16.1 分式及其基本性质 暑假巩固 2024—2025学年华东师大版数学八年级下册

华东师大版八年级下册 16.1 分式及其基本性质 暑假巩固 一、分式有（无）意义的条件 1.根据下列表格中的部分信息，分式M可能是（　　） A. B. C. D. 2.要使有意义，则x的取值范围为（　　） A.x≠0 B.x＞2022 C.x≠2022 D.x≠﹣2022 3.若分式有意义，则x的取值范围是（　　） A.x＞3 B.x＞﹣3 C.x≠0 D.x≠3 4.对于分式来说，当x＝﹣1时，分式无意义，则a的值是 　 　． 5.若式子有意义，则实数x的取值范围是 　  　． 6.已知：代数式，当m为何值时，该式无意义？ 7.当x是什么数时，分式没有意义？ 二、分式值为零的条件 1.对于分式，当x＝﹣1时其值为0，当x＝1时此分式没有意义，那么（　　） A.a＝b＝﹣1 B.a＝b＝1 C.a＝1，b＝﹣1 D.a＝﹣1，b＝1 2.若分式的值为零，则x的值为（ ） A.0 B.1 C.﹣1 D.±1 3.下列说法正确的是（　　） A.是整式 B.若分式的分子为零，则分式的值为零 C.对于任意实数x，分式总有意义 D.将式子a÷（m＋n）写成分式的形式是 4.当x＝　       　时，分式的值等于零． 5.当x________且________时，分式的值为0. 6.当x取什么数时，分式的值为零？ 7.已知分式，试问： （1）当m为何值时，分式有意义？ （2）当m为何值时，分式值为0？ 三、分式的基本性质 1.分式可变形为（　　） A. B. C. D. 2.等式中的未知的分母是（　　） A.a2＋1 B.a2＋a＋1 C.a2＋2a＋1 D.a﹣1 3.如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值(　　) A.扩大3倍 B.缩小3倍 C.不变 D.扩大9倍 4.不改变分式的值，使分子，分母都不含负号： 　　；　　；﹣　　；　　． 5.若，且xyz≠0，则的值为　　． 6.材料一：19世纪俄国伟大作家托尔斯泰的一句名言是这么说的“一个人就好像一个分数，他的实际才能好比分子，而他对自己的估计好比分母．分母越大，则分数的值越小．” 材料二：一天小聪向班长反映一个问题：成绩不好的张凯同学失学了．班长说：“唉，分母变小了，分数值增大了”． 请你针对上述两个材料就“分子与分母”这个话题，结合你身边的实例，谈谈你对分母变大，分数值变小的理解． 7.已知a，b，c，d都不等于0，并且，根据分式的基本性质、等式的基本性质及运算法则，探究下面各组中的两个分式之间有什么关系？然后选择其中一组进行具体说明． （1）和；（2）和；（3）和（a≠b，c≠d）． （提示：可以先用具体数字试验，再对发现的规律进行证明．） 四、约分与最简分式 1.下面是马小虎的答卷，他的得分应是（　　） A.40分 B.60分 C.80分 D.100分 2.下列说法正确的是（　　） A.分式的值为零，则x的值为±1 B.根据分式的基本性质，等式 C.把分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为 D.分式是最简分式 3.若分式可以进行约分化简，则该分式中的A不可以是（　　） A.1 B.x C.﹣x D.4 4.　                   　的分式，叫做最简分式．分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得结果成为最简分式或者　      　． 5.已知M＝． （1）化简M＝　　； （2）若a＝1.6×107，b＝4×103，则M＝　          　．（结果用科学记数法表示） 6.先化简分式，再判断：当整数x取何值时，分式的值是正整数？ 7.阅读理解“约去”指数：如，，…你见过这样的约分吗？面对这荒谬的约分，一笑之后，再认真检验，发现其结果竟然正确！这是什么原因？仔细观察式子，我们可作如下猜想：＝　　.（供参考：x3＋y3＝（x＋y）（x2﹣xy＋y2）） （1）完成猜想＝　　． （2）试证明此猜想的正确性． 五、最简公分母 1.对分式通分时，最简公分母是（　　） A.4x2y B.2xy C.4xy D.4xy2 2.下列各选项中，所求的最简公分母错误的是（　　） A.与的最简公分母是6x B.与最简公分母是3a2b3c C.与的最简公分母是ab（x﹣y）（y﹣x） D.与的最简公分母是m2﹣n2 3.已知分式，a是这两个分式中分母的公因式，b是这两个分式的最简公分母，且，则x的值为（　　） A. B. C. D. 4.