专题07 圆（4考点）-【好题汇编】5年（2020-2024）中考1年模拟数学真题分类汇编（山西专用）

专题07 圆 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 考点1圆的基础 2023·山西：圆周角定理 2022·山西：圆周角定理、三角形的内角和定理 初中阶段圆作为基础几何图形之一，考生需掌握圆的基本性质定理（圆心角、圆周角、垂径定理）及相关定理的推论，还需理解圆的切线性质与判定、切线长定理、正多边形与圆等，而弧长公式和扇形的面积公式也是重要的考察点，山西卷圆多出填选，但也不应忽略圆的几何逻辑证明，另外圆也多于全等、相似、特殊四边形等几何知识综合出题. 考点2 圆的切线 2024·山西：圆周角定理、切线的性质 2021·山西：切线的性质、圆周角定理以及平行线的性质 2020·山西：圆周角定理、平行四边形的性质、切线的性质 考点3 弧长和扇形面积 2024·山西：扇形面积、三角形面积 2023·山西：圆的切线的性质、弧长公式 2022·山西：菱形的判定、菱形面积公式、扇形面积公式 2020·山西：扇形面积的计算、等边三角形的判定与性质 考点4 正多边形与圆 2021·山西：正六边形性质、扇形面积的计算 考点1圆的基础 1. （2023·山西·中考真题）如图，四边形内接于为对角线，经过圆心．若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 2. （2022·山西·中考真题）如图，内接于，AD是的直径，若，则的度数是（    ） A．60° B．65° C．70° D．75° 考点2 圆的切线 3. （2024·山西·中考真题）如图，已知，以AB为直径的交BC于点，与AC相切于点，连接OD．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 4. （2021·山西·中考真题）如图，在中，切于点，连接交于点，过点作交于点，连接．若，则为（    ） A． B． C． D． 5. （2020·山西·中考真题）如图，四边形是平行四边形，以点为圆心，为半径的与相切于点，与相交于点，的延长线交于点，连接交于点，求和的度数． 考点3 弧长和扇形面积 6. （2024·山西·中考真题）如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为花窗）。通过测量得到扇形AOB的圆心角为，点C，D分别为OA，OB的中点，则花窗的面积为　 　 7. （2023·山西·中考真题）中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为，曲线终点为，过点的两条切线相交于点，列车在从到行驶的过程中转角为．若圆曲线的半径，则这段圆曲线的长为（    ）．      A． B． C． D． 8. （2022·山西·中考真题）如图，扇形纸片AOB的半径为3，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 9. （2020·山西·中考真题）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到，，两点之间的距离为，圆心角为，则图中摆盘的面积是（    ） A． B． C． D． 考点4 正多边形与圆 10. （2021·山西·中考真题）如图，正六边形的边长为2，以为圆心，的长为半径画弧，得，连接，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 11. （2024·山西阳泉·三模）如图，是的切线，点是上的一点，连接，，交于点，若，则的度数是（    ） A．20° B．25° C．30° D．40° 12. （2024·山西忻州·三模）如图，四边形内接于，是的直径．若，，，则的长为（    ） A．3 B． C．5 D．4 13. （2024·山西阳泉·三模）如图，内接于是的直径，若，则（    ）    A． B． C． D． 14. （2024·山西太原·二模）如图，四边形内接于，，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 15. （2024·山西临汾·一模）如图，线段，分别为的弦，，，平分，若，则弦的长为（    ） A． B． C． D． 16. （2024·山西吕梁·一模）如图，为的直径，C，D是上两点，且，若，则的度数可以表示为（    ） A． B． C． D． 17. （2024·山西大同·二模）如图，是的直径，为延长线上一点，切于点，平分，与的延长线交于点，，，则的长为（　　） A． B． C． D． 18. （2024·山西朔州·三模）如图，为的直径，点在的延长线上，为的切线，切点为点，点E在上，且．若，，则的长为（    ）．    A．4 B． C． D．8 19. （2024·山西忻州·二模）如图，在中，是的切线，连接交于点，是上一点，连接，，，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 20. （2024·山西大同·二模）如图，内接于，为的直径，直线与相切于点C，过点O作，交于点E．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 21. （2024·山西晋城·三模）如图，四边形是平行四边形，与相切于点A，点C，D，E均在上，连接．若恰好经过点C，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 22. （2024·山西忻州·三模）如图，为的一条弦，为的直径，过点作的切线交的延长线于点，过点作．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 23. （2024·山西晋城·二模）如图，四边形内接于，直线与相切于点，且．