专题2.1 平方根（知识梳理+9个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共38题）同步培优讲练-2025-2026学年苏科版数学八年级上册

专题2.1 平方根 （知识梳理+9个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共43题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：算术平方根 1 知识点梳理02：平方根 2 知识点梳理03：开平方 2 优选题型 考点讲练 3 考点1：求一个数的算术平方根 3 考点2：利用算术平方根的非负性解题 3 考点3：估计算术平方根的取值范围 4 考点4：与算术平方根有关的规律探索题 6 考点5：算术平方根的实际应用 7 考点6：求一个数的平方根 8 考点7：求代数式的平方根 10 考点8：已知一个数的平方根，求这个数 11 考点9：利用平方根解方程 12 中考真题 实战演练 13 难度分层 拔尖冲刺 15 基础夯实 15 培优拔高 19 知识点梳理01：算术平方根 1. 定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即：，那么这个正数x叫做a的算术平方根.规定：0的算术平方根是0. 【要点提示】算术平方根等于它本身的数只有0和1. 2、 表示方法：非负数a的算术平方根记作“”读作“根号a”，其中a叫做被开方数. 【要点提示】： （1） 被开方数a0; (2）其本身非负； （2） 只有正数和0才有算术平方根，负数没有算术平方根； （3） 即表示一种运算，又表示一个运算的结果，当表示一个运算时，就是求a的算术平方根；当表示运算结果时，就是指a的算术平方根为. 知识点梳理02：平方根 1.定义：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根，即如果，那么x叫做a的平方根. 2.表示方法：一个数a(a ≽0）的正的平方根，用符号“”表示，a叫被开方数，2叫做根指数，这时根指数2常常忽略不写，a的负的平方根记做读作“负根号a”，因此非负数a的平方根常常记作，读作：“正负根号a” 3.平方根的性质： （1）一个正数a有两个平方根，它们互为相反数，记作 （2）0的平方根为0； （3）负数没有平方根. 【要点提示】平方根与算术平方根的区别与联系： 区别：一个正数的算术平方根只有一个，平方根有两个，它们互为相反数； 联系：一个正数的算术平方根是其平方根中的一个，0的算术平方根与平方根都是0. 知识点梳理03：开平方 求一个数a()的平方根的运算，叫做开平方，a()开平方用“”表示，“”是一种运算符号. 考点1：求一个数的算术平方根 【典例精讲】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）若，则的值为 ． 【答案】6 【思路引导】本题考查了非负数的性质，算术平方根，掌握非负数的意义和性质是正确解答的关键．利用非负数的性质得出的值，代入计算得出答案． 【规范解答】解：， ，， 解得：，， ， 故答案为：． 【变式训练】（24-25七年级上·浙江温州·期末）已知关于的方程的解是，则的算术平方根是 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了方程的解，解一元一次方程，算术平方根等知识点，把代入方程中得到到关于a的方程，解方程求出a的值，进而即可得解，熟练掌握方程的解，解一元一次方程等解决此题的关键． 【规范解答】将代入方程中得：， 解得：， ∴的算术平方根为， 故答案为：． 考点2：利用算术平方根的非负性解题 【典例精讲】（24-25七年级下·天津和平·阶段练习）已知：，求代数式的平方根． 【答案】 【思路引导】本题考查的是算术平方根的非负性，平方根，根据已知和算术平方根的非负性求出、的值，把、代入代数式进行进行求解即可． 【规范解答】解：由题意可知，， 则，， ∴，，则，， ∴， ∵1的平方根为， ∴代数式的平方根为． 【变式训练】（24-25八年级上·北京·期中）若，则的值等于 ． 【答案】/ 【思路引导】本题考查了算术平方根的非负性，偶次幂的非负性，掌握知识点的应用是解题的关键． 首先根据非负数的性质可求出的值，进而可求出的值． 【规范解答】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 考点3：估计算术平方根的取值范围 【典例精讲】（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）若一个边长为a正方形的面积为30，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】此题主要考查了估计无理数以及算术平方根等知识，得出的大致范围是解题关键，首先利用，进而得出答案． 【规范解答】一个边长为的正方形的面积为30， ， ， ， 故选：C． 【变式训练】（23-24七年级下·山东滨州·期中）小明用计算器求了一些正数的平方，记录如下表． 下面有四个推断：①；②一定有3个整数的算术平方根在之间；③对于小于15的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差小于．