14.1—14.3全等三角形及其性质 三角形全等的判定 角平分线 考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年八年级数学上册（人教版2024新教材）

14.1—14.3全等三角形及其性质 三角形全等的判定 角平分线 全等三角形及其性质 一、基本定义 1.全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。 2.全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 3.对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点。 4.对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边。3 5.对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角。 二、基本性质 1.三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性。 2.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。 三角形全等的判定 1.边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等。 2.边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 3.角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。 4.角角边（AAS）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。 5.斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 角平分线 1.性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。 2.性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。 巩固课内例1:全等三角形的性质求度数 1．如图，和是对应角，和是对应角．若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，先证明，再利用内角和定理求解，再进一步可得答案. 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D 2．如图，已知，其中，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的性质，掌握知识点是解题的关键． 根据，可得，继而推导出，则，即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 3．如图，，若，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形对应角相等的性质，根据，，求出的度数为，再根据全等三角形对应角相等可得． 【详解】解：，， ， ， ． 巩固课内例2:利用“SAS”证边角相等 1．如图，，根据“”判定，还需添加的条件是（   ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查了用证明三角形全等，由图可知：，据此即可求解 【详解】解：由图可知：， ∵， ∴当时，可根据“”判定； 故选：B 2．如图，延长，在的延长线上截取，延长，在的延长线上截取，则这两个三角形全等的依据是 （写出全等依据的简写）．    【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，灵活运用证明三角形全等成为解题的关键． 由已知条件可得、，再结合对顶角相等以及全等三角形的判定方法即可解答． 【详解】解：在核对中， ， ∴． 故答案为：． 3．如图，在和中，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键． 先根据题意得出，再由定理证明，根据全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】证明： 在和中， ， 巩固课内例3:利用“ASA”证边角相等 1．小明不饱将块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带（　　） A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形全等的判定，看这4块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定．解题词关键是熟练掌握判定两个三角形全等的判定定理：、、、、． 本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证． 【详解】解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去， 只有第2块有完整的两角及夹边，符合，满足题目要求的条件，是符合题意的． 故选：B． 2．如图，在中，以，为腰作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，为边上的高线，延长交于点N，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 （写上序号） 【答案】①③④ 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质的应用，先作，交于点H，，交延长线于点K，构造三对全等三角形：，，，根据全等三角形的面积相等，即可得出，，，根据，即可得出结论③；最后根据，得出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，故①正确； ∵与不一定相等， ∴与不一定全等，故②错误； 作，交于点H，，交延长线于点K， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 同理可得：， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ， 即，故③正确； ∵， ∴，故④正确． 故答案为：①③④． 3．如图，，，，、相交于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证得是解题的关键． 先根据证明，再根据证明，即可证明结论． 【详解】证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 巩固课内例4:利用“SSS”证垂直 1．如图是一个平分角的简单仪器，其中，，将点A放在角的顶点，和沿着角的两边放下，沿画一条射线，则就是的平分线．在这个过程中与全等，全等的理由是（   ） A．边角边 B．角角边 C．角边角 D．边边边 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据证明即可得解． 【详解】解：在与中， ， ∴， ∴， ∴就是的平分线， 故选：D． 2．如图，B，C都是直线上的点，点A是直线上方的一个动点，连接得到，D，E分别为上的点，且．当线段与具有 的位置关系时满足． 【答案】 【分析】利用“SSS”证明△AED和△BCD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AED=∠C，再根据垂直的定义证明即可． 【详解】当AC⊥BC时，DE⊥AB； ∵AC⊥BC， ∴∠C＝90°， ∵在△AED和△BCD中， ∴△AED≌△BCD(SSS)， ∴∠AED＝∠C＝90°， ∴DE⊥AB． 故答案为：AC⊥BC． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直的定义，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 3．如图，在中，，，，试猜想与的位置关系，并说明理由．    【答案】，理由见解析． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质．证明，推出，可得结论． 【详解】解：结论：， 理由：连接．    在与中， ， ， ， ，即． 巩固课内例5:尺规作等角 1．如图，观察图中的尺规作图痕迹，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查尺规作图—作一个角等于已知角，平行线的判定和性质，根据作图得到，同位角相等，两直线平行，得到，进而得到，进行判断即可． 【详解】解：由作图可知：， ∴， ∴， 条件不足，无法得到； 故选A． 2．如图，在中，D是边上一点，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点；②以点D为圆心，以长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交前面的弧于点；④过点作射线交于点E．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，作图-基本作图，平行线的判定与性质，熟练掌握三角形内角和定理是解决此题的关键．由作图可得，于是证得，得出，再根据三角形内角和定理求出的度数，问题即可得解. 【详解】解：由作图可得， ， ， 在中，， ， ， 故答案为：76． 3．如图，已知，点D是上一点． (1)尺规作图：过点D作，交于点E；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，若，且平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了基本的尺规作图——作已知角的等角，角平分线的性质，平行线的判定和性质等内容，解题的关键是掌握以上性质，并灵活应用． （1）利用作已知角的等角的步骤进行作图即可； （2）根据同位角相等两直线平行得出，根据平行的性质和角平分线的性质得出角的度数，然后再根据两直线平行内错角相等即可得出结果． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图所示， 由（1）得，， ， ∴， ∵平分， ∴， ， ． 巩固课内例6:尺规作平行线 1．如图，用尺规作出了，作图痕迹中，弧是（　　） A．以为圆心，长为半径的弧 B．以为圆心，长为半径的弧 C．以为圆心，长为半径的弧 D．以为圆心，长为半径的弧 【答案】C 【分析】本题考查作图−基本作图，平行线的判定等知识，根据平行线的判定，作一个角等于已知角的方法即可判断，解题的关键是熟练掌握基本知识， 【详解】由作图可知作图步骤为： ①以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于，， ②以点为圆心，以为半径画弧，交于， ③以点为圆心，以为半径画弧，交弧于， ④过点作射线， 根据内错角相等两直线平行，可得． 故选：C． 2．阅读下列材料： 数学课上老师布置一道作图题： 小东的作法如下：      老师说：“小东的作法是正确的．” 请回答：小东的作图依据是 ． 【答案】内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查了尺规作图——过直线外一点作已知直线的平行线，涉及到全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．连接、，证明与全等，根据全等三角形的对应角相等可得，根据内错角相等，两直线平行即可得． 【详解】解：连接、，如图， 根据作图可得， 在与中， ， ∴， ∴（全等三角形的对应角相等）， ∴（内错角相等，两直线平行）， 即． 故答案为：内错角相等，两直线平行． 3．如图，直线及上方一点，请仅用圆规和直尺作一直线，使得直线与直线平行不写作法，保留作图痕迹． 【答案】见解析 【分析】本题考查作图复杂作图、平行线的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 结合平行线的判定，在直线上任取点，，连接，在的右侧作，作所在的直线即可． 