专题2.3 实数（知识梳理+9个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共36题）同步培优讲练-2025-2026学年苏科版数学八年级上册

专题2.3 实数 （知识梳理+9个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共36题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：有理数与无理数 1 知识点梳理02：实数 2 知识点梳理03：实数大小的比较 2 知识点梳理04：实数的运算 2 优选题型 考点讲练 3 考点1：无理数 3 考点2：无理数的大小估算 3 考点3：无理数整数部分的有关计算 5 考点4：实数概念理解 7 考点5：实数的分类 8 考点6：实数的性质 9 考点7：实数与数轴 11 考点8：实数的大小比较 13 考点9：程序设计与实数运算 14 中考真题 实战演练 15 难度分层 拔尖冲刺 17 基础夯实 17 培优拔高 22 知识点梳理01：有理数与无理数 有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 【要点提示】 （1） 无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数 的形式. （2） 常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111… （3） 带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 知识点梳理02：实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 知识点梳理03：实数大小的比较 对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大. 正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小. 知识点梳理04：实数的运算 有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数. 当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用. 考点1：无理数 【典例精讲】（24-25八年级上·四川成都·期中）下列实数中，（　　）是无理数 A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了无理数的定义，根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，进行判断即可． 【规范解答】解：A 、是有限小数，属于有理数； B 、是开方开不尽的数，属于无理数； C 、，是整数，属于有理数； D 、是分数形式，属于有理数． 故选：B． 【变式训练】（24-25八年级上·福建漳州·期中）下列各数中，无理数有（　　） （每两个2之间逐次增加1个0） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【思路引导】此题考查了无理数的定义，算术平方根，根据无理数的定义（无限不循环小数），逐一判断各数的类型． 【规范解答】， ∴无理数有（每两个2之间逐次增加1个0），共4个． 故选：C． 考点2：无理数的大小估算 【典例精讲】（22-23七年级上·山东泰安·期末）阅读下面的文字：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分． 又例如：，即，的整数部分是2，小数部分是． 根据以上资料，请解答下列问题： (1)的整数部分是__________，小数部分是__________； (2)如果的小数部分是a，的整数部分是b，求的值； (3)已知：x是的整数部分，y是其小数部分，求的值． 【答案】(1)3， (2)的值为3 (3) 【思路引导】本题考查估算无理数的大小，实数的混合运算，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提． （1）根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可； （2）根据算术平方根的定义估算无理数的大小，确定a、b的值，再代入计算即可； （3）根据算术平方根的定义估算无理数的大小，进而得出的大小，确定x、y的值，再代入计算即可． 【规范解答】（1）解：，而， 的整数部分为3，小数部分为 故答案为：3，； （2），， 的整数部分为2，小数部分，的整数部分为， ， 的值为3； （3），而， ， ， 的整数部分，小数部分， ． 【变式训练】23-24七年级下·云南昭通·阶段练习）第一次数学危机，是数学史上的一次重要事件，发生于大约公元前400年左右的古希腊时期，自的发现起，到公元前370年左右，以无理数的定义出现为结束标志．是第一个无理数，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，但是由于，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，所得的差就是其小数部分．已知实数满足等式. 根据上述信息，解答下面的问题： (1)求的值； (2)若实数的整数部分是m，小数部分是n，求的绝对值. 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了非负数的性质、无理数的估算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由绝对值、算术平方根、平方的非负性得出，，，据此求解即可； （2）由（1）可得，再结合即可得解． 【规范解答】（1）解：，，，， ，， ，，， 解得：，，， ； （2）解：由（1）可得 ， 的整数部分是3， 的整数部分是2， ，， 考点3：无理数整数部分的有关计算 【典例精讲】（24-25八年级上·吉林长春·期末）【阅读与思考】我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，而因为，即，于是的整数部分是2．将一个数减去其整数部分，差就是它的小数部分，故可用来表示的小数部分．结合以上材料，回答下列问题： (1)的整数部分是 ；的小数部分是 ； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值． 【答案】(1)3， (2)2 【思路引导】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是熟练掌握如何估算无理数的大小． （1）先估算的大小，从而求出整数部分，再估算的大小，利用不等式的基本性质估算的大小，从而求出答案即可； （2）先估算的大小，求出其小数部分a的值，再估算的大小，求出其整数部分b的值，最后代入计算即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴的整数部分是3， ∵， ∴， ∴，即， ∴的整数部分是1，小数部分是， 故答案为：3，； （2）解：∵， ∴的整数部分是2，小数部分是， ∴， ∵， ∴的整数部分， ∴． 【变式训练】（24-25八年级上·江苏苏州·期中）通过学习，我们知道是一个无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．聪明的小丽认为的整数部分为1，所以减去其整数部分，差就是的小数部分．所以用来表示的小数部分．根据小丽的方法请完成下列问题： (1)的整数部分为 ，小数部分为 ； (2)已知的整数部分为，的整数部分为，求的立方根． 【答案】(1)6； (2)的立方根是2 【思路引导】本题考查无理数整数部分的计算，求一个数的立方根： （1）估算出在哪两个连续整数之间即可； （2）通过无理数的估算求得，的值，然后将其代入中计算，最后根据立方根的定义即可求得答案． 【规范解答】（1）解：， ， 的整数部分为6，小数部分为， 故答案为：6；； （2）， ， ， ∴， ， ， ∴， ∴的立方根是2． 考点4：实数概念理解 【典例精讲】（22-23八年级上·山东青岛·期中）已知下列结论，其中正确的结论是（    ） ①在数轴上只能表示无理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个． A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 【答案】B 【思路引导】本题主要考查实数．熟练掌握实数的概念，有理数的概念和性质，无理数的概念和性质，数轴的概念和性质。是解决问题的关键． 根据实数与数轴的关系，实数的概念，有理数的概念和性质，无理数的概念和性质，数轴的概念和性质，逐一判断，即得． 【规范解答】解：数轴上除了还能表示有理数与其它无理数，故①项错误； 任何一个无理数都能用数轴上的点表示，故②项正确； 实数与数轴上的点一一对应，故③项正确； 整数和分数统称有理数，无限不循环小数为无理数， ∴无理数也有无限个，故④项错误． ∴正确的是②③． 故选：B． 【变式训练】（23-24七年级下·河南漯河·阶段练习）将下列各数填入相应的集合内． ，，，，，，，，， ①有理数集合{    …} ②无理数集合{    …} ③负实数集合{    …} 【答案】①，，，，，，；②，，；③，， 【思路引导】本题考查实数，解题的关键是掌握：有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数，小于零的实数是负实数，据此可得答案．本题也考查了算术平方根和立方根的意义． 【规范解答】解：∵，，， ∴①有理数集合{，，，，，，，…}， 故答案为：，，，，，，； ②无理数集合{，，，…}， 故答案为：，，； ③负实数集合{，，，…}， 故答案为：，，． 考点5：实数的分类 【典例精讲】（23-24八年级上·四川宜宾·期中）下面的大括号表示一些数的集合，把下列各数填入相应的大括号内：，，，46，0，，，，． 有理数集：{____________…}； 无理数集：{____________…}； 正实数集：{____________…}； 负实数集：{____________…}． 【答案】，，，46，0，；，，；，，46，，；，，． 【思路引导】本题考查的是实数的分类，二次根式的化简，立方根的含义，先化简能够化简的各数，再根据实数的分类把各数填入相应的集合即可． 【规范解答】解：，，， 有理数集：{，，，46，0，…}； 无理数集：{，，…}； 正实数集：{，，46，，；…} 负实数集：{，，…}； 【变式训练】下列说法：①＝-10；②数轴上的点与实数成一一对应关系；③-3是的平方根；④任何实数不是有理数就是无理数；⑤两个无理数的和还是无理数；⑥无理数都是无限小数，正确的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【思路引导】根据平方根，算术平方根，立方根，实数与数轴，无理数的定义，实数的分类逐一分析即可． 【规范解答】解：①∵， ∴是错误的； ②数轴上的点与实数成一一对应关系，故说法正确； ③∵， ∴-3是的平方根，故说法正确； ④任何实数不是有理数就是无理数，故说法正确； ⑤两个无理数的和可能是有理数，如，故原说法是错误的； ⑥无限不循环小数是无理数，因此无理数都是无限小数，故说法正确； 综上分析可知，正确的是②③④⑥，共4个，故C正确． 故选：C． 【考点剖析】本题主要考查了实数的分类，数轴及平方根、立方根、算术平方根的概念，有理数都可以化为小数，其中整数可以看作小数点后面是零的小数，分数可以化为有限小数或无限循环小数；无理数是无限不循环小数，其中有开方开不尽的数，如 等，也有这样的数． 考点6：实数的性质 【典例精讲】（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）人们在长期的数学实践中总结了许多光辉的数学思想方法，其中转化思想是最活跃实用的数学思想方法．