专题 2.1 平方根与立方根（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）- 基础知识专项突破讲练2025-2026学年八年级数学上册（北师大版 2024）

专题 2.1 平方根与立方根 目录 一.知识梳理与题型分类精析 1 知识点（一）平方根 1 【题型1】求一个数的平方根 2 知识点（二）算术平方根 3 【题型2】求一个数的算术平方根 3 知识点（三）平方根的性质 4 【题型3】平方根性质的理解 4 知识点（四）开平方 5 【题型4】已知一个数的平方根，求这个数 5 【知识点五】的双重非负性： 7 【题型5】算术平方根的双重非负性 7 【题型6】求一个数的立方根 9 【题型7】已知一个数的立方根，求这个数 10 【题型8】平方根与立方根规律 11 【题型9】算术平方根中的估算 13 【题型10】平方根与立方根的综合应用 15 【题型11】平方根与立方根的简单运算 17 二．同步练习 18 1. 基础夯实（选择题6题，填空题6题，解答题4题） 18 2. 能力提升（选择题8题，填空题8题，解答题3题） 27 3. 直通中考（5题） 36 一.知识梳理与题型分类精析 知识点（一）平方根 1.定义：一般地，如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根或二次方根，即如果，那么叫做的平方根. 2.表示方法：一个数（0）的正的平方根，用符号“”表示，叫被开方数，2叫做根指数，这时根指数2常常忽略不写，的负的平方根记做读作“负根号”，因此非负数的平方根常常记作，读作：“正负根号” 【题型1】求一个数的平方根 【例题1】 （24-25七年级下·湖南长沙·期中）新修订的教科书对于数与式的运算过程和格式进行了很好的示范，例如求64的平方根 解：， 的平方根是． 请你按照上述格式求出下列各数的平方根 （1）100； （2）； （3）． 【答案】（1）； （2）； （3） 解：（1）解：∵， ∴100的平方根是，即； （2）解：∵， ∴的平方根是，即； （3）解：∵， ∴的平方根是，即. 【变式】（24-25七年级下·全国·课后作业）求下列各数的平方根： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了平方根．解题关键是掌握平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．根据平方根的定义计算即可． 解：（1）解：， ∴的平方根是，即； （2）解：∵，， ∴的平方根是，即； （3）解： ， ∴的平方根是，； 知识点（二）算术平方根 1.定义：一般地，如果一个正数的平方等于，即：，那么这个正数叫做的算术平方根，特别规定：0的算术平方根是0. 2.表示方法：非负数的算术平方根记作“”读作“根号a”，其中a叫做被开方数. 【题型2】求一个数的算术平方根 【例题2】 （24-25七年级下·全国·课后作业）求下列各数的算术平方根： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查算术平方根的概念，关键是掌握算术平方根的定义．如果一个正数的平方根等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根，由此可计算． （1）由从而可得答案； （2）由从而可得答案； （3）由从而可得答案 解：（1）解：∵， 的算术平方根是，即； （2）解：∵， 的算术平方根是，即； （3）解：∵， 的算术平方根是，即； 【变式】（21-22八年级上·全国·课后作业）求下列各数的算术平方根． （1）4900； （2）． 【答案】4．（1）70；（2）． 【分析】根据算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根． 解：（1）∵， ∴4900的算术平方根是70，即； （2）∵， ∴的算术平方根是，即． 【点拨】本题主要考查了算术平方根的定义，解题的关键是掌握算术平方根的定义，会运用平方求算术平方根． 知识点（三）平方根的性质 （1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数，记作 （2）0的平方根为0； （3）负数没有平方根. 【题型3】平方根性质的理解 【例题3】 （24-25七年级下·全国·课后作业）下列各数有平方根吗？如果有，求它的平方根；如果没有，说明理由． （1）0.36； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）没有平方根，理由见分析；（3）； 【分析】本题考查了平方根的定义，解题的关键是熟练掌握平方根的定义进行解题． （1）根据正数有两个平方根可得答案； （2）根据负数没有平方根可得答案； （3）根据正数有两个平方根可得答案． 解：（1）解：∵， ∴0.36有平方根，平方根为； （2）没有平方根，理由如下： ∵没有实数的平方等于， ∴没有平方根； （3）∵， ∴有平方根，平方根为． 【变式1】（24-25八年级下·山东聊城·期中）下列各数中没有平方根的是（    ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方根的定义，对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根根据平方根的定义，负数没有平方根，因此只需判断各选项是否为负数即可． 解：A、，结果为正数，存在平方根，不符合题意． B、，绝对值非负，存在平方根，不符合题意． C、为负数，在实数范围内没有平方根，符合题意． D、的平方根为本身，存在平方根，不符合题意． 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·全国·假期作业）一个正数的两个平方根分别为a，b，则 ， ． 【答案】 0 【分析】本题主要考查了平方根定义，熟练掌握一个正数的两个平方根互为相反数，是解题的关键．根据一个正数的两个平方根互为相反数，求出结果即可． 解：∵一个正数的两个平方根分别为a，b， ∴，． 故答案为：0；． 知识点（四）开平方 求一个数（0）的平方根的运算，叫做开平方，（0）开平方用“”表示，“”是一种运算符号. 【题型4】已知一个数的平方根，求这个数 【例题4】 （24-25七年级下·安徽六安·期中）一个正数x的平方根是与，则x是多少？ 【答案】49 【分析】本题考查了已知一个数的平方根，求这个数，根据一个数的平方根有两个，且互为相反数，得，解得，再代入进行计算，即可作答． 解：∵一个正数x的平方根是与， ∴， 解得， 当时，， ∴． 【变式1】（24-25七年级下·新疆喀什·期中）若与5是同一个正数的两个不相等的平方根，则的值为（    ） A． B． C．4 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了平方根的性质，同一个正数的两个不相等的平方根互为相反数；因此，与5互为相反数，建立方程求解即可． 解：∵与5是同一个正数的两个不相等的平方根， ∴， ， ， ， 验证：当时，，此时−5与5是正数25的两个不相等的平方根，符合题意． 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·河南安阳·期末）若一个正数的两个平方根分别是和，那么 ． 【答案】196 【分析】本题考查平方根，理解平方根的定义是正确解答的前提． 