第18讲 万有引力定律及其应用（复习讲义）（山东专用）2026年高考物理一轮复习讲练测

第18讲 万有引力定律及其应用 目录 01 考情解码·命题预警 2 02 体系构建·思维可视 3 03 核心突破·靶向攻坚 4 考点一 开普勒行星运动定律 4 知识点 开普勒行星运动定律 4 考向1 开普勒第二定律的应用 4 考向2 开普勒第三定律的应用 5 考点二 万有引力定律的理解和应用 7 知识点1 万有引力定律的理解和应用 7 知识点2 星体表面上的重力加速度 7 知识点3 万有引力的“两个推论” 8 考向1 万有引力与重力的关系 8 考向2 天体不同位置重力加速度 9 考点三 天体质量密度估算 10 知识点1 “自力更生”法(g－R) 10 知识点2 “借助外援”法(T－r) 10 考向1 “自力更生”法估算天体质量密度 10 考向2 “借助外援”法估算天体质量密度 11 04 真题溯源·考向感知 13 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 开普勒三定律 选择题 非选择题 安徽卷卷T9 湖南卷T4 广东卷T5 云南卷T5 浙江1月卷T6 浙江6月卷T8 安徽卷T5 山东卷T5 万有引力定律 选择题 非选择题 海南卷T6 广西卷T1 新疆河南卷T3 北京卷T21 山东卷T3 山东卷T7 考情分析： 1．高考对万有引力定律应用的考查各地几乎每年都考，大多以选择题的形式考查，最近几年对这部分内容考查的难度不大。 2．从命题思路上看，试题情景多为利用万有引力定律估算天体质量和密度 复习目标： 目标一：掌握开普勒定律和万有引力定律。 目标二：能够应用万有引力定律估算天体的质量密度。 开普勒定律万有引力定律 开普勒行星运动定律 轨道定律：行星绕太阳运动轨道为 轨道 面积定律：同一行星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积 周期定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都 。 万有引力定律的理解和应用 引力定律内容 引力方向在连线上，大小与质量乘积成正比，与距离 成反比 引力表达式 F = G为引力常量，G = 6.67×10-11 N·m2/kg2 适用条件 间相互作用 质量分布均匀的球体视为质点 万有引力与重力关系 赤道与两极重力差异 赤道上：G = mg1 + mω2R 两极上：G = mg2 星体表面的重力加速度 地球表面重力加速度g g = 地球上空重力加速度g′ g′ = G(R + h)2 / R2 万有引力的“两个推论” 匀质球壳空腔内万有引力 合力为零，即F引=0 匀质球体内部万有引力 等于球体内半径为r的同心球体对其的引力 天体质量密度估算 “自力更生”法 利用重力加速度g和天体半径R 天体质量M = 天体密度ρ =3g/4πGR “借助外援”法 测卫星周期T和半径r 天体质量M = 天体密度ρ =3πr3/GT2R3 考点一 开普勒行星运动定律 知识点 开普勒行星运动定律 定　律 内　　容 图示或公式 开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在　　　　的一个 上 开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积 开普勒第三定律(周期定律) 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都   =k,k是一个与行星无关的常量 得分速记 (1)行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理； (2)面积定律是对 而言的,不同的行星相等时间内扫过的面积不等； (3)该比值只与 有关,不同的中心天体值不同。 考向1 开普勒第二定律的应用 例1 中国的二十四节气是中华民族优秀的文化传统与祖先广博智慧的世代传承，被国际气象界誉为中国“第五大发明”。如图所示为地球沿椭圆轨道绕太阳运动所处的四个位置，分别对应我国2024年的四个节气。冬至和夏至时地球中心与太阳中心的距离分别为、，下列说法正确的是（　　） A．冬至时地球的运行速度最小 B．地球运行到冬至和夏至时，运行速度之比为 C．地球由春分运行到秋分的时间等于年 D．地球由春分运行到夏至的过程中加速度逐渐增大 【变式训练1-1】如图，两卫星仅受火星引力作用绕火星运行，卫星1轨道为圆，卫星2轨道为椭圆。下列说法正确的是（　　） A．卫星1的速度大于卫星2在远火点的速度 B．卫星1、卫星2与火星的连线在相等时间内扫过的面积一定相等 C．卫星1受火星的万有引力一定小于卫星2在近火点受火星的万有引力 D．卫星2在近火点的速度小于在远火点的速度 【变式训练1-2】天文学家利用万有引力定律计算天王星位置的过程中，出现了一定的误差。他们猜测在天王星的轨道外，肯定有一颗没有发现的行星，该行星的引力不断地影响着天王星的运动。最终，科学家们通过计算“找”到了这颗遥远的行星———海王星。