【详解】解：如图，在直线上任取点，，连接，在的右侧作，作所在的直线， 则直线即为所求． 巩固课内例7:利用“HL”证边角相等 1．如图，在四边形中，，，于点，于点，、分别是、上的点，且，则下列结论正确的有（   ） ①；②；③；④平分； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂线的性质，全等三角形的判定与性质（和）等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 连接，由、可得，进而可证得，于是可得，故结论①正确；根据已知条件不能推出，故结论②错误；延长到，使，连接，利用可证得，于是可得，，，根据角的和差关系可得，进而可证得，于是可得，故结论③正确，可得，即平分，故结论④正确；综上所述，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ，， ， 在和中， ， ， ， 故结论①正确； 根据已知条件不能推出， 故结论②错误； 如图，延长到，使，连接， ，， ， 在和中， ， ， ，，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，故结论③正确； ，即平分，故结论④正确； 综上所述，正确的结论有，共个， 故选：． 2．如图，在和中，，要使，若根据“”判定，则还需要添加条件： ． 【答案】（或） 【分析】根据题意，是公共边，只需添加或即可解答． 本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】解：根据题意，是公共边，只需添加或． 故答案为：或． 3．如图，，，，求证：． 【答案】证明过程见解析 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，熟练掌握直角三角形的判定和性质是解题的关键． 利用“斜边、直角边”判定和全等，根据三角形全等的性质即可证得结论． 【详解】证明：∵， ∴， 即． ∵， ∴和是直角三角形． 在和中， ， ∴． ∴． 巩固课内例8:三角形三条角平分线交于一点 1．如图，在中，，是内一点，过点作于点，于点于点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的判定，三角形的内角和定理，根据题意易得分别平分，根据三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵点作于点，于点于点，， ∴分别平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选D． 2．如图，点在内，且到三边的距离相等，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是角平分线的判定和三角形内角和定理，到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．根据三角形内角和定理得到，根据角平分线的判定定理得到平分，平分，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算，得到答案． 【详解】解：在中，， ∵点O在内，且到三边的距离相等， ∴平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 3．如图，在中，和的平分线交于点，过点作，，，垂足分别为． (1)求证：点在的平分线上； (2)若的周长和面积都为24，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查角平分线的性质和判定，三角形的面积，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． （1）利用角平分线的性质证得，然后利用角平分线的判定定理，即可得出结论； （2）连接，由（1）知，然后由求得，根据的周长和面积都为24列式求解即可． 【详解】（1）证明：∵和的平分线交于点，过点作，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴点在的平分线上； （2）解：连接， 由（1）知， ∴ ， ∵的周长和面积都为24， ∴， ∴． 类型一、全等三角形的对应边与对应角 1．在中，，与全等的三角形有一个角是，那么在中与这个角对应相等的角是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据三角形的内角和等于可知，相等的两个角与不能是，再根据全等三角形的对应角相等解答即可． 【详解】解：在中，三角形的内角和等于， ∵， ∴、不能等于， ∴在中与这个的角对应相等的角只能是． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的对应角相等的性质，三角形的内角和等于，根据判断出这两个角都不能是是解题的关键． 2．如图，和全等，点B和点C对应．，，，则 ． 【答案】5 【分析】此题考查了全等三角形的性质，首先得到，然后利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】∵和全等，点B和点C对应， ∴ ∴， ∴． 故答案为：5． 3．如图，，在中，是最长的边，在中，是最长的边，和是对应角，且，，． (1)写出对应相等的边及对应相等的角． (2)求线段及线段的长度． 【答案】(1)，，；，， (2)； 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，线段的和差关系． （1）根据全等三角的性质，全等三角形对应边相等，对应角相等解题即可． （2）根据全等三角的性质得出，，根据线段的和差关系即可． 【详解】（1）解：， ，，， ，，． （2）， ，， 类型二、添加条件证全等 1．如图，已知，那么添加下列一个条件后不能证明的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，已知，，再根据全等三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：添加条件，结合条件，，可以利用证明，故A不符合题意； 添加条件，结合条件，，可以利用证明，故B不符合题意； 添加条件，结合条件，，可以利用证明，故C不符合题意； 添加条件，结合条件，，不可以利用证明，故D符合题意； 故选：D． 