专题17：一元二次方程的应用（一） 暑假班预修讲义 2025--2026学年沪教版八年级数学上册

2025年新八年级（沪教版2024）暑假班预修提升课程 专题17 一元二次方程的应用（一） 知识点一、二次三项式的因式分解 1. 二次三项式的因式分解 如果一元二次方程（a≠0）实数根是, 那么二次三项式的分解式为 2. 利用公式法将二次三项式分解因式的步骤 (1) 求二次三项式所对应的一元二次方程 （a≠0）的两个根; (2) 将求得的的值代入中. 注意： 1. 有些二次三项式可用十字相乘法进行因式分解； 2.当时，分解式中的因不要漏写.当时，,此时称 为完全平方式. 3.把二次三项式（a≠0）分解因式时， (1)如果,那么先求出方程的两个实数根，再写出分解式. (2)如果,那么方程没有实数根，在实数范围内不能因式分解 知识点二、列一元二次方程解实际问题的一般步骤 1.列方程解实际问题的实质 列方程解实际问题就是先把实际问题抽象为数学问题(即转化)然后通过解决数学问题来解决实际问题。 2.列一元二次方程解实际问题的一般步骤 (1) 审:是指审清题意,明确哪些是已知量,哪些是未知量以及它们之间的数量关系. (2) 设:是指设元,也就是设未知数,设元又分直接设元和间接设元.所谓直接设元就是问什么设什么;如果直接设元列方程比较难或列出的方程比较复杂,这时可以考虑间接设元,间接设元虽然所设未知数不是我们所要求的,但更便于列出方程,因此间接设元也是常用的一种方法. (3) 列:列方程,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个等量关系,然后列代数式表示这个等量关系，就得到含有未知数的等式，即方程. (4) 解:解方程,求出未知数的值. (5) 验:检验方程的解是否正确及能否使实际问题有意义. (6) 答:回答问题一定要遵循“问什么答什么，怎样问就怎样答”的原则. 题型01：二次三项式的因式分解 【例1】在实数范围内分解因式： （1）； （2）； （3）； （4）． 【例2】在实数范围内分解因式： (1)；(2)；(3)；(4)． 【例3】实数范围内因式分解： （1）．（2） （3） 【跟踪训练】 1.下列各式哪个是二次三项式的因式分解（         ） A． B． C． D． 2.二次三项式2x2-8x+5在实数范围内因式分解为（    ） A． B． C． D． 3．在实数范围内因式分解，下列四个答案中正确的是（    ）. A． B． C． D． 4.在实数范围内因式分解： （1） （2） （3） 5.在实数范围内因式分解： （1） （2） 6. 在实数范围内因式分解： （1） （2） （3） （4） 题型02：实数范围内分解因式求参数取值范围 【名师点拨】二次三项式在实数范围内分解问题，先将其转化成二次三项式对应的方程，然后再根据判别式解不等式求出参数的取值范围. 【例4】 二次三项式，当取何值时， (1)在实数范围内能分解； (2)不能分解； (3)能分解成一个完全平方式，这个完全平方式是什么？ 【跟踪训练】 1. 二次三项式，当a取何值时， (1)在实数范围内能分解； (2)能分解成两个相同的因式； (3)不能因式分解． 题型03：一元二次方程应用（数字问题） 【名师点拨】解决此类题的关键是厘清数量关系,若题目涉及多个数的和、差、倍、分等关系,可先设其中任意一个数为x,则其他数可用含x的代数式表示出来，再根据题目条件列方程求解。 数字问题不算难，巧妙设元是关键正确而巧妙地设出未知数，一般采用如下的间接设元法: (1)三个连续整数的表示:一般设中间一个数是x，则其余两个数分别为x-1,x+1. (2)三个连续偶数或三个连续奇数的两种表示: ①设中间偶(奇)数为x,则三个连续偶(奇)数可表示为x-2,x,x+2. ②三个连续偶数可以表示为2x-2,2x,2x+2;三个连续奇数可以表示为 2x-3,2x-1,2x+1. (3)两位数的表示方法:若十位、个位上的数字分别为a,b,则这个两位数可表示为 10a +b. (4)三位数的表示方法:若百位、十位、个位上的数字分别为 a,b,c,则这个三位数可表示为100a+10b+c. 【例5】（24-25八年级上·上海闵行·期中）已知两个相邻的偶数之积为，若设较小的偶数为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【例6】一个两位数，个位数字比十位数字小1，且个位数字与十位数字的乘积等于72．求这个两位数． 【跟踪训练】 1．两个连续正整数的平方和为113，则这两个数的积是 ． 2．一个两位数，个位数字与十位数字之和是5，十位数字与个位数字对调后所得的数与原数相乘，得736，这个两位数是 ． 3．一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大，则这个两位数为（   ） A．25 B．36 C．25或36 D．或 4.【阅读与理解】已知整数a与b的平方之和可以表示为，现有两个连续的正整数： (1)若这两个连续的正整数中，较小的数是3，求它们的平方之和是多少？ (2)若这两个连续正整数的平方之和是41，求这两个正整数分别是多少？ 题型04：一元二次方程应用（增长率问题） 【名师点拨】增长(降低)率通法： (1)平均增长率是指增长数与基数的比.若基数为a,增长率为x,则一次增长后的值为a(1+x),两次增长后的值为 a(1+x)².依此类推,n次增长后的值为a(1+x)n， (2)平均降低率是指降低数与基数的比,若基数为a,降低率为x,则一次降低后的值为a(1-x)，两次降低后的值为a(1-x)².依此类推，n次降低后的值为a(1-x)n. 【例7】某件商品原价为200元，经过两次促销降价后的价格为164元，如果连续两次降价的百分率相同，设两次降价的百分率都是x，那么可以列出方程 ． 【例8】某型号的手机经过连续两次降价，每部售价由原来的1152元降到了800元．设平均每次降价的百分率为x，列出关于x的方程 ． 【跟踪训练】 1．某超市一月份的营业额为100万元，已知第一季度的总营业额为700万元，如果每个月比上一个月的增长率都相同，设这个增长率为x，那么列出的方程是 ． 2.公安部提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售500个，6月份销售720个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．则该品牌头盔销售量的月增长率为 ． 3．某工厂自1月至3月的生产收入以相同的百分率逐月增长、经预算，1月份生产收入为25万元，一季度的生产收入可达91万元，设2月和3月工厂每月生产收入增长的百分率都为，可列方程 4.某商场一月份的营业额为万元，第一季度营业总额为万元，若平均每月增长率为x，则可列方程为 A． B． C． D． 5.某工厂为了提高生产效率，正对生产线进行技术改革，在第一试验阶段实现了日产量1500件的目标，第三试验阶段实现了日产量2160件的目标． (1)如果第二阶段、第三阶段日产量的增长率相同，求该生产线日产量的增长率； (2)按照（1）中的日产量增长率，该工厂期望第四试验阶段日产量能达到2500件，请通过计算说明他们的目标能否实现． 6.随着电商平台的增多和市场竞争的加剧，“双十一”活动的竞争变得更加激烈，到处都弥漫着促销的气息，为了吸引消费者，许多网店商家都会进行打折让利的促销活动．某家网店为了在双十一期间抢占商机，现推出一系列的促销活动，在销售商品时，成本为40元，标价90元． (1)“双十一”购物活动当天，网店连续两次降价销售商品吸引买主，问平均每次降价率为多少，才能使这件商品的售价为57.6元？ (2)经调查，该商品每降0.2元，即可多销售100件，已知商品售价57.6元时，可以卖出500件，若该网店希望双十一当天获利13600元，且尽可能扩大销售量，则该商品在连续两次降价的基础上应如何调整？ 题型05：一元二次方程应用（围栏问题） 【例9】如图某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m），另三边用木栏围成，木栏长40m. （1）鸡场的面积能达到180m2吗？ （2）鸡场的面积能达到200m2吗？ （3）鸡场的面积能达到250m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由. （4）①这道题目是依据什么作为相等关系来列方程的？ ②“墙长18m”这个条件在题目中有怎样的作用？ 【例10】如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）． （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m2的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到650m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【跟踪训练】 1．如图，学校为美化环境，在靠墙的一侧设计了一块矩形花圃ABCD，其中，墙长19m，花圃三边外围用篱笆围起，共用篱笆30m． （1）若花圃的面积为100m2，求花圃一边AB的长； （2）花圃的面积能达到120m2吗？说明理由． 2．