第十三、十四章 三角形、全等三角形 双单元测试 考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年八年级数学上册（人教版2024新教材）

第十三、十四章 三角形、全等三角形 双单元测试 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（　　） A．2 B．3 C．3 D．3 2．如图，，，则∠C的度数为（   ） A． B． C． D． 3．人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（    ） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．两直线平行，内错角相等 D．三角形具有稳定性 4．在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 5．如图所示，在和中，，点E在上，点D在上，与交于点O，，，则可判定的依据是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在3×3的正方形网格中，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图， 已知， 于点A， 若， 则 的度数是 （    ） A． B． C． D． 8．尺规作图：作，如图，下列作图过程中，错误的是（    ）    A．作射线 B．以点为圆心，以任意长为半径作弧，交于点，交于点 C．以点为圆心，以的长为半径作弧，交于点 D．以点为圆心，以任意长为半径作弧，与已知的弧交于点 9．如图，在中，，的平分线交于点O，点O到边的距离为2，若，则的面积为（    ） A．2.5 B．5 C．7.5 D．15 10．如图，在和中，，连接，交于点M，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的是（ ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②④ 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．在中，，，则 ． 12．一个三角形的三边长度均为整数，其中两边长为2和5，则第三边的最大值为 ． 13．如图，若，，，则的长为 ． 14．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．若，则的度数是 ． 15．若三角形三个内角的比为，则这个三角形按角分类是 三角形． 16．如图，，，于点，若，则 ．    17．如图，是的边上的中线，是的边上的中线，是的边上的中线，连接，．若的面积是，则阴影部分的面积是 ． 18．如图，在中，，是高，E是外一点，，，若，，求的面积．小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在上截取，连接．根据小颖的思路可得的面积为 ． 三、解答题：本题共8小题，共66分. 19．如图，，垂足为，．求证：是直角三角形． 20．如图，在四边形ABCD中，，点E为对角线BD上一点，且，．求证：． 21．如图，点D、E、F分别在的三条边上，点G在上，如果，，那么与平行吗？请说明理由． 22．如图，，，． (1)求证：； (2)若与的交点为M，，求的度数． 23．如图，直线，被所截，连接，交于点E，，，平分． (1)若，求的度数； (2)点F在上，连接．若，请说明：． 24．如图，在每个小正方形的边长都是1的方格纸中，的顶点A，，都在小正方形的格点上，请按下列要求画出所求线段及点，要求所画线段的端点和所画的点均在格点上． (1)画出要求的线段： ①在边上取一点，连接，使； ②画出边上的高线； (2)求的面积； (3)画出要求的点：在方格纸中取一点，使． 25．综合与实践 【项目主题】池塘不可达距离的测量方案设计 【项目背景】 在数学项目式学习活动中，需测量池塘两侧A、B两点间的距离（无法直接测量）．如1图．现提供皮尺（量程）、测角仪等工具，要求设计几何测量方案． 【实践操作】 方案一（帽檐观测法） 1、如题2图，在点附近选取观测点，使、、三点共线； 2、调整帽子帽檐D，使视线通过帽檐上沿恰好对准点；（忽略眼睛与帽檐距离） 3、保持头部姿势不变，原地旋转，此时视线通过帽檐上沿落在点处； 4、用皮尺测得． 【问题解决】 (1)根据方案一，求、两点间的距离； (2)设计一个与方案一不同的测量方案，在3图中绘制几何图形，标明需测量的数据（如角度，线段长度等），并推导的表达式． 26．（1）提出问题：如图1，在中，，点正好落在直线上，则、的关系为 　　． （2）探究问题：①如图2，在中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． ②如图3，将①中的条件改为：在中，，、、三点都在上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问①中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）解决问题：如图4，直线经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若，，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求此时的值．（直接写出结果） 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十三、十四章 三角形、全等三角形 双单元测试 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（　　） A．2 B．3 C．3 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系定理的应用，主要考查学生对三角形的三边关系定理的理解能力，注意：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边．根据三角形任意两边之和都大于第三边，任意两边之差都小于第三边逐个判断即可． 【详解】解：A、，不符合三角形三边关系定理，故本选项不符合题意； B、，不符合三角形三边关系定理，故本选项不符合题意； C、，符合三角形三边关系定理，故本选项符合题意； D、，不符合三角形三边关系定理，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．如图，，，则∠C的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，由全等三角形的性质求得，即可求得结论． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 3．人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（    ） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．两直线平行，内错角相等 D．三角形具有稳定性 【答案】D 【分析】此题考查了三角形的性质，关键是根据三角形的稳定性解答． 