2.1.1 倾斜角与斜率（教学课件）数学人教A版2019选择性必修第一册

第一章 直线与圆的方程 2.1.1 倾斜角与斜率 ·选择性必修第一册· 学习目标 1 掌握直线的倾斜角与直线斜率的概念（重点）； 2 理解从形和数两个角度刻画直线的倾斜程度，体会数形结合的思想； 3 掌握过两点的直线斜率公式（重点） 会用斜率表示直线方向向量，会用向量方法导出斜率定义的过程（难点） 4 情景导入 01 2.1.1 倾斜角与斜率 引入新知 甲运动员 乙运动员 山地自行车，穿梭林间，征服崎岖，与自然共舞，感受肾上腺素飙升的野性魅力，为此得到了很多自行车爱好者的青睐. 杀入2024年巴黎奥运会的山地自行车运动员米久江，为我国此运动标杆性人物. 思考：右图中，甲乙两个运动员正在进行爬坡骑行，根据你的骑行经验，哪位运动员的骑行会更耗卡路里？主要原因是什么？ 新课探究 02 2.1.1 倾斜角与斜率 新课探究 甲运动员 乙运动员 将山坡抽象为一条直线，并把两个山坡对应的直线放入同一个平面直角坐标系中. 观察：这两条直线有何不同？ y x o 倾斜程度不同 新课探究 思考 确定一条直线的几何要素是什么？ 1、过一点能不能确定一条直线? . y x o 过一个点的直线有无数条 无法确定一条直线 结 论 新课探究 思考 确定一条直线的几何要素是什么？ 2、确定直线方向（已知方向向量）能不能确定一条直线? y x o 方向向量相同的直线有无数条 无法确定一条直线 结 论 水平直线的方向向右， 其他直线向上的方向为这条直线的方向 规 定 新课探究 思考 确定一条直线的几何要素是什么？ 3、确定过某点且确定直线方向能不能确定一条直线? y x o 已知一个点和一个方向 可以确定一条直线 结 论 . 新课探究 作图 要求：在同一坐标系中画多条直线，画的所有直线都过同一个点，但彼此方向不同. O P x y l1 l2 l3 思考 这些直线的区别是它们的方向不同， 我们如何表示这些直线的方向呢？ 由图易知，这些直线倾斜程度不同，也就是它们与轴所成的角不同. 倾 斜 角 新课探究 定义 思考1：当直线与轴平行或重合时，其倾斜角大小是多少？ O P x y l1 思考2：你认为直线的倾斜角的取值范围是什么？ 我们规定，此时直线的倾斜角为 直线倾斜角的范围为： 思考3：倾斜角为何不能等于？ 当倾斜角为时直线轴平行或重合 牛刀小试 练1：判断下列结论是否正确，正确的打“√”，错误的打“×” （1）在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角. （2）方向相同的直线，其倾斜程度相同，倾斜角相等. （3）方向不同的直线，倾斜角可能相等. （4）可以用倾斜角表示一条直线的倾斜程度，也就表示了直线的方向. 牛刀小试 练2： 下图中，表示直线的倾斜角的是( ). A B C D A 解 析 由直线的倾斜角定义：直线向上的方向与x轴正方向之间所成的角 可知，选A 牛刀小试 解 析 练3：(多选)若直线l的向上的方向与y轴的正方向成30°角，则直线l的倾斜角为( ). A．30° B．60° C．120° D．150° BC 牛刀小试 解 析 新课探究 猜想 下面我们利用向量法探究上述问题 倾斜角可以刻画直线倾斜程度，是否还有其他方法刻画直线的倾斜程度呢? 思考 基本事实：两点确定一条直线 ① 这两点的坐标与直线的倾斜角一定有存在某种内在关系 ② 这两点的坐标可以直接刻画直线的倾斜程度 l x y O P1 P2 新课探究 问题1 O x y 新课探究 问题2 O y x α • • α 新课探究 问题3 新课探究 问题4 O y x α • • α O x y P P2 P1 新课探究 思考 当P1P2直线与x轴平行或重合时，上述式子还成立吗? 为什么? 成 立 新课探究 定义 斜率公式 新课探究 铅 直 高 度 水平宽度 思考：倾斜角为90°的直线斜率是多少？ 结论 所有的直线都有倾斜角；但不是所有直线都有斜率. 追问：倾斜角为30°、45°、60°的直线斜率是多少n？ 新课探究 思考：当直线的倾斜角由0°逐渐增大到180°时，其斜率如何变化，为什么？ 