第十三、十四章 三角形 全等三角形（基础类型）考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年八年级数学上册（人教版2024新教材）

第十三、十四章 三角形 全等三角形思维导图 【类型覆盖】 类型一、三角形的分类与稳定性 【解惑】如果一个三角形的三个内角度数之比为，则该三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理． 根据三角形内角和定理，将角度比转化为具体度数，判断最大角的类型即可确定三角形的类别． 【详解】解：设三个内角的度数分别为、、， 根据三角形内角和为，可得： 解得： 因此，三个内角分别为：，， 最大角为，小于， 故三个角均为锐角， 因此，该三角形是锐角三角形， 故选A． 【融会贯通】 1．如图，工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框使其不变形，这样做的根据是（   ）    A．两点之间的线段最短 B．三角形具有稳定性 C．长方形是轴对称图形 D．长方形的四个角都是直角 【答案】B 【分析】本题考查了三角形具有稳定性在实际生活中的应用．根据三角形具有稳定性解答即可． 【详解】解：工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框使其不变形，这样做的根据是三角形具有稳定性， 故选：B． 2．三角形按边可以分为： 三角形和不等边三角形；按角分为： 三角形、 三角形和钝角三角形． 【答案】 等腰 锐角 直角 【分析】本题考查三角形分类，熟练掌握三角形按边或按角分类是解题的关键． 根据三角形按边可以分为：等腰三角形和不等边三角形；按角分为：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形解答即可． 【详解】解：三角形按边可以分为：等腰三角形和不等边三角形； 按角分为：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形． 故答案为：等腰；锐角；直角．（空2与空3答案可互换）． 3．剑邑大桥是一座沟通丰城赣江南北、贯通全市河东河西，实现赣江两岸联通，促进城乡体化梦想的桥梁．剑邑大桥是一座斜拉索桥，斜拉索大桥中运用的数学原理是 ． 【答案】三角形的稳定性 【分析】本题考查三角形的稳定性在实际生活中的应用问题，根据三角形的三边一旦确定，则形状大小完全确定，即三角形的稳定性进行作答即可． 【详解】解：可以推断出斜拉索大桥中运用的数学原理是三角形的稳定性． 故答案为：三角形的稳定性． 类型二、构成三角形的条件 【解惑】在下列四组线段中，不能组成三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查构成三角形的条件，判断两条较短线段的长度之和是否大于较长的线段的长即可． 【详解】解：A、，能构成三角形，不符合题意； B、，能构成三角形，不符合题意； C、，能构成三角形，不符合题意； D、，不能构成三角形，符合题意； 故选D． 【融会贯通】 1．下列每组数分别是三根小木棒的长度，它们首尾顺次相接能摆成三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数． 根据三角形三边关系定理，即任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，逐一验证各选项即可． 【详解】解：∵，，满足三边关系，构成三角形， ∴符合题意； ∵，构不成三角形， ∴不符合题意； ∵，构不成三角形， ∴不符合题意； ∵，与两边之和大于第三边矛盾， ∴D不符合题意； 故选：． 2．现有长度分别为2cm，3cm，4cm，5cm，6cm的五条线段，以其中的三条线段为边组成三角形，最多可以组成 个． 【答案】7 【分析】本题考查三角形三边关系（三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 ），解题的关键是逐一判断五条线段中任取三条的组合是否满足三边关系． 从五条线段中任取三条，根据三角形三边关系判断能否组成三角形，统计满足条件的组合数． 【详解】以其中的三条线段为边组成三角形的有： ； ； ； ； ； ； ． 共有 7 种情况． 故答案为： 7 ． 3．若三边均不相等的三角形三边a，b，c满足（a为最长边，c为最短边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边分别为7，5，4，因为，所以这个三角形为“不均衡三角形”． （1）以下两组长度的小木棚能组成“不均衡三角形”的为 （填序号）． ①；    ②． （2）已知“不均衡三角形”三边分别为直接写出x的整数值为 ． 【答案】 ① 9 【分析】（1）根据“不均衡三角形”的定义即可求解； （2）分三种情况，10为最长边、10不为最长也不为最短边、10为最短边进行讨论即可求解． 本题考查了三角形三边关系、新概念“不均衡三角形”的定义、分类讨论等知识，熟练掌握新概念“不均衡三角形”的定义是解题的关键． 【详解】解：（1）①， 能组成“不均衡三角形”； ②， 不能组成“不均衡三角形”． 故答案为：①． （2）①当10为最长边，为最短边时， ， 解得：， ， 解得：， 故不合题意，舍去； ②当为最长边，为最短边时， 解得：， ， 解得：， ， 为整数， 故不合题意，舍去； ③当为最长边，10为最短边时， 解得：， ， 解得：， ， 为整数， ，可以构成三角形； 综上所述，x的整数值为9； 故答案为：9． 类型三、全等三角形的性质 【解惑】如图，已知，与交于点，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的内角和，掌握知识点是解题的关键． 先证明，根据，可得，得到，则，即可解答． 【详解】解：令与的交点为E，如图 ∵，，， ∴，， ∴ 即 ∵， ∴， 解得 ∵， ∴， ∴． 故选D． 【融会贯通】 1．如图，点在上，，，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键； 根据，可得，再由可得结果． 【详解】解：， ， 又， ， 故选：C． 2．如图，，若，，，则的周长等于 ． 【答案】13 【分析】本题考查了全等三角形性质的运用，运用全等三角形的性质，找对对应边，即可得三边边长，然后根据三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴的周长为． 故答案为：13． 3．如图，已知的延长线经过点，交于点．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理，能熟记全等三角形的性质的内容是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对角角相等．根据全等三角形的性质得出，，根据三角形内角和定理求出，，进而根据三角形内角定理，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ∴ 故答案为：． 类型四、全等的依据 【解惑】在课堂上，李老师发给每人一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小宏同学先画出了之后，后续画图的主要过程如图所示．这种画图方法的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查尺规作图，全等三角形的判定．根据演示由尺规作图的方法确定作图的具体步骤，可判定选项D正确． 【详解】解：由图示知，小宏第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为； 故选：D． 【融会贯通】 1．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，即，过角尺顶点的射线便是的平分线，这种做法的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，由作图过程可得，，再加上公共边可利用定理判定． 【详解】解：在和中 ， ∴， ∴， 故选：C． 2．小明同学提出：用一把直尺就可以画出一个角的平分线．具体操作如下：首先把直尺的一边与的一边贴合，沿着直尺的另一边画直线l（如图1）；随后移动该直尺，把直尺的一边与的一边贴合，沿着直尺的另一边画直线m（如图2），直线l与直线m交于点P，则射线就是的平分线．请指出这种画法的依据是（请写本学期所学的数学知识）： ．    【答案】 【分析】本题考查角平分线的判定以及全等三角形的判定定理，解题的关键是利用直尺宽度相等构造全等直角三角形，进而得出角平分线． 过点作于点于点．因为直尺的宽度相等，所以，同时（公共边），，证明， 可得，即平分，因此这种画法的依据是． 【详解】解：如图2中，过点P作于点M，于点N．    ∵尺的宽度相等， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ∴平分， 画法的依据是：． 故答案为：． 3．小明站在堤岸凉亭点处，正对他的点停有一艘游艇（与堤岸垂直），他想知道凉亭与这艘游艇之间的距离（的长度），于是制定了如下方案：①小明沿堤岸走到电线杆旁（直线与堤岸平行）；②再往前走相同的距离，到达点；③他到达点后向左转度直行，当自己，电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时小明位于点处．则只需要测出线段的长度，便知的长度。理由是依据 可以证明与全等，从而由全等三角形对应边相等得出． 【答案】 【分析】此题考查全等三角形的判定与性质、全等三角形的应用等知识与方法，解题的关键是从实际问题中抽象出全等三角形的图形． 根据全等三角形的判定和性质即可求解； 【详解】解：由题意得：，， 在和中， ， ， ， 故答案为：． 类型五、三角形的角平分线、中线、高 【解惑】如图，三角形中，，于点，若，，，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是点到直线的距离，等面积法的应用，先求解，结合，从而可得答案. 【详解】解：在中，，根据三角形面积公式高， ． ，， ． ， ． ． 解得． 点到直线的距离是． 故选：A． 【融会贯通】 1．如图，中，，，，下列选项不正确的是（    ）． A．是的角平分线 B．是的高 C．是的中线 D． 【答案】A 【分析】此题考查了三角形的角平分线、中线和高， 根据三角形的角平分线、中线和高的定义判断即可． 【详解】解：∵， ∴是的中线，，C、D选项正确． ∵， ∴是的角平分线；没有条件能证明是的角平分线；A选项错误． ∵， ∴是的高． 故选：A． 2．如图，在中，中线和中线相交于点，若的面积为36，则四边形的面积为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了三角形的面积，熟记三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形是解题的关键． 根据等底等高的三角形的面积相等可知三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，然后表示出，得出，再由中线的性质得出即可求解． 【详解】解：∵、是的中线， ∴， ∵，， ∴， 连接并延长交于点K，如图所示： ∴为中线， ∴， ∵， ∴， 同理得：， ∴， ∵的面积为36， ∴， ∴四边形的面积为， 故答案为：12． 3．如图，． （1）在中，边上的高是 ； （2）在中，边上的高是 ； （3）在中，边上的高是 ； （4）若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】此题考查了三角形的高线定义，求三角形的面积， 根据三角形高线的定义解答（1）（2）（3）；利用三角形面积公式直接求（4）面积即可． 【详解】解：（1）∵在中，， ∴边上的高是， 故答案为：； （2）∵，即， ∴在中，边上的高是， 故答案为； （3）∵，即， ∴在中，边上的高是， 故答案为； （4）∵， ∴的面积为， 故答案为． 类型六、全等三角形的性质与判定(SAS) 【解惑】如图，是的中线，分别是和延长线上的点，且，连接，则下列说法：；；点D是的中点；，其中正确的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形中线性质、全等三角形判定、平行线判定以及中点定义等核心几何知识．解题关键在于利用中线性质建立基础关系，通过给定的角相等条件和对顶角性质证明全等，进而推导中点和平行关系． 先利用中线性质得出和面积关系；结合已知角相等和对顶角证明；再由全等得出，证明中点；然后利用全等对应角相等证明；最后得出四个结论全部正确，选A． 【详解】解：是的中线， ， 和的面积相等，故正确； 在和中，， ，故正确； ，故正确； ，故正确． 综上所述，正确的有4个． 故答案为：A． 【融会贯通】 1．如图，已知：，，，，现有下列结论：①；②；③；④．其中不正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角定理的应用，解题的关键是证明，根据全等三角形的性质，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：， ，故①正确 在和中， ，故②正确； ，，故③正确； ， ， ， ，故④正确； 故选：A． 2．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，网格结构．利用“边角边”证明，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再判断出，然后计算即可得解． 【详解】解：标注字母，如图所示，      在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 3．在中，，，点是直线上一点（不与、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)如图1，吗？请说明理由； (2)在（1）的结论下，试求：的度数； (3)设，，如图2，当点在线段上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）由可得，即可证明； （2）由可得，推出，结合，即可求解； （3）由可得，证明，得到，则，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， 即， 在与中， ， ； （2）， ， ， ， 又， ， 即； （3）， 理由：， 即． 在与中， ， ， ， ， ， ， ． 类型七、全等三角形的性质与判定(ASA) 【解惑】如图，要测量池塘两岸相对的两点、的距离，可以在的垂线上取两点，使．再作出的垂线，使三点在一条直线上，通过证明，得到的长就等于的长，这里证明三角形全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，根据题意可得，再由，即可利用证明，则． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴证明三角形全等的依据是． 故选：C． 【融会贯通】 1．如图，图书馆的左侧有一栋高度为12米的居民房，点位于图书馆与居民房之间，且D、C、E三点共线．测得点到点的距离为28米，点到点的距离为12米，且，则图书馆的高度为（    ） A．12米 B．16米 C．28米 D．40米 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明即可得解，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：米，米，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴米， 故选：C． 2．如图，在中，，垂足分别为和，线段交于点，若，则的面积为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据同角的余角相等可得，然后由条件可证明，根据全等三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， 则的面积． 故答案为：． 3．安安同学遇到这样一个问题：如图，中，，，是中线，求的取值范围．