专题 2.3 二次根式（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）- 基础知识专项突破讲练2025-2026学年八年级数学上册（北师大版 2024）

专题 2.3 二次根式 目录 一.知识梳理与题型分类精析 1 知识点（一）二次根式概念 1 【题型1】二次根式的意义 1 知识点（二）二次根式的化简 2 【题型2】二次根式的化简 2 【题型3】复合二次根式的化简 2 知识点（三）二次根式乘法 3 【题型4】二次根式的乘法运算 3 知识点（四）二次根式除法 3 【题型5】二次根式的除法运算 3 【题型6】二次根式的乘除法混合运算 4 知识点（五）最简二次根式 4 【题型7】最简二次根式 4 知识点（六）同类二次根式 4 【题型8】同类二次根式 4 知识点（七）二次根式的加减运算 5 【题型9】二次根式的加减 5 【题型10】二次根式的混合运算 5 【题型11】二次根式的化简求值 5 二．同步练习​ 6 1. 基础夯实（选择题6题，填空题6题，解答题4题） 6 2. 能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题） 8 3. 直通中考（12题） 11 一.知识梳理与题型分类精析 知识点（一）二次根式概念 定义：式子叫做二次根式，二次根式须满足：含有二次根号“”；被开方数必须是非负数. 【题型1】二次根式的意义 【例题1】 （24-25八年级下·贵州黔东南·期中）已知，是实数，且，求的值． 【变式1】（24-25八年级下·湖北孝感·期中）等式成立的条件是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·浙江宁波·期中）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 知识点（二）二次根式的化简 【题型2】二次根式的化简 【例题2】 （23-24八年级下·广东广州·期中）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简 【变式1】（2025八年级下·全国·专题练习）已知，，是的三边长，化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知，化简： ． 【题型3】复合二次根式的化简 【例题3】 （24-25八年级下·湖北恩施·期中）观察、思考、作解答： ， 反过来，． ，． （1）仿照上述过程，化简：； （2）若，直接写出与之间的关系． 【变式1】（24-25九年级下·山东滨州·开学考试）（    ） A． B． C．3 D．1 【变式2】（2021九年级·北京·专题练习）化简的结果为 ． 知识点（三）二次根式乘法 一般地，即：积的算术平方根，等于算术平方根的积。反过来得，即：二次根式相乘，根指数不变，被开方数相乘. 【题型4】二次根式的乘法运算 【例题4】 （2025八年级下·全国·专题练习）计算： （1）； （2）． 【变式1】（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【变式2】（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）． 知识点（四）二次根式除法 一般地，即：商的算术平方根，等于算术平方根的商。反过来得，即：二次根式相除，根指数不变，被开方数相除. 【题型5】二次根式的除法运算 【例题5】 （24-25八年级下·全国·课后作业）计算： （1） （2） 【变式1】（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【变式2】（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： （1） （2） 【题型6】二次根式的乘除法混合运算 【例题6】 （24-25八年级下·安徽安庆·阶段练习）计算： （1）； （2）． 【变式1】（24-25八年级下·江苏徐州·阶段练习）计算： （1）． （2） 【变式2】（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 知识点（五）最简二次根式 最简二次根式：二次根式满足：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式. 【题型7】最简二次根式 【例题7】（21-22八年级下·江西赣州·期中）若与是被开方数相同的最简二次根式，求的值． 【变式1】（24-25八年级下·山西阳泉·期末）下列式子是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024八年级上·全国·专题练习）下列二次根式：①；②；③；④．其中化简后的被开方数是3的是 （填序号）． 知识点（六）同类二次根式 定义：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式. 【题型8】同类二次根式 【例题8】 （23-24八年级下·贵州黔东南·阶段练习）若最简二次根式与是同类根式，求的值． 【变式1】（24-25八年级下·天津·期中）下列各组根式，化简后可以合并的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式2】（24-25八年级上·广东梅州·期中）若与最简二次根式能够合并，则 ． 知识点（七）二次根式的加减运算 二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中. 【题型9】二次根式的加减 【例题9】 （24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）计算： （1）； （2）． 【变式1】（24-25八年级上·湖南株洲·期中）计算题 （1）； （2）． 【变式2】（24-25八年级下·山东德州·期中）计算： （1）； （2）； 【题型10】二次根式的混合运算 【例题10】 （24-25八年级下·贵州遵义·期中）计算： （1）； （2）． 【变式1】（24-25八年级下·四川南充·期中）计算： （1） （2） 【变式2】（24-25八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）计算： （1） （2）． 【题型11】二次根式的化简求值 【例题11】 （24-25八年级下·河南濮阳·期中）已知，分别求下列代数式的值： （1） （2） 【变式1】（24-25八年级下·安徽阜阳·阶段练习）已知，，求： （1）的值． （2）的值． 【变式2】（24-25八年级下·山东威海·期中）已知实数x，y满足． （1）探究：x与y之间存在怎样的数量关系？并证明你的结论； （2）计算：求代数式的值． 二．同步练习​ 1. 