所有合理推断的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【思路引导】此题考查了乘方运算，算术平方根，平方差公式；根据表格中的信息可知和其对应的算术平方根的值，然后依次判断各题即可． 【规范解答】解：根据表格中的信息知： ，故①正确； 根据表格中的信息知：， ∴正整数或或的算术平方根在， ∴一定有个整数的算术平方根在之间，故②正确； ∵由题意设且， 由， ， ∴对于小于的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差小于，故③正确； 故选：D 考点4：与算术平方根有关的规律探索题 【典例精讲】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）我们知道，平方数的开平方运算可以直接求得，如等，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得．请你观察下表： a … 0.04 4 400 40000 … … x 2 y z … (1)表格中的三个值分别为： ________； ________； ________； (2)用公式表示这一规律：当（为整数）时，＝________； (3)利用这一规律，解决下面的问题： 已知，则①_______；②________． 【答案】(1)，， (2) (3)， 【思路引导】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键． （1）利用算术平方根定义计算，填表即可； （2）归纳总结得到一般性规律，求出的值即可； （3）利用得出的规律计算即可得到结果． 【规范解答】（1）根据题意得：， ， ． （2）当（为整数）时，； （3）若，则①； ②． 【变式训练】（23-24七年级下·河北唐山·期中）如果被开方数的小数点向右每移动两位，那么它的算术平方根的小数点就（    ） A．向右移动一位 B．向右移动两位 C．向左移动一位 D．向左移动两位 【答案】A 【思路引导】本题考查算术平方根的性质，根据被开方数的小数点向右每移动两位，算术平方根的小数点向右平移1位，作答即可． 【规范解答】解：如果被开方数的小数点向右每移动两位，那么它的算术平方根的小数点就向右移动一位； 故选：A． 考点5：算术平方根的实际应用 【典例精讲】（24-25八年级上·江苏盐城·期中）（1）如图1，分别把两个边长为的小正方形沿一条对角线裁开，得到4个小三角形，然后拼成一个大正方形，则大正方形的边长为 ． （2）如图2，元旦手抄报展览即将开始．为制作出精美的主题展览作品，小华想用一张面积为的正方形卡纸，沿着边的方向裁出一张面积为的长方形卡纸，用于制作展览作品的背景．若设计长方形卡纸的长宽之比为，小华能用这张卡纸裁出符合要求的长方形卡纸吗？若能，请你帮助小华设计裁剪方案；若不能，请说明理由． 【答案】（1）；（2）小华不能用这块纸片裁出符合要求的纸片，理由见解析 【思路引导】本题主要考查了正方形的性质、一元二次方程的应用、算术平方根等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）先求出大正方形的面积，然后求其算术平方根即可； （2）设长方形纸片的长为，则宽为，再根据面积列一元二次方程求解，然后进行比较即可解答． 【规范解答】解：（1）由题意得：大正方形的面积， ∴大正方形的边长为． 故答案为∶ ． (2)∵长方形纸片的长宽之比为， ∴设长方形纸片的长为，则宽为， ∴， ∴，解得∶， 又∵， ∴， ∴长方形纸片的长为， 又∵，即：， ∴小华不能用这块纸片裁出符合要求的纸片． 【变式训练】（24-25八年级上·山西晋中·期中）某地气象资料表明：当地雷雨持续的时间可以用公式来估计，其中d是雷雨区域的直径． (1)如果某场雷雨区域的直径是，那么这场雷雨大约能持续多长时间？（结果保留根号） (2)如果这场雷雨持续了，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？（结果精确到；参考数据：） 【答案】(1)这场雷雨大约能持续 (2)这场雷雨区域的直径大约是 【思路引导】本题主要考查了算术平方根，立方根的应用，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键． （1）根据，其中是雷雨区域的直径，开算术平方，可得答案； （2）根据，其中，是雷雨持续时间，开立方，可得答案． 【规范解答】（1）解：把代入，得． ∴ 答：这场雷雨大约能持续； （2）解： 把代入，得． ∴． 答：这场雷雨区域的直径大约是． 考点6：求一个数的平方根 【典例精讲】（23-24七年级下·广西梧州·期中）已知某正数的两个平方根分别是和，的立方根是3，c是最大的负整数． (1)求的值； (2)若是a的算术平方根，是的立方根，求的平方根． 【答案】(1)26 (2) 【思路引导】本题主要考查平方根，算术平方根以及立方根的概念熟练掌握平方根的性质算术平方根的性质以及立方根的概念是解题的关键； （1）由正数的两个平方根分别是和，可求得的值，由的立方根是3，可以求得的值，由c是最大的负整数，可求得的值，即可求得的值； （2）根据算术平方根的概念即可求得的值，从而求得的值，根据立方根的概念可求得的值，从而求得的值，即可求得结果． 