根据平方根的定义求出x的值，再求出和的值，进而得出a的值． 解：由平方根的定义得，， 解得， ∴，， ∴这个正数a为． 故答案为：196． 【知识点五】的双重非负性： 1.被开方数a0; 2.其本身非负； 【要点提示】（1）只有正数和0才有算术平方根，负数没有算术平方根；即表示一种运算，又表示一个运算的结果，当表示一个运算时，就是求a的算术平方根；当表示运算结果时，就是指a的算术平方根为. 【题型5】算术平方根的双重非负性 【例题5】 （24-25七年级下·新疆和田·期中）已知实数，满足． （1）求，的值． （2）求的平方根． 【答案】（1），；（2）． 【分析】本题考查了绝对值非负性，算术平方根非负性，平方根定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据绝对值非负性，算术平方根非负性即可求解； （）把，代入求值，然后通过平方根的定义即可求解． 解：（1）解：∵，，， ∴，， ∴，， （2）解：由（）得，，， ∴ ∴的平方根是． 【变式1】（2025七年级下·全国·专题练习）在数轴上有，两点分别表示实数和，且有与互为相反数，则的平方根为（   ） A． B． C．7 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平方根的定义，绝对值和算术平方根的非负性，先根据非负数的性质和相反数的定义求出，，得出，最后根据平方根定义求出结果即可． 解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， 解得：，， ∴， ∵14的平方根为， ∴的平方根为． 故选：A 【变式2】（24-25八年级下·甘肃定西·期末）若a、b、c是的三边长，且a、b、c满足． （1）求a、b、c的值； （2）是直角三角形吗？请说明理由． 【答案】（1），，；（2）是，见分析 【分析】本题考查了非负数的性质，勾股定理逆定理，掌握利用勾股定理逆定理判定直角三角形的方法是解题关键． （1）根据平方、绝对值以及算术平方根的非负性求解即可； （2）根据勾股定理的逆定理求解即可 解：（1）解：， ，，， ，，； （2）解：是直角三角形， ，， ， 是直角三角形． 【知识点6】立方根 如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.记作：，求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 【题型6】求一个数的立方根 【例题6】 （24-25七年级下·全国·课后作业）求下列各数的立方根： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）9 【分析】本题主要考查了求立方根： （1）（2）（3）（4）利用立方根的定义开立方即可． 解：（1）解：的立方根为； （2）解：的立方根为； （3）解：的立方根为； （4）解：的立方根为． 【变式】（24-25七年级下·全国·课后作业）求下列各数的立方根： （1）； （2）0.008； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了立方根的定义，熟练掌握该定义是本题解题的关键．立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根． 利用立方根的定义即可得到结果． 解：（1）因为， 所以； （2）因为， 所以； （3）因为， 所以； 【知识点7】立方根的性质特征 1.正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 2.（1）； （2）； （3） 【题型7】已知一个数的立方根，求这个数 【例题7】 （24-25七年级下·天津·期中）求下列方程中x的值： （1）； （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了利用平方根和立方根求未知数的值，熟练掌握求解一个数的平方根及立方根是解题的关键． （1）利用立方根的定义求解即可； （2）利用立方根的定义求解即可． 解：（1）解： ， 解得：； （2）解： ， ， 解得：． 【变式1】（24-25七年级下·甘肃定西·期中）已知的平方根是，的算术平方根是，求的立方根． 【答案】 【分析】本题考查了平方根和算术平方根以及立方根的定义，熟练掌握其定义是解决问题的关键．由题意可知，，，求出，的值，最后代入计算即可． 解：的算术平方根为， ， 解得： 的平方根为， ，即 ， ， 的立方根为． 【变式2】（24-25七年级下·湖北孝感·期中）若，，则的值是 ． 【答案】或/或 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，根据立方根求原数，对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根，即，若满足，那么a就叫做b的立方根，即，据此求出a、b的值即可得到答案． 解：∵，， ∴，， ∴或， 故答案为：或． 【知识点8】平方根与立方根小数点位数移动规律 1.平方根：被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位； 2.立方根：被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位. 【题型8】平方根与立方根规律 【例题8】 （24-25七年级下·江西上饶·阶段练习）根据下表回答下列问题： 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 （1）______，______，______； （2）与哪个整数最接近？求的近似值（结果精确到0.01）； （3）若，则满足条件的整数有______个． 【答案】（1）15.6；154；0.152；（2）158，；（3）306 【分析】本题考查了算术平方根的相关知识，解题的关键是熟练掌握算术平方根的定义及小数点移动规律． （1）根据表格中的数据以及算术平方根的定义进行求解； （2）先将进行变形，再根据表格中的数据确定其接近的整数；对于，可根据算术平方根的小数点移动规律进行求解； （3）先对两边同时平方，再确定n的取值范围，从而得出满足条件的整数n的个数． 解：（1）解：由表格可知，， ； ， ； ， ． 故答案为：15.6；154；0.152； （2）解：， 又，， 与158最接近； ， ． （3）解：对两边同时平方可得， 计算可得， 的取值范围是， 则满足条件的整数的个数为个． 故答案为：306． 【变式1】（24-25七年级下·四川德阳·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根、立方根的性质等知识点，掌握立方根的性质成为解题的关键． 将21400分解为，再利用立方根的性质求解即可． 解：∵， ∴． 故选A． 【变式2】（内蒙古呼和浩特市2024-2025学年下学期期末七年级数学试卷）下表是部分正数x的平方和立方． x 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 65.61 67.24 68.89 70.56 72.25 531.441 551.368 571.787 592.704 614.125 根据上表的数据，可得： ； ； ． 【答案】 8.3 8.2 85.85 【分析】本题主要考查平方根和立方根，根据表格中的数据找出开平方和开立方规律解答即可． 