根据三角形的稳定性解答即可． 【详解】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定性， 故选：D． 4．在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形，根据直角三角形两锐角互余的性质，已知一个锐角为，另一个锐角的度数即为减去已知锐角的度数． 【详解】解：∵在直角三角形中，两个锐角的和为， ∴． 故选：D． 5．如图所示，在和中，，点E在上，点D在上，与交于点O，，，则可判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了直角三角形全等的判定，熟练掌握定理是关键．在和中，，，，即可根据定理证明． 【详解】解：在和中，，，， ∴， 故选：C 6．如图，在3×3的正方形网格中，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了网格与全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定是关键． 根据题意可得，，，则，，，则，由此即可求解． 【详解】解：如图所示， ， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∴， ∴， ∴， 故选：B ． 7．如图， 已知， 于点A， 若， 则 的度数是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理，平行线的性质得到，垂直得到，三角形的内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴； 故选C 8．尺规作图：作，如图，下列作图过程中，错误的是（    ）    A．作射线 B．以点为圆心，以任意长为半径作弧，交于点，交于点 C．以点为圆心，以的长为半径作弧，交于点 D．以点为圆心，以任意长为半径作弧，与已知的弧交于点 【答案】D 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，根据作一个角等于已知角的作法即可判断求解，掌握基本作图方法是解题的关键． 【详解】解：选项错误，应该以点为圆心，以的长为半径作弧，与已知的弧交于点， 故选：． 9．如图，在中，，的平分线交于点O，点O到边的距离为2，若，则的面积为（    ） A．2.5 B．5 C．7.5 D．15 【答案】B 【分析】此题考查了角平分线的性质，三角形面积公式，过点O作交于点E，首先得到，然后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】如图所示，过点O作交于点E ∵，的平分线交于点O，点O到边的距离为2， ∴ ∵ ∴的面积为． 故选：B． 10．如图，在和中，，连接，交于点M，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的是（ ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定. 由证明得出，，①正确；由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质得：，得出，②正确；作于，于，如图所示：则，利用全等三角形对应边上的高相等，得出，由角平分线的判定方法得出平分，④正确；假设平分，则，由全等三角形的判定定理可得，得，而，所以，而，故③错误；即可得出结论． 【详解】解：， ， 即， 在和中， ， ， ，，故①正确； ， 由三角形的外角性质得：， ，故②正确； 作于，于，如图所示， 则， ， ， 平分，故④正确； 假设平分，则， 在与中， ， ， ， ， ， 而，故③错误； 所以其中正确的结论是①②④． 故选：D． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．在中，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，熟练掌握三角形的内角和为是解题的关键．根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：，， ． 故答案为：． 12．一个三角形的三边长度均为整数，其中两边长为2和5，则第三边的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形三边关系，三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，设三角形的第三边长是，由此得到，即可得到答案． 【详解】解：设三角形的第三边长是， 由三角形三边关系定理得到：， ∴， ∵三角形三边均为整数， ∴三角形第三边的最大值为6． 故答案为：． 13．如图，若，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质． 根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．若，则的度数是 ． 【答案】/25度 【分析】本题考查作图-基本作图，角平分线的定义，三角形内角和定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题．利用三角形内角和定理，角平分线的定义求解． 【详解】解：∵，， ∴， 由作图可知平分， ∴． 故答案为：． 15．若三角形三个内角的比为，则这个三角形按角分类是 三角形． 【答案】直角 【分析】本题考查了三角形的内角和，三角形的分类，根据三角形三个内角的比求出每个角的度数，即可判断三角形的类型． 【详解】解：设一份为，则三个内角的度数分别为，，， 则， 解得， 所以，，即三个内角的度数分别为，，， 故这个三角形是直角三角形． 故答案为：直角． 16．如图，，，于点，若，则 ．    【答案】3 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 证明即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：3． 17．如图，是的边上的中线，是的边上的中线，是的边上的中线，连接，．若的面积是，则阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】此题考查了三角形中线的性质，利用中线等分三角形的面积进行求解即可，解题的关键是熟练掌握三角形中线的性质及其应用． 【详解】解：∵是的边上的中线， ∴， ∵是的边上的中线，即有是的边上的中线， ∴，， ∴， ∵是的边上的中线，即有是的边上的中线， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积是， 故答案为：． 18．如图，在中，，是高，E是外一点，，，若，，求的面积．小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在上截取，连接．根据小颖的思路可得的面积为 ． 【答案】64 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质；先通过等量代换推出，再利用“边角边”证明，再通过求出的面积即可． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共66分. 19．如图，，垂足为，．求证：是直角三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了直角三角形的证明，需熟练掌握等量代换以及三角形内角和为是解决本题的关键． 根据，可得，再由等量代换可得，再根据三角形的内角和为即可证明． 【详解】证明：，， ， 又， ． 在中，， ， 是直角三角形． 20．如图，在四边形ABCD中，，点E为对角线BD上一点，且，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．由平行线的性质得，进而证明． 【详解】证明：在四边形中，，点为对角线上一点， ， 在和中， ， ． 21．如图，点D、E、F分别在的三条边上，点G在上，如果，，那么与平行吗？请说明理由． 【答案】与平行 【分析】本题考查了内错角相等两直线平行，三角形内角和定理，解题关键是利用三角形的内角和定理证明相关角相等 先判断为平行，再利用三角形的内角和定理证明，然后利用内错角相等两直线平行证明． 【详解】解：与平行， 理由：∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴． 22．如图，，，． (1)求证：； (2)若与的交点为M，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理． （1）由得，即，再由证明，根据全等三角形的性质可得结论； （2）由得，再由三角形内角和定理可推出，即可解题． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：如图，和交于点， ， ， ，， ， ． 23．如图，直线，被所截，连接，交于点E，，，平分． (1)若，求的度数； (2)点F在上，连接．若，请说明：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了三角形内角和，熟记三角形内角和定理是解题的关键． （1）先利用角平分线的意义求出，再利用三角形内角和求出，进而求出，然后利用三角形内角和求出； （2）先求出，再利用三角形内角和求出即可． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ， ， ， ， ， ∴； （2），， ， ， ， ． 24．如图，在每个小正方形的边长都是1的方格纸中，的顶点A，，都在小正方形的格点上，请按下列要求画出所求线段及点，要求所画线段的端点和所画的点均在格点上． (1)画出要求的线段： ①在边上取一点，连接，使； ②画出边上的高线； (2)求的面积； (3)画出要求的点：在方格纸中取一点，使． 【答案】(1) 见解析见解析 (2)10 (3) 见解析 【分析】本题考查格点作图，利用网格求三角形面积，平行线的性质．掌握三角形的中线、高线的概率及性质是解题的关键． （1）①画出边上的中线即可；②过点A向的延长线作垂线，垂足为点E即可； （2）根据网格，利用割补法求解即可； （3）过点B作，直线与格线的交点是格点，即为所求的点F． 【详解】（1）解：如图所示：①线段即为所求；线段即为所求． ①∵点D是， ∴ 根据等底同高的两三角形面积相等得； ∵， ∴是边上的高线． （2）解：． （3）解：如图所示：点即为所求． ∵ ∴与的底边的高相等， ∴． 25．综合与实践 【项目主题】池塘不可达距离的测量方案设计 【项目背景】 在数学项目式学习活动中，需测量池塘两侧A、B两点间的距离（无法直接测量）．如1图．现提供皮尺（量程）、测角仪等工具，要求设计几何测量方案． 【实践操作】 方案一（帽檐观测法） 1、如题2图，在点附近选取观测点，使、、三点共线； 2、调整帽子帽檐D，使视线通过帽檐上沿恰好对准点；（忽略眼睛与帽檐距离） 3、保持头部姿势不变，原地旋转，此时视线通过帽檐上沿落在点处； 4、用皮尺测得． 【问题解决】 (1)根据方案一，求、两点间的距离； (2)设计一个与方案一不同的测量方案，在3图中绘制几何图形，标明需测量的数据（如角度，线段长度等），并推导的表达式． 【答案】(1) (2)方案与图见解析， 【分析】本题考查的是全等三角形的应用的应用； （1）如图，连接．证明，即可求解． （2）（方法不唯一）方案二：1、如图，取一个可以直接到达A点和B点的点C；2、连接并延长到，使；连接并延长到，使；3、连接并测量出它的长度的长度就是间的距离．证明，即可解答． 【详解】（1）解：如图，连接． 由原地旋转可得， 又， ， ； （已知）； ； 故：A、B两点间的距离为． （2）解：（方法不唯一）方案： 1、如图，取一个可以直接到达A点和B点的点C； 2、连接并延长到，使；连接并延长到，使； 3、连接并测量出它的长度的长度就是间的距离． 证明：，，（对顶角相等）， ， ． 26．（1）提出问题：如图1，在中，，点正好落在直线上，则、的关系为 　　． （2）探究问题：①如图2，在中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． ②如图3，将①中的条件改为：在中，，、、三点都在上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问①中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）解决问题：如图4，直线经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若，，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求此时的值．（直接写出结果） 【答案】（1）；（2）①，理由见解析；②成立．证明见解析；（3）当或或时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等角的余角相等、三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． （1）利用平角的定义即可求解； （2）①先证明出，得出，，即可得出结果； ②证明出，得出，，即可得出结论； （3）由以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等．可知，而，的表示由，的位置决定，故需要对，的位置分当在上，在上时或当在上，在上时，或当到达，在上时，分别讨论． 【详解】解：（1），， ， 故答案为：； （2）①，理由如下： 直线，直线， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：； ②成立．证明如下： 如图2， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）①当在上，在上时，即， ，， 以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． ， ， ； ②当在上，在上时，即， ，， ， ， ； ③当到达，在上时，即， ，， ， ， ． 综上所述，当或或时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$