2．如图，，相交于点O，，试添加一个条件使得，你添加的条件是 （只需写一个）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．添加的条件是，理由：先求出，再根据对顶角相等可得，然后根据定理即可得． 【详解】解：添加的条件是，理由如下： ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 3．甲、乙两位同学想要测量某公园池塘两端的距离，分别设计了如下两种方案． 甲同学：如图1，①在平地上取一个可以直接到达点的点； ②连接并延长到点，连接并延长到点，使； ③连接，测出的长，即为池塘两端的距离． 乙同学：如图2，①确定射线，过点作直线； ②在直线上找可以直接到达点的一点，连接； ③作，交射线于点； ④测量的长，即为池塘两端的距离． (1)试说明甲同学的方案可行的理由； (2)如果乙同学将方案进行修改，请你添加一个条件使乙同学的方案可行，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)增加，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质的应用，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． （1）甲同学的方案可行，利用证明，即可证明； （2）乙同学的方案不可行，增加，利用证明，即可证明． 【详解】（1）解：甲同学的方案可行，理由如下： ∵， ∴， ∴； （2）解：乙同学的方案中，只有一个条件，无法证明，得不到，故乙同学的方案不可行，增加， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 类型三、测量池塘距离 1．同学们在学习完全等三角形之后，体会到了全等具有转化等线段的作用．如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A、B间的距离，如图所示的这种方法，只需测量（）就可得到A、B间的距离． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质. 证明，得到即可． 【详解】解：观察图形发现：，，， ∴． ∴． 故选：C． 2．如图，要测量池塘两岸的两地A，B的距离，可在池塘外取的垂线上的两点C，D，使，再画出的垂线，使E 与A，C在一条直线上，测得米，米，米，则 A，B的距离是 米． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的实际应用，能够熟练掌握全等三角形的判定方法是解决本题的关键． 根据条件可证，进而得到米． 【详解】解：在和中， ∴， ∴米． 故答案为：20． 3．综合与实践： 【问题情境】如图所示，池塘的两端有A，B两点，现需要测量该池塘的两端A，B之间的距离，需要如何进行呢？ 【提出方案】同学们想出了如下的两种方案： 甲同学：如图（1）所示，先在平地上取一个可直接到达A，B的点C，再连接，并分别延长至点D，至点E，使，，最后量出的距离就是的距离； 乙同学：如图（2）所示，过点B作的垂线，在上取C，D两点，使，接着过点D作的垂线，在垂线上选一点E，使A，C，E三点在一条直线上，则测出的长即是的距离． 【问题解决】请你选择一位同学的方案，判断其是否可行，并说明理由． 【答案】甲同学方案可行，理由见解析，乙同学方案可行，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．甲同学方案：根据证明，根据全等三角形的性质即可得证；乙同学方案：根据证明，进一步即可得证． 【详解】解：方案①可行，理由如下： 在和中，， ∴， ∴， ∴方案①可行； 方案②可行，理由如下： ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故方案②可行． 类型四、尺规作图 1．课本第109页有一道习题：“先画一个，然后选择中适当的边和角，用尺规作出与全等的三角形”，晋晋的作法如下图．这一作法中，“”的依据是（    ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【答案】B 【分析】本题考查作图-复杂作图、全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解答本题的关键．由作图过程可得，，结合全等三角形的判定可得答案． 【详解】解：由作图可知，， ∴（两边及其夹角分别相等的两个三角形全等） 故选：B． 2．如图，直线，直线分别与，交于点，，小明同学利用尺规按以下步骤作图：（1）点为圆心，以任意长为半径作弧交射线于点，交射线于点；（2）分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；（3）作射线交直线于点；若，则 度． 【答案】58 【分析】本题主要考查了尺规作图-基本作图以及平行线的性质.由作图得平分，再根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”易得，即可获得答案． 【详解】解：由作图得：平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 3．如图，直线与相交于点A，平分． (1)利用尺规：过点B作直线，交于点D； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算，作一个角等于已知角，平行线的性质与判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）在点处作，根据内错角相等，两直线平行，得出，即可作答． （2）先结合平行线的性质得，根据角平分线的定义得，因为两直线平行，内错角相等得，即可作答． 【详解】（1）解：，如图所示； （2）解：由（1）得， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 类型五、角平分线的性质定理 1．