形面积公式以及锐角三角函数，可得答案； （2）根据余弦定理以及同角三角函数关系式，整理（1）的面积公式，可得答案. 【小问1详解】 证明：过点作垂足为，，. 【小问2详解】 . . 19. 如图（1），在矩形中，，，点为的中点，为线段上一动点.过点作于点的延长线交于点. （1）求的取值范围（只需写出结果，无需推理过程）； （2）现将沿折起，使得平面平面. （i）当点为线段的中点时，求二面角平面角的余弦值； （ii）设直线与平面所成角为，求的最大值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）令，则，即可求解； （2）（i）连接，由已知得，面，即，即证面，即二面角的平面角，在中计算即可； （ii）连接，由面，得直线与平面所成角为有，令，得，最后利用基本不等式即可求解. 【小问1详解】 若令，则，所以， 当点与点重合时，，当点与点重合时，，所以， 所以； 【小问2详解】 （i）连接，由已知得，面，故① 又平面平面，平面平面，， 所以平面平面，所以②， 由①、②及与相交，得面， 则二面角的平面角， 由（1）知，， 所以， 当点为线段的中点时，由，则， 故， 即二面角的平面角的余弦值为. （ii）连接，由面，知直线与平面所成角为 则， 令，则 由，且得，. 当且仅当，即时，取到最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年赤峰市高一年级学年联考试题 数学2025.07 考试范围：必修第一册，必修第二册第六章第七章第八章 本试卷共19题，共150分，共6页，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴条形码区域内. 2.选择题答案必须使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 若函数是奇函数，则实数的值为（ ） A. B. 1 C. D. 3 6. 已知圆锥的侧面展开图为半圆，则该圆锥的侧面积与其表面积之比为（ ） A. B. C. D. 7. 已知中，分别为角的对边，已知，则的周长为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是的重心，过点的直线与线段、分别交于点、，，则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 6 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在复平面内对应的点位于第一象限 C. D. 10. 函数在一个周期内的图象如图所示，则下列关于函数的说法，正确的有（ ） A. 的最小正周期 B. 是的一个对称中心 C. 在区间上的值域为 D. 将函数的图象向左平移后得到的图象，则 11. 如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点，是线段上的动点，则（ ） A. 存在点使平面 B. 直线与平面所成角的正弦值为 C. 三棱锥的体积是定值 D. 经过四点的球的表面积 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12. 命题“”的否定是______. 13. 已知，的夹角为120°，则________________． 14. 已知，则①为奇函数；②；③在上单调递增；④，使与恰有两个交点，则以上结论正确的是_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在平面直角坐标系中，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序实数对（x,y）叫做在坐标系中的坐标.设. （1）计算的大小； （2）若与互相垂直，求的值； （3）若，求与夹角的余弦值. 16. 已知. （1）求的单调递增区间； （2）求使成立的的取值集合. 17. 已知函数. （1）当时，求的单调递减区间； （2）当在上恒成立，求的取值范围. 18. 已知中，分别为角的对边，设，求证： （1）三角形面积； （2）三角形面积. 19. 如图（1），在矩形中，，，点为的中点，为线段上一动点.过点作于点的延长线交于点. （1）求的取值范围（只需写出结果，无需推理过程）； （2）现将沿折起，使得平面平面. （i）当点为线段的中点时，求二面角平面角的余弦值； （ii）设直线与平面所成角为，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $