第十三、十四章 三角形 全等三角形（优质类型）考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年八年级数学上册（人教版2024新教材）

第十三、十四章 三角形 全等三角形思维导图 【类型覆盖】 类型一、格点三角形 【解惑】如图，在的正方形网格中，的顶点和线段的端点都在小正方形的顶点上，这样的三角形叫做格点三角形．请你在图中找出所有满足条件的点D，使得以D、E、F为顶点的格点三角形与全等，这样的点D有（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【融会贯通】 1．如图，方格中的3个顶点分别在正万形的顶点（格点上），这样的三角形叫格点三角形，图中与（不含）全等的格点三角形共有（    ）个 A．4 B．5 C．8 D．7 2．如图①，点B，E，C，F在一条直线上，，．只需添加一个条件即可证明． （1）当添加 时，根据“”可判断； （2）当添加 时，根据“”可判断； （3）当添加 时，根据“”可判断； （4）若将“”改为“”，则当添加 时，根据“”可判断； （5）如图②，的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫作格点三角形．在图②中，有 个格点三角形（不与重合）与全等． 3．如图所示的的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形．若在该网格中，与全等的格点三角形共有个（不含本身），则 ． 类型二、全等中的最值问题 【解惑】如图，在锐角三角形中，的面积15，平分交于点D，若M、N分别是上的动点，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．8 D．9 【融会贯通】 1．如图，在中，，用尺规作图法作出射线，交于点，，为上一动点，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图，在和中，，，且点B、C、E在同一条直线上．点P是边上的一个动点，连接，则的最小值为 ． 3．如图，在中，，平分交于点，点，分别是上的动点，则    （1）的长为 ； （2）的最小值为 ． 类型三、全等中的动点求t 【解惑】如图，，，，如果点P在线段上以2/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动．若经过t秒后，与全等，则t的值是（   ） A．或 B．1或 C．1或 D．1或 【融会贯通】 1．如图，在中，，，，P、Q是两个动点，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A－C－B的路线向终点B运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线B－C－A的路线向终点A运动，点P和点Q都运动到各自的终点时停止，设运动时间为t（秒），直线经过点C，且l，过点P，Q分别作直线的垂线，垂足为E，F，当与全等时，t的值不可能是（   ） A．2 B．2.8 C．3 D．6 2．如图，在中，已知，，，直线，动点从点开始沿射线方向以每秒的速度运动，动点也同时从点开始在直线上以每秒的速度运动，连接，，设运动时间为秒．当 时，． 3．如图，，，，垂足分别为，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在射线上运动，它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动随之结束）． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等？并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由； (2)如图②，若“，”改为“”，点的运动速度为，其他条件不变，当点运动到某处时有与全等，求出相应的的值． (3)在（）成立的条件下且两点的运动速度相同时，_____（直接写出结果） 类型四、三种角平分线 【解惑】如图，在中，，，为的外角，与的平分线交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，在中，，平分，平分，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．如图，已知中，，O为内一点，且，其中平分，平分，平分，平分，…，平分，平分，…，以此类推，则 °， °． 3．如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点． (1)若，，则______，______； (2)若，当的度数发生变化时，、的度数是否发生变化？并说明理由； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的的度数______． 类型五、无刻度尺作图 【解惑】如图，每个小正方形的边长为个单位，每个小正方形的顶点叫格点．仅用无刻度的直尺完成下列作图． (1)画出向右平移个单位后的图形（注意标上字母）； (2)的面积是___________； (3)在图中存在满足与面积相等的格点（与点不重合）共计有___________个． 【融会贯通】 1．如图，在边长为1个单位的正方形网格中，经过平移后得到，图中标出了点B的对应点．根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题保留画图痕迹： (1)画出； (2)连接、，那么与的关系是_________，的面积为_________； (3)在的右下侧确定格点Q，使的面积和的面积相等，这样的Q点有_________个． 2．如图是两个的正方形方格，每个正方形的顶点叫做格点，线段的两个端点就是格点．下面请根据要求，用无刻度直尺作图（不可超出边界），做出一种情况即可． (1)在图1中找到两个格点E、F，连结，使得平分； (2)在图2中找到两个格点G、H，连结，使得垂直（G、H不与A、B重合）． 3．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上，只用无刻度的直尺在给定的网格中，分别按下列要求作图，保留适当的作图痕迹． (1)在图①中作的边上的中线． (2)在图②中作的边上的高线． (3)在图③中过点作的平行线． 类型六、倍长中线法 【解惑】如图，已知中，为边上的中线． (1)请用基本尺规作图：在下方作，使射线交的延长线于点．（不写作法，不下结论，保留作图痕迹）： (2)若，，在（1）所作的图形中，求线段的取值范围． 解：为边上的中线， ______． 在和中 ______， ， ． 在中，， ______． ， ______． 【融会贯通】 1．综合与实践 【问题情境】 （1）在进行课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．容易证得，再由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是______． 【初步运用】 （2）如图2，在四边形中，M是边的中点，且，，，，求线段的长． 【拓展延伸】 （3）如图3，和为两个等腰直角三角形，其中，，，F为的中点，直接写出线段与的数量关系（无需说明理由）． 2．学习理解： （1）如图1，，，点D为的中点，则的取值范围为________； 活学活用： （2）如图2，，，，点F为的中点． 求证：； 思维拓展： （3）如图3，在中，，和的角平分线与相交于点F，连接，，，则________． 3．