请你解决下列有关实数的相关问题： 已知，． (1)填空：x的绝对值是__________，y的相反数是__________． (2)填空：___________，___________． (3)计算：求的值． 【答案】(1)， (2)， (3)11 【思路引导】本题考查实数的性质，二次根式的运算： （1）根据绝对值的意义和相反数的定义进行求解即可； （2）根据二次根式的运算法则，进行计算即可； （3）利用完全平方公式变形求值即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴x的绝对值是， ∵， ∴y的相反数是； （2）∵，， ∴，； （3）由（2）知：，， ∴ ． 【变式训练】（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）材料1：的整数部分是2，小数部分是，小数部分可以看成是得来的，类比来看，是无理数，而，所以的整数部分是1，于是可用来表示的小数部分． 材料2：若，则有理数部分相等，无理数部分也相等，即a，b要满足，． 根据以上材料，完成下列问题： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为，求的平方根． (3)若，其中x是整数，且，请求的相反数． 【答案】(1)4， (2) (3) 【思路引导】本题主要考查了无理数的估算，求一个数的平方根和相反数： （1）根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可； （2）根据算术平方根的定义估算无理数的大小，确定、的值，再代入计算即可； （3）根据无理数的估算方法估算出直，据此确定x、y的值，再代值计算即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， 的整数部分为4，小数部分为， 故答案为：4，； （2）解：∵， ∴， ， 也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为， ，， ， 的平方根为； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，其中x是整数，且， ∴, ∴， ∴， ∴的相反数是． 考点7：实数与数轴 【典例精讲】（22-23七年级下·北京海淀·期中）如图，面积为7的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为1，若点在数轴上（点在点的右侧）且，则点所表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了数轴与实数、算术平方根的应用，关键是结合题意求出． 由题意可知，面积为7的正方形边长为，所以，而，得，A点的坐标为1，故E点的坐标为． 【规范解答】解：∵正方形的面积为7， ∴， ∵， ∴， ∵A点表示的数为1， ∴E点表示的数为， 故选：D． 【变式训练】（2024七年级上·浙江·专题练习）如图：数轴上表示1、的对应点分别为A、B，且点A为线段的中点，则点C表示的数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查的是实数与数轴，设C点表示的数为x，再根据中点坐标公式求出x的值即可． 【规范解答】解：设C点表示的数为x，则 1， 解得：． 故选：D． 考点8：实数的大小比较 【典例精讲】（24-25八年级下·山东潍坊·期中）用两种方法比较与的大小． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查了实数的大小比较，二次根式的混合运算，无理数的大小估算，完全平方公式，不等式的性质等知识，掌握实数大小比较的常见方法是解题关键．方法一：利用平方法比较大小；方法二，利用作差法和平方差结合比较大小． 【规范解答】解：方法一：，， ， ， ， ； 方法二：， ， ， ， ， 【变式训练】（23-24八年级上·广东梅州·期中）比较大小： ．（填“”、“”或“”) 【答案】 【思路引导】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较方法是解题关键．根据可得，由此即可得． 【规范解答】解：∵， ∴，即， ∴， 故答案为：． 考点9：程序设计与实数运算 【典例精讲】（22-23七年级上·山东威海·期末）如图是一个按运算规则进行的数值转换器： （1）若输入的x为16，则输出的y值是 ； （2）若输入有效的x值后，始终输不出y值，则x的值是 ； （3）若输出y的值是，请写出两个满足要求的x值 ． 【答案】 0或1 5，25（答案不唯一） 【思路引导】此题考查了算术平方根、实数的分类．熟练掌握算术平方根的求法是解题的关键． （1）由，，即可得到答案为； （2）根据1和0的算术平方根还等于它本身，即可做出解答； （3）根据题意写出两个满足要求的x值，如25和5，即可． 【规范解答】解：（1）∵，，， ∴输入的x为16，输出的y值是； 故答案为： （2）∵1和0的算术平方根还等于它本身， ∴输入0或1后，始终输不出y值， 故答案为：0或1； （3）∵，5的算术平方根是， ∴两个满足要求的x值可以是25或5． 故答案为：5，25（答案不唯一）． 【变式训练】（23-24七年级上·浙江·期末）有一个数值转换器，运算流程如下： (1)在，2，4，16中选择3个合适的数分别输入，求对应输出的值． (2)若输出的值为，求输入的值． 【答案】(1)当时，；当时，；当时， (2)3或9 【思路引导】（1）将，4，分别代入，计算求解即可； （2）由题意知，分当是无理数的相反数时，当是有理数的负平方根时，两种情况求解作答即可． 【规范解答】（1）解：当时，其算术平方根为，是无理数，故； 当时，其算术平方根为2，是有理数，故； 当时，其算术平方根为4，是有理数，故； （2）解：当是无理数的相反数时，则的算术平方根是， ∴， 当是有理数的负平方根时，则的算术平方根的负平方根是， ∴， 综上所述，的值为3或9． 【考点剖析】本题考查了相反数，算术平方根，平方根．熟练掌握相反数，算术平方根，平方根的概念是解题的关键． 1．（2025·江西·中考真题）下列各数中，是无理数的是（   ） A．