复习专题03 一元二次方程的应用（3重点+10考点+过关检测）-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（沪教版）

专题03 一元二次方程的应用 考点聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 知识点1 二次三项式的因式分解 1.二次三项式的因式分解 如果一元二次方程（a≠0）实数根是, 那么二次三项式的分解式为 2.利用公式法将二次三项式分解因式的步骤 (1) 求二次三项式所对应的一元二次方程 （a≠0）的两个根; (2) 将求得的的值代入中. 【规律方法】 有些二次三项式可用十字相乘法进行因式分解； 1.当时，分解式中的因不要漏写.当时，,此时称 为完全平方式. 3.把二次三项式（a≠0）分解因式时， (1)如果,那么先求出方程的两个实数根，再写出分解式. (2)如果,那么方程没有实数根，在实数范围内不能因式分解 知识点2 一元二次方程根与系数的关系 1.一元二次方程的根与系数的关系 设方程①的两实数根分别为和，则该方程可化为.整理，得② .比较①②的系数，得，.所以方程的根与系数的关系为，. 注意：当一元二次方程二次项系数为1时，两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。 2.方程（a≠0）的根与系数的关系的推导 若一元二次方程（a≠0）有实数根，设这两个实数根分别为， 由求根公式得（）， 令，. 由此可得+=+=， =·=. 所以，. 这一结论表明:一元二次方程两根之和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比.此结论称为一元二次方程根与系数的关系（也叫“韦达定理”）. 3.以，为实数根的一元二次方程（二次项系数为1） 4.与一元二次方程两根有关的几个代数式的变形 前提条件：（1）方程是一元二次方程（2）方程有实数根，即△≥0. （1） （2） （3） （4） （5） （6） 知识点3 列一元二次方程解实际问题的一般步骤 1.列方程解实际问题的实质 列方程解实际问题就是先把实际问题抽象为数学问题(即转化)然后通过解决数学问题来解决实际问题。 2.列一元二次方程解实际问题的一般步骤 (1) 审:是指审清题意,明确哪些是已知量,哪些是未知量以及它们之间的数量关系. (2) 设:是指设元,也就是设未知数,设元又分直接设元和间接设元.所谓直接设元就是问什么设什么;如果直接设元列方程比较难或列出的方程比较复杂,这时可以考虑间接设元,间接设元虽然所设未知数不是我们所要求的,但更便于列出方程,因此间接设元也是常用的一种方法. (3) 列:列方程,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个等量关系,然后列代数式表示这个等量关系，就得到含有未知数的等式，即方程. (4) 解:解方程,求出未知数的值. (5) 验:检验方程的解是否正确及能否使实际问题有意义. (6) 答:回答问题一定要遵循“问什么答什么，怎样问就怎样答”的原则. 简记：审设列解验答。 考点剖析 【考点1 二次三项式的因式分解】 1.在实数范围内分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）求出方程的解，即可分解因式； （2）求出方程的解，即可分解因式； （3）求出方程的解，即可分解因式； （4）求出方程的解，即可分解因式． 【详解】（1）解：方程的两个解为，， ∴在实数范围内分解因式； （2）解：方程的两个解为：，， ∴在实数范围内分解因式； （3）解：方程的两个解为：，， ∴在实数范围内分解因式； （4）解：方程的两个解为：，， ∴在实数范围内分解因式． 【点睛】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解，解题的关键是熟练掌握如果一元二次方程 的两个根是和，那么二次三项式    可分解为： ． 2.（2023秋·上海杨浦·八年级统考期末）在实数范围内分解因式 ． 【答案】 【分析】先求出方程的两个根，再因式分解． 【详解】∵的根为， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解，正确计算方程的两个根是解题的关键． 【考点2 （拓展）根与系数的关系】 1.根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根的和与积： （1）      （2）       （3） 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据如果一元二次方程的两根为，和，那么，进行求解即可得到答案； （2）根据如果一元二次方程的两根为，和，那么，进行求解即可得到答案； （3）根据如果一元二次方程的两根为，和，那么，进行求解即可得到答案． 【详解】解：（1）∵， ∴，，， ∴，； （2）∵， ∴，，， ∴，； （3）∵，即 ∴，，， ∴，． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程根于系数的关系． 2.一元二次方程的两根为，则的值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】先求得，，再将变形，代入与的值求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ∴， ∴ ． 故选C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记，是解决本题的关键． 【考点3 传播问题】 1．（2024·重庆沙坪坝·一模）某种植物只有一个主干，该主干上长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是111，设一个主干长出x个支干，则下列方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．由一个主干长出个支干且每个支干又长出同样数目的小分支，可得出共长出个小分支，再结合主干、支干和小分支的总数是111，即可列出关于的一元二次方程． 【详解】解：一个主干长出个支干，每个支干又长出同样数目的小分支， 共长出个小分支． 根据题意得：． 故选：C． 2．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是157，设每个支干长出的小分支数目为x，根据题意，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．根据题意主干，支干和小分支的总数是157，列出方程即可． 【详解】解：每个支干长出x个小分支，根据题意得： ， 故选：A． 3．（2024九年级上·全国·专题练习）甲型流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型流感没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有81人患了甲型流感，每天平均一个人传染了几人？如果按照这个传染速度，在经过3天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型流感？ 【答案】每天平均一个人传染了8人，在经过3天的传染后，这个地区一共将会有729人患甲型流感 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程求解． 设每天平均一个人传染了x人，根据“经过两天的传染后共有81人患了甲型流感”列出方程求解即可． 【详解】解：设每天平均一个人传染了x人，由题意，得 ， 解得：，（舍去）， （人）． 故每天平均一个人传染了8人，在经过3天的传染后，这个地区一共将会有729人患甲型流感． 4．（23-24八年级下·山东威海·期中）近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有91人有此短信． (1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ (2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 【答案】(1)这个短信要求收到短信的人必须转发给9人 (2)从小王开始计算，三轮后会有820人有此短信． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，含乘方的有理数混合计算的实际应用： （1）设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人，则第一轮小王会发给x人，第一轮被转发的x人每个人又要转发x人，据此列出方程求解即可； （2）根据（1）所求列式求解即可． 【详解】（1）解：设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：这个短信要求收到短信的人必须转发给9人； （2）解：人， 答：从小王开始计算，三轮后会有820人有此短信． 【考点4 增长率问题】 【解题技巧总结】 1.概念：在一元二次方程增长率问题中，最基本的公式是。其中是起始量，是增长率（如果是降低率则为负），是增长（或降低）的次数，是最终量。 2.步骤： （1）确定起始量：仔细阅读题目，找出问题中的起始量。 （2）确定增长次数和最终量：明确增长（或降低）的次数和最终量。 （3）判断增长率（降低率）的正负：如果是增长问题，增长率；如果是降低问题，如价格下降、数量减少等，。 （4）列方程求解：把确定好的、、的值代入公式中，得到一个关于的一元二次方程。然后化简方程求解。 （5）检验答案： 将求得的增长率代入原方程，看等式是否成立。同时，要检查答案是否符合实际情况。 1．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）某工厂七月份的产值是100万元，计划第三季度共创产值484万元．若每个月产值的增长率相同，并设这个增长率为x，则下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，掌握增长率的计算方法是解题的关键； 根据每个月产值的平均增长率为x，七月份的产值是100万元，表示之后两个月的产值，然后已知第三季度的总产值，列方程即可． 【详解】解：∵每个月产值的平均增长率为x，七月份的产值是100万元， ∴八月份产值为， 九月份产值为， ∵计划第三季度共创产值484万元， ∴， 故选：D． 2．（24-25八年级上·上海·期中）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一天进馆人次，进馆人数逐日增加，到第三天结束累计进馆人次，若进馆人次的日平均增长率相同． (1)求进馆人次的日平均增长率； (2)因条件限制，学校图书馆每日接纳能力不超过人次，在进馆人次的日平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四天的进馆人次，并说明理由． 【答案】(1)进馆人次的日平均增长率为 (2)校图书馆能接纳第四天的进馆人次，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，正确找出等了关系是解题的关键． （1）设进馆人次的日平均增长率为，先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第一个月的进馆人次加第二和第三个月的进馆人次等于，列方程求解； （2）根据（1）所计算出的月平均增长率，计算出第四个月的进馆人次，再与比较大小即可． 【详解】（1）解：设进馆人次的日平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 进馆人次的日平均增长率为； （2）第四天的进馆人次为：（人）， ， 校图书馆能接纳第四天的进馆人次． 3．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）为加快上海家电以旧换新速度，某商场对一台原价4000元的电视进行调价，经过两次降价后，价格调整为2560元，如果每次降低的百分率相同，则这个百分率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，增长率问题，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设这个百分率为x，根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，检验后可得出结论． 【详解】解：设这个百分率为x， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴这个百分率为． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·上海黄浦·期中）某文具店为迎接“购物节”，提高水笔销量，经过两次降价后（每次降价的百分率相同），由每盒元降至每盒元．则降价的百分率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 设每次降价的百分率为，根据原价及现价，即可得出关于的一元二次方程，解之取其小于的值即可得出结论． 【详解】解：设每次降价的百分率为， 根据题意得：， 解得：，（舍）， 答：每次降价的百分率为． 故答案为：． 【考点5 与图形有关的问题】 【解题步骤技巧】 1.设未知数：一般选择与题目条件关联最多的几何量作为未知数。例如，在面积问题中，如果是矩形，通常设矩形的长或宽为未知数；在勾股定理问题中，设直角边为未知数比较方便后续计算。 2.用未知数表示其他几何量：根据题目中的几何关系，用所设的未知数表示出其他相关的几何量。 3.建立方程：利用几何图形的性质（面积公式、勾股定理等）建立一元二次方程。这一步要确保对几何性质的理解准确无误。 4.解方程并检验：解方程时，要注意选择合适的方法，如因式分解法、配方法或公式法。求出方程的解后，要检验解是否符合几何实际意义。比如，在几何图形中，边长不能为负数，所以如果得到的解是负数，就需要舍去。 1．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，某建筑工程队，在工地一边的靠墙处（墙长米），用120米长的栅栏围成一个所占地面为长方形的临时仓库，栅栏只围三边．长方形仓库的面积是1860平方米，且有一个2米宽的进出铁门．分别求长方形仓库的长和宽． 【答案】长方形仓库的长和宽分别是米、米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设垂直于墙的一边长为米，则平行于墙的一边长为米，根据长方形的面积为平方米，可列出关于的一元二次方程，解方程得出的值，再结合墙长米，即可确定结论． 【详解】解：设垂直于墙的一边长为米，则平行于墙的一边长为米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：长方形仓库的长和宽分别是米、米． 2．（24-25八年级上·上海黄浦·期中）同学们开展的综合实践活动中取得了系列丰硕的成果，需要推广宣传．原计划使用一块正方形场地布展，后经过研究，发现长与宽之比为的长方形场地展览效果更好，因此需要把长增加6米，宽增加2米（如图1）． (1)直接写出长方形区域的宽是_______m，长是_______m． (2)现计划将长方形区域按图2的方式进行划分，展示四各小组的项目成果，在各展区之间留宽度相等的过道．如果各展区的总面积为，求过道的宽度． 【答案】(1)8， (2)过道的宽度为 2 米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用．熟练掌握一元二次方程的应用，一元一次方程的应用是解题的关键． （1）设正方形的边长为米，则，依题意得，，计算求解，然后作答即可； （2）设过道的宽度为米，依题意得，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：设正方形的边长为米，则， ∵长与宽之比为， ∴， 解得，， ∴，， 故答案为：8，． （2）解：设过道的宽度为米， 依题意得，， 解得，或（舍去）， ∴过道的宽度为2米． 3．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）如图，小区要建一个面积为90平方米的长方形车棚，分别停放自行车和电瓶车，为节约材料，车棚一边靠着原有的一堵墙，墙长16米，另三边用木栏围起，车棚开两扇1.5米的小门．已知木栏材料总长30米，且正好用完，求这个车棚的长和宽分别是多少米？ 【答案】这个车棚的长是15米，宽是6米 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设这个车棚的宽为米，则这个车棚的长为米，根据面积为90平方米列出方程求解即可． 【详解】解：设这个车棚的宽为米，则这个车棚的长为米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意， 答：这个车棚的长是15米，宽是6米． 4．（24-25八年级上·上海·期中）第二十二届中国上海国际艺术节首次移师上海市黄浦区南京东路第一百货商业中心，主办方工作人员准备利用一边靠墙（墙长30米）的空旷场地为提前到场的观众设立面积为320平方米的封闭型长方形等候区．如图，为了方便观众进出，在两边空出两个宽各为1米的出入口，共用去隔栏板50米．请问：工作人员围成的这个长方形的相邻两边长分别是多少米？ 【答案】工作人员围成的这个长方形的宽为16米，长为20米． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设工作人员围成的这个长方形的宽为米，则长为米，根据面积列方程求解即可． 【详解】解：设工作人员围成的这个长方形的宽为米，则长为米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意. 答：工作人员围成的这个长方形的宽为16米，长为20米． 【考点6 数字问题】 1．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）如图所示的是2024年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，设这四个数从小到大依次为a，b，c，d．请解答下列问题． (1)若用含有 a 的式子分别表示出b，c，d， 则 ， ， ；按这种方法所圈出的四个数中，的最大值为 ． (2)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． (3)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)；；； (2)10 (3)方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据日历的特点先求出b、c、d，再根据当a越大时，b也越大，求出a的最大值即可求出的最大值； （2）根据方框中最大数与最小数的乘积为180，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （3）假设方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124，根据方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和为124，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，由在最后一列，可得出假设不成立，即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124． 【详解】（1）解：由题意得，； ∵a是正整数， ∴也是正整数， ∴当a越大时，b也越大， 根据日历的特点可知a的最大值为23，此时b的值为24， ∴的最大值为； 故答案为：；；；； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． ∴最小数是10； （3）解：方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124，理由如下： 假设方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∵时，在最后一列， 假设不成立， 即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124． 2．（22-23八年级上·上海·阶段练习）如果两个连续正偶数的积为120，则这两个数是 ． 【答案】10和12 【分析】设这两个连续正偶数分别为，，且，根据题意列出一元二次方程并求解，即可获得答案． 【详解】解：设这两个连续正偶数分别为，，且， 根据题意，可得， 整理可得， 解得，（不合题意，舍去）， 所以， 所以，这两个数是10和12． 故答案为：10和12． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意正确列出一元二次方程是解题关键． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）有一个两位数，它的十位上的数字与个位上的数字之和为4．如果把十位上的数字与个位上的数字调换位子后，所得的两位数乘以原来的两位数为．设原来的数的个位上的数字是，则可列方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一元二次方程，准确理解题意是解题的关键．根据题意列出方程即可． 【详解】解：由题意可得：， 故选A． 【考点7 营销问题】 1．（24-25八年级上·上海·期中）“中秋季”是我国传统节日，某商店销售“美心”和“杏花楼”两个品牌的月饼，每盒“美心”月饼的售价是100元，每盒“杏花楼”月饼的售价是80元．8月份，两个品牌的月饼一共销售180盒，且总销售额为16400元， (1)8月份卖出“美心”月饼多少盒？ (2)9月份，月饼大量上市，受此影响，“美心”月饼售价降低了，销售量在8月份销售量的基础上增加了，“杏花楼”月饼的售价降低了，销售量在8月份销售量的基础上增加了，结果9月份总销售额比8月份总销售额增加了6800元，那么9月份“美心”月饼的售价为_____（用含的代数式表示），9月份“杏花楼”月饼的销售量为_____（用含的代数式表示），直接写出的值是_____ 【答案】(1)8月份卖出“美心”月饼盒 (2)，， 【分析】本题考查一元一次方程的运用，代数式表示，以及一元二次方程的运用，解题的关键在于根据题意找准等量关系． （1）设8月份卖出“美心”月饼盒，则8月份卖出“杏花楼”月饼盒，根据“总销售额为16400元，”建立方程求解，即可解题； （2）根据题意列出代数式即可得到9月份“美心”月饼的售价与9月份“杏花楼”月饼的销售量，再根据“9月份总销售额比8月份总销售额增加了6800元，”建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：设8月份卖出“美心”月饼盒， 则8月份卖出“杏花楼”月饼盒， 根据题意可知：， 整理得， 解得， 答：8月份卖出“美心”月饼盒． （2）解：根据题意可知，9月份“美心”月饼的售价为， 9月份“美心”月饼的销售量为， 9月份“杏花楼”月饼的售价为， 9月份“杏花楼”月饼的销售量为， ， 整理得， 解得，， ， ． 故答案为：，，． 2．（24-25八年级上·上海·阶段练习）某种时装，平均每天销售20件，每件盈利44元；若每件降价1元，则每天可多售出5件． (1)若想达到每天盈利1600元，每件可降价多少元？ (2)若想盈利达到最大值，每件可降价多少元？ 【答案】(1)4元或36元 (2)20元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，配方法的应用： （1）设每件降价元，根据利润单件利润销售量列出方程求解即可； （2）设每件降价元，每天盈利为W元，利润单件利润销售量列出W关于x的关系式，再利用配方法求解即可． 【详解】（1）解：解：设每件降价元， 由题意得，， 整理得 或， 答：想达到每天盈利1600元，每件可降价4元或36元； （2）解：解：设每件降价元，每天盈利为W元， 则 ， ∵， ∴，当且仅当，即时等号成立， ∴当时，盈利最大， 答：想盈利达到最大值，每件可降价20元． 3．（24-25九年级上·北京·开学考试）某专卖店销售山核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可出售．后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天可销售可增加．若该专卖店销售这种山核桃要想平均每天获利2240元，且尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？ 【答案】该店应按原售价的9折出售 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设该店应按原售价的x折出售，则每千克的销售利润为元，平均每天可售出千克，根据该专卖店销售这种山核桃要想平均每天获利2240元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设该店应按原售价的x折出售，则每千克的销售利润为元，平均每天可售出千克， 根据题意得： ， 整理得， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该店应按原售价的9折出售． 4．（23-24九年级上·河北保定·阶段练习）商场销售某种拖把，已知这种拖把的进价为80元/套，售价为120元/套，商场每天可销售20套、国庆假期临近，该商场决定采取适当的降价措施，经调查：这种拖把的售价每降价1元，平均每天可多售出2套，设这种拖把每套降价x元． (1)降价后每套拖把盈利______元，平均每天可销售______套（用含x的代数式表示）； (2)为扩大销售量，尽快减少库存，当每套拖把降价多少元时，该商场销售这种拖把平均每天能盈利1242元？ (3)该商场销售这种拖把平均每天的盈利能否达到1400元？若能，求出x的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2)每套拖把降价17元时，能让利于顾客并且商家平均每天能赢利1242元； (3)不能，理由见解析 【分析】此题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系． （1）设每套拖把降价x元，根据题意列出代数式即可； （2）设每套拖把降价x元，则每套的销售利润为元，平均每天的销售量为套，根据题意列出一元二次方程求解即可； （3）设每套拖把降价y元，则每套的销售利润为元，平均每天的销售量为套，根据题意列出一元二次方程，然后依据判别式求解即可. 【详解】（1）解：设每套拖把降价x元，则每天销售量增加套，即每天销售套， 每套拖把盈利元． 故答案为：，； （2）解：设每套拖把降价x元，则每套的销售利润为元，平均每天的销售量为套， 依题意得：， 整理得：， 解得：． 又∵需要尽快减少库存， ∴． 答：每套拖把降价17元时，能让利于顾客并且商家平均每天能赢利1242元； （3）解：商家不能达到平均每天盈利1400元，理由如下： 设每套拖把降价y元，则每套的销售利润为元，平均每天的销售量为套， 依题意得：， 整理得：． ∵， ∴此方程无实数解， 即不可能每天盈利1400元． 【考点8 动态几何问题】 1．（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以1厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以2厘米/秒的速度移动，如果、分别是从、同时出发，当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． (1)求经过几秒时，的面积等于8平方厘米？ (2)的面积能否等于10平方厘米，如果能求出运动的时间，如果不能，请说明理由． 