【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是________． A． B．          C． D． （2）求得的取值范围是________． A．        B．        C．        D． 【方法感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，已知：，，是的中线，求证：． 类型七、八字形 【解惑】如图1，线段相交于点，连接，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、．试解答下列问题． (1)如图1，试说明：． (2)如图2，若，，求的度数． (3)在图2中，若，，直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【融会贯通】 1．【问题背景】（1）小明在学习多边形时，把如图1的图形看成“8”字形，并得出如下结论：，请你说明理由； 【尝试应用】（2）如图2，、分别平分、，若，，求的度数； 【拓展延伸】（3）如图3，已知，，，，其中，且为整数，请利用上述结论或方法直接写出的度数．（用含n，，的代数式表示） 2．（1）如图1的图形是同学们所熟悉的“8字形”，则____；图2中有_____个“8字形”； （2）如图3，的平分线相交于点P，连接，若平分，请你探究与的数量关系，并证明你的结论； （3）如图4，的平分线相交于点的平分线相交于点，是的，直接写出的度数． 3．（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明； 【简单应用】 （2）如图2，、分别平分．，若，，求的度数； 【问题探究】 （3）如图3，直线平分的外角，平分的外角，若，，请猜想的度数，并说明理由． 类型八、截长补短法 【解惑】如图，在中，，外角的平分线与外角的平分线相交于点P，延长交的延长线于点D，延长交延长线于点E． (1)求的度数； (2)求证：． 【融会贯通】 1．如图1：在四边形中，，，，、分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系，他的结论应是 ． 像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型． 拓展如图，若在四边形中，，，、分别是，上的点，且，则，，之间的数量关系是 ．请证明你的结论． 2． 阅读材料 面对一般性的问题时，可以先考虑特殊情形，借助特殊情形下获得的结论或方法解决一般性的问题，这就是特殊化策略． 活动主题 根据以上材料，同学们在数学活动课上以对角互补的四边形为活动主题，开展了如下探究． 问题背景 如图，在四边形中，分别是边上的点，且．请探究线段之间的数量关系． 特殊情形 任务1：如图1，当时，其他条件不变，请探究线段之间的数量关系． 下面是学习委员琳琳的解题过程，请将剩余内容补充完整． 解：延长到点G，使得，连接． 在和中，， 所以，所以， 所以． 因为，所以． …… 一般性问题 任务2：小梦同学发现在如图2所示的四边形中，若分别是边上的点，，则任务1中的结论仍然是成立的，请你写出结论并完成说明过程． 3．四边形中，，，，分别是边，上的动点，且． (1)如图1，当，分别在线段，上时， ①填空：若设，则之间的数量关系是______； ②猜想之间的数量关系，并证明你的猜想； (2)如图2，当，分别运动到在线段，延长线上时，其它条件不变，（1）中②你的猜想是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数据关系，并证明． 类型九、婆罗摩笈多 【解惑】【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，，，中线的取值范围是多少？ 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得AE的取值范围为，从而得到的取值范围是________________________； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题拓展】 （2）如图2，，，与互补，连接、，E是的中点，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点F，，，求的面积． 【融会贯通】 1．（1）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在中，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）： 　　 ①延长到，使得； ②再连接，把集中在中； 请完成任务1：在图1中找出与的数量关系并证明．； ③利用三角形三边关系可得． 任务2：的取值范围是_________． （2）感语：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． （3）思考：如图2，是的中线，． 任务3：探究线段与的数量关系并加以证明． 2．已知O是四边形内一点，且，，． (1)如图1，连接，交点为G，连接，求证：； (2)如图2，若，是的中点，过点O作，垂足为F，求证：点E，O，F在同一条直线上． 3．我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，，，．回答下列问题： (1)求证：和是兄弟三角形． (2)取的中点，连接，试说明．小王同学根据要求的结论，想起了老师上课讲的“中线（点）倍延”的辅助线构造方法，解决了这个问题． ①请在图中通过作辅助线构造，并证明． ②求证：． 类型十、三角形的新定义 【解惑】定义：若三角形的两个内角与满足，则称该三角形为“准互余三角形”，与为“准互余角”． (1)下列各组给出了三角形的三个内角，其中能构成“准互余三角形”的是________（填序号）． ，，；，，；，，． (2)若为“准互余三角形”，，和是“准互余角”，求的度数． (3)如图，在中，，若平分，试说明是“准互余三角形”． 【融会贯通】 1．在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称是的“系数补角”．例如，，有，则是的“4系数补角”． (1)若的“系数补角”是（   ）； A．        B．        C．        D． (2)如图，，点为直线上一点，点为直线上一点． ①如图，点为平面内一点，连接，，，若是的系数补角，求的大小； ②如图，连接，若为平面内一动点（点不在直线，，上），与两个角的平分线交于点．若是的系数补角，直接写出的大小的所有情况（用含和的代数式表示）． 2． 新定义：在中，若存在最大内角是最小内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称为“n倍角三角形”．例如，在中，若，，则，因为最大，最小，且，所以为“3倍角三角形”． (1)如果一个“2倍角三角形”中的一个内角是，则其它两个内角是 和 (2)在中，若，，则为“ 倍角三角形”． (3)如图，在中，，、的角平分线相交于点D，若为“6倍角三角形”，则 ． 3．定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的倍，我们称这两个角互为“开心角”，这个三角形叫做“开心三角形”．例如：在中，， ，则与互为“开心角”，为“开心三角形”． 【理解】 (1)若为开心三角形，，则这个三角形中最小的内角为________°． (2)若为开心三角形，，则这个三角形中最小的内角为________°． (3)已知是开心中最小的内角，并且是其中的一个开心角，试确定的取值范围，并说明理由； 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十三、十四章 三角形 全等三角形思维导图 【类型覆盖】 类型一、格点三角形 【解惑】如图，在的正方形网格中，的顶点和线段的端点都在小正方形的顶点上，这样的三角形叫做格点三角形．请你在图中找出所有满足条件的点D，使得以D、E、F为顶点的格点三角形与全等，这样的点D有（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的判定，利用网格的特性找到原三角形的边和角的特点，据此作图是解题关键；由图可知：，是的正方形的对角线，，而，则在网格中分别以E，F为一个端点，连接的正方形网格的对角线，且使，根据可知，所作三角形与全等． 【详解】解：D的位置如图所示：    由图可知，这样的点D有4个， 故选：． 【融会贯通】 1．如图，方格中的3个顶点分别在正万形的顶点（格点上），这样的三角形叫格点三角形，图中与（不含）全等的格点三角形共有（    ）个 A．4 B．5 C．8 D．7 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法，结合网格的特点，画出图形，即可得出结果． 【详解】解：如图所示以正方形一边为三角形的边都可作两个全等的三角形， 所以共有8个全等三角形，除去外有7个与全等的三角形．即： 故选D． 2．如图①，点B，E，C，F在一条直线上，，．只需添加一个条件即可证明． （1）当添加 时，根据“”可判断； （2）当添加 时，根据“”可判断； （3）当添加 时，根据“”可判断； （4）若将“”改为“”，则当添加 时，根据“”可判断； （5）如图②，的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫作格点三角形．在图②中，有 个格点三角形（不与重合）与全等． 【答案】 （或） 3 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键； （1）根据如果两个三角形的两组对应边及其夹角分别相等，那么这两个三角形全等，结合已知条件来确定所需添加的条件； （2）根据如果两个三角形的两组对应角相等，并且其中一组对应角的对边也相等，那么这两个三角形全等， 结合已知条件来确定所需添加的条件； （3）根据如果两个三角形的两组对应角及其夹边分别相等，那么这两个三角形全等 ， 结合已知条件来确定所需添加的条件， （4）根据如果两个三角形的三条对应边分别相等，那么这两个三角形全等，结合已知条件来确定所需添加的条件， （5）平移、旋转、翻折等方式，再根据格点三角形的特点找出全等的三角形个数． 【详解】解：（1）∵， ∴， 即． ∵， 要根据 “”判定全等，还需， 故答案为； （2）∵，， 要根据“”判定全等，还需， 故答案为； （3）∵，，要根据“”判定全等，还需， ， ∴， 故答案为或； （4）∵，，要根据“”判定全等，还需， 故答案为； （5）通过平移、旋转、翻折等方式找出与全等的格点三角形（不与重合）为：如图所示：，，即为所求． ， 共有3个， 故答案为3． 3．如图所示的的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形．若在该网格中，与全等的格点三角形共有个（不含本身），则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，数形结合是解题的关键．由图可知，在的正方形网格中，与全等的格点三角形共有个（包含本身），而在的正方形网格中，一共有个的正方形网格，据此即可求解． 【详解】解：在的正方形网格中，与全等的格点三角形共有个（包含本身）， 在的正方形网格中，一共有个的正方形网格， 在的正方形网格中，与全等的格点三角形共有个（包含本身）， 与全等的格点三角形共有个（不含本身）， ， 故答案为：． 类型二、全等中的最值问题 【解惑】如图，在锐角三角形中，的面积15，平分交于点D，若M、N分别是上的动点，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查三角形中的最短路径，角平分线的性质定理，解题的关键是理解的长度即为最小值． 过作于点，交于点，过点作于，则即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出的长，即为的最小值． 【详解】解：过作于点，交于点，过点作于，如图：    ∵平分于点于， ∴， ∴是最小值，此时与重合与重合， ∵三角形的面积为， ∴， ∴， 即的最小值为6． 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，在中，，用尺规作图法作出射线，交于点，，为上一动点，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查基本作图——作角平分线，角平分线的性质定理，垂线段最短．当时，根据垂线段最短可知，此时的值最小．再根据角平分线的性质定理可得，即得． 【详解】解：当时，根据垂线段最短可知，此时的值最小． 由作图知：平分， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴的最小值为5， 故选：D． 2．如图，在和中，，，且点B、C、E在同一条直线上．点P是边上的一个动点，连接，则的最小值为 ． 【答案】16 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，连接，由平角的定义可得，则，证明得到，则，根据即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，且点B、C、E在同一条直线上． ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为16，即的最小值为16， 故答案为：16． 3．如图，在中，，平分交于点，点，分别是上的动点，则    （1）的长为 ； （2）的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查垂线段最短问题、角平分线的性质等知识点，解决本题的关键是正确作出辅助线，借助面积法列方程求解． 过点作，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可知，再根据列方程求出的长； 过点作交于点，作交于点，此时有，利用面积法列方程求出的长度即为的最小值． 【详解】解：如下图所示，过点作，    平分交于点， ， ， ， ，，， ， 解得：， 故答案为：； 解：如下图所示，过点作交于点，作交于点，    平分交于点， 点与点关于对称， ， 在中，， ， ， 解得：， 故答案为：． 类型三、全等中的动点求t 【解惑】如图，，，，如果点P在线段上以2/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动．若经过t秒后，与全等，则t的值是（   ） A．或 B．1或 C．1或 D．1或 【答案】C 【分析】本题考查了全等的性质，解一元一次方程的应用．运用分类讨论的思想是解题的关键． 由题意知，，，由与全等，分，两种情况，列方程求解即可． 【详解】解：由题意知，，， ∵与全等， ∴分，两种情况求解； 当时，，即，解得； 当时，，即，解得； 综上所述，t的值是1或1.5， 故选：C． 【融会贯通】 1．如图，在中，，，，P、Q是两个动点，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A－C－B的路线向终点B运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线B－C－A的路线向终点A运动，点P和点Q都运动到各自的终点时停止，设运动时间为t（秒），直线经过点C，且l，过点P，Q分别作直线的垂线，垂足为E，F，当与全等时，t的值不可能是（   ） A．2 B．2.8 C．3 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质、作图-基本作图、平行线之间的距离、勾股定理，根据题意得出关于t的方程是解题的关键．分三种情况讨论得出关于t的方程，解方程求得t的值． 【详解】解：当P在上，Q在上时，如图，过点P，Q，C分别作直线l于点E，直线l于点F，于点D， ∵， ∴， ∵于E，于F． ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得； 当P在上，Q在上时，即P、Q重合时，则， 由题意得，， 解得； 当P在上，Q在上时，即A、Q重合时，则， 由题意得，， 解得． 综上，当与全等时，t的值为2或2.8或6． ∴t的值不可能是3． 故选：C． 2．如图，在中，已知，，，直线，动点从点开始沿射线方向以每秒的速度运动，动点也同时从点开始在直线上以每秒的速度运动，连接，，设运动时间为秒．当 时，． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据当点在射线上时，当点在的反向延长线上时，根据，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】， ，，，， 如图，当点在射线上时，在上，， ，， ， ． 如图，当点在的反向延长线上时，，， ，， ， ． 综上所述，当或时，， 故答案为：或． 3．如图，，，，垂足分别为，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在射线上运动，它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动随之结束）． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等？并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由； (2)如图②，若“，”改为“”，点的运动速度为，其他条件不变，当点运动到某处时有与全等，求出相应的的值． (3)在（）成立的条件下且两点的运动速度相同时，_____（直接写出结果） 【答案】(1)，，理由见解析 (2)当时，，；当时，， (3) 【分析】（）由题意可得，，进而得，即可证，由全等三角形的性质得，即可由得，即可求证； （）分和两种情况，根据全等三角形的性质列出方程解答即可求解； （）由得，即得，进而可得，得到，即可求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：，，理由如下： ∵，， ∴， ∵点的运动速度与点的运动速度相等，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； （2）解：①若时，则，， ∴，， 解得，； ②若，则，， ∴，， 解，； 综上，当时，，；当时，，； （3）解：∵两点的运动速度相同， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 类型四、三种角平分线 【解惑】如图，在中，，，为的外角，与的平分线交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，由可得，即得，再根据角平分线的定义得，进而根据三角形的内角和定理即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵与的平分线交于点， ∴， ∴， 故选：． 【融会贯通】 1．如图，在中，，平分，平分，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形内角和定理和角平分线的相关知识，找准角与角之间的等量关系是解题的关键． 【详解】解：平分，平分， ，； ，利用三角形内角和定理，； ； 再次利用三角形内角和定理，在三角形中，； 所以，的度数为， 故答案为B． 2．如图，已知中，，O为内一点，且，其中平分，平分，平分，平分，…，平分，平分，…，以此类推，则 °， °． 【答案】 110 【分析】先根据三角形的内角和定理可得的度数，再根据角平分线的定义、三角形内角和定理即可求出的度数，同样的方法求出的度数，然后归纳类推出一般规律，由此即可得出答案． 【详解】解：如图，， ， ， ， ， 平分，平分， ， ， ， ， ， ， ， 同理可得：， ， ， ， ， ， ， 归纳类推得：，其中为正整数， 则， 故答案为：110，． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 3．如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点． (1)若，，则______，______； (2)若，当的度数发生变化时，、的度数是否发生变化？并说明理由； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的的度数______． 【答案】(1)115，25 (2)不会发生变化，理由见解析 (3)或或或 【分析】（1）由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解； （2）同理由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解； （3）设，则，再由不变，即可分类讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，分别列出关于的等式，解出即可． 【详解】（1）解：，， ． 平分， ． ， ，． 平分， ． ； ， ． 平分，平分， ，． ， ，即， ． 故答案为：115，25； （2）解：不会发生变化，理由如下： ， ． ， ，． 平分，平分， ，． ． ， ， ， ． 当的度数发生变化时，、的度数不发生变化； （3）解：设， ． ， ，， 平分，平分， ，， ． ． 平分，平分， ，， ， ， 中存在一个内角等于另一个内角的三倍， ①当时，， 解得： ②当时，， 解得： ③当时，， 解得： ④当时，， 解得： 综上可知，或或或． 【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识．熟练运用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． 类型五、无刻度尺作图 【解惑】如图，每个小正方形的边长为个单位，每个小正方形的顶点叫格点．仅用无刻度的直尺完成下列作图． (1)画出向右平移个单位后的图形（注意标上字母）； (2)的面积是___________； (3)在图中存在满足与面积相等的格点（与点不重合）共计有___________个． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)（图中，，） 【分析】本题考查了图形的平移、用割补法求三角形的面积、平行线的性质，解决本题的关键是根据两平行线间的距离处处相等找到使足与面积相等的格点． 根据平移的方向和距离，分别作出点、、向右平移个单位长度后的对应点、、，连接点、、，得到，即为所求； 把补充成矩形，利用割补法求的面积即可； 根据同底等高的三角形的面积相等，可知使与面积相等的格点在过点且与平行的直线上，通过画图找出符合条件的点即可． 