第十三、十四章 三角形 全等三角形（中等类型）考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年八年级数学上册（人教版2024新教材）

第十三、十四章 三角形 全等三角形思维导图 【类型覆盖】 类型一、三角形三边关系化简绝对值 【解惑】已知a，b，c是的三边长，化简的结果为（   ） A． B． C．2c D．0 【融会贯通】 1．若是的三边，试化简（　　） A． B． C． D． 2．已知、、是三角形的三边长，化简： ． 3．已知的三边长分别为a，b，c． (1)若，，且c为奇数，求c的值； (2)化简：． 类型二、三角形中线平分面积 【解惑】如图，已知，点D为的中点，点E为的中点，若，则的面积是（   ） A．1 B．4 C．2 D．8 【融会贯通】 1．如图，、分别是的边、上的点，且，．若的面积为，的面积为，的面积为，则（　　） A．1 B．2 C．4 D．6 2．如图，在中，点D、E、F分别在边上，E是的中点，，交于一点G，若，则的面积为 ． 3．如图所示，已知三角形的面积为20，，，求阴影部分的面积． 类型三、角平分线与高夹角问题 【解惑】如图，、、分别是的高、角平分线和中线，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，在中，、分别是的角平分线和高，若，，则的度数是（      ） A． B． C． D． 2．如图，在中，分别是边上的中线与高，，的面积是6，则的长是 ． 3．如图，中，是上的高，平分，，，求的度数． 类型四、三角形的内角和与外角和 【解惑】如图，D为内一点，平分，，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，在中，，点，分别是、边上的点，将沿所在直线对折，得到．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，与交于点，点在直线上，交于点，，，．则的度数是 ． 3．如图，已知，且． (1)试判断和的位置关系，并说明理由； (2)若平分，且，，求的度数． 类型五、全等三角形的性质与判定(AAS) 【解惑】如图，嘉嘉与淇淇坐在跷跷板两端，跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）到地面的距离是，当淇淇从水平位置垂直上升时，嘉嘉离地面的高度是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，点，，，在同一直线上，已知，，，连接交于点，若，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点C在书架底部上，当顶点A落在右侧书籍的上方边沿时，顶点B 恰好落在左侧书籍的上方边沿，点A、B、C、D、E在同一平面内． 已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为 ． 3．请完成下述说理过程，已知：如图，在中，，直线m经过点A，，垂足分别为点D，E，试说明． 解：， ， _______（______________）， ， ， _______（______________）， 在和中， ， ， ， （______________） （______________） ． 类型六、全等三角形的性质与判定(HL) 【解惑】如图，在四边形中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．为了测量无法直接测量的池塘两端A，B的距离，小王同学设计了一个测量A，B距离的方案．如图，先确定直线，过点B作直线，在直线上找可以直接到达点A的一点D，连接，作，交直线于点C，可以说明，最后测量的长即得．那么判断的原理是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，一条线段，、两点分别在和过点且垂直于的射线上运动，要使和全等，则 ． 3．如图，在和中，，边与在一条直线上，．求证：． 类型七、角平分线的性质与判定定理 【解惑】如图，在中，平分，则的面积为（   ） A．7 B．10 C．12 D．14 【融会贯通】 1．如图，点是的三个内角平分线的交点，若面积为，点到边的距离是，则的周长为（　　） A． B． C． D． 2．如图，在中，平分，于E．若，，则 ． 3．如图，在四边形中，，平分，，垂足为点E，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 类型八、一线三等角 【解惑】通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到_________，推理依据是___________．进而得到_________，_________．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点； (3)如图3，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，试猜想和的数量关系，并说明理由． 【融会贯通】 1．通过对数学模型“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题：    【模型呈现】 （1）如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．求证：，． 【模型应用】 （2）如图2，，，，于点于点H，于点P，请按图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为________． 【深入探究】 （3）如图3，，，，连接，且于点与直线交于点G． ①求证：； ②若，，则的面积为________． 2．“一线三等角”，是我们学习三角形知识经常用到的经典模型． (1)如图1，为等腰直角三角形，，，D、A、E三点都在直线l上，且，若，则 ． (2)如图2，，，，连接，且于点G，与直线交于点，求证：点是的中点． (3)如图3，过的边向外作正方形、正方形，是边上的高，延长交于点I，，求的面积． 3．