如图，在中，，是的角平分线，于点，，周长为，则的长是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是角平分线的性质，根据角平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 【详解】解：∵是的角平分线，，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 2．如图，在中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以小于长为半径作弧，分别交，于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，在内两弧交于点O；③作射线，交于点D．若的长为3，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质及其尺规作图， 过点作于点，根据作图可得为的角平分线，根据角平分线的性质可得，再利用三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：过点作于点， 根据作图可知为的角平分线， ∵ ∴， ∵， ∴， 故答案为：。 3．已知中，是的角平分线，于E． (1)求的度数； (2)若，求． 【答案】(1)60度 (2)18 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，角平分线的性质的应用； （1）先求解，结合角平分线可得，再进一步求解即可； （2）过点作于点．结合是的角平分线，，可得，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：， ∴， 是的角平分线， ， ， ， ； （2）解：如图，过点作于点． 是的角平分线，， ， 又， . 类型一、全等的判定——SAS 1．如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定及直角三角形的性质是解题的关键． 由题意易得三角形全等，然后根据全等三角形的性质可进行求解． 【详解】解：如图所示， 和为直角三角形，且， ∴， ， ∵， ∴， 故选：C． 2．如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，点Q在线段上由点B向点D运动，两个动点同时出发，设运动时间为，则当点Q的运动速度为 时，与有可能全等．    【答案】1或 【分析】本题主要考查了全等三角的判定．分两种情况讨论：当，时；当，时，即可求解． 【详解】解：当，时，， 、Q运动的路程和时间相同， 和P的运动速度相同是； 当，时，， ， 运动的时间是， ， 运动的速度是， 当点Q的运动速度为1或时，与全等． 故答案为：1或 3．在中，，点为直线上一点，，，连接交于．，为中点，求证： 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是他的关键． 证明，得到． 【详解】解：， ， ∵为中点， ∴， ， ， 在和中， ， ， ． 类型二、全等的判定——ASA(AAS) 1．如图，且，点在上．若，，则的长为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 由平行线的性质可得，最后再利用证明，由全等三角形的性质即可得解． 【详解】解：， ， 在和中， ， ， ， 故选：A． 2．如图，在中，是中线，直线于F，于E，若，，则中线的长是 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，垂线定义理解，证明是解题的关键．证明，得出，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵在中，是中线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：12． 3．如图，在中，，、分别是、的平分线，、交于点，过点作交的延长线于点、交于点． (1)求证：； (2)、、之间有怎样的数量关系，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键。 （1）由角平分线的定义得到，由垂线的性质可得．导角证明，则可利用证明． （2）由全等三角形的性质得到，证明，得到，再由线段的和差关系可得结论． 【详解】（1）证明：分别是的平分线， ． ， ． 又， ． 同理，． ． 在和中， ． （2）解：，理由如下： 由（1）得， ∴， 在和中， ， ． ． ， ． 类型三、全等的判定——sss 1．如图1是一乐谱架，利用立杆可进行高度调节，图2是底座部分的平面图，其中支撑杆，点E，F分别为，中点，，是连接立杆和支撑杆的支架，且．立杆在伸缩过程中，总有，其判定依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段中点的定义，全等三角形的判定与性质，根据题意先整理得，再证明，即可作答． 【详解】解：点E，F分别为，中点， ，， ， ， 在和中 ， ∴ 故答案：B． 2．如图，在和中，点在边上，交于点．若，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，三角形的外角，解题的关键是掌握这些知识点．根据题意可用判定，即可得，根据三角形的外角即可得． 【详解】解：在和中， ， ， ， 故答案为：． 3．如图．已知点C，F在直线上，且有，，．求证： 【答案】见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，证明，则，根据平行线的判定即可得到结论． 【详解】证明：∵， ∴，即 ∵，， ∴， ∴ ∴ 类型四、全等的判定—HL 1．如图，能用“”判定和全等的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形全等的判定，根据三角形全等的判定方法即可直接得出答案． 【详解】解：A. ∵， ∴，故此选项符合题意； B. ，结合，能运用“”判定和，故此选项不符合题意； C. ∵，， ∴，故此选项不符合题意； D. ∵，， ∴，故此选项不符合题意； 故选：A． 