精品解析：云南省临沧地区中学2025-2026学年高二上学期入学摸底检测数学试题

临沧地区中学2026届高二入学摸底检测 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则的最小值是 A. B. C. D. 3. 下列说法不正确的是（ ） A. 一组数据1，4，14，6，13，10，17，19的分位数为5 B. 一组数据，3，2，5，7的中位数为3，则的取值范围是 C. 某工厂生产三种不同型号的产品，产量之比为.现用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取一个容量为的样本，若样本中种型号的产品有8件，则样本容量的值为48 D. 在样本频率分布直方图中共有9个小矩形，若其中1个小矩形的面积等于其他8个小矩形面积和的，且样本容量为210，则该组的频数为50 4. 一种药在病人血液中的量保持以上才有效，现给某病人注射了这种药，如果药在血液中以每小时的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过（ ）小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：，答案采取四舍五入精确到） A. 2.3 B. 3.5 C. 5.6 D. 8.8 5. 若为第一象限角，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知非零向量满足，且，则是（ ） A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形 C. 等腰（非等边）三角形 D. 等边三角形 7. 某地区拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司中选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中各随机抽取3个问题回答，已知这6个招标问题中，甲公司可正确回答其中的4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立的，则甲、乙两家公司共答对2道题目的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 将边长为2的正三角形沿某条线折叠，使得折叠后的立体图形有外接球，则当此立体图形体积最大时，其外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数为z的共轭复数，下列命题正确的是（ ） A. B. C. 若，则z为实数 D. 和z在复平面内对应的点关于虚轴对称 10. 某次学科测试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这100名学生中，成绩位于内的学生成绩方差为12，成绩位于内的同学成绩方差为10.则（ ） 参考公式：样本划分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为;.记样本平均数为，样本方差为，. A. B. 估计该年级学生成绩的上四分位数为85 C. 估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25 D. 估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为86.50 11. 几位同学在研究函数时给出了下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于轴对称 B. 在上单调递减 C. 的值域为 D. 当时，有最大值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设x，，向量，，，且，，则向量与的夹角大小为______． 13. 化简：_____. 14. 已知不等式的解集，若对不等式成立，则实数的最大值为______________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角所对的边分别为，且满足. （1）求角的大小； （2）若的面积为，外接圆的面积为，求. 16. 已知. （1）若，且，求的值； （2）若函数，求的最小值； （3）是否存在实数，使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 17. 如图所示，正四棱锥中，为底面正方形的中心，侧棱与底面所成的角的正切值为. （1）求侧面与底面所成的二面角的大小； （2）若是的中点，求异面直线与所成角的正切值； （3）在（2）的条件下，问在棱上是否存在一点，使侧面，若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由. 18. 某篮球队为提高队员训练的积极性，进行小组投篮游戏，每个小组由两名队员组成，队员甲与队员乙组成一个小组.游戏规则如下：每个小组的两名队员在每轮游戏中分别投篮两次，每小组投进的次数之和不少于3次的称为“神投小组”.已知甲、乙两名队员投进篮球的概率分别为，. （1）若，，求他们在第一轮游戏获得“神投小组”称号的概率； （2）若，则在游戏中，甲、乙两名队员想要获得297次“神投小组”的称号，理论上他们小组至少要进行多少轮游戏才行？并求此时，的值. 19. 已知幂函数满足. （1）求函数的解析式； （2）若函数，，且的最小值为0，求实数的值. （3）若函数，是否存在实数，使函数在上的值域为？若存在，求出实数的取值范围，若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临沧地区中学2026届高二入学摸底检测 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合A、B，再根据集合交并补运算直接计算即可判断. 