山西省晋中市和顺县2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷

2024-2025学年山西省晋中市和顺县八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.“致中和，天地位焉，万物育焉”.对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑，器物，绘画，标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年.下面四个标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2.若分式有意义，则a的取值范围是(    ) A. B. C. D. 3.下列由左到右的变形，属于因式分解的是(    ) A. B. C. D. 4.若，则下列结论不一定正确的是(    ) A. B. C. D. 5.若是一个最简分式，则可以是(    ) A. x B. C. 4 D. 4x 6.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点若，，，则BC的长为(    ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7.如图，将沿BA方向平移，得到若，，则AE的长为(    ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 8.天龙山公路，高低落差较大，全长30km，被誉为“云端上的公路”.爱旅游的马老师自驾游览天龙山公路，已知返程时的平均速度比去时慢，结果返程比去时多用了，求马老师去时的平均速度.设马老师去时的平均速度为，则下列方程正确的是(    ) A. B. C. D. 9.在平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论正确的是(    ) A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 10.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，的平分线与边AB相交于点P，E是PD中点，若，，则EO的长为(    ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.若点与点关于原点对称，则m，n的值分别为______. 12.若把分式的x、y同时变为原来的10倍，则分式的值______填变大，变小，不变 13.如图，把电阻值分别为，的两电阻并联后接入某电路中，已知其总电阻值单位：满足，若R的电阻值是，的电阻值是，则的电阻值是______ 14.如图，将绕点C顺时针旋转得到，若点A，D，E在同一条直线上，，，则AD的长为______. 15.如图，在▱ABCD中，M，N是AD，BC上的点，连接MN交对角线BD于点E，且E是BD的中点，连接BM，下列结论：①；②若，，则；③若，则其中正确的是______填序号 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题12分 因式分解：； 因式分解：； 解不等式组： 17.本小题6分 下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务. …第一步 …第二步 …第三步 …第四步 …第五步 …第六步 任务一： ①以上化简步骤中，第______步是进行分式的通分，通分的依据是______； ②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______. 任条二： 请直接写出该分式化简的最后结果. 任务三： 除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议. 18.本小题6分 利用因式分解说明能被33整除. 19.本小题8分 已知：如图，，射线BC上一点 求作：等腰，使线段BD为等腰的底边，点P在内部，且点P到两边的距离相等． 在的条件下若于F，求的度数． 20.本小题10分 依据最新出台的山西初中体育与健康学业水平考试方案，2025年山西中考体育成绩将以60分计人总成绩中，必考项目包括1000米跑男生、800米跑女生、立定跳远、三大球任选一项等，选考项目包括一分钟跳绳、一分钟仰卧起坐等.为适应学生体育课学习、日常参与体育锻炼，左权县某中学购买A，B两种型号的跳绳共110根，且购买A型号跳绳与B型号跳绳的费用都是1500元，已知A型号跳绳的单价是B型号跳绳单价的倍. 求：A，B两种型号跳绳的单价各是多少？ 若学校计划用不超过7000元的资金再次购买这两种跳绳共260根，已知两种跳绳的价格不变，求：A型号跳绳最多可购买多少根？ 21.本小题10分 如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是CD的中点，连接BE并延长，交AD的延长线于点F，连接 请判断四边形BCFD的形状，并说明理由； 若，，，求BF的长. 22.本小题10分 阅读与思考：请阅读下面小论文，并完成相应学习任务. 