【详解】（1）解：如下图所示， 分别作出点、、向右平移个单位长度后的对应点、、， 连接点、、，得到， 即为所求； （2）解：如下图所示， 把补充成矩形， 由网格图可知，， ， ， 故答案为：； （3）解：如下图所示， 是矩形网格的对角线， 过点作的平行线， 这条直线在网格图中共经过了个格点， 满足与面积相等的格点共有个． 故答案为：. 【融会贯通】 1．如图，在边长为1个单位的正方形网格中，经过平移后得到，图中标出了点B的对应点．根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题保留画图痕迹： (1)画出； (2)连接、，那么与的关系是_________，的面积为_________； (3)在的右下侧确定格点Q，使的面积和的面积相等，这样的Q点有_________个． 【答案】(1)见解析 (2)平行且相等，7.5 (3)8 【分析】本题考查作图−−平移变换，三角形的面积，三角形的高等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）分别作出A，C的对应的点，，然后顺次连接，，即可； （2）根据平移的性质和利用分割法的思想进行求解即可； （3）直线l上的格点满足条件． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：如图， 由平移的性质知：，， ， 故答案为：平行且相等，7.5； （3）解：直线l上的格点满足条件，如图可知： 满足条件的点Q有8个， 故答案为：8． 2．如图是两个的正方形方格，每个正方形的顶点叫做格点，线段的两个端点就是格点．下面请根据要求，用无刻度直尺作图（不可超出边界），做出一种情况即可． (1)在图1中找到两个格点E、F，连结，使得平分； (2)在图2中找到两个格点G、H，连结，使得垂直（G、H不与A、B重合）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了无刻度直尺作图、全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）线段是三个方格的对角线，连接中间方格的对角线，记为，即可得到平分； （2）线段是水平方向三个方格的对角线，在竖直方向上同样找到三个方格的对角线，记为，即可得到垂直． 【详解】（1）解：如图， 设与交于点， 由图可得，，，， ， ， ， 平分， 格点E、F即为所求（答案不唯一）． （2）解：如图， 设与交于点， 由图可得，，，， ， ， ，即， ， ， 格点G、H即为所求（答案不唯一）． 3．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上，只用无刻度的直尺在给定的网格中，分别按下列要求作图，保留适当的作图痕迹． (1)在图①中作的边上的中线． (2)在图②中作的边上的高线． (3)在图③中过点作的平行线． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3)画图见解析 【分析】（1）取格点，且，连接即可； （2）如图，取格点，延长至格点，连接交于，则即为所求； （3）把向右平移3个单位，再向下平移4个单位得到点，连接即可； 【详解】（1）解：如图，即为所求； ； （2）解：如图，取格点，延长至格点，连接交于，则即为所求； 理由：如图，取格点， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，即为所求； 【点睛】本题考查的是画三角形的中线，高，平行线，平移的性质，全等三角形的判定与性质，熟练的画图是解本题的关键． 类型六、倍长中线法 【解惑】如图，已知中，为边上的中线． (1)请用基本尺规作图：在下方作，使射线交的延长线于点．（不写作法，不下结论，保留作图痕迹）： (2)若，，在（1）所作的图形中，求线段的取值范围． 解：为边上的中线， ______． 在和中 ______， ， ． 在中，， ______． ， ______． 【答案】(1)见解析 (2)；；2；1 【分析】本题考查了全等三角形判定与性质，三角形的三边关系，尺规作图，作一个角等于已知角，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）按照作一个角等于已知角的步骤作图即可； （2）先证明，根据全等三角形的性质得到，，然后在由三边关系求出 ，即可求出线段的取值范围． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：为边上的中线， ． 在和中 ， ， ． 在中，， ． ， ． 故答案为：；；2；1． 【融会贯通】 1．综合与实践 【问题情境】 （1）在进行课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．容易证得，再由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是______． 【初步运用】 （2）如图2，在四边形中，M是边的中点，且，，，，求线段的长． 【拓展延伸】 （3）如图3，和为两个等腰直角三角形，其中，，，F为的中点，直接写出线段与的数量关系（无需说明理由）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）延长至点E，使，连接．证明，得，在中利用三角形三边关系即可求解； （2）延长交的延长线于点N，证明，得；再由可得，从而求得，即求得的长； （3）延长到N，使，则可证明，有，，从而易得，再证明，则，从而得，此即线段与的数量关系． 【详解】解：（1）如图，延长至点E，使，连接． ∵边上的中线为， ∴； ∵， ∴， ∴； 在中，， 即， ∴， 故答案为：； （2）解：延长交的延长线于点N，如图； ∵M为边的中点， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴垂直平分线段， ∴， ∴， ∴； （3）线段与的数量关系为：； 如图，延长到N，使， ∵F为的中点， ∴； ∵， ∴， ∴，； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， 即； ∵， ∴， ∴， ∴，此即线段与的数量关系． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质与判定，三角形三边不等关系，三角形中线的含义等知识，由中点构造全等三角形是解题的关键． 2．学习理解： （1）如图1，，，点D为的中点，则的取值范围为________； 活学活用： （2）如图2，，，，点F为的中点． 求证：； 思维拓展： （3）如图3，在中，，和的角平分线与相交于点F，连接，，，则________． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）13 【分析】（1）延长至点E，使，连接，证明，得出的取值范围为，从而得到； （2）如图2，延长至点G，使，连接，证明，，通过三角形面积转化得到结论； （3）先证明，如图3，在上截取，，连接，通过三角形全等和三角形面积转化，得出的面积． 