2.3有理数的乘方 同步讲义-2025-2026学年七年级数学上册人教版（2024）

第二章 有理数的运算 2.3有理数的乘方 模块导引： 学习目标 知识精讲 思维导图 考点解析 课后作业 . 理解有理数乘方的意义，能准确阐述相关概念。​ . 熟练进行有理数乘方运算，掌握运算规律。​ . 体会乘方运算与乘法运算的关联，培养数学思维。 . 掌握科学记数法的表示方式 一．有理数的乘方 一般地，个相同的因数相乘，即，记作，读作的次方.求个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂. 在中，叫做底数，叫做指数.读作的次方，也可以读作的次幂. 二．有理数的乘方运算 （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （3）0的任何正整数次幂都是0； （4）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值. 三．科学记数法 把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数． 考点一：有理数幂的概念理解 1．（2025·河北邯郸·三模）代数式可以表示成（    ） A．3个相乘 B．个3相乘 C．3个相加 D．个3相加 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）的意义是（　　） A．4个相乘 B．4个相加 C．乘以4 D．的相反数 3．（2021·河北石家庄·一模）若为整数，则表示的是（   ） A．3个相乘 B．2个相加 C．3个相加 D．5个相乘 考点二：有理数的乘方运算 5．（24-25七年级上·贵州六盘水·期末）计算的结果正确的是（   ） A． B． C．9 D．27 6．（24-25七年级下·贵州贵阳·期末）可表示为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24九年级下·山东德州·阶段练习）计算（m个3，n个4）的结果是（   ） A． B． C．+4n D． 8．（2025·四川宜宾·模拟预测）下列四个数：，，，，其中负数的个数是（  ） A．个 B．个 C．个 D．个 考点三：乘方运算的符号规律 9．（24-25七年级上·河南郑州·期末）当时，下列各式成立的有（　　） ①；②；③；④． A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④ 10．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）下列各数：，，，0，在数轴上所对应的点在原点右边的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段练习）计算：（   ） A． B． C．0 D．2 12．（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段练习）若 ，则一定有（   ） A． B． C． D． 考点四.乘方的应用 13．（24-25七年级上·广东东莞·期中）二进制记数法是指只使用数字0，1，进行计数，计数的进位方法是“逢二进一”，如：二进制数1101记为11012，11012通过式子1×23+1×22+0×2+1可以转换为十进制数13，仿上面的转换，将二进制数110002转换为十进制数是（　　） A．48 B．24 C．64 D．66 14．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）当时，，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 15．（23-24九年级上·甘肃兰州·期中）你喜欢吃兰州牛肉面吗？拉面的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如下图所示．请问要想拉出128根面条，需要捏合的次数是（   ） A．5次 B．6次 C．7次 D．8次 16．（2025·贵州六盘水·二模）如果哪吒的法宝混天绫每秒在原有8米的长度上翻一倍，那么在第10秒时的长度大概相当于多少个标准篮球场的周长（   ） A．50个 B．100个 C．150个 D．200个 考点五.用科学记数法表示绝对值大于1的数 17．（2025·湖北武汉·模拟预测）国产动漫《哪吒之降世魔童》票房已斩获15800000000元，开启了国漫市场崛起新篇章，将数据15800000000用科学记数法表示是（    ） A． B． C． D． 18．（2025·河南驻马店·三模）2025年4月22日，影片《哪吒之魔童闹海》全球票房突破157亿元．数据“157亿”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 19．（2025·河南驻马店·三模）今年3月22日是第三十三届“世界水日”．从宣传活动了解到去年南水北调中线工程向河南供水26.73亿立方米，受益人口增至3500万人．数据“3500万”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 20．（24-25九年级下·江西抚州·阶段练习）江西省发布2024年10件民生实事，在支持重点群体就业创业方面，调整完善创业担保贷款政策，全年增加安排担保基金6000万元．将6000万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（　　） A．0 B． C． D． 2．计算（m个3，n个4）的结果是（   ） A． B． C．+4n D． 3．下列四个数：，，，，其中负数的个数是（  ） A．个 B．个 C．个 D．个 4．若，，，那么，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 5．