若海王星绕太阳逆时针运行的运动轨迹如图所示，图中AC为长轴，BD为短轴，若只考虑万有引力的作用，下列说法正确的是（　　） A．海王星在A点的速率小于在B点的速率 B．海王星在B点的加速度与在D点的加速度相同 C．海王星从A到B的过程中与太阳的连线在单位时间内扫过的面积比从B到C的大 D．海王星从C到D所用的时间大于从D到A的时间 考向2 开普勒第三定律的应用 例2如图所示，神舟十七号载人飞船绕地球沿椭圆轨道运动，运动周期为T，图中虚线为飞船的运行轨迹，A、B、C、D是轨迹上的四个位置，其中A 点距离地球最近，C点距离地球最远。B点和D 点是弧线ABC和ADC的中点，下列说法正确的是（　　） A．飞船在 C 点所受地球引力最大 B．飞船在 A 点运行速度最小 C．飞船从 B 点经 C到D 点的运动时间等于 D．若用r代表椭圆轨道的半长轴，T代表飞船运动周期，则 ，神舟十七号飞船和月球绕地球运行对应的k值相等 【变式训练2-1】如图所示，在某次发射卫星过程中，卫星由近地圆轨道进入椭圆轨道，图中O点为地心，地球半径为R，A点是近地轨道和椭圆轨道的切点，远地点B离地面高度为6R，设卫星在近地轨道运动的周期为T，下列说法正确的是（　　） A．卫星由近地圆形轨道的A点进入椭圆轨道需要使卫星减速 B．卫星在椭圆轨道上通过A点时的速度大于通过B点时的速度 C．卫星在椭圆轨道上通过A点时的加速度是通过B点时加速度的36倍 D．卫星在椭圆轨道上由A点经时间T刚好能到达B点 【变式训练2-2·变考法】某行星的卫星A、B绕以该行星为焦点的椭圆轨道运行，作用于A、B的引力随时间的变化如图所示，其中，行星到卫星A、B轨道上点的距离分别记为，假设A、B只受到行星的引力，下列说法正确的是（　　） A．B与A的绕行周期之比为 B． 的最大值与的最小值之比为 C． 的最小值与的最大值之比为 D．卫星A与卫星B的质量之比为 考点二 万有引力定律的理解和应用 知识点1 万有引力定律的理解和应用 1．万有引力定律 （1）内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成 、与它们之间距离r的二次方成 。 （2）表达式：F＝G，G是比例系数，叫作引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2。 （3）适用条件： ①公式适用于 间的相互作用。当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。 ②质量分布均匀的球体可视为质点，r是 间的距离。 2．万有引力与重力的关系 地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。 (1)在赤道上：G＝ 。 (2)在两极上：G＝ 。 知识点2 星体表面上的重力加速度 1.在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)：mg＝G，得g＝。 2.在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′，由，得 所以。 知识点3 万有引力的“两个推论” 推论1:在匀质球壳的空腔内任意位置处,质点受到球壳的万有引力的合力为 ,即F引= 。 推论2:在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M')对其的万有引力,即F=G。 考向1 万有引力与重力的关系 例1某宇航员到一未知星球进行科学考察，在该星球两极处测量一质量为m 的物体，其重力为F₁，在赤道处测量同一物体的重力为F₂。已知该星球的自转周期为T，该星球的半径为（　　） A． B． C． D． 【变式训练1-1】精确的实验发现，在地球表面不同的地方，g的大小一般是不同的。在赤道的海平面处g为9.780，在北极处g为9.832。已知地球质量为M，引力常量为G。将地球视为半径为R、质量均匀分布的球体。在北极有个矿井，矿井深度为d，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。将质量为m的待测物体悬挂在弹簧测力计上，处于静止状态，下列说法正确的是（　　） A．在北极处，弹簧测力计读数 B．在赤道处，弹簧测力计读数 C．在北极沿地轴方向深d的矿井内，弹簧测力计读数为 D．在轨道半径为的空间站上，弹簧测力计读数为 【变式训练1-2·变考法】棕熊乔伊因白化病被误认为是北极熊，曾两次被送到北极，还有一次被送到位于赤道的北极馆，差点被冻僵，被称为史上最惨棕熊。若乔伊质量始终为m，它在北极和北极馆的重力差为，地球半径R，则可求出同步卫星运动的角速度为（　　） A． B． C． D． 考向2 天体不同位置重力加速度 例2将地球视为质量均匀分布的球体，不考虑地球自转，其表面的重力加速度为。若考虑地球自转，则其表面纬度为处的重力加速度（地球半径为R、自转角速度为）（　　） A． B． C． D． 【变式训练2-1·变情景】火箭载着宇宙探测器飞向某行星，火箭内平台上还放有测试仪器，如图所示。