第一、二章章末综合检测-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第一章《集合与常用逻辑用语》 第二章《一元二次函数、方程和不等式》 章末综合检测 参考答案 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C D A D A B D A BCD AB BC 一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （2025·江苏南通期末）已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【解析】C 根据交集含义知. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【解析】D “，”的否定是:，, 3. （2024·长郡中学月考）设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【解析】A 由可得或， 又或 所以“”是“”的充分不必要条件. 4. 已知正数、满足，则的最小值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．9 【解析】D 由题意得， 当且仅当时，即时，取得最小值9． 5. （2024·长郡中学月考）若且就称A是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为（ ） A. 15 B. 16 C. 64 D. 128 【解析】A 因为，；，； ，；，； 这样所求集合即由，，“和” ，“和”这“四大”元素所组成的集合的非空子集． 所以满足条件的集合的个数为. 6. 已知命题为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】B 当时，恒成立，符合题意 当时，需满足 解得：， 综上. 7. （2024·合肥六中月考）若关于的不等式恰有两个整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【解析】D 令，解得或. 当，即时，不等式的解集为，则，解得； 当，即时，不等式无解， 所以不符合题意； 当，即时，不等式的解集为，则，解得. 综上，的取值范围是或. 8. （2025·湖北武汉期末）设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【解析】A 根据题意，正实数，，满足，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，则此时， 当取得最大值时，， 分析可得，当时，即时，取得最大值2． 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. （2024·江苏徐州三中月考）下列说法中正确的为（ ） A. 集合，若集合有且仅有2个子集，则的值为 B. 若一元二次不等式的解集为，则的取值范围为 C. 设集合，，则“”是“”的充分不必要条件 D. 若正实数，，满足，则 【解析】BCD 对于A，因集合有且仅有2个子集， 则集合中只有一个元素，当，，符合题意； 当，， 综上所述，可得，，故A选项不正确； 对于B，因一元二次不等式的解集为， 已知为一元二次不等式，可知， 可得且，故B选项正确； 对于C，当时，， 当时，或，则或， 所以“”是“”的充分不必要条件，故C选项正确； 对于D，因正实数满足， 则， 当且仅当，即时取等号，故D选项正确. 10. 已知关于x的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 的最小值为 【解析】AB 因为关于x的不等式的解集为， 所以，4是方程的两根，且，故A正确； 所以，解得， 所以，即，则，解得， 所以不等式的解集为，故B正确； 而，故C错误； 因为，，，所以， 则， 当且仅当，即或时，等号成立， 与矛盾，所以取不到最小值，故D错误. 11. （2024·合肥八中月考）已知，且，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 【解析】BC ，且，， 对于A，利用基本不等式得，化简得， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为，故A错误； 对于B，， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为，故B正确； 对于C，， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为，故C正确； 对于D， 利用二次函数的性质知，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增， ，，故D错误. 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的解集为_________． 【解析】不等式，移项得，即， 可化为，解得，则原不等式的解集为． 13. 某班有学生56人，同时参加了数学小组和英语小组的学生有32人，同时参加了英语小组和语文小组的学生有22人，同时参加了数学小组和语文小组的学生有25人．已知该班学生每人至少参加了1个小组，则该班学生中只参加了数学小组、英语小组和语文小组中的一个小组的人数最多是_________． 【解析】 如图，设该班学生中同时参加了数学小组、英语小组和语文小组的人数为，只参加其中一个小组的人数为， 则，即． 因为，所以． 14. 已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为________． 【解析】若，，恒成立， 即恒成立， 所以二次式与一次式在0到正无穷有相同的解， 故才能满足要求（因式分解后二次项和常数项一致）， 又，故， ，当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为4. 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，集合． （1）若，求； （2）若，求实数的范围． 【解析】（1）由时，集合， ， 所以， （2）当，即时，集合，符合， 当时，由，有， 解得 ， 综上可知，若，则的范围是. 16. （2024·长郡中学月考）某地政府为进一步推进地区创业基地建设，助推创业带动就业工作，拟对创业者提供万元的创业补助．