已知与互为相反数，且，下列各式不成立的是（   ） A． B． C． D． 6．下列各组数中，相等的一组是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 7．的计算结果是（　　） A． B．16 C．6 D．8 8．计算：的结果是（    ） A．9 B． C． D．36 9．在，，，，，中，负数的个数为（      ） A．2 B．3 C．4 D．5 10．我国首艘大洋钻探船“梦想”号是目前全球钴探能力最强、科研实验功能最全、智能化水平最高的超深水钻探科考船，最大钻深可达11000米，标志着中国深海探测技术的重大突破．数据11000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 11．据统计，2024年福建省地区生产总值57761.02亿元，比上年增长，实现全年预期目标．将57761.02亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 12．在2025年初的科技界，一款名为DeepSeek的人工智能应用程序异军突起，引发了全球用户的热烈关注．这款应用于1月11日正式上线，仅仅数周时间就迎来了破亿的下载量，显示了其强大的市场吸引力．根据数据分析，自发布至2月9日，DeepSeek的累计下载量已突破亿．将数据亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 13．规定一种运算，，则的值为 ． 14．若，且，则的值为 ． 15．若，则 ． 16．我国国土面积9600000平方千米，这个数字用科学记数法表示应记作 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 有理数的运算 2.3有理数的乘方 模块导引： 学习目标 知识精讲 思维导图 考点解析 课后作业 . 理解有理数乘方的意义，能准确阐述相关概念。​ . 熟练进行有理数乘方运算，掌握运算规律。​ . 体会乘方运算与乘法运算的关联，培养数学思维。 . 掌握科学记数法的表示方式 一．有理数的乘方 一般地，个相同的因数相乘，即，记作，读作的次方.求个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂. 在中，叫做底数，叫做指数.读作的次方，也可以读作的次幂. 二．有理数的乘方运算 （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （3）0的任何正整数次幂都是0； （4）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值. 三．科学记数法 把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数． 考点一：有理数幂的概念理解 1．（2025·河北邯郸·三模）代数式可以表示成（    ） A．3个相乘 B．个3相乘 C．3个相加 D．个3相加 【答案】A 【分析】本题主要考查了乘方运算的概念．将化为，即可进行解答． 【详解】解：∵， ∴可以表示成3个相乘， 故选：A． 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）的意义是（　　） A．4个相乘 B．4个相加 C．乘以4 D．的相反数 【答案】D 【分析】本题考查了乘法与乘方的定义，以及相反数．掌握相关区别是解题关键．根据乘方和乘法以及相反数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、4个相乘对应，不符合题意； B、4个相加对应，不符合题意； C、乘以4对应，不符合题意； D、的相反数对应，符合题意； 故选：D． 3．（2021·河北石家庄·一模）若为整数，则表示的是（   ） A．3个相乘 B．2个相加 C．3个相加 D．5个相乘 【答案】A 【分析】本题考查幂的乘方运算，熟练掌握并理解幂的乘方等于底数不变，指数相乘是解题的关键．根据幂的乘方法则：，即幂的乘方等于底数不变，指数相乘，进行分析即可． 【详解】解：表示3个相乘或者表示6个相乘． 故选：A． 考点二：有理数的乘方运算 5．（24-25七年级上·贵州六盘水·期末）计算的结果正确的是（   ） A． B． C．9 D．27 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘方，需明确负号是否参与指数运算． 根据运算顺序，指数运算优先于乘法．题目中的表达式应理解为先计算，再取负数． 【详解】解：， 故选：A． 6．（24-25七年级下·贵州贵阳·期末）可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查指数的基本概念，明确指数表示底数相乘的次数是解决本题的关键． 根据指数表示的是底数相乘的次数即可求解． 【详解】根据指数定义，表示2个3相乘，即，故选项A正确， 选项B：，结果不符； 选项C：，结果不符； 选项D：，结果不符． 故选：A． 7．（23-24九年级下·山东德州·阶段练习）计算（m个3，n个4）的结果是（   ） A． B． C．+4n D． 【答案】D 【分析】本题考查乘法的意义，乘方的意义，根据乘法的意义和乘方的意义即可作出判断． 【详解】解：∵m个3相加可记为，n个4相乘可记为， ∴计算， 故选：D． 8．（2025·四川宜宾·模拟预测）下列四个数：，，，，其中负数的个数是（  ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查的是负数的含义，化简多重符号，乘方运算的含义，熟练的化简各数再作判断是解本题的关键． 【详解】解：，，，， ∴负数有：，共2个； 故选：B． 考点三：乘方运算的符号规律 9．