关于同一种正多边形的平面密铺平面密铺是指用一些形状大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地把平面的一部分完全覆盖.一般来说，构成一个平面密铺图形的基本图形是多边形或类似的一些常规形状，例如我们铺地板时经常使用正方形地砖.对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成个三角形，得到其内角和是，则一个内角的度数就是，若一个内角度数能整除，那么这样的正n边形就可以进行平面密铺.图1和图2就是分别利用正三角形和正方形得到的两组密铺图案.如图3，按照平面密铺的条件，正五边形就不能进行平面密铺.对于一些不规则的多边形，全等三角形或全等四边形也可以进行平面密铺.图4就是利用全等的四边形设计出的平面密铺图案.对于不规则的凸五边形，迄今为止发现了15种能用于平面密铺的五边形.德国数学家莱因哈特凭借其出色的平面几何功底与直觉，从1918年开始，陆续发现了前5种五边形密铺方式年，美国华盛顿大学数学教授卡西曼夫妇发现了第15种能用于平面密铺的五边形.图5就是利用不规则的凸五边形得到的一种密铺图案. 学习任务： 填空：上面小论文中提到“对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成个三角形，得到其内角和是”，其中体现的数学思想主要是______填出字母代号即可 A.数形结合思想转化思想方程思想 图3中角1的度数是______. 除“正三角形”“正四边形”外，请再写出一种可以进行密铺的正多边形：______. 图6是图5中的一个基本图形，其中，，并且求证： 23.本小题13分 综合与实践 【问题情境】 综合与实践课上，老师让同学们以”两个含角的完全相同的直角三角形ABC和直角三角形拼摆”为主题开展教学活动. 【操作思考】 “明辨”小组先将两个三角形如图①所示重叠放置，然后将其中一个绕点C顺时针旋转得到，旋转角为，当恰好经过点B时得到图②，求此时旋转角的度数； “善思”小组将两个三角形较长的直角边靠在一起，拼成了图③所示的三角形，然后将以点C为旋转中心，逆时针旋转，如图④所示，AB与相交于点O，连接OC，，试判断CO与的关系，并说明理由； 【拓展探究】 如图⑤，“博学”小组在图②的基础上，剪出一个与完全一样的三角形纸片，与其重叠放置，并将其沿直线平移，平移后，点B，C，的对应点分别为点D，E，若，当是以为顶角的等腰三角形时，请直接写出平移的距离. 答案和解析 1.【答案】D  【解析】解：根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断如下： A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意． 故选： 本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．轴对称图形：将图形沿一条直线折叠两边完全重合的图形是轴对称图形．根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 本题考查了中心对称图形的概念，正确记忆中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．轴对称图形：将图形沿一条直线折叠两边完全重合的图形是轴对称图形是解题关键． 2.【答案】B  【解析】解：分式有意义， ，解得， 故选： 根据分式有意义条件分式分母不为零建立不等式求解，即可解题． 本题考查分式有意义的条件，正确可以相关知识点是解题关键． 3.【答案】C  【解析】解：中不是整式，则A不符合题意， 中等号右边不是积的形式，则B不符合题意， 符合因式分解的定义，则C符合题意， 中等号右边不是积的形式，则D不符合题意， 故选： 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此进行判断即可． 本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键． 4.【答案】D  【解析】解：若，则，故选项A正确； B.若，则，，故选项B正确； C.若，则，故选项C正确； D.当时，，则，故选项D不一定正确． 故选： 根据不等式的性质，绝对值性质解答即可． 本题考查了不等式的性质，绝对值，掌握不等式的性质，绝对值的性质是解题的关键． 5.【答案】A  【解析】解：当是x时，原式，原式是最简分式，故A选项符合题意； 当是时，原式，原式不是最简分式，故B选项不符合题意； 当是4时，原式，原式不是最简分式，故C选项不符合题意； 当是4x时，原式，原式不是最简分式，故D选项不符合题意， 故选： 把各选项中的式子分别代入，然后根据最简分式的定义进行判断． 本题考查了最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． 6.【答案】C  【解析】解：四边形ABCD为平行四边形， ，， ， ， 故选： 先由平行四边形的性质得到，，再由勾股定理得到 本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 7.