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：； 【问题提出】（2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出，，之间的数量关系，并说明理由． 类型九、手拉手模型 【解惑】已知中，，，点为直线上的一动点（点不与点、重合），以为边作，，连接． (1)发现问题：如图①，当点在边上时， ①请写出和之间的数量关系_____，位置关系_____； ②线段、、之间的关系是_____； (2)尝试探究：如图②，当点在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中、、之间存在的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； (3)拓展延伸：如图③，当点在边的延长线上且其他条件不变时，若，，求线段的长． 【融会贯通】 1．如图，大小不同的两块三角板和直角顶点重合在点处，，，连接、，点恰好在线段上． (1)找出图中的全等三角形，并说明理由； (2)当，则的长度为　　． (3)猜想与的位置关系，并说明理由． 2．如图，在四边形中，对角线交于点O，，E是上的一点，且，． (1)与全等吗？请说明理由； (2)与相等吗？为什么？ 3．如图，已知，与相交于点． (1)求证：； (2)求证：． 类型十、三角形的折叠问题 【解惑】如图，把的纸片沿着折叠． (1)若点落在四边形的内部点的位置（如图1），且，请直接写出的度数； (2)若点落在四边形的外部的上方点的位置（如图2），则与有怎样的关系？请说明你的理由； 【融会贯通】 1．探究： (1)如图①与有什么关系？为什么？ (2)把图①沿折叠，得到图②，填空：______（填“>”“<”“＝”）． (3)如图③，是由图①的沿折叠得到的，如果，则______． 猜想三个角存在的等量关系为______． 2．在中，点M，N分别在上，连接，将沿折叠得到． (1)如图1，当点C落在边上，且，，求的度数；    (2)如图2，当点C落在的内部时．    ①若，则的度数为______； ②求证：． 3．在学习三角形之后，八（1）班实践课上，乐乐把一个三角形纸片沿折叠，使点落在内部的点处． (1)如图1，若，则___________°； (2)利用图1，探究，与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图2，把折叠后，，恰好分别是与的平分线，若，利用（2）中的结论求的度数． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十三、十四章 三角形 全等三角形思维导图 【类型覆盖】 类型一、三角形三边关系化简绝对值 【解惑】已知a，b，c是的三边长，化简的结果为（   ） A． B． C．2c D．0 【答案】D 【分析】本题考查了三角形三边关系，绝对值的化简，利用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）判断绝对值内表达式的符号，进而化简绝对值即可． 【详解】解：a，b，c是的三边长， ，则， ， ，， ， ， 原式， 故选：D． 【融会贯通】 1．若是的三边，试化简（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形三边关系．根据三角形三边关系定理，确定绝对值内表达式的符号，进而化简绝对值表达式即可． 【详解】解：∵是的三边， ∴， 即 ∴ ． 故选：A． 2．已知、、是三角形的三边长，化简： ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形三边关系和绝对值的化简，熟练掌握三角形三边关系（两边之和大于第三边、两边之差小于第三边 ）以及绝对值的性质（正数的绝对值是本身，负数的绝对值是其相反数）是解题的关键．利用三角形三边关系判断绝对值内式子的正负，再根据绝对值的性质化简． 【详解】解：∵ 、、是三角形的三边长 根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 ∴ ，即；，即 ∵ 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数 ∴ ， 则 故答案为： ． 3．已知的三边长分别为a，b，c． (1)若，，且c为奇数，求c的值； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形三边的关系，熟知三角形三边的关系是解题的关键． （1）三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求出c的取值范围即可得到答案； （2）根据三角形三边的关系可得，则，据此去绝对值求解即可． 【详解】（1）解：∵的三边长分别为a，b，c，，， ∴， ∴，即， ∵c为奇数， ∴； （2）解：的三边长分别为a，b，c， ∴， ∴， ∴ ． 类型二、三角形中线平分面积 【解惑】如图，已知，点D为的中点，点E为的中点，若，则的面积是（   ） A．1 B．4 C．2 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中线的性质求解三角形的面积，三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分，等底同高的三角形面积相等是解决本题的关键． 先利用点E为的中点，可求解的面积，再根据等底同高可知的面积与的面积相等即可求解． 【详解】解：因为点E为的中点， 则在中，为的中线， 根据三角形中线的性质可知，， 又因为点D为的中点， 则在中，为的中线， 根据三角形中线的性质可知，， 所以的面积是2． 故选：C． 【融会贯通】 1．如图，、分别是的边、上的点，且，．若的面积为，的面积为，的面积为，则（　　） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查根据中线求三角形的面积，解题关键是当两个三角形的高相同时，需知道面积之比等于底之比；且当三角形面积不容易直接求出时，注意转化思想的使用． 根据，可求分别求出和，和的比例关系，再通过公共四边形, 可知，进而求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 同理，由， 得， ∴， ∴． 