【规范解答】（1）解：∵某正数的两个平方根分别是和， ∴， ∴， 又∵的立方根是3， ∴， ∴， 又∵c是最大的负整数， ∴， ； （2）解：根据题意，得， 解得， ∴，， ∴， ∴4的平方根是． 【变式训练】（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）已知的算术平方根为，的立方根是，求的平方根． 【答案】 【思路引导】本题考查了算术平方根、立方根、平方根，先根据算术平方根和立方根的定义求出，，再求出的值，最后根据平方根的定义计算即可得解． 【规范解答】解：因为的第术平方根为2，的立方根是﹣1， 所以，所以， 所以，所以的平方根是． 考点7：求代数式的平方根 【典例精讲】（23-24七年级下·河南商丘·期中）已知的算术平方根是5，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【思路引导】根据算术平方根及平方根确定，，再由估算算术平方根的整数部分确定，将其代入代数式，然后计算平方根即可． 【规范解答】解：的算术平方根是5， ， 解得：． ∵的平方根是， ， 解得：． 是的整数部分，而， ， ， 的平方根为． 【考点剖析】此题题目主要考查算术平方根及平方根，估算算术平方根的整数部分，求代数式的平方根，熟练掌握这些基本运算是解题关键． 【变式训练】（22-23七年级下·福建莆田·期中）已知的算术平方根是3，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【思路引导】先依据算术平方根和平方根的定义列出关于、的方程组求得、的值，然后估算出的大小，可求得的值，接下来，求得的值，最后求它的平方根即可． 【规范解答】解：由题意得：， ，． ， ． ． ． 的平方根是． 【考点剖析】本题主要考查的是算术平方根、平方根的定义、估算算术平方根的整数部分，熟练掌握相关定义和方法是解题的关键． 考点8：已知一个数的平方根，求这个数 【典例精讲】（24-25七年级下·重庆·阶段练习）若一个正数的两个平方根分别是与，则这个正数是 ． 【答案】25 【思路引导】本题考查了平方根的性质：正数的两个平方根互为相反数，已知平方根求这个数；根据题意得，求得a，从而得到正数的两个平方根，即可求得这个正数． 【规范解答】解：∵一个正数的两个平方根分别是与， ∴， ∴， 即这个正数的平方根为； 而，即这个正数为25； 故答案为：25． 【变式训练】（24-25八年级上·河南新乡·期末）已知的平方根是，的立方根是3． (1)求m，n的值． (2)求的算术平方根． 【答案】(1)， (2)5 【思路引导】本题主要考查平方根、立方根的计算，掌握平方根，立方根的计算方法是解题的关键，平方根中正的根是算术平方根． （1）根据平方根得到的值，再代入立方根的计算式子中可得到的值； （2）把的值代入式子中，再根据算术平方根的计算即可求解． 【规范解答】（1）解：∵的平方根是， ∴， ∴， ∵的立方根是3， ∴， ∴， ∴． （2）解： ， ∴的算术平方根是5． 考点9：利用平方根解方程 【典例精讲】（2025七年级下·全国·专题练习）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【思路引导】本题主要考查了利用平方根解方程，立方根的实际应用（利用立方根的概念解方程）等知识点，熟练掌握利用平方根、立方根的概念解方程是解题的关键． （1）将看作一个整体，利用平方根解方程即可； （2）将看作一个整体，利用立方根的概念解方程即可． 【规范解答】（1）解：， ， 或； （2）解：， ， ， ． 【变式训练】（24-25八年级上·江苏无锡·期末）（1）计算：； （2）求的值：． 【答案】（1）；（2）或 【思路引导】本题考查了算术平方根，立方根，绝对值，利用平方根解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简算术平方根，立方根，绝对值，再运算加减法，即可作答． （2）先整理原式为，再开方，即可作答． 【规范解答】解：（1） ； （2）， ∴， ∴， ∴或． 1．（2025·江西·中考真题）下列各数中，是无理数的是（   ） A．0 B． C．3.14 D． 【答案】B 【思路引导】本题考查无理数的定义，根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．结合选项逐一判断即可． 【规范解答】解：A、0是整数，属于有理数，本选项不符合题意； B、是开方开不尽的数，属于无理数，本选项不符合题意； C、3.14是有限小数，属于有理数，本选项不符合题意； D、是分数，属于有理数，本选项不符合题意； 故选：B． 2．（2024·四川泸州·中考真题）计算： ． 【答案】2 【思路引导】本题考查的是求解一个数的算术平方根，直接根据算术平方根的含义求解即可. 【规范解答】解：， 故答案为： 3．（2025·贵州·中考真题）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则与的大小关系是 b．（填“”“”或“”） 【答案】 【思路引导】本题考查了实数的大小比较，实数与数轴，熟练掌握数轴上右边的点表示的数总比左边的大是解题的关键． 根据在数轴上，右边的点表示的数总比左边的大即可得到答案． 【规范解答】解：由数轴得：， ∴， 故答案为：． 4．