的最简公分母是　                　． 5.分式，，的最简公分母是                . 6.已知分式，．若a是这两个分式分母的公因式，b是这两个分式的最简公分母，且，试求这两个分式的值． 7.求一组正整数的最小公倍数是常见的数学问题．中国古代数学专著《九章算术》中便记载了求一组正整数的最小公倍数的一种方法﹣﹣少广术．术曰：“置全步及分母子，以最小分母遍乘诸分子及全步，各以其母除其子，置之于左，命通分者，又以分母遍乘诸分子及已通者，皆通而同之，并之为法、置所求步数．以全步积分乘之为实，实如法而一，得从步，”意思是说，要求一组正整数的最小公倍数，先将所给一组正整数分别变为其倒数，首项前增一项“1”，然后以最末项分母分别乘各项，并约分：再用最末项分数的分母分别乘各项，再约分，…；如此类推，直到各项都为整数止，则首项即为原组正整数之最小公倍数，其实，我们还可以用“少广术”，求一组分式的最简公分母． 例如：求，的最简公分母． 解：第一步：1，；第二步：xy2，，3；第三步：x2y2，2y，3x． 所以，与的最简公分母是x2y2． 请用以上方法解决下列问题： （1）求的最简公分母； （2）求的最简公分母． 六、通分 1.对分式通分以后的结果是（　　） A. B. C. D. 2.分式通分的结果为（　　） A. B. C. D. 3.把通分后，各分式的分子之和为（　　） A.2a2＋7a＋11 B.a2＋8a＋10 C.2a2＋4a＋4 D.4a2＋11a＋13 4.通分要先确定 　     　，如果各分母的系数是整数，通常取各分母系数的_____________与字母因式的 　     　的积作公分母，这样的公分母叫作 　      　． 5.约分的关键是确定分式的分子与分母的　           　，通分的关键是确定n个分式的　                       　． 6.求一组正整数的最小公倍数是常见的数学问题，中国古代数学专著《九章算术》中便记载了求一组正整数最小公倍数的一种方法﹣﹣少广术，术曰：“置全步及分母子，以最下分母遍乘诸分子及全步，各以其母除其子，置之于左．命通分者，又以分母遍乘诸分子及已通者，皆通而同之，并之为法．置所求步数，以全步积分乘之为实．实如法而一，得从步．”意思是说，要求一组正整数的最小公倍数，先将所给一组正整数分别变为其倒数，首项前增一项“1”，然后以最末项分母分别乘各项，并约分；再用最末项分数的分母分别乘各项，再约分，…；如此类推，直到各项都为整数止，则首项即为原组正整数之最小公倍数． 例如：求6与9的最小公倍数． 解：第一步：1，； 第二步：9，，1： 第三步：18，3，2 所以，6与9的最小公倍数是18． 请用以上方法解决下列问题： （1）求54与45的最小公倍数； （2）求三个数6，51，119的最小公倍数． 7.在学习“约分和通分”时，小明和小华都遇到了“化简”这道题． 小明的解法是：＝x﹣y； 小华的解法是：＝x﹣y. 如果你与小明、小华在一个学习小组，请你发表一下自己的意见． 华东师大版八年级下册 16.1 分式及其基本性质 暑假巩固（参考答案） 一、分式有（无）意义的条件 1.根据下列表格中的部分信息，分式M可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由表可知，当x＝﹣2时分式无意义，∴A、D不合题意； ∵当x＝1时，分式的值为0，∴B不符合题意，C符合题意． 故选：C． 2.要使有意义，则x的取值范围为（　　） A.x≠0 B.x＞2022 C.x≠2022 D.x≠﹣2022 【答案】C 【解析】∵分式有意义，∴x﹣2022≠0，∴x≠2022. 故选：C． 3.若分式有意义，则x的取值范围是（　　） A.x＞3 B.x＞﹣3 C.x≠0 D.x≠3 【答案】D 【解析】根据题意得：x﹣3≠0，解得：x≠3. 故选：D. 4.对于分式来说，当x＝﹣1时，分式无意义，则a的值是 　 　． 【答案】﹣1 【解析】当分式无意义时，x﹣a＝0，而此时x＝﹣1．所以a＝﹣1． 5.若式子有意义，则实数x的取值范围是 　  　． 【答案】x≠3 【解析】由题意得：x﹣3≠0，解得：x≠3. 6.已知：代数式，当m为何值时，该式无意义？ 【答案】解：∵代数式无意义，∴m＋1＝0，∴m＝﹣1. 7.当x是什么数时，分式没有意义？ 【答案】解：依题意得：2x2﹣5x＋2＝0， 整理，得（x﹣2）（2x﹣1）＝0 解得x1＝2，x2＝． 综上所述，当x＝2或时，分式没有意义． 二、分式值为零的条件 1.