0 B． C．3.14 D． 【答案】B 【思路引导】本题考查无理数的定义，根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．结合选项逐一判断即可． 【规范解答】解：A、0是整数，属于有理数，本选项不符合题意； B、是开方开不尽的数，属于无理数，本选项不符合题意； C、3.14是有限小数，属于有理数，本选项不符合题意； D、是分数，属于有理数，本选项不符合题意； 故选：B． 2．（2025·贵州·中考真题）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则与的大小关系是 b．（填“”“”或“”） 【答案】 【思路引导】本题考查了实数的大小比较，实数与数轴，熟练掌握数轴上右边的点表示的数总比左边的大是解题的关键． 根据在数轴上，右边的点表示的数总比左边的大即可得到答案． 【规范解答】解：由数轴得：， ∴， 故答案为：． 3．（2024·天津·中考真题）估计的值应在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】C 【思路引导】本题考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键，要估计的值，可以通过比较已知的平方数来确定其范围． 【规范解答】解：∵，，且10介于9和16之间， ∴应在3和4之间， 故选：C． 4．（2025·天津·中考真题）估计的值在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】C 【思路引导】本题考查无理数的估算，夹逼法求出无理数的范围，进行判断即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∴的值在3和4之间； 故选C． 5．（2025·四川南充·中考真题）如图，把直径为1个单位长度的圆从点沿数轴向右滚动一周，圆上点到达点，点对应的数是2，则滚动前点对应的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查圆的周长公式及数轴上点的移动规律，熟练掌握圆的周长计算和数轴上点的平移关系是解题关键．先根据圆的直径求出滚动一周的距离（即圆的周长），再结合点对应的数，通过逆向推理得到滚动前点对应的数． 【规范解答】解：由题意可得圆的直径，根据圆的周长公式，可得周长 ． 圆从点滚动到，滚动的距离是圆的周长，点对应数是，那么滚动前点对应的数是 ， 故选D． 基础夯实 1．（24-25八年级上·四川乐山·期末）下列各数中，属于无理数的是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【思路引导】此题考查了无理数，求算术平方根， 首先计算算术平方根，根据无理数的定义，无限不循环小数即为无理数，据此求解即可． 【规范解答】A．是整数，属于有理数； B．是无限不循环小数，属于无理数； C．0是整数，属于有理数； D．，是整数，属于有理数． 故选：B． 2．（2025·天津·模拟预测）估算 的值在（     ） A．2和3 之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】C 【思路引导】本题考查了无理数的大小估算，先估算出的范围即可． 【规范解答】解：∵, ∴ ∴的值在4和5之间， 故选：C． 3．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）下列各数中是无理数的是（　　） A．1 B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了无理数的定义． 根据无理数的定义逐项判断即可． 【规范解答】解：A．1是整数，属于有理数； B．是有限小数，属于有理数； C．，结果为整数，属于有理数； D．是无限不循环小数（无理数），除以有理数2后仍为无限不循环小数，因此是无理数； 故选：D． 4．（24-25八年级上·宁夏中卫·期中）a和b是两个连续的整数，，那么 ． 【答案】9 【思路引导】本题考查了无理数的估算，根据，得，即，再代入进行计算，即可作答． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵a和b是两个连续的整数，， ∴， ∴， 故答案为：9 5．（2025·安徽蚌埠·三模）比较大小： （填，或）． 【答案】 【思路引导】此题主要考查了的是实数的大小比较，注意这里可以把原数化为根式形式，比较被开方数的大小． 先根据算术平方根的性质把化为的形式，再比较被开方数的大小即可． 【规范解答】解：∵，又， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（22-23八年级上·贵州毕节·期中）下列数：3.1234，，0，，（每两个4中间有一个1），，7.12345678…（小数部分为连续的自然数）．其中无理数是 ． 【答案】，，7.12345678…（小数部分为连续的自然数） 【思路引导】此题主要考查无理数的定义，算术平方根，解题的关键是熟知无限不循环小数为无理数． 首先计算算术平方根，然后根据无理数的定义求解即可． 【规范解答】 ∴无理数有：，，7.12345678…（小数部分为连续的自然数）． 故答案为：，，7.12345678…（小数部分为连续的自然数）． 7．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）（1）已知的算术平方根是2，是的立方根，c是的整数部分，求的值； （2）若，求的平方根． 【答案】（1）3（2）． 【思路引导】（1）根据算术平方根，立方根的意义可得：，，从而可得：，，然后估算出的值的范围，从而求出的值，最后进行计算即可解答； （2）根据偶次方和算术平方根的非负性可得，，然后进行计算即可解答． 【规范解答】解：（1）的算术平方根是2，是的立方根， ，， 解得：，， ， ， 的整数部分是3， ， ； （2） ， ，， 即， 解得：， ， 的平方根是． 