解：根据表格中的数据可得： ∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵ ∴ ∴ ∴． 故答案为：8.3；8.2；85.85 【题型9】算术平方根中的估算 【例题9】 （24-25七年级下·云南昭通·阶段练习）已知一个数的两个平方根分别是和的立方根是是的整数部分，求的算术平方根． 【答案】4 【分析】本题考查的知识点是平方根、算术平方根、立方根、估算无理数的大小，属于基础题目，解此题的难点在于c值的确定，学会用“逼近法”求无理数的整数部分是解此题的关键．由题意可得出，得出a的值，再根据的立方根是，得出b的值，再根据c是的整数部分，即可得出c的值；代入a、b、c的值求出代数式的值，再求算术平方根即可． 解：一个数的两个平方根分别是和， ， 解得：， 的立方根为， ， 解得：， 是的整数部分，， ， ， 的算术平方根是4． 【变式1】（24-25七年级下·四川广安·期末）若的整数部分和小数部分分别是，则（　　） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了估算无理数的大小，解题关键是估算出整数部分后，然后即可得到小数部分．先求出的范围，再两边都乘以，再两边都加上，即可求出，把的值代入求出即可． 解：， ， ， ， 即的整数部分是， 的小数部分是， 即，， ， 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·四川凉山·期末）已知的算术平方根是，的立方根是3，c是的整数部分，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查估算无理数的大小，算术平方根、立方根，理解算术平方根、立方根的定义，掌握估算无理数的方法是正确解答的前提．根据算术平方根、立方根以及估算无理数的大小确定、、的值，再代入计算即可． 解：∵的算术平方根是5， ， 解得：， ∵的立方根是3， ∴ 解得：， ∵， ∴， ∴， 是的整数部分， ， ∴， ∵25平方根为， ∴的平方根为． 故答案为;． 【题型10】平方根与立方根的综合应用 【例题10】 （24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）已知实数的算术平方根是2，的立方根是2． （1）求，的值； （2）求的平方根． 【答案】（1）；；（2）的平方根是． 【分析】本题主要考查平方根，算术平方根，立方根的计算，掌握其运算方法是关键． （1）根据算术平方根，立方根的计算列式求解即可； （2）把的值代入，根据平方根的计算求解即可． 解：（1）解：的算术平方根是2， ， 解得； 的立方根是2， ，即， 解得． （2）解：由（1）知，，， ； 而10的平方根是， 的平方根是． 【变式1】（24-25七年级下·河南信阳·阶段练习）下列结论正确的是（    ） A． B．的平方根是 C．若，则 D．64的立方根是 【答案】A 【分析】本题考查了立方根、平方根、算术平方根，熟练掌握立方根、平方根、算术平方根的定义是解题的关键．根据立方根、平方根、算术平方根的定义逐项分析判断即可． 解：A、，故此选项结论正确，符合题意； B、没有平方根，故此选项结论不正确，不符合题意； C、若，则或，故此选项结论不正确，不符合题意； D、64的立方根是4，故此选项结论不正确，不符合题意； 故选：A． 【变式2】（23-24八年级上·贵州贵阳·期中）已知的平方根是的立方根是，则 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，涉及平方根定义、立方根定义定义等知识，根据题意，求出值代入即可，熟记平方根及立方根定义是解决问题的关键． 解：的平方根是的立方根是， ，，解得，， ， 故答案为：． 【题型11】平方根与立方根的简单运算 【例题11】（24-25七年级下·河北沧州·期中）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2）1 【分析】本题考查了实数的混合运算，立方根，算术平方根，化简绝对值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算乘方、立方根、算术平方根，化简绝对值，再运算乘法，最后运算加减，即可作答． （2）先运算乘方、立方根、算术平方根，化简绝对值，再运算加减，即可作答． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（24-25七年级下·湖北孝感·期中）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2）1 【分析】（1）根据计算即可． （2）计算即可． 本题考查了算术平方根的计算，立方根的计算，熟练掌握定义是解题的关键． 解：（1）解： ． （2）解： ． 【变式2】（22-23七年级下·黑龙江绥化·阶段练习）计算： （1）； （2） 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）利用乘方的意义，算术平方根，立方根的定义计算即得到结果； （2）先利用绝对值的性质，然后合并同类二次根式即可得到结果． 解：（1）原式， ， ； （2）原式， ， ． 【点拨】此题考查了乘方的意义，算术平方根，立方根，绝对值的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式的化简及其应用． 二．同步练习​ 1. 基础夯实（选择题6题，填空题6题，解答题4题） 一、单选题 1．（2025·贵州铜仁·三模）下面实数中，负数是 （    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数的分类，根据负数的定义，小于0的实数为负数，逐一判断各选项即可． 解：A．0既不是正数也不是负数，故A不符合题意； B．，故，是负数，故B符合题意； C．，是正数，故C不符合题意； D．任何实数的平方均为非负数，，故D不符合题意． 故选：B． 2．（24-25七年级下·四川自贡·期末）下列计算正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方根、算术平方根和立方根的定义，根据平方根、算术平方根和立方根的定义，逐一分析各选项的正确性． 解：A．∵，∴在实数范围内无意义，故原计算错误． B．，故原计算错误； C．，故原计算错误； D．，故原计算正确． 故选：D． 3．（24-25七年级下·河南安阳·期末）下列各式中运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查立方根，算术平方根，平方根的运算，需根据平方根，算术平方根和立方根的定义逐一判断各选项的正确性． 解：A、，立方根，因此，计算正确； B、，平方根表示算术平方根，结果为非负数，即，而是平方根的两个解，故选项错误； C、，被开方数为，算术平方根，结果应为正数，选项错误； D、，计算，立方根，结果应为负数，选项错误， 故选：A ． 4．（24-25七年级下·云南昆明·期中）已知，则x的值为（   ） A．4 B．2或 C．或4 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方根，根据平方根定义进行计算即可． 解：∵， ∴， ∴或， ∴或． 故选：C． 5．