为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园ABCD（如图），生态园一面靠墙（墙足够长），另外三面用18m的篱笆围成．生态园的面积能否为40m2？如果能，请求出AB的长；如果不能，请说明理由． 3．为培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃ABCD．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为15米）另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域，并在如图所示的两处各留1米宽的门（门不用木栏），修建所用木栏总长28米，设矩形ABCD的一边CD长为x米． （1）矩形ABCD的面积为72m2，求出AB的长． （2）矩形ABCD的面积能否为80m2，若能，请求出AB的长；若不能，请说明理由． 4．（23-24八年级上·上海浦东新·期中）如图，某艺术中心准备用26米长的墙为一边，用48米隔栏绳为另三边，设立一个面积为300平方米的长方形等候区，为了方便群众进出，在两边空出两个各为1米的出入口（出入口不用隔栏绳）．假设这个长方形平行于墙的一边为长，垂直于墙的一边为宽，那么围成的这个长方形的长与宽分别是多少米？    5．（23-24八年级上·上海金山·期中）在“金山情一日游”的研学活动中，小明发现某农场有一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，墙长米，养鸡场的面积是平方米．    (1)据农场管理人员介绍，养鸡场今年养鸡只，计划明后两年增长率相同，预估后年养鸡只，请求出这个增长率； (2)为了改善养鸡场环境，今年对养鸡场进行重建，重建后的养鸡场如图所示，围成养鸡场的板材共用去米，在板材上有两处各开了一扇宽为米的门，养鸡场的面积不变，求重建后的养鸡场的宽为多少米？ 题型06：一元二次方程应用（小路问题） 【名师点拨】对于小路问题，先把小路移到移到一边，不论小路是垂直的还是斜着的，都可以按照上述的方法进行计算。 【例11】如图，某农场有一块长40m，宽32m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为1140m2，求小路的宽． 　 【例12】改善小区环境，争创文明家园．如图所示，某社区决定在一块长（AD）16m，宽（AB）9m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为112m2，则小路的宽应为多少？ 【例13】现要在一个长为，宽为的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为，设小道的宽度应是，列方程得：______． 【跟踪训练】 1．如图，在长为，宽为的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路（其中有两条纵向和一条横向，横向与纵向道路互相垂直），把耕地分成六块作为试验田，要使试验田总面积为，问道路应为多宽？若设道路宽为，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在宽为米、长为米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为平方米，则设道路的宽为米，根据题意，列方程（    ） A． B． C． D． 3.如图，在长宽比为的矩形场地修筑同样宽为的道路(道路与矩形边平行或垂直)，余下的部分种上草坪，且草坪的面积为，应选择的矩形场地的长和宽分别是多少? 4．学校体育组准备在操场上划出一块长方形区域开展跳绳比赛，比赛区域包括六块相同的跳绳场地及预留道路，如图是比赛区域的规划图，现知道每块跳绳场地的长是宽的两倍（场地间空隙忽略不计），预留道路的宽度为4米，比赛区域的总面积为144平方米．请你根据以上信息，求比赛区域的长和宽分别是多少米？ 题型07：一元二次方程应用（图形问题） 【例14】数学兴趣小组利用长方形纸板制作礼品盒，选择长为，宽为的长方形纸板，如图，在其四角分别剪去两个同样大小的正方形和两个同样大小的长方形（阴影部分），再把剩余部分沿虚线折起来得长方体礼品盒． (1)当礼盒底面的长是宽的4倍时，求该长方体礼品盒的体积； (2)当礼盒的侧面的面积为，求剪去的小正方形的边长． 【跟踪训练】 1.将一个容积为的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．则该包装盒图中的值为 ． 2．如图是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是的一个无盖长方体纸盒，设剪去的正方形边长为 ，那么满足的方程是　　 A． B． C． D． 3．如图，把一张长，宽的长方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）． (1)要使无盖长方体盒子的底面积为，那么剪去的正方形的边长为多少？ (2)你认为折合而成的无盖长方体盒子的侧面积有可能等于吗？请说明理由 (3)当把长方形硬纸板的四周分别剪去个同样大小的正方形和个同样形状、同样大小的长方形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，它的侧面积（指的是高为剪去的正方形边长的长方体的侧面积）为时请直接写出结果并画出平面示意图 一、选择题 1．（2024闵行区八年级期中）下列多项式，在实数范围内能用公式法分解因式的有（    ）. ①；②；③；④；⑤；⑥. A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2.（2024浦东新区八年级期中）如果二次三项式在实数范围内不能分解因式，那么的取值范围是（    ）. A．或 B． C． D．且 3．（23-24八年级上·上海宝山·期末）随着互联网购物急速增加，快递业逐渐成为我国发展最快的行业之一，某快递店十月份揽件5000件、十月、十一月、十二月合计揽件20000件，如果该快递店十一月、十二月月揽件量的增长率都是x，那么由题意可得方程（　　） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·上海闵行·期中）如图，从一个长10分米、宽8分米的铁片中间截去一个面积为60平方分米的小长方形，使剩下长方形框四周宽度一样．如果设这个宽度为分米，那么所列出的方程是（     ） A．； B．； C．； D．． 5．（2024延安中学八年级期中）一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数是多少？ 二、填空题 6.（2023秋·上海杨浦·八年级统考期末）在实数范围内分解因式 ． 7．（2024宝山区八年级期中）在实数范围内分解因式： ． 8．（2024闵行区八年级期中）在实数范围内分解因式： ． 9．（2024松江区八年级期中）已知一个两位数，十位上的数字是个位上的数字的倍，十位上的数字的平方与个位上的数字的倍之和正好是这个两位数，则这个两位数是 ． 10．在国家政策的宏观调控下，某市的商品房成交均价由去年10月份的7000元/m2下降到12月份的5670元/m2，则11、12两月平均每月降价的百分率是 %． 11．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）某型号铝塑板材7月份价格为50元，9月份价格为72元，若7至9月价格的增长率相同，则每月增长的百分率是 ． 12．（23-24八年级上·上海浦东新·期中）某地2023年6月份的房价平均每平方米为21000元，该地2021年同期的房价平均每平方米为16800万元，假设这两年该地房价的平均增长率均为x，则可列关于x的方程为： ． 13．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）如图，在长为米、宽为米的长方形绿地内，修筑三条相同宽且分别平行于长方形相邻两边的道路，把绿地分成块，这块绿地的总面积为平方米．如果设道路宽为米，由题意所列出关于的方程是 ． 14．（22-23八年级上·上海静安·期中）如图，在一个长为，宽为的矩形花园中修建小道（图中阴影部分），其中，每段小道的两边缘平行，剩余的地方种植花草，要使种植花草的面积为，那么可列方程（不用化简）为    3、 解答题 15．（2024徐汇区八年级期中）在手工活动课上，轩轩同学为了制作一个底面积是的有盖的长方体纸盒，他把一张长，宽的矩形纸张，将其两边剪去两个全等的矩形（如图①），剩余部分（阴影部分）经过折叠后得到一个长方体纸盒（如图②）．求长方体纸盒的长、宽、高各是多少？ 16. （2025实验西校月考）用12米长的一根铁丝围成长方形。 （1）如果长方形的面积为5m,那么此时长方形的长是多少？宽是多少？如果面积是8 m 呢？ （2）能否围成面积是10 m的长方形？为什么? （3）能围成的长方形的最大面积是多少？ 17.（2024闵行区八年级期中）某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2，�上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m． （1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？ （2）如果计划每天挖土48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？ 18.（2024普陀区八年级期中）某商场在五一期间将单价400元的某种商品经过两次降价后，以324元的价格出售． (1)求平均每次降价的百分率； (2)售货员向经理建议：先公布降价，然后再降价，这样更有吸引力，请问售货员的方案对顾客是否更优惠？为什么？ 19．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）某单位组织员工前往九棵树艺术中心欣赏民族舞表演．表演前，主办方工作人员准备利用米长的墙为一边，用米隔栏绳为另三边，设立一个面积为平方米的长方形等候区，如图，为了方便群众进出，在两边空出两个各为米的出入口（出入口不用隔栏绳）．假设这个长方形平行于墙的一边为长，垂直于墙的一边为宽，那么围成的这个长方形的长与宽分别是多少米？ 20．（2022秋·上海黄浦·八年级上海市黄浦大同初级中学校考期中）第二十二届中国上海国际艺术节首次移师上海市黄浦区南京东路第一百货商业中心．主办方工作人员准备利用一边靠墙（墙长25米）的空旷场地为提前到场的观众设立面积为320平方米的封闭型长方形等候区．如图，为了方便观众进出，在两边空出两个宽各为1米的出入口，共用去隔栏绳50米．请问，工作人员围成的这个长方形的相邻两边长分别是多少米？ 21．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）一块长方形空地的长是24米，宽是12米．现要在它的中央划一个小长方形区域种植花卉，其余四周植草．如果四周的宽度相同，小长方形面积是原长方形面积的，那么四周的宽度是多少米？ 22．（2023春·上海·八年级专题练习）有一块长为80米，宽为50米的长方形绿地，其中有三条直路（图中的阴影部分，道路的一边与长方形绿地的一边平行，且道路的出入口、、、、、的长度都相等，其余部分种植绿化）．已知道路的面积为352平方米，求道路出入口的边的长度． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年新八年级（沪教版2024）暑假班预修提升课程 专题17 一元二次方程的应用（一） 知识点一、二次三项式的因式分解 1. 二次三项式的因式分解 如果一元二次方程（a≠0）实数根是, 那么二次三项式的分解式为 2. 利用公式法将二次三项式分解因式的步骤 (1) 求二次三项式所对应的一元二次方程 （a≠0）的两个根; (2) 将求得的的值代入中. 注意： 1. 有些二次三项式可用十字相乘法进行因式分解； 2.当时，分解式中的因不要漏写.当时，,此时称 为完全平方式. 3.把二次三项式（a≠0）分解因式时， (1)如果,那么先求出方程的两个实数根，再写出分解式. (2)如果,那么方程没有实数根，在实数范围内不能因式分解 知识点二、列一元二次方程解实际问题的一般步骤 1.列方程解实际问题的实质 列方程解实际问题就是先把实际问题抽象为数学问题(即转化)然后通过解决数学问题来解决实际问题。 2.列一元二次方程解实际问题的一般步骤 (1) 审:是指审清题意,明确哪些是已知量,哪些是未知量以及它们之间的数量关系. (2) 设:是指设元,也就是设未知数,设元又分直接设元和间接设元.所谓直接设元就是问什么设什么;如果直接设元列方程比较难或列出的方程比较复杂,这时可以考虑间接设元,间接设元虽然所设未知数不是我们所要求的,但更便于列出方程,因此间接设元也是常用的一种方法. (3) 列:列方程,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个等量关系,然后列代数式表示这个等量关系，就得到含有未知数的等式，即方程. (4) 解:解方程,求出未知数的值. (5) 验:检验方程的解是否正确及能否使实际问题有意义. (6) 答:回答问题一定要遵循“问什么答什么，怎样问就怎样答”的原则. 题型01：二次三项式的因式分解 【例1】在实数范围内分解因式： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）(x-4)(x+7)；（4）(x-5)(x-6). 【解析】（1）原式=； （2） 原式=； （3） 令=0，解得x1=4,x2=-7,得原式=(x-4)(x+7); （4）令=0，解得x1=5,x2=6,得原式=(x-5)(x-6). 【例2】在实数范围内分解因式： (1)；(2)；(3)；(4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）求出方程的解，即可分解因式； （2）求出方程的解，即可分解因式； （3）求出方程的解，即可分解因式； （4）求出方程的解，即可分解因式． 【详解】（1）解：方程的两个解为，， ∴在实数范围内分解因式； （2）解：方程的两个解为：，， ∴在实数范围内分解因式； （3）解：方程的两个解为：，， ∴在实数范围内分解因式； （4）解：方程的两个解为：，， ∴在实数范围内分解因式． 【点睛】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解，解题的关键是熟练掌握如果一元二次方程 的两个根是和，那么二次三项式    可分解为： ． 【例3】实数范围内因式分解： （1）．（2） （3） 【答案】（1） 【2】 【3】 或 【解析】（1）令， 解得， ∴=， 故答案为：． 【解析】（2）当0， 解得：x1=，x2=， ∴． 故答案为：． （3）令， 解关于xy的一元二次方程得：xy= ∴. 故答案为：或 【跟踪训练】 1.下列各式哪个是二次三项式的因式分解（         ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令多项式值为0，求出方程的解即可得到因式分解的结果. 【解析】解：令， 解得：， ∴， 故选B. 【点睛】本题考查了在实数范围内因式分解，令多项式值为0求出方程的解是解题关键. 2.二次三项式2x2-8x+5在实数范围内因式分解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令二次三项式等于0，求出x的值，即可得到分解因式的结果． 【解析】令2x2-8x+5=0，解得：x1=，x2=，则2x2-8x+5=． 故选D． 【点睛】本题考查了实数范围内分解因式-求根公式法．当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号．注意当无法用十字相乘法的方法时用求根公式法可分解因式． 3．在实数范围内因式分解，下列四个答案中正确的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把y看作已知数，求出=0的根，然后根据一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根为x1、x2，则a（x-x1）（x-x2）=0，进而分解因式即可； 【解析】对于=0， ∆=9y2+8y2=17y2， ∴x= , ∴=. 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程：若一元二次方程的两根为x1，x2，那么一元二次方程可整理为(x－x1)(x－x2)＝0． 4.在实数范围内因式分解： （1） （2） （3） =4（x+）（x+） =-6（x+）（x+） =(x-)(x+)() 5.在实数范围内因式分解： （1） （2） 答案：（1） （2） 6. 在实数范围内因式分解： （1） （2） （3） （4） 答案：（1） （2） （3）原式 ． （4）对于， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，以及因式分解法解一元二次方程：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，那么一元二次方程可整理为a(x－x1)(x－x2)＝0 题型02：实数范围内分解因式求参数取值范围 【名师点拨】二次三项式在实数范围内分解问题，先将其转化成二次三项式对应的方程，然后再根据判别式解不等式求出参数的取值范围. 【例4】 二次三项式，当取何值时， (1)在实数范围内能分解； (2)不能分解； (3)能分解成一个完全平方式，这个完全平方式是什么？ 【答案】(1) (2) (3)，完全平方式为 【分析】（1）二次三项式在实数范围内能分解，则二次三项式对应的方程有实数根，利用一元二次方程有实数根的条件列不等式求解即可得到答案； （2）由（1）知，二次三项式在实数范围内不能分解，则二次三项式对应的方程无实数根，利用一元二次方程有实数根的条件列不等式求解即可得到答案； （3）由（1）（2）可知，当二次三项式能分解成一个完全平方式，则二次三项式对应的方程有两个相等的实数根，即，从而求出结论． 【详解】（1）解：由题意可知，当二次三项式对应的方程有实数根时，二次三项式在实数范围内能分解， 当时， ，解得， 当时，二次三项式在实数范围内能分解； （2）解：由（1）知，当时，二次三项式在实数范围内能分解， 当时，二次三项式在实数范围内不能分解； （3）解：由（1）（2）可知，当二次三项式能分解成一个完全平方式，则二次三项式对应的方程有两个相等的实数根，即，解得， 此时，二次三项式为 ． 