（24-25七年级上·河南郑州·期末）当时，下列各式成立的有（　　） ①；②；③；④． A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题考查乘方的运算，掌握乘方的运算法则是解题的关键． 根据乘方的意义进行判断即可． 【详解】解：当时， ①，正确． ②，正确． ③，故错误． ④，则，故错误． 故选：A． 10．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）下列各数：，，，0，在数轴上所对应的点在原点右边的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查数轴上点的分布与数的正负性，幂的符号法则．在数轴上，原点右边的点表示的数是正数，原点左边的点表示的数是负数，原点为0．正数的任何次幂都是正数，负数的偶次幂为正数，负数的奇次幂是负数．熟练掌握幂的符号法则是解决本题的关键．确定题目中给出每个数的正负性即可回答此题． 【详解】解：，，， ∴在数轴上所对应的点一定在原点右边的数是，共1个， 故选：A． 11．（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段练习）计算：（   ） A． B． C．0 D．2 【答案】C 【分析】本题考查的是乘方运算的含义，根据乘方的意义先确定符号，再计算即可． 【详解】解：， 故选：C 12．（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段练习）若 ，则一定有（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是乘方运算的符号规律，分别根据，，进行探究即可得到答案． 【详解】解：当，则， 当，则， 当，则，则， ∴当，则， 故选：C 考点四.乘方的应用 13．（24-25七年级上·广东东莞·期中）二进制记数法是指只使用数字0，1，进行计数，计数的进位方法是“逢二进一”，如：二进制数1101记为11012，11012通过式子1×23+1×22+0×2+1可以转换为十进制数13，仿上面的转换，将二进制数110002转换为十进制数是（　　） A．48 B．24 C．64 D．66 【答案】B 【分析】本题考查有理数乘方的应用，有理数混合运算，将二进制数转换为十进制数的方法是每一位上的数字乘以对应的2的幂次方，再相加求和。 【详解】解： 故选：B 14．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）当时，，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查绝对值，乘方，倒数，负数的大小关系，当时，为负数，需分别分析、、的值的大小关系即可． 【详解】解：∵， ∴是负数， 为的绝对值，恒为正，即， 为负数，且当接近时，，当接近时，趋向负无穷，故， 为的平方，恒为正，且， ∵为负数，和均为正数， ∴故且， 当时，平方后数值更小，即（例如时，）， ∴， 故选：D． 15．（23-24九年级上·甘肃兰州·期中）你喜欢吃兰州牛肉面吗？拉面的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如下图所示．请问要想拉出128根面条，需要捏合的次数是（   ） A．5次 B．6次 C．7次 D．8次 【答案】C 【分析】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键． 根据题意归纳总结得到第n次捏合，可拉出根面条，结合可得到结果． 【详解】第一次捏合，可拉出2根面条；第二次捏合，可拉出根面条；第三次捏合，可拉出根面条； 以此类推，第n次捏合，可拉出根面条， 又， 第7次捏合，可拉出128根面条． 故选：C． 16．（2025·贵州六盘水·二模）如果哪吒的法宝混天绫每秒在原有8米的长度上翻一倍，那么在第10秒时的长度大概相当于多少个标准篮球场的周长（   ） A．50个 B．100个 C．150个 D．200个 【答案】B 【分析】本题考查含乘方的有理数的混合运算，乘方的应用，根据题意，正确列出算式是解题的关键． 根据1个标准篮球场的周长为86米，列式为再计算即可求解． 【详解】解：∵1个标准篮球场的周长为86米， ∴（个）， ∴在第10秒时的长度大概相当于100个标准篮球场的周长． 故选：B． 考点五.用科学记数法表示绝对值大于1的数 17．（2025·湖北武汉·模拟预测）国产动漫《哪吒之降世魔童》票房已斩获15800000000元，开启了国漫市场崛起新篇章，将数据15800000000用科学记数法表示是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：， 故选：C． 18．（2025·河南驻马店·三模）2025年4月22日，影片《哪吒之魔童闹海》全球票房突破157亿元．数据“157亿”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了科学记数法的概念，熟悉科学记数法的概念是解题的关键． 将157亿转换为科学记数法，需将其表示为的形式，其中，为整数． 【详解】157亿即，． 故选：D． 19．（2025·河南驻马店·三模）今年3月22日是第三十三届“世界水日”．从宣传活动了解到去年南水北调中线工程向河南供水26.73亿立方米，受益人口增至3500万人．数据“3500万”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法的概念，熟悉科学记数法的概念是解题的关键． 将3500万转换为科学记数法，需将其表示为的形式，其中，为整数． 【详解】3500万即，． 故选：C． 20．（24-25九年级下·江西抚州·阶段练习）江西省发布2024年10件民生实事，在支持重点群体就业创业方面，调整完善创业担保贷款政策，全年增加安排担保基金6000万元．