宁宁同学提示她可以延长到E，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决． (1)请说明理由； (2)求的长，并根据的长，求出的取值范围； (3)请根据与的数量关系，直接写出的取值范围； (4)过点D作直线，分别交边于点F、G，画图并求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)； (3) (4)作图见解析，证明见解析 【分析】该题考查了全等三角形的性质和判定，三角形三边关系． （1）延长到E，使，连接，根据中线，得出，根据“边角边”即可证明． （2）根据，，，得出，在中，根据三角形三边之间的关系得：，即可得的取值范围； （3）根据，得出，结合，即可解答； （4）根据，得出，证明，即可得出． 【详解】（1）证明：延长到E，使，连接，如图1所示： 是中线， ， 在和中， ， ； （2）解：，，， ， 在中，根据三角形三边之间的关系得：， ； （3）解：， ， 又， ， ； （4）证明：如图2所示： ， ， 即， 在和中， ， ， ． 类型八、全等三角形的性质与判定(SSS) 【解惑】用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图能得出的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了尺规作角等于已知角，全等三角形的性质和判定．根据尺规作图的过程可得，即可根据“边边边”证明，即可解答． 【详解】解：由作法得：， ∴， ∴． 故选：C 【融会贯通】 1．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是全等三角形判定定理中的（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，尺规作图-作一个角等于已知角．根据作图可知，利用可以得到，得到对应角相等，即可说理． 【详解】解：由作图可知：， ∴（）， ∴，即 故选：B． 2．如图，在中，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用证明得出，即可得解． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图1，已知点在直线外，利用如下方法也可以作出过点与直线平行的直线：在直线上任取一点，以点为圆心，以的长为半径作弧，交直线于点；以点为圆心，以的长为半径作弧；以点为圆心，以的长为半径作弧，交前弧于点；作直线，连接，则． (1)如何说明这种作法的道理？ (2)如图2，连接，若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，尺规作图一个角等于已知角，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）由作图可得：，，可证明，得到对应角相等，再根据平行线的判定即可说理； （2）由上可得，，再根据三角形周长公式求解即可． 【详解】（1）解：如图2：由作图可得：，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由作图可得：，， ∴的周长为． 类型九、网格作图 【解惑】在正方形的网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，的三个顶点，都在格点（正方形网格的交点称为格点）．将向下平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度得到． (1)直接写出的三个顶点的坐标； (2)在图中画出平移后的： (3)点是轴上的一动点，连接，是否存在一点，使得，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查了坐标与图形，平移作图，掌握平移的性质是解题的关键； （1）根据坐标系写出点的坐标，即可求解； （2）根据平移的性质，找到的对应点，顺次连接，即可求解； （3）先根据割补法求得的面积，进而根据题意得出，设，则，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：根据坐标系可得，， （2）解：即为所求； （3）解： ∴ 设，则 ∴ 解得： ∴或 【融会贯通】 1．阅读与思考 下面是小聪同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． ×年×月×日星期一 过三角形或四边形顶点作一条平分图形的面积的直线今天，我在课堂中学到了三角形的一条中线将三角形分成面积相等的两部分．如图1，在中，是边上的中线，则． 我思考如何过四边形一个顶点作一条直线，将四边形分成面积相等的两部分． 我把自己的想法跟老师交流，老师给我的指导是在面积不变的情况下把四边形化成三角形，再利用三角形的中线平分三角形的面积，进一步平分四边形的面积． 如图2，老师在网格中画出四边形，四个顶点都在格点上（网格线的交点），连接，要求过点画一条直线与平行，然后在该直线上找到合适的点，使，再根据三角形的中线平分三角形的面积，就可以画出的中线，将四边形的面积平分为面积相等的两部分． 任务： (1)材料中“将四边形的面积平分为面积相等的两部分转化为画出三角形的中线”体现的数学思想是___________． A．分类讨论思想    B．转化思想    C．方程思想    D．建模思想 (2)根据老师的指导，在图2的网格图中，帮小聪完成作图． (3)如图3，在图1的基础上，点分别是的中点，连接．若，求的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3)1 【分析】本题考查了三角形的中线、三角形的面积、转化思想，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）由三角形的情况拓展至四边形的情况即可得解； （2）过点作交延长线于，取中点； （3）根据、两条中线，结合阅读材料中的方法，计算即可． 【详解】（1）解：由题意知，思路从三角形向四边形拓展的过程中体现的是转化思想； 故选：B； （2）解：如图所示： 过点作交延长线于，则，， 即， 取中点，则平分，那么也将四边形的面积平分为面积相等的两部分； （3）解：点是的中点， . 是的中点， . 是的中点， . 2．已知图①、图②、图③都是的正方形网格，其中每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点在格点上．只用无刻度直尺，在给定的网格中按要求画图，并保留作图痕迹． (1)在图①中画出的中线． (2)在图②中画出的高线． (3)在图③中画出的角分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了画三角形的中线，高和角平分线，熟知三角形中线，高和角平分线的定义是解题的关键． （1）取与格线的交点D，连接，则即为所求； （2）取格点H，连接交于E，则即为所求； （3）取格点F，连接，则即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，取格点H，连接交于E，则即为所求； （3）解；如图所示，取格点F，连接，则即为所求； 可证明，则． 3．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是，的顶点都在正方形网格的格点（网格线的交点）上．    (1)的面积是_________； (2)试利用方格图，用无刻度直尺按要求画图： ①画边的中线； ②画线段（均为格点），使．（只画出一条即可） 【答案】(1)； (2)①图见解析；②图见解析 【分析】（1）根据利用网格及割补法即可解答； （2）①根据三角形中线的定义即可解答；②根据全等三角形的判定与性质得到； 【详解】（1）解：如图所示， ∴， 故答案为；    （2）解：①如图所示： 作的中点，连接， ∴即为所求中线， ②如图所示： ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴即为所求；    【点睛】本题考查了利用网格三角形的面积，三角形的中线，三角形的高线，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 类型十、尺规作图 【解惑】如图，是边上的一点，请用尺规在边上求作一点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】图见详解 【分析】本题主要考查基本作图知识，涉及作一个角等于已知角、平行线的性质和等面积法的应用知识点，过点D作一个角等于已知角，连接交直线于点E，则有，结合同底等高即可知点E满足要求． 【详解】解：如图点E即为所求： 【融会贯通】 1．如图，点是射线上一点． (1)在射线的右侧，过点作射线，使射线（只保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若射线平分，，求的度数． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】（1）根据要求，利用尺规作图-作两个角相等即可得到答案； （2）利用平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理求解即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示： 射线即为所求； （2）解：∵， ∴， ∵射线平分， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查尺规作图﹣作两个角相等、平行线的性质、角平分线定义、三角形内角和定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学几何知识解决问题． 2．如图，在中，点在边的延长线上，过点作射线，点是射线上一个定点． (1)用尺规完成以下基本作图：在射线上方作，与的延长线交于点．（保留作图痕迹，不写过程和结论） (2)在（1）问条件下，若，求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的是作一个角等于已知角，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，掌握基本作图是解本题的关键； （1）作即可； （2）根据得出，进而证明，得出即可证明． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的角； ． （2）证明：（已知） 在和中 3．已知线段，且与不平行． (1)请你用直尺和圆规作出射线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)点在线段上，点在射线上．请你用直尺和圆规在（1）所作的图中作出点和点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (3)根据（2）中的作图痕迹，说明点和点符合题意． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，尺规作图： （1）根据作一个角等于已知角的的作法画出射线，即可求解； （2）先作，连接，再作，即可求解； （3）证明，可得，即可解答． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求； （2）解：如图，点D，E即为所求； （3）解：由作法得：，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十三、十四章 三角形 全等三角形思维导图 【类型覆盖】 类型一、三角形的分类与稳定性 【解惑】如果一个三角形的三个内角度数之比为，则该三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【融会贯通】 1．如图，工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框使其不变形，这样做的根据是（   ）    A．两点之间的线段最短 B．三角形具有稳定性 C．长方形是轴对称图形 D．长方形的四个角都是直角 2．三角形按边可以分为： 三角形和不等边三角形；按角分为： 三角形、 三角形和钝角三角形． 3．剑邑大桥是一座沟通丰城赣江南北、贯通全市河东河西，实现赣江两岸联通，促进城乡体化梦想的桥梁．剑邑大桥是一座斜拉索桥，斜拉索大桥中运用的数学原理是 ． 类型二、构成三角形的条件 【解惑】在下列四组线段中，不能组成三角形的是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．下列每组数分别是三根小木棒的长度，它们首尾顺次相接能摆成三角形的是（    ） A． B． C． D． 2．现有长度分别为2cm，3cm，4cm，5cm，6cm的五条线段，以其中的三条线段为边组成三角形，最多可以组成 个． 3．若三边均不相等的三角形三边a，b，c满足（a为最长边，c为最短边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边分别为7，5，4，因为，所以这个三角形为“不均衡三角形”． （1）以下两组长度的小木棚能组成“不均衡三角形”的为 （填序号）． ①；    ②． （2）已知“不均衡三角形”三边分别为直接写出x的整数值为 ． 类型三、全等三角形的性质 【解惑】如图，已知，与交于点，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，点在上，，，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 2．如图，，若，，，则的周长等于 ． 3．如图，已知的延长线经过点，交于点．若，，则 ． 类型四、全等的依据 【解惑】在课堂上，李老师发给每人一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小宏同学先画出了之后，后续画图的主要过程如图所示．这种画图方法的依据是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，即，过角尺顶点的射线便是的平分线，这种做法的依据是（    ） A． B． C． D． 2．小明同学提出：用一把直尺就可以画出一个角的平分线．具体操作如下：首先把直尺的一边与的一边贴合，沿着直尺的另一边画直线l（如图1）；随后移动该直尺，把直尺的一边与的一边贴合，沿着直尺的另一边画直线m（如图2），直线l与直线m交于点P，则射线就是的平分线．请指出这种画法的依据是（请写本学期所学的数学知识）： ．    3．小明站在堤岸凉亭点处，正对他的点停有一艘游艇（与堤岸垂直），他想知道凉亭与这艘游艇之间的距离（的长度），于是制定了如下方案：①小明沿堤岸走到电线杆旁（直线与堤岸平行）；②再往前走相同的距离，到达点；③他到达点后向左转度直行，当自己，电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时小明位于点处．则只需要测出线段的长度，便知的长度。理由是依据 可以证明与全等，从而由全等三角形对应边相等得出． 类型五、三角形的角平分线、中线、高 【解惑】如图，三角形中，，于点，若，，，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，中，，，，下列选项不正确的是（    ）． A．是的角平分线 B．是的高 C．是的中线 D． 2．如图，在中，中线和中线相交于点，若的面积为36，则四边形的面积为 ． 3．如图，． （1）在中，边上的高是 ； （2）在中，边上的高是 ； （3）在中，边上的高是 ； （4）若，则的面积为 ． 类型六、全等三角形的性质与判定(SAS) 【解惑】如图，是的中线，分别是和延长线上的点，且，连接，则下列说法：；；点D是的中点；，其中正确的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【融会贯通】 1．如图，已知：，，，，现有下列结论：①；②；③；④．其中不正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则 ． 3．在中，，，点是直线上一点（不与、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)如图1，吗？请说明理由； (2)在（1）的结论下，试求：的度数； (3)设，，如图2，当点在线段上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由． 类型七、全等三角形的性质与判定(ASA) 【解惑】如图，要测量池塘两岸相对的两点、的距离，可以在的垂线上取两点，使．