火箭从地面起飞时，以加速度竖直向上做匀加速直线运动（为地面附近的重力加速度），升到某一高度时，测试仪器对平台的压力刚好是起飞时压力的，已知地球半径为，万有引力常量为G，该处的重力加速度g和火箭离地面的高度力正确的是（　　） A．= B．= C．h= D．h= 【变式训练2-2·变考法】如图甲所示，质量分布均匀的球壳，对其内部任意一点的万有引力为零。将地球视为质量分布均匀的球体，从地表往地心挖一条很窄的矿井，从井口静止释放一物块。忽略一切摩擦和地球的自转，从地表到地心，物块的速度-时间图像，加速度-时间图像大致正确的是（　　） A． B． C． D． 考点三 天体质量密度估算 知识点1 “自力更生”法(g－R) 利用天体表面的重力加速度g和天体半径R。 (1)由G＝mg得天体质量M＝ 。 (2)天体密度ρ＝＝＝ 。 (3)GM＝ 称为黄金代换公式。　 知识点2 “借助外援”法(T－r) 测出卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和半径r。 (1)由G＝mr得天体的质量M＝ 。 (2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝ 。 (3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝ ，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。 考向1 “自力更生”法估算天体质量密度 例1由中国科学院云南天文台牵头的国际研究团队，在一颗类似太阳的恒星周围发现了一颗位于宜居带的“超级地球”Kepler-725c。假设未来人类移居该星球，为测量该星球的质量，某人从倾角为θ的斜面上方某处以大小为v0的水平速度抛出小球，小球在空中运动时间t后恰好垂直击中斜面。已知引力常量为G，该星球的半径为R，不计空气阻力和该星球的自转影响，则该星球的质量为（　　） A． B． C． D． 【变式训练1-1·变载体】2020年12月 17日凌晨，嫦娥五号到月球“挖土”成功返回。作为中国复杂度最高、技术跨度最大的航天系统工程，嫦娥五号任务实现了多项重大突破，标志着中国探月工程“绕、落、回”三步走规划完美收官。若探测器测得月球表面的重力加速度为，已知月球的半径为，地球表面的重力加速度为g，地球的半径为 R，忽略地球、月球自转的影响，则（　　） A．月球质量与地球质量之比为 B．月球第一宇宙速度与地球第一宇宙速度之比为 C．嫦娥五号在月球表面所受万有引力与在地球表面所受万有引力之比为 D．若质量相同的小球，分别在月球、地球表面相同高度处，以相同的水平抛出，忽略空气阻力，则两小球在月球、地球表面运动的水平位移之比为 【变式训练1-2】质量为的物体在地球两极受到的重力为，在赤道上受到的重力为，假设地球是质量分布均匀的球体，半径为，引力常量为，则由此可知（    ） A．地球的平均密度为 B．地球的第一宇宙速度为 C．地球同步卫星的转速为 D．围绕地球做匀速圆周运动的卫星，周期为，其与地球球心的距离为 考向2 “借助外援”法估算天体质量密度 例2“北斗”是我国自主研制、独立运行的全球卫星导航系统，某同步卫星的对地张角为2θ，运行轨道如图中圆形虚线所示。已知地球半径为R、自转周期为T、地球表面重力加速度为g，万有引力常量为G。由此可知地球的质量为（　　） A． B． C． D． 【变式训练2-1·变载体】2025年1月7日，我国在西昌卫星发射中心使用长征三号乙运载火箭，成功将实践二十五号卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功。若卫星入轨后沿椭圆轨道绕地球运动，如图所示，设卫星在近地点、远地点的线速度大小分别为、，近地点到地心的距离为，远地点到地心的距离为，卫星的运行周期为，引力常量为，则地球的质量可表示为（　　） A． B． C． D． 【变式训练2-2·变载体】2020年4月24日，中国行星探测任务被命名为“天问系列”，该名称源于屈原长诗《天问》，表达了中华民族对真理追求的坚韧与执着，体现了对自然和宇宙空间探索的文化传承，寓意探求科学真理征途漫漫，追求科技创新永无止境。假设“天问一号”探测器在距火星表面h的轨道上做周期为T的匀速圆周运动，火星的半径为R，万有引力常量为G。将火星视为均匀球体，则下列说法正确的是（　　） A．火星的密度ρ= B．火星的第一宇宙速度v= C．火星的质量M= D．火星表面的重力加速度g= 1．（2025·湖南·高考真题）我国研制的“天问二号”探测器，任务是对伴地小行星及彗星交会等进行多目标探测。某同学提出探究方案，通过释放卫星绕小行星进行圆周运动，可测得小行星半径R和质量M。为探测某自转周期为的小行星，卫星先在其同步轨道上运行，测得距离小行星表面高度为h，接下来变轨到小行星表面附近绕其做匀速圆周运动，测得周期为。已知引力常量为G，不考虑其他天体对卫星的引力，可根据以上物理得到。下列选项正确的是（　　） A．