【考点剖析】本题考查了了估算无理数的大小，偶次方和算术平方根的非负性，平方根，立方根，加减消元法解二元一次方程，准确熟练地进行计算是解题的关键． 8．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）阅读下面的文字，解答问题． 如果无理数满足（其中是整数），那么称为无理数的“相邻区间”．例如，因为，所以，所以称为的“相邻区间”． 请解答下列问题： (1)求无理数的“相邻区间”． (2)已知的“相邻区间”是，且，求的值． (3)已知是正整数，若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)3 【思路引导】本题考查了新定义的应用，涉及到二次根式的应用，熟练掌握新定义并加以应用是解题的关键． （1）根据题意可得到为的“相邻区间”； （2）由的相邻区间，得到的相邻区间，得到的值，从而得到的结果； （3）先求出的相邻区间，得到的相邻区间，从而得到的值． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴为的“相邻区间”； （2）解：∵， ∴， ∴， 即， ∴的“相邻区间”是， ∴． ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 9．（20-21八年级上·江苏连云港·期末）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)求的值； (2)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1)2 (2) 【思路引导】本题考查了数轴上两点间的距离公式、平方根、非负数的性质及绝对值的计算，解题的关键是求得的值及非负数性质的应用，注意平方根有两个． （1）利用数轴上两点间的距离公式计算即可； （2）利用非负数的性质，得到c，d的值，代入求值即可． 【规范解答】（1）解：由题意得， ∴， ∴， ∴ ； （2）解：∵与互为相反数， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴的平方根是． 培优拔高 1．（24-25八年级上·宁夏中卫·期中）在实数，3.161661666…(每两个1之间依次多1个6)，，0， ，中无理数的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了无理数的定义，求一个数的立方根，根据无理数的定义即无限不循环小数判断即可． 【规范解答】解：， 在实数，3.161661666…(每两个1之间依次多1个6)，，0， ，中， 无理数有3.161661666…(每两个1之间依次多1个6)，，，一共3个， 故选：C 2．（24-25八年级上·贵州毕节·阶段练习）有下列说法：①的平方根是；②表示6的算术平方根的相反数；③是的平方根；④与是同类二次根式；⑤的绝对值是．其中，正确的说法有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【思路引导】本题考查平方根，算术平方根，同类二次根式，绝对值，根据相关知识点，逐一进行判断即可． 【规范解答】解：的平方根是；故①错误； 表示6的算术平方根的相反数；故②正确； 是的平方根；故③正确； 与是同类二次根式；故④正确； 的绝对值是；故⑤正确； 故选C． 3．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）设的整数部分是a，小数部分是b，则 ． 【答案】/ 【思路引导】本题考查与无理数整数有关的计算，先利用夹逼法求出，原数减去得到，再进行计算即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 4．（2023八年级上·四川眉山·竞赛）若表示不超过的最大整数，设，那么 ． 【答案】25 【思路引导】本题考查取整函数的知识，平方根，难度较大，解答的关键是根据一般规律推导特殊性质的能力，利用规律进行求解．先写出前几个数的值，然后可得出3个数、5个数、7个数依次相等，从而可得出答案． 【规范解答】解：， ， ， ，， 原式， ， ， 故答案为：25． 5．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在数轴上点表示原点，点表示的数为，，垂足为，且，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点表示的数为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了实数与数轴，勾股定理，利用勾股定理可得，即得，据此即可求解，掌握勾股定理是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵点表示原点，点表示的数为 ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点表示的数为， 故答案为：． 6．（24-25八年级上·福建漳州·期中）在数轴上点表示，点表示，且，满足． (1)①______． ②表示的整数部分，表示的小数部分，则______； (2)若，则取最小整数值为______； (3)若点与点之间的距离表示，点与点之间的距离表示，请在数轴上找一点，使得，求点在数轴上表示的数． 【答案】(1) ， (2)4 (3)点表示的数为或 【思路引导】本题考查估计无理数的大小、算术平方根的非负性、绝对值的非负性、一元一次方程，解一元一次不等式组等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． （1）①根据算术平方根与绝对值的非负性解题即可；②小数部分等于数减去整数部分，即； （2）由二次根式的非负性解得x的取值范围，结合（1）中的值解题即可； （3）分两种情况讨论：当点C在A， B之间时或当点C在点B的左边时，分别计算、 的长再根据解一元一次方程题即可． 