【答案】(1)2秒或4秒 (2)不能，理由见解析 【分析】一元二次方程的实际应用，根据题意，正确表示出线段长度及，利用三角形面积公式列出方程求解，是解答本题的关键． （1）设运动时间为x秒，根据三角形面积公式构建方程求解即可； （2）设运动时间为x秒，的面积等于10平方厘米，根据三角形面积公式构建方程，解方程即可判断． 【详解】（1）解：设运动时间为x秒，则，， 又， ∴， 根据题意，得， 解得，． ∴经过2秒或4秒后，的面积等于8平方厘米； （2）解：设运动时间为x秒，的面积等于10平方厘米， 根据题意，得， 整理得， ∴， ∴方程无解， ∴的面积不能等于10平方厘米． 2．（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图所示，中，，厘米，厘米，占从点开始沿边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以2厘米/秒的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，经过 秒钟的面积等于5平方厘米． 【答案】1 【分析】本题考查了实际问题与一元二次方程：动态几何问题，根据运动速度以及运动方向得，，，根据面积列式，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：经过秒钟的面积等于5平方厘米， 由题意得：，，， 则， ∵的面积等于5平方厘米 ∴ 解得 ∵ ∴舍去 ∴ 故答案为：1 3．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动（到达终点后停止），点Q从点B开始沿边B﹣C﹣D向终点D以的速度移动．如果点P，Q分别从A，B同时出发，当点P和点Q都运动到终点时，运动过程停止，设运动时间为．在这个运动过程中，四边形的面积等于时，此时t的值是 ． 【答案】3或 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次方程（一元二次方程）是解题的关键．分，及三种情况考虑：当时，连接AQ，DQ，连接，，此时，，当当时，，，当时，，，由四边形的面积等于 列出关于t的方程，解之即可得出t值． 【详解】解：（秒），（秒），（秒）． 当时，连接，，此时，，如图1所示． 依题意得：， 即 解得：，（不合题意，舍去）； 当时，，，如图2所示． 依题意得： ， 即， 解得：t（不合题意，舍去）； 当时，，，如图3所示． 依题意得：， 即， 解得：t． 综上，t的值为3或． 故答案为：3或． 【考点9 工程问题】 1．（23-24九年级上·重庆开州·期末）城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． (1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ (2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【答案】(1)甲最多施工900米 (2)的值为2 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用等知识点，审清题意、弄清量之间的关系、正确列出不等式和方程是解题的关键． （1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工米，根据不等关系“工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的”列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可解答； （2）根据“最终每天实际总成本比计划多万元”即可得出关于的一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲施工米， 由题意可得：， 解得：． 答：甲最多施工900米． （2）解：由题意可得：， 整理得， 解得． 答：的值为2． 2．（22-23八年级下·重庆北碚·期末）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工米．已知甲乙每天施工所需成本共万元．因地质情况不同，甲每合格完成米桥梁施工成本比乙每合格完成米的桥梁施工成本多万元． (1)分别求出甲，乙每合格完成米的桥梁施工成本； (2)实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖．乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖米．若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【答案】(1)甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元 (2)的值为 【分析】（1）设乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元，则甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，根据题意列方程即可求解； （2）根据题意分别表示出甲、乙每天的实际工作量，实际成本，根据数量关系列方程即可求解． 【详解】（1）解：设乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元，则甲每合格完成米桥梁施工成本为万元， ∴，解得，， ∴甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元． （2）解：由（1）可知，甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元， ∴实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，则甲每合格完成米实际成本为万元，且每天多挖，则甲每天实际完成量为米，乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，则乙每合格完成米实际成本为万元，且每天多挖米，则乙每天实际完成量为米，终每天实际总成本比计划多万元，则最中每天的实际总成本为万元， ∴，整理得，，解得，，（不符合题意，舍去）， ∴的值为． 【点睛】本题主要考查方程与实际问题的综合，理解题目中的数量关系，掌握列方程的方法，解一元一次方程，一元二次方程的方法是解题的关键． 3．（22-23八年级下·重庆北碚·期中）甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务． (1)求甲工程队每小时修的路面长度； (2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了()小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值． 【答案】(1)甲工程队每小时铺设的路面长度为110米 (2)m的值为18 【分析】（1）设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可； （2）根据“甲工程队铺设的路面长度+乙两工程队铺设的路面长度=5800”列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面米， 根据题意得，， 解得：， 则， ∴甲工程队每小时铺设的路面长度为110米； （2）解：根据题意得， ， 整理得，， 解得：（舍去）， ∴m的值为18． 【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程． 【考点10 其他问题】 1．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）中国和美国两个国家的代表团举行一次双边会谈，在会谈前双方成员分别与对方成员一一握手，握手次数共88次．已知中国代表团成员比美国代表团成员少3人，问中、美两国代表团各有几人？ 【答案】中国代表团8人，美国代表团11人． 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设中国代表团有人，得到美国代表团有人，根据双方成员分别与对方成员一一握手，握手次数共88次，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设中国代表团有人，则美国代表团有人，由题意，得： ， 解得：或（舍去）； ∴； 答：中国代表团8人，美国代表团11人． 2．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图所示的是一张白色卡片甲和两张灰色卡片乙、丙，上面分别写有一个整式．现从这三张卡片中进行抽取，规定抽到灰色卡片，就减去上面的整式，抽到白色卡片，就加上上面的整式． (1)已知抽到甲、丙两张卡片，计算结果的值可能是1吗？请判断并说明理由； (2)已知同时抽到甲、乙、丙这三张卡片，若计算结果的值为0，求x的值． 【答案】(1)不可能，理由见详解 (2)或 【分析】本题考査整式的加减运算、一元二次方程的根的判别式以及一元二次方程的解法，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则以及一元二次方程的解法，本题属于基础题型． (1) 假设抽到甲、丙两张卡片计算结果的值是1，列出方程，然后将方程整理为一般式，再根据根的判别式即可解答； (2)根据题意列出方程，进而解方程即可求出x的值． 