a为为为 B．a为为为 C．a为为为 D．a为为为 2．（2025·广东·高考真题 ）一颗绕太阳运行的小行星，其轨道近日点和远日点到太阳的距离分别约为地球到太阳距离的5倍和7倍。关于该小行星，下列说法正确的是（　　） A．公转周期约为6年 B．从远日点到近日点所受太阳引力大小逐渐减小 C．从远日点到近日点线速度大小逐渐减小 D．在近日点加速度大小约为地球公转加速度的 3．（2024·海南·高考真题）嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，引力常量为G，则月球的平均密度为（　　） A． B． C． D． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第18讲 万有引力定律及其应用 目录 01 考情解码·命题预警 2 02 体系构建·思维可视 3 03 核心突破·靶向攻坚 4 考点一 开普勒行星运动定律 4 知识点 开普勒行星运动定律 4 考向1 开普勒第二定律的应用 4 考向2 开普勒第三定律的应用 6 考点二 万有引力定律的理解和应用 9 知识点1 万有引力定律的理解和应用 9 知识点2 星体表面上的重力加速度 10 知识点3 万有引力的“两个推论” 10 考向1 万有引力与重力的关系 10 考向2 天体不同位置重力加速度 12 考点三 天体质量密度估算 14 知识点1 “自力更生”法(g－R) 14 知识点2 “借助外援”法(T－r) 14 考向1 “自力更生”法估算天体质量密度 14 考向2 “借助外援”法估算天体质量密度 17 04 真题溯源·考向感知 19 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 开普勒三定律 选择题 非选择题 安徽卷卷T9 湖南卷T4 广东卷T5 云南卷T5 浙江1月卷T6 浙江6月卷T8 安徽卷T5 山东卷T5 万有引力定律 选择题 非选择题 海南卷T6 广西卷T1 新疆河南卷T3 北京卷T21 山东卷T3 山东卷T7 考情分析： 1．高考对万有引力定律应用的考查各地几乎每年都考，大多以选择题的形式考查，最近几年对这部分内容考查的难度不大。 2．从命题思路上看，试题情景多为利用万有引力定律估算天体质量和密度 复习目标： 目标一：掌握开普勒定律和万有引力定律。 目标二：能够应用万有引力定律估算天体的质量密度。 开普勒定律万有引力定律 开普勒行星运动定律 轨道定律：行星绕太阳运动轨道为椭圆轨道 面积定律：同一行星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等 周期定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等 万有引力定律的理解和应用 引力定律内容 引力方向在连线上，大小与质量乘积成正比，与距离平方成反比 引力表达式 F = G m1 m2/ r2 G为引力常量，G = 6.67×10-11 N·m2/kg2 适用条件 质点间相互作用 质量分布均匀的球体视为质点 万有引力与重力关系 赤道与两极重力差异 赤道上：G = mg1 + mω2R 两极上：G = mg2 星体表面的重力加速度 地球表面重力加速度g g = GM/R2 地球上空重力加速度g′ g′ = G(R + h)2 / R2 万有引力的“两个推论” 匀质球壳空腔内万有引力 合力为零，即F引=0 匀质球体内部万有引力 等于球体内半径为r的同心球体对其的引力 天体质量密度估算 “自力更生”法 利用重力加速度g和天体半径R 天体质量M = gR2 / G 天体密度ρ =3g/4πGR “借助外援”法 测卫星周期T和半径r 天体质量M = 4π2 r3 / GT2 天体密度ρ =3πr3/GT2R3 考点一 开普勒行星运动定律 知识点 开普勒行星运动定律 定　律 内　　容 图示或公式 开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在　　　　的一个焦点上 开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等 开普勒第三定律(周期定律) 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等  =k,k是一个与行星无关的常量 得分速记 (1)行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理； (2)面积定律是对同一个行星而言的,不同的行星相等时间内扫过的面积不等； (3)该比值只与中心天体的质量有关,不同的中心天体值不同。 考向1 开普勒第二定律的应用 例1 中国的二十四节气是中华民族优秀的文化传统与祖先广博智慧的世代传承，被国际气象界誉为中国“第五大发明”。如图所示为地球沿椭圆轨道绕太阳运动所处的四个位置，分别对应我国2024年的四个节气。冬至和夏至时地球中心与太阳中心的距离分别为、，下列说法正确的是（　　） A．冬至时地球的运行速度最小 B．地球运行到冬至和夏至时，运行速度之比为 C．地球由春分运行到秋分的时间等于年 D．地球由春分运行到夏至的过程中加速度逐渐增大 【答案】B 【详解】A．开普勒第二定律（面积定律）指出，行星与太阳连线在相等时间内扫过的面积相等。因此，地球在近日点（冬至）的速度最大，在远日点（夏至）的速度最小，故A错误； B．根据开普勒第二定律，地球从轨道的冬至位置经过足够短的时间t，与太阳连线扫过的面积可看作很小的扇形其面积同理，在夏至位置经过足够短的时间t，由于故B正确； C．由开普勒第二定律可知，远地点附近速度慢，时间长，所以时间大于公转周期的，故C错误； D．由万有引力公式解得地球由春分运行到夏至的过程中r变大，故该过程加速度减小，故D错误。故选B。 【变式训练1-1】如图，两卫星仅受火星引力作用绕火星运行，卫星1轨道为圆，卫星2轨道为椭圆。下列说法正确的是（　　） A．卫星1的速度大于卫星2在远火点的速度 B．卫星1、卫星2与火星的连线在相等时间内扫过的面积一定相等 C．卫星1受火星的万有引力一定小于卫星2在近火点受火星的万有引力 D．卫星2在近火点的速度小于在远火点的速度 【答案】A 【详解】A．卫星1离火星的距离小于卫星2在远火点离火星的距离，根据 解得，可知卫星1在圆轨道的速度大于卫星2经过远火点所做圆轨道的速度，而卫星2在远火点的速度小于该点圆轨道的速度，故卫星1的速度大于卫星2在远火点的速度，故A正确； B．根据开普勒第二定律，相等时间内扫过的面积相等是指同一轨道，则卫星1、卫星2与火星的连线在相等时间内扫过的面积不一定相等，故B错误； C．因为卫星1、卫星2的质量关系未知，所以卫星1受火星的万有引力不一定小于卫星2在近火点受火星的万有引力，故C错误； D．由开普勒第二定律可知，卫星2在近火点的速度大于在远火点的速度，故D错误。故选A。 【变式训练1-2】天文学家利用万有引力定律计算天王星位置的过程中，出现了一定的误差。他们猜测在天王星的轨道外，肯定有一颗没有发现的行星，该行星的引力不断地影响着天王星的运动。最终，科学家们通过计算“找”到了这颗遥远的行星———海王星。若海王星绕太阳逆时针运行的运动轨迹如图所示，图中AC为长轴，BD为短轴，若只考虑万有引力的作用，下列说法正确的是（　　） A．海王星在A点的速率小于在B点的速率 B．海王星在B点的加速度与在D点的加速度相同 C．海王星从A到B的过程中与太阳的连线在单位时间内扫过的面积比从B到C的大 D．海王星从C到D所用的时间大于从D到A的时间 【答案】D 【详解】AC．根据开普勒第二定律可知，海王星与太阳的连线在单位时间内扫过的面积相等，其离太阳越近，转动线速度越大，因为A点到太阳的距离小于B点到太阳的距离，所以其在A点的速率大于在B点的速率，故AC错误； B．由题图可知，海王星在B、D两点与太阳的连线不在同一方向，故加速度的方向不同，故B错误； D．由上述分析可知，海王星在AB段的平均速率大于在BC段的平均速率，故 根据对称性，海王星在CD段的速率小于在DA 段的速率，故 故D正确。故选D。 考向2 开普勒第三定律的应用 例2如图所示，神舟十七号载人飞船绕地球沿椭圆轨道运动，运动周期为T，图中虚线为飞船的运行轨迹，A、B、C、D是轨迹上的四个位置，其中A 点距离地球最近，C点距离地球最远。B点和D 点是弧线ABC和ADC的中点，下列说法正确的是（　　） A．飞船在 C 点所受地球引力最大 B．飞船在 A 点运行速度最小 C．飞船从 B 点经 C到D 点的运动时间等于 D．若用r代表椭圆轨道的半长轴，T代表飞船运动周期，则 ，神舟十七号飞船和月球绕地球运行对应的k值相等 【答案】D 【详解】A．根据 由于C点距离地球最远，则飞船在 C 点所受地球引力最小，故A错误； B．飞船从A点到轨道上其它位置过程中，万有引力与速度方向夹角为钝角，万有引力具有减速效果，可知，飞船在 A 点运行速度最大，故B错误； C．结合上述可知，飞船从ABC或ADC运动时，速度均减小，即BCD运动过程的平均速率小于BAD运动过程的平均速率，可知，BCD运动过程的时间大于BAD运动过程的时间，可知，飞船从 B 点经 C到D 点的运动时间大于，故C错误； D．若将飞船与月球绕地运动的运动简化为匀速圆周运动，则有 解得 可知，由中心天体的质量决定，即若用r代表椭圆轨道的半长轴，T代表飞船运动周期，则 ，神舟十七号飞船和月球绕地球运行对应的k值相等，故D正确。 故选D。 【变式训练2-1】如图所示，在某次发射卫星过程中，卫星由近地圆轨道进入椭圆轨道，图中O点为地心，地球半径为R，A点是近地轨道和椭圆轨道的切点，远地点B离地面高度为6R，设卫星在近地轨道运动的周期为T，下列说法正确的是（　　） A．卫星由近地圆形轨道的A点进入椭圆轨道需要使卫星减速 B．卫星在椭圆轨道上通过A点时的速度大于通过B点时的速度 C．卫星在椭圆轨道上通过A点时的加速度是通过B点时加速度的36倍 D．卫星在椭圆轨道上由A点经时间T刚好能到达B点 【答案】B 【详解】A．