【详解】解：（1）如图1，延长至点E，使，连接， ∵点D为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：如图2，延长至点G，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∵点F为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵分别平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图3，在上截取，，连接， 在和中， ， ∴， 同理可得：， ∴，，，， 过点N作于点P，过点E作于点Q， 则， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵ ， ∴， 故答案为：13． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质等，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 3．【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是________． A． B．          C． D． （2）求得的取值范围是________． A．        B．        C．        D． 【方法感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，已知：，，是的中线，求证：． 【答案】（1）B；（2）C；（3）见解析 【分析】本题考查全等三角形判定与性质，三角形三边的关系，解题的关键是正确做出作辅助线，构造全等三角形． （1）根据三角形全等的判定定理即可进行解答； （2）根据三角形三边之间的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可进行解答； （3）延长到F，使，连接，证明得，，再由外角的性质得出，再证明得，从而得出． 【详解】（1）解：∵为边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， 故选B． （2）解：由（1）可知，， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 故选C． （3）证明：延长到F，使，连接， ∵是的中线， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴ ∴． 类型七、八字形 【解惑】如图1，线段相交于点，连接，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、．试解答下列问题． (1)如图1，试说明：． (2)如图2，若，，求的度数． (3)在图2中，若，，直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1)见解析 (2)； (3) 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理的应用、角平分线的定义等知识，掌握利用三角形的内角和定理解决“8字形”中的角度问题是解题的关键． （1）利用三角形的内角和定理与对顶角相等可得结论； （2）由（1）可得， ，再两式相加，结合角平分线的定义可得，再把，代入计算即可得到答案； （3）由（1）可得，，再两式相加，结合角平分线的定义可得． 【详解】（1）证明：∵， 又∵， ∴； （2）解：由（1）可得，①， ②， ∵和的平分线和相交于点， ∴，， 由①+②，得， 即， 又∵，， ∴， ∴； （3）解：由（1）得①， ② ， ∵和的平分线和相交于点， ∴，， 由，得， ∵，， ∴． 【融会贯通】 1．【问题背景】（1）小明在学习多边形时，把如图1的图形看成“8”字形，并得出如下结论：，请你说明理由； 【尝试应用】（2）如图2，、分别平分、，若，，求的度数； 【拓展延伸】（3）如图3，已知，，，，其中，且为整数，请利用上述结论或方法直接写出的度数．（用含n，，的代数式表示） 【答案】（1）见解析  （2）30°   （3） 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，对顶角相等，利用类比的思想解答是解题的关键． （1）根据三角形的内角和定理，对顶角相等，即可求证； （2），得，再由角平分线的定义，得到 ，即可求解； （3）利用（1）的结论及（2）的思路得、；结合、，推出、；代入得到含、、的两个等式①②；对①式乘后与②式相加，消去、，整理得 。 【详解】解：（1）和， ，． ， （2）分别平分， ， 由（1）可知： 由①+②可得， ，即， ，， ． （3）直接写出结论：． 由（1）可知：， ， ，， ，， ①， ②， 由①②得： ， ． 2．（1）如图1的图形是同学们所熟悉的“8字形”，则____；图2中有_____个“8字形”； （2）如图3，的平分线相交于点P，连接，若平分，请你探究与的数量关系，并证明你的结论； （3）如图4，的平分线相交于点的平分线相交于点，是的，直接写出的度数． 【答案】（1）；6；（2），理由见解析，（3）， 【分析】此题考查了三角形外角的性质、三角形内角和定理、角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形外角的性质、三角形内角和定理是关键． （1）根据三角形内角和定理和对顶角相等即可得到结论； （2）根据角平分线的定义和三角形外角的性质即可得到结论； （3）根据（1）中的结论和角之间的关系得到方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】（1）∵， 而， ∴ 图2中以E为交点的“8字形”有1个，以F为交点的“8字形”有1个，以O为交点的“8字形”有4个，共6个； 故答案为：；6； （2）， 理由：∵分别平分和， ， ∵是的外角，是的外角， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∵， ∴； （3）如图； 由（1）的“8字形”得： ， ∵， ∴， ∴， ∵是的， ∴， 解得， 即． 3．（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明； 【简单应用】 （2）如图2，、分别平分．，若，，求的度数； 【问题探究】 （3）如图3，直线平分的外角，平分的外角，若，，请猜想的度数，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查三角形内角和，三角形的外角的性质，解题的关键是学会用方程组的思想思考问题． （1）根据三角形内角和定理即可证明； （2）如图2，根据角平分线的性质得到，，列方程组即可得到结论； （3）由平分的外角，平分的外角，推出，，推出，，由，，推出，即可解决问题. 【详解】（1）证明：在中，， 在中，， ， ； （2）解：如图2， 、分别平分，， ，， 由（1）的结论得： ， ①②，得， ； （3）解：如图3， 平分的外角，平分的外角， ，， ，， ， ， ， ． 类型八、截长补短法 【解惑】如图，在中，，外角的平分线与外角的平分线相交于点P，延长交的延长线于点D，延长交延长线于点E． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、角平分线的定义，添加辅助线构造全等三角形是解答的关键． （1）先根据三角形的内角和定理求得，再根据平角定义求得，再根据角平分线的定义推导，进而根据三角形的内角和定理求解即可； （2）在上截取，连接，先证明得到，，再证明，，进而证明得到，然后由可得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵外角的平分线与外角的平分线相交于点P， ∴，， ∴， ∴； （2）证明：在上截取，连接， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【融会贯通】 1．