【详解】（1）解：不可能，理由： 假设抽到甲、丙两张卡片计算结果的值是1， 由题意可知：， ， ， ， ， ， 该方程没有实数根， 抽到甲、丙两张卡片的计算结果的值不可能是1； （2）解：由题意可知， ， ， ， ， 解得：或． 3．（2023·重庆潼南·模拟预测）世界杯火热进行期间，其相关的周边产品大多为中国制造．为了抓住这一商机，两工厂决定生产球衣．据统计，甲厂每小时生产600件，乙厂每小时生产800件．甲、乙两厂共生产16小时，且每天生产的球衣总数量为11400件． (1)求甲、乙两厂每天分别生产多少小时？ (2)由于球衣在国外热销，客户纷纷追加订单，两工厂每天均增加生产时间，其中甲厂比乙厂多增加2小时，在整个生产过程中，甲厂每小时产量不变，而乙厂由于机器损耗及人员不足，每增加一个小时，每小时产量将减少140件，这样两工厂一天生产的球衣总量将比原来多1200件．求甲厂增加的生产时间为多少小时？ 【答案】(1)甲厂每天生产7小时，乙厂每天生产9小时； (2)甲厂增加的生产时间为3小时． 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元二次方程的应用，正确的列出方程组和一元二次方程，是解题的关键： （1）设甲厂每天生产x小时，乙厂每天生产y小时，根据“甲、乙两厂共生产小时，且每天生产的球衣总数量为件”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设甲厂增加的生产时间为m小时，则乙厂增加的生产时间为小时，乙厂每小时生产件，利用生产总量生产效率生产时间，可得出关于m的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设甲厂每天生产小时，乙厂每天生产小时， 根据题意得：， 解得：． 答：甲厂每天生产7小时，乙厂每天生产9小时； （2）设甲厂增加的生产时间为小时，则乙厂增加的生产时间为小时，乙厂每小时生产件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去， ． 答：甲厂增加的生产时间为3小时． 4．（23-24八年级下·山东烟台·期末）科研人员在实验室进行某种药液的临床试验，他用一个容器盛满了纯药液4升，第一次倒出若干升后，用水加满，充分混合后，第二次又倒出同样体积的溶液，此时容器里溶液中的纯药液还剩下1升． (1)每次倒出溶液多少升？ (2)若用水加满再充分混合，则第三次倒出同样体积的溶液后，溶液中的纯药液还剩多少？ 【答案】(1)每次倒出溶液2升 (2)纯药液还剩0.5升 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键； （1）设每次倒出溶液x升．根据两次倒出后容器里溶液中的纯药液还剩下1升建立方程求解即可； （2）由剩下的再减去第三次倒出的即可得到答案； 【详解】（1）解：设每次倒出溶液x升． 由题意，得． 整理得． 解得，． ∵不合题意，故舍去． ∴． 所以，每次倒出溶液2升． （2）解：． 所以，纯药液还剩0.5升． 5．（23-24九年级下·重庆北碚·开学考试）今年除夕夜时，小明班上的同学都将自己编辑好的各不相同的拜年短信发送给班级的每一位同学，全班共发送1980条拜年短信，如果全班有x名同学，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程在实际生活中的应用．计算全班共发多少条拜年短信，首先确定一个人发多少条拜年短信是解题关键．如果全班有x名同学，那么每名同学要发出条短信，共有x名学生，那么总共发送的条数数应该是条，即可列出方程． 【详解】解：∵小明班上的同学都将自己编辑好的各不相同的拜年短信发送给班级的每一位同学，且全班有x名同学， ∴每位同学需发送条拜年短信． 根据题意得：． 故选：C． 过关检测 1．（23-24九年级上·广东湛江·阶段练习）有一人患了红眼病，经过两轮传染后共有64人患病． (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人? (2)若不及时控制，按这样的传染速度，三轮传染后患病的共有多少人？ 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染了7个人 (2)三轮传染后患病的共有512人 【分析】本题考查根据实际问题列出一元二次方程，先用含有x的代数式计算出第一轮感染后的人数，再在第一轮感染人数的基础上列出第二轮感染后的人数，列出等式，能够找到等量关系是解决本题的关键． （1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得，解方程即可． （2）根据题意，得． 【详解】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得， 解方程，得（舍去）， 答：每轮传染中平均一个人传染了7个人． （2）根据题意，得 (人) 答：三轮传染后患病的共有512人． 2．（24-25八年级上·上海·期中）有一件商品，由原售价连续两次降价，每次降价的百分率相同．已知原售价是800元，降价两次后的售价是578元，若每次下降的百分率是x，由题意列出关于x的方程： ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，找准数量关系列出方程是解题的关键． 设每次降价的百分率为x，那么第一次降价后的售价是原来的，那么第二次降价后的售价是原来的，根据题意列方程解答即可． 【详解】解：设每次降价的百分率为，那么第一次降价后的售价是原来的，那么第二次降价后的售价是原来的，根据题意得 ， 故答案为：． 3．（22-23八年级下·全国·单元测试）如图，某农场有两堵互相垂直的墙，长度分别为27米和15米，该农场打算借这两堵墙建一个长方形饲养场，其中和两边借助墙体且不超出墙体，其余部分用总长45米的木栏围成，中间预留1米宽的通道，在和边上各留1米宽的门、设长x米， (1)求的长度（用含x的代数式表示）． (2)若饲养场的面积为180平方米，求x的值． 【答案】(1)米 (2)． 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用、一元二次方程的求解及一元一次不等组的求解；根据实际情境确定变量的取值范围，对方程解作合理取舍是解题的关键． （1）由得，再由即可得出答案； （2）根据矩形的面积等于长宽建立方程，求解并检验即可． 【详解】（1）解：如图， ∴ ∴米； （2）解：由题意知， 解得，， 又∵，且 ∴， ∴． 4．（2024·福建龙岩·模拟预测）龙岩市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 【答案】(1)设该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)该品牌头盔每个售价应定为50元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用： （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个列出方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可． 【详解】（1）解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得 解得（不合题意，舍去） 答：设该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设该品牌头盔每个售价为y元， 依题意，得 整理，得 解得 因尽可能让顾客得到实惠 ，所以不合题意，舍去． 所以． 答：该品牌头盔每个售价应定为50元． 5．（24-25八年级上·上海宝山·期中）如图，现准备用32米长的木板建有关面积为130平方米的长方形仓库，仓库的一边靠墙，并在与墙垂直的一边开一道1米宽的小门． (1)如果墙长15米，求仓库的长和宽； (2)如果墙长a米，在离开墙9米开外仓库一侧修条小路，那么墙长至少要多少米？ 【答案】(1)长为13米，则宽为10米 (2)20米 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是弄懂题意，找出题目中的等量关系，要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解． （1）设长方形的长为，则宽为米，而仓库的面积为，由此即可列出方程，解方程就可以解决问题； （2）根据长方形的长宽列出不等式，并解答． 【详解】（1）设长方形的长为，则宽为米， 由题意，得 解得或 当时，显然，不符合题意，舍去 所以． 答：长方形的长为13米，则宽为10米； （2）解：∵宽为10米米， 此时不符合题意． 当长为20米时，宽为6.5米米， 米， ∴墙长至少要20米． 6．（24-25八年级上·上海·期中）某种药品的价格经过两次连续降价后，由每盒100元下调至81元，且每次降价的百分率相同，则降价的百分率为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．读懂题意，找出等量关系，列出等式是解题关键． 设这种药品每次降价的百分率是，根据题意可列出关于的一元二次方程，解出即得出答案． 【详解】解：设这种药品每次降价的百分率是， 根据题意得：， 解得：（舍）． 