故选：B． 2．如图，在中，点D、E、F分别在边上，E是的中点，，交于一点G，若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了三角形的面积的求法，以及三角形的中线的特征，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；（2）两个三角形的高相同时，面积的比等于它们的底边的比．根据中线平分三角形面积和两个三角形的高相同时，面积的比等于它们的底边的比进行解答即可． 【详解】解：∵，E是的中点， ∴，， 设， ∵， ∴，， ∴ ∵ ∴ 解得， ∴，， 则 设，则， ∵， ∴ 解得， 即的面积为， 故答案为： 3．如图所示，已知三角形的面积为20，，，求阴影部分的面积． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中线有关的面积，由边之间的关系得，，阴影部分的面积转化成的面积，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 设， ，， ，，， ， ， ， 解得∶， 故阴影部分的面积为． 类型三、角平分线与高夹角问题 【解惑】如图，、、分别是的高、角平分线和中线，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的中线、高线及角平分线的意义，三角形一边上的中线平分此三角形的面积等知识．解答本题的关键是掌握三角形的中线、高线及角平分线的意义，根据上述知识逐项进行判断即可． 【详解】解：A、是的中线， ， 而与不一定相等， 故说法错误，不符合题意； B、是的高线， ， 在中，， ， 故说法错误，不符合题意； C、是的角平分线， ， 而与不一定相等， 故说法错误，不符合题意； D、是的中线， ， 又，， ， ， ． 故说法正确，符合题意； 故选：D． 【融会贯通】 1．如图，在中，、分别是的角平分线和高，若，，则的度数是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形高线，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．首先求出，再求出，根据角平分线的定义求出，最后根据三角形内角和定理即可解决问题． 【详解】解：∵为高线， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故选：B． 2．如图，在中，分别是边上的中线与高，，的面积是6，则的长是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了三角形面积计算，三角形中线的性质，先根据三角形中线平分三角形面积得到，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：∵的面积是6，是的中线， ∴， ∵是的高，且， ∴， ∴， 故答案为：3． 3．如图，中，是上的高，平分，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，在中，利用三角形内角和定理可求出的度数，结合平分可求出的度数，在中，利用三角形内角和定理可求出的度数，再结合即可求出结论． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∵平分， ∴， 在中，，， ∴，， ∴． 类型四、三角形的内角和与外角和 【解惑】如图，D为内一点，平分，，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂线的定义，三角形内角和定理，角平分线的定义，掌握三角形内角和等于是解题关键．由垂线的定义可得，再由三角形内角和定理得到，由角平分线的定义得到，再由三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 故选：C 【融会贯通】 1．如图，在中，，点，分别是、边上的点，将沿所在直线对折，得到．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对折的性质，三角形的外角的定义，三角形的内角和定理，熟练掌握对折的性质是解题的关键． 先由题意易得，由对折的性质可得，，再由三角形的外角的定义可得，最后由三角形的内角和定理即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，沿所在直线对折得到， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 2．如图，与交于点，点在直线上，交于点，，，．则的度数是 ． 【答案】/180度 【分析】本题主要考查平行线的拐点模型，能识别出模型并作出辅助线是解题的关键． 证明，过点作，则，设，利用猪脚模型、锯齿模型表示出，即可分析出答案． 【详解】解：∵， ∴， 过点作， ∴， ， 设，则， ∵， ， ， ， 故答案为：． 3．如图，已知，且． (1)试判断和的位置关系，并说明理由； (2)若平分，且，，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． （1）先证出，根据平行线的性质可得，则可得，然后根据平行线的判定即可得； （2）先根据三角形的内角和定理求出，再根据角平分线的定义可得，然后根据平行线的性质即可得． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 由（1）已得：， ∴． 类型五、全等三角形的性质与判定(AAS) 【解惑】如图，嘉嘉与淇淇坐在跷跷板两端，跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）到地面的距离是，当淇淇从水平位置垂直上升时，嘉嘉离地面的高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由题意可得，，，证明，得出，即可得解，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，由题意可得：，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴嘉嘉离地面的高度是， 故选：． 【融会贯通】 1．如图，点，，，在同一直线上，已知，，，连接交于点，若，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，先求出，根据 “”可证得，推出，然后结合已知条件求出的值，进而可得答案． 【详解】解：∵， ， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 故选：B． 2．如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点C在书架底部上，当顶点A落在右侧书籍的上方边沿时，顶点B 恰好落在左侧书籍的上方边沿，点A、B、C、D、E在同一平面内． 已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为 ． 【答案】24 【分析】本题考查了等腰直角三角形的定义，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，找出全等三角形是解题关键．根据题意证明出即可求解． 【详解】解：每本书长，厚度为， ，， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：24． 3．请完成下述说理过程，已知：如图，在中，，直线m经过点A，，垂足分别为点D，E，试说明． 解：， ， _______（______________）， ， ， _______（______________）， 在和中， ， ， ， （______________） （______________） ． 【答案】；直角三角形两锐角互余；；同角的余角相等；；全等三角形对应边相等． 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，找条件证明是解题的关键．证明。得到，即可得到结论． 【详解】解：， ， （直角三角形两锐角互余）， ， ， （同角的余角相等）， 在和中， ， ， ， （全等三角形对应边相等） ． 故答案为：；直角三角形两锐角互余；；同角的余角相等；；全等三角形对应边相等． 类型六、全等三角形的性质与判定(HL) 【解惑】如图，在四边形中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直角三角形的全等，四边形的内角和定理解答即可． 本题考查了直角三角形的全等，四边形的内角和定理，熟练掌握判定和定理是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【融会贯通】 1．为了测量无法直接测量的池塘两端A，B的距离，小王同学设计了一个测量A，B距离的方案．如图，先确定直线，过点B作直线，在直线上找可以直接到达点A的一点D，连接，作，交直线于点C，可以说明，最后测量的长即得．那么判断的原理是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的实际应用，运用全等三角形的知识解决实际问题成为解题的关键． 根据全等三角形的判定方法进行判断即可解答． 【详解】解：由题意，可知：，， 又∵， ∴， ∴． 故选A． 2．如图，在中，，，，一条线段，、两点分别在和过点且垂直于的射线上运动，要使和全等，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，分类讨论是解题的关键；分情况讨论：①，此时，可据此求出点的位置．②，此时，、重合． 【详解】解：①当时， ， 在与中， ， 即； ②当运动到与点重合时，， 在与中， ， 即， 当点与点重合时，才能和全等． 综上所述，或． 故答案为：或． 3．如图，在和中，，边与在一条直线上，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，先证明，再利用可证明，则可证明． 【详解】证明：∵， ∴，即． 在和Rt中， ， ∴， ． 类型七、角平分线的性质与判定定理 【解惑】如图，在中，平分，则的面积为（   ） A．7 B．10 C．12 D．14 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积公式，掌握相关知识是解题的关键．由角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解：过点作于点，如图： ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【融会贯通】 1．如图，点是的三个内角平分线的交点，若面积为，点到边的距离是，则的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是角平分线的性质，解题关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 作，，，根据角平分线的性质得到，再根据三角形的面积公式计算，即可得解． 【详解】解：作，，， 点是的三个内角平分线的交点， ， 点到边的距离是， 面积为， 即， ， ， 即的周长为． 故选：． 2．如图，在中，平分，于E．若，，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等． 过点作于，根据角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式计算． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵平分， ∴， ， ∴， 故答案为：4． 3．如图，在四边形中，，平分，，垂足为点E，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质． （1）由平分，可知，可证，即可得到； （2）求出，证明，得到，由得到，进而可求四边形的面积． 【详解】（1）证明：平分，． ． ， ． ； （2）解：， ． ， 且， ． ． ， ． ， ∴． 类型八、一线三等角 【解惑】通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到_________，推理依据是___________．进而得到_________，_________．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点； (3)如图3，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，试猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，，， (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，理解“一线三等角”的全等模型以及该模型的构成条件、证明过程及结论是解题关键． （1）通过证明，再根据全等三角形的判定与性质逐步分析即可解答； （2）作，利用“K字模型”的结论可得，故可推出，再证即可证明结论； （3）作，利用“K字模型”的结论可得，进一步可证即可求解． 【详解】（1）解：∵过点B作于点C，过点D作于点E． ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：，，，． （2）证明：如图：作， 由“K字模型”可得： ∴， ， ∵， ∴， ∴，即：点G是的中点． （3）解：，理由如下： 如图：作， ∵四边形和为正方形， ∴， 由“K字模型”可得：， ，， ， ∴ ， ∴∴． 【融会贯通】 1．通过对数学模型“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题：    【模型呈现】 （1）如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．求证：，． 【模型应用】 （2）如图2，，，，于点于点H，于点P，请按图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为________． 【深入探究】 （3）如图3，，，，连接，且于点与直线交于点G． ①求证：； ②若，，则的面积为________． 【答案】（1）见解析；（2）50；（3）①见解析，②40 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质： （1）证明，即可得证； （2）同（1）法得到，，分割法求出图形面积即可； （3）①过点作于，过点作交的延长线于，易证，，得到，，再证明，即可得出结论； ②根据全等三角形的性质，求出的长，进而利用面积公式进行求解即可． 【详解】解：（1）证明：， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ． （2）由模型呈现可知，，， ，，，， 则 ． （3）①过点作于，过点作交的延长线于．    由【模型呈现】可知，，， ，， ， ， ， 在和中， ， ． ②由①可知，，， ， ， ， ， 由①得 ， ， ， ， ． 2．“一线三等角”，是我们学习三角形知识经常用到的经典模型． (1)如图1，为等腰直角三角形，，，D、A、E三点都在直线l上，且，若，则 ． (2)如图2，，，，连接，且于点G，与直线交于点，求证：点是的中点． (3)如图3，过的边向外作正方形、正方形，是边上的高，延长交于点I，，求的面积． 【答案】(1)10 (2)证明见解析 (3)20 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余，熟练掌握相关性质定理为解题关键． （1）根据直角三角形两锐角互余，求得，，结合题意即可证明，从而得到，即可得出结果； （2）过点A作交于点M，过点B作交于点N，证明，，进一步推出，即可证明结论； （3）过E作于N，过G作的延长线于点M，通过证明，，进一步证明，得到，求出结果即可 【详解】（1）解：，， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：10； （2）证明：如图2，过点A作交于点M，过点B作交于点N， ， ， ， 在 和中， ， ， ， 同理可得：， ， ， 在和中， ， ， ， ∴点F是的中点； （3）解：如图 3，过E作于N，过G作的延长线于点M， 由题意可知，， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， 同理可证：， ， ， ， ， ， ． 3．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：； 【问题提出】（2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）；见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据垂直的定义和余角的性质得到，根据全等三角形的判定得出； （2）根据余角的性质得到根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到结论． 【详解】（1）证明：， ， 又，， ， ， ， 在和中， ， ∴； （2）解：，理由如下： ，， ， ， 又， ∴， ，， ， 即． 类型九、手拉手模型 【解惑】已知中，，，点为直线上的一动点（点不与点、重合），以为边作，，连接． (1)发现问题：如图①，当点在边上时， ①请写出和之间的数量关系_____，位置关系_____； ②线段、、之间的关系是_____； (2)尝试探究：如图②，当点在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中、、之间存在的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； (3)拓展延伸：如图③，当点在边的延长线上且其他条件不变时，若，，求线段的长． 【答案】(1)①；② (2)不成立，存在的数量关系为，理由见解析 (3)6 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质的运用，等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．解决问题的关键是掌握：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．