（24-25七年级下·云南昭通·阶段练习）估计的值在（    ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 【答案】D 【分析】本题主要考查无理数的估算，掌握算术平方根的意义，是解题的关键．要确定的值所在区间，需先估算的范围，再通过加法运算判断结果的位置. 解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 6．（24-25七年级下·辽宁营口·期末）已知，则的值约是（   ） A．15.11 B．32.55 C．70.14 D．151.1 【答案】B 【分析】本题考查了立方根的应用，要注意被开方数与立方根的小数点的移动变化规律．根据被开方数小数点移动3位，立方根的小数点移动1位解答即可． 解：， ∴， 故选B． 7．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）已知的算术平方根是2，的立方根是0，则的平方根为（   ） A．2 B．0 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根以及立方根的性质．根据算术平方根以及立方根的性质，先求出a和b的值，再计算的值，最后求其平方根，即可． 解：∵的算术方根是2，的立方根是0， ∴，， ∴， ∴的平方根为0． 故选：B 8．（24-25七年级下·云南昭通·阶段练习）按一定规律排列的单项式：．第个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是与单项式相关的规律探究，算术平方根的含义，观察单项式的结构，每个单项式由整数部分和含根号的部分组成，整数部分为项数n，根号部分符号交替变化，系数为，a的指数为n，通过分析符号规律，确定符号由调整，并验证各选项得出答案. 解：整数部分：第n项的整数部分为n，如第1项为1，第2项为2，依此类推； 符号规律：符号交替变化，奇数项为，偶数项为， 用表示符号，当n为奇数时，，当n为偶数时，， 根号与指数：根号内的数为n，a的指数为n，即， ∴第个单项式是； 故选：D 二、填空题 9．（23-24八年级上·四川乐山·期末）计算： ． 【答案】 【分析】此题考查了求一个数的立方根，熟记立方根定义是解题的关键． 根据立方根的性质求解即可． 解：． 故答案为：． 10．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根，把两边同时平方，可得：，根据平方根的定义可知． 解：， ， ， ． 故答案为：． 11．（24-25七年级下·湖南常德·期末）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，已知字母的值求代数式的值，先根据得，解得，再代入进行计算，即可作答． 解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 12．（24-25七年级下·湖南邵阳·期中）已知：、为两个连续的整数，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是估算无理数的大小等知识点，先估算的取值范围，得出m、n的值，进而可得出结论，先根据题意估算出的取值范围是解答此题的关键． 解：∵， ∴， ∵、为两个连续的整数，且 ∴，， ∴． 故答案为：． 13．（24-25七年级下·新疆和田·期中）若4的平方根是x，的立方根是y，则的值为 ． 【答案】7或 【分析】本题考查了平方根，立方根，熟练掌握定义是解题的关键．根据4的平方根是，的立方根是，得到，解得即可． 解：4的平方根是x，的立方根是y，且4的平方根是，的立方根是， 则， 故或， 故答案为：7或． 14．（24-25七年级下·湖北随州·期末）中国清代学者华衡芳和英国人傅兰雅合译英国瓦里斯的《代数学》，卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，说明了所谓“代数”，就是用符号来代表数的一种方法．若一个正数的两个平方根分别是和，则a的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平方根的性质及解一元一次方程，正确理解一个正数有两个平方根，它们互为相反数是解决本题的关键．根据平方根的性质列方程求解即可． 解：∵一个正数的平方根分别是和， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（24-25七年级下·山西大同·期中）如图，小宇有一个由硬塑料制成的三阶魔方，其形状是正方体，已知它的体积为，那么它的棱长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了立方根的应用，理解正方体的体积公式以及求一个数的立方根是解题的关键．根据正方体的体积等于棱长的立方，即求的立方根即可． 解：正方体的体积为， 它的棱长为， 故答案为：． 16．（24-25七年级下·重庆铜梁·期中）小明编写了一个程序，如图，若输入，则输出的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查实数运算与流程图，涉及立方根、算术平方根、有理数的乘方、倒数等内容，看懂流程图并掌握相关运算法则是解答的关键．根据流程图和实数运算法则求解即可． 解：输入，则，然后，然后得到，然后得到， ∴输出的数为， 故答案为：． 三、解答题 17．（24-25八年级上·甘肃天水·期中）求下列各式中的值： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查平方根，立方根解方程，掌握平方根，立方根的计算是关键． （1）运用平方根的计算求解即可； （2）运用立方根的计算求解即可． 解：（1）解：， 移项得，， ∵， ∴或， 解得，； （2）解：， 等式两边同时除以4得，， ∵， ∴， 解得，． 18．（24-25七年级下·天津·期中）若一个正数的两个平方根分别是和，的立方根是3． （1）求a，b的值； （2）求的算术平方根． 【答案】（1），；（2）6 【分析】本题主要考查了平方根，立方根，算术平方根，熟知立方根，算术平方根，平方根的定义是解题的关键． （1）根据一个正数的两个平方根的和为0得到即可求出a；根据立方根的定义得到，即可求出b； （2）根据（1）所求结合算术平方根的定义进行求解即可． 解：（1）解：由题意可知：， 解得． 由题意可知：， 解得：． （2）解：∵，， ∴， ∴其算术平方根为6． 19．（24-25七年级下·云南昆明·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是7，c是的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求的平方根和立方根． 【答案】（1）；（2）的平方根是，立方根是 【分析】本题考查了平方根，立方根概念，熟练掌握平方根，立方根概念及运算是解题的关键． （）根据平方根，立方根的定义，估算即可求出，，的值； （）把，，的值代入即可得出结果； 解：（1）解：∵的立方根是 ∴，解得：， ∵的算术平方根是， ∴，解得， ∵是的整数部分，而， ∴； （2）解：由（）得，，， ∴， ∴的平方根是，立方根是． 20．（24-25七年级下·山东济宁·期末）中国清代学者华衡芳和英国人傅兰雅合译英国瓦里斯的《代数学》，卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，说明了所谓“代数”，就是用符号代表数的一种方法．