如图1：在四边形中，，，，、分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系，他的结论应是 ． 像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型． 拓展如图，若在四边形中，，，、分别是，上的点，且，则，，之间的数量关系是 ．请证明你的结论． 【答案】（1）；（2），证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据题意证，推出，，然后利用，，以及角的和差关系得到，从而证明，推出，结合，即可得到结论； （2）延长到点，使，连接，根据，推出，易证，推出，，然后利用，以及角的和差关系得到，从而证明，推出，结合，即可得到结论． 【详解】解：（1）在和中 ， 又， 在和中 （2）， 理由：如图所示，延长到点，使，连接 ， 在和中 ， 在和中 2． 阅读材料 面对一般性的问题时，可以先考虑特殊情形，借助特殊情形下获得的结论或方法解决一般性的问题，这就是特殊化策略． 活动主题 根据以上材料，同学们在数学活动课上以对角互补的四边形为活动主题，开展了如下探究． 问题背景 如图，在四边形中，分别是边上的点，且．请探究线段之间的数量关系． 特殊情形 任务1：如图1，当时，其他条件不变，请探究线段之间的数量关系． 下面是学习委员琳琳的解题过程，请将剩余内容补充完整． 解：延长到点G，使得，连接． 在和中，， 所以，所以， 所以． 因为，所以． …… 一般性问题 任务2：小梦同学发现在如图2所示的四边形中，若分别是边上的点，，则任务1中的结论仍然是成立的，请你写出结论并完成说明过程． 【答案】任务1：见解析；任务2：成立，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形． （1）证明得，进而可证； （2）先证明得，再证明得，进而可得． 【详解】解：任务1：在和中，， 所以， 所以， 因为， 所以； 任务2：．延长至M，使，连接， 因为， 所以， 在和中，， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 在和中，， 所以， 所以， 因为， 所以． 3．四边形中，，，，分别是边，上的动点，且． (1)如图1，当，分别在线段，上时， ①填空：若设，则之间的数量关系是______； ②猜想之间的数量关系，并证明你的猜想； (2)如图2，当，分别运动到在线段，延长线上时，其它条件不变，（1）中②你的猜想是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数据关系，并证明． 【答案】(1)①．②猜想：．证明见解析 (2)（1）②中猜想不成立，．证明见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质等知识，作出合理的辅助线构建全等三角形是解题的关键． （1）①根据四边形内角和是求解即可； ②利用证明、，根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可； （2）在上截取，连接，利用证明、，根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可． 【详解】（1）解：（1）①四边形中，， ∴ ∵． ∴ ∵， ∴. 故答案为：． ②猜想：． 证明：延长至点，使，连接． ． ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ． （2）解：（1）②中猜想不成立，． 证明：如图，在上截取， ， ． 在和中， ， ． ． ， ． ． ． 在和中， ， ， ， ， ． 类型九、婆罗摩笈多 【解惑】【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，，，中线的取值范围是多少？ 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得AE的取值范围为，从而得到的取值范围是________________________； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题拓展】 （2）如图2，，，与互补，连接、，E是的中点，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点F，，，求的面积． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查了倍长中线型全等问题，正确作出辅助线是解题关键． （1）根据提示证即可求解； （2）延长至点，使得，连接，证得，，进而可得，再证即可； （3）由（2）可得：，，进一步得；根据题意可证，据此即可求解． 【详解】（1）解：∵是的中线． ∴， ∵，， ∴， ∴， 可得， 即：， ∴， 故答案为：； （2）证明：延长至点，使得，连接，如图所示： 由题意得：， ∵，, ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图， 由（2）可得：，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【融会贯通】 1．（1）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在中，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）： 　　 ①延长到，使得； ②再连接，把集中在中； 请完成任务1：在图1中找出与的数量关系并证明．； ③利用三角形三边关系可得． 任务2：的取值范围是_________． （2）感语：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． （3）思考：如图2，是的中线，． 任务3：探究线段与的数量关系并加以证明． 【答案】（1）；（3），理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的常见模型：倍长中线模型．熟记相关几何模型和结论是解题的关键． （1）证明，进一步由且即可求解； （3）延长到Q使得，连接，延长交于点，证、即可求解． 【详解】解：（1）延长到，使得，连接， ∵是边上的中线， ∴， ， ， ∴， ∵， ∵且， ∴． 故答案为：； （3）解：，理由如下： 延长到Q使得，连接，延长交于点，如图；    ∵是边上的中线， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 2．已知O是四边形内一点，且，，． (1)如图1，连接，交点为G，连接，求证：； (2)如图2，若，是的中点，过点O作，垂足为F，求证：点E，O，F在同一条直线上． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质． （1）先推导出，即可根据全等三角形的判定定理“”证明，则； （2）连接并延长到点，使，连接，由倍长中线，模型可证明，得到，，进一步，，则，而，所以，即可证明，得，所以，则，即可证明点，，在同一条直线上． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：如图2，连接并延长到点，使，连接， 是的中点， ， 在和中， ， ∴， ，， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 与在同一条直线上， 点，，在同一条直线上． 