【规范解答】（1）解：①， ， ， ② ， 故答案为：①；②； （2）解：根据二次根式有意义的条件得， ， 又， ， 当时，则的最小整数是； （3）解：设点C表示的数为m， 当点C在A， B之间时，，， ， ， ， 当点C在点B的左边时，， ， ， ， 综上所述C点在数轴上表示的数为或． 7．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）已知的平方根是，的算术平方根是4，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)，， (2)2 【思路引导】本题考查了平方根，立方根，算术平方根，估算无理数的大小等知识点，能灵活运用知识点进行计算是解此题的关键． （1）根据平方根、算术平方根、估算无理数的大小得出，，，即可得出答案； （2）将，，代入，再求出答案即可． 【规范解答】（1）解：∵的平方根是， ∴， ∴， ∵的算术平方根是4， ∴， ∴， ∵c是的整数部分，， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴的立方根为2． 8．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）如图1，由5个边长为1的小正方形组成的长方形，通过剪拼可以拼成一个正方形． (1)求正方形的边长，并求出的长在哪两个连续整数之间； (2)如图2，纸片上有数轴，把图1中的正方形放到数轴上，使得点A与重合，求点D在数轴上表示的数； (3)在（2）的基础上以数1对应的点为折点，将数轴向右对折，则点D与数________对应的点重合． 【答案】(1)的长在2和3之间 (2) (3) 【思路引导】本题考查了实数与数轴，算术平方根，无理数的估算，读懂题意是解题的关键． （1）根据题意可求出正方形的面积，进而得到正方形的边长，再利用夹逼法即可求出其范围； （2）根据点A表示的数和正方形的边长即可得到点D表示的数； （3）设点D与数对应的点重合，根据对折可得，，即可求解． 【规范解答】（1）解：由题意得，正方形的面积为：， ∴边长为：， ∵， ∴， ∴的长在2和3之间； （2）解：把图1中的正方形放到数轴上，使得点A与重合，则点D在数轴上表示的数为：； （3）解：设点D与数对应的点重合， 由题意得：， 解得：， ∴点D与数对应的点重合． 9.对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，． （1）仿照以上方法计算：＝_____；＝_____． （2）若，写出满足题意的的整数值 __________． 如果我们对连续求根整数，直到结果为为止．例如：对连续求根整数次，这时候结果为． （3）对连续求根整数，_____次之后结果为． （4）只需进行次连续求根整数运算后结果为的所有正整数中，最大的是 ________． 【答案】（1）， （2），， （3） （4） 【思路引导】本题主要考查了新定义下的实数运算，无理数大小估算等知识点，读懂题意，理解根整数的定义是解题的关键． （1）先估算和的大小，再根据新定义即可得出答案； （2）根据定义可得，进而可得到满足题意的的整数值； （3）根据定义对连续求根整数，即可得出答案； （4）由（2）可得，进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为，进而可得，进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为，进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为，于是得解． 【规范解答】解：（1）∵，，， ， ∴， ∴，， 故答案为：，； （2）∵，且， ∴， ∴满足题意的的整数值为：，，， 故答案为：，，； （3）第一次：， 第二次：， 第三次：， 故答案为：； （4）只需进行次连续求根整数运算后结果为的所有正整数中最大的是，理由如下： 由（2）可得，进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为， ∵，， ∴进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为， ∵，， ∴进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为， ∴对一个正整数进行次连续求根整数运算后结果为，这个正整数最大值为， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.3 实数 （知识梳理+9个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共36题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：有理数与无理数 1 知识点梳理02：实数 2 知识点梳理03：实数大小的比较 2 知识点梳理04：实数的运算 2 优选题型 考点讲练 3 考点1：无理数 3 考点2：无理数的大小估算 3 考点3：无理数整数部分的有关计算 4 考点4：实数概念理解 4 考点5：实数的分类 5 考点6：实数的性质 5 考点7：实数与数轴 6 考点8：实数的大小比较 7 考点9：程序设计与实数运算 7 中考真题 实战演练 8 难度分层 拔尖冲刺 8 基础夯实 8 培优拔高 10 知识点梳理01：有理数与无理数 有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 【要点提示】 （1） 无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数 的形式. （2） 常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111… （3） 带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 知识点梳理02：实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 知识点梳理03：实数大小的比较 对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大. 