请你解答下面用符号代表数问题．已知的平方根是，是27的立方根，是的整数部分． （1）求的值； （2）若是的小数部分，求的算术平方根． 【答案】（1）10；（2）4 【分析】本题考查了立方根、算术平方根，平方根，无理数的整数部分以及小数部分，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合的平方根是，是27的立方根，得，，因为是的整数部分，所以，代入计算，即可作答． （2）先根据是的小数部分，得出，然后得出，最后运算出的算术平方根，即可作答． 解：（1）解：∵的平方根是，是27的立方根， ∴，， ∵ ∴ ∵是的整数部分， ∴ ∴； （2）解：∵， ∴， ∵是的小数部分， ∴， 则， ∴， ∴的算术平方根是． 2. 能力提升（选择题8题，填空题8题，解答题3题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）下列算式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据立方根，算术平方根，平方根的定义及其特性解答即可． 本题考查了立方根，算术平方根，平方根，任意实数都有立方根，非负性有平方根，熟练掌握定义和条件是解题的关键． 解：A. ，错误，不符合题意；     B. ，错误，不符合题意； C. 错误，不符合题意；     D. ，正确，符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级下·湖北武汉·阶段练习）下列各数：，0，，0.23，，，，0.1010010001……（每两个1间多一个零）中，无理数的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查无理数，无限不循环小数叫做无理数，据此进行判断即可． 解：0，是整数，0.23是有限小数，是分数，它们不是无理数， ，，，0.1010010001……（每两个1间多一个零）是无限不循环小数，它们是无理数，一共4个， 故选：C． 3．（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查绝对值，算术平方根，有理数的乘方，解题的关键是求出和的值． 根据绝对值和算术平方根的非负性，解得和的值，代入计算即可． 解：，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴ ∴ 故选：． 4．（24-25七年级下·山西朔州·期中）若的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查估算无理数的大小，熟练掌握无理数估算的方法是解题的关键． 先估算的大小后即可求得，的值，然后代入中计算即可． 解：， ， ， 则，， 那么， 故选：D． 5．（24-25七年级下·湖北恩施·期中）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的周长为（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用、正方形的面积等知识点，掌握数形集合思想成为解题的关键． 根据正方形的面积公式求得两个正方形的边长分别是、2，再根据阴影部分的周长公式计算即可． 解：∵矩形内有两个相邻的正方形面积分别为 2和4， ∴两个正方形的边长分别是、2， ∴阴影部分的周长为． 故选C． 6．（24-25七年级下·云南曲靖·期末）已知，，则的值约是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目主要考查立方根的规律探索，利用三次根号的运算性质，将被开方数分解为已知值的倍数与10的幂次相乘，从而简化计算 解：∵，而， ∴== 因此，的值约为， 故选B 7．（24-25七年级下·山东日照·期中）在如图所示的运算程序中，当输入x的值是64时，输出的y值是（      ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查流程图与实数的计算，理解流程图是解题的关键．根据流程图，列出算式进行计算即可． 解：当输入的值是64时，取算术平方根得， 8是有理数，再取立方根得， 2是有理数，再取算术平方根得， 由于是无理数， 所以输出的值是． 故选：A． 8．（2025·山东潍坊·一模）已知为实数，规定运算：，．按上述规定，当时，的值等于（   ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查数式规律问题，根据规定列式计算后总结规律，然后计算的值即可． 解：当时， ， ， ， ， ， …… ,     ， ， ， 故选: C． 二、填空题 9．（24-25七年级下·湖南娄底·期末）若，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查绝对值与算术平方根的非负性，积的乘方的逆应用；根据非负式子和为0，它们分别等于0，解出a，b，代入求解即可得到答案． 解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（21-22七年级下·甘肃武威·期末）已知实数的立方根是4，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】根据立方根的性质得到a=64，求出=8，由此得到答案． 解：∵a的立方根是4， ∴a=43=64， ∴， ∵8的平方根是， ∴的平方根是， 故答案为：． 【点拨】此题考查了由一个数的立方根求这个数，求一个数的平方根，熟练掌握立方根定义及平方根定义是解题的关键． 11．（24-25七年级下·新疆哈密·期中） ，的相反数 ，的平方根 【答案】 3 【分析】本题考查实数的性质，立方根，算术平方根和平方根，根据绝对的意义，相反数的定义，立方根，算术平方根和平方根的定义，进行求解即可． 解：，的相反数是3，的平方根是； 故答案为：． 12．（24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）已知：和是正数M的平方根，的立方根为，则的算术平方根 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了根据立方根求原数，平方根的定义，求一个数的算术平方根，根据和是正数M的平方根可得与相等或与互为相反数，据此求出a的值， 再由立方根的定义求出b的值，则可求出的值，最后根据算术平方根的定义即可求出答案． 解：当时，则， 当与不相等时， ∵和是正数M的平方根， ∴， ∴； 综上所述，或； ∵的立方根为， ∴， ∴， ∴或， ∴的算术平方根是或， 故答案为；或． 13．（24-25七年级下·全国·假期作业）如图是嘉淇的答卷，嘉淇的得分为 ． 填空题（每小题2分）姓名：嘉琪 1．的相反数为 2．的绝对值为 3． 4．将0.03047精确到0.001的结果是0.03 5．若一个数的平方根与立方根相等，则这个数是0 【答案】6分 【分析】本题考查相反数，绝对值，平方根和立方根，解题的关键是熟练掌握几个定义的性质及熟知平方根与立方根相等的是．根据相反数，绝对值，平方根和立方根的定义直接逐个判断即可得到答案． 解：1．的相反数为，说法正确； 2．的绝对值为，说法正确； 3．，原说法错误； 4．将0.03047精确到0.001的结果是0.030，原说法错误； 5．