（2025·青海·中考真题）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【思路引导】本题主要考查了根据点在数轴上的位置判断式子的正负，根据实数在数轴上对应点的位置，判定出符号以及绝对值的大小，即可进行判断即可，解题的关键是根据实数在数轴上的位置，正确判断出实数的符号和绝对值的大小． 【规范解答】解：由实数在数轴上对应点的位置可知：，，且， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（2024·天津·中考真题）估计的值应在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】C 【思路引导】本题考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键，要估计的值，可以通过比较已知的平方数来确定其范围． 【规范解答】解：∵，，且10介于9和16之间， ∴应在3和4之间， 故选：C． 基础夯实 1．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）计算的结果是（　　） A．9 B． C．3或 D．3 【答案】D 【思路引导】本题考查了求一个数的算术平方根． 先计算被开方数的值，再求其算术平方根即可． 【规范解答】解：， 故选：D． 2．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）下列说法正确的是（    ） A．的平方根是 B．平方根等于它本身的数是1和0 C．的算数平方根是9 D．近似数万精确到了千位 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了平方根、算术平方根的定义、近似数等知识点，熟练掌握相关知识是解题关键． 根据平方根、算式平方根、近似数的知识逐项判定即可． 【规范解答】解：A、是负数，负数没有平方根，不符合题意； B、平方根等于它本身的数是0，1的平方根是，不符合题意； C、，9的算术平方根是3，不符合题意； D、近似数万等于5200，即精确到了千位，符合题意． 故选：D． 3．（24-25八年级上·宁夏银川·阶段练习）下列八个实数：，，，，，3.14159265，，0.101001000100001…，其中无理数的个数是（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了无理数的定义，二次根式的化简．分别根据无理数、有理数的定义即可判断．注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数，如π，，（每两个8之间依次多1个0）等形式的数是无理数． 【规范解答】解：，，，， ，，，3.14159265，，这些都属于有理数； 无理数有，，0.101001000100001…，共有3个， 故选：A． 4．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·阶段练习），则 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了算术平方根和绝对值的非负性，求代数式的值，先由算术平方根和绝对值的非负性得出，，代入计算即可得解． 【规范解答】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴， 故选：B． 5．（24-25八年级上·河北唐山·期中）现在定义一种运算，其规则为，根据此规则，如果x满足，那么x的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了新定义下的运算，平方根的应用，理解新运算是关键；由规定的新运算得：，整理后用平方根的定义即可求解 【规范解答】解：∵， ∴， 即 解得：， 故选：C． 6．（2025·青海·中考真题）的算术平方根是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了算术平方根的定义，根据算术平方根的定义解答即可，掌握算术平方根的定义是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴的算术平方根是， 故答案为：． 7．计算： ． 【答案】 【思路引导】本题涉及算术平方根的概念．算术平方根是一个非负数的正的平方根．对于形如，先求出的值，再加上负号． 【规范解答】解： 故答案为：． 8．（24-25八年级上·甘肃天水·期中）若，则的值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了算术平方根的非负性，偶次方的非负性，根据题意得到，由此得到的值，代入计算即可． 【规范解答】解：， ∵， ∴， 解得，， ∴， 故答案为： ． 9．（24-25八年级上·重庆·期中）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了算术平方根、立方根、乘方，单项式乘多项式、多项式乘多项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简算术平方根、立方根、乘方，再运算加减，即可作答． （2）先运算单项式乘多项式、多项式乘多项式，再合并同类项，即可作答． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 10．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）已知的一个平方根是，的立方根是，是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【思路引导】此题题目主要考查算术平方根及平方根，估算算术平方根的整数部分，求代数式的平方根，熟练掌握这些基本运算是解题关键．根据算术平方根及平方根确定，，再由估算算术平方根的整数部分确定，将其代入代数式，然后计算平方根即可． 【规范解答】解：的算术平方根是5， ，解得：． ∵的立方根是， ， 解得：． 是的整数部分，而， ， ， 的平方根为． 培优拔高 11．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）下列说法正确的是（   ） A．的平方根是3 B． C．4的算术平方根是2 D．9的立方根是3 【答案】C 【思路引导】本题考查了平方根、算术平方根、立方根，根据平方根、算术平方根、立方根的定义逐项分析即可得解． 【规范解答】解：A、，故的平方根是，故原选项说法错误，不符合题意； B、，故原选项说法错误，不符合题意； C、4的算术平方根是2，故原选项说法正确，符合题意； D、9的立方根是，故原选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 12．（2024·广东广州·模拟预测）已知实数，满足，则的取值范围可在数轴表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了绝对值的性质，算术平方根的性质，不等式的性质和在数轴上表示不等式的解集．得出是解题的关键． 根据题意得出且，求解即可； 【规范解答】解：∵实数，满足，， ∴且， ∴，， ∴， 在数轴表示为， 故选：A． 13．（24-25八年级上·北京·期中）若，则的算术平方根为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了算术平方根的应用，完全平方公式的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． 设，，则，，所以，即，然后由算术平方根的定义即可求解． 【规范解答】解：设，， ∴，， ∴， ∴， ∴的算术平方根为， 故答案为：． 14．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）的整数部分记为a，算术平方根等于本身的正整数记为b，那么的立方根是 ． 【答案】3 【思路引导】本题考查了无理数的估算，立方根，算术平方根等知识，先估算，即可求出a，然后根据算术平方根的性质可求出b，把a、b代入计算，最后根据立方根的定义求解即可． 【规范解答】解∶∵， ∴，即， ∴的整数部分， ∵算术平方根等于本身的正整数记为b， ∴， ∴， ∴的立方根是， 故答案为：3． 15．（24-25八年级上·全国·期中）已知点是平面直角坐标系中一点，且满足，则点P关于原点的对称点的坐标是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了关于原点对称的点的坐标以及非负数性质，解决本题的关键是根据非负数性质求出a、b的值． 根据算术平方根和绝对值的非负数性质可得，，据此可得P的坐标，再根据关于原点对称的点的坐标规律解答即可． 【规范解答】解：∵ ∴，， 解得：，， ∴ ∵点P与点关于原点的对称， ∴． 故答案为：． 16．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在长方形中无重叠放入面积分别为12和16的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查算术平方根的应用，根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解． 【规范解答】解：∵在长方形中无重叠放入面积分别为12和16的两张正方形纸片， ∴大正方形的边长为，小正方形的边长为：， ∴，， ∴空白部分的面积为； 故答案为：． 17．（23-24八年级上·湖北黄石·阶段练习）如图是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． (1)观察图、图，请你写出、、之间的等量关系； (2)根据中的结论，若，，试求的值； 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查完全平方公式的几何背景，用代数式表示图形中各个部分的面积是正确解答的前提． （1）由图1和图2可得阴影部分面积即为边长的正方形面积，等于边长为的正方形面积减去四个长为，宽为的长方形面积； （2）根据即可求解． 【规范解答】（1）解：由图1和图2可得阴影部分面积即为边长的正方形面积，等于边长为的正方形面积减去四个长为，宽为的长方形面积， ∴； （2）解：由（1）可得：， ∵，， ∴， ∴． 18．（24-25八年级上·辽宁锦州·期中）按要求填空： (1)填表并观察规律： a 4 400 (2)根据你发现的规律填空： 已知：，则______； 已知：，，则______； (3)从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明． 