第1章 二次函数（复习课件）数学浙教版九年级上册

单元复习课件 第一章 二次函数 浙教版·九年级上册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.了解一元二次方程及其有关概念；运用一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数的关系解决问题. 3.通过运用一元二次方程解决实际问题，体会数学建模思想． 2. 会灵活选用适当的方法解一元二次方程，感受“降次”的基本思想，进一步加深对方程思想、分类思想的理解与运用. 题型剖析 题型剖析 知识点一：二次函数的定义 一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数，且a≠0)的函数，叫做二次函数. 注：①函数表达式一定是整式.           ②自变量x的取值范围为全体实数，且最高次数是2.           ③a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.           ④ 二次项系数a不等于0. 考点串讲 知识点二：二次函数的表达方法 (1)一般式：        y=ax²+bx+c(a,b,c是常数，且a≠0).  (2)顶点式：        y=a(x-h)²+k(a,h,k为常数，a≠0),其中(h,k)为顶点坐标.  (3)交点式(两根式/因式分解式):        y=a(x-x₁)(x-x₂)(a≠0,x₁,x₂是二次函数图像与x轴两个交点的横坐标). 注：任意一个二次函数的表达式都可以化成一般式或顶点式，但是并非所有的二次函数表达式都可以写成交点式. 考点串讲 知识点二：二次函数的表达方法 考点串讲 知识点三：二次函数的图象和性质 函数 y=ax²+bx+c y=a(x-h)²+k 图象 a>0 a<0 a>0 a<0 性质 开口方向 向上 向下 向上 向下 对称轴 顶点坐标 （−） （−） （h,k） （h,k） 增减性 当x<h，y随x的增大而减小； 当x>h，y随x的增大而增大. 当x<h，y随x的增大而增大； 当x>h，y随x的增大而减小. 当x<-，y随x的增大而减小； 当x>-，y随x的增大而增大. 当x<-，y随x的增大而增大； 当x>-，y随x的增大而减小. 最大（小）值 当x=− 当 当, 当, 考点串讲 知识点四：二次函数图象的变换 (1)二次函数的平移变换 平移规律：上加下减、左加右减  上下平移是沿着y轴平移，改变的是函数图象与y轴的交点，所以要在常数上面加或者减； 左右平移是沿着x轴平移，改变的是函数图象与x轴的位置，所以要在x上面加或者减。 考点串讲 知识点四：二次函数图象的变换 (2)二次函数的对称变换 ①关于x轴对称 二次函数图象y=ax²+bx+c关于x轴对称后，开口方向改变，与y轴的交点改变，所以系数全变号，对称后的解析式是y=-ax²-bx-c. 二次函数图象y=a(x-h)²+k关于x轴对称后，对称后的解析式是y=-a(x-h)²-k. 考点串讲 知识点四：二次函数图象的变换 (2)二次函数的对称变换 ②关于y轴对称 二次函数图象y=ax²+bx+c关于y轴对称后，开口方向不变，与y轴的交点不变，但是对称轴变了，所以系数符号只变中间，对称后的解析式是y=ax²-bx+c. 二次函数图象y=a(x-h)²+k关于y轴对称后，对称后的解析式是y=a(x+h)²+k. 考点串讲 知识点四：二次函数图象的变换 (2)二次函数的对称变换 ③关于原点对称 二次函数图象y=ax²+bx+c关于原点对称后，开口方向改变，与y轴的交点改变，所以系数符号变两头，对称后的解析式是y=-ax²+bx-c. 二次函数图象y=a(x-h)²+k关于原点对称后，对称后的解析式是y=-a(x+h)²-k. 考点串讲 知识点五：二次函数与一元二次方程的关系 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 b2-4ac 有两个交点 有两个不相等的实数根 b2-4ac > 0 有一个交点 有两个相等的实数根 b2-4ac = 0 没有交点 没有实数根 b2-4ac < 0 考点串讲 知识点六：二次函数图象与a，b，c的关系 考点串讲 知识点六：二次函数的应用 一般步骤： (1)找出问题中的变量和常量以及它们之间的函数关系； (2)列出函数关系式，并确定自变量的取值范围； (3)利用二次函数的图象及性质解决实际问题； (4)检验结果的合理性，是否符合实际意义． 考点串讲 题型一、二次函数的定义 1. 若y＝(k＋1)－2是关于x的二次函数，则k的值是_______. A. y＝ B. y＝x2＋ ＋1 C. y＝2x2－1 D. y＝ 2 C 2. 下列各式中，y是x的二次函数的是（　C　） +1 ≠ 0 , ≠ -1 题型剖析 题型二、待定系数法求解析式 3. 已知二次函数的图象的顶点坐标为 , 且过点 ． 求这个二次函数的表达式及它与 y 轴的交点坐标． 解 设二次函数的表达式为 将点 代入，得 所以，二次函数表达式 与 y 轴交点 题型剖析 题型三、二次函数的增减性 D 解：0,抛物线开口向上。对称轴x=1,根据抛物线的性质，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大，且点到对称轴的距离越远，函数值越大。 -2到1的距离是3，0和1的距离是1，到1的距离是. d：3>>1，即d1>d3>d2。所以对应的函数值大小关系为y1 > y3 > y2。 题型剖析 题型四、二次函数的顶点、对称轴、最值 5. 若关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根分别为x1＝－1， x2＝3，则抛物线y＝x2＋bx＋c的对称轴为直线（　A　） A. x＝1 B. x＝－1 C. x＝2 D. x＝－2 A 解：由题意可知（-1，0）和（3，0）是两个对称点，所以对称轴为直线 . 题型剖析 题型五、二次函数的图象和性质 6. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴为直线x=-1，给出下列结论：①abc＞0；②2a+b=0；③a+b+c＞0；④b2＜4ac；⑤a-b+c＜0． 其中正确的结论是(    ) A．①④ B．②③ C．③④ D．③⑤ D 题型剖析 题型五、二次函数的图象和性质 【详解】解：由图可知： 抛物线开口向上，则a＞0， 抛物线与y轴的交点在负半轴上，则c＜0， 对称轴为直线x=-1，则，即b=2a＞0， ∴abc＜0，2a+b=2b＞0，故①②错误， 由图象可知当x=1时，y＞0，即a+b+c＞0，故③正确， 由图象可知抛物线与x轴有两个不同的交点， ∴b2-4ac＞0，即b2＞4ac，故④错误， 由图象可知当x=-1时，y＜0，即a-b+c＜0，故⑤正确， ∴正确的有③⑤， 故选：D． 题型剖析 题型六、二次函数与一元二次方程的关系 7.已知抛物线 y ＝ x2＋ mx 的对称轴为直线 x ＝2，则关于 x 的方程 x2＋ mx ＝5的实数根为（　D　） A. x1＝0， x2＝4 B. x1＝1， x2＝5 C. x1＝1， x2＝－5 D. x1＝－1， x2＝5 D 解：对称轴公式为，由题意知a=1,b=m,可得m=-4。 把m = - 4代入方程x2 + mx = 5，得到x2 - 4x = 5。 解得x1=5,x2=-1. 题型剖析 题型七、二次函数图象的变换 8.某抛物线的图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为y=(x-1)2-4，则原抛物线的解析式为(    ) A．y=(x+1)2+1 B．y=(x+1)2-1 C．y=(x-1)2+2 D．y=(x-1)2-2 【详解】解：∵新抛物线的解析式是y=(x-1)2-4，∴顶点为(-1,4)， ∵向左平移2个单位，再向上平移3个单位可得原抛物线的顶点， ∴原抛物线的顶点为(-1,-1)， ∴原抛物线的解析式是y=(x+1)2-1． 故选B． B 题型剖析 题型八、二次函数的图象判断 9.在同一平面直角坐标系中，函数y=mx+m和函数y=-mx2+2x+2(m≠0)的图象可能是（     ） A．   B．   C．   D．    D 题型剖析 题型九、二次函数的实际应用 10.某景区旅游商店以20元/kg的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不低于22元/kg，不高于45元/kg.经市场调查发现，每天的销售量y(单位：kg)与销售价格x(单位：元/kg)之间的函数关系如图所示. (1)求y关于x的函数解析式. 解：y关于x的函数解析式为 y＝ 题型剖析 题型九、二次函数的实际应用 10.(2)当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？ 解：设这款食品每天获得的销售利润为W元. 当22≤x≤30时， W＝(x－20)(－x＋70)＝－(x－45)2＋625， W随x的增大而增大， ∴当x＝30时，W最大＝－(30－45)2＋625＝400. 当30＜x≤45时， W＝(x－20)(－2x＋100)＝－2(x－35)2＋450， 当x＝35时，W取得最大值，W最大＝－2(35－35)2＋450＝450. 450＞400. 答：当价格定为35元/kg时，每天获得的利润最大，最大利润是450元. 题型剖析 题型九、二次函数的几何应用 11.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=4cm，BC=8cm．动点P从点A出发，沿边AB向点B以1cm/s的速度移动（不与点B重合），同时动点Q从点B出发，沿边BC向点C以2cm/s的速度移动（不与点C重合）．当四边形APQC的面积最小时，经过的时间为（　　） A．1s B．2s C．3s D．4s 题型剖析 题型九、二次函数的几何应用 【详解】解：设运动时间为x秒，四边形APQC的面积为ycm2， 则AP=xcm，BQ=2xcm， ∴BP=（4-x)cm， ∴y=， 即y=， 当x=2时，y有最小值为12， 故选：B． 题型剖析 1．关于x的二次函数y=(m+1)x2+(m-1)x+m，当m=0时，它是 函数；当m=-1时，它是 函数. 【详解】当m=0时，y=x2-x，是二次函数；当m=-1时，y=-2x-1，是一次函数. 故答案为：二次；一次. 针对训练 2.已知二次函数的图象与 x 轴交于点（2，0） , （-1，0）， 与 y 轴 交于点（0，-1）. 求这个二次函数的表达式及顶点坐标. 解 设二次函数表达式为 将点（0，-1）代入，得 顶点坐标 针对训练 3. 已知A(－2，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)是抛物线y＝－(x＋1)2＋k上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是_____________. y1＞y2＞y3 解：0,抛物线开口向下。对称轴x=-1,根据抛物线的性质，在对称轴左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小，且点到对称轴的距离越远，函数值越小。 -2到-1的距离是1，1和-1的距离是2，到-1的距离是. d：3>>1，即d3>d2>d1。所以对应的函数值大小关系为y1 > y3 > y2。 针对训练 4.已知二次函数y=x2-4x+3 (1)将y=x2-4x+3化成y=a(x-h)2+k的形式；并写出其对称轴和顶点坐标； (2)当x取何值时，y随x的增大而减小． （1）y=x2-4x+3=(x-2)2-1 该二次函数图象的对称轴是直线x=2，顶点坐标是(2,-1)； （2）如图，当x≤2时，y随x的增大而减小． 针对训练 5．已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有下列结论： ①a，b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等； ③4a+b=0；④当-1＜x＜5时，y＜0,正确的结论有 ． 针对训练 【详解】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0， ∵抛物线的对称轴为直线x=， ∴b=-4a＜0，所以①错误， ∴b+4a=0，所以③正确； ∵抛物线的对称轴为直线x=2， ∴当x=1和x=3时，函数值相等，所以②正确； ∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（-1,0）， 而抛物线的对称轴为直线x=2， ∴抛物线与x轴的一个交点坐标为（5,0）， ∴当-1＜x＜5时，y＜0，所以④正确． 故答案为：②③④． 针对训练 6.二次函数y=ax2-2ax+c(a≠0)的图象过点(3,0)，方程ax2-2ax+c=0的解为（　　） A．x1=-3, x2=-1 B．x1=-1, x2=3 C．x1=1, x2=3 D．x1=-3, x2=1 【详解】解：抛物线的对称轴为直线x=， ∵抛物线与x轴的一个交点坐标为(3,0)，且1-(3-1)=-1， ∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标为(-1,0)， ∴方程ax2-2ax+c=0的解为：x1=-1, x2=3． 故选：B． B 针对训练 D 解：将配方得到顶点式为：， 所以得到顶点为（-1，-2）将其向右平移3个单位，则新顶点（2，-2）. 针对训练 8.在同一坐标系中，一次函数y＝－mx＋n2与二次函数y＝x2－m 的图象可能是（　B　） 解析：∵二次函数y＝x2－m中a=1＞0， ∴二次函数图象开口向上，C，D选项不符合题意， 由A，B选项知－m＜0，又∵n2≥0， ∴一次函数y＝－mx＋n2经过第一、二、四象限，B选项符合题意. 故选B. B 针对训练 9．学校“科技创新”社团向市场推出一种新型电子产品，试销发现：该电子产品的销售价格y（元/件）与销售量x（件）之间满足一次函数关系，其图象如图所示，已知该产品的成本价是40元/件． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)求销售利润w（元）关于销售量x（件）的函数解析式，当销售量为多少时，销售利润最大？最大值是多少？ 针对训练 【详解】（1）解：设销售价格y（元件）与销售量x（件)之间的函数关系式为：y=kx+b， 由题意可得， 解得， ∴销售价格y（元/件）与销售量x（件)之间的函数关系式为：y=x+80； （2）解：∵w=(y-40)x， ∴w=(x+80-40)x=(x-100)2+2000 当x=100时，销售利润最大，最大值为2000元． 答：当销售量为100件时，销售利润最大，最大值是2000元． 针对训练 10、张大伯准备用40m长的木栏围一个矩形的羊圈，为了节约材料同时要使矩形的面积最大，他利用了自家房屋一面长25m的墙，设计了如图一个矩形的羊圈. (1)请你求出张大伯矩形羊圈的面积； (2)请你判断他的设计方案是否合理？如果合理，直接答合理； 如果不合理又该如何设计？并说明理由. 25m 针对训练 解：（1）由题意，得羊圈的长为25m,宽为(40-25)÷2=7.5(m). 故羊圈的面积为25×7.5=187.5(m2) （2）设羊圈与墙垂直的一边为xm,则与墙相对的一边长为(40-2x)m,羊圈的面积S=x(40-2x)=-2x2+40x=-2(x-10)2+200,(0＜x＜20). 因为0＜10＜20，所以当x=10时，S有最大值，此时S=200. 故张大伯的设计不合理.羊圈与墙垂直的两边长为10m,而与墙相对的一边长为(40-2x)m=20m. 针对训练 11. 如图，已知直线y＝x＋4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝－1. (1)求抛物线的解析式. 解：由y＝x＋4易得A(－3，0)，C(0，4)， ∴解得 ∴抛物线的解析式为y＝－x2－x＋4. 针对训练 11. 如图，已知直线y＝x＋4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝－1. (2)D是第二象限内抛物线上的动点，求四边形ABCD 的面积S的最大值及此时点D的坐标. 解：如图，过点D作DE∥y轴，交直线AC于点E. 设D(m，－m2－m＋4)，－3＜m＜0， 则E(m，m＋4)， ∴DE＝－m2－m＋4－(m＋4)＝－m2－4m， ∴S△ACD＝DE·OA＝(－m2－4m)＝－2m2－6m. 针对训练 11. 如图，已知直线y＝x＋4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝－1. (2)D是第二象限内抛物线上的动点，求四边形ABCD 的面积S的最大值及此时点D的坐标. 由y＝－x2－x＋4易得B(1，0). ∵S△ABC＝AB·OC＝×4×4＝8， S＝S△ACD＋S△ABC， ∴S＝－2m2－6m＋8＝－2＋， ∴当m＝－时，S最大＝，此时点D的坐标为(－，5). 针对训练 二次函数 二次函数的概念 二次函数与一元二次方程的联系 二次函数的图象与性质 不共线三点确定二次函数的表达式 二次函数的应用 开口方向 对称性 顶点最值 增减性 一般式 顶点式 交点式 实际应用-利润问题 几何综合应用 课堂总结 感谢聆听! 决定抛物线开口方向 抛物线开口向上 抛物线开口向下 决定抛物线对称轴的位置 对称轴为y轴； （同号）对称轴在轴左侧； （异号）对称轴在轴右侧 决定抛物线与y轴交点的位置 抛物线过； 抛物线与轴交于正半轴； 抛物线与轴交于负半轴 4. 抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（ ） A． B． C． D． 7.将抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（ ） A． B． C． D． $$