【详解】，， 则，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确． 故选：D 2. 已知，则的最小值是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将代数式与代数式相乘，展开后利用基本不等式求出代数式的最小值，然后在不等式两边同时除以可得出答案． 【详解】因为 ， 又，所以， 当且仅当时取，故选B． 【点睛】本题考查利用基本不等式求代数式的最值，在利用基本不等式求最值时，要注意配凑“定值”的条件，注意“一正、二定、三相等”基本思想的应用． 3. 下列说法不正确的是（ ） A. 一组数据1，4，14，6，13，10，17，19的分位数为5 B. 一组数据，3，2，5，7的中位数为3，则的取值范围是 C. 某工厂生产三种不同型号的产品，产量之比为.现用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取一个容量为的样本，若样本中种型号的产品有8件，则样本容量的值为48 D. 在样本频率分布直方图中共有9个小矩形，若其中1个小矩形的面积等于其他8个小矩形面积和的，且样本容量为210，则该组的频数为50 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，将数据按照从小到大的顺序排列，根据分位数的定义和计算方法求解即可；对于B，根据中位数的定义，将问题转化为3要位于整组数据从小到大排序后的第3个数，应放在哪个位置，即可得出的取值范围；对于C，根据分层随机抽样的性质，总体中各类比例即为样本中各类比例，计算样本中型号的产品数量，将样本中三个型号的产品数量相加即为样本容量；对于D，根据频率分布直方图中所有小矩形的面积和为1得到该组频率，样本容量乘以频率即为频数. 【详解】对于A，将数据按照从小到大的顺序排列为1，4，6，10，13，14，17，19，该组数据共8个，，因此取第2个数和第3个数的平均数作为分位数，即，A正确； 对于B，该组数据共5个，因此取按照从小到大的顺序排列后的第3个数作为中位数，将除去外的已知数据按照从小到大的顺序排列为2，3，5，7，即加入后第3个数为3，则的取值范围是，B正确； 对于C，依题意，某工厂生产三种不同型号的产品，产量之比为，则用分层随机抽样的方法，若样本中种型号的产品有8件，那么样本中种型号的产品有16件，种型号的产品有24件，故容量为，C正确； 对于D，设其他8个小矩形面积和为，则其中1个小矩形的面积为，由样本频率分布直方图中所有小矩形的面积和为1可得，，解得，即该组频率为，频数为，故D错误. 故选：D. 4. 一种药在病人血液中的量保持以上才有效，现给某病人注射了这种药，如果药在血液中以每小时的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过（ ）小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：，答案采取四舍五入精确到） A. 2.3 B. 3.5 C. 5.6 D. 8.8 【答案】A 【解析】 【分析】设从现在起经过小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．根据题意列出指数等式，再利用指对关系和对数的运算性质以及条件进行求解. 【详解】设从现在起经过小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效． 则，故， 两边取对数得，， 所以. 故选：A. 5. 若为第一象限角，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二倍角的正弦、诱导公式及同角的三角函数基本关系式可得，根据两角差的余弦、倍角公式结合弦切互化法可求三角函数式的值. 【详解】∵，∴ ∵为第一象限角，∴，即 ∴ 故选：B. 6. 已知非零向量满足，且，则是（ ） A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形 C. 等腰（非等边）三角形 D. 等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由得到的角平分线与垂直，从而得到，再由得到，从而为等边三角形. 【详解】由得的角平分线与垂直，所以， 又因为，，所以， 所以为等边三角形， 故选：D. 7. 某地区拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司中选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中各随机抽取3个问题回答，已知这6个招标问题中，甲公司可正确回答其中的4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立的，则甲、乙两家公司共答对2道题目的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知甲、乙各答对1道题，或甲答对2道题、乙答对0道题，然后根据互斥事件和相互独立事件的概率公式求解即可 【详解】由题意可知甲、乙各答对1道题，或甲答对2道题、乙答对0道题， 所以所求概率. 故选：B. 8. 将边长为2的正三角形沿某条线折叠，使得折叠后的立体图形有外接球，则当此立体图形体积最大时，其外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先分类讨论得出，满足题意的直线为，且此时，进一步求出底面四边形外接圆圆心坐标、半径，从而得到直线的距离，设出外接球球心到底面的距离，结合可得，由此可得外接球半径，进而即可求解. 