若一个数的平方根与立方根相等，则这个数是0，说法正确； ∴嘉琪的得分为分， 故答案为：分． 14．（24-25七年级下·海南三亚·阶段练习）已知、、在数轴上的位置如图，化简： ． 【答案】/ 【分析】根据有理数、、在数轴上的位置，得到它们之间的大小关系，再利用绝对值及二次根式和立方根的性质去化简原式求出结果． 解：根据有理数、、在数轴上的位置，得到，且， ∴， ∴ ． 故答案是：． 【点拨】本题考查绝对值的性质、二次根式、立方根和根据点在数轴的位置判断式子的正负、整式的加减，解题的关键是掌握化简绝对值的方法． 15．（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）已知实数a满足． （1）a的取值范围为 ； （2）的值为 ． 【答案】 2025 【分析】本题主要考查了代数式求值，二次根式有意义的条件； （1）根据二次根式有意义的条件得到即可， （2）则当时，可得，再化简可得，进而可得． 解：（1）有意义， ， 解得：． 故答案为：； （2）由（1）知． ． 又∵， ， ． ． ． 故答案为：2025． 16．（24-25七年级下·重庆渝北·期末）求59319的立方根，解答如下： ①，又，，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又，∴能确定59319的立方根的个位数是9． ③划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．根据以上步骤求出314432的立方根是 ． 【答案】68 【分析】本题考查立方根，根据题意所给方法确定314432的立方根是个两位数，再确定个位、十位上的数，即可解答． 解：， 又， ， ∴能确定314432的立方根是个两位数． 314432的个位数是2， 又， ∴能确定314432的立方根的个位数是8． 划去314432后面的三位432得到数314，而，则， 可得，由此能确定314432的立方根的十位数是6， 因此314432的立方根是68， 故答案为68． 三、解答题 17．（22-23七年级下·四川广安·期中）计算： （1）； （2）求的值： 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）根据算术平方根，立方根解答即可． （2）根据平方根解答即可． 本题考查了平方根，立方根，算术平方根，熟练掌握定义是解题的关键． 解：（1）解： ． （2）解： ， 或 解得或． 18．（20-21八年级上·江苏连云港·期末）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． （1）求的值； （2）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 【答案】（1）2；（2） 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离公式、平方根、非负数的性质及绝对值的计算，解题的关键是求得的值及非负数性质的应用，注意平方根有两个． （1）利用数轴上两点间的距离公式计算即可； （2）利用非负数的性质，得到c，d的值，代入求值即可． 解：（1）解：由题意得， ∴， ∴， ∴ ； （2）解：∵与互为相反数， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴的平方根是． 3. 直通中考（5题） 一、单选题 1．（2025·江西·中考真题）下列各数中，是无理数的是（   ） A．0 B． C．3.14 D． 【答案】B 【分析】本题考查无理数的定义，根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．结合选项逐一判断即可． 解：A、0是整数，属于有理数，本选项不符合题意； B、是开方开不尽的数，属于无理数，本选项不符合题意； C、3.14是有限小数，属于有理数，本选项不符合题意； D、是分数，属于有理数，本选项不符合题意； 故选：B． 二、填空题 2．（2025·青海·中考真题）的算术平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的定义，根据算术平方根的定义解答即可，掌握算术平方根的定义是解题的关键． 解：∵， ∴的算术平方根是， 故答案为：． 3．（2025·浙江·中考真题） ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，掌握立方根的定义是解题的关键． 分别计算绝对值和立方根，再进行加法计算即可． 解：， 故答案为：2． 4．（2025·江西·中考真题）化简： 【答案】2 【分析】本题主要考查了立方根，牢记常见数的立方根是解题的关键．直接写出8的立方根即可解答． 解：∵， ∴． 故答案为2． 三、解答题 5．（2025·浙江·中考真题）【阅读理解】 同学们，我们来学习利用完全平方公式： 近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为， 所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明以①的形式求的近似值的过程如图． 因为， 所以， 即． 因为比较小， 将忽略不计， 所以， 即， 得， 故． 【尝试探究】 （1）请用②的形式求的近似值（结果保留2位小数）． 【比较分析】 （2）你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高，请说明理由． 【答案】（1）；（2）用①的形式得出的的近似值的精确度更高，理由见分析 【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，正确理解题意是解题的关键． （1）设，其中，则仿照题意可得，比较小，将忽略不计，则，据此可得，则； （2）可求出，据此可得结论． 解：（1）设，其中， ∴， ∴， ∵比较小，将忽略不计， ∴， ∴， ∴； （2）用①的形式得出的的近似值的精确度更高，理由如下； ∵，， ∴， ∴用①的形式得出的的近似值的精确度更高． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 2.1 平方根与立方根 目录 一.知识梳理与题型分类精析 1 知识点（一）平方根 1 【题型1】求一个数的平方根 2 知识点（二）算术平方根 2 【题型2】求一个数的算术平方根 2 知识点（三）平方根的性质 2 【题型3】平方根性质的理解 3 知识点（四）开平方 3 【题型4】已知一个数的平方根，求这个数 3 知识点（五）的双重非负性： 3 【题型5】算术平方根的双重非负性 3 【题型6】求一个数的立方根 4 【题型7】已知一个数的立方根，求这个数 4 【题型8】平方根与立方根规律 5 【题型9】算术平方根中的估算 5 【题型10】平方根与立方根的综合应用 6 【题型11】平方根与立方根的简单运算 6 二．同步练习 6 1. 基础夯实（选择题6题，填空题6题，解答题4题） 6 2. 能力提升（选择题8题，填空题8题，解答题3题） 9 3. 直通中考（5题） 11 一.知识梳理与题型分类精析 知识点（一）平方根 1.定义：一般地，如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根或二次方根，即如果，那么叫做的平方根. 2.