对于分式，当x＝﹣1时其值为0，当x＝1时此分式没有意义，那么（　　） A.a＝b＝﹣1 B.a＝b＝1 C.a＝1，b＝﹣1 D.a＝﹣1，b＝1 【答案】D 【解析】∵分式， 当x＝﹣1时其值为0， 当x＝1时此分式没有意义， ∴x﹣b＝0，x＋a＝0，∴a＋b＝0， ∵当x＝1时此分式没有意义，∴a＝﹣1，b＝1. 故选：D． 2.若分式的值为零，则x的值为（ ） A.0 B.1 C.﹣1 D.±1 【答案】C 【解析】由x2﹣1＝0，得x＝±1． 当x＝1时，x﹣1＝0，故x＝1不合题意； 当x＝﹣1时，x﹣1＝﹣2≠0，所以x＝﹣1时分式的值为0． 故选：C． 3.下列说法正确的是（　　） A.是整式 B.若分式的分子为零，则分式的值为零 C.对于任意实数x，分式总有意义 D.将式子a÷（m＋n）写成分式的形式是 【答案】C 【解析】A．是分式而不是整式，故此项错误，不符合题意； B．若分式的分子为零，且分母不为零，则分式的值为零，故此项错误，不符合题意； C．对于任意实数x，x2＋5＞0，分式总有意义，故此项正确，符合题意； D．将式子a÷（m＋n）写成分式的形式是，故此项错误不符合题意． 故选：C． 4.当x＝　       　时，分式的值等于零． 【答案】－2 【解析】∵分式的值等于零，∴，∴，∴y＝﹣2． 5.当x________且________时，分式的值为0. 【答案】＝0 y≠0 【解析】∵分式的值为0时，首先要使y≠0，并且要使x＝0. 6.当x取什么数时，分式的值为零？ 【答案】解：由题意得1－|x|＝0，解得x＝±1， 当x＝1时，分母(x－1)(x＋2)＝0，分式无意义； 当x＝－1时，分母(x－1)(x＋2)≠0，分式有意义． 综上，当x＝－1时，分式的值为零． 7.已知分式，试问： （1）当m为何值时，分式有意义？ （2）当m为何值时，分式值为0？ 【答案】解：（1）由题意得，m2﹣3x＋2≠0， 解得，m≠1且m≠2. （2）由题意得，（m﹣1）（m﹣3）＝0，m2﹣3x＋2≠0， 解得，m＝3， 则当m＝3时，此分式的值为零． 三、分式的基本性质 1.分式可变形为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】． 故选：B． 2.等式中的未知的分母是（　　） A.a2＋1 B.a2＋a＋1 C.a2＋2a＋1 D.a﹣1 【答案】D 【解析】原式＝. 故选：D. 3.如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值(　　) A.扩大3倍 B.缩小3倍 C.不变 D.扩大9倍 【答案】C 【解析】根据题意，得＝，所以分式的值不变． 故选：C. 4.不改变分式的值，使分子，分母都不含负号： 　　；　　；﹣　　；　　． 【答案】 ﹣ ﹣ 【解析】；﹣；﹣﹣；． 5.若，且xyz≠0，则的值为　　． 【答案】 【解析】设x＝5k，y＝4k，z＝3k， ∵x＋y＋z＝12k，y＋z＝7k，∴． 6.材料一：19世纪俄国伟大作家托尔斯泰的一句名言是这么说的“一个人就好像一个分数，他的实际才能好比分子，而他对自己的估计好比分母．分母越大，则分数的值越小．” 材料二：一天小聪向班长反映一个问题：成绩不好的张凯同学失学了．班长说：“唉，分母变小了，分数值增大了”． 请你针对上述两个材料就“分子与分母”这个话题，结合你身边的实例，谈谈你对分母变大，分数值变小的理解． 【答案】解：材料一：一个人实际才能为n，自己对自己才能的估计为m．因为n为固定值，他自己对自己的估计越大，那么这个分数得出的数值就越小．在分子不变的情况下，分母越大，分数值越小．人越高估自己，就是越自负，即使才能再高，也会因为分母大而使自己的总体分数下降． 简单的说就是人不要把自己的能力估得太高．一个人对自己的估计越高，就越容易产生自满的心理，就越不容易取得进步，做出成绩． 材料二：人数变少了，减少了得分中较小的数字，但平均分增大了． 7.已知a，b，c，d都不等于0，并且，根据分式的基本性质、等式的基本性质及运算法则，探究下面各组中的两个分式之间有什么关系？然后选择其中一组进行具体说明． （1）和；（2）和；（3）和（a≠b，c≠d）． （提示：可以先用具体数字试验，再对发现的规律进行证明．） 【答案】解：例如：取a＝1，b＝2，c＝3，d＝6，有， 则（1）； （2）； （3）， 观察发现各组中的两个分式相等． 现选择第（2）组进行说明证明． 已知a，b，c，d都不等于0，并且，所以有：11，所以有：． 四、约分与最简分式 1.