将6000万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：6000万． 故选B． 一、单选题 1．（　　） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减． 【详解】 ． 故选：A． 2．计算（m个3，n个4）的结果是（   ） A． B． C．+4n D． 【答案】D 【分析】本题考查乘法的意义，乘方的意义，根据乘法的意义和乘方的意义即可作出判断． 【详解】解：∵m个3相加可记为，n个4相乘可记为， ∴计算， 故选：D． 3．下列四个数：，，，，其中负数的个数是（  ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查的是负数的含义，化简多重符号，乘方运算的含义，熟练的化简各数再作判断是解本题的关键． 【详解】解：，，，， ∴负数有：，共2个； 故选：B． 4．若，，，那么，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的乘法、乘方运算及大小比较，先根据运算法则求出、、，再结合正数大于0，0大于负数判断即可得到答案． 【详解】解：由题意可得： ，，， ∵， ∴， 故选：B． 5．已知与互为相反数，且，下列各式不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相反数只有符号不同的两个数，平方运算，绝对值，有理数的除法，计算解答即可． 本题考查了相反数，绝对值，有理数的平方，除法，熟练掌握性质和运算是解题的关键． 【详解】解：A. ，正确，不符合题意；     B. 因，则，正确，不符合题意；     C. ，错误，符合题意； D. 由，得，正确，不符合题意； 故选：C． 6．下列各组数中，相等的一组是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题考查有理数的运算，涉及相反数、绝对值、乘方等基本运算，需注意运算顺序及符号处理，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、，，两者不相等，故不符合题意； B、，，结果不同，故不符合题意； C、，，结果相等，故符合题意； D、，，数值不同，故不符合题意； 故选：C． 7．的计算结果是（　　） A． B．16 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查幂的乘方，根据幂的乘方的运算法则计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故选：B． 8．计算：的结果是（    ） A．9 B． C． D．36 【答案】D 【分析】本题考查有理数的混合运算，先算乘方，并把除法转化为乘法，再算乘法即可． 【详解】解： 故选 D． 9．在，，，，，中，负数的个数为（      ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查负数判断，先将题中各数化简，再判断是否为负数，统计个数即可得到答案，熟记数的相关性质是解决问题的关键． 【详解】解：，，，，， ，，均为负数，共3个， 故选：B． 10．我国首艘大洋钻探船“梦想”号是目前全球钴探能力最强、科研实验功能最全、智能化水平最高的超深水钻探科考船，最大钻深可达11000米，标志着中国深海探测技术的重大突破．数据11000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】数据11000用科学记数法表示为． 故选：B． 11．据统计，2024年福建省地区生产总值57761.02亿元，比上年增长，实现全年预期目标．将57761.02亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：57761.02亿． 故选：C． 12．在2025年初的科技界，一款名为DeepSeek的人工智能应用程序异军突起，引发了全球用户的热烈关注．这款应用于1月11日正式上线，仅仅数周时间就迎来了破亿的下载量，显示了其强大的市场吸引力．根据数据分析，自发布至2月9日，DeepSeek的累计下载量已突破亿．将数据亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．将亿用科学记数法表示即可． 【详解】解：亿， 故选：B． 二、填空题 13．规定一种运算，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． 根据，可以求得所求式子的值． 【详解】解：∵， ， 故答案为：． 14．若，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的乘方，乘法与加法，解题关键是掌握两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． 根据题意可得，，再根据可得、同号，进而可确定、的值，然后可得的值． 【详解】， ，， ， ，， ， 故答案为：． 15．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查非负性，根据非负性求出的值，再根据有理数的乘方法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 16．我国国土面积9600000平方千米，这个数字用科学记数法表示应记作 ． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，根据方法进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$