再作出的垂线，使三点在一条直线上，通过证明，得到的长就等于的长，这里证明三角形全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，图书馆的左侧有一栋高度为12米的居民房，点位于图书馆与居民房之间，且D、C、E三点共线．测得点到点的距离为28米，点到点的距离为12米，且，则图书馆的高度为（    ） A．12米 B．16米 C．28米 D．40米 2．如图，在中，，垂足分别为和，线段交于点，若，则的面积为 ．    3．安安同学遇到这样一个问题：如图，中，，，是中线，求的取值范围．宁宁同学提示她可以延长到E，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决． (1)请说明理由； (2)求的长，并根据的长，求出的取值范围； (3)请根据与的数量关系，直接写出的取值范围； (4)过点D作直线，分别交边于点F、G，画图并求证：． 类型八、全等三角形的性质与判定(SSS) 【解惑】用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图能得出的依据是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是全等三角形判定定理中的（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，则 ． 3．如图1，已知点在直线外，利用如下方法也可以作出过点与直线平行的直线：在直线上任取一点，以点为圆心，以的长为半径作弧，交直线于点；以点为圆心，以的长为半径作弧；以点为圆心，以的长为半径作弧，交前弧于点；作直线，连接，则． (1)如何说明这种作法的道理？ (2)如图2，连接，若，求的周长． 类型九、网格作图 【解惑】在正方形的网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，的三个顶点，都在格点（正方形网格的交点称为格点）．将向下平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度得到． (1)直接写出的三个顶点的坐标； (2)在图中画出平移后的： (3)点是轴上的一动点，连接，是否存在一点，使得，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【融会贯通】 1．阅读与思考 下面是小聪同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． ×年×月×日星期一 过三角形或四边形顶点作一条平分图形的面积的直线今天，我在课堂中学到了三角形的一条中线将三角形分成面积相等的两部分．如图1，在中，是边上的中线，则． 我思考如何过四边形一个顶点作一条直线，将四边形分成面积相等的两部分． 我把自己的想法跟老师交流，老师给我的指导是在面积不变的情况下把四边形化成三角形，再利用三角形的中线平分三角形的面积，进一步平分四边形的面积． 如图2，老师在网格中画出四边形，四个顶点都在格点上（网格线的交点），连接，要求过点画一条直线与平行，然后在该直线上找到合适的点，使，再根据三角形的中线平分三角形的面积，就可以画出的中线，将四边形的面积平分为面积相等的两部分． 任务： (1)材料中“将四边形的面积平分为面积相等的两部分转化为画出三角形的中线”体现的数学思想是___________． A．分类讨论思想    B．转化思想    C．方程思想    D．建模思想 (2)根据老师的指导，在图2的网格图中，帮小聪完成作图． (3)如图3，在图1的基础上，点分别是的中点，连接．若，求的面积． 2．已知图①、图②、图③都是的正方形网格，其中每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点在格点上．只用无刻度直尺，在给定的网格中按要求画图，并保留作图痕迹． (1)在图①中画出的中线． (2)在图②中画出的高线． (3)在图③中画出的角分线． 3．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是，的顶点都在正方形网格的格点（网格线的交点）上．    (1)的面积是_________； (2)试利用方格图，用无刻度直尺按要求画图： ①画边的中线； ②画线段（均为格点），使．（只画出一条即可） 类型十、尺规作图 【解惑】如图，是边上的一点，请用尺规在边上求作一点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【融会贯通】 1．如图，点是射线上一点． (1)在射线的右侧，过点作射线，使射线（只保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若射线平分，，求的度数． 2．如图，在中，点在边的延长线上，过点作射线，点是射线上一个定点． (1)用尺规完成以下基本作图：在射线上方作，与的延长线交于点．（保留作图痕迹，不写过程和结论） (2)在（1）问条件下，若，求证： 3．已知线段，且与不平行． (1)请你用直尺和圆规作出射线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)点在线段上，点在射线上．请你用直尺和圆规在（1）所作的图中作出点和点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (3)根据（2）中的作图痕迹，说明点和点符合题意． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$