表示方法：一个数（0）的正的平方根，用符号“”表示，叫被开方数，2叫做根指数，这时根指数2常常忽略不写，的负的平方根记做读作“负根号”，因此非负数的平方根常常记作，读作：“正负根号” 【题型1】求一个数的平方根 【例题1】 （24-25七年级下·湖南长沙·期中）新修订的教科书对于数与式的运算过程和格式进行了很好的示范，例如求64的平方根 解：， 的平方根是． 请你按照上述格式求出下列各数的平方根 （1）100； （2）； （3）． 【变式】（24-25七年级下·全国·课后作业）求下列各数的平方根： （1）； （2）； （3）． 知识点（二）算术平方根 1.定义：一般地，如果一个正数的平方等于，即：，那么这个正数叫做的算术平方根，特别规定：0的算术平方根是0. 2.表示方法：非负数的算术平方根记作“”读作“根号a”，其中a叫做被开方数. 【题型2】求一个数的算术平方根 【例题2】 （24-25七年级下·全国·课后作业）求下列各数的算术平方根： （1）； （2）； （3）． 【变式】（21-22八年级上·全国·课后作业）求下列各数的算术平方根． （1）4900； （2）． 知识点（三）平方根的性质 （1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数，记作 （2）0的平方根为0； （3）负数没有平方根. 【题型3】平方根性质的理解 【例题3】 （24-25七年级下·全国·课后作业）下列各数有平方根吗？如果有，求它的平方根；如果没有，说明理由． （1）0.36； （2）； （3）． 【变式1】（24-25八年级下·山东聊城·期中）下列各数中没有平方根的是（    ） A． B． C． D．0 【变式2】（24-25七年级下·全国·假期作业）一个正数的两个平方根分别为a，b，则 ， ． 知识点（四）开平方 求一个数（0）的平方根的运算，叫做开平方，（0）开平方用“”表示，“”是一种运算符号. 【题型4】已知一个数的平方根，求这个数 【例题4】 （24-25七年级下·安徽六安·期中）一个正数x的平方根是与，则x是多少？ 【变式1】（24-25七年级下·新疆喀什·期中）若与5是同一个正数的两个不相等的平方根，则的值为（    ） A． B． C．4 D．14 【变式2】（24-25七年级下·河南安阳·期末）若一个正数的两个平方根分别是和，那么 ． 知识点（五）的双重非负性： 1.被开方数a0; 2.其本身非负； 【要点提示】（1）只有正数和0才有算术平方根，负数没有算术平方根；即表示一种运算，又表示一个运算的结果，当表示一个运算时，就是求a的算术平方根；当表示运算结果时，就是指a的算术平方根为. 【题型5】算术平方根的双重非负性 【例题5】 （24-25七年级下·新疆和田·期中）已知实数，满足． （1）求，的值． （2）求的平方根． 【变式1】（2025七年级下·全国·专题练习）在数轴上有，两点分别表示实数和，且有与互为相反数，则的平方根为（   ） A． B． C．7 D． 【变式2】（24-25八年级下·甘肃定西·期末）若a、b、c是的三边长，且a、b、c满足． （1）求a、b、c的值； （2）是直角三角形吗？请说明理由． 【知识点6】立方根 如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.记作：，求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 【题型6】求一个数的立方根 【例题6】 （24-25七年级下·全国·课后作业）求下列各数的立方根： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式】（24-25七年级下·全国·课后作业）求下列各数的立方根： （1）； （2）0.008； （3）． 【知识点7】立方根的性质特征 1.正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 2.（1）； （2）； （3） 【题型7】已知一个数的立方根，求这个数 【例题7】 （24-25七年级下·天津·期中）求下列方程中x的值： （1）； （2） 【变式1】（24-25七年级下·甘肃定西·期中）已知的平方根是，的算术平方根是，求的立方根． 【变式2】（24-25七年级下·湖北孝感·期中）若，，则的值是 ． 【知识点8】平方根与立方根小数点位数移动规律 1.平方根：被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位； 2.立方根：被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位. 【题型8】平方根与立方根规律 【例题8】 （24-25七年级下·江西上饶·阶段练习）根据下表回答下列问题： 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 （1）______，______，______； （2）与哪个整数最接近？求的近似值（结果精确到0.01）； （3）若，则满足条件的整数有______个． 【变式1】（24-25七年级下·四川德阳·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（内蒙古呼和浩特市2024-2025学年下学期期末七年级数学试卷）下表是部分正数x的平方和立方． x 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 65.61 67.24 68.89 70.56 72.25 531.441 551.368 571.787 592.704 614.125 根据上表的数据，可得： ； ； ． 【题型9】算术平方根中的估算 【例题9】 （24-25七年级下·云南昭通·阶段练习）已知一个数的两个平方根分别是和的立方根是是的整数部分，求的算术平方根． 【变式1】（24-25七年级下·四川广安·期末）若的整数部分和小数部分分别是，则（　　） A． B． C．2 D． 【变式2】（24-25七年级下·四川凉山·期末）已知的算术平方根是，的立方根是3，c是的整数部分，则的平方根是 ． 【题型10】平方根与立方根的综合应用 【例题10】 （24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）已知实数的算术平方根是2，的立方根是2． （1）求，的值； （2）求的平方根． 【变式1】（24-25七年级下·河南信阳·阶段练习）下列结论正确的是（    ） A． B．的平方根是 C．若，则 D．64的立方根是 【变式2】（23-24八年级上·贵州贵阳·期中）已知的平方根是的立方根是，则 ． 【题型11】平方根与立方根的简单运算 【例题11】（24-25七年级下·河北沧州·期中）计算： （1） （2） 【变式1】（24-25七年级下·湖北孝感·期中）计算： （1） （2） 【变式2】（22-23七年级下·黑龙江绥化·阶段练习）计算： （1）； （2） 二．同步练习​ 1. 基础夯实（选择题6题，填空题6题，解答题4题） 一、单选题 1．（2025·贵州铜仁·三模）下面实数中，负数是 （    ） A．0 B． C． D． 2．（24-25七年级下·四川自贡·期末）下列计算正确的是（） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·河南安阳·期末）下列各式中运算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·云南昆明·期中）已知，则x的值为（   ） A．4 B．2或 C．或4 D． 5．（24-25七年级下·云南昭通·阶段练习）估计的值在（    ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 6．（24-25七年级下·辽宁营口·期末）已知，则的值约是（   ） A．15.11 B．32.55 C．70.14 D．151.1 7．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）已知的算术平方根是2，的立方根是0，则的平方根为（   ） A．2 B．0 C． D． 8．（24-25七年级下·云南昭通·阶段练习）按一定规律排列的单项式：．第个单项式是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（23-24八年级上·四川乐山·期末）计算： ． 10．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）已知，则 ． 11．（24-25七年级下·湖南常德·期末）若，则 ． 12．（24-25七年级下·湖南邵阳·期中）已知：、为两个连续的整数，且，则 ． 13．（24-25七年级下·新疆和田·期中）若4的平方根是x，的立方根是y，则的值为 ． 14．（24-25七年级下·湖北随州·期末）中国清代学者华衡芳和英国人傅兰雅合译英国瓦里斯的《代数学》，卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，说明了所谓“代数”，就是用符号来代表数的一种方法．若一个正数的两个平方根分别是和，则a的值是 ． 15．（24-25七年级下·山西大同·期中）如图，小宇有一个由硬塑料制成的三阶魔方，其形状是正方体，已知它的体积为，那么它的棱长为 ． 16．（24-25七年级下·重庆铜梁·期中）小明编写了一个程序，如图，若输入，则输出的值为 ． 三、解答题 17．（24-25八年级上·甘肃天水·期中）求下列各式中的值： （1）； （2）． 18．（24-25七年级下·天津·期中）若一个正数的两个平方根分别是和，的立方根是3． （1）求a，b的值； （2）求的算术平方根． 19．（24-25七年级下·云南昆明·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是7，c是的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求的平方根和立方根． 20．（24-25七年级下·山东济宁·期末）中国清代学者华衡芳和英国人傅兰雅合译英国瓦里斯的《代数学》，卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，说明了所谓“代数”，就是用符号代表数的一种方法．请你解答下面用符号代表数问题．已知的平方根是，是27的立方根，是的整数部分． （1）求的值； （2）若是的小数部分，求的算术平方根． 2. 能力提升（选择题8题，填空题8题，解答题3题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）下列算式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·湖北武汉·阶段练习）下列各数：，0，，0.23，，，，0.1010010001……（每两个1间多一个零）中，无理数的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·山西朔州·期中）若的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为（   ） A． B．1 C． D． 5．（24-25七年级下·湖北恩施·期中）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的周长为（   ） A．2 B．4 C． D． 6．（24-25七年级下·云南曲靖·期末）已知，，则的值约是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·山东日照·期中）在如图所示的运算程序中，当输入x的值是64时，输出的y值是（      ） A． B． C．2 D．1 8．（2025·山东潍坊·一模）已知为实数，规定运算：，．按上述规定，当时，的值等于（   ） A． B． C． D．0 二、填空题 9．（24-25七年级下·湖南娄底·期末）若，则的值为 ． 10．（21-22七年级下·甘肃武威·期末）已知实数的立方根是4，则的平方根是 ． 11．（24-25七年级下·新疆哈密·期中） ，的相反数 ，的平方根 12．（24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）已知：和是正数M的平方根，的立方根为，则的算术平方根 ． 13．（24-25七年级下·全国·假期作业）如图是嘉淇的答卷，嘉淇的得分为 ． 填空题（每小题2分）姓名：嘉琪 1．的相反数为 2．的绝对值为 3． 4．将0.03047精确到0.001的结果是0.03 5．若一个数的平方根与立方根相等，则这个数是0 14．（24-25七年级下·海南三亚·阶段练习）已知、、在数轴上的位置如图，化简： ． 15．（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）已知实数a满足． （1）a的取值范围为 ； （2）的值为 ． 16．（24-25七年级下·重庆渝北·期末）求59319的立方根，解答如下： ①，又，，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又，∴能确定59319的立方根的个位数是9． ③划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．根据以上步骤求出314432的立方根是 ． 三、解答题 17．（22-23七年级下·四川广安·期中）计算： （1）； （2）求的值： 18．（20-21八年级上·江苏连云港·期末）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． （1）求的值； （2）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 3. 直通中考（5题） 一、单选题 1．（2025·江西·中考真题）下列各数中，是无理数的是（   ） A．0 B． C．3.14 D． 二、填空题 2．（2025·青海·中考真题）的算术平方根是 ． 3．（2025·浙江·中考真题） ． 4．（2025·江西·中考真题）化简： 三、解答题 5．（2025·浙江·中考真题）【阅读理解】 同学们，我们来学习利用完全平方公式： 近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为， 所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明以①的形式求的近似值的过程如图． 因为， 所以， 即． 因为比较小， 将忽略不计， 所以， 即， 得， 故． 【尝试探究】 （1）请用②的形式求的近似值（结果保留2位小数）． 【比较分析】 （2）你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$