故这种药品每次降价的百分率是． 故答案为：． 7．（2024·云南昭通·二模）两个相邻奇数的乘积为783，若设较小的奇数为x，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程若设较小的奇数为x，则与它相邻奇数且比它大的为，根据这两个数的积是783即可列出方程． 【详解】解：若设较小的奇数为x，则与它相邻奇数且比它大的为， 根据题意有：， 故选：A． 8．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）某商店销售一款电风扇，平均每天可售出24台，每台利润60元．为了增加利润，商店准备适当降价，若每台电风扇每降价5元，平均每天将多售出4台． (1)当每台电风扇降价10元，则每台的利润_____元，平均每天多售出_____台． (2)若要使每天销售利润达到1540元，则每台需要降价多少元 (3)请问该电风扇每天销售利润能否达到2000元吗？请说明理由． 【答案】(1)50，8 (2)5或25元 (3)该电风扇每天销售利润不能达到2000元，理由见解答 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、根的判别式以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）牢记“当△时，方程无实数根”． （1）利用降价后每台电风扇的利润降价前每台电风扇的利润降低的价格，即可求出降价后每台电风扇的利润，利用平均每天可多出售电风扇的台数，即可求出平均每天可多出售电风扇的台数； （2）设每台需要降价元，则每台的销售利润为元，平均每天可售出台，利用总利润每台的销售利润日销售量，可列出关于的一元二次方程，解之即可得出结论； （3）假设该电风扇每天销售利润能达到2000元，设每台需要降价元，则每台的销售利润为元，平均每天可售出台，利用总利润每台的销售利润日销售量，可列出关于的一元二次方程，由根的判别式△，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即该电风扇每天销售利润不能达到2000元． 【详解】（1）解：根据题意得：当每台电风扇降价10元时，每台的利润为（元）， 平均每天多售出（台）， 故答案为：50，8； （2）解：设每台需要降价元，则每台的销售利润为元，平均每天可售出台， 根据题意得， 整理得， 解得，， 答：每台需要降价5或25元； （3）解：该电风扇每天销售利润不能达到2000元， 理由如下： 假设该电风扇每天销售利润能达到2000元，设每台需要降价元，则每台的销售利润为元，平均每天可售出台， 根据题意得：， 整理得， ， 原方程没有实数根， 假设不成立，即该电风扇每天销售利润不能达到2000元． 9．（23-24九年级上·广西桂林·期末）如图，在中，，，，点沿边从点出发向终点以的速度移动；同时点沿边从点出发向终点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．当的面积为时，点运动的时间是（　　） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．利用时间路程速度，可求出点，到达终点所需时间，当运动时间为秒时，，，根据的面积为，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】解：，． 当运动时间为秒时，，，， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 点的运动时间是． 故选：A． 10．（22-23九年级上·重庆渝中·期末）某工程队采用A、B两种设备同时对长度为4800米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则32小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了米，而使用时间增加了小时，求的值． 【答案】(1)A型设备每小时铺设的路面110米 (2)18 【分析】（1）设B型设备每小时铺设的路面x米，可得：，解方程即可解得答案； （2）根据A型设备铺的路+B型设备铺的路=5800列方程，解方程即可得答案． 【详解】（1）设B型设备每小时铺设的路面x米，则A型设备每小时铺设路面米，由题意得 ， 解得， 米， 所以A型设备每小时铺设的路面110米； （2）根据题意得：， 解得，（舍去）， 答：m的值是18． 【点睛】本题考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程． 11．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一根的一半，则称这样的方程为“半根方程”．以下关于半根方程的说法，正确的是（    ） A．方程是半根方程 B．方程是半根方程 C．若，则方程是半根方程 D．若点在函数的图象上，则关于的方程是半根方程 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握半根方程的定义是解题的关键．根据题意解得方程的解后即可利用半根方程的定义进行逐项判断，即可求解． 【详解】解：A．方程的解为，此方程不是半根方程，此结论错误； B．方程的解为，此方程不是半根方程，此结论错误； C． ∵， ∴或， ∵方程的解为 ∴或， 则方程是半根方程，此结论正确． D．∵点在函数的图象上， ∴， 关于的方程解得： ， ， ∴此方程不是半根方程，此结论错误． 故选：C 12．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）假设每一个参加宴会的人跟其他参会的人都握一次手，在宴会结束时，所有的参会者总共握手28次，那么参会人士共有多少人？设参会人士共有x人，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设参会人士共有x人，则根据两两握手一次，共握了28次手可列出方程，解出即可． 【详解】解：设参会人士共有x人， 则根据分析可得：． 故选：C． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 一元二次方程的应用 考点聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 知识点1 二次三项式的因式分解 1.二次三项式的因式分解 如果一元二次方程（a≠0）实数根是, 那么二次三项式的分解式为 2.利用公式法将二次三项式分解因式的步骤 (1) 求二次三项式所对应的一元二次方程 （a≠0）的两个根; (2) 将求得的的值代入中. 【规律方法】 有些二次三项式可用十字相乘法进行因式分解； 1.当时，分解式中的因不要漏写.当时，,此时称 为完全平方式. 3.把二次三项式（a≠0）分解因式时， (1)如果,那么先求出方程的两个实数根，再写出分解式. (2)如果,那么方程没有实数根，在实数范围内不能因式分解 知识点2 一元二次方程根与系数的关系 1.一元二次方程的根与系数的关系 设方程①的两实数根分别为和，则该方程可化为.整理，得② .比较①②的系数，得，.所以方程的根与系数的关系为，. 注意：当一元二次方程二次项系数为1时，两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。 2.方程（a≠0）的根与系数的关系的推导 若一元二次方程（a≠0）有实数根，设这两个实数根分别为， 由求根公式得（）， 令，. 由此可得+=+=， =·=. 所以，. 这一结论表明:一元二次方程两根之和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比.此结论称为一元二次方程根与系数的关系（也叫“韦达定理”）. 3.以，为实数根的一元二次方程（二次项系数为1） 4.与一元二次方程两根有关的几个代数式的变形 前提条件：（1）方程是一元二次方程（2）方程有实数根，即△≥0. （1） （2） （3） （4） （5） （6） 知识点3 列一元二次方程解实际问题的一般步骤 1.列方程解实际问题的实质 列方程解实际问题就是先把实际问题抽象为数学问题(即转化)然后通过解决数学问题来解决实际问题。 2.列一元二次方程解实际问题的一般步骤 (1) 审:是指审清题意,明确哪些是已知量,哪些是未知量以及它们之间的数量关系. (2) 设:是指设元,也就是设未知数,设元又分直接设元和间接设元.所谓直接设元就是问什么设什么;如果直接设元列方程比较难或列出的方程比较复杂,这时可以考虑间接设元,间接设元虽然所设未知数不是我们所要求的,但更便于列出方程,因此间接设元也是常用的一种方法. (3) 列:列方程,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个等量关系,然后列代数式表示这个等量关系，就得到含有未知数的等式，即方程. (4) 解:解方程,求出未知数的值. (5) 验:检验方程的解是否正确及能否使实际问题有意义. (6) 答:回答问题一定要遵循“问什么答什么，怎样问就怎样答”的原则. 简记：审设列解验答。 考点剖析 【考点1 二次三项式的因式分解】 1.在实数范围内分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 2.（2023秋·上海杨浦·八年级统考期末）在实数范围内分解因式 ． 【考点2 （拓展）根与系数的关系】 1.