【详解】若将边长为2的正三角形沿某条线折叠，且这条线过三角形的某个顶点且不垂直于三角形的边， 由题意以为原点，以边长为2的等边三角形的边为轴，边上的高为轴建立如图所示的平面直角坐标系： 由题意， 不失一般性，设（也就是设点在不包含端点的线段上）， 在中，令得， 所以的面积为， 而点到直线的距离为， 此时三棱锥体积的最大值为（此时面面）， 所以， 所以； 若将边长为2的正三角形沿某条线折叠，且这条线过三角形的某个顶点且垂直于三角形的边， 此时上述情况中的点与原点重合， 此时三棱锥体积的最大值为 （此时面面）， 其中为点到的距离，即的长度； 将边长为2的正三角形沿某条线折叠，且这条线不过三角形的任何顶点，如图所示： 不失一般性，设该直线分别与交于点， 折叠后的立体图形有外接球，则四点共圆，从而， 又因为， 所以，所以， 由题意，设， 所以， 过点向引垂线，垂足为，则， 所以四棱锥体积的最大值为 （此时四边形与三角形垂直）， 从而，或， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当且仅当时，有， 综上所述，满足题意的直线为，且此时， 此时我们首先来求四边形外接圆圆心， 因为中点坐标为，斜率为， 所以的垂直平分线方程为， 而中垂直线方程为， 从而解得， 所以四边形外接圆半径为， 而到直线的距离为， 又满足题意的四棱锥的高为， 设满足题意的四棱锥的外接球球心为， 设球心到平面的距离为， 则由可得，，即， 解得， 从而满足题意的外接球表面积为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：关键是得出满足题意的直线为，且此时，由此即可顺利得解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数为z的共轭复数，下列命题正确的是（ ） A. B. C. 若，则z为实数 D. 和z在复平面内对应的点关于虚轴对称 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据复数的相关概念和几何意义，逐项分析判断即可得解. 【详解】∵，∴A正确； 共轭复数的模相等，∴B正确； ，∴C正确. 和z在复平面内对应的点关于实轴对称，∴D错误； 故选：ABC 10. 某次学科测试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这100名学生中，成绩位于内的学生成绩方差为12，成绩位于内的同学成绩方差为10.则（ ） 参考公式：样本划分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为;.记样本平均数为，样本方差为，. A. B. 估计该年级学生成绩的上四分位数为85 C. 估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25 D. 估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为86.50 【答案】BC 【解析】 【分析】利用频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为1，列等式求出实数的值，可判断A选项；利用百分位数的定义可判断B选项；利用方差公式可判断C选项；利用总体平均数公式可判断D选项. 【详解】对于A，在频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为1， 则，解得，A错误； 对于B，上四分位数为第分位数， 前三个矩形的面积之和为， 前四个矩形的面积之和为， 设该年级学生成绩的上四分位数，即第分位数为，则， 根据百分位数的定义可得，B正确； 对于D，估计成绩在80分以上的同学的成绩的平均数为分，D错误， 对于C，估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为 ，C正确. 故选：BC 11. 几位同学在研究函数时给出了下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于轴对称 B. 在上单调递减 C. 的值域为 D. 当时，有最大值 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A：利用定义研究函数奇偶性； 对B：化简整理函数，利用反比例函数平移可知函数的单调性；对C：利用不等式的性质分析的值域；对D：利用单调性与对称性分析判断的最值. 【详解】由题意可得：函数的定义域为， 对A：∵，故为偶函数，即的图象关于轴对称，A正确； 对B：当时，是由向右平移2个单位得到，故在上单调递减，B正确； 对C：∵，则，故的值域为，C错误； 对D：当时，是由向右平移2个单位得到，故在上单调递减， ∵为偶函数，则在上单调递增，故当时，有最大值，D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设x，，向量，，，且，，则向量与的夹角大小为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量垂直和平行关系求出，进而求出，从而利用向量夹角余弦公式进行计算. 【详解】由题意得，解得， 故，， 则， 因为，所以. 故答案为： 13. 化简：_____. 【答案】 【解析】 【分析】通分后，利用辅助角公式、诱导公式，两角和与差等三角恒等相关公式化简 【详解】原式 . 故答案为：. 14. 已知不等式的解集，若对不等式成立，则实数的最大值为______________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集求参数，代入所求不等式，利用二次函数根的分布列不等式即可得实数的最大值. 