3．我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，，，．回答下列问题： (1)求证：和是兄弟三角形． (2)取的中点，连接，试说明．小王同学根据要求的结论，想起了老师上课讲的“中线（点）倍延”的辅助线构造方法，解决了这个问题． ①请在图中通过作辅助线构造，并证明． ②求证：． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②见解析 【分析】本题是三角形综合题，考查了新定义兄弟三角形，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）证出，由兄弟三角形的定义可得出结论； （2）①延长至，使，证明，由全等三角形的性质得出； ②证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论． 【详解】（1）证明：， ， 又，， 和是兄弟三角形； （2）证明：①延长至，使， 为的中点， ， 在和中， ， ， ； ②， ， ∴， ， 又， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 又， ． 类型十、三角形的新定义 【解惑】定义：若三角形的两个内角与满足，则称该三角形为“准互余三角形”，与为“准互余角”． (1)下列各组给出了三角形的三个内角，其中能构成“准互余三角形”的是________（填序号）． ，，；，，；，，． (2)若为“准互余三角形”，，和是“准互余角”，求的度数． (3)如图，在中，，若平分，试说明是“准互余三角形”． 【答案】(1)； (2)； (3)见解析． 【分析】本题考查了“准互余三角形”定义，三角形内角和定理，角平分线定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据“准互余三角形”即可求解； （）根据“准互余三角形”可得，然后通过三角形内角和定理即可求解； （）根据“准互余三角形”进行求证即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， ，，，不符合题意； ，能构成“准互余三角形”； ，能构成“准互余三角形”； 故选：； （2）解：因为为“准互余三角形”，和是“准互余角”，， 所以， 所以， 又因为， 所以； （3）解：因为平分， 所以． 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以是“准互余三角形”． 【融会贯通】 1．在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称是的“系数补角”．例如，，有，则是的“4系数补角”． (1)若的“系数补角”是（   ）； A．        B．        C．        D． (2)如图，，点为直线上一点，点为直线上一点． ①如图，点为平面内一点，连接，，，若是的系数补角，求的大小； ②如图，连接，若为平面内一动点（点不在直线，，上），与两个角的平分线交于点．若是的系数补角，直接写出的大小的所有情况（用含和的代数式表示）． 【答案】(1)B (2)①；②的大小为或或或 【分析】（1）设的“系数补角”是x，根据题意可得，解方程即可得到答案； （2）①设，，根据三角形外角的性质和是的“4系数补角”，列方程组，解方程组即可得到答案； ②分六种情况画出图形分别进行求解即可． 【详解】（1）设的“系数补角”是x， ∵， ∴， 即， 解得， ∴的“系数补角”是； 故选：B． （2）①设， 如图，设与相交于点， ∵，， ∴， ∴， 即①， ∵是的“4系数补角”， ∴， 即② 联立①②得， 解得 即； ②∵是的“2系数补角”， ∴ ∴ 如图1，∵与两个角的平分线交于点． ∴， ∵ ， 过点作， ∵， ∴ 则 ∴ ∴ ∴； 如图2， 同理可得，， 则； 如图3， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴； 如图4， 同理可得，， ∴； 如图5， 同理可得，， ∴； 如图6， 同理可得，， ∴； 综上可知，的大小为或或或． 【点睛】此题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题、平行线的性质、三角形外角的性质等知识，分类讨论和适当添加辅助线是解题的关键． 2． 新定义：在中，若存在最大内角是最小内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称为“n倍角三角形”．例如，在中，若，，则，因为最大，最小，且，所以为“3倍角三角形”． (1)如果一个“2倍角三角形”中的一个内角是，则其它两个内角是 和 (2)在中，若，，则为“ 倍角三角形”． (3)如图，在中，，、的角平分线相交于点D，若为“6倍角三角形”，则 ． 【答案】(1)； (2)3 (3)或． 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，熟练掌握新定义是解题的关键． （1）分的角为最小角和的角为第二大的角，两种情况根据三角形内角和定理求出另外两个角的度数，再根据定义验证即可； （2）三角形的内角和定理求出，再根据新定义进行判断即可； （3）根据三角形的内角和定理结合角平分线的定义，求出的度数，再分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解；当的角是最小的角时，则最大的角为， ∴另外一个角的度数为； 当的角不是最小的角，也不是最大的角时，则最小的角的度数为，不符合题意； 综上所述，另外两个内角的度数为和； （2）解：∵在中，若，， ∴， ∵， ∴为“3倍角三角形”； （3）解：∵， ∴， ∵的角平分线相交于点， ∴， ∴， ∴， ∴在中，最大， ∵为“6倍角三角形” ∴当时：； 当时，，则：； 故或． 3．定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的倍，我们称这两个角互为“开心角”，这个三角形叫做“开心三角形”．例如：在中，， ，则与互为“开心角”，为“开心三角形”． 【理解】 (1)若为开心三角形，，则这个三角形中最小的内角为________°． (2)若为开心三角形，，则这个三角形中最小的内角为________°． (3)已知是开心中最小的内角，并且是其中的一个开心角，试确定的取值范围，并说明理由； 【答案】(1)12 (2)或 (3) 【分析】本题考查了三角形内角和定理、一元一次方程的应用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）设这个三角形中最小的内角为，根据题意结合三角形内角和定理得出，求解即可； （2）分两种情况：当是“开心角”时，当不是“开心角”时；分别求解即可； （3）由题意可得另一个“开心角”是，由三角形内角和定理可得第三个内角是，由题意可得，求解即可． 【详解】（1）解：设这个三角形中最小的内角为， ∵为开心三角形，， ∴， 解得：， ∴这个三角形中最小的内角为； （2）解：∵为开心三角形，， ∴当是“开心角”时，最小角为； 当不是“开心角”时，设这个三角形中最小的内角为， 则， 解得：，此时最小角为， 综上所述，这个三角形中最小的内角为或 （3）解：∵是开心中最小的内角，并且是其中的一个开心角， ∴另一个“开心角”是， ∴第三个内角是， ∵是最小的内角， ∴， ∴， ∴． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$