2.3 二次根式教学设计2026-2027学年数学北师大版八年级上册

该初中数学教学设计聚焦二次根式的概念、性质及运算（乘除、加减、混合），通过复习平方根、算术平方根等旧知引入概念，逐步探究乘除法则、性质化简、加减运算，结合实际问题推进混合运算，搭建知识递进支架。 以探究活动培养抽象能力与推理意识，如通过计算实例归纳乘除法则，结合梯形周长面积问题渗透应用意识。典例与随堂检测强化运算能力，助学生形成条理化思维，也为教师提供清晰教学路径。

2.3 二次根式 第1课时 二次根式的概念及乘法、除法 教学设计 课题 第1课时 二次根式的概念及乘法、除法 授课人 教学目标 1.了解二次根式的概念。 2.能运用法则进行二次根式的乘除运算。 3.在探究、合作活动中,培养学生的探究能力和合作意识。 教学重点 运用二次根式的乘除法则进行运算。 教学难点 运用二次根式的乘除法则进行运算。 授课类型 新授课 课时 1 教学步骤 师生活动 设计意图 复习导入 问题1 什么叫做平方根? 一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根。 问题2 什么叫做算术平方根? 如果 x2＝a（x≥0），那么 x 称为 a 的算术平方根。 用(a≥0)表示。 问题3 什么数有算术平方根? 我们知道,负数没有平方根。因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0。 以提问的形式帮助学生复习上节课的内容,强化学生对二次根式的化简的掌握和理解,为得到二次根式的乘、除法法则做好铺垫。 探究新知 1.二次根式的概念 观察下列代数式：，，，，(其中b＝24，c＝25). 问题 这些式子有什么共同特征？ ①都含有开方运算； ②被开方数都是非负数。 教师归纳 一般地，把形如(a≥0) 的式子叫做二次根式。a 叫做被开方数。 注意：a 可以是数，也可以是式。 针对练习 （链接例1） 思考 当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ 解：（1）由题意得x-1＞0，所以x＞1。 （2）∵ 被开方数需大于或等于零， ∴ x+3≥0，即x≥－3。 ∵ 分母不能等于零， ∴ x-1≠0，即 x≠1。 ∴ x≥－3且 x≠1。 教师归纳：求二次根式中字母的取值范围的依据： 1.根号内的式子是非负数； 2.若含有分母，则分母不为零。 针对练习 2.二次根式的乘除 思考 二次根式的运算有怎样的规律呢？ 探究 （1）计算下列各式，你能得到什么猜想？ ＝ 6 ，×＝ 6 ； ＝ 20 ， ×＝ 20 ； ＝ ， ＝ ； ＝ ，＝ 。 （2）用计算器计算： ×＝ 6.480 ， ＝ 6.480 ； ＝ ， ＝ 。 教师归纳 二次根式的乘法法则和除法法则 （链接例1） 思考 1.（1）3x2＋2x2＝ 5x2 ;（2）x2＋2x2＋4y＝ 3x2＋4y 。 2.类比上面的计算方法，想想如何计算： 4＋2＋1 解：4＋2＋1=4＋1＋2=5＋2。 3.＋能不能再进行计算?为什么? 答：不能，因为它们没有相通相，所以不能合并。 （链接例2） 让学生挖掘新知识和已有知识之间的区别与联系,有助于巩固旧知识,学习新知识。学生观察、归纳,概括出二次根式乘除法计算公式,并用语言表述,有利于培养学生的观察、猜想、抽象和表述能力。 典例精析 【例1】当 x 是怎样的实数时, 在实数范围内有意义? 【解】由 x-2≥0，得 x≥2。 当x≥2时， 在实数范围内有意义。 【例2（教材P42例1）】计算： 【解】 【方法总结】能约分的可以先约分。 【例3（教材P42例2）】计算： 【解】 例1让学生逐步掌握运算技能,加深对二次根式乘除法的计算公式的印象。 例2仍侧重于二次根式乘除法运算,只是已经开始考虑有关运算律和公式地运用了。 随堂检测 1.下列式子一定是二次根式的是（ ） 2.在括号中填写适当的数或式子使等式成立。 3.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ （1）； （2）；（3） ；（4）。 解：(1)∵a－1≥0，∴a≥1。 （2）∵2a+3≥0，∴a≥－。 （3）∵－a≥0，∴a≤0。 （4）∵5－a＞0，∴a＜5。 4.计算： （1）(2－3)(3＋2)； （2）(－)×。 解:(1) 原式＝(2)2－(3)2＝8－27＝－19； （2）原式＝×－×＝×－× ＝－＝3－＝－。 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况。 课堂小结 通过本节课的学习，谈谈你收获了什么？ 巩固所学知识，加深对本节知识的理解。 作业布置 《课时训练》P0-P0训练题 板书设计 第1课时 二次根式的概念及乘法、除法 1.一般地，把形如(a≥0) 的式子叫做二次根式。a 叫做被开方数。 注意：a 可以是数，也可以是式。 2.二次根式的乘法法则和除法法则 3.习题解析 教学反思 第2课时 二次根式的性质及加法、减法 教学设计 课题 第2课时 二次根式的性质及加法、减法 授课人 教学目标 1.探究二次根式的性质,并能利用性质将二次根式化为最简二次根式的形式。 2.能运用法则进行二次根式的加减运算。 3.在探究、合作活动中,培养学生的探究能力和合作意识。 4.通过对公式的逆运用,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。 教学重点 利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式。 教学难点 能运用法则进行二次根式的加减运算。 授课类型 新授课 课时 1 教学步骤 师生活动 设计意图 探究新知 1.最简二次根式 还记得吗? （a≥0，b≥0）， （a≥0，b＞0）。 等号左右互换， （a≥0，b≥0）， （a≥0，b＞0）。 （链接例1） 教师归纳 一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式。 2.二次根式的性质及化简 （链接例2） 教师提问：5是哪个数的算术平方根？ 探究 探究 （1）你是怎么发现含有开得尽方的因数的？你是怎么判断是最简二次根式的？ （2）将二次根式化成最简二次根式时，你有哪些经验与体会？ 解：（1）① 因为＝被开方数含有相同的因数，所以不是最简的二次根式； ② ＝被开方数不含有相同的因数，所以是最简的二次根式。 （2）① 把被开方数分解因式(或因数) ； ② 将被开方数中开得尽方的因数(式)用它的正平方根代替后移到根号外面； ③ 将被开方数中的分母化去； ④ 被开方数是带分数或小数时要化成假分数。 3.二次根式的加减 依据：二次根式的性质、分配律和整式加减法则。 基本思想：把二次根式加减问题转化为整式加减问题。 （链接例3） 思考 ＋能不能再进行计算?为什么? 不能，因为它们都是最简二次根式，被开方数不相同，所以不能合并。 教师归纳 1.加减法的运算步骤：“一化简二判断三合并”； 2.合并的前提条件：只有被开方数相同的最简二次根式才能进行合并。 引导学生通过自主探究从感性上认识二次根式的乘、除法法则,认清法则的基本形式，为最简二次根式的学习作铺垫。 典例精析 【例1（教材P43例3）】 化简：（1）；（2）；（3） 。 【解】 【方法总结】被开方数中都不含分母，也不含能开的尽方的因数。 【例2（教材P43例4）】化简：(1); (2); (3)。 【解】 【例3（教材P44例5）】计算： 【解】 【方法总结】以前学习过的实数的运算法则、运算律仍然适用。 通过练习，让学生逐步掌握运算技能。 随堂检测 1.下列根式中，不是最简二次根式的是（ C ） A. B． C． D． 2.与最简二次根式能合井，则 m＝ 1 。 3.计算：（1）－； （2）2＋3。 解：（1）原式＝4－2＝ 2 ； （2）原式＝2×2＋3×4 ＝4＋12 ＝16。 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况。 课堂小结 通过本节课的学习，谈谈你的收获？ 巩固所学知识，加深对本节知识的理解。 作业布置 《课时训练》P0-P0训练题 板书设计 第2课时 二次根式的性质及加法、减法 最简二次根式 习题解析 教学反思 第3课时 二次根式的混合运算 教学设计 课题 第3课时 二次根式的混合运算 授课人 教学目标 1.