基础夯实（选择题6题，填空题6题，解答题4题） 一、单选题 1．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）若在实数的范围内有意义，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）设，，则用含a，b的式子表示，可得（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·云南昆明·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025八年级下·全国·专题练习）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·广东汕头·期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·广东汕头·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期中）若，则代数式的值是（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D． 8．（2025·湖南常德·二模）若，则关于的大小，以下说法正确的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．（24-25八年级下·广东汕头·期末）实数在数轴上的位置如图，化简 ． 10．（24-25八年级下·湖北荆门·期中）直角三角形的两条边长分别是6，8，则第三边长是 ． 11．（24-25八年级下·广东珠海·期中）已知，则代数式的值是 ． 12．（24-25八年级下·山东淄博·期末）若最简二次根式与最简二次根式可以合并，求的值为 ． 13．（24-25七年级下·内蒙古通辽·期末）计算： ． 14．（24-25八年级下·海南·期末）化简的结果是 ． 15．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）若，则代数式的值是 ． 16．（2025·河北沧州·模拟预测）已知，，其中m和n均为正数．若a与b互为倒数，则 （用含m的式子表示）． 三、解答题 17．（24-25八年级下·吉林长春·期末）计算： （1）； （2） 18．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）请阅读下列材料： 问题：已知，求代数式的值．小明根据二次根式的性质：． 联想到了以下的解题方法： 由得，则， 即，∴， 把作为整体，得：． 请回答下列问题： （1）已知，求代数式的值． （2）已知，求代数式的值． 19．（23-24八年级上·广东梅州·期中）老师在课堂上总结定理“对于任意两个正数a，b，如果a>b，那么”，然后讲解了一道例题：比较和 的大小． 解：，， ∵，∴， 参考上面例题的解法，解答下列问题： （1）比较与的大小； （2）比较 与的大小． 20．（24-25八年级下·贵州安顺·期末）两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积中不含有二次根式，我们就说这两个含有二次根式的代数式互为有理化因式．例如：与，与． 化简一个分母含有二次根式的式子时，常常采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法． 例如：； ． （1）直接写出的有理化因式：_____． （2）请仿照上面的方法化简（且）． （3）已知，，求的值． 2. 能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题） 一、单选题 1．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列各式中最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山西忻州·阶段练习）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·重庆合川·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·重庆·期末）若，则的值为（   ） A．90 B．91 C．93 D．95 5．（24-25七年级下·广东广州·期中）若的整数部分是，小数部分是，则为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，在的正方形网格中，是网格线的交点，则下列线段长度最长的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25八年级下·湖北孝感·期中）已知x，y为实数，且，则 . 8．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）已知，求代数式的值是 ． 9．（24-25八年级下·山东·阶段练习）已知，则 ． 10．（24-25七年级下·重庆渝中·期末）若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“完美实数”．若是“完美实数”，则 ；若与都是“完美实数”，则的平方根为 ． 11．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图，边长为1的正方形网格图中，点A，B都在格点上，若，则的长为 ． 12．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）已知，去分母，得；移项，得；两边平方，得；整理，得．我们规定：方程称为的“还原方程”． （1）的“还原方程”是 ； （2）若，则代数式 ． 三、解答题 13．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期中）计算： （1）； （2）． 14．（24-25八年级下·云南玉溪·期末）某同学在解决问题：“已知，求的值”时，他是这样分析的： ， ， ，， ， ． 请你根据该同学的分析过程，解决如下问题： （1）若，求的值； （2）在（1）的条件下，求的值． 15．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中、、、均为整数），则有． ，．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，则_______，_________； （2）的算术平方根为_________________； （3）若，且、、均为正整数，求的值； （4）化简：． 16．