利用数形结合的 思想进行分析 ① α为锐角时，α越大，斜率越大，k由0变化到+∞； 结 论 ② α为钝角时，α越大，斜率越大，k由-∞变化到0； ④ 刻画直线倾斜程度： 从形的角度：倾斜角不同，倾斜程度不同 从数的角度：斜率不同，倾斜程度不同， ③ 倾斜角不同，斜率不同，从而斜率可以表示不 等于90°的直线的倾斜程度。 新课探究 结 论 思考1 新课探究 思考2 当直线与y轴平行或重合时，上述式子还成立吗? 为什么? 直线与y轴平行或重合， ① 直线倾斜角为，斜率无意义； ② ，斜率，分母为0，无意义. 结 论 当直线与y轴平行或重合时，上述式子不成立 新课探究 直线的方向向量与斜率 牛刀小试 练1：完成下列表格 k 的范围 k = 0 k > 0 k不存在 k < 0 的值 k 的值 牛刀小试 解 析 牛刀小试 解 析 解 析 牛刀小试 练5：（1）经过A(0, 2), B(-1, 0)两点的直线的方向向量为(2, k)，求k的值. 解 析 （2）已知直线l的一个方向向量为 求直线l的倾斜角和斜率. 解 析 是直线l的一个方向向量, 即 又 ∴直线l的倾斜角为 ，斜率为 牛刀小试 解 析 数学文化 勒奈·笛卡尔 （1596-1650） 法国数学家、科学家和哲学家 皮埃尔·德·费马（1601-1665） 法国律师、业余 数学家 解析几何 坐 标 系 “点” “数” 有序数对或数组 几何 代数 曲线(点的轨迹)的方程 代 方 数 法 研究几何 图形性质 解决 实际问题 直线 圆 几何 要素 平面直角 坐标系 直线的方程 圆的方程 代数 方法 应用新知 03 2.1.1 倾斜角与斜率 应用新知 解 析 应用新知 解 析 应用新知 总结 1、利用两点坐标求斜率应该注意什么？ ① 先判断两点的横坐标是否相等： 相等则斜率不存在，不相等则用斜率公式求斜率； ② 先用斜率公式计算斜率，注意坐标相减的方向，切勿出现以下错误： 2、如何用斜率正负判断倾斜角是锐角还是钝角？ 斜率大于0，倾斜角为锐角；斜率小于0，倾斜角为钝角； 重要题型 2.1.1 倾斜角与斜率 04 重要题型专练 题型一 利用斜率相等求参数值 例题 解析 方法总结 利用同一直线或者平行直线的斜率相等，建立方程，解方 程求解参数值. 重要题型专练 题型二 利用直线的方向向量求斜率 例题 解析 方法总结 重要题型专练 题型三 已知倾斜角的范围求斜率的范围 例题 (1)若直线l的倾斜角α满足45°<α<60°，求直线l的斜率k的取值范围． (2)若直线l的倾斜角α满足120°<α<135°，求直线l的斜率k的取值范围． (3)若直线l的倾斜角α满足45°<α<120°，求直线l的斜率k的取值范围． O 解析 方法总结 利用倾斜角范围求斜率范围，借助数形结合，可快速得出答案. 注意倾斜角范围是否跨90°. 重要题型专练 例题 O 题型四 已知斜率的范围求倾斜角的范围 (1)若直线l的斜率k满足k≥，求直线l的倾斜角α的取值范围． (2)若直线l的斜率k满足k≤，求直线l的倾斜角α的取值范围． (3)若直线l的斜率k满足﹣1<k<1，求直线l的倾斜角α的取值范围． 解析 方法总结 利用斜率的范围求倾斜角范围，借助数形结合， 可快速得出答案.注意斜率范围是否跨 0. 真题感知 2.1.1 倾斜角与斜率 05 真题感知 解 析 真题感知 解 析 真题感知 解 析 真题感知 解 析 真题感知 解 析 真题感知 解 析 真题感知 解 析 真题感知 解 析 真题感知 解 析 课堂笔记 2.1.1 倾斜角与斜率 06 课堂笔记 课堂笔记 课堂笔记 课堂笔记 小结及课后作业 2.1.1 倾斜角与斜率 07 课堂小结 直线的倾斜角与斜率 作业布置 作业1：人教版A版教材55页 练习第1、2、3、4、5题. 作业2：预习 2.1.2 两条直线平行于垂直的判定 。  课后作业答案 解 析 1. 已知下列直线的倾斜角，求直线的斜率: 课后作业答案 2. 已知下列直线的斜率，求直线的倾斜角: 解 析 课后作业答案 3.求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角: (1) C(18, 8)，D(4, -4); (2) P(0, 0)，Q(-1, 3). 解 析 课后作业答案 4. 已知a, b, c是两两不等的实数，求经过下列两点的直线的倾斜角: (1) A(a, c), B(b, c); (2) C(a, b), D(a, c); (3) P(b, b+c), Q(a, c+a). 解 析 课后作业答案 5. 经过A(0, 2), B(-1, 0)两点的直线的方向向量为(1, k)，求k的值. 解 析 本课结束 感谢您的聆听 ·选择性必修第一册· 练4：直线的倾斜角为_________ 直线的斜率不存在，因此倾斜角为. 故答案为：. 练2：如图，若直线，，的斜率分别为，，，则（     ） A． B． C． D． 设直线，，的倾斜角分别为，，，则由图知， 所以，，即，． 故选：A. 练3：经过点、的直线的斜率为 . 经过点、的直线的斜率为. 故答案为：. 练4：已知点和点，则直线的倾斜角为（     ） A． B． C． D． 因为，且，所以的倾斜角，故选：B 练6：已知两点，若直线的倾斜角为，则的值为（    ） A． B．6 C． D．4 因为直线的倾斜角为，则直线的斜率， 又因为，则，解得. 故选：C. 1．（24-25高二上·上海金山·期末） 经过两点和的直线的倾斜角是 . 因为直线过和，所以直线的斜率， 设直线的倾斜角为，所以， 又，则可得．故答案为：. 2．（24-25高二上·浙江杭州·期末） 过点和点的直线倾斜角为（    ） A． B． C． D． 因为点和点的横坐标相等，所以过点和点的直线垂直于x轴（平行于y轴），所以其倾斜角为. 故选：B 3．（24-25高二上·辽宁丹东·期末） 已知向量是直线l的一个方向向量，则直线l的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 由直线的方向向量为可知直线斜率， 又因为倾斜角，且，所以. 故选：C 4．（24-25高二上·湖北·期末） 已知两点，直线的倾斜角为，则实数等于（     ） A． B． C． D． 由题，直线的斜率为， 又，. 故选：B. 5．（24-25高二上·四川南充·期末） 如图所示，直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 直线对应的倾斜角为钝角，则， 直线与都为锐角，且的倾斜角大于的倾斜角， 则，故．故选：B 6．（24-25高二上·广东佛山·期末） 已知点，在斜率为的直线l上，则（    ） A． B． C． D． 设直线l的斜率为，由题意可知斜率. 点，在直线l上，则. 故选：D. 7．（22-23高二上·山西临汾·期末） 若三点在同一直线上，则实数等于（     ） A． B． C．6 D．12 因为三点在同一直线上，所以， 又， 所以，即. 故选：C. 8．（23-24高二上·山东枣庄·阶段练习） 经过两点的直线的倾斜角是钝角，则实数的范围是 . 因为直线的倾斜角是钝角，所以直线斜率存在，所以，即， 且斜率，解不等式得：或. 实数的范围是. 故答案为： 9．（23-24高二上·福建厦门·期中） 已知两点，，过点的直线l与线段AB（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 如图所示： ，而， 观察图可得，直线的斜率取值范围为. 故选：A. 1．直线倾斜角的定义：x轴 与直线 的方向之间所成的角叫作这条直线的 ．当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 ． 2．直线的斜率的定义： 一般地，如果直线l的倾斜角为，则当 时，称 为直线l的斜率；当时，称直线l的斜率 . 3. 斜率的公式：若是直线l上两个不同的点，则当时， 直线l的斜率为 ，当时，直线l的斜率 . 4．直线倾斜角的取值范围 倾斜角的取值范围是 ，当直线与轴平行或重合时，规定倾斜角 ． 5．直线的方向向量 （1）定义：一般地，如果表示非零向量的有向线段所在的直线与直线l ，则称向量为直线l的一个方向向量，记作 ． （2）性质： ① 如果为直线l的一个方向向量，那么对于任意的实数，向量 都是l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量一定 ． ② 如果是直线l上两个不同的点，则 是直线的一个方向向量. 6．设直线的倾斜角为，斜率为． 的大小 的范围 _________________ 不存在 _________________ 的增减性 随的增大而__________ 随的增大而_________ $$