卫星在A点只受万有引力作用，在圆轨道上运行时，万有引力等于向心力，卫星做匀速圆周运动；要使卫星进入椭圆轨道，必须使卫星在A点受到的万有引力小于所需的向心力，卫星做离心运动，所以卫星由近地圆形轨道的A点进入椭圆轨道需要使卫星加速，故A错误； B．根据开普勒第二定律可知，卫星在椭圆轨道上通过A点时的速度大于通过B点时的速度，故B正确； C．卫星运行时只受万有引力作用，根据牛顿第二定律得得卫星的加速度为因此，卫星在椭圆轨道上通过A点时的加速度与通过B点时加速度之比为故C错误； D．由开普勒三定律可知椭圆轨道（半长轴为4R）和圆轨道（半径为R）围绕的中心天体都是地球，故k相等，那么椭圆轨道周期T1与圆轨道周期T关系如下则得T1＝8T所以卫星在椭圆轨道上由A点经T1＝4T的时间刚好能到达B点，故D错误。故选B。 【变式训练2-2·变考法】某行星的卫星A、B绕以该行星为焦点的椭圆轨道运行，作用于A、B的引力随时间的变化如图所示，其中，行星到卫星A、B轨道上点的距离分别记为，假设A、B只受到行星的引力，下列说法正确的是（　　） A．B与A的绕行周期之比为 B． 的最大值与的最小值之比为 C． 的最小值与的最大值之比为 D．卫星A与卫星B的质量之比为 【答案】B 【详解】A．由图，A、B周期为，其中，故B与A绕行周期之比故A错误； BCD．由图，当最小时当最大时当最小时当最大时根据开普勒第三定律联立，解得，，故B正确，CD错误。故选B。 考点二 万有引力定律的理解和应用 知识点1 万有引力定律的理解和应用 1．万有引力定律 （1）内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比。 （2）表达式：F＝G，G是比例系数，叫作引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2。 （3）适用条件： ①公式适用于质点间的相互作用。当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。 ②质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离。 2．万有引力与重力的关系 地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。 (1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R。 (2)在两极上：G＝mg2。 知识点2 星体表面上的重力加速度 1.在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)：mg＝G，得g＝。 2.在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′，由，得 所以。 知识点3 万有引力的“两个推论” 推论1:在匀质球壳的空腔内任意位置处,质点受到球壳的万有引力的合力为零,即F引=0。 推论2:在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M')对其的万有引力,即F=G。 考向1 万有引力与重力的关系 例1某宇航员到一未知星球进行科学考察，在该星球两极处测量一质量为m 的物体，其重力为F₁，在赤道处测量同一物体的重力为F₂。已知该星球的自转周期为T，该星球的半径为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在两极处，重力等于万有引力，有 在赤道处，物体随星球自转做圆周运动，有 其中角速度，代入得 联立解得，星球半径。 故选A。 【变式训练1-1】精确的实验发现，在地球表面不同的地方，g的大小一般是不同的。在赤道的海平面处g为9.780，在北极处g为9.832。已知地球质量为M，引力常量为G。将地球视为半径为R、质量均匀分布的球体。在北极有个矿井，矿井深度为d，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。将质量为m的待测物体悬挂在弹簧测力计上，处于静止状态，下列说法正确的是（　　） A．在北极处，弹簧测力计读数 B．在赤道处，弹簧测力计读数 C．在北极沿地轴方向深d的矿井内，弹簧测力计读数为 D．在轨道半径为的空间站上，弹簧测力计读数为 【答案】C 【详解】A．在北极处，地球自转的向心加速度为零，弹簧测力计读数等于万有引力，故A错误； B．在赤道处，物体随地球自转需要向心力，测力计读数 故B错误； C．矿井深度为时，有效引力仅来自半径为的球体，其质量为 引力为 故C正确； D．空间站处于完全失重状态，弹簧测力计读数为零，故D错误。 故选C。 【变式训练1-2·变考法】棕熊乔伊因白化病被误认为是北极熊，曾两次被送到北极，还有一次被送到位于赤道的北极馆，差点被冻僵，被称为史上最惨棕熊。若乔伊质量始终为m，它在北极和北极馆的重力差为，地球半径R，则可求出同步卫星运动的角速度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】乔伊在北极时有 乔伊在北极馆时有 其中 同步卫星运动的角速度解得故选B。 