【点睛】当一个二次三项不能在实数范围内分解因式时，则说明该二次三项式所对应的一元二次方程在实数范围内无解，反之，则说明该二次三项式所对应的一元二次方程有实数解． 【跟踪训练】 1. 二次三项式，当a取何值时， (1)在实数范围内能分解； (2)能分解成两个相同的因式； (3)不能因式分解． 【答案】(1)且 (2) (3) 【分析】（1）首先得到，然后令，表示出判别式，根据题意得，即可求出a的取值范围； （2）根据题意可得，求解即可； （3）根据题意可得，求解即可． 【详解】（1）原式是二次三项是，可知二次项系数，得：， 令， 得， 原式可分解因式，则有， 得：且； （2）原式可分解为两个相同的式子，则有，得：； （3）原式不能分解因式，则有，得：． 【点睛】考查二次三项式的因式分解与方程根的情况之间的关系，注意区分开各种情形之间的区别和联系． 题型03：一元二次方程应用（数字问题） 【名师点拨】解决此类题的关键是厘清数量关系,若题目涉及多个数的和、差、倍、分等关系,可先设其中任意一个数为x,则其他数可用含x的代数式表示出来，再根据题目条件列方程求解。 数字问题不算难，巧妙设元是关键正确而巧妙地设出未知数，一般采用如下的间接设元法: (1)三个连续整数的表示:一般设中间一个数是x，则其余两个数分别为x-1,x+1. (2)三个连续偶数或三个连续奇数的两种表示: ①设中间偶(奇)数为x,则三个连续偶(奇)数可表示为x-2,x,x+2. ②三个连续偶数可以表示为2x-2,2x,2x+2;三个连续奇数可以表示为 2x-3,2x-1,2x+1. (3)两位数的表示方法:若十位、个位上的数字分别为a,b,则这个两位数可表示为 10a +b. (4)三位数的表示方法:若百位、十位、个位上的数字分别为 a,b,c,则这个三位数可表示为100a+10b+c. 【例5】（24-25八年级上·上海闵行·期中）已知两个相邻的偶数之积为，若设较小的偶数为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列一元二次方程，设较小的偶数为，则较大的偶数为，根据题意得出方程，即可求解． 【详解】解：设较小的偶数为，则较大的偶数为，根据题意得 故选：D． 【例6】一个两位数，个位数字比十位数字小1，且个位数字与十位数字的乘积等于72．求这个两位数． 【答案】98 【分析】设这个两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为，再根据“个位数字与十位数字的乘积等于72，”列出方程，即可求解． 【详解】解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为．依题意，得， 解得（不合题意，舍去），， ． 答：这个两位数为98． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确表示出这个两位数的十位数字是解题的关键． 【跟踪训练】 1．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）两个连续正整数的平方和为113，则这两个数的积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设较小的一个数为，则另外一个数为，根据两个数的平方和是，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设较小的一个数为，则另外一个数为， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：（舍去）， 这两个数的积为， 故答案为：． 2．一个两位数，个位数字与十位数字之和是5，十位数字与个位数字对调后所得的数与原数相乘，得736，这个两位数是 ． 【答案】23或32 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．设原数的个位数字是，则十位数字是，然后根据等量关系“个位数字与十位数字对调后所得新数比原数小9”列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设原数的个位数字是，则十位数字是． 根据题意得：， 解得：或， 则或． 则这个两位数是23或32． 故答案为：23或32． 3．一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大，则这个两位数为（   ） A．25 B．36 C．25或36 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设十位上的数字为，则个位上的数字为，根据“一个两位数等于它的个位数的平方”列出一元二次方程，解方程即可得出答案，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解此题的关键． 【详解】解：设十位上的数字为，则个位上的数字为， 由题意得：， 整理得：， 解得：或， 当时，，此时这个两位数为， 当时，，此时这个两位数为， 综上所述，这个两位数为25或36， 故选：C． 4.（24-25八年级上·上海黄浦·期末）【阅读与理解】已知整数a与b的平方之和可以表示为，现有两个连续的正整数： (1)若这两个连续的正整数中，较小的数是3，求它们的平方之和是多少？ (2)若这两个连续正整数的平方之和是41，求这两个正整数分别是多少？ 【答案】(1) (2)这两个正整数分别是4和5 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）首先求出这两个连续的正整数中较大的数是4，然后列式求解即可； （2）设较小的整数是，则较大的整数是，根据题意列出方程，然后解方程即可． 【详解】（1）∵这两个连续的正整数中，较小的数是3， ∴较大的数是4， ∴它们的平方之和为； （2）设较小的整数是，则较大的整数是， 由题可得：， 方程可化为：， 把方程左边因式分解，得：， 解得：，（舍去）， 答：这两个正整数分别是4和5． 题型04：一元二次方程应用（增长率问题） 【名师点拨】增长(降低)率通法： (1)平均增长率是指增长数与基数的比.若基数为a,增长率为x,则一次增长后的值为a(1+x),两次增长后的值为 a(1+x)².依此类推,n次增长后的值为a(1+x)n， (2)平均降低率是指降低数与基数的比,若基数为a,降低率为x,则一次降低后的值为a(1-x)，两次降低后的值为a(1-x)².依此类推，n次降低后的值为a(1-x)n. 【例7】（23-24八年级上·上海闵行·期末）某件商品原价为200元，经过两次促销降价后的价格为164元，如果连续两次降价的百分率相同，设两次降价的百分率都是x，那么可以列出方程 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．根据经过两次促销降价后的价格为164元，列出方程即可． 【详解】解：设两次降价的百分率都是x，由题意，得：； 故答案为：． 【例8】某型号的手机经过连续两次降价，每部售价由原来的1152元降到了800元．设平均每次降价的百分率为x，列出关于x的方程 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，设平均每次降价的百分率为x，则第一次降价后的售价为元，则第二次降价后的售价为元，据此列出方程即可． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x， 由题意得，， 故答案为：． 【跟踪训练】 1．某超市一月份的营业额为100万元，已知第一季度的总营业额为700万元，如果每个月比上一个月的增长率都相同，设这个增长率为x，那么列出的方程是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据增长率为x，先得到二月份的营业额，三月份的营业额，再根据一月份的营业额二月份的营业额三月份的营业额列方程即可． 【详解】解：∵一月份的营业额为100万元，平均每月增长率为x， ∴二月份的营业额为， ∴三月份的营业额为， ∴可列方程为， 故答案为：． 2.公安部提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售500个，6月份销售720个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．则该品牌头盔销售量的月增长率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设该品牌头盔销售量的月增长率为x，依题意正确列出方程即可． 【详解】解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得：， 解得：，（舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月增长率为， 故答案为：． 3．