【答案】(1)见解析 (2)，68 (3)求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位 【思路引导】本题考查了与算术平方根有关的规律问题，熟练掌握算术平方根的性质是解题关键． （1）先求出每个数的算术平方根，再填表即可； （2）根据（1）可得规律：求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位，由此即可得； （3）根据（1）解题过程找出规律即可． 【规范解答】（1）解：∵，，，， ∴，，，， 填表如下： 4 400 2 20 （2）解：由（1）可知，求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位， ∵， ∴被开方数的小数点向右移动2位得到580，则它的算术平方根的小数点向右移动1位，即； ∵，， ∴将被开方数的小数点向右移动4位即可得到， ∴； 故答案为：，68． （3）解：从以上问题的解决过程中，发现的规律：求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位． 19．（24-25八年级上·福建漳州·期中）三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，绘制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图所示，其中四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空的部分是一个小正方形，设直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为． (1)请利用所给的图形证明勾股定理； (2)若，，求小正方形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)9 【思路引导】本题考查了勾股定理的证明与应用、利用平方根解方程，熟练掌握勾股定理是解题关键． （1）方法一：利用正方形的面积公式计算大正方形的面积；方法二：大正方形的面积等于四个全等的直角三角形与中间空的小正方形的面积之和，根据两种方法计算的面积相等即可得证； （2）先利用勾股定理求出，从而可得的值，再利用正方形的面积公式计算即可得． 【规范解答】（1）证明：方法一：大正方形的面积为， 方法二：大正方形的面积等于四个全等的直角三角形与中间空的小正方形的面积之和， 则大正方形的面积为， 所以． （2）解：由（1）已证：， ∵，， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴小正方形的面积为． 20．（22-23七年级下·湖北宜昌·期中）已知：和是的两个不同的平方根，是的整数部分． (1)求，，的值． (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【思路引导】（1）一个正数的两个不同的平方根的和为0，可求出的值，把的值代入或，得到的一个平方根，可求出的值；由即，得到，求出的值； （2）将（1）中的值代入，求其平方根即可． 【规范解答】（1）解：由题意得，， 解得， ， ； ，即 的整数部分是3， ， 解得 故答案为：，， （2）把代入， 3的平方根是， 故答案为：． 【考点剖析】本题考查平方根的概念和平方根的性质，解题关键是一个正数的两个不同的平方根的和为0；一个数算术平方根的整数部分的确定方法：找到与被开方数最接近的两个平方数，较小的这个平方数的算术平方根即是它的整数部分；易错点是一个正数的算术平方根只有一个，它的平方根有两个，且一正一负． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1 平方根 （知识梳理+9个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共43题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：算术平方根 1 知识点梳理02：平方根 2 知识点梳理03：开平方 2 优选题型 考点讲练 3 考点1：求一个数的算术平方根 3 考点2：利用算术平方根的非负性解题 3 考点3：估计算术平方根的取值范围 3 考点4：与算术平方根有关的规律探索题 4 考点5：算术平方根的实际应用 4 考点6：求一个数的平方根 5 考点7：求代数式的平方根 6 考点8：已知一个数的平方根，求这个数 6 考点9：利用平方根解方程 7 中考真题 实战演练 7 难度分层 拔尖训练 7 基础夯实 7 培优拔高 9 知识点梳理01：算术平方根 1. 定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即：，那么这个正数x叫做a的算术平方根.规定：0的算术平方根是0. 【要点提示】算术平方根等于它本身的数只有0和1. 2、 表示方法：非负数a的算术平方根记作“”读作“根号a”，其中a叫做被开方数. 【要点提示】： （1） 被开方数a0; (2）其本身非负； （2） 只有正数和0才有算术平方根，负数没有算术平方根； （3） 即表示一种运算，又表示一个运算的结果，当表示一个运算时，就是求a的算术平方根；当表示运算结果时，就是指a的算术平方根为. 