某企业拟定在申请得到万元创业补助后，将产量增加到万件，同时企业生产万件产品需要投入的成本为万元，并以每件元的价格将其生产的产品全部售出．（注：收益＝销售金额＋创业补助－成本） （1）求该企业获得创业补助后的收益万元与创业补助万元的函数关系式； （2）当创业补助为多少万元时，该企业所获收益最大？ 【解析】（1）依据题意可知，销售金额万元，创业补助万元，成本为万元， 所以收益，． （2）由（1）可知，， 其中，当且仅当，即时，取等号． 所以， 所以当时，该企业所获收益最大，最大值为74万元． 17. （1）已知不等式的解集为，求的最小值． （2）设不等式的解集为A，若，求实数a的取值范围． 【解析】（1）由题意得为方程的两个根， 由韦达定理得， 则， 因为，所以， 由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为4； （2），当时，， 解得， 当时，要满足，则， 解得， 故实数a的取值范围是. 18. 已知关于x的不等式. (1)若，求不等式的解集； (2)若不等式的解集为； （i）求实数a，b的值； （ii）讨论关于x的不等式的解集. 【解析】（1）因为，所以不等式为即 所以不等式的解集为：或. （2）（ⅰ）因为不等式的解集为， 所以是方程的根，所以， 所以不等式为即，解集为 所以， 综上：； （ⅱ）所以不等式即为， 即， 情形一：时，解集为， 情形二：时，解集为， 情形二：时，解集为. 19. （2024·武汉一中月考）已知实数集，定义． （1）若，求； （2）若，求集合A； （3）若A中的元素个数为9，求的元素个数的最小值． 【解析】（1）; （2）首先，； 其次中有4个非零元素，符号为一负三正或者一正三负. 记，不妨设或者-- ①当时，， 相乘可知，从而， 从而，所以； ②当时，与上面类似的方法可以得到 进而，从而 所以或者. （3）估值+构造 需要分类讨论中非负元素个数. 先证明．考虑到将中的所有元素均变为原来的相反数时， 集合不变，故不妨设中正数个数不少于负数个数.接下来分类讨论： 情况一： 中没有负数． 不妨设，则 上式从小到大共有1+7+6=14个数，它们都是的元素，这表明 情况二： 中至少有一个负数． 设 是中的全部负元素，是中的全部非负元素. 不妨设 其中为正整数，． 于是有 以上是中的个非正数元素：另外，注意到 它们是中的5个正数．这表明 综上可知，总有- 另一方面，当时，中恰有13个元素. 综上所述，中元素个数的最小值为13. ( 第 1 页 共 11 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章《集合与常用逻辑用语》 第二章《一元二次函数、方程和不等式》 章末综合检测 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题58分） 一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （2025·江苏南通期末）已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. （2024·长郡中学月考）设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知正数、满足，则的最小值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．9 5. （2024·长郡中学月考）若且就称A是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为（ ） A. 15 B. 16 C. 64 D. 128 6. 已知命题为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7. （2024·合肥六中月考）若关于的不等式恰有两个整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. （2025·湖北武汉期末）设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. （2024·江苏徐州三中月考）下列说法中正确的为（ ） A. 集合，若集合有且仅有2个子集，则的值为 B. 若一元二次不等式的解集为，则的取值范围为 C. 设集合，，则“”是“”的充分不必要条件 D. 若正实数，，满足，则 10. 已知关于x的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 的最小值为 11. （2024·合肥八中月考）已知，且，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 第II卷（选择题92分） 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的解集为_________． 13. 某班有学生56人，同时参加了数学小组和英语小组的学生有32人，同时参加了英语小组和语文小组的学生有22人，同时参加了数学小组和语文小组的学生有25人．已知该班学生每人至少参加了1个小组，则该班学生中只参加了数学小组、英语小组和语文小组中的一个小组的人数最多是_________． 14. 已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为________． 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，集合． （1）若，求； （2）若，求实数的范围． 16. （2024·长郡中学月考）某地政府为进一步推进地区创业基地建设，助推创业带动就业工作，拟对创业者提供万元的创业补助．某企业拟定在申请得到万元创业补助后，将产量增加到万件，同时企业生产万件产品需要投入的成本为万元，并以每件元的价格将其生产的产品全部售出．（注：收益＝销售金额＋创业补助－成本） （1）求该企业获得创业补助后的收益万元与创业补助万元的函数关系式； （2）当创业补助为多少万元时，该企业所获收益最大？ 17. （1）已知不等式的解集为，求的最小值． （2） 设不等式的解集为A，若，求实数a的取值范围． 18. 已知关于x的不等式. (1)若，求不等式的解集； (2)若不等式的解集为； （i）求实数a，b的值； （ii）讨论关于x的不等式的解集. 19. （2024·武汉一中月考）已知实数集，定义． （1）若，求； （2）若，求集合A； （3）若A中的元素个数为9，求的元素个数的最小值． ( 第 1 页 共 11 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$