考向2 天体不同位置重力加速度 例2将地球视为质量均匀分布的球体，不考虑地球自转，其表面的重力加速度为。若考虑地球自转，则其表面纬度为处的重力加速度（地球半径为R、自转角速度为）（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】不考虑地球自转，其表面的重力加速度为，则有 若考虑地球自转，则其表面纬度为处物体的万有引力垂直于地轴的分力提供自转所需向心力，一个分力即为重力，如图所示 根据余弦定理有 结合上述解得 故选B。 【变式训练2-1·变情景】火箭载着宇宙探测器飞向某行星，火箭内平台上还放有测试仪器，如图所示。火箭从地面起飞时，以加速度竖直向上做匀加速直线运动（为地面附近的重力加速度），升到某一高度时，测试仪器对平台的压力刚好是起飞时压力的，已知地球半径为，万有引力常量为G，该处的重力加速度g和火箭离地面的高度力正确的是（　　） A．= B．= C．h= D．h= 【答案】C 【详解】AB．取测试仪为研究对象，由牛顿第二定律有距离地面高度h时，由牛顿第二定律有联立解得故AB错误； CD．距离地面高度h时，有因为联立解得故C正确，D错误。故选C。 【变式训练2-2·变考法】如图甲所示，质量分布均匀的球壳，对其内部任意一点的万有引力为零。将地球视为质量分布均匀的球体，从地表往地心挖一条很窄的矿井，从井口静止释放一物块。忽略一切摩擦和地球的自转，从地表到地心，物块的速度-时间图像，加速度-时间图像大致正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】AB．设地球的密度为，当物块距地心的距离为时，受到的万有引力为 其中 解得 根据牛顿第二定律，可得加速度为 因越来越小，所以加速度越来越小；图像斜率 因物块向地心下落，速率越来越大，故图像斜率增大，故A错误，B正确； CD．速度一时间图像的斜率是加速度，由上分析可知，加速度越来越小，故CD错误。故选B。 考点三 天体质量密度估算 知识点1 “自力更生”法(g－R) 利用天体表面的重力加速度g和天体半径R。 (1)由G＝mg得天体质量M＝。 (2)天体密度ρ＝＝＝。 (3)GM＝gR2称为黄金代换公式。　 知识点2 “借助外援”法(T－r) 测出卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和半径r。 (1)由G＝mr得天体的质量M＝。 (2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝。 (3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。 考向1 “自力更生”法估算天体质量密度 例1由中国科学院云南天文台牵头的国际研究团队，在一颗类似太阳的恒星周围发现了一颗位于宜居带的“超级地球”Kepler-725c。假设未来人类移居该星球，为测量该星球的质量，某人从倾角为θ的斜面上方某处以大小为v0的水平速度抛出小球，小球在空中运动时间t后恰好垂直击中斜面。已知引力常量为G，该星球的半径为R，不计空气阻力和该星球的自转影响，则该星球的质量为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设该星球表面的重力加速度大小为g，小球垂直击中斜面，则有 质量为m的物体在该星球表面时有 解得 故选D。 【变式训练1-1·变载体】2020年12月 17日凌晨，嫦娥五号到月球“挖土”成功返回。作为中国复杂度最高、技术跨度最大的航天系统工程，嫦娥五号任务实现了多项重大突破，标志着中国探月工程“绕、落、回”三步走规划完美收官。若探测器测得月球表面的重力加速度为，已知月球的半径为，地球表面的重力加速度为g，地球的半径为 R，忽略地球、月球自转的影响，则（　　） A．月球质量与地球质量之比为 B．月球第一宇宙速度与地球第一宇宙速度之比为 C．嫦娥五号在月球表面所受万有引力与在地球表面所受万有引力之比为 D．若质量相同的小球，分别在月球、地球表面相同高度处，以相同的水平抛出，忽略空气阻力，则两小球在月球、地球表面运动的水平位移之比为 【答案】C 【详解】A．星球表面重力等于引力，则有 解得 结合题中数据，可知月球质量与地球质量之比为 ，故A错误； B．根据 解得第一宇宙速度 结合题中数据，可知月球第一宇宙速度与地球第一宇宙速度之比为，故B错误； C．星球表面重力等于引力，嫦娥五号在月球表面所受万有引力与在地球表面所受万有引力之比为，故C正确； D．根据平抛规律有 联立解得 故两小球在月球、地球表面运动的水平位移之比为，故D错误。 故选C。 【变式训练1-2】质量为的物体在地球两极受到的重力为，在赤道上受到的重力为，假设地球是质量分布均匀的球体，半径为，引力常量为，则由此可知（    ） A．地球的平均密度为 B．地球的第一宇宙速度为 C．地球同步卫星的转速为 D．围绕地球做匀速圆周运动的卫星，周期为，其与地球球心的距离为 【答案】D 【详解】A．