（24-25八年级下·广东肇庆·期中）如图，细心观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题． ，； ，； ，． （1）推算出__________；__________． （2）请用含（是正整数）的式子填空：__________，__________． （3）求出的值． 3. 直通中考（12题） 一、单选题 1．（2025·广东·中考真题）计算的结果是（   ） A．3 B．6 C． D． 2．（2025·河北·中考真题）计算：（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．（2025·安徽·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（2025·湖南·中考真题）化简 ． 5．（2025·四川自贡·中考真题）计算： ． 6．（2025·吉林·中考真题）计算： ． 7．（2025·山东烟台·中考真题）实数的整数部分为 ． 8．（2025·天津·中考真题）计算的结果为 ． 三、解答题 9．（2025·陕西·中考真题）计算：． 10．（2025·甘肃·中考真题）计算：． 11．（2025·湖北·中考真题）计算：． 12．（2025·吉林长春·中考真题）先化简．再求值：，其中． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 2.3 二次根式 目录 一.知识梳理与题型分类精析 1 知识点（一）二次根式概念 1 【题型1】二次根式的意义 1 知识点（二）二次根式的化简 2 【题型2】二次根式的化简 3 【题型3】复合二次根式的化简 4 知识点（三）二次根式乘法 5 【题型4】二次根式的乘法运算 6 知识点（四）二次根式除法 7 【题型5】二次根式的除法运算 7 【题型6】二次根式的乘除法混合运算 9 知识点（五）最简二次根式 10 【题型7】最简二次根式 10 知识点（六）同类二次根式 12 【题型8】同类二次根式 12 知识点（七）二次根式的加减运算 13 【题型9】二次根式的加减 13 【题型10】二次根式的混合运算 15 【题型11】二次根式的化简求值 16 二．同步练习​ 18 1. 基础夯实（选择题6题，填空题6题，解答题4题） 18 2. 能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题） 27 3. 直通中考（12题） 38 一.知识梳理与题型分类精析 知识点（一）二次根式概念 定义：式子叫做二次根式，二次根式须满足：含有二次根号“”；被开方数必须是非负数. 【题型1】二次根式的意义 【例题1】 （24-25八年级下·贵州黔东南·期中）已知，是实数，且，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简，有理数的乘方，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据二次根式有意义的条件，可求得，然后将代入，可求得，最后求得答案． 解：根据二次根式有意义的条件得， ， 把代入，得， ． 【变式1】（24-25八年级下·湖北孝感·期中）等式成立的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次根式商的性质，商的算术平方根等于算术平方根的商，其中要满足的条件是分子的被开方数必须大于等于，分母的被开方数大于，列出关于x的一元一次不等式组求解即可． 解：∵成立， ∴， 解得， 故选：D． 【变式2】（24-25八年级下·浙江宁波·期中）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式即可得到答案． 解：由题意得：， 解得， 故答案为：． 知识点（二）二次根式的化简 【题型2】二次根式的化简 【例题2】 （23-24八年级下·广东广州·期中）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简 【答案】 【分析】本题考查实数与数轴，化简二次根式和绝对值，根据点在数轴上的位置，判断出式子的符号，根据绝对值的意义和二次根式的性质，进行化简即可． 解：由图可知：， ∴， ∴ ． 【变式1】（2025八年级下·全国·专题练习）已知，，是的三边长，化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三角形的三边关系，二次根式的化简，化简绝对值，正确理解三角形的三边关系：两边和大于第三边是解题的关键．根据三角形三边关系得到，再化简二次根式及绝对值即可． 解：∵，，是的三边长， ， ， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知，化简： ． 【答案】 【分析】先判断x，y的正负，然后根据二次根式的性质进行化简即可. 本题考查了化简二次根式，解题的关键是掌握二次根式的性质. 解：∵， ∴ ∵， ∴，或 ∴； 故答案为. 【题型3】复合二次根式的化简 【例题3】 （24-25八年级下·湖北恩施·期中）观察、思考、作解答： ， 反过来，． ，． （1）仿照上述过程，化简：； （2）若，直接写出与之间的关系． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题考查了二次根式的性质，完全平方公式的变形运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题干过程，得，故，即可作答． （2）因为，则，即可作答． 解：（1）解：依题意 ． （2）解：∵， ∴， 即，． 【变式1】（24-25九年级下·山东滨州·开学考试）（    ） A． B． C．3 D．1 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，利用绝对值的意义和乘法公式结合二次根式的性质进行化简． 解： ， 故选：D． 【变式2】（2021九年级·北京·专题练习）化简的结果为 ． 【答案】 【分析】先把化为平方的形式，再根据化简即可求解． 解：原式 ． 故答案为：． 【点拨】本题考查了双重二次根式的化简，把化为平方的形式是解题关键． 知识点（三）二次根式乘法 一般地，即：积的算术平方根，等于算术平方根的积。反过来得，即：二次根式相乘，根指数不变，被开方数相乘. 【题型4】二次根式的乘法运算 【例题4】 （2025八年级下·全国·专题练习）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，熟知二次根式的乘法计算法则是解题的关键． （1）直接根据二次根式的乘法计算法则求解即可； （2）直接根据二次根式的乘法计算法则求解即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算，二次根式性质，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据二次根式乘法运算法则，二次根式性质即可求解； （）根据二次根式乘法运算法则，二次根式性质即可求解． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）10；（2）；（3） 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，掌握运算法则是解题的关键； （1）利用二次根式乘法计算即可； （2）把根号外的系数相乘，被开方数相乘，再化为最简二次根式即可； （3）利用二次根式乘法计算即可． 解：（1）解：； （2）解：； （3）解：． 知识点（四）二次根式除法 一般地，即：商的算术平方根，等于算术平方根的商。反过来得，即：二次根式相除，根指数不变，被开方数相除. 【题型5】二次根式的除法运算 【例题5】 （24-25八年级下·全国·课后作业）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查二次根式的乘除混合运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）先计算括号内，再进行除法运算即可； （2）利用除法法则进行计算即可． 解：（1）解：原式； （2）原式． 【变式1】（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是二次根式的除法运算，熟记运算法则是解本题的关键； （1）根据二次根式的除法法则进行计算即可； （2）根据二次根式的除法法则进行计算即可； 解：（1）解：； （2）解：； 【变式2】（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查二次根式的除法运算，熟练掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键，注意需要把结果化为最简二次根式． （1）根据二次根式的除法运算法则计算即可； （2）根据二次根式的除法运算法则及二次根式性质计算即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【题型6】二次根式的乘除法混合运算 【例题6】 （24-25八年级下·安徽安庆·阶段练习）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键， （1）根据二次根式的乘除法法则计算，即可求解； （2）根据二次根式的乘除法法则计算，即可求解． 解：（1）解： （2）解： 【变式1】（24-25八年级下·江苏徐州·阶段练习）计算： （1）． （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可； （2）根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查二次根式的乘除运算，熟练掌握二次根式的乘法和除法法则，是解题的关键： （1）利用除法法则进行计算即可； （2）利用乘除法则进行计算即可． 解：（1）解：原式； （2）原式． 知识点（五）最简二次根式 最简二次根式：二次根式满足：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式. 【题型7】最简二次根式 【例题7】（21-22八年级下·江西赣州·期中）若与是被开方数相同的最简二次根式，求的值． 【答案】 【分析】根据最简二次根式的定义列出a，b的方程求出，再代入计算求值 解：∵ 与是被开方数相同的最简二次根式 解得： ∴符合题意 【点拨】本题考查了最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开的尽的因数或因式，满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．本题求出a，b后还需检验，因为被开方数必须为非负数． 【变式1】（24-25八年级下·山西阳泉·期末）下列式子是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数不含分母． 解：选项A：，被开方数3是质数，无平方因子，且不含分母，满足最简二次根式的条件． 选项B：，被开方数含分母2，需化简为，不满足条件②． 选项C：，0.2可写为，被开方数含分母5，需化简为，不满足条件②． 选项D：，被开方数4是完全平方数，可化简为2，不满足条件①． 故选：A． 【变式2】（2024八年级上·全国·专题练习）下列二次根式：①；②；③；④．其中化简后的被开方数是3的是 （填序号）． 【答案】④ 【分析】本题考查了二次根式的化简，先将各二次根式化为最简二次根式，然后再找出被开方数是3的即可． 解：①； ②； ③是最简二次根式； ④． 故化简后被开方数是3的是④， 故答案为：④． 知识点（六）同类二次根式 定义：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式. 【题型8】同类二次根式 【例题8】 （23-24八年级下·贵州黔东南·阶段练习）若最简二次根式与是同类根式，求的值． 【答案】9 【分析】本题考查了同类二次根式，解答本题的关键在于熟练掌握同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．结合同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．进行求解即可． 解： 解：最简二次根式与是同类根式， ， ， 解得：，． ． 【变式1】（24-25八年级下·天津·期中）下列各组根式，化简后可以合并的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，同类二次根式，准确化简二次根式是解题的关键．根据二次根式性质对各组根式化简，然后判断是否为同类二次根式即可得到答案． 解：A、，，被开方数不同，不是同类二次根式，不可合并，不符合题意，选项错误； B、，，被开方数不同，不是同类二次根式，不可合并，不符合题意，选项错误； C、，，被开方数相同，是同类二次根式，可以合并，符合题意，选项正确； D、，，被开方数不同，不是同类二次根式，不可合并，不符合题意，选项错误． 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·广东梅州·期中）若与最简二次根式能够合并，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了同类二次根式及最简二次根式，先计算，再根据题意得，进而可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 解：， 依题意得：， 解得， 故答案为：3． 知识点（七）二次根式的加减运算 二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中. 【题型9】二次根式的加减 【例题9】 （24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键． （1）根据二次根式的加减运算法则计算即可得； （2）先化简二次根式，再计算二次根式的乘法，然后计算二次根式的加减法即可得． 解：（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式1】（24-25八年级上·湖南株洲·期中）计算题 （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，实数的运算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可； （2）先计算立方根和算术平方根，再计算乘方，最后计算加减法即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】（24-25八年级下·山东德州·期中）计算： （1）； （2）； 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了二次根式的加减，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）先将各个二次根式化简，再进行计算即可； （2）先将各个二次根式化简，再进行计算即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【题型10】二次根式的混合运算 【例题10】 （24-25八年级下·贵州遵义·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的混合计算法则求解即可； （2）根据二次根式的混合计算法则求解即可． 解：（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式1】（24-25八年级下·四川南充·期中）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键． （1）先计算二次根式除法和化简二次根式，再计算加减法即可得到答案； （2）先根据乘法公式去括号，然后计算加减法即可得到答案． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】（24-25八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）计算： （1） （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查二次根式混合运算，熟练掌握二次根式运算法则和顺序是银题的关键． （1）先化简各二次根式，再计算括号内的，然后计算除法，最后计算加减即可； （2）先用完全平方公式计算，二次根式除法法则计算，再计算加减即可． 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【题型11】二次根式的化简求值 【例题11】 （24-25八年级下·河南濮阳·期中）已知，分别求下列代数式的值： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查二次根式的运算及乘法公式，熟练掌握二次根式的运算法则、平方差公式及完全平方公式是解题的关键． （1）先得出，，再利用平方差公式计算即可； （2）根据（1）得出，进而根据完全平方公式即可求解． 解：（1）解：∵，， ∴，， ∴； （2）∵， ∴． 【变式1】（24-25八年级下·安徽阜阳·阶段练习）已知，，求： （1）的值． （2）的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了完全平方公式的变形计算，平方差公式，二次根式的混合运算． （1）将字母的值代入，即可求解． （2）先计算，进而根据完全平方公式变形，即可求解． 解：（1）解：∵， ∴ （2）解：∵， ∴， ∴ 【变式2】（24-25八年级下·山东威海·期中）已知实数x，y满足． （1）探究：x与y之间存在怎样的数量关系？并证明你的结论； （2）计算：求代数式的值． 【答案】（1）；证明见分析；（2） 【分析】本题是二次根式的化简和求值．本题利用巧解将已知式变成两式，相加后得出结论． （1）将式子变形后，再分母有理化得①式：，同理得②式：，将两式相加可得结论； （2）将代入原式或①式得：，代入所求式子即可． 解：（1）解：． ∴． ∴① 同理得：② 得：， ∴； （2）解：把代入①，得， ∴． 则 ． 二．同步练习​ 1. 基础夯实（选择题6题，填空题6题，解答题4题） 一、单选题 1．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）若在实数的范围内有意义，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非负，即，解不等式即可确定x的取值范围． 解：根据题意得：， 解得：． 故选：A 2．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）设，，则用含a，b的式子表示，可得（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的化简及二次根式的乘法计算．计算a，b的值，然后将进行化简变形，从而求解． 解：∵，， ∴， 故选：C． 3．（24-25八年级下·云南昆明·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式判断，涉及二次根式定义，根据最简二次根式的定义，按照满足：①被开方数不含能开方的因数；②被开方数不含分母，逐项判断即可得到答案，熟记二次根式定义是解决问题的关键． 解：A、中被开方数，无平方因子，且非分数，符合最简二次根式条件，符合题意； B、中被开方数，含平方因子，可化简为，不是最简二次根式，不符合题意； C、中被开方数为分数，分母有理化为，不是最简二次根式，不符合题意； D、，被开方数为分数，分母有理化为，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 4．（2025八年级下·全国·专题练习）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的化简以及乘除运算，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．先将各项根式化为最简二次根式，再根据二次根式的乘除运算法则进行计算． 解： 故选：B 5．（24-25八年级下·广东汕头·期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同类二次根式，二次根式的化简，几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式． 将各选项化简为最简二次根式后，比较被开方数是否与相同即可． 解：A、与被开方数不一样，不是同类二次根式，不符合题意； B、，与被开方数不一样，不是同类二次根式，不符合题意； C、与被开方数不一样，不是同类二次根式，不符合题意； D、与被开方数一样，是同类二次根式，符合题意； 故选：D． 6．（24-25八年级下·广东汕头·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的加法，减法，乘法，除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 依次利用二次根式的加法，减法，乘法，除法的运算法则化简计算即可． 解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意， 故选：D． 7．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期中）若，则代数式的值是（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D． 【答案】C 【分析】本题主要查了求代数式的值．根据题意可得，再代入计算，即可求解． 解：∵， ∴， ∴． 故选：C 8．（2025·湖南常德·二模）若，则关于的大小，以下说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比较二次根式的大小，分别求出，进而即可判断求解，掌握二次根式的大小比较方法是解题的关键． 解：∵，，， ， ， 故选：． 二、填空题 9．（24-25八年级下·广东汕头·期末）实数在数轴上的位置如图，化简 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据数轴判断正负，化简二次根式． 根据数轴可知，得到，化简即可． 解：由数轴可知， ∴， ∴ 故答案为：． 10．（24-25八年级下·湖北荆门·期中）直角三角形的两条边长分别是6，8，则第三边长是 ． 【答案】10或 【分析】本题主要考查了勾股定理，分边长为8的边是直角边和斜边两种情况，根据勾股定理求解即可． 解：当边长为8的边是直角边时，则第三边长是； 当边长为8的边是斜边时，则第三边长是； 综上所述，第三边长是10或， 故答案为：10或． 11．（24-25八年级下·广东珠海·期中）已知，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查代数式求值，完全平方公式的应用及二次根式的乘法，解题的关键是熟知整体法的运用．利用完全平方公式将所求式子变形为，再将代入即可求解． 解：， ． 故答案为：． 12．（24-25八年级下·山东淄博·期末）若最简二次根式与最简二次根式可以合并，求的值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，若两个最简二次根式能够合并，那么这两个最简二次根式的被开方数相同，则，解方程即可得到答案． 解：∵最简二次根式与最简二次根式可以合并， ∴最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式， ∴， ∴， 故答案为：4． 13．（24-25七年级下·内蒙古通辽·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，立方根定义，准确计算． 根据立方根定义和二次根式混合运算法则进行计算即可． 解： 故答案为：． 14．（24-25八年级下·海南·期末）化简的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次根式化简求值，熟练掌握分母有理化的方法，是解题的关键．分子分母同时乘以，然后再进行计算即可． 解：． 故答案为：． 15．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）若，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练运用完全平方公式，先将原式进行因式分解，然后将代入即可求出答案， 解：∵， ∴ ∴ 故答案为：． 16．（2025·河北沧州·模拟预测）已知，，其中m和n均为正数．若a与b互为倒数，则 （用含m的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的运算，根据互为倒数的两数之积为1，得到，进行求解即可． 解：由题意，得：， ∴， ∴； 故答案为： 三、解答题 17．（24-25八年级下·吉林长春·期末）计算： （1）； （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查二次根式混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则． 先化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可； 先算乘除，化为最简二次根式后再算加减． 解：（1）解： ； （2）解： 18．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）请阅读下列材料： 问题：已知，求代数式的值．小明根据二次根式的性质：． 联想到了以下的解题方法： 由得，则， 即，∴， 把作为整体，得：． 请回答下列问题： （1）已知，求代数式的值． （2）已知，求代数式的值． 【答案】（1）2；（2） 【分析】本题考查二次根式的化简求值、完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键． （1）按照例题的方法解答即可； （2）由得，将其两边平方并利用完全平方公式展开，得到，，把代入得到，进而可得出结论． 解：（1）解：由，，则， ∴， ∴； （2）解：由得，则， ∴， ∴ ． 19．（23-24八年级上·广东梅州·期中）老师在课堂上总结定理“对于任意两个正数a，b，如果a>b，那么”，然后讲解了一道例题：比较和 的大小． 解：，， ∵，∴， 参考上面例题的解法，解答下列问题： （1）比较与的大小； （2）比较 与的大小． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查无理数比较大小，读懂题意，掌握平方运算及例题解法是解决问题的关键． （1）参考例题解法，再由负数比较大小的原则即可得到答案； （2）参考例题解法，再由完全平方公式化简即可得到答案． 解：（1）解：，， ∵， ∴， ∴； （2）解：，， 又，即， ， ∴， ∴． 20．