【答案】C  【解析】解：观察图形可知：将沿BC方向平移到，根据对应点连接的线段平行且相等，得， ，， ， ， 故选： 根据平移的性质，对应点连接的线段相等，求得，再由，得出BE的长，进而可得出结论． 本题考查的是平移的性质，熟知图形平移后不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等是解题的关键． 8.【答案】D  【解析】解：根据题意得：， 故选： 利用“结果返程比去时多用了”列出方程即可． 本题考查由实际问题抽象出分式方程，正确分析方程中的量与量之间的关系是解题关键． 9.【答案】C  【解析】解：由图象得：当时，，当时，； 故选： 根据一次函数与不等式的关系求解． 本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数图象与性质，掌握数形结合思想是解题的关键． 10.【答案】A  【解析】解：在平行四边形ABCD中，，，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 是PD的中点，O是BD的中点， 是的中位线， ， 故选： 根据平行四边形的性质可得，，，可得，根据DP平分，可得，从而可得，可得，进一步可得PB的长，再根据三角形中位线定理可得，即可求出EO的长． 本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握这些知识是解题的关键． 11.【答案】2，  【解析】解：点与点关于原点对称， ， 故答案为：2， 根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案． 本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数． 12.【答案】不变  【解析】解：分式的x、y同时变为原来的10倍，可得 ，与原分式相同， 故答案为：不变． 根据分式的基本性质即可求出答案． 本题考查分式的基本性质，分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变． 13.【答案】  【解析】解：由题意得， 去分母得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解且符合实际， 即的电阻值是， 故答案为： 根据题意列得关于的分式方程，解方程并检验即可． 本题考查分式方程的应用，理解题意并列得正确的方程是解题的关键． 14.【答案】  【解析】解：将绕点C顺时针旋转得到， ，，， ， ， 故答案为： 由旋转可得，，，即可得，故 本题考查旋转的性质，解题的关键是掌握旋转前后对应角相等，对应边相等． 15.【答案】①②③  【解析】解：四边形ABCD是平行四边形， ，， ， 是BD的中点， ， 在和中， ， ≌， ， ， ， 故①正确； 如图，，， ，， ， ， ， 四边形ABNM是平行四边形， ， 垂直平分BC， ， 故②正确； ，且，，， ， ， ， ， ， ， 故③正确， 故答案为：①②③． 由平行四边形的性质得，，则，而，，可证明≌，得，所以，可判断①正确；当，时，因为，，所以，则，可证明四边形ABNM是平行四边形，则，所以MN垂直平分BC，则，可判断②正确；由，且，，得，所以，因为，所以，则，可判断③正确，于是得到问题的答案． 此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质等知识，证明≌是解题的关键． 16.【答案】；   ；     【解析】 ； ； ， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集是 先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可； 先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； 分别解不等式①、②，然后找出它们的公共部分即可． 本题考查了解一元一次不等式组，提公因式法与公式法的综合运用，正确计算是解题的关键． 17.【答案】三  分式的基本性质  五  去括号时，括号内的第二项没有变号  【解析】解：任务一： ①以上化简步骤中，第三步是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质， 故答案为：三，分式的基本性质； ②第五步开始出现错误，这一步错误的原因是去括号时，括号内的第二项没有变号， 故答案为：五；去括号时，括号内的第二项没有变号； 任条二： ； 任务三：答案不唯一， 建议一：最后结果应化为最简分式或整式； 建议二：约分、通分时，应根据分式的基本性质进行变形． 任务一：①以上化简步骤中，第三步是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质； ②第五步开始出现错误，这一步错误的原因是去括号时，括号内的第二项没有变号； 任务二：先变形，然后约分，再通分即可； 任务三：写出合理化的建议即可，答案不唯一． 本题考查分式的混合运算、通分，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 18.