解题时注意：全等三角形的对应边相等． （1）①根据条件，判定，即可得出和之间的关系； ②由①得，根据全等三角形的性质，即可得到； （2）根据已知条件，判定，得出，再根据，即可得到； （3）根据条件判定，得出，进而得到，最后根据，即可求得线段的长． 【详解】（1）解：①如图1，∵， ∴， ∵， ， 在和中， ， ， ， ， 即； 故答案为：； ②由①可得，， ， ， 故答案为：； （2）解：不成立，存在的数量关系为． 理由：如图2，， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）解：如图3，当点在边的延长线上时， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，， ． 【融会贯通】 1．如图，大小不同的两块三角板和直角顶点重合在点处，，，连接、，点恰好在线段上． (1)找出图中的全等三角形，并说明理由； (2)当，则的长度为　　． (3)猜想与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)8 (3)，理由见解析 【分析】（1），，知，可证； （2）根据计算求解即可； （3）与相交于点，在与中，，，，进而可说明． 【详解】（1）解：（1），理由如下： ∴ 在与中 ． （2）解： 故答案为：8． （3），理由如下： 与相交于点，在与中 ． 【点睛】本题考查了三角形全等．解题的关键在于证明三角形全等． 2．如图，在四边形中，对角线交于点O，，E是上的一点，且，． (1)与全等吗？请说明理由； (2)与相等吗？为什么？ 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，证明是解题的关键． （1）先证明，再利用即可证明； （2）由全等三角形的性质得到，再由三角形内角和定理可证明，即． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ， ∴，即． 3．如图，已知，与相交于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查“手拉手”模型证全等，涉及三角形全等判定与性质、直角三角形性的判定与性质等知识，准确识别“手拉手”模型，掌握三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． （1）由“手拉手”模型，结合两个三角形全等的判定定理即可得证； （2）由（1）中三角形全等得到，在中，，从而在中，求得即可得证． 【详解】（1）证明：， ， ， 即， 在和中， ， ， ；. （2）证明：由（1）知，， ， 在中，， 在中，， ． 类型十、三角形的折叠问题 【解惑】如图，把的纸片沿着折叠． (1)若点落在四边形的内部点的位置（如图1），且，请直接写出的度数； (2)若点落在四边形的外部的上方点的位置（如图2），则与有怎样的关系？请说明你的理由； 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平角的定义： （1）由折叠的定义得到，再由平角的定义求出，的度数，即可根据三角形内角和定理求出的度数； （2）先由折叠的性质得到，，再由平角的定义得到，则由三角形内角和定理得到，则，进而得到，即． 【详解】（1）解：由折叠的性质可得， ∵，， ∴， 同理可得， ∴； （2）解：，理由如下： 由折叠的性质可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 【融会贯通】 1．探究： (1)如图①与有什么关系？为什么？ (2)把图①沿折叠，得到图②，填空：______（填“>”“<”“＝”）． (3)如图③，是由图①的沿折叠得到的，如果，则______． 猜想三个角存在的等量关系为______． 【答案】(1)，理由如下 (2) (3)， 【分析】（1）由题意知，，进而可得； （2）由题意知，，进而可得； （3）由，，可得，由折叠与平角的性质，可知，，则，进而可求三个角存在的等量关系． 【详解】（1）解： ，理由如下： 由题意知，， ∴； （2）解：由题意知，， ∴， 故答案为：； （3）解：∵，， ∴， 由折叠与平角的性质，可知，， ∴， 故答案为：； 由题意知，， ∴三个角存在的等量关系为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，折叠的性质．解题的关键在于明确角度之间的数量关系． 2．在中，点M，N分别在上，连接，将沿折叠得到． (1)如图1，当点C落在边上，且，，求的度数；    (2)如图2，当点C落在的内部时．    ①若，则的度数为______； ②求证：． 【答案】(1)50° (2)①117°；②证明见解析 【分析】（1）根据折叠的性质求出，进而即可求解； （2）①根据折叠的性质得，进而即可求解；②根据三角形内角和定理结合折叠的性质即可得到结论 【详解】（1）∵， ∴， 由题意可得， ∴； （2）①∵， ∴， ∴， 故答案为：； ②证明：由题意可得：， ∴， ∴. 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理，以及折叠的性质是解题的关键 3．在学习三角形之后，八（1）班实践课上，乐乐把一个三角形纸片沿折叠，使点落在内部的点处． (1)如图1，若，则___________°； (2)利用图1，探究，与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图2，把折叠后，，恰好分别是与的平分线，若，利用（2）中的结论求的度数． 【答案】(1) (2)，理由见详解 (3) 【分析】（1）可求，可得，，即可求解； （2）设，可得，可求，，即可求解； （3）可得，可求，由即可求解． 【详解】（1）解：， ， 由折叠得：，， ， ， ； 故答案：． （2）解：，理由如下： 设， ， 由折叠得：，， ， ， ， ； ； （3）解：由（2）得 ， ， ，恰好分别是与的平分线， ， ， ． 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形的内角和定理，掌握折叠的性质及三角形内角和定理是解题的关键． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$