下面是马小虎的答卷，他的得分应是（　　） A.40分 B.60分 C.80分 D.100分 【答案】B 【解析】（1）代数式和的分母中都含有字母，都是分式，正确； （2）当x＝﹣1时，分式无意义，错误； （3）是最简分式，正确； （4）当x＝2时，分式的值为0，错误； （5），分式的值是原来的2倍，正确，所以他的得分是60分． 故选：B． 2.下列说法正确的是（　　） A.分式的值为零，则x的值为±1 B.根据分式的基本性质，等式 C.把分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为 D.分式是最简分式 【答案】D 【解析】A、分式的值为零，则x的值为﹣1，选项错误，不符合题意； B、当x＝0时，没有意义，≠，选项错误，不符合题意； C、把分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为，选项错误，不符合题意； D、分式是最简分式，选项正确，符合题意. 故选：D． 3.若分式可以进行约分化简，则该分式中的A不可以是（　　） A.1 B.x C.﹣x D.4 【答案】C 【解析】A＝1或x或4时，分子分母有公因式，可以约分． 故选：C． 4.　                   　的分式，叫做最简分式．分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得结果成为最简分式或者　      　． 【答案】分子和分母除1以外没有其它的公因式 整式 【解析】分子和分母除1以外没有其它的公因式的分式叫最简分式，分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得结果成为最简分式或者整式． 5.已知M＝． （1）化简M＝　　； （2）若a＝1.6×107，b＝4×103，则M＝　          　．（结果用科学记数法表示） 【答案】（1）；（2）3.2×1010 【解析】（1）M＝； （2）当a＝1.6×107，b＝4×103时，M＝＝＝3.2×1010. 6.先化简分式，再判断：当整数x取何值时，分式的值是正整数？ 【答案】解：， 当x＝2时，原式＝＝3， 当x＝4时，原式＝＝1， ∴当x＝2或4时，分式的值是正整数． 7.阅读理解“约去”指数：如，，…你见过这样的约分吗？面对这荒谬的约分，一笑之后，再认真检验，发现其结果竟然正确！这是什么原因？仔细观察式子，我们可作如下猜想：＝　　.（供参考：x3＋y3＝（x＋y）（x2﹣xy＋y2）） （1）完成猜想＝　　． （2）试证明此猜想的正确性． 【答案】解：（1）. （2）证明： ＝ ＝ ＝ ＝． 五、最简公分母 1.对分式通分时，最简公分母是（　　） A.4x2y B.2xy C.4xy D.4xy2 【答案】C 【解析】最简公分母是：4xy． 故选：C． 2.下列各选项中，所求的最简公分母错误的是（　　） A.与的最简公分母是6x B.与最简公分母是3a2b3c C.与的最简公分母是ab（x﹣y）（y﹣x） D.与的最简公分母是m2﹣n2 【答案】C 【解析】A、与的最简公分母是6x，此选项正确； B、与最简公分母是3a2b3c，此选项正确； C、与的最简公分母是ab（x﹣y）或ab（y﹣x），此选项错误； D、与的最简公分母是m2﹣n2，此选项正确. 故选：C． 3.已知分式，a是这两个分式中分母的公因式，b是这两个分式的最简公分母，且，则x的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】两分式分母的公因式为a＝x＋1，最简公分母为b＝2（x＋1）（x﹣1）， ∴＝3，即x＝． 故选：B． 4.的最简公分母是　                　． 【答案】12（x﹣y）x2y 【解析】的公分母是12（x﹣y）x2y． 5.分式，，的最简公分母是                . 【答案】24xyz2 【解析】∵分式，，的分母分别为：12x，6xy，8z2， ∴分式，，的最简公分母是24xyz2． 6.已知分式，．若a是这两个分式分母的公因式，b是这两个分式的最简公分母，且，试求这两个分式的值． 【答案】解：两分式分母的公因式为a＝x﹣1，最简公分母为b＝3（x＋1）（x﹣1）， ∴＝3（x＋1）＝﹣6，即x＝﹣3． 则＝＝，＝＝﹣． 7.求一组正整数的最小公倍数是常见的数学问题．中国古代数学专著《九章算术》中便记载了求一组正整数的最小公倍数的一种方法﹣﹣少广术．术曰：“置全步及分母子，以最小分母遍乘诸分子及全步，各以其母除其子，置之于左，命通分者，又以分母遍乘诸分子及已通者，皆通而同之，并之为法、置所求步数．