根据万有引力等于重力，则有 地球的密度为 解得 故A错误； B．卫星在地球表面附近运行时的环绕速度等于第一宇宙速度，受到的万有引力等于重力，则 可得 故B错误； C．在赤道，引力为重力和向心力的矢量和，故 地球同步卫星的周期与地球自转周期相等，则转速满足 解得 故C错误； D．根据万有引力提供向心力有 万有引力等于重力，则有 解得 故D正确。 故选D。 考向2 “借助外援”法估算天体质量密度 例2“北斗”是我国自主研制、独立运行的全球卫星导航系统，某同步卫星的对地张角为2θ，运行轨道如图中圆形虚线所示。已知地球半径为R、自转周期为T、地球表面重力加速度为g，万有引力常量为G。由此可知地球的质量为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设卫星的轨道半径为r，由题意可知 解得 对卫星绕地球做圆周运动 可得地球的质量 故选C。 【变式训练2-1·变载体】2025年1月7日，我国在西昌卫星发射中心使用长征三号乙运载火箭，成功将实践二十五号卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功。若卫星入轨后沿椭圆轨道绕地球运动，如图所示，设卫星在近地点、远地点的线速度大小分别为、，近地点到地心的距离为，远地点到地心的距离为，卫星的运行周期为，引力常量为，则地球的质量可表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意可知椭圆轨道的半长轴为 假设有一卫星绕地球做匀速圆周运动的半径满足 根据开普勒第三定律可知，该卫星的运行周期也为；对该卫星，由万有引力提供向心力可得 联立解得地球的质量为 故选C。 【变式训练2-2·变载体】2020年4月24日，中国行星探测任务被命名为“天问系列”，该名称源于屈原长诗《天问》，表达了中华民族对真理追求的坚韧与执着，体现了对自然和宇宙空间探索的文化传承，寓意探求科学真理征途漫漫，追求科技创新永无止境。假设“天问一号”探测器在距火星表面h的轨道上做周期为T的匀速圆周运动，火星的半径为R，万有引力常量为G。将火星视为均匀球体，则下列说法正确的是（　　） A．火星的密度ρ= B．火星的第一宇宙速度v= C．火星的质量M= D．火星表面的重力加速度g= 【答案】C 【详解】AC．根据万有引力提供向心力有 解得 火星密度公式为 解得，故A错误，C正确； B．设某卫星围绕火星表面做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力有 又 联立解得第一宇宙速度，故B错误。 D．在火星表面上有 又 联立解得，故D错误。 故选C。 1．（2025·湖南·高考真题）我国研制的“天问二号”探测器，任务是对伴地小行星及彗星交会等进行多目标探测。某同学提出探究方案，通过释放卫星绕小行星进行圆周运动，可测得小行星半径R和质量M。为探测某自转周期为的小行星，卫星先在其同步轨道上运行，测得距离小行星表面高度为h，接下来变轨到小行星表面附近绕其做匀速圆周运动，测得周期为。已知引力常量为G，不考虑其他天体对卫星的引力，可根据以上物理得到。下列选项正确的是（　　） A．a为为为 B．a为为为 C．a为为为 D．a为为为 【答案】A 【详解】根据题意，卫星在同步轨道和表面附近轨道运行时轨道半径分别为 设小行星和卫星的质量分别为 由开普勒第三定律有 解得 卫星绕小行星表面附近做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力有 解得 对应结果可得a为为为。 故选A。 2．（2025·广东·高考真题 ）一颗绕太阳运行的小行星，其轨道近日点和远日点到太阳的距离分别约为地球到太阳距离的5倍和7倍。关于该小行星，下列说法正确的是（　　） A．公转周期约为6年 B．从远日点到近日点所受太阳引力大小逐渐减小 C．从远日点到近日点线速度大小逐渐减小 D．在近日点加速度大小约为地球公转加速度的 【答案】D 【详解】A．根据题意，设地球与太阳间距离为，则小行星公转轨道的半长轴为 由开普勒第三定律有 解得年 故A错误； B．从远日点到近日点，小行星与太阳间距离减小，由万有引力定律可知，小行星受太阳引力增大，故B错误； cC．由开普勒第二定律可知，从远日点到近日点，小行星线速度逐渐增大，故C错误。 D．由牛顿第二定律有 解得 可知 即小行星在近日点的加速度是地球公转加速度的，故D正确； 故选D。 3．（2024·海南·高考真题）嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，引力常量为G，则月球的平均密度为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设月球半径为，质量为，对嫦娥六号，根据万有引力提供向心力 月球的体积 月球的平均密度 联立可得 故选D。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$