【答案】能被33整除．  【解析】解： ， 因为能被33整除， 所以能被33整除． 可先提取公因式对原式进行因式分解，然后判断分解后的式子是否含有因数33，若含有则能被33整除． 本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是用提公因式法将式子进行因式分解． 19.【答案】解：如图，即为所求． ， ， ， ， ， ， ， ，   【解析】作的角平分线交线段BD的垂直平分线于点P，点P即为所求． 利用三角形内角和定理即可解决问题． 本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 20.【答案】A型号跳绳的单价是30元，B型号跳绳的单价是25元；   A型号跳绳最多可购买100根．  【解析】设B型号跳绳的单价是x元，则A型号跳绳的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 元 答：A型号跳绳的单价是30元，B型号跳绳的单价是25元； 设A型号跳绳购买y根，则B型号跳绳购买根， 根据题意得：， 解得：， 的最大值为 答：A型号跳绳最多可购买100根． 设B型号跳绳的单价是x元，则A型号跳绳的单价是元，利用数量=总价单价，结合“左权县某中学购买A，B两种型号的跳绳共110根，且购买A型号跳绳与B型号跳绳的费用都是1500元”，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值即B型号跳绳的单价，再将其代入中，即可求出A型号跳绳的单价； 设A型号跳绳购买y根，则B型号跳绳购买根，利用总价=单价数量，结合总价不超过7000元，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 21.【答案】四边形BCFD是平行四边形，理由见解答；   BF的长为  【解析】四边形BCFD是平行四边形， 理由：四边形ABCD是平行四边形，点F在AD的延长线上， ， ， 是CD的中点， ， 在和中， ， ≌， ， 四边形BCFD是平行四边形． 解：，， ， ， 垂直平分AF， ， ，，， ， ， 的长为 由平行四边形的性质得，则，由E是CD的中点，得，而，即可根据“AAS”证明≌，则，所以四边形BCFD是平行四边形； 由，，得，而，则BD垂直平分AF，所以，由，，求得 此题重点考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，证明≌是解题的关键． 22.【答案】B；   ；   正六边形；   证明见解答．  【解析】解：根据题意，对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成个三角形，得到其内角和是，可得体现的数学思想主要是转化思想， 故选： 解：， 故答案为： 解：正六边形的每个内角为， ， 依题意，一种可以进行密铺的正多边形为正六边形， 故答案为：正六边形． 证明：如图所示，连接BE，分别过点C，D作，垂足分别为N，M， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ≌， 根据题意将多边形转化为三角形解决问题，体现的是转化思想，据此即可求解； 根据正五边形的三个内角的和与周角的差即可求解； 根据平面镶嵌的正多边形的内角能被整除，即可求解； 先证明是等边三角形，进而证明，根据平行线间的距离相等可得，进而根据 AAS证明≌，根据全等三角形的性质，即可得证． 本题考查四边形的综合应用，主要考查了平面镶嵌，正多边形的内角和与外角，全等三角形的性质与判定，掌握平面镶嵌，正多边形的内角和与外角，全等三角形的性质与判定是解题的关键． 23.【答案】；   CO垂直平分，理由见解析；   平移的距离为或  【解析】如图2，绕点C顺时针旋转得到， ， ，， ， 是等边三角形， ， 即； 垂直平分，理由如下： 绕点C逆时针旋转到如图的位置， ， ， ， ， ， ， 垂直平分； ①如图4，延长AC，作于点G，连接BD，，， ，，， ，， ，且是等边三角形， ， ，， ， 在中，， 沿射线的方向平移得到， ， ， ， ，， 是以为顶角的等腰三角形时， ， 在中，， ， ②如图5，连接DB并延长交于点J，连接，， 由①得，，， 是以为顶角的等腰三角形时， ， 在中，， ， 综上所述，当是以为顶角的等腰三角形时，平移的距离为或 如图2，由绕点C顺时针旋转得到，得到，求得，根据等边三角形的性质得到； 根据旋转的性质得到，求得，得到，于是得到CO垂直平分； ①如图4，延长AC，作于点G，连接BD，，，得到，，根据等边三角形的性质得到，求得，，根据勾股定理得到，根据平移的性质得到，求得，根据勾股定理得到，求得，②如图5，连接DB并延长交于点J，连接，，由①得，，，根据勾股定理得到，求得 本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，特殊直角三角形的性质，等腰三角形的定义，平行的性质，旋转、平移的性质等知识，综合性较强，熟练掌握旋转、平移的性质是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$