正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小. 知识点梳理04：实数的运算 有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数. 当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用. 考点1：无理数 【典例精讲】（24-25八年级上·四川成都·期中）下列实数中，（　　）是无理数 A． B． C． D． 【变式训练】（24-25八年级上·福建漳州·期中）下列各数中，无理数有（　　） （每两个2之间逐次增加1个0） A．个 B．个 C．个 D．个 考点2：无理数的大小估算 【典例精讲】（22-23七年级上·山东泰安·期末）阅读下面的文字：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分． 又例如：，即，的整数部分是2，小数部分是． 根据以上资料，请解答下列问题： (1)的整数部分是__________，小数部分是__________； (2)如果的小数部分是a，的整数部分是b，求的值； (3)已知：x是的整数部分，y是其小数部分，求的值． 【变式训练】23-24七年级下·云南昭通·阶段练习）第一次数学危机，是数学史上的一次重要事件，发生于大约公元前400年左右的古希腊时期，自的发现起，到公元前370年左右，以无理数的定义出现为结束标志．是第一个无理数，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，但是由于，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，所得的差就是其小数部分．已知实数满足等式. 根据上述信息，解答下面的问题： (1)求的值； (2)若实数的整数部分是m，小数部分是n，求的绝对值. 考点3：无理数整数部分的有关计算 【典例精讲】（24-25八年级上·吉林长春·期末）【阅读与思考】我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，而因为，即，于是的整数部分是2．将一个数减去其整数部分，差就是它的小数部分，故可用来表示的小数部分．结合以上材料，回答下列问题： (1)的整数部分是 ；的小数部分是 ； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值． 【变式训练】（24-25八年级上·江苏苏州·期中）通过学习，我们知道是一个无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．聪明的小丽认为的整数部分为1，所以减去其整数部分，差就是的小数部分．所以用来表示的小数部分．根据小丽的方法请完成下列问题： (1)的整数部分为 ，小数部分为 ； (2)已知的整数部分为，的整数部分为，求的立方根． 考点4：实数概念理解 【典例精讲】（22-23八年级上·山东青岛·期中）已知下列结论，其中正确的结论是（    ） ①在数轴上只能表示无理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个． A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 【变式训练】（23-24七年级下·河南漯河·阶段练习）将下列各数填入相应的集合内． ，，，，，，，，， ①有理数集合{     } ②无理数集合{     } ③负实数集合{     } 考点5：实数的分类 【典例精讲】（23-24八年级上·四川宜宾·期中）下面的大括号表示一些数的集合，把下列各数填入相应的大括号内：，，，46，0，，，，． 有理数集：{     } 无理数集：{     } 正实数集：{     } 负实数集：{     } 【变式训练】下列说法：①＝-10；②数轴上的点与实数成一一对应关系；③-3是的平方根；④任何实数不是有理数就是无理数；⑤两个无理数的和还是无理数；⑥无理数都是无限小数，正确的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 考点6：实数的性质 【典例精讲】（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）人们在长期的数学实践中总结了许多光辉的数学思想方法，其中转化思想是最活跃实用的数学思想方法．请你解决下列有关实数的相关问题： 已知，． (1)填空：x的绝对值是__________，y的相反数是__________． (2)填空：___________，___________． (3)计算：求的值． 【变式训练】（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）材料1：的整数部分是2，小数部分是，小数部分可以看成是得来的，类比来看，是无理数，而，所以的整数部分是1，于是可用来表示的小数部分． 材料2：若，则有理数部分相等，无理数部分也相等，即a，b要满足，． 根据以上材料，完成下列问题： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为，求的平方根． (3)若，其中x是整数，且，请求的相反数． 考点7：实数与数轴 【典例精讲】（22-23七年级下·北京海淀·期中）如图，面积为7的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为1，若点在数轴上（点在点的右侧）且，则点所表示的数为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（2024七年级上·浙江·专题练习）如图：数轴上表示1、的对应点分别为A、B，且点A为线段的中点，则点C表示的数是（　　） A． B． C． D． 考点8：实数的大小比较 【典例精讲】（24-25八年级下·山东潍坊·期中）用两种方法比较与的大小． 