【详解】解：不等式的解集，则方程的两根为，且，所以，解得， 所以不等式为，对不等式恒成立，则①，解得， 或②，无解. 综上，，所以实数的最大值为. 故答案为：5. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角所对的边分别为，且满足. （1）求角的大小； （2）若的面积为，外接圆的面积为，求. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由正弦定理可得，由余弦定理求出，结合的范围可得答案； （2）求出外接圆的半径由正弦定理求出，根据的面积求出，再由余弦定理可得，联立可得答案. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得， 所以，由余弦定理可得， 因为，所以； 【小问2详解】 设外接圆的半径为，因为外接圆的面积为， 所以，解得， 由正弦定理可得， 若的面积为，则，可得，① 由余弦定理可得，② 由①②可得，或. 16. 已知. （1）若，且，求的值； （2）若函数，求的最小值； （3）是否存在实数，使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）0；（3）存在， 【解析】 【分析】（1），根据向量共线公式计算得到答案. （2），得到最值. （3），根据垂直得到，得到范围. 【详解】（1），又，∴，即. ，∴. （2）∵，，∴. ∴当时，有最小值，且最小值为. （3）， 若，则，即， ∴. 由，得，∴，故. ∴存在，使得. 【点睛】本题考查了向量共线求参数，数量积，根据垂直求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力. 17. 如图所示，正四棱锥中，为底面正方形的中心，侧棱与底面所成的角的正切值为. （1）求侧面与底面所成的二面角的大小； （2）若是的中点，求异面直线与所成角的正切值； （3）在（2）的条件下，问在棱上是否存在一点，使侧面，若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在，是的等分点，靠近点的位置 【解析】 【分析】（1）取中点，连接、，由正四棱锥的性质知为所求二面角的平面角，为侧棱与底面所成的角，设，求出的值，即可得解； （2）依题意连接、，可知为异面直线与所成的角，证明出，计算出、的长，即可求得结果； （3）延长交于，取的中点，连接、，易得平面，可得平面平面，分析出为正三角形，易证平面，取的中点，连接，可得四边形为平行四边形，从而，可得平面，即可得出结论. 【小问1详解】 解：取的中点，连接、， 由正四棱锥的性质可知平面，平面，则， 依条件可知，则为所求二面角的平面角. 面，则为侧棱与底面所成的角，则， 设，则，所以，， 则，因为，故. 【小问2详解】 解：连接、， 所以，为异面直线与所成的角. 平面，平面，则， ，，平面， 又平面，. ，所以，. 【小问3详解】 解：延长交于，则为的中点，取的中点，连接、. 因为，为的中点，则，同理可得， ，故平面， 平面，平面平面， 又，， 所以，为正三角形，为的中点，则， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以，平面， 取的中点，连接， 、分别为、的中点，则且， 因为且，、分别为、的中点，则且， 为的中点，则且，故且， 所以，四边形为平行四边形，则，故平面. 因此，是的等分点，靠近点的位置. 18. 某篮球队为提高队员训练的积极性，进行小组投篮游戏，每个小组由两名队员组成，队员甲与队员乙组成一个小组.游戏规则如下：每个小组的两名队员在每轮游戏中分别投篮两次，每小组投进的次数之和不少于3次的称为“神投小组”.已知甲、乙两名队员投进篮球的概率分别为，. （1）若，，求他们在第一轮游戏获得“神投小组”称号的概率； （2）若，则在游戏中，甲、乙两名队员想要获得297次“神投小组”的称号，理论上他们小组至少要进行多少轮游戏才行？并求此时，的值. 【答案】（1） （2）至少需要进行625轮游戏 【解析】 【分析】(1)根据获得“神投小组”称号的分类求概率即可； (2)利用二项分布概率的数学期望即可求解. 【小问1详解】 他们在第一轮游戏获得“神投小组”称号的概率等于. 【小问2详解】 由（1）可知他们在一轮游戏中获得“神投小组”称号的概率为 , 因为，所以, 且， 令则，， 因为对称轴， 所以当时概率最大为， 此时， 设他们在场比赛获得神投小组称号的次数为，每场获得神投小组称号的概率为， 则，所以，所以， 解得， 即至少需要进行625轮游戏. 19. 已知幂函数满足. （1）求函数的解析式； （2）若函数，，且的最小值为0，求实数的值. （3）若函数，是否存在实数，使函数在上的值域为？若存在，求出实数的取值范围，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）；（3）存在；实数的取值范围. 【解析】 【分析】 （1）根据为幂函数，由求得p，再由确定. （2）由（1）得，令，转化为，，利用二次函数性质求解. （3），易知在上单调递减，由，得到，令，转化为，利用二次函数的性质求解. 【详解】（1）∵为幂函数， ∴，∴或. 当时，在上单调递减，故不符合题意. 当时，在上单调递增， 故，符合题意. ∴. （2）， 令. ∵， ∴， ∴，. ①当时，即时，则当时，有最小值， ∴，. ②当时，即时，则当时，有最小值. ∴，（舍）. ③当时，即时，则当时，有最小值， ∴，（舍）. 综上所述. （3），易知在上单调递减， ∴，即， 两式相减， 又， ∴， 故有. 因为且，， 所以，解得， 令，∴， ∴，， 所以， 故实数的取值范围. 【点睛】方法点睛；(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $