专题 2.2 认识实数（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）- 基础知识专项突破讲练2025-2026学年八年级数学上册（北师大版 2024）

专题 2.2 认识实数 目录 一.知识梳理与题型分类精析 1 知识点（一）无理数 1 【题型1】无理数判断 1 知识点（二）无理数大小估算方法 2 【题型2】无理数的估算 2 知识点（三）实数的概念 2 【题型3】实数概念的理解 2 知识点（四）实数的分类 3 【题型4】实数的分类 3 知识点（五）实数的性质 3 【题型5】实数的性质 3 知识点（六）实数与数轴 3 【题型6】实数与数轴 4 知识点（七）实数的大小比较 4 【题型7】实数的大小比较 4 知识点（八）勾股定理与无理数 4 【题型8】勾股定理与无理数 5 二．同步练习 5 1. 基础夯实（选择题6题，填空题6题，解答题4题） 5 2. 能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题） 8 3. 直通中考（5题） 11 一.知识梳理与题型分类精析 知识点（一）无理数 1.定义：无限不循环小数. 2.无理数的形式：（1）特定的无限不循环小数，比如0.101001000100001...（相邻两个 1 之间依次多一个 0）；（2）开方开不尽的方根，比如、等；（3）特殊的数，比如等等. 【题型1】无理数判断 【例题1】 （24-25七年级下·河南焦作·期中）把下列各实数的序号填在相应的大括号内． ①，②，③，④（相邻两个1之间依次增加一个1），⑤，⑥，⑦，⑧． 整数：{                        …}； 非负实数：{                        …}； 无理数：{                        …}． 【变式1】（24-25七年级下·湖南永州·期末）下列实数：，0，，－0.1515515551…（相邻两个1之间逐次增加一个5），，，，其中无理数个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（24-25七年级下·湖南湘西·期中） 实数，，6，中，其中是无理数的是 ． 知识点（二）无理数大小估算方法 1.开方类无理数：优先使用“夹逼法”，即通过平方或立方找到相邻的有理数范围； 2.对于常见的理数数：如，，，，直接比较大小. 【题型2】无理数的估算 【例题2】（24-25八年级下·全国·假期作业） （1）在哪两个相邻的整数之间？ （2）正确吗？ （3）下列四个结论中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（2025·天津·中考真题）估计的值在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【变式2】（24-25七年级下·安徽黄山·期末）比较大小： （填“”、“”或“”） 知识点（三）实数的概念 定义：有理数和无理数统称实数. 【题型3】实数概念的理解 【例题3】 （24-25八年级上·河南洛阳·期中）已知二次三项式，则实数m的值为 ． 【变式1】（21-22八年级上·全国·课后作业）有最小的实数吗？有绝对值最小的实数吗？ 【变式2】（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·期中）在下列实数中，是无理数的是（   ） A． B． C． D． 知识点（四）实数的分类 1.按定义分类：；2.按性质分类：； 【题型4】实数的分类 【例题4】 （22-23七年级下·湖南株洲·阶段练习）把下列各数分别填入相应的集合里：，，，，0，，，． （1）有理数集合：{________________…}； （2）负无理数集合：{______________…}； （3）正实数集合：{________________…}． 【变式1】（24-25七年级下·河北唐山·期中）在实数，，，中，有理数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·青海西宁·二模）从、0.2、、、0.3、这6个数中任意选取一个数，那么取到的数是分数的概率是 ． 知识点（五）实数的性质 1.相反数：任意实数的相反数是，实数的相反数仍是实数； 2.绝对值（1）正数的绝对值是它本身；（2）负数的绝对值是它的相反数；（3）0的绝对值是0. 【题型5】实数的性质 【例题5】 （2024七年级下·全国·专题练习）求下列各数的相反数、倒数和绝对值． （1）； （2）； （3）． 【变式1】（24-25七年级下·北京·期中）下列说法正确的是（    ） A．绝对值是的数是5 B．的相反数是 C．的绝对值是 D．的相反数是 【变式2】（24-25八年级下·福建厦门·期末）化简：（1） ；（2） ；（3） ． 知识点（六）实数与数轴 在数轴上表示出来的数，都是实数，即：数轴上的每一个点都对应一个实数，反之，每一个实数都能在数轴上找到唯一对应的点 —— 这一特性称为 “实数与数轴上的点一一对应”. 【题型6】实数与数轴 【例题6】 （24-25七年级下·全国·期中）如图，数轴上表示的对应点分别为A，B，点B到点A的距离与点C到点O的距离相等，设点C所表示的数为x． （1）写出实数x的值． （2）求的值． 【变式1】（24-25七年级下·全国·期末）如图，点P在数轴上的位置如图所示，且P点对应的数是无理数，则下列可能是P点对应的数为（　　） A． B．2.4 C． D． 【变式2】（24-25七年级下·湖南株洲·期末）如图，数轴上有三点，表示和的点分别为，点到点的距离与点到原点的距离相等．设三点表示的三个数之和p= ． 知识点（七）实数的大小比较 实数的大小比较主要通过数轴法（数形结合）、差值法、平方法、估算法比较大小. 【题型7】实数的大小比较 【例题7】 （24-25七年级下·陕西宝鸡·期中）将下列各数在数轴上表示出来，并用“”把它们连接起来． ，，，． 【变式1】（24-25七年级下·湖南永州·期中）下列实数比较大小，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·山西临汾·三模）比较大小： ．（填“”“”或“”） 知识点（八）勾股定理与无理数 通过勾股定理建立有理数和无理数的关系，利用数轴求出表示无理数的点表示的位置. 【题型8】勾股定理与无理数 【例题8】 （24-25八年级上·河南周口·阶段练习）如图，，，以点O为圆心，为半径画弧，交数轴上点C左侧于点． （1）写出数轴上点A表示的数并说明理由； （2）在数轴上作出所对应的点．（不写作法，标上所需线段长度） 【变式1】（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，点在数轴上，，过点作，且，以原点为圆心，以为半径作弧，弧与数轴的交点表示的数是（    ） A．4 B．5 C． D． 【变式2】（24-25八年级下·吉林松原·期末）如图，，根据图中所标识的数据可知数轴上点所表示的数是 ． 二．同步练习​ 1. 基础夯实（选择题6题，填空题6题，解答题4题） 一、单选题 1．（24-25七年级下·甘肃临夏·期末）下列各数，比大的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河南周口·二模）下列各数中，是负分数的是（     ） A． B． C． D．0 3．（22-23八年级上·青海黄南·期末）在平面直角坐标系中，点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（24-25七年级下·河南安阳·阶段练习）下列关于的说法错误的是（   ） A．的绝对值是 B．的相反数是 C．的平方是 D．是无理数 5．（24-25八年级下·广西南宁·期末）利用勾股定理可以作出长为无理数的线段．如图，，过点作直线，在上取点，使，以点为圆心，的长为半径作弧，与数轴正半轴交于点，那么点表示的是（ ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·云南西双版纳·期中）如图，正方体的棱长长为，一只蚂蚁从点出发，沿长方体表面到点处吃食物，那么它爬行最短路程是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25七年级下·全国·假期作业）的相反数是 ，绝对值是 ． 8．（24-25七年级下·甘肃定西·期末）比较大小： （填“>”“<”或“=”）． 9．（24-25九年级下·黑龙江大庆·期中）从，0，，，中任取一个数，取到有理数的概率是 ． 10．（24-25七年级下·广东江门·期末）已知为整数，且，则的值为 ． 11．（24-25七年级下·贵州遵义·期末）我们知道“实数与数轴上的点是一一对应的”．小张同学作了如下操作：以单位长度为边长画一个正方形（如下图），以数字1所在点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴的正半轴交于点．则点表示的实数为 ． 12．（24-25九年级下·安徽黄山·期中）中国汉字中的字体结构讲究平衡与比例，许多字体的笔画分布接近黄金分割，使字形更加美观．黄金分割在“永”字的结构中主要体现在笔画的分布与比例上，如“永”字的整体宽度与高度的比例接近黄金分割．已知黄金分割数为，则 （填“”“<”或“=”）． 三、解答题 13．（24-25七年级下·甘肃陇南·期末）把下列各数分别填在相应的括号内： （相邻两个3之间1的个数依次增加1），． 整数：{                              …}； 有理数：{                            …}； 无理数：{                             …}． 14．（24-25七年级下·山西大同·阶段练习）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬个单位长度到达点，再爬向点停止．已知点所表示的数为，点所表示的数为．设点所表示的数为，求： （1）的值． （2）的长． 15．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）阅读下面的文字，解答问题．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为1，用减去其整数部分1，差就是小数部分为． （1）的整数部分为 ，小数部分为 ； （2）的整数部分为 ，小数部分为 ； （3）已知，其中x是整数，且，求的相反数． 16．（24-25八年级下·河南商丘·期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． （1）应用场景1——在数轴上画出表示无理数的点． 如图1，在数轴上找出表示3的点，过点作直线垂直于，在上取点，使，以原点为圆心，为半径作弧，则弧与数轴的交点表示的数是_____． （2）应用场景2——解决实际问题． 如图2，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 2. 能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题） 一、单选题 1．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）下列各数中，最大的数是（   ） A．π B．3.14 C． D． 2．（24-25八年级上·河南南阳·期中）在实数，，0，，，（两个1之间依次多一个6）中，无理数的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（20-21八年级下·福建厦门·阶段练习）已知实数满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·重庆秀山·期末）估计的运算结果应在（   ） A．在和之间 B．在和之间 C．在和之间 D．在和之间 5．（2024八年级上·全国·专题练习）实数在数轴上对应的点的位置如图所示，计算的结果为（   ） A． B． C． D． 6．（23-24七年级下·云南临沧·期末）如图，在数轴上，与之间的整数一共有（   ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 二、填空题 7．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）比较大小： 8．（21-22八年级下·广西贵港·期末）数据，，，，3.14，0.101001其中，无理数出现的频率为 ． 9．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知，其中是整数，，则的相反数为 ． 10．（24-25八年级下·江苏南京·期末）比较大小： （填“”“”或“”）． 11．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图所示，边长为的正方形的一顶点在数轴上，以为圆心，分别以，长为半径画弧，且与数轴分别相交于点，点点，都在点右侧若点表示的数为，则点表示的数为 ． 12．（2025·安徽芜湖·三模）为了比较与的大小，我们可以构造如图所示的图形进行推算，其中，，点在上且，．通过计算可得 ．（填“>”“<”或“=”） 三、解答题 13．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）将下列各数对应的序号填在相应的集合里． ①，②1.2121121112…（两个“2”之间依次多一个“1”），③0，④，⑤，⑥，⑦． 正数集合：{ ⋯}； 整数集合：{ ⋯}； 负分数集合：{ ⋯}； 无理数集合：{ ⋯}． 14．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）计算： （1）； （2）． 15．（24-25八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）甲同学用如图所示的方法作出点表示数．在中，，且点在同一数轴上，． （1）请说明甲同学这样做的理由； （2）仿照甲同学的做法，在如图所示的数轴上描出表示的点． 16．（24-25八年级上·全国·期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． （1）证明勾股定理 据传当年毕达哥拉斯借助如图3所示的两个图验证了勾股定理，请你说说其中的道理． （2）应用勾股定理 ①应用场景1——在数轴上画出表示无理数的点． 如图1，在数轴上找出表示4的点A，过点A作直线l垂直于，在l上取点B，使，以点D为圆心，为半径作弧，则弧与数轴的交点C表示的数是 ． ②应用场景2——解决实际问题． 如图2，郑州某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时，水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 3. 直通中考（5题） 一、单选题 1．（2025·湖南·中考真题）下列四个数中，最大的数是（   ） A． B． C．0 D． 2．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，数轴上点表示的数可能是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·天津·中考真题）估计的值在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 4．（2025·四川南充·中考真题）如图，把直径为1个单位长度的圆从点沿数轴向右滚动一周，圆上点到达点，点对应的数是2，则滚动前点对应的数是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·四川广安·中考真题）公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的一个成员发现了一个新数——无理数．他的发现，在当时的数学界掀起了一场巨大风暴，导致西方数学史上的“第一次数学危机”．请估计的值在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 二、填空题 6．（2025·重庆·中考真题）若为正整数，且满足，则 ． 7．（2025·贵州·中考真题）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则与的大小关系是 b．（填“”“”或“”） 8．（2025·陕西·中考真题）满足的整数可以是 （写出一个符合题意的数即可）． 9．（2023·辽宁大连·中考真题）如图，在数轴上，，过O作直线于点O，在直线l上截取，且A在上方．连接，以点B为圆心，为半径作弧交直线于点C，则C点对应的数为 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 2.2 认识实数 目录 一.知识梳理与题型分类精析 1 知识点（一）无理数 1 【题型1】无理数判断 1 知识点（二）无理数大小估算方法 3 【题型2】无理数的估算 3 知识点（三）实数的概念 4 【题型3】实数概念的理解 4 知识点（四）实数的分类 5 【题型4】实数的分类 5 知识点（五）实数的性质 7 【题型5】实数的性质 7 知识点（六）实数与数轴 8 【题型6】实数与数轴 8 知识点（七）实数的大小比较 10 【题型7】实数的大小比较 10 知识点（八）勾股定理与无理数 11 【题型8】勾股定理与无理数 11 二．同步练习 13 1. 基础夯实（选择题6题，填空题6题，解答题4题） 13 2. 能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题） 21 3. 直通中考（5题） 30 一.知识梳理与题型分类精析 知识点（一）无理数 1.定义：无限不循环小数. 2.无理数的形式：（1）特定的无限不循环小数，比如0.101001000100001...（相邻两个 1 之间依次多一个 0）；（2）开方开不尽的方根，比如、等；（3）特殊的数，比如等等. 【题型1】无理数判断 【例题1】 （24-25七年级下·河南焦作·期中）把下列各实数的序号填在相应的大括号内． ①，②，③，④（相邻两个1之间依次增加一个1），⑤，⑥，⑦，⑧． 整数：{                         …}； 非负实数：{                        …}； 无理数：{                         …}． 【答案】①，⑧；①，③，④，⑤，⑦，⑧；②，④，⑤ 【分析】本题主要考查了实数的分类，无理数的概念等知识点，解题的关键是熟练掌握实数的分类及无理数的概念． 根据整数、非负实数和无理数的概念进行分类即可． 解：整数：{①，⑧…}； 非负实数：{①，③，④，⑤，⑦，⑧…}； 无理数：{②，④，⑤…}． 【变式1】（24-25七年级下·湖南永州·期末）下列实数：，0，，－0.1515515551…（相邻两个1之间逐次增加一个5），，，，其中无理数个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的定义，根据无理数的定义（无限不循环小数），逐一判断各数是否为无理数即可． 解： 是分数，属于有理数． 0是整数，属于有理数． 无法化简为整数或分数，是无理数． －0.1515515551…：小数部分无限且不循环（相邻两个1之间逐次增加一个5），属于无理数． 是分数，属于有理数． 是无限不循环小数，属于无理数． 是整数，属于有理数． 综上，无理数有、－0.1515515551…、，共3个， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·湖南湘西·期中） 实数，，6，中，其中是无理数的是 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的定义，无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②像这样有规律的无限不循环小数，③含有的数．根据无理数的定义，找出无理数即可． 解：在实数，，，中， ，，是有理数，是无理数， 故答案为：． 知识点（二）无理数大小估算方法 1.开方类无理数：优先使用“夹逼法”，即通过平方或立方找到相邻的有理数范围； 2.对于常见的理数数：如，，，，直接比较大小. 【题型2】无理数的估算 【例题2】（24-25八年级下·全国·假期作业） （1）在哪两个相邻的整数之间？ （2）正确吗？ （3）下列四个结论中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】（1）3和4之间；（2）正确；（3）B 【分析】本题围绕算术平方根的大小估算展开，要清楚一个正数的算术平方根介于两个整数或两个小数之间的判断方法，即通过比较被开方数与整数或小数平方数的大小来确定． （1）利用夹逼法估算即可； （2）分别计算出3.1和3.2的平方即可判断； （3）分别计算出3.15、3.16和3.17的平方即可求解． 解：（1）因为 = 9， = 16，而（） ，根据算术平方根的性质，当（），若，则 ， 所以，即在3和4两个相邻整数之间； （2）计算， ， 因为 ， 所以根据算术平方根的性质，可得， 所以该说法正确．； （3）分别计算各选项两边界值的平方： 由于 ， 所以根据算术平方根的性质，可知， 故选 B． 【变式1】（2025·天津·中考真题）估计的值在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】C 【分析】本题考查无理数的估算，夹逼法求出无理数的范围，进行判断即可． 解：∵， ∴， ∴， ∴的值在3和4之间； 故选C． 【变式2】（24-25七年级下·安徽黄山·期末）比较大小： （填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，无理数的大小估算，根据实数的大小比较方法即可得出答案，掌握实数的大小比较方法是解题的关键． 解：∵， ∴， ∴， 故答案为： 知识点（三）实数的概念 定义：有理数和无理数统称实数. 【题型3】实数概念的理解 【例题3】 （24-25八年级上·河南洛阳·期中）已知二次三项式，则实数m的值为 ． 【答案】非零实数 【分析】本题主要考查了多项式的定义．根据多项式的定义解答即可求解． 解：∵二次三项式， ∴， 即m的值为非零实数． 故答案为：非零实数 【变式1】（21-22八年级上·全国·课后作业）有最小的实数吗？有绝对值最小的实数吗？ 【答案】没有最小的实数，0是绝对值最小的实数 【分析】没有最小的实数，有绝对值最小的实数0 解：没有最小的实数，0是绝对值最小的实数． 【点拨】本题考查了实数的性质，绝对值的意义，理解实数的性质是解题的关键． 【变式2】（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·期中）在下列实数中，是无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等，据此可得答案． 解：， 由无理数的定义可得，四个数中，只有是无理数， 故选；D． 知识点（四）实数的分类 1.按定义分类：；2.按性质分类：； 【题型4】实数的分类 【例题4】 （22-23七年级下·湖南株洲·阶段练习）把下列各数分别填入相应的集合里：，，，，0，，，． （1）有理数集合：{________________…}； （2）负无理数集合：{______________…}； （3）正实数集合：{________________…}． 【答案】（1），，0，，；（2），；（3），， 【分析】（1）根据有理数的定义，即可求解； （2）根据负无理数的定义，即可求解； （3）根据正实数的定义，即可求解． 解：（1）解：， 有理数集合：{，，0，，，……}； 故答案为：，，0，，； （2）解：负无理数集合：{，，……}； 故答案为：，； （3）解：正实数集合：{，，，……}． 故答案为：，，． 【点拨】本题考查了有理数及实数的定义及分类，有理数是整数和分数的统称，也可以说，可以化为整数、有限小数和无限不循环小数的数都是有理数；无限不循环小数是无理数；实数是有理数和无理数的总称；大于0的数叫做正数，在正数前面加上负号“﹣”的数叫做负数，0既不是正数，也不是负数． 【变式1】（24-25七年级下·河北唐山·期中）在实数，，，中，有理数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查无理数的定义，初中阶段常见的无理数形式有：，等、开方开不尽的数、等这样有规律的数，理解无理数定义及常见无理数形式是解决本题的关键．无理数即无限不循环小数，根据无理数定义及常见形式即可得出答案． 解：，是有理数，符合题意； ，，均开方开不尽，是无理数，不符合题意； 故选：B． 【变式2】（2025·青海西宁·二模）从、0.2、、、0.3、这6个数中任意选取一个数，那么取到的数是分数的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了概率的计算，实数的分类．先找出分数的个数，再根据概率公式即可得出答案． 解：∵在、0.2、、、0.3、这6中，分数有共3个， ∴取到的数是分数的概率是. 故答案为：． 知识点（五）实数的性质 1.相反数：任意实数的相反数是，实数的相反数仍是实数； 2.绝对值（1）正数的绝对值是它本身；（2）负数的绝对值是它的相反数；（3）0的绝对值是0. 【题型5】实数的性质 【例题5】 （2024七年级下·全国·专题练习）求下列各数的相反数、倒数和绝对值． （1）； （2）； （3）． 【答案】（1），，；（2），，；（3），， 【分析】（1）（2）直接利用相反数、倒数、绝对值的性质分别得出答案； （3）利用立方根的定义化简，再利用相反数、倒数、绝对值的性质分别得出答案． 本题考查了实数的相反数、倒数的定义和绝对值的非负性，解题关键在于掌握各性质和定义． 解：（1）的相反数是，倒数是，绝对值是； （2）的相反数是，倒数是，绝对值是； （3）的相反数是，倒数是，绝对值是． 【变式1】（24-25七年级下·北京·期中）下列说法正确的是（    ） A．绝对值是的数是5 B．的相反数是 C．的绝对值是 D．的相反数是 【答案】C 【分析】本题考查了实数的性质：实数的绝对值与相反数，与有理数的绝对值、相反数的意义相同；根据绝对值与相反数的意义逐项解答即可． 解：A、绝对值是的数是，故说法错误； B、的相反数是，故说法错误； C、的绝对值是，故说法正确； D、的相反数是，故说法错误； 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·福建厦门·期末）化简：（1） ；（2） ；（3） ． 【答案】 3 1 【分析】本题主要考查了算术平方根、二次根式的性质、绝对值等知识点，掌握相关定义和性质成为解题的关键． （1）直接根据算术平方根的定义求解即可； （2）直接根据二次根式的性质求解即可； （3）先判断的正负，然后根据绝对值的定义求解即可． 解：（1）； （2）； （3）由，则． 知识点（六）实数与数轴 在数轴上表示出来的数，都是实数，即：数轴上的每一个点都对应一个实数，反之，每一个实数都能在数轴上找到唯一对应的点 —— 这一特性称为 “实数与数轴上的点一一对应”. 【题型6】实数与数轴 【例题6】 （24-25七年级下·全国·期中）如图，数轴上表示的对应点分别为A，B，点B到点A的距离与点C到点O的距离相等，设点C所表示的数为x． （1）写出实数x的值． （2）求的值． 【答案】（1）；（2）1 【分析】本题考查了实数与数轴． （1）先求出，再根据点B到点A的距离与点C到点O的距离相等作答即可； （2）将代入计算即可． 解：（1）解：∵点A，B分别表示1， ， ∵点B到点A的距离与点C到点O的距离相等， ； （2）解： 【变式1】（24-25七年级下·全国·期末）如图，点P在数轴上的位置如图所示，且P点对应的数是无理数，则下列可能是P点对应的数为（　　） A． B．2.4 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴，无理数的定义，根据无理数的定义结合数轴即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 解：∵P点对应的数是无理数，且对应的数在和之间， ∴， ∴可能是P点对应的数为， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·湖南株洲·期末）如图，数轴上有三点，表示和的点分别为，点到点的距离与点到原点的距离相等．设三点表示的三个数之和p= ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握应用两点间的距离公式．利用两点间的距离公式求出，再利用两点间的距离公式求出点表示的数，从而求出即可； 解：由题意，得． 因为点在原点左侧， 所以点表示的数为， 所以． 故答案为：． 知识点（七）实数的大小比较 实数的大小比较主要通过数轴法（数形结合）、差值法、平方法、估算法比较大小. 【题型7】实数的大小比较 【例题7】 （24-25七年级下·陕西宝鸡·期中）将下列各数在数轴上表示出来，并用“”把它们连接起来． ，，，． 【答案】见分析， 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数比较大小，无理数的故事，先计算出，，再根据无理数的估算方法得到，再把各数在数轴上表示出来，最后根据数轴上左边的数小于右边的数用小于号将各数连接起来即可． 解：，， ∵， ∴， ∴ 数轴表示如下所示： ∴． 【变式1】（24-25七年级下·湖南永州·期中）下列实数比较大小，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数大小比较，根据实数比较大小的法则对各选项进行逐一分析即可． 解：，故A选项错误； ，故B选项错误； ，则，故C选项错误； ，则，故D选项正确； 故选：D 【变式2】（2025·山西临汾·三模）比较大小： ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，解题关键是熟练掌握两个负数比较，绝对值大的反而小． 先求出各数的绝对值，然后根据两个负数比较，绝对值大的反而小进行比较即可． 解：，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：>． 知识点（八）勾股定理与无理数 通过勾股定理建立有理数和无理数的关系，利用数轴求出表示无理数的点表示的位置. 【题型8】勾股定理与无理数 【例题8】 （24-25八年级上·河南周口·阶段练习）如图，，，以点O为圆心，为半径画弧，交数轴上点C左侧于点． （1）写出数轴上点A表示的数并说明理由； （2）在数轴上作出所对应的点．（不写作法，标上所需线段长度） 【答案】（1）点A表示的数是，理由见分析；（2）见分析 【分析】（1）利用勾股定理求出的长，进而得出的长，据此可解决问题． （2）根据题意，构造出直角边长分别为1和2的直角三角形即可解决问题． 本题主要考查了勾股定理及实数与数轴，熟知数轴上的点所表示数的特征及勾股定理是解题的关键． 解：（1）点A表示的数是 在中， ， 所以， 所以点A表示的数是； （2）如图所示， 点M即为所求作的点． 【变式1】（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，点在数轴上，，过点作，且，以原点为圆心，以为半径作弧，弧与数轴的交点表示的数是（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理，解题的关键是熟知勾股定理的内容． 根据勾股定理求出的长，即的长，再根据绝对值的意义求出答案． 解：∵， ∴， 在中，，， ∴， 又∵点C在原点的右侧， ∴点C所表示的数为， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·吉林松原·期末）如图，，根据图中所标识的数据可知数轴上点所表示的数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了数轴上的实数，勾股定理，正确记忆相关知识点是解题关键． 根据勾股定理求出的长，利用，即可得到的长，进而得出最后结果． 解：如图： ， ， ， ， ， ， 则数轴上点所表示的数是， 故答案为：． 二．同步练习​ 1. 基础夯实（选择题6题，填空题6题，解答题4题） 一、单选题 1．（24-25七年级下·甘肃临夏·期末）下列各数，比大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数的大小比较，先估算和的大小，再比较即可求解，掌握实数的大小比较方法是解题的关键． 解：∵，， ∴比大的是， 故选：． 2．（2025·河南周口·二模）下列各数中，是负分数的是（     ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查了无理数、负分数的概念，解题的关键是要熟练掌握负分数的定义． 根据负分数的定义，在正分数前面加负号的数叫做负分数，即可判断． 解：A、是负分数，故本选项符合题意； B、是正分数，故本选项不符合题意； C、是无理数，故本选项不符合题意； D、0是整数，故本选项不符合题意； 故选：A． 3．（22-23八年级上·青海黄南·期末）在平面直角坐标系中，点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点．根据各个象限的点的坐标的符号特点判断即可． 解：在平面直角坐标系中，点位于第二象限． 故选：B． 4．（24-25七年级下·河南安阳·阶段练习）下列关于的说法错误的是（   ） A．的绝对值是 B．的相反数是 C．的平方是 D．是无理数 【答案】C 本题考查实数的绝对值、相反数、平方及无理数的概念，需逐一分析各选项的正确性． 解：A．的绝对值是，正确，故此选项不符合题意； B．的相反数是，正确，故此选项不符合题意； C.的平方是5，原说法错误，故此选项符合题意； D．是无理数，正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 5．（24-25八年级下·广西南宁·期末）利用勾股定理可以作出长为无理数的线段．如图，，过点作直线，在上取点，使，以点为圆心，的长为半径作弧，与数轴正半轴交于点，那么点表示的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握勾股定理和两点间的距离公式． 由题意可知：，，再根据勾股定理求出，从而求出，然后设点表示的数为，根据两点间的距离公式，列出关于的方程，解方程即可． 解：由题意可知：， 直线， ， 由勾股定理得：， 设点表示的数为， ， 或不合题意舍去， 点C表示的数是， 故选：． 6．（24-25八年级下·云南西双版纳·期中）如图，正方体的棱长长为，一只蚂蚁从点出发，沿长方体表面到点处吃食物，那么它爬行最短路程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方体的平面展开图，勾股定理的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 展开后直接利用勾股定理计算即可． 解：由题知，，根据两点之间线段最短可知蚂蚁爬行最短路程是， ； 故选：B． 二、填空题 7．（24-25七年级下·全国·假期作业）的相反数是 ，绝对值是 ． 【答案】 / / 【分析】本题考查了相反数和绝对值，根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数；根据正数的绝对值是它本身，可得一个正数的绝对值． 解：的相反数是； 的绝对值是． 故答案为：，． 8．（24-25七年级下·甘肃定西·期末）比较大小： （填“>”“<”或“=”）． 【答案】> 【分析】本题主要考查实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较是解题的关键．根据实数的大小比较即可得到答案． 解：， ． 故答案为：． 9．（24-25九年级下·黑龙江大庆·期中）从，0，，，中任取一个数，取到有理数的概率是 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了概率公式的应用，实数的分类．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 由题意可得共有5种等可能的结果，其中有理数有：，0，，共3种情况，则可利用概率公式求解． 解：从，0，，，中任取一个数，有理数的有，0，， ∴取到有理数的概率是. 故答案为：. 10．（24-25七年级下·广东江门·期末）已知为整数，且，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了无理数的估算． 求出、的取值范围，即可求出的值． 解：∵，， ∴， ∴的值为4， 故答案为：4． 11．（24-25七年级下·贵州遵义·期末）我们知道“实数与数轴上的点是一一对应的”．小张同学作了如下操作：以单位长度为边长画一个正方形（如下图），以数字1所在点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴的正半轴交于点．则点表示的实数为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． 利用勾股定理求出对角线长，即可求出点A表示的实数． 解：∵正方形的边长为1， ∴对角线长 ∴点A表示的实数为． 故答案为：． 12．（24-25九年级下·安徽黄山·期中）中国汉字中的字体结构讲究平衡与比例，许多字体的笔画分布接近黄金分割，使字形更加美观．黄金分割在“永”字的结构中主要体现在笔画的分布与比例上，如“永”字的整体宽度与高度的比例接近黄金分割．已知黄金分割数为，则 （填“”“<”或“=”）． 【答案】＜ 【分析】本题主要考查实数的大小比较，取近似值法：，，，从而可比较出结果． 解：∵， ∴， 而， ∴， 故答案为：． 三、解答题 13．（24-25七年级下·甘肃陇南·期末）把下列各数分别填在相应的括号内： （相邻两个3之间1的个数依次增加1），． 整数：{                            …}； 有理数：{                           …}； 无理数：{                            …}． 【答案】…；…；（相邻两个3之间1的个数依次增加1），…． 【分析】本题考查了实数的分类. 分别根据整数、有理数、无理数的定义作答即可. 解： 整数：{…}； 有理数：{…}； 无理数：{（相邻两个3之间1的个数依次增加1），…}． 14．（24-25七年级下·山西大同·阶段练习）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬个单位长度到达点，再爬向点停止．已知点所表示的数为，点所表示的数为．设点所表示的数为，求： （1）的值． （2）的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查数轴上的点表示实数，数轴上两点之间的距离，掌握数轴的特点是解题的关键． （1）根据数轴表示实数，数轴上点的移动计算即可； （2）根据两点之间距离的计算方法即可求解． 解：（1）解：点表示的数为，向右爬个单位长度到达点， ∴点表示的数为， ∴； （2）解：∵点所表示的数为，点表示的数为， ∴． 15．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）阅读下面的文字，解答问题．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为1，用减去其整数部分1，差就是小数部分为． （1）的整数部分为 ，小数部分为 ； （2）的整数部分为 ，小数部分为 ； （3）已知，其中x是整数，且，求的相反数． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键． （1）估算的大小，然后进行解答即可； （2）先估算的大小，再根据不等式的基本性质估算的大小，然后求出其整数部分和小数部分即可； （3）先估算的大小，再根据不等式的基本性质估算的大小，然后求出其整数部分和小数部分，从而求出，然后求出，最后求出的相反数即可． 解：（1）∵， ∴的整数部分是3，小数部分是 （2）∵， ∴， ∴的整数部分为，小数部分是； （3）∵， ∴， ∴的整数部分是，小数部分是， ∵，其中x是整数，且， ∴，， ∴， ∴的相反数是：． 16．（24-25八年级下·河南商丘·期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． （1）应用场景1——在数轴上画出表示无理数的点． 如图1，在数轴上找出表示3的点，过点作直线垂直于，在上取点，使，以原点为圆心，为半径作弧，则弧与数轴的交点表示的数是_____． （2）应用场景2——解决实际问题． 如图2，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方． （1）先根据勾股定理计算出的长度，再根据C点在原点的右侧来确定点C表示的数； （2）设秋千绳索的长度为，由题意可得，利用勾股定理可得，解方程即可得到结论． 解：（1）解：在中，， ， 点表示的数是， 故答案为：； （2）解：设秋千绳索的长度为，由题意可得， 四边形为矩形，，，，， ，， 在中，，即， 解得， 即的长度为， 答：绳索的长为． 2. 能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题） 一、单选题 1．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）下列各数中，最大的数是（   ） A．π B．3.14 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查实数的大小比较，无理数的估算，将各选项的数值计算或估算后进行比较即可求解． 解：∵，， 又∵ ∴ ∴最大的数为π， 故选：A． 2．（24-25八年级上·河南南阳·期中）在实数，，0，，，（两个1之间依次多一个6）中，无理数的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数的定义，熟练掌握有理数的定义是解题的关键．根据有理数就是无限不循环小数即可得到答案． 解：在实数，，0，，，（两个1之间依次多一个6）中，，，是无限不循环小数， 故选C． 3．（20-21八年级下·福建厦门·阶段练习）已知实数满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据非负数的性质求出的值，再代入计算即可． 解：∵ ∴，， ∴，， ， 故选：C． 【点拨】本题考查了非负数的性质和有理数的计算，解题关键是理解非负数的性质，求出字母的值． 4．（24-25八年级下·重庆秀山·期末）估计的运算结果应在（   ） A．在和之间 B．在和之间 C．在和之间 D．在和之间 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的估算，由，得，即，故有，从而求解，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键． 解：∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴的运算结果在和之间， 故选：． 5．（2024八年级上·全国·专题练习）实数在数轴上对应的点的位置如图所示，计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特点，由数轴可知，，则，，再运算绝对值即可求解． 解：由数轴可知，， ，， ， 故选：B． 6．（23-24七年级下·云南临沧·期末）如图，在数轴上，与之间的整数一共有（   ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】B 【分析】此题考查了无理数的估算能力，运用算术平方根的知识进行估算、求解． 解：∵， ∴， ∵， ∴与之间的整数是， 即与之间的整数一共有6个， 故选：B． 二、填空题 7．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）比较大小： 【答案】 【分析】本题考查实数的大小比较，估算无理数．熟练掌握会估算无理数的大小是解题的关键． 先估算出，从而得出，再利用不等式性质得到即可得出答案． 解：∵， ∴， ∴， ∴， 即， 故答案为：． 8．（21-22八年级下·广西贵港·期末）数据，，，，3.14，0.101001其中，无理数出现的频率为 ． 【答案】 【分析】先根据无理数的意义，判断无理数的个数，再利用频率频数总次数，进行计算即可解答． 解：数据，，，，3.14，0.101001， 其中是无理数的有：，， 无理数出现的频率， 故答案为：． 【点拨】本题考查了二次根式的性质与化简，无理数，频数与频率，熟练掌握无理数的意义，以及频率频数总次数是解题的关键． 9．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知，其中是整数，，则的相反数为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了无理数的估算，实数的运算，实数的性质，先根据无理数的估算方法得到，则可得到，据此求出的值，再根据相反数的定义可得答案． 解：∵， ∴， ∴， ∵，其中是整数，， ∴， ∴， ∴的相反数为， 故答案为：． 10．（24-25八年级下·江苏南京·期末）比较大小： （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，根据平方大的正实数也大解答即可． 解：，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图所示，边长为的正方形的一顶点在数轴上，以为圆心，分别以，长为半径画弧，且与数轴分别相交于点，点点，都在点右侧若点表示的数为，则点表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查实数与数轴上的点的对应关系，勾股定理，求出是解题的关键．先利用勾股定理求出的长，即为的长，再由求出，然后根据在的右边边求出数轴上的点所对应的实数． 解： 正方形的边长， ， ， 由图可知，， ， 点表示的数为，点F在点E的右边， 点所对应的实数为， 故答案为:． 12．（2025·安徽芜湖·三模）为了比较与的大小，我们可以构造如图所示的图形进行推算，其中，，点在上且，．通过计算可得 ．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，勾股定理的应用，以及三角形的三边的关系，解答此题的关键是要明确：在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 首先根据，在上且，求出的值，然后在中，求出的值，在中，求出的值，在根据三角形的三边的关系，判断出与的大小即可． 解：，， 在中，， ，， 在中，， ，在上且， ， 在中，， ． 故答案为：． 三、解答题 13．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）将下列各数对应的序号填在相应的集合里． ①，②1.2121121112…（两个“2”之间依次多一个“1”），③0，④，⑤，⑥，⑦． 正数集合：{ ⋯}； 整数集合：{ ⋯}； 负分数集合：{ ⋯}； 无理数集合：{ ⋯}． 【答案】①②，①③，④⑤⑥，②⑦ 【分析】本题考查了实数的分类，无限不循环小数即为无理数，实数包括无理数和有理数，解题的关键是根据实数的分类方法即可判定求解． 解：，，， 正数集合：{①②⋯}； 整数集合：{①③⋯}； 负分数集合：{④⑤⑥⋯}； 无理数集合：{②⑦⋯}； 故答案为：①②，①③，④⑤⑥，②⑦． 14．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题主要考查了实数的运算． （1）首先计算绝对值，然后从左向右依次计算即可； （2）首先计算开方、绝对值，然后从左向右依次计算即可． 解：（1）解： ； （2） ． 15．（24-25八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）甲同学用如图所示的方法作出点表示数．在中，，且点在同一数轴上，． （1）请说明甲同学这样做的理由； （2）仿照甲同学的做法，在如图所示的数轴上描出表示的点． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题主要考查了实数与数轴，勾股定理． （1）利用勾股定理求出，由即可证明； （2）如图，在数轴上构造在中，，则，即可得到解答． 解：（1）解：∵， ∴， ∴， ∴点表示数． （2）解：如图，在中，， 则，即点F表示． 16．（24-25八年级上·全国·期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． （1）证明勾股定理 据传当年毕达哥拉斯借助如图3所示的两个图验证了勾股定理，请你说说其中的道理． （2）应用勾股定理 ①应用场景1——在数轴上画出表示无理数的点． 如图1，在数轴上找出表示4的点A，过点A作直线l垂直于，在l上取点B，使，以点D为圆心，为半径作弧，则弧与数轴的交点C表示的数是 ． ②应用场景2——解决实际问题． 如图2，郑州某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时，水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 【答案】（1）见分析；（2）①；②绳索的长为． 【分析】本题主要考查勾股定理的证明和应用，等积法是证明勾股定理常用的方法，注意数形结合思想的应用． （1）根据勾股定理求出，根据实数与数轴解答即可； （2）设秋干的绳索长为，根据题意可得，利用勾股定理可得，即可得到结论． 解：（1）解：由图3的左图可知：，即， 由图3的右图可知：，即， ∴， ∴． 即在直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和． （2）解：①在中， ∵， ∴， ∴点表示的数是， 答案为：； ②∵，， ∴． 设秋千的绳索长为，根据题意可得， 利用勾股定理可得， 解得：． ∴绳索的长为． 3. 直通中考（5题） 一、单选题 1．（2025·湖南·中考真题）下列四个数中，最大的数是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查实数比较大小，掌握实数大小的比较方法是关键. 根据零大于负数，正数大于零，比较各数的大小，先排除负数与零，再比较正数的大小. 解：1. 确定数的正负性： D选项为，是负数；C选项为，非正非负；A选项和B选项均为正数， 负数一定小于非负数，则D和C均小于A和B， 2. 比较正数的大小： ，显然， 故A选项大于B选项， 故选：A. 2．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，数轴上点表示的数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数与数轴，无理数的估算，设点表示的数为，根据点在数轴上的位置，判断出的范围，夹逼法求出无理数的范围进行判断即可． 解：设点表示的数为，由图可知：， ∵，即：，故选项A不符合题意； ∵，即：，故选项B不符合题意； ∵，即：，故选项C符合题意； ∵，即：，故选项D不符合题意； 故选C． 3．（2025·天津·中考真题）估计的值在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】C 【分析】本题考查无理数的估算，夹逼法求出无理数的范围，进行判断即可． 解：∵， ∴， ∴， ∴的值在3和4之间； 故选C． 4．（2025·四川南充·中考真题）如图，把直径为1个单位长度的圆从点沿数轴向右滚动一周，圆上点到达点，点对应的数是2，则滚动前点对应的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查圆的周长公式及数轴上点的移动规律，熟练掌握圆的周长计算和数轴上点的平移关系是解题关键．先根据圆的直径求出滚动一周的距离（即圆的周长），再结合点对应的数，通过逆向推理得到滚动前点对应的数． 解：由题意可得圆的直径，根据圆的周长公式，可得周长 ． 圆从点滚动到，滚动的距离是圆的周长，点对应数是，那么滚动前点对应的数是 ， 故选D． 5．（2025·四川广安·中考真题）公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的一个成员发现了一个新数——无理数．他的发现，在当时的数学界掀起了一场巨大风暴，导致西方数学史上的“第一次数学危机”．请估计的值在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算，掌握夹逼法估算无理数的方法是解题的关键； 根据，可得，即可得到答案 解：∵， ∴， ∴估计的值在1和2之间， 故选：A 二、填空题 6．（2025·重庆·中考真题）若为正整数，且满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键．先估算的取值范围，得出，又因为n为正整数，且满足，即可得出． 解：∵， ∴， ∴， ∵为正整数，且满足， ∴， 故答案为：． 7．（2025·贵州·中考真题）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则与的大小关系是 b．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，实数与数轴，熟练掌握数轴上右边的点表示的数总比左边的大是解题的关键． 根据在数轴上，右边的点表示的数总比左边的大即可得到答案． 解：由数轴得：， ∴， 故答案为：． 8．（2025·陕西·中考真题）满足的整数可以是 （写出一个符合题意的数即可）． 【答案】3（答案不唯一） 【分析】本题考查了无理数的估算，先整理得，结合，即可作答． 解：∵， ∴， ∵， ∴整数可以是， 故答案为：3（答案不唯一） 9．（2023·辽宁大连·中考真题）如图，在数轴上，，过O作直线于点O，在直线l上截取，且A在上方．连接，以点B为圆心，为半径作弧交直线于点C，则C点对应的数为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理与无理数，实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理求得，根据题意可得，进而即可求解． 解：∵，，， 在中，， ∴， ∴， 为原点，为正方向，则点对应的数为； 故答案为：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$