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 24. （2024·山西临汾·一模）如图，四边形内接于，是的直径，点E在上，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 25. （2024·山西大同·三模）如图，正五边形内接于，点是上的一个动点，当沿着的路径在圆上运动的过程中（不包括，两点），的度数是（    ） A． B． C． D．不确定 26. （2024·山西运城·三模）如图，在矩形中，，P是的中点，以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点E，以点C为圆心，的长为半径画弧，交于点F，若，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 27. （2024·山西阳泉·三模）荷花寓意“家庭美满，生活和谐”，图1是一幅环形荷花装饰挂画．将其视为如图2的扇形环面（由扇形挖去扇形），，的长度是，的长度是，则该环形荷花装饰挂画的面积是（    ） A． B． C． D． 28. （2024·山西太原·三模）如图，扇形的半径为3，菱形的顶点、、分别在、、上，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 29. （2024·山西晋城·三模）如图，点O是半圆圆心，BE是半圆的直径，点A，D在半圆上，且，，，过点D作于点C，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 30. （2024·山西晋中·三模）如图，是的对角线，，以点为圆心，的长为半径作，交边于点，交边于点，连接．若，，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 31. （2024·山西晋中·二模）如图，正六边形的边长为2，以点B为圆心，以长为半径作弧，连接，则图中阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 32. （2024·山西晋中·三模）如图，在中，，以点为圆心，的长为半径画弧交于点，以点为圆心，的长为半径画弧交于点，且这条弧恰好也经过点，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 33. （2024·山西晋城·三模）如图，在中，A，B为上两点，且，分别以点A，B为圆心，长为半径画圆，将两圆相交的公共部分依次绕点顺时针旋转得到如图所示的“五叶花瓣”（阴影图案）．若，则图中“五叶花瓣”的面积为（    ） A． B． C． D． 34. （2024·山西晋城·三模）如图，在四边形中，先以点A为圆心，长为半径画弧，此弧恰好经过点C，再以点C为圆心，长为半径画弧，此弧恰好经过点A．若，则图中阴影部分的面积为（    ）      A． B． C． D． 35. （2024·山西晋城·二模）传送带是一种传送系统，可以运输各种形状的物料．如图，已知某一条传送带转动轮的半径为，如果该转动轮转动了两周后又转过，那么传送带上的物体A被传送的距离为（物体A始终在传送带上）（    ） A． B． C． D． 36. （2024·山西大同·三模）如图，将等腰直角三角形的直角顶点放在上，直角边经过圆心，斜边交于点，若，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 37. （2024·山西阳泉·三模）如图，四边形是正方形，曲线叫作“正方形的渐开线”，其中的圆心依次按，循环，当时，弧的长为（    ） A． B． C． D． 38. （2024·山西朔州·一模）如图，四边形为的内接四边形，平分为的直径，若，则的长为 ． 39. （2024·山西晋中·三模）如图，内接于半径为4的中，，过点A作的切线交的延长线于点D，交于点F、交于点E，则线段的长为 ． 40. （2024·山西吕梁·三模）如图，在中，以边为直径的恰好经过点，过点作的切线，交的延长线于点平分，分别交边于点，连接．若，，则的长为 ． 41. （2024·山西晋中·一模）如图，正方形内接于，点为 上一点，连接．若，，则的长为 ． 42. （2024·山西长治·三模）如图，四边形为菱形，与交于点O，以点O为圆心，长为半径画圆，过点C作的切线，交的延长线于点E，．试判断四边形的形状，并说明理由． 43. （2024·山西晋城·一模）如图，为半圆的直径，为半圆上一点，的角平分线交于点．过点作半圆的切线，交延长线于点．    (1)求证：； (2)过点作于点，连接，若，，求图中阴影部分的面积． 44. （2024·山西运城·一模）如图，在中，，以直角边为直径作，交斜边于点D，过点D作的切线，交于点E． (1)试确定与的大小关系，并说明理由； (2)若，，求、与所围成的阴影部分的面积． 45. （2024·山西运城·三模）如图，在中，，D为边上一点，以为直径的与交于点F，且切于点E，连接．    (1)求证：． (2)若，，求的长． 46. （2024·山西朔州·一模）阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应的任务． 在某科技杂志上有这样一道题：如图1，在中，三边分别为是的内切圆，切点分别为．求的半径． 思路分析：如图1．连接，则存，，设． 于是有， ∴．（其中S表示的面积，p表示的周长的一半） 用语言叙述：三角形的内切圆的半径． 若已知的三边长，如何求的面积呢？ 我国南宋时期数学家秦九韶（约1202～1261），曾提出利用三角形的三边长求它的面积的秦九韶公式：若 则秦九韶公式为． 例如：在中，若，利用秦九韶公式求的面积． 解：， …… 任务： (1)请完成材料中利用秦九韶公式求面积的剩余步骤，并求出的内切圆的半径． (2)如图2，在中，为它的内切圆，则的长为______． 47. （2024·山西太原·三模）请阅读下面的材料，并解答问题． 婆罗摩笈多（Brahmagupta）约公元598年生，约660年卒，在数学、天文学方面有所成就，他编著了《婆罗摩修正体系》《肯达克迪迦》，婆罗摩笈多的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位，其中有著名的婆罗摩笈多定理．婆罗摩笈多定理：圆的内接四边形的对角线与垂直相交于M，过点M的直线与边分别相交于点F、E．则有下两个结论： 如果，那么； 如果，那么． 数学课上，赵老师带领大家对该定理的第一条进行了探究． 证明：， ，即， ， ， 在中，， …… 请解答以下问题： (1)请完成所给材料的证明过程； (2)请证明结论（2）； (3)应用：如图圆O中，半径为4，A，B，C，D为圆上的点，，连接交于点F，过点F作于E，延长交于G，则的长度为______． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 圆 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 考点1圆的基础 2023·山西：圆周角定理 2022·山西：圆周角定理、三角形的内角和定理 初中阶段圆作为基础几何图形之一，考生需掌握圆的基本性质定理（圆心角、圆周角、垂径定理）及相关定理的推论，还需理解圆的切线性质与判定、切线长定理、正多边形与圆等，而弧长公式和扇形的面积公式也是重要的考察点，山西卷圆多出填选，但也不应忽略圆的几何逻辑证明，另外圆也多于全等、相似、特殊四边形等几何知识综合出题. 考点2 圆的切线 2024·山西：圆周角定理、切线的性质 2021·山西：切线的性质、圆周角定理以及平行线的性质 2020·山西：圆周角定理、平行四边形的性质、切线的性质 考点3 弧长和扇形面积 2024·山西：扇形面积、三角形面积 2023·山西：圆的切线的性质、弧长公式 2022·山西：菱形的判定、菱形面积公式、扇形面积公式 2020·山西：扇形面积的计算、等边三角形的判定与性质 考点4 正多边形与圆 2021·山西：正六边形性质、扇形面积的计算 考点1圆的基础 1. （2023·山西·中考真题）如图，四边形内接于为对角线，经过圆心．若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由同弧所对圆周角相等及直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵为圆的直径， ∴， ∴； 故选：B． 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，同圆中同弧所对的圆周角相等，直角三角形两锐角互余，掌握它们是关键． 2. （2022·山西·中考真题）如图，内接于，AD是的直径，若，则的度数是（    ） A．60° B．65° C．70° D．75° 【答案】C 【分析】首先连接CD，由AD是的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得，又由圆周角定理，可得，再用三角形内角和定理求得答案． 【详解】解：连接CD， ∵AD是的直径， ∴． ∵， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理、三角形的内角和定理．熟练掌握圆周角定理是解此题的关键． 考点2 圆的切线 3. （2024·山西·中考真题）如图，已知，以AB为直径的交BC于点，与AC相切于点，连接OD．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】圆周角定理；切线的性质 【解析】【解答】解：∵ AC与 相切于点A ∴ ∠BAC=90° ∵∠AOD=80° ， ∴ ∠B=∠AOD=40° ∴ ∠C=90°-∠B=50° 故答案为：D. 【分析】本题考查圆的切线性质，同弧所对圆周角与圆心角的数量关系，直角三角形等知识，熟悉圆的切线，圆周角，圆心角的数量关系是解题关键。由切线得∠BAC=90°；由∠AOD=90° ，得 ∠B=40°，可得 ∠C=50°. 4. （2021·山西·中考真题）如图，在中，切于点，连接交于点，过点作交于点，连接．若，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据与相切易得，在中，已知，可以求出的度数，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半得出的度数，最后根据可得． 【详解】如下图，连接， ∵切于点， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理以及平行线的性质，综合运用以上性质定理是解题的关键． 5. （2020·山西·中考真题）如图，四边形是平行四边形，以点为圆心，为半径的与相切于点，与相交于点，的延长线交于点，连接交于点，求和的度数． 【答案】45°，22.5° 【分析】连接OB,即可得,再由平行四边形得出∠BOC=90°,从而推出∠C=45°,再由平行四边形的性质得出∠A=45°,算出∠AOB=45°,再根据圆周角定理即可得出∠E=22．5°． 【详解】 解：连接． 与相切于点， ．． 四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形， ． ． 【点睛】本题考查圆周角定理、平行四边形的性质,关键在于根据条件结合性质得出角度的变换． 考点3 弧长和扇形面积 6. （2024·山西·中考真题）如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为花窗）。通过测量得到扇形AOB的圆心角为，点C，D分别为OA，OB的中点，则花窗的面积为　 　 【答案】 【知识点】扇形面积的计算 【解析】【解答】解：∵ OA=OB=1， 点C，D分别为OA，OB的中点 ∴ OC=OD=OA= ∴ S花窗=S扇形AOB-S∆COD= ∴ 花窗的面积为m2. 故答案为：. 【分析】本题考查扇形面积，三角形面积，熟练掌握扇形面积公式（，n为扇形圆心角度数，r为扇形半径）是关键。由中点和OA=OB=1得OC=OD=，，则S花窗=S扇形AOB-S∆COD=. 7. （2023·山西·中考真题）中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为，曲线终点为，过点的两条切线相交于点，列车在从到行驶的过程中转角为．若圆曲线的半径，则这段圆曲线的长为（    ）．      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由转角为可得，由切线的性质可得，根据四边形的内角和定理可得，然后根据弧长公式计算即可． 【详解】解：如图：    ∵， ∴， ∵过点的两条切线相交于点， ∴, ∴, ∴． 故选B． 【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质、弧长公式等知识点，根据题意求得是解答本题的关键． 8. （2022·山西·中考真题）如图，扇形纸片AOB的半径为3，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据折叠，，进一步得到四边形OACB是菱形；进一步由得到是等边三角形；最后阴影部分面积=扇形AOB面积-菱形的面积，即可 【详解】依题意：， ∴ ∴四边形OACB是菱形 ∴ 连接OC ∵ ∴ ∴是等边三角形 同理：是等边三角形 故 由三线合一，在中： 故选：B 【点睛】本题考查菱形的判定，菱形面积公式，扇形面积公式；解题关键是发现是等边三角形 9. （2020·山西·中考真题）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到，，两点之间的距离为，圆心角为，则图中摆盘的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明是等边三角形，求解，利用摆盘的面积等于两个扇形面积的差可得答案． 【详解】解：如图，连接， 是等边三角形， 所以则图中摆盘的面积 故选B． 【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，等边三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键． 考点4 正多边形与圆 10. （2021·山西·中考真题）如图，正六边形的边长为2，以为圆心，的长为半径画弧，得，连接，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等六边形的性质计算出AC的长度，再根据扇形面积计算公式计算即可． 【详解】解：过B点作AC垂线，垂足为G， 根据正六边形性质可知，， ∴， ∴S扇形=， 故选：A． 【点睛】本题主要考查扇形面积的计算，根据正六边形性质计算出扇形的半径是解题的关键． 11. （2024·山西阳泉·三模）如图，是的切线，点是上的一点，连接，，交于点，若，则的度数是（    ） A．20° B．25° C．30° D．40° 【答案】D 【分析】本题主要考查圆的切线性质，圆周角定理，三角形内角和定理，掌握相关定理是解题的关键． 连接，，根据圆周角定理得到，根据是的切线得到，即可得到答案． 【详解】解：连接， ， 是的直径， ， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， 在中， ． 故选：D． 12. （2024·山西忻州·三模）如图，四边形内接于，是的直径．若，，，则的长为（    ） A．3 B． C．5 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆周角定理和勾股定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．由圆周角定理可得，，进而可得，由此得，在中，根据勾股定理可求出的长，再在中根据勾股定理即可求出的长． 【详解】∵是的直径， ， 又，， ， ， ， ， ． 故选：D 13. （2024·山西阳泉·三模）如图，内接于是的直径，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，根据题意得出是等腰直角三角形，进而可得，即可求解． 【详解】解：∵是的直径，， ∴，则是等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴ 故选：A． 14. （2024·山西太原·二模）如图，四边形内接于，，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是圆周角定理．先求得，得到，再根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 15. （2024·山西临汾·一模）如图，线段，分别为的弦，，，平分，若，则弦的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，圆内接四边形性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定的应用，过点作垂直于的延长线，交于，作于，连接，，根据圆内接四边形的性质可得，由平分，可得，，，，再证明，，可得，，则，进而求得，可知，再由勾股定理即可求解，能根据角平分线正确作出辅助线是解此题的关键． 【详解】解：过点作垂直于的延长线，交于，作于，连接，， ∵平分，， ∴，，， 则，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∴，则， ∴， 由勾股定理可得：，即：， ∴， 故选：D． 16. （2024·山西吕梁·一模）如图，为的直径，C，D是上两点，且，若，则的度数可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆周角定理得，由平行线的性质得到，再根据三角形的外角定理以及等腰三角形的等边对等角即可求解． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理，平行线的性质，三角形外角定理，以及等腰三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 17. （2024·山西大同·二模）如图，是的直径，为延长线上一点，切于点，平分，与的延长线交于点，，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆的相关性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识．连接，由是的直径，可得，结合角平分线的定义可证明，得到，根据勾股定理求出，进而可求出，根据切线的性质可得，由角平分线的性质和圆的性质可推出，进而得到，得到，即可求解． 【详解】解：连接， 是的直径， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 切于点， ，即， ， ， ， ， ， ， ，即， ． 故选：B． 18. （2024·山西朔州·三模）如图，为的直径，点在的延长线上，为的切线，切点为点，点E在上，且．若，，则的长为（    ）．    A．4 B． C． D．8 【答案】B 【分析】连接，如图所示，由切线性质得到，设，则，在中，由三角函数定义列式求解的得到，得到相关线段长，再由直径所对的圆周角是直角，利用相等角的三角函数值相等，在中，由三角函数定义列式求出，最后利用勾股定理求解即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示：   是的切线， ， ． 设，则． 在中，， ，解得． ， ． 是的直径， ． ， ． 在中，， ． ． 故选：B． 【点睛】本题考查圆中求线段长，涉及切线性质、根据三角函数定义解直角三角形、直径所对的圆周角是直角、勾股定理等知识，熟练掌握圆的性质，数形结合运用三角函数定义及勾股定理求线段长是解决问题的关键． 19. （2024·山西忻州·二模）如图，在中，是的切线，连接交于点，是上一点，连接，，，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理．连接、，由切线的性质得，继而得到，根据等弧所对的圆心角相等得，再根据圆周角定理即可得解．掌握切线的性质，圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：连接、， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵圆心角和圆周角所对的弧是， ∴， 即的度数为． 故选：D．    20. （2024·山西大同·二模）如图，内接于，为的直径，直线与相切于点C，过点O作，交于点E．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质，等边三角形的性质与判定，直角三角形的两个锐角互补，连接，根据为的直径，得出，进而可得，是等边三角形，则，根据平行线的性质可得，根据切线的性质可得，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵为的直径， ∴， ∵ ∴， 又∵ ∴是等边三角形，则， ∵， ∴， ∵直线与相切于点C， ∴， ∴， 故选：B． 21. （2024·山西晋城·三模）如图，四边形是平行四边形，与相切于点A，点C，D，E均在上，连接．若恰好经过点C，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，平行四边形的性质．利用切线的性质求得，利用圆周角定理求得，利用平行四边形的性质求得，进一步计算即可求解． 【详解】解：连接，    ∵与相切于点A， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 22. （2024·山西忻州·三模）如图，为的一条弦，为的直径，过点作的切线交的延长线于点，过点作．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了外角、等腰三角形和平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．连接，根据切线的性质得，再利用直角三角形中两个锐角互余可得，由于，则，然后根据三角形外角性质得，，由于，故，故可选出正确选项． 【详解】解：连接，如图： 为的切线， ， ， 而， ， ， ， ， ， ． 故选. 23. （2024·山西晋城·二模）如图，四边形内接于，直线与相切于点，且．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补，切线的性质，全等三角形的性质与判定；根据题意证明得出，根据切线的性质可得出，进而得出，然后根据圆内接四边形对角互补，即可求解． 【详解】解：连接，如图所示， ∵， ∴ ∴ ∵是的切线， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 故选：C． 24. （2024·山西临汾·一模）如图，四边形内接于，是的直径，点E在上，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．连接，根据圆周角定理求出，，进而求出，然后根据圆内接四边形的对角互补求解即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， 故选：C． 25. （2024·山西大同·三模）如图，正五边形内接于，点是上的一个动点，当沿着的路径在圆上运动的过程中（不包括，两点），的度数是（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，根据正多边形的性质求得中心角为，进而根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：连接， 依题意， ∵， ∴ 故选：A． 26. （2024·山西运城·三模）如图，在矩形中，，P是的中点，以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点E，以点C为圆心，的长为半径画弧，交于点F，若，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了勾股定理，扇形面积求法以及矩形的性质，熟练掌握这些知识是解题关键． 过点P作于点M，先得出，再得出，即可得出答案． 【详解】解：如图，过点P作于点M， 由题意可知，， ， ， ，， 阴影部分的面积． 故选D． 27. （2024·山西阳泉·三模）荷花寓意“家庭美满，生活和谐”，图1是一幅环形荷花装饰挂画．将其视为如图2的扇形环面（由扇形挖去扇形），，的长度是，的长度是，则该环形荷花装饰挂画的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了扇形面积，利用较大扇形面积减去较小扇形面积即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，该环形荷花装饰挂画的面积是： ， 故选：B 28. （2024·山西太原·三模）如图，扇形的半径为3，菱形的顶点、、分别在、、上，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，扇形面积计算，特殊角的三角函数值，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据菱形的性质，结合三角函数关系得出，从而求得的长度，然后根据即可求得． 【详解】连接，交于 四边形是菱形 ，， 扇形的半径为3， ， 故选：D． 29. （2024·山西晋城·三模）如图，点O是半圆圆心，BE是半圆的直径，点A，D在半圆上，且，，，过点D作于点C，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，根据已知条件可得，是等边三角形，根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴ ∴是等边三角形， ∵ ∴，， 又∵ ∴ ∴ ． 故选：B． 30. （2024·山西晋中·三模）如图，是的对角线，，以点为圆心，的长为半径作，交边于点，交边于点，连接．若，，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，扇形的面积的计算，熟练掌握分割法是解题的关键．连接，根据平行四边形的性质得到是等边三角形，求得，根据已知条件得到四边形是平行四边形，求得，根据三角形和扇形的面积公式即可求解． 【详解】如图，连接． ，． 是等边三角形． ， ， ， ． ． ． 四边形是平行四边形， 故选：C 31. （2024·山西晋中·二模）如图，正六边形的边长为2，以点B为圆心，以长为半径作弧，连接，则图中阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正六边形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，扇形面积等知识，连接，过点作于点，连接，先求出的长，再通过勾股定理分别求出的长，则，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：连接，过点作于点，连接，如图：    ∵正六边形的边长为2， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵， ∴为的高， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 32. （2024·山西晋中·三模）如图，在中，，以点为圆心，的长为半径画弧交于点，以点为圆心，的长为半径画弧交于点，且这条弧恰好也经过点，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆中不规则图形的面积求法，熟练掌握割补法、勾股定理、等边三角形的性质与判定是解题的关键．连接，先判定是等边三角形，得出有关三角形的角度，再利用勾股定理、直角三角形的性质进行边的求解，最后利用割补法求面积． 【详解】解：如图，连接， ∵以点为圆心，的长为半径画弧交于点， ∴， ∵以点为圆心，的长为半径画弧交于点，且这条弧恰好也经过点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴为中点， ∴， ∴， 故选：D． 33. （2024·山西晋城·三模）如图，在中，A，B为上两点，且，分别以点A，B为圆心，长为半径画圆，将两圆相交的公共部分依次绕点顺时针旋转得到如图所示的“五叶花瓣”（阴影图案）．若，则图中“五叶花瓣”的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形和圆，扇形的面积．连接，作，求得，证明是等边三角形，求得，再求得一个花瓣的面积，据此求解即可． 【详解】解：如图，连接，作， 由题设知，和都是以长为半径， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴为的垂直平分线， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴和相交部分的面积为， ∴图中“五叶花瓣”的面积为， 故选：A． 34. （2024·山西晋城·三模）如图，在四边形中，先以点A为圆心，长为半径画弧，此弧恰好经过点C，再以点C为圆心，长为半径画弧，此弧恰好经过点A．若，则图中阴影部分的面积为（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了扇形的面积、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．连接，过点作于点，先证出是等边三角形，再根据图中阴影部分的面积等于求解即可得． 【详解】解：如图，连接，过点作于点，    由题意可知，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 则图中阴影部分的面积为 ， 故选：A． 35. （2024·山西晋城·二模）传送带是一种传送系统，可以运输各种形状的物料．如图，已知某一条传送带转动轮的半径为，如果该转动轮转动了两周后又转过，那么传送带上的物体A被传送的距离为（物体A始终在传送带上）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知传送带上的物品平移的距离是圆心角是的扇形的弧长加上两个圆周长．主要考查了扇形的弧长公式，熟记弧长公式是解题的关键． 【详解】解：∵转动轮转动了两周后又转过且根据弧长公式可知， 传送带上的物品被传送的距离为 故选：D 36. （2024·山西大同·三模）如图，将等腰直角三角形的直角顶点放在上，直角边经过圆心，斜边交于点，若，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了扇形的面积计算，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形．作出如图所示的辅助线，利用特殊角的三角函数值求得，解直角三角形求得的长，利用三角形的面积公式和扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：作，，垂足分别为，连接， ∵等腰直角三角形， ∴， ∴和都是等腰直角三角形， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积为 ， 故选：A． 37. （2024·山西阳泉·三模）如图，四边形是正方形，曲线叫作“正方形的渐开线”，其中的圆心依次按，循环，当时，弧的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查弧长的计算．依次求出，，，，的长度，发现规律即可解决问题． 【详解】解：因为四边形是正方形，且， 所以为圆心的圆的半径为1， 则； 同理可得， ； ； ； ， 依次类推，(为大于1的正整数)， ． 故选：A． 38. （2024·山西朔州·一模）如图，四边形为的内接四边形，平分为的直径，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数的应用，先证明，可得，再利用锐角三角函数可得答案． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为： 39. （2024·山西晋中·三模）如图，内接于半径为4的中，，过点A作的切线交的延长线于点D，交于点F、交于点E，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、圆的切线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． 如图：连接并延长交于G，连接，易得是等边三角形，进而说明垂直平分可得，，，则，运用勾股定理可得；如图：连接，证明可得；如图：作于H，易得、，最后说明是等腰直角三角形并解直角三角形即可解答． 【详解】解：如图：连接并延长交于G，连接， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∵，， ∴垂直平分， ∴，，， ∴， ∴， ∴ ∴， 如图：连接， 由，可得， ∴，即，解得：， 如图：作于H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． 故答案为． 40. （2024·山西吕梁·三模）如图，在中，以边为直径的恰好经过点，过点作的切线，交的延长线于点平分，分别交边于点，连接．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，勾股定理，连接，易得为等边三角形，切线的性质，推出，进而得到，得到，，圆周角定理结合角平分线平分角，得到，勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，则：， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵为切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 41. （2024·山西晋中·一模）如图，正方形内接于，点为 上一点，连接．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形，连接，过点作于，由正方形可得，，进而得为的直径，即，又由圆周角定理可得，即可得为等腰直角三角形，可得，由此可得，即得，再由三角函数得，由勾股定理即可得到的长，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接，过点作于，则， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 42. （2024·山西长治·三模）如图，四边形为菱形，与交于点O，以点O为圆心，长为半径画圆，过点C作的切线，交的延长线于点E，．试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】菱形，理由见解析 【分析】本题主要考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定，等边三角形的判定与性质，根据菱形的性质可得出，推出是等边三角形，证明四边形是平行四边形，根据可证明四边形是菱形 【详解】四边形是菱形， 理由：∵四边形为菱形， ∴， 在中， ∴， ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∵为的切线， ∴， ∴， ∴ ∴ 四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形 43. （2024·山西晋城·一模）如图，为半圆的直径，为半圆上一点，的角平分线交于点．过点作半圆的切线，交延长线于点．    (1)求证：； (2)过点作于点，连接，若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，证明，得出，说明，根据切线的性质得出，说明，求出，即可证明结论； （2）连接，证明，得出，根据勾股定理求出，证明是等边三角形，根据等边三角形的性质得出，，求出结果即可． 【详解】（1）证明：连接，如图所示：   ， ， 的平分线交于点， ， ， ， ， 与相切， ， ， ， ． （2）解：连接，    ∵平分， ， ∴， ， 为半圆的直径， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ，， 图中阴影部分的面积． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，扇形面积计算，勾股定理，平行线的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 44. （2024·山西运城·一模）如图，在中，，以直角边为直径作，交斜边于点D，过点D作的切线，交于点E． (1)试确定与的大小关系，并说明理由； (2)若，，求、与所围成的阴影部分的面积． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，求不规则图形的面积： （1）连接，根据切线的性质，等角的余角相等，得到，进而得到，证明，得到，即可得出结论； （2）连接，利用阴影部分的面积等于直角三角形的面积减去三角形的面积减去扇性的面积，进行求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）连接， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴ ∴ ． 45. （2024·山西运城·三模）如图，在中，，D为边上一点，以为直径的与交于点F，且切于点E，连接．    (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质和勾股定理，熟练掌握这些知识是解题的关键. （1）连接，，先证明，再证明，即可得出答案； （2）连接，先求出，再证明，得出，，进而得出，再根据勾股定理即可得出答案. 【详解】（1）解：证明：如图1，连接，.   与相切于点E， ，即 ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图2，连接，   ，，， ， ， ， ，即. ，， ， ， 为的直径， . 在中，，，由勾股定理得， 的长为. 46. （2024·山西朔州·一模）阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应的任务． 在某科技杂志上有这样一道题：如图1，在中，三边分别为是的内切圆，切点分别为．求的半径． 思路分析：如图1．连接，则存，，设． 于是有， ∴．（其中S表示的面积，p表示的周长的一半） 用语言叙述：三角形的内切圆的半径． 若已知的三边长，如何求的面积呢？ 我国南宋时期数学家秦九韶（约1202～1261），曾提出利用三角形的三边长求它的面积的秦九韶公式：若 则秦九韶公式为． 例如：在中，若，利用秦九韶公式求的面积． 解：， …… 任务： (1)请完成材料中利用秦九韶公式求面积的剩余步骤，并求出的内切圆的半径． (2)如图2，在中，为它的内切圆，则的长为______． 【答案】(1)剩余步骤见解析，的内切圆的半径为 (2)1 【分析】本题考查实数的混合运算，三角形的内切圆，正方形的判定和性质，正确运用材料中的公式是解题的关键． （1）利用二次根式及有理数的运算法则计算出，再根据计算的内切圆的半径； （2）先利用勾股定理求出，进而求出的周长的一半和，根据即可求出的内切圆的半径，再证四边形是正方形，即可求解． 【详解】（1）解： ， 又的周长的一半， 的内切圆的半径． （2）解：如图，连接和， 在中，， ， 设，p为的周长的一半， 则，， 的内切圆的半径． ； 又为的内切圆， ，， ， 四边形是正方形， ． 故答案为：1． 47. （2024·山西太原·三模）请阅读下面的材料，并解答问题． 婆罗摩笈多（Brahmagupta）约公元598年生，约660年卒，在数学、天文学方面有所成就，他编著了《婆罗摩修正体系》《肯达克迪迦》，婆罗摩笈多的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位，其中有著名的婆罗摩笈多定理．婆罗摩笈多定理：圆的内接四边形的对角线与垂直相交于M，过点M的直线与边分别相交于点F、E．则有下两个结论： 如果，那么； 如果，那么． 数学课上，赵老师带领大家对该定理的第一条进行了探究． 证明：， ，即， ， ， 在中，， …… 请解答以下问题： (1)请完成所给材料的证明过程； (2)请证明结论（2）； (3)应用：如图圆O中，半径为4，A，B，C，D为圆上的点，，连接交于点F，过点F作于E，延长交于G，则的长度为______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用圆周角定理及直角三角形的性质得到进而推出，同理得到，根据等边对等角即可得出结论； （2）根据题意得到，进而得到，利用圆周角定理结合对顶角推出，从而得到，即可证明； （3）连接，设交于点M，先利用等腰三角形的性质结合题意易证，再利用三角形内角和定理推出，从而证明，由（1）中结论易得，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得到，再根据勾股定理求出，即可得出结果． 【详解】（1）证明：， ，即， ， ， 在中，， ， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴； （2）证明：∵ ∴， ∴ 又∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴； （3）解：如图，连接，设交于点M， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， 由（1）中结论可得， ， ， 在中，， ． 【点睛】本题考查圆的内接四边形，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，勾股定理，熟练运用等腰三角形等角对等边的性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$