以全步积分乘之为实，实如法而一，得从步，”意思是说，要求一组正整数的最小公倍数，先将所给一组正整数分别变为其倒数，首项前增一项“1”，然后以最末项分母分别乘各项，并约分：再用最末项分数的分母分别乘各项，再约分，…；如此类推，直到各项都为整数止，则首项即为原组正整数之最小公倍数，其实，我们还可以用“少广术”，求一组分式的最简公分母． 例如：求，的最简公分母． 解：第一步：1，；第二步：xy2，，3；第三步：x2y2，2y，3x． 所以，与的最简公分母是x2y2． 请用以上方法解决下列问题： （1）求的最简公分母； （2）求的最简公分母． 【答案】解：（1）第一步：1，； 第二步：ac，，b； 第三步：abc，c2，a2，b2． 所以，求的最简公分母是abc. （2）第一步：1，； 第二步：4x3z2，，5； 第三步：12x3y2z2，，2x2z2，15y2 第四步，12x3y2z3，18xy，2x2z3，15y2z， 所以，的最简公分母是12x3y2z3． 六、通分 1.对分式通分以后的结果是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分式的最简公分母是（a＋b）（a﹣b）， 所以通分以后的结果是． 故选：B． 2.分式通分的结果为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】的最简公分母为12a2b2c， ∴分式通分的结果为． 故选：A． 3.把通分后，各分式的分子之和为（　　） A.2a2＋7a＋11 B.a2＋8a＋10 C.2a2＋4a＋4 D.4a2＋11a＋13 【答案】A 【解析】 ， ， 所以把通分后， 各分式的分子之和为﹣（a＋1）2＋6（a＋2）＋3a（a＋1）＝2a2＋7a＋11. 故选：A． 4.通分要先确定 　     　，如果各分母的系数是整数，通常取各分母系数的_____________与字母因式的 　     　的积作公分母，这样的公分母叫作 　      　． 【答案】最简公分母 最小公倍数 最高次幂 通分 【解析】通分要先确定最简公分母，如果各分母的系数是整数，通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫作通分． 5.约分的关键是确定分式的分子与分母的　           　，通分的关键是确定n个分式的　                       　． 【答案】公因式 最简公分母 【解析】约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分，所以约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式；把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．通分的关键是确定最简公分母． 6.求一组正整数的最小公倍数是常见的数学问题，中国古代数学专著《九章算术》中便记载了求一组正整数最小公倍数的一种方法﹣﹣少广术，术曰：“置全步及分母子，以最下分母遍乘诸分子及全步，各以其母除其子，置之于左．命通分者，又以分母遍乘诸分子及已通者，皆通而同之，并之为法．置所求步数，以全步积分乘之为实．实如法而一，得从步．”意思是说，要求一组正整数的最小公倍数，先将所给一组正整数分别变为其倒数，首项前增一项“1”，然后以最末项分母分别乘各项，并约分；再用最末项分数的分母分别乘各项，再约分，…；如此类推，直到各项都为整数止，则首项即为原组正整数之最小公倍数． 例如：求6与9的最小公倍数． 解：第一步：1，； 第二步：9，，1： 第三步：18，3，2 所以，6与9的最小公倍数是18． 请用以上方法解决下列问题： （1）求54与45的最小公倍数； （2）求三个数6，51，119的最小公倍数． 【答案】解：（1）第一步：1，，； 第二步：45，，1； 第三步：270，5，6； 所以，54与45的最小公倍数是270． （2）第一步：1，，，； 第二步：119，，，1； 第三步：357，，7，3； 第四步：714，119，14，6； 所以6，51，119的最小公倍数是714． 7.在学习“约分和通分”时，小明和小华都遇到了“化简”这道题． 小明的解法是：＝x﹣y； 小华的解法是：＝x﹣y. 如果你与小明、小华在一个学习小组，请你发表一下自己的意见． 【答案】解：小明的解法正确．理由如下： 小华的解法是：＝x﹣y， 这里分子、分母同时乘以（x﹣y），若x﹣y＝0时，该方法不合适． 学科网（北京）股份有限公司 $$