正确运用二次根式的性质及运算法则进行二次根式的混合运算； 2.掌握二次根式的运算方法，明确数的运算顺序、运算律及乘法公式在二次根式运算中仍然适用 ； 3.学生经历由实际问题建模解决数学问题，明白数学来源于生活，服务于生活。 教学重点 正确运用二次根式的性质及运算法则进行二次根式的混合运算。 教学难点 正确运用二次根式的性质及运算法则进行二次根式的混合运算。 授课类型 新授课 课时 1 教学步骤 师生活动 设计意图 新课导入 已知：矩形的长是5＋2，宽是，求它的面积。 你能求出这个矩形的面积吗？ 解：面积＝(5＋2)× 乘法分配律 ＝10＋6 ＝16。 通过问题引入，让学生明白数学中的联系，激发学习数学的兴趣。 探究新知 1.二次根式的混合运算 （1）请你计算：＋ 。 小明是这样计算的： ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝。 分子分母同乘的目的是什么？ 把分母中的根号去掉，使其变成最简二次根式。 （2）计算－，你有哪些方法？ 解：（方法一） 原式＝－ ＝－ ＝。 （方法二） 原式＝－ ＝－ ＝。 （链接例1） 探究 化简(－)· ，其中a＝3，b＝2.你是怎么做的？ 解法一：先代入后化简 把a＝3，b＝2代入代数式中， 解法二：先化简后代入 哪种简便？ 解二次根式化简求值问题时，直接代入求值很麻烦，要先化简已知条件，再用乘法公式变形代入即可求得． 探究 如图，小正方形的边长为 1。 （1）求梯形 ABCD 的周长。 （2）试求图中梯形 ABCD 的面积。你有哪些方法？ 解:(1)由勾股定理，得 CD＝＝； BC＝＝＝2； AB＝＝5； ∴梯形 ABCD 的周长＝AB＋BC＋CD＋DA＝5＋2＋＋6＝6＋2＋6。 (2)方法一：用整体的思想。 可用大矩形减去三个多出的三角形， 面积为 5×7－×1×1－×2×4－×5×5 ＝35－－4－＝18。 方法二：用分割法。 可以过 C 点作 AB 的平行线，把梯形分成一个平行四边形和一个三角形， 面积为 6×1＋×6×4＝6＋12＝18。 2.乘法公式在二次根式运算中的应用 回忆 整式乘法运算中的乘法公式有哪些? 平方差公式：(a ＋ b)(a－b)＝a2－b2 完全平方公式：(a ＋ b)2＝a2＋2ab＋b2 (a－b)2＝a2－2ab ＋ b2 （链接例2） 通过例题讲解，让学生掌握如何将分母中的二次根式化成整数。 通过特例讲解让学生理解并明白整式的运算顺序，运算律在二次根式范围内也适用的，让学生掌握如何对二次根式进行计算。 典例精析 【例1（教材P45例6）】计算： （1）－； （2） －＋； （3）(－)÷； （4）＋－。 【解】（1）；（2）；（3）；（4）－1＋。 【方法总结】如果算式当中有个别二次根式化简最简二次根式仍不能与其它最简二次根式合并同类项，结果中可保留，不必化为最简式。 【例2】计算： （1）(＋)(－)； （2）(＋2)2。 【解析】 答案：(1) 2；(2) 7＋4。 让学生通过练习熟练运用乘法公式和二次根式的法则进行计算。 随堂检测 1.下列对于二次根式的计算正确的是（ C ） A. ＋ ＝ B.2－ ＝2 C. 2÷ ＝2 D.2× ＝ 2. 若3＋＝5 ，则m的值为（ C ） A. 56 B. 34 C. 28 D. 14 3. 已知 a＝＋1，b＝－1，则 a2＋b2的值为（ D ） A. 4 B. 6 C. 3－2 D. 3＋2 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况。 课堂小结 通过本节课的学习，谈谈你收获了什么？ 巩固所学知识，加深对本节知识的理解。 作业布置 《课时训练》P0-P0训练题 板书设计 第3课时 二次根式的混合运算 习题解析 平方差公式：(a ＋ b)(a－b)＝a2－b2 完全平方公式：(a ＋ b)2＝a2＋2ab＋b2 (a－b)2＝a2－2ab ＋ b2 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $