10.3.1频率的稳定性课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册

10.3.1频率的稳定性 概念生成 一般地，在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为，当n很大时，总在某个常数附近摆动，随着n的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记为P (A). 由定义可得概率P (A)满足：P (A) 事件的概率 典例分析 例1 新生婴儿性别比是每100名女婴对应的男婴数. 通过抽样调查得知，我国2014年、2015年新出生的婴儿性别比分别为115.88和113.51． (1) 分别估计我国2014年和2015年男婴的出生率(新生儿中男婴的比率, 精确到0.001); (2) 根据估计结果，你认为“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断可靠吗？ (2)由于调查新生儿人数的样本非常大，根据频率的稳定性，上述对男婴出生率的估计具有较高的可信度． 因此，我们有理由怀疑“生男孩和生女孩是等可能的”的结论． 要得到生男孩和生女孩是否等可能的科学判断，还需要用统计学中假设检验的方法进行检验． 由此估计，2014年男婴出生率约为0.537，2015年男婴出生率约为0.532. 解：(1)2014年男婴出生频率为 0.537 2015年男婴出生频率为 0.532 典例分析 例2 一个游戏包含两个随机事件A和B，规定事件A发生则甲获胜，事件B发生则乙获胜. 判断游戏是否公平的标准是事件A和B发生的概率是否相等. 在游戏过程中甲发现：玩了10次时，双方各胜5次；但玩到1000次时，自己才胜300次，而乙却胜了700次. 据此，甲认为游戏不公平，但乙认为游戏是公平的.你更支持谁的结论?为什么? 解：当游戏玩了10次时，甲、乙获胜的频率都为0.5； 当游戏玩了1000次时，甲获胜的频率为0.3，乙获胜的频率为0.7. 根据频率的稳定性，随着试验次数的增加,频率偏离概率很大的可能性会越来越小. 相对10次游戏,1000次游戏时的频率接近概率的可能性更大， 因此我们更愿意相信1000次时的频率离概率更近. 而游戏玩到1000次时，甲、乙获胜的频率分别是0.3和0.7，存在很大差距, 所以有理由认为游戏是不公平的. 因此，应该支持甲对游戏公平性的判断. 新知探究 降水的概率是气象专家根据气象条件和经验，经分析推断得到的．对“降水的概率为90%”比较合理的解释是：大量观察发现，在类似的气象条件下，大约有90%的天数要下雨． 只有根据气象预报的长期记录，才能评价预报的准确性．如果在类似气象条件下预报要下雨的那些天(天数较多)里，大约有90%确实下雨了，那么应该认为预报是准确的；如果真实下雨的天数所占的比例与90%差别较大，那么就可以认为预报不太准确． 问题3 气象工作者有时用概率预报天气，如某气象台预报“明天的降水概率是90%，如果您明天要出门，最好携带雨具”，如果第二天没有下雨，我们或许会抱怨气象台预报得不准确．那么如何理解“降水率是90%”？又该如何评价预报得结果是否准确呢？ 典例小结 由统计定义求概率的一般步骤 ①确定随机事的频数nA(为试验的总次数)； ②由计算频率； ③由频率估计概率. 10.3.2随机模拟 新知探究 问题1 用频率估计概率，需要做大量的重复试验. 有没有其他方法可以替代试验呢? 我们知道，利用计算器或计算机软件可以产生随机数. 实际上，我们也可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验，这样就可以快速地进行大量重复试验了. 由试验产生的随机数： 例如我们要产生0~9之间的整数随机数，像彩票摇奖那样，把10个质地和大小相同的号码球放入摇奖器中，充分搅拌后摇出一个球，这个球上的号码称为随机数. 计算机产生的随机数： 利用计算机产生随机数是按照确定的算法产生的数，具有周期性，因此我们把利用计算机产生的随机数称为伪随机数. 典例分析 例1 从你所在班级任意选出6名同学，调查他们的出生月份，假设出生 在一月，二月，…，十二月是等可能的.设事件A =“至少有两人出生月份相同”，设计一种试验方法，模拟20次，估计事件A发生的概率. 模拟分析:根据题意，每个人的出生月份在12个月中是等可能的;而且相互之间没有影响，所以观察6个人的出生月份可以看成可重复试验. 解：(法一:用随机试验生成随机数进行模拟随机数法) 在袋子中装入编号为1，2，…，12的12个球，这些球除编号外没有什么差别,每个小球被摸到都是等可能的； 有放回地随机从袋中摸6次球，得到6个数代表6个人的出生月份，这就完成了一次模拟试验. 如果这6个数中至少有2个相同，表示事件A发生了. 重复以上模拟试验分别进行20次、40次、60次、100次...就可以统计出事件A发生的频率. 典例解析 例1 从你所在班级任意选出6名同学，调查他们的出生月份，假设出生 在一月，二月，…，十二月是等可能的.设事件A =“至少有两人出生月份相同”，设计一种试验方法，模拟20次，估计事件A发生的概率. 解：（法二：利用计算机电子表格软件模拟试验） （1）利用计算机软件生成6个随机数，代表6个人的出生月份，则完成一次模拟试验； （2）用计算机形成n组随机数组，即相当于做n次重复试验； （3）统计其中有相同数的频率，得到事件A的概率的估计值. 典例解析 产生20组随机数组，相当于做了20次重复试验. 每列6个数字有重复数字出现就说明事件A发生，类似图中的红色区域。 我们可以看到事件A发生了14次,则事件A的频率值为0.7,与事件A的概率(约0.78)相差不大. 典例分析 例2 在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中,运动员甲和乙进入了决赛.假设每局比赛甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4.利用计算机模拟试验，估计甲获得冠军的概率. 解：设事件A=“甲获得冠军”，事件B=“单局比赛甲胜”，P(B)=0.6. 用计算器或计算机产生1～5之间的随机数，当出现随机数1、2或3时,表示一局比赛甲获胜，其概率为0.6. 由于要比赛3局,所以每3个随机数为一组. 例如，产生20组随机数: 423 123 423 344 114 453 525 332 152 342 534 443 512 541 125 432 334 151 314 354 相当于做了20次重复试验.其中事件A发生了13次,对应的数组分别是 423,123,423,114,332,152,342,512,125,432,334,151,314, 用频率估计事件A的概率的近似为 典例小结 用随机模拟估计概率的方法 在使用整数随机数进行模拟试验时，首先要确定随机数的范围和用哪个代表试验结果. (1)试验的基本结果是等可能的时，样本空间即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个样本点. (2)研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数. $$