某工厂自1月至3月的生产收入以相同的百分率逐月增长、经预算，1月份生产收入为25万元，一季度的生产收入可达91万元，设2月和3月工厂每月生产收入增长的百分率都为，可列方程 【答案】 【分析】设每月生产收入的增长率为，根据“季度的生产收入可达91万元”列一元二次方程即可；掌握一元二次方程的增长率问题是解题的关键． 【详解】解：设每月生产收入的增长率为， 则2月份生产收入，3月份生产收入， 根据题意可得：． 故答案为：． 4.某商场一月份的营业额为万元，第一季度营业总额为万元，若平均每月增长率为x，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．先得到二月份的营业额，三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额，把相关数值代入即可． 【详解】解：∵一月份的营业额为400万元，平均每月增长率为x， ∴二月份的营业额为， ∴三月份的营业额为， ∴可列方程为， 即， 故选：B． 5.某工厂为了提高生产效率，正对生产线进行技术改革，在第一试验阶段实现了日产量1500件的目标，第三试验阶段实现了日产量2160件的目标． (1)如果第二阶段、第三阶段日产量的增长率相同，求该生产线日产量的增长率； (2)按照（1）中的日产量增长率，该工厂期望第四试验阶段日产量能达到2500件，请通过计算说明他们的目标能否实现． 【答案】(1) (2)能，理由见解析 【分析】（1）该生产线日产量的增长率，根据题意得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据题意求出第四试验阶段日产量，将其与2500件比较后即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用，有理数的运算，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：该生产线日产量的增长率， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该生产线日产量的增长率为； （2）解：能，理由如下： 依题意，（件）． 他们的目标能实现． 6.随着电商平台的增多和市场竞争的加剧，“双十一”活动的竞争变得更加激烈，到处都弥漫着促销的气息，为了吸引消费者，许多网店商家都会进行打折让利的促销活动．某家网店为了在双十一期间抢占商机，现推出一系列的促销活动，在销售商品时，成本为40元，标价90元． (1)“双十一”购物活动当天，网店连续两次降价销售商品吸引买主，问平均每次降价率为多少，才能使这件商品的售价为57.6元？ (2)经调查，该商品每降0.2元，即可多销售100件，已知商品售价57.6元时，可以卖出500件，若该网店希望双十一当天获利13600元，且尽可能扩大销售量，则该商品在连续两次降价的基础上应如何调整？ 【答案】(1)平均每次降价率为20% (2)商品在连续两次降价的基础上再降16元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设平均每次降价率为，根据题意列方程，解方程即可； （2）设该商品在连续两次降价的基础上再降元，根据题意列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：（1）设平均每次降价率为 解得：，（舍） 答：平均每次降价率为． （2）解：该商品在连续两次降价的基础上在降元 解得：， 要扩大销售量 答：商品在连续两次降价的基础上再降元． 题型05：一元二次方程应用（围栏问题） 【例9】如图某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m），另三边用木栏围成，木栏长40m. （1）鸡场的面积能达到180m2吗？ （2）鸡场的面积能达到200m2吗？ （3）鸡场的面积能达到250m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由. （4）①这道题目是依据什么作为相等关系来列方程的？ ②“墙长18m”这个条件在题目中有怎样的作用？ 【参考答案】 解： （1）鸡场的面积能达到180m2，理由如下： 设养鸡场的宽为xm，根据题意可得 即 解得 ， 当时，，不合题意，舍去. 答：鸡场的面积能达到180m2，此时鸡场的宽为m. （2）鸡场的面积能达到200m2，理由如下： 设养鸡场的长为xm，则 即 解得 ，鸡场的面积能达到200m2，此时鸡场的长为20m. (3) 鸡场的面积不能达到250m2，理由如下： 设养鸡场的长为xm，则 即 ，该方程无实数解，鸡场的面积不能达到250m2. (4)①依据面积公式作为相等关系列方程. ②这个条件对鸡场的长进行了限制，方程解的取舍除了考虑正负以外，还要考虑这个实际条件. 【例10】如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）． （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m2的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到650m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【解答】解：（1）设矩形ABCD的边AB＝x m，则边BC＝70﹣2x+2＝（72﹣2x）m． 根据题意，得x（72﹣2x）＝640， 化简，得 x2﹣36x+320＝0， 解得 x1＝16，x2＝20， 当x＝16时，72﹣2x＝72﹣32＝40（m）， 当x＝20时，72﹣2x＝72﹣40＝32（m）． 答：当羊圈的长为40m，宽为16m或长为32m，宽为20m时，能围成一个面积为640m2 的羊圈； （2）答：不能， 理由：由题意，得x（72﹣2x）＝650， 化简，得 x2﹣36x+325＝0， Δ＝（﹣36）2﹣4×325＝﹣4＜0， ∴一元二次方程没有实数根． ∴羊圈的面积不能达到 650m2． 【跟踪训练】 1．如图，学校为美化环境，在靠墙的一侧设计了一块矩形花圃ABCD，其中，墙长19m，花圃三边外围用篱笆围起，共用篱笆30m． （1）若花圃的面积为100m2，求花圃一边AB的长； （2）花圃的面积能达到120m2吗？说明理由． 【解答】解：（1）设AB的长为x米， 由题意可得：x（30﹣2x）＝100， 解得：x1＝5，x2＝10， ∵30﹣2x≤19， ∴x＝10， 答：AB的长为10米； （2）花圃的面积不能达到120m2．理由如下： 设AB的长为y米， 由题意可得：y（30﹣2y）＝120， ∴Δ＝225﹣240＝﹣15＜0， ∴方程无解， ∴花圃的面积不能达到120m2． 2．为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园ABCD（如图），生态园一面靠墙（墙足够长），另外三面用18m的篱笆围成．生态园的面积能否为40m2？如果能，请求出AB的长；如果不能，请说明理由． 【解答】解：生态园的面积能为40m2，理由如下： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，AD＝BC， 设AB的长度为x m，则BC的长度为m， 由题意得：x•＝40， 整理得：x2﹣18x+80＝0， 解得：x1＝10，x2＝8， ∴生态园的面积能为40m2，AB的长为10m或8m． 3．为培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃ABCD．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为15米）另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域，并在如图所示的两处各留1米宽的门（门不用木栏），修建所用木栏总长28米，设矩形ABCD的一边CD长为x米． （1）矩形ABCD的面积为72m2，求出AB的长． （2）矩形ABCD的面积能否为80m2，若能，请求出AB的长；若不能，请说明理由． 【解答】解：（1）设AB＝x m，则BC＝（28+2﹣3x）m， 根据题意得：x（28+2﹣3x）＝72， 整理得：x2﹣10x+24＝0， 解得：x1＝4，x2＝6， 当x＝4时，28+2﹣3x＝28+2﹣3×4＝18＞15，不符合题意，舍去； 当x＝6时，28+2﹣3x＝28+2﹣3×6＝12＜15，符合题意． 答：AB的长为6m； （2）矩形ABCD的面积不能为80m2，理由如下： 假设矩形ABCD的面积能为80m2，设AB＝y m，则BC＝（28+2﹣3y）m， 根据题意得：y（28+2﹣3y）＝80， 整理得：3y2﹣30y+80＝0， ∵Δ＝（﹣30）2﹣4×3×80＝﹣60＜0， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即矩形ABCD的面积不能为80m2． 4．（23-24八年级上·上海浦东新·期中）如图，某艺术中心准备用26米长的墙为一边，用48米隔栏绳为另三边，设立一个面积为300平方米的长方形等候区，为了方便群众进出，在两边空出两个各为1米的出入口（出入口不用隔栏绳）．假设这个长方形平行于墙的一边为长，垂直于墙的一边为宽，那么围成的这个长方形的长与宽分别是多少米？    