（24-25八年级下·贵州安顺·期末）两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积中不含有二次根式，我们就说这两个含有二次根式的代数式互为有理化因式．例如：与，与． 化简一个分母含有二次根式的式子时，常常采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法． 例如：； ． （1）直接写出的有理化因式：_____． （2）请仿照上面的方法化简（且）． （3）已知，，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了二次根式分母有理化的知识，解题的关键是熟练掌握分母有理化的方法． （1）根据有理化因式的定义即可解答； （2）根据一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法进行化简； （3）通过分母有理化可化简、，从而求出、，根据，将的值代入即可求解． 解：（1）解：∵， ∴是的有理化因式， 故答案为：； （2）解： ． （3）解：， ， ． 2. 能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题） 一、单选题 1．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列各式中最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数的因数不含完全平方数；②被开方数不含分母或分母不含根号．逐一分析各选项即可． 解：选项A：被开方数含完全平方因数，可化简为，不满足最简条件，故不符合题意． 选项B：．被开方数无法分解为完全平方形式，且无分母，满足最简条件，故符合题意． 选项C：．被开方数含完全平方因数，可化简为，不满足最简条件，故不符合题意． 选项D：．被开方数含分母，需化简为，不满足最简条件，故不符合题意． 故选：B． 2．（24-25八年级下·山西忻州·阶段练习）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的运算，根据二次根式加法、减法、除法、乘法法则逐一验证各选项即可，掌握相关运算法则是解题的关键． 解：、与不是同类二次根式无法合并，原选项运算错误，不符合题意； 、与不是同类二次根式无法合并，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算正确，符合题意； 故选：． 3．（24-25八年级下·重庆合川·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先将各二次根式化简，再合并同类二次根式． 解：， ， ∴ ． 故选：D． 4．（24-25七年级下·重庆·期末）若，则的值为（   ） A．90 B．91 C．93 D．95 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先根据分母有理化化简x，y的值，求出，，再根据完全平方公式的变形计算解题． 解：，， ∴，， ∴， 故选：D． 5．（24-25七年级下·广东广州·期中）若的整数部分是，小数部分是，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查与无理数的整数部分有关的计算，实数的运算，夹逼法求出的值，再代值计算即可． 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； 故选B． 6．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，在的正方形网格中，是网格线的交点，则下列线段长度最长的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了网格与勾股定理，结合网格利用勾股定理分别求出各线段的长度，比较即可得出答案． 解：，， ，， ∵ ∴线段长度最长的是， 故选：B 二、填空题 7．（24-25八年级下·湖北孝感·期中）已知x，y为实数，且，则 . 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，直接利用二次根式的性质得出x，y的值，然后讨论进而得出答案． 解：∵． ∴， ∴，， ∴， 当时，； 当时，； ∴或． 8．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）已知，求代数式的值是 ． 【答案】14 【分析】根据，整体代入计算即可． 本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键． 解：∵， ∴ ∴， 故答案为：14． 9．（24-25八年级下·山东·阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值、二次根式的混合运算、分母有理化等知识点，掌握二次根式的混合运算法则成为解题的关键． 将代入运用二次根式的混合运算法则计算即可． 解： ． 10．（24-25七年级下·重庆渝中·期末）若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“完美实数”．若是“完美实数”，则 ；若与都是“完美实数”，则的平方根为 ． 【答案】 或 0或 【分析】本题考查了平方根，算术平方根，立方根的计算，掌握其计算方法是关键． 根据算术平方根，立方根的计算方法求解即可． 解：一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“完美实数”， ∵的算术平方根是，的立方根是， ∴这个实数可以是， ∴当时，， 当时，， ∴或； 若与都是“完美实数”， ∴或或或， 解得，或或或， ∴对应的或或或， ∴对应的平方根为或或或， 综上所述，的平方根为或； 故答案为：①或；② 或． 11．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图，边长为1的正方形网格图中，点A，B都在格点上，若，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查勾股定理，二次根式的减法运算，利用勾股定理求出的长，再利用线段的和差关系求出的长即可． 解：由勾股定理，得：， ∵， ∴； 故答案为：． 12．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）已知，去分母，得；移项，得；两边平方，得；整理，得．我们规定：方程称为的“还原方程”． （1）的“还原方程”是 ； （2）若，则代数式 ． 【答案】 4 【分析】本题主要考查了代数式求值，解题关键是理解已知条件中的定义，并熟练掌握完全平方公式． （1）按照已知条件中的方法求出答案即可； （2）把所求代数式先提取公因式x，再把x的值代入分解后的式子，利用完全平方公式进行计算即可． 