根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根的和与积： （1）      （2）       （3） 2.一元二次方程的两根为，则的值为（    ） A． B． C．3 D． 【考点3 传播问题】 1．（2024·重庆沙坪坝·一模）某种植物只有一个主干，该主干上长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是111，设一个主干长出x个支干，则下列方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是157，设每个支干长出的小分支数目为x，根据题意，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024九年级上·全国·专题练习）甲型流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型流感没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有81人患了甲型流感，每天平均一个人传染了几人？如果按照这个传染速度，在经过3天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型流感？ 4．（23-24八年级下·山东威海·期中）近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有91人有此短信． (1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ (2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 【考点4 增长率问题】 【解题技巧总结】 1.概念：在一元二次方程增长率问题中，最基本的公式是。其中是起始量，是增长率（如果是降低率则为负），是增长（或降低）的次数，是最终量。 2.步骤： （1）确定起始量：仔细阅读题目，找出问题中的起始量。 （2）确定增长次数和最终量：明确增长（或降低）的次数和最终量。 （3）判断增长率（降低率）的正负：如果是增长问题，增长率；如果是降低问题，如价格下降、数量减少等，。 （4）列方程求解：把确定好的、、的值代入公式中，得到一个关于的一元二次方程。然后化简方程求解。 （5）检验答案： 将求得的增长率代入原方程，看等式是否成立。同时，要检查答案是否符合实际情况。 1．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）某工厂七月份的产值是100万元，计划第三季度共创产值484万元．若每个月产值的增长率相同，并设这个增长率为x，则下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海·期中）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一天进馆人次，进馆人数逐日增加，到第三天结束累计进馆人次，若进馆人次的日平均增长率相同． (1)求进馆人次的日平均增长率； (2)因条件限制，学校图书馆每日接纳能力不超过人次，在进馆人次的日平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四天的进馆人次，并说明理由． 3．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）为加快上海家电以旧换新速度，某商场对一台原价4000元的电视进行调价，经过两次降价后，价格调整为2560元，如果每次降低的百分率相同，则这个百分率为 ． 4．（24-25八年级上·上海黄浦·期中）某文具店为迎接“购物节”，提高水笔销量，经过两次降价后（每次降价的百分率相同），由每盒元降至每盒元．则降价的百分率为 ． 【考点5 与图形有关的问题】 【解题步骤技巧】 1.设未知数：一般选择与题目条件关联最多的几何量作为未知数。例如，在面积问题中，如果是矩形，通常设矩形的长或宽为未知数；在勾股定理问题中，设直角边为未知数比较方便后续计算。 2.用未知数表示其他几何量：根据题目中的几何关系，用所设的未知数表示出其他相关的几何量。 3.建立方程：利用几何图形的性质（面积公式、勾股定理等）建立一元二次方程。这一步要确保对几何性质的理解准确无误。 4.解方程并检验：解方程时，要注意选择合适的方法，如因式分解法、配方法或公式法。求出方程的解后，要检验解是否符合几何实际意义。比如，在几何图形中，边长不能为负数，所以如果得到的解是负数，就需要舍去。 1．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，某建筑工程队，在工地一边的靠墙处（墙长米），用120米长的栅栏围成一个所占地面为长方形的临时仓库，栅栏只围三边．长方形仓库的面积是1860平方米，且有一个2米宽的进出铁门．分别求长方形仓库的长和宽． 2．（24-25八年级上·上海黄浦·期中）同学们开展的综合实践活动中取得了系列丰硕的成果，需要推广宣传．原计划使用一块正方形场地布展，后经过研究，发现长与宽之比为的长方形场地展览效果更好，因此需要把长增加6米，宽增加2米（如图1）． (1)直接写出长方形区域的宽是_______m，长是_______m． (2)现计划将长方形区域按图2的方式进行划分，展示四各小组的项目成果，在各展区之间留宽度相等的过道．如果各展区的总面积为，求过道的宽度． 3．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）如图，小区要建一个面积为90平方米的长方形车棚，分别停放自行车和电瓶车，为节约材料，车棚一边靠着原有的一堵墙，墙长16米，另三边用木栏围起，车棚开两扇1.5米的小门．已知木栏材料总长30米，且正好用完，求这个车棚的长和宽分别是多少米？ 4．（24-25八年级上·上海·期中）第二十二届中国上海国际艺术节首次移师上海市黄浦区南京东路第一百货商业中心，主办方工作人员准备利用一边靠墙（墙长30米）的空旷场地为提前到场的观众设立面积为320平方米的封闭型长方形等候区．如图，为了方便观众进出，在两边空出两个宽各为1米的出入口，共用去隔栏板50米．请问：工作人员围成的这个长方形的相邻两边长分别是多少米？ 【考点6 数字问题】 1．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）如图所示的是2024年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，设这四个数从小到大依次为a，b，c，d．请解答下列问题． (1)若用含有 a 的式子分别表示出b，c，d， 则 ， ， ；按这种方法所圈出的四个数中，的最大值为 ． (2)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． (3)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 2．（22-23八年级上·上海·阶段练习）如果两个连续正偶数的积为120，则这两个数是 ． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）有一个两位数，它的十位上的数字与个位上的数字之和为4．如果把十位上的数字与个位上的数字调换位子后，所得的两位数乘以原来的两位数为．设原来的数的个位上的数字是，则可列方程是（    ） A． B． C． D． 【考点7 营销问题】 1．（24-25八年级上·上海·期中）“中秋季”是我国传统节日，某商店销售“美心”和“杏花楼”两个品牌的月饼，每盒“美心”月饼的售价是100元，每盒“杏花楼”月饼的售价是80元．8月份，两个品牌的月饼一共销售180盒，且总销售额为16400元， (1)8月份卖出“美心”月饼多少盒？ (2)9月份，月饼大量上市，受此影响，“美心”月饼售价降低了，销售量在8月份销售量的基础上增加了，“杏花楼”月饼的售价降低了，销售量在8月份销售量的基础上增加了，结果9月份总销售额比8月份总销售额增加了6800元，那么9月份“美心”月饼的售价为_____（用含的代数式表示），9月份“杏花楼”月饼的销售量为_____（用含的代数式表示），直接写出的值是_____ 2．（24-25八年级上·上海·阶段练习）某种时装，平均每天销售20件，每件盈利44元；若每件降价1元，则每天可多售出5件． (1)若想达到每天盈利1600元，每件可降价多少元？ (2)若想盈利达到最大值，每件可降价多少元？ 3． （24-25九年级上·北京·开学考试）某专卖店销售山核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可出售．后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天可销售可增加．若该专卖店销售这种山核桃要想平均每天获利2240元，且尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？ 4．（23-24九年级上·河北保定·阶段练习）商场销售某种拖把，已知这种拖把的进价为80元/套，售价为120元/套，商场每天可销售20套、国庆假期临近，该商场决定采取适当的降价措施，经调查：这种拖把的售价每降价1元，平均每天可多售出2套，设这种拖把每套降价x元． (1)降价后每套拖把盈利______元，平均每天可销售______套（用含x的代数式表示）； (2)为扩大销售量，尽快减少库存，当每套拖把降价多少元时，该商场销售这种拖把平均每天能盈利1242元？ (3)该商场销售这种拖把平均每天的盈利能否达到1400元？若能，求出x的值；若不能，请说明理由． 【考点8 动态几何问题】 1．（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以1厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以2厘米/秒的速度移动，如果、分别是从、同时出发，当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． (1)求经过几秒时，的面积等于8平方厘米？ (2)的面积能否等于10平方厘米，如果能求出运动的时间，如果不能，请说明理由． 2．（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图所示，中，，厘米，厘米，占从点开始沿边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以2厘米/秒的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，经过 秒钟的面积等于5平方厘米． 3．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动（到达终点后停止），点Q从点B开始沿边B﹣C﹣D向终点D以的速度移动．如果点P，Q分别从A，B同时出发，当点P和点Q都运动到终点时，运动过程停止，设运动时间为．在这个运动过程中，四边形的面积等于时，此时t的值是 ． 【考点9 工程问题】 1．（23-24九年级上·重庆开州·期末）城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． (1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ (2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 2．（22-23八年级下·重庆北碚·期末）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工米．已知甲乙每天施工所需成本共万元．因地质情况不同，甲每合格完成米桥梁施工成本比乙每合格完成米的桥梁施工成本多万元． (1)分别求出甲，乙每合格完成米的桥梁施工成本； (2)实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖．乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖米．若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 3．（22-23八年级下·重庆北碚·期中）甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务． (1)求甲工程队每小时修的路面长度； (2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了()小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值． 【考点10 其他问题】 1． （24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）中国和美国两个国家的代表团举行一次双边会谈，在会谈前双方成员分别与对方成员一一握手，握手次数共88次．已知中国代表团成员比美国代表团成员少3人，问中、美两国代表团各有几人？ 2．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图所示的是一张白色卡片甲和两张灰色卡片乙、丙，上面分别写有一个整式．现从这三张卡片中进行抽取，规定抽到灰色卡片，就减去上面的整式，抽到白色卡片，就加上上面的整式． (1)已知抽到甲、丙两张卡片，计算结果的值可能是1吗？请判断并说明理由； (2)已知同时抽到甲、乙、丙这三张卡片，若计算结果的值为0，求x的值． 3．（2023·重庆潼南·模拟预测）世界杯火热进行期间，其相关的周边产品大多为中国制造．为了抓住这一商机，两工厂决定生产球衣．据统计，甲厂每小时生产600件，乙厂每小时生产800件．甲、乙两厂共生产16小时，且每天生产的球衣总数量为11400件． (1)求甲、乙两厂每天分别生产多少小时？ (2)由于球衣在国外热销，客户纷纷追加订单，两工厂每天均增加生产时间，其中甲厂比乙厂多增加2小时，在整个生产过程中，甲厂每小时产量不变，而乙厂由于机器损耗及人员不足，每增加一个小时，每小时产量将减少140件，这样两工厂一天生产的球衣总量将比原来多1200件．求甲厂增加的生产时间为多少小时？ 4．（23-24八年级下·山东烟台·期末）科研人员在实验室进行某种药液的临床试验，他用一个容器盛满了纯药液4升，第一次倒出若干升后，用水加满，充分混合后，第二次又倒出同样体积的溶液，此时容器里溶液中的纯药液还剩下1升． (1)每次倒出溶液多少升？ (2)若用水加满再充分混合，则第三次倒出同样体积的溶液后，溶液中的纯药液还剩多少？ 5．（23-24九年级下·重庆北碚·开学考试）今年除夕夜时，小明班上的同学都将自己编辑好的各不相同的拜年短信发送给班级的每一位同学，全班共发送1980条拜年短信，如果全班有x名同学，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 过关检测 1．（23-24九年级上·广东湛江·阶段练习）有一人患了红眼病，经过两轮传染后共有64人患病． (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人? (2)若不及时控制，按这样的传染速度，三轮传染后患病的共有多少人？ 2．（24-25八年级上·上海·期中）有一件商品，由原售价连续两次降价，每次降价的百分率相同．已知原售价是800元，降价两次后的售价是578元，若每次下降的百分率是x，由题意列出关于x的方程： ． 3．（22-23八年级下·全国·单元测试）如图，某农场有两堵互相垂直的墙，长度分别为27米和15米，该农场打算借这两堵墙建一个长方形饲养场，其中和两边借助墙体且不超出墙体，其余部分用总长45米的木栏围成，中间预留1米宽的通道，在和边上各留1米宽的门、设长x米， (1)求的长度（用含x的代数式表示）． (2)若饲养场的面积为180平方米，求x的值． 4．（2024·福建龙岩·模拟预测）龙岩市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 5．（24-25八年级上·上海宝山·期中）如图，现准备用32米长的木板建有关面积为130平方米的长方形仓库，仓库的一边靠墙，并在与墙垂直的一边开一道1米宽的小门． (1)如果墙长15米，求仓库的长和宽； (2)如果墙长a米，在离开墙9米开外仓库一侧修条小路，那么墙长至少要多少米？ 6．（24-25八年级上·上海·期中）某种药品的价格经过两次连续降价后，由每盒100元下调至81元，且每次降价的百分率相同，则降价的百分率为 ． 7．（2024·云南昭通·二模）两个相邻奇数的乘积为783，若设较小的奇数为x，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 8．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）某商店销售一款电风扇，平均每天可售出24台，每台利润60元．为了增加利润，商店准备适当降价，若每台电风扇每降价5元，平均每天将多售出4台． (1)当每台电风扇降价10元，则每台的利润_____元，平均每天多售出_____台． (2)若要使每天销售利润达到1540元，则每台需要降价多少元 (3)请问该电风扇每天销售利润能否达到2000元吗？请说明理由． 9．（23-24九年级上·广西桂林·期末）如图，在中，，，，点沿边从点出发向终点以的速度移动；同时点沿边从点出发向终点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．当的面积为时，点运动的时间是（　　） A． B．或 C． D．或 10．（22-23九年级上·重庆渝中·期末）某工程队采用A、B两种设备同时对长度为4800米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则32小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了米，而使用时间增加了小时，求的值． 11．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一根的一半，则称这样的方程为“半根方程”．以下关于半根方程的说法，正确的是（    ） A．方程是半根方程 B．方程是半根方程 C．若，则方程是半根方程 D．若点在函数的图象上，则关于的方程是半根方程 12．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）假设每一个参加宴会的人跟其他参会的人都握一次手，在宴会结束时，所有的参会者总共握手28次，那么参会人士共有多少人？设参会人士共有x人，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$