【答案】长方形的长为20米，宽为15米 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设这个长方形的长为x米，则宽为，然后根据长方形的面积是300平方米列出方程求解即可得到答案．解题的关键在于能够根据题意列出方程进行求解． 【详解】解：设这个长方形的长为x米，则宽为米， 由题意得：，即， 解得或， ∵平行于墙的一边为长，墙长为26米， ∴长方形的长不能超过26米， ∴， ∴， ∴长方形的长为20米，宽为15米． 答：长方形的长为20米，宽为15米． 5．（23-24八年级上·上海金山·期中）在“金山情一日游”的研学活动中，小明发现某农场有一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，墙长米，养鸡场的面积是平方米．    (1)据农场管理人员介绍，养鸡场今年养鸡只，计划明后两年增长率相同，预估后年养鸡只，请求出这个增长率； (2)为了改善养鸡场环境，今年对养鸡场进行重建，重建后的养鸡场如图所示，围成养鸡场的板材共用去米，在板材上有两处各开了一扇宽为米的门，养鸡场的面积不变，求重建后的养鸡场的宽为多少米？ 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）设这个增长率为，根据养鸡场今年养鸡只，预估后年养鸡只，列出一元二次方程，解之取其正值即可； （）设重建后的养鸡场的宽为米，则的长为米，根据养鸡场的面积是平方米，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； 此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设这个增长率为， 由题意得：， 解得：（不合题意舍去），， 答：这个增长率为； （2）设重建后的养鸡场的宽为米，则的长为米， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，的长为：（米），不合题意； 当时，的长为：（米）米； ∴米， 答：重建后的养鸡场的宽为米． 题型06：一元二次方程应用（小路问题） 【名师点拨】对于小路问题，先把小路移到移到一边，不论小路是垂直的还是斜着的，都可以按照上述的方法进行计算。 【例11】如图，某农场有一块长40m，宽32m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为1140m2，求小路的宽． 　 【解答】解：设小路的宽为xm，依题意有 （40﹣x）（32﹣x）=1140， 整理，得x2﹣72x+140=0． 解得x1=2，x2=70（不合题意，舍去）． 答：小路的宽应是2m．　 【例12】改善小区环境，争创文明家园．如图所示，某社区决定在一块长（AD）16m，宽（AB）9m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为112m2，则小路的宽应为多少？ 【解答】解：设小路的宽应为x m， 根据题意得：（16﹣2x）（9﹣x）＝112， 解得：x1＝1，x2＝16． ∵16＞9， ∴x＝16不符合题意，舍去， ∴x＝1． 答：小路的宽应为1m． 【例13】现要在一个长为，宽为的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为，设小道的宽度应是，列方程得：______． 【答案】 【分析】设小道的宽度应为xm，则剩余部分可合成长为(40-2x)m，宽为(26-x)m的矩形，根据矩形的面积计算公式，结合种植花草的面积为864m，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】设小道的宽度应为xm，则剩余部分可合成长为(40-2x)m，宽为(26-x)m的矩形， 依题意得：(40-2x)(26-x)=864． 故答案为：(40-2x)(26-x)=864． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【跟踪训练】 1．如图，在长为，宽为的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路（其中有两条纵向和一条横向，横向与纵向道路互相垂直），把耕地分成六块作为试验田，要使试验田总面积为，问道路应为多宽？若设道路宽为，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设道路宽为，分别表示出除去道路之后矩形的长和宽，然后根据试验田总面积为，列方程即可．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是看清图形，读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程． 【详解】解：由题意得，． 故选：C． 2．如图，在宽为米、长为米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为平方米，则设道路的宽为米，根据题意，列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设道路的宽为米，根据面积公式即可求解． 【解析】解：设道路的宽为米，依题意得， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 3.（2025·上海虹口·模拟预测）如图，在长宽比为的矩形场地修筑同样宽为的道路(道路与矩形边平行或垂直)，余下的部分种上草坪，且草坪的面积为，应选择的矩形场地的长和宽分别是多少? 【答案】应选择的矩形场地的长和宽分别是和． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设矩形长为，宽为，根据草坪的面积为，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】 解：根据题意，设矩形长为，宽为． 根据题意得， 整理得， 解得：(舍去)，， ∴，． 答：应选择的矩形场地的长和宽分别是和． 4．（23-24八年级上·上海松江·期末）学校体育组准备在操场上划出一块长方形区域开展跳绳比赛，比赛区域包括六块相同的跳绳场地及预留道路，如图是比赛区域的规划图，现知道每块跳绳场地的长是宽的两倍（场地间空隙忽略不计），预留道路的宽度为4米，比赛区域的总面积为144平方米．请你根据以上信息，求比赛区域的长和宽分别是多少米？ 【答案】比赛区域的长为16米，宽为9米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每块跳绳场地的宽为x米，则其长为米，根据比赛场地的面积为144平方米列出一元二次方程，求解即可，准确理解题意，找出等量关系是解题的关键． 【详解】解：设每块跳绳场地的宽为x米，则其长为米，由题意得 ， 解得， ∴米，米， 所以，比赛区域的长为16米，宽为9米． 题型07：一元二次方程应用（图形问题） 【例14】数学兴趣小组利用长方形纸板制作礼品盒，选择长为，宽为的长方形纸板，如图，在其四角分别剪去两个同样大小的正方形和两个同样大小的长方形（阴影部分），再把剩余部分沿虚线折起来得长方体礼品盒． (1)当礼盒底面的长是宽的4倍时，求该长方体礼品盒的体积； (2)当礼盒的侧面的面积为，求剪去的小正方形的边长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程和一元一次方程的实际应用，长方体的体积公式，正确理解题意是解题的关键． （1）设小正方形的边长为，则礼盒底面的长是，宽为，根据礼盒底面的长是宽的4倍，建立一元一次方程求解，即可求解长、宽、高，即可求解体积； （2）设剪去的小正方形的边长为，由题意得：，再解一二次方程即可． 【详解】（1）解：设小正方形的边长为，则礼盒底面的长是，宽为， 由题意得：， 解得：， ∴长为，宽为6，高为， ∴体积为：； （2）解：设剪去的小正方形的边长为， 由题意得：， 整理得：， 解得：或（舍）， ∴剪去的小正方形的边长为． 【跟踪训练】 1.（24-25八年级上·上海普陀·期中）将一个容积为的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．则该包装盒图中的值为 ． 【答案】或 【分析】根据题意表示出长方体的长和宽，进而表示出长方体的体积即可．再解得或，本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，一元二次方程的应用，正确表示长方体的棱长是解题的关键． 【详解】解：由题意得：长方体的长为 ，宽为 则根据题意 ， 整理得：； 解得或， 故答案为：或 2．如图是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是的一个无盖长方体纸盒，设剪去的正方形边长为 ，那么满足的方程是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由于剪去的正方形边长为 ，那么长方体纸盒的底面的长为，宽为，然后根据底面积是即可列出方程． 【解答】解：设剪去的正方形边长为 ， 依题意得， 故选：． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，首先要注意读懂题意，正确理解题意，然后才能利用题目的数量关系列出方程． 3．（2025·上海浦东新·模拟预测）如图，把一张长，宽的长方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）． (1)要使无盖长方体盒子的底面积为，那么剪去的正方形的边长为多少？ (2)你认为折合而成的无盖长方体盒子的侧面积有可能等于吗？请说明理由 (3)当把长方形硬纸板的四周分别剪去个同样大小的正方形和个同样形状、同样大小的长方形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，它的侧面积（指的是高为剪去的正方形边长的长方体的侧面积）为时请直接写出结果并画出平面示意图 【答案】(1) (2)不可能，理由见解析 (3)或，示意图见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用和根的判别式，找到面积的等量关系是解题的关键． （1）可设剪去的正方形边长为，根据无盖长方体盒子的底面积为，可得方程求解即可； （2）可设剪去的正方形边长为，根据无盖长方体盒子的侧面积等于，可得方程，再根据根的判别式作出判断； （3）可设剪去的正方形边长为，分成两种情况，根据侧面积为列方程讨论求解． 【详解】（1）设剪去的正方形边长为，由题意，得 ， 即， 解得：（不合题意，舍去），． ∴剪去的正方形的边长为． （2）折合而成的无盖长方体盒子的侧面积不可能等于，理由如下： 设剪去的正方形边长为，由题意，得 ， 整理得：， ∵， ∴原方程没有实数解． 即折合而成的无盖长方体盒子的侧面积不可能等于． （3）设剪去的正方形边长为， 若按图1所示的方法剪折， 有：， 整理得：， ， ∴此方程无解； 若按图2所示的方法剪折， 有：， 整理得：， 解得：，， 当按图2所示的方法剪去的正方形边长为或时，能使得到的有盖长方体盒子的侧面积达到． 一、选择题 1．（2024闵行区八年级期中）下列多项式，在实数范围内能用公式法分解因式的有（    ）. ①；②；③；④；⑤；⑥. A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】别求出对应方程∆的值，看方程是否有实数根即可． 【解析】①∵对于=0， ∆=36-36=0， ∴在实数范围内能用公式法分解因式； ②∵对于=0， ∆=16+16=32>0， ∴在实数范围内能用公式法分解因式； ③∵对于=0，不管把哪个字母看作未知数， ∆=0-4<0， ∴在实数范围内不能用公式法分解因式； ④∵对于=0，不管把哪个字母看作未知数，， ∆=0+8=8>0， ∴在实数范围内能用公式法分解因式； ⑤∵对于=0， ∆=0+28=28>0， ∴在实数范围内能用公式法分解因式； ⑥∵对于=0，不管把哪个字母看作未知数，， ∆=36-144=-108<0， ∴在实数范围内不能用公式法分解因式； 故选B. 2.（2024浦东新区八年级期中）如果二次三项式在实数范围内不能分解因式，那么的取值范围是（    ）. A．或 B． C． D．且 【答案】C 【分析】因二次三项式在实数范围内不能分解因式，所以=0无实数根，据此求解即可. 【解析】∵二次三项式在实数范围内不能分解因式， ∴=0无实数根， ∴∆=9-16a<0， ∴. 故选C. 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，以及因式分解法解一元二次方程：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，那么一元二次方程可整理为a(x－x1)(x－x2)＝0 3．（23-24八年级上·上海宝山·期末）随着互联网购物急速增加，快递业逐渐成为我国发展最快的行业之一，某快递店十月份揽件5000件、十月、十一月、十二月合计揽件20000件，如果该快递店十一月、十二月月揽件量的增长率都是x，那么由题意可得方程（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设该快递店十一月、十二月揽件量的增长率都是x，关系式为：三个月总揽件数＝十月揽件数十一月揽件数十月揽件数（1揽件平均增长率）2，把相关数值代入即可． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题的关键．同时要注意增长率问题的一般规律． 【详解】设该快递店十一月、十二月揽件量的增长率都是x，由题意可得方程： ． 故选：B． 4．（23-24八年级下·上海闵行·期中）如图，从一个长10分米、宽8分米的铁片中间截去一个面积为60平方分米的小长方形，使剩下长方形框四周宽度一样．如果设这个宽度为分米，那么所列出的方程是（     ） A．； B．； C．； D．． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是设这个宽度为分米，根据中间小长方形面积为60平方分米，列出方程即可． 【详解】解：设这个宽度为分米，则中间小长方形的长为分米，宽为分米，根据题意得： ， 故选：C． 5．（2024延安中学八年级期中）一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数是多少？ 【分析】先设个位数字为，那么十位数字是，这个两位数是，然后根据个位数字的平方刚好等于这个两位数即可列出方程求解即可． 【解答】解：设个位数字为，那么十位数字是，这个两位数是， 依题意得：， ， ，， 或3． 答：这个两位数是25或36． 【点评】此题考查了一元二次方程的应用，正确理解关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 二、填空题 6.（2023秋·上海杨浦·八年级统考期末）在实数范围内分解因式 ． 【答案】 【分析】先求出方程的两个根，再因式分解． 【详解】∵的根为， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解，正确计算方程的两个根是解题的关键． 7．（2024宝山区八年级期中）在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查在实数范围内分解因式，解题的关键是利用求根公式因式分解．时，，根据求根公式的分解方法和特点即可求解． 【解析】解：时，， ， 故答案为：． 8．（2024闵行区八年级期中）在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查的是在实数范围内分解因式，一元二次方程的解法，本题令，用含y的代数式表示x，再分解因式即可． 【解析】解：令， ∴， ∴， 解得：，， ∴； 故答案为：． 9．（2024松江区八年级期中）已知一个两位数，十位上的数字是个位上的数字的倍，十位上的数字的平方与个位上的数字的倍之和正好是这个两位数，则这个两位数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．首先设这个两位数个位上的数字为，则十位上的数字为，用含的代数式把这个两位数表示出来为，根据十位上的数字的平方与个位上的数字的倍之和正好是这个两位数，可列方程，解方程求出的值，再把这个两位数表示出来即可． 【详解】解：设这个两位数个位上的数字为，则十位上的数字为， 这个两位数为， 又十位上的数字的平方与个位上的数字的9倍之和正好是这个两位数， ， 解得或（舍去）， ． 故答案为： ． 10．在国家政策的宏观调控下，某市的商品房成交均价由去年10月份的7000元/m2下降到12月份的5670元/m2，则11、12两月平均每月降价的百分率是 %． 【答案】10 【分析】设11、12两月平均每月降价的百分率是x，则11月份的成交价是7000-7000x=7000（1-x），12月份的成交价是7000（1-x）（1-x）=7000（1-x）2，由12月份的房价为5670元/m2，从而可得方程，再解方程可得答案． 【解析】解：设11、12两月平均每月降价的百分率是x，则11月份的成交价是7000-7000x=7000（1-x），12月份的成交价是7000（1-x）（1-x）=7000（1-x）2，由题意，得 ∴7000（1-x）2=5670， ∴（1-x）2=0.81， ∴x1=0.1，x2=1.9（不合题意，舍去）． 故答案为：10． 【点睛】本题是一道一元二次方程的运用题，是有关降低的百分率问题，与实际生活结合比较紧密，正确理解题意，找到关键的数量关系，然后列出方程是解题的关键． 11．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）某型号铝塑板材7月份价格为50元，9月份价格为72元，若7至9月价格的增长率相同，则每月增长的百分率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键． 设每月增长的百分率是x，然后根据题意列一元二次方程求解，然后确定满足要求的解即可． 【详解】解：设每月增长的百分率是x， 根据题意，得：，解得：（舍去）， ∴每月增长的百分率是． 故答案为：． 12．