解：（1）， 去分母得：， 移项得：， 两边平方得：， 整理得：， ∴的“还原方程”是， 故答案为：； （2）当时， ， 故答案为：4． 三、解答题 13．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了二次根式混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先化简各二次根式和运算二次根式的除法，然后合并同类二次根式计算即可． （2）先利用完全平方公式与平方差公式进行展开，再合并即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 14．（24-25八年级下·云南玉溪·期末）某同学在解决问题：“已知，求的值”时，他是这样分析的： ， ， ，， ， ． 请你根据该同学的分析过程，解决如下问题： （1）若，求的值； （2）在（1）的条件下，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握分母有理化是解题的关键． （1）利用分母有理化把化简，再根据完全平方公式计算即可； （2）由（1）知，，将已知代数式降次除了，即可求解． 解：（1）解：， ， ，， ， ； （2）由（1）知，， 原式 ． 15．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中、、、均为整数），则有． ，．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，则_______，_________； （2）的算术平方根为_________________； （3）若，且、、均为正整数，求的值； （4）化简：． 【答案】（1）；；（2）；（3）的值为或；（4） 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式． （1）利用完全平方公式展开得到，从而可用、表示、； （2）直接利用完全平方公式，变形得出答案； （3）直接利用完全平方公式，变形化简即可； （4）先计算，再利用完全平方公式，变形化简即可． 解：（1）解：∵， ∴，， 故答案为：；； （2）解：∵， 故答案为：； （3）解：∵， ∴，，即， ∵、、均为正整数， ∴，或，， ∴当，时，； 当，时，； ∴的值为或； （4）解：∵ ， ∴． 16．（24-25八年级下·广东肇庆·期中）如图，细心观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题． ，； ，； ，． （1）推算出__________；__________． （2）请用含（是正整数）的式子填空：__________，__________． （3）求出的值． 【答案】（1）10；；（2）；；（3）18 【分析】本题考查了勾股定理，数式变换规律，二次根式的化简，关键是归纳总结出数式变换规律，有关二次根式的运算． （1）认真阅读题目，根据勾股定理写出答案即可； （2）认真分析数式，总结归纳出规律即可； （3）化简整理后求值即可． 解：（1）解：由题意可得，，， 故答案为：10，； （2）解：由题意可得，， 故答案为：，； （3）解： .. ． 3. 直通中考（12题） 一、单选题 1．（2025·广东·中考真题）计算的结果是（   ） A．3 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，正确化简二次根式是解题关键．直接相乘得出答案． 解：． 故选：B． 2．（2025·河北·中考真题）计算：（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用平方差公式直接计算，即可求解． 解： 故选：B． 3．（2025·安徽·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的性质，求一个数的立方根，幂的乘方，同底数幂乘法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键；根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选；B． 二、填空题 4．（2025·湖南·中考真题）化简 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了化简二次根式，利用二次根式性质化简即可． 解：， 故答案为：． 5．（2025·四川自贡·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的减法，先化简，再合并即可. 解：； 故答案为：． 6．（2025·吉林·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的加减运算，先化简，再合并同类二次根式即可． 解：， 故答案为：． 7．（2025·山东烟台·中考真题）实数的整数部分为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是实数的整数部分问题的理解，化为最简二次根式，由，，从而可得答案． 解：∵，， ∴， ∴实数的整数部分为， 故答案为： 8．（2025·天津·中考真题）计算的结果为 ． 【答案】60 【分析】本题主要考查了利用平方差公式进行二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握平方差公式． 利用平方差公式进行计算即可． 解： ， 故答案为：60． 三、解答题 9．（2025·陕西·中考真题）计算：． 【答案】7 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 先计算二次根式的乘法、化简二次根式、化简绝对值、零次幂，再合并即可． 解： ． 10．（2025·甘肃·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先化简二次根式，进行乘法运算，再合并同类二次根式即可． 解：原式 ． 11．（2025·湖北·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，乘方和绝对值等计算，先计算二次根式乘法，再计算乘方和绝对值，最后计算加减法即可得到答案． 解： ． 12．（2025·吉林长春·中考真题）先化简．再求值：，其中． 【答案】，4 【分析】本题主要考查整式的混合运算，根据完全平方公式将括号展开后合并得最简结果，再把代入计算即可． 解： ， 当时，原式． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$