知识点梳理02：平方根 1.定义：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根，即如果，那么x叫做a的平方根. 2.表示方法：一个数a(a ≽0）的正的平方根，用符号“”表示，a叫被开方数，2叫做根指数，这时根指数2常常忽略不写，a的负的平方根记做读作“负根号a”，因此非负数a的平方根常常记作，读作：“正负根号a” 3.平方根的性质： （1）一个正数a有两个平方根，它们互为相反数，记作 （2）0的平方根为0； （3）负数没有平方根. 【要点提示】平方根与算术平方根的区别与联系： 区别：一个正数的算术平方根只有一个，平方根有两个，它们互为相反数； 联系：一个正数的算术平方根是其平方根中的一个，0的算术平方根与平方根都是0. 知识点梳理03：开平方 求一个数a()的平方根的运算，叫做开平方，a()开平方用“”表示，“”是一种运算符号. 考点1：求一个数的算术平方根 【典例精讲】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）若，则的值为 ． 【变式训练】（24-25七年级上·浙江温州·期末）已知关于的方程的解是，则的算术平方根是 ． 考点2：利用算术平方根的非负性解题 【典例精讲】（24-25七年级下·天津和平·阶段练习）已知：，求代数式的平方根． 【变式训练】（24-25八年级上·北京·期中）若，则的值等于 ． 考点3：估计算术平方根的取值范围 【典例精讲】（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）若一个边长为a正方形的面积为30，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（23-24七年级下·山东滨州·期中）小明用计算器求了一些正数的平方，记录如下表． 下面有四个推断：①；②一定有3个整数的算术平方根在之间；③对于小于15的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差小于．所有合理推断的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 考点4：与算术平方根有关的规律探索题 【典例精讲】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）我们知道，平方数的开平方运算可以直接求得，如等，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得．请你观察下表： a … 0.04 4 400 40000 … … x 2 y z … (1)表格中的三个值分别为： ________； ________； ________； (2)用公式表示这一规律：当（为整数）时，＝________； (3)利用这一规律，解决下面的问题： 已知，则①_______；②________． 【变式训练】（23-24七年级下·河北唐山·期中）如果被开方数的小数点向右每移动两位，那么它的算术平方根的小数点就（    ） A．向右移动一位 B．向右移动两位 C．向左移动一位 D．向左移动两位 考点5：算术平方根的实际应用 【典例精讲】（24-25八年级上·江苏盐城·期中）（1）如图1，分别把两个边长为的小正方形沿一条对角线裁开，得到4个小三角形，然后拼成一个大正方形，则大正方形的边长为 ． （2）如图2，元旦手抄报展览即将开始．为制作出精美的主题展览作品，小华想用一张面积为的正方形卡纸，沿着边的方向裁出一张面积为的长方形卡纸，用于制作展览作品的背景．若设计长方形卡纸的长宽之比为，小华能用这张卡纸裁出符合要求的长方形卡纸吗？若能，请你帮助小华设计裁剪方案；若不能，请说明理由． 【变式训练】（24-25八年级上·山西晋中·期中）某地气象资料表明：当地雷雨持续的时间可以用公式来估计，其中d是雷雨区域的直径． (1)如果某场雷雨区域的直径是，那么这场雷雨大约能持续多长时间？（结果保留根号） (2)如果这场雷雨持续了，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？（结果精确到；参考数据：） 考点6：求一个数的平方根 【典例精讲】（23-24七年级下·广西梧州·期中）已知某正数的两个平方根分别是和，的立方根是3，c是最大的负整数． (1)求的值； (2)若是a的算术平方根，是的立方根，求的平方根． 【变式训练】（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）已知的算术平方根为，的立方根是，求的平方根． 考点7：求代数式的平方根 【典例精讲】（23-24七年级下·河南商丘·期中）已知的算术平方根是5，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 【变式训练】（22-23七年级下·福建莆田·期中）已知的算术平方根是3，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 考点8：已知一个数的平方根，求这个数 【典例精讲】（24-25七年级下·重庆·阶段练习）若一个正数的两个平方根分别是与，则这个正数是 ． 