【变式训练】（23-24八年级上·广东梅州·期中）比较大小： ．（填“”、“”或“”) 考点9：程序设计与实数运算 【典例精讲】（22-23七年级上·山东威海·期末）如图是一个按运算规则进行的数值转换器： （1）若输入的x为16，则输出的y值是 ； （2）若输入有效的x值后，始终输不出y值，则x的值是 ； （3）若输出y的值是，请写出两个满足要求的x值 ． 【变式训练】（23-24七年级上·浙江·期末）有一个数值转换器，运算流程如下： (1)在，2，4，16中选择3个合适的数分别输入，求对应输出的值． (2)若输出的值为，求输入的值． 1．（2025·江西·中考真题）下列各数中，是无理数的是（   ） A．0 B． C．3.14 D． 2．（2025·贵州·中考真题）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则与的大小关系是 b．（填“”“”或“”） 3．（2024·天津·中考真题）估计的值应在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 4．（2025·天津·中考真题）估计的值在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 5．（2025·四川南充·中考真题）如图，把直径为1个单位长度的圆从点沿数轴向右滚动一周，圆上点到达点，点对应的数是2，则滚动前点对应的数是（    ） A． B． C． D． 基础夯实 1．（24-25八年级上·四川乐山·期末）下列各数中，属于无理数的是（    ） A． B． C．0 D． 2．（2025·天津·模拟预测）估算 的值在（     ） A．2和3 之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 3．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）下列各数中是无理数的是（　　） A．1 B． C． D． 4．（24-25八年级上·宁夏中卫·期中）a和b是两个连续的整数，，那么 ． 5．（2025·安徽蚌埠·三模）比较大小： （填，或）． 6．（22-23八年级上·贵州毕节·期中）下列数：3.1234，，0，，（每两个4中间有一个1），，7.12345678…（小数部分为连续的自然数）．其中无理数是 ． 7．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）（1）已知的算术平方根是2，是的立方根，c是的整数部分，求的值； （2）若，求的平方根． 8．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）阅读下面的文字，解答问题． 如果无理数满足（其中是整数），那么称为无理数的“相邻区间”．例如，因为，所以，所以称为的“相邻区间”． 请解答下列问题： (1)求无理数的“相邻区间”． (2)已知的“相邻区间”是，且，求的值． (3)已知是正整数，若，求的值． 9．（20-21八年级上·江苏连云港·期末）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)求的值； (2)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 培优拔高 1．（24-25八年级上·宁夏中卫·期中）在实数，3.161661666…(每两个1之间依次多1个6)，，0， ，中无理数的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25八年级上·贵州毕节·阶段练习）有下列说法：①的平方根是；②表示6的算术平方根的相反数；③是的平方根；④与是同类二次根式；⑤的绝对值是．其中，正确的说法有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）设的整数部分是a，小数部分是b，则 ． 4．（2023八年级上·四川眉山·竞赛）若表示不超过的最大整数，设，那么 ． 5．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在数轴上点表示原点，点表示的数为，，垂足为，且，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点表示的数为 ． 6．（24-25八年级上·福建漳州·期中）在数轴上点表示，点表示，且，满足． (1)①______． ②表示的整数部分，表示的小数部分，则______； (2)若，则取最小整数值为______； (3)若点与点之间的距离表示，点与点之间的距离表示，请在数轴上找一点，使得，求点在数轴上表示的数． 7．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）已知的平方根是，的算术平方根是4，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的立方根． 8．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）如图1，由5个边长为1的小正方形组成的长方形，通过剪拼可以拼成一个正方形． (1)求正方形的边长，并求出的长在哪两个连续整数之间； (2)如图2，纸片上有数轴，把图1中的正方形放到数轴上，使得点A与重合，求点D在数轴上表示的数； (3)在（2）的基础上以数1对应的点为折点，将数轴向右对折，则点D与数________对应的点重合． 9.对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，． （1）仿照以上方法计算：＝_____；＝_____． （2）若，写出满足题意的的整数值 __________． 如果我们对连续求根整数，直到结果为为止．例如：对连续求根整数次，这时候结果为． （3）对连续求根整数，_____次之后结果为． （4）只需进行次连续求根整数运算后结果为的所有正整数中，最大的是 ________． 学科网（北京）股份有限公司 $$