（23-24八年级上·上海浦东新·期中）某地2023年6月份的房价平均每平方米为21000元，该地2021年同期的房价平均每平方米为16800万元，假设这两年该地房价的平均增长率均为x，则可列关于x的方程为： ． 【答案】 【分析】增长率问题的基本关系式为：，其中是增长前的量，是增长后的量，是增长率，是增长期数，据此求解即可． 【详解】解：设这两年该地房价的平均增长率均为x，依据题意可列方程：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用—增长率问题，掌握增长率问题的基本关系是解题的关键． 13．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）如图，在长为米、宽为米的长方形绿地内，修筑三条相同宽且分别平行于长方形相邻两边的道路，把绿地分成块，这块绿地的总面积为平方米．如果设道路宽为米，由题意所列出关于的方程是 ． 【答案】 【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设道路宽为米，则绿地的长为米，宽为米，解题的关键是正确理解题意，列出方程． 【详解】设道路宽为米，则绿地的长为米，宽为米，由题意得： ， 故答案为：． 14．（22-23八年级上·上海静安·期中）如图，在一个长为，宽为的矩形花园中修建小道（图中阴影部分），其中，每段小道的两边缘平行，剩余的地方种植花草，要使种植花草的面积为，那么可列方程（不用化简）为    【答案】 【分析】题目中存在的等量关系为矩形花园的面积小道的面积，据此可求得答案． 【详解】根据题意，得 ，． 根据，可得 ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查实际问题与二元一次方程，能用含有未知数的代数式表示出等量关系是解题的关键． 3、 解答题 15．（2024徐汇区八年级期中）在手工活动课上，轩轩同学为了制作一个底面积是的有盖的长方体纸盒，他把一张长，宽的矩形纸张，将其两边剪去两个全等的矩形（如图①），剩余部分（阴影部分）经过折叠后得到一个长方体纸盒（如图②）．求长方体纸盒的长、宽、高各是多少？ 【答案】长为，宽为，高为 【分析】通过设长方体纸盒的高为未知数，根据矩形纸张的尺寸表示出长方体纸盒底面的长和宽，再结合底面积列出方程求解．本题主要考查一元二次方程的实际应用（长方体的折叠问题 ），熟练掌握根据图形折叠关系表示出长方体的长、宽、高，以及利用面积公式列出方程求解是解题的关键． 【详解】设长方体纸盒高为，则长为，宽为， 依题意得：， 解得：，（舍去） 答：长方体纸盒高为，则长为，宽为． 16. （2025实验西校月考）用12米长的一根铁丝围成长方形。 （1）如果长方形的面积为5m,那么此时长方形的长是多少？宽是多少？如果面积是8 m 呢？ （2）能否围成面积是10 m的长方形？为什么? （3）能围成的长方形的最大面积是多少？ 解：（1）设长方形的宽为xm,则长为（6-x）m， x（6-x）=5 解得x1=1，x2=5 ∴当长方形的宽为1m，长为5m或宽为5 m，长为1 m时，面积为5m 同样面积为8时x（6-x）=8 解得x1=2，x2=4 ∴当长方形的宽为2m，长为4m或宽为4 m，长为2 m时，面积为5m （2）x（6-x）=10 △=-4<0，方程没有实数根 所以这样的长方形不存在 （3）设围成的长方形面积为k,则x（6-x）=k 要使方程有解，必须有36-4k≥0,即k≤9 ∴最大的k只能是9，即最大的面积为9，此时x=3，这时所围成的图形是正方形。 17.（2024闵行区八年级期中）某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2，�上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m． （1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？ （2）如果计划每天挖土48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？ 解：（1）设渠深为xm 则渠底为（x+0.4）m，上口宽为（x+2）m 依题意，得：（x+2+x+0.4）x=1.6 整理，得：5x2+6x-8=0 解得：x1==0.8m，x2=-2（舍） ∴上口宽为2.8m，渠底为1.2m． （2）=25天 答：渠道的上口宽与渠底深各是2.8m和1.2m；需要25天才能挖完渠道． 18.（2024普陀区八年级期中）某商场在五一期间将单价400元的某种商品经过两次降价后，以324元的价格出售． (1)求平均每次降价的百分率； (2)售货员向经理建议：先公布降价，然后再降价，这样更有吸引力，请问售货员的方案对顾客是否更优惠？为什么？ 【答案】(1)平均每次降价的百分率为 (2)售货员的方案对顾客更优惠，理由见解析 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程． （1）设平均每次降价的百分率为，根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，求解即可； （2）根据题意直接计算可得出答案． 【详解】（1）解：设平均每次降价的百分率为， 由题意得：， 解得：，（舍）， ∴平均每次降价的百分率为； （2）解：售货员的方案对顾客更优惠，理由如下： ， ∴售货员的方案对顾客更优惠． 19．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）某单位组织员工前往九棵树艺术中心欣赏民族舞表演．表演前，主办方工作人员准备利用米长的墙为一边，用米隔栏绳为另三边，设立一个面积为平方米的长方形等候区，如图，为了方便群众进出，在两边空出两个各为米的出入口（出入口不用隔栏绳）．假设这个长方形平行于墙的一边为长，垂直于墙的一边为宽，那么围成的这个长方形的长与宽分别是多少米？ 【答案】长方形的长为10米，宽为6米． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设这个长方形的长为米，则宽为，然后根据长方形的面积是60平方米列出方程求解即可得到答案． 【详解】解：设这个长方形的长为x米，则宽为， 由题意得： 解得或， ∵平行于墙的一边为长，墙长为11米， ∴长方形的长不能超过11米， ∴， ∴， ∴长方形的长为10米，宽为6米． 答：长方形的长为10米，宽为6米． 20．（2022秋·上海黄浦·八年级上海市黄浦大同初级中学校考期中）第二十二届中国上海国际艺术节首次移师上海市黄浦区南京东路第一百货商业中心．主办方工作人员准备利用一边靠墙（墙长25米）的空旷场地为提前到场的观众设立面积为320平方米的封闭型长方形等候区．如图，为了方便观众进出，在两边空出两个宽各为1米的出入口，共用去隔栏绳50米．请问，工作人员围成的这个长方形的相邻两边长分别是多少米？ 解：令这个长方形垂直于墙的一边为宽，平行于墙的一边为长； 设这个长方形的宽为米，则长为_________米．（用含x代数式表示） （完成填空后继续解题） 【答案】；工作人员围成的这个长方形的相邻两边长分别是16米，20米 【分析】设这个长方形的宽为米，根据题意可得长为米，最后列出一元二次方程进行求解即可． 【详解】解：设这个长方形的宽为米，则长为米， 故答案为：； ∴， ∴， 解得，， 当时，长为（不合题意，舍去）， 当时，长为， 答：工作人员围成的这个长方形的相邻两边长分别是16米，20米． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意并列出一元二次方程是解决本题的关键． 21．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）一块长方形空地的长是24米，宽是12米．现要在它的中央划一个小长方形区域种植花卉，其余四周植草．如果四周的宽度相同，小长方形面积是原长方形面积的，那么四周的宽度是多少米？ 【答案】2米 【分析】设四周草地的宽度为x米，由等量关系：小长方形面积是原长方形面积的，列出方程并解之即可． 【详解】解：设四周草地的宽度为x米， 根据题意得：， 化简整理得：， 即， ∴解得：，， 由题意得（不合题意舍去）， 所以； 答：四周的宽度为2米． 【点睛】本题考查了一元二次方程在几何图形方面的应用，理解题意、找到相等关系是解题的关键． 22．（2023春·上海·八年级专题练习）有一块长为80米，宽为50米的长方形绿地，其中有三条直路（图中的阴影部分，道路的一边与长方形绿地的一边平行，且道路的出入口、、、、、的长度都相等，其余部分种植绿化）．已知道路的面积为352平方米，求道路出入口的边的长度． 【答案】2米 【分析】设入口的边的长度为米，根据题意列方程求解即可得到答案． 【详解】解：设入口的边的长度为米， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（舍）， 即道路出入口的边的长度为米． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，根据题意正确列方程即可得到答案． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$