【变式训练】（24-25八年级上·河南新乡·期末）已知的平方根是，的立方根是3． (1)求m，n的值． (2)求的算术平方根． 考点9：利用平方根解方程 【典例精讲】（2025七年级下·全国·专题练习）解下列方程： (1) ； (2)． 【变式训练】（24-25八年级上·江苏无锡·期末）（1）计算：； （2）求的值：． 1．（2025·江西·中考真题）下列各数中，是无理数的是（   ） A．0 B． C．3.14 D． 2．（2024·四川泸州·中考真题）计算： ． 3．（2025·贵州·中考真题）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则与的大小关系是 b．（填“”“”或“”） 4．（2025·青海·中考真题）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则 ．（填“”“”或“”） 5．（2024·天津·中考真题）估计的值应在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 基础夯实 1．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）计算的结果是（　　） A．9 B． C．3或 D．3 2．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）下列说法正确的是（    ） A．的平方根是 B．平方根等于它本身的数是1和0 C．的算数平方根是9 D．近似数万精确到了千位 3．（24-25八年级上·宁夏银川·阶段练习）下列八个实数：，，，，，3.14159265，，0.101001000100001…，其中无理数的个数是（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 4．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·阶段练习），则 （   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·河北唐山·期中）现在定义一种运算，其规则为，根据此规则，如果x满足，那么x的值为（　　） A． B． C． D． 6．（2025·青海·中考真题）的算术平方根是 ． 7．计算： ． 8．（24-25八年级上·甘肃天水·期中）若，则的值为 ． 9．（24-25八年级上·重庆·期中）计算： (1)． (2)． 10．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）已知的一个平方根是，的立方根是，是的整数部分，求的平方根． 培优拔高 11．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）下列说法正确的是（   ） A．的平方根是3 B． C．4的算术平方根是2 D．9的立方根是3 12．（2024·广东广州·模拟预测）已知实数，满足，则的取值范围可在数轴表示为（   ） A． B． C． D． 13．（24-25八年级上·北京·期中）若，则的算术平方根为 ． 14．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）的整数部分记为a，算术平方根等于本身的正整数记为b，那么的立方根是 ． 15．（24-25八年级上·全国·期中）已知点是平面直角坐标系中一点，且满足，则点P关于原点的对称点的坐标是 ． 16．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在长方形中无重叠放入面积分别为12和16的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为 ． 17．（23-24八年级上·湖北黄石·阶段练习）如图是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． (1)观察图、图，请你写出、、之间的等量关系； (2)根据中的结论，若，，试求的值； 18．（24-25八年级上·辽宁锦州·期中）按要求填空： (1)填表并观察规律： a 4 400 (2)根据你发现的规律填空： 已知：，则______； 已知：，，则______； (3)从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明． 19．（24-25八年级上·福建漳州·期中）三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，绘制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图所示，其中四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空的部分是一个小正方形，设直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为． (1)请利用所给的图形证明勾股定理； (2)若，，求小正方形的面积． 20．（22-23七年级下·湖北宜昌·期中）已知：和是的两个不同的平方根，是的整数部分． (1)求，，的值． (2)求的平方根． 学科网（北京）股份有限公司 $$