2．如图，在中，边上的高，点E为边上的点，且，若，则图中阴影部分面积为 ． 【答案】18 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，证明得到，进而得到即可求解． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：18． 3．如图， 已知 E、F在线段BC上， DE与AF交于点O， 且 求证： 【答案】见解析 【分析】本题考查直角三角形全等的判定与性质，根据，得到，利用直角三角形全等的判定定理L得到，再根据全等三角形的性质，对应角相等即可得到． 【详解】证明：∵， ∴，即， 又∵ ∴, ∴． 类型五、角平分线的判定定理 1．如图，，，若，，，则（    ） A．26° B．29° C．58° D．32° 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的判定定理：在角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．也考查了角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据角平分线的判定定理，得到平分，然后根据角平分线的定义求解． 【详解】， 平分， ． 故选：B． 2．如图，在中，，，点为边上一点，连接，过点作于点，且，则的度数为 ． 【答案】32.5 【分析】本题主要考查了角平分线的判定及性质，熟悉掌握判定方法是解题的关键．利用角平分线的判定方法判定出平分，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴平分， ∴． 故答案为：． 3．如图，于点E，于点F，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，角平分线判定，注意：全等三角形的判定定理有，，，，以及全等三角形的对应边相等，对应角相等． （1）根据“”证明即可； （2）根据直角三角形两锐角互余得出，根据全等三角形的性质得出，根据角平分线定义得出平分，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴平分， ∴． 类型一、一线三等角 1．（1）如图1，和都是直角三角形，直角顶点都在直线l上，，其中，则有：． 阅读下面的解答过程并将①，②处补充完整． 理由：因为 所以， 所以（①______） 又因为 所以（②______） （2）在中，．点D是直线上一动点，分别过点A，B作直线的垂线，垂足分别为点E，F． ①如图2，点D在线段上，试说明：； ②如图3，点D在线段延长线上，若，则______； ③连接，若，的面积为4，直接写出的面积． 【答案】（1）同角的余角相等；；（2）①见解析；②8；③8或16 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，分类讨论和设参数求解是解答的关键． （1）根据等角的余角性质和“”求解即可； （2）①先根据余角性质证明，进而利用“”证明结论即可； ②证明得到，，进而求解即可； ③分当点D在线段上时，当点D在线段的延长线上时，当点D中线段的延长线上时，三种情况，分别利用全等三角形的性质和等高的三角形面积之间的关系求解即可． 【详解】解：（1）因为 所以， 所以（同角的余角相等） 又因为 所以； （2）①∵，， ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴； ②∵，， ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴， ∴，， ∴； ③当点D在线段上时，如图2，连接， ∵，的面积为4， ∴， 设，， ∵， ∴，，， ∴，则， ∴； 当点D在线段的延长线上时，如图3， ∵， ∴不满足，故不符合题意，舍去； 当点D中线段的延长线上时，如图4，连接， 同理可证， ∴， 设，， ∵， ∴，，， ∴，则， ∴， 综上，的面积为8或16． 2．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型认知】如图①，点A在直线l上． ， 过点B作于点C， 过点D作．于点E． 易得， 又，可以推理得到． 进而得到结论： ．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型． 【模型运用】如图②，在 中，点D是上一点， 于点E， 且点E为中点，， 请求出 的面积． 根据“一线三直角”模型，以下是部分解题过程： 解：如图③，过点 C 作的延长线于点F， ∵， 过程缺失 请你补全缺失的解题过程． 【拓展提升】如图④，点A在直线l上， 连结，且． 于点F，与直线l交于点G．若． 则 ． 【答案】模型认知：；模型运用：16； 拓展提升∶ 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握一线三直角模型是解答本题的关键． 模型认知：根据证明，利用全等三角形的对应边相等可得结论； 模型运用：过点 C 作的延长线于点F，由，且点E为中点得，，证明得，然后根据三角形面积公式求解即可； 拓展提升∶ 过点D作于点P，过点E作于点Q，同模型认知证明：，得出，，可求出，证明得，求出，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】模型认知：进而得到结论：． 故答案为：； 模型运用：过点 C 作的延长线于点F， ∵， ∵于点E， 且点E为中点， ∴，， ∵， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 拓展提升∶ 过点D作于点P，过点E作于点Q，如图所示： 同模型认知证明：， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为：． 3．利用全等三角形面积相等可以解决与图形面积相关的问题． [初步感知]如图1，在中，为中线，过点作于点，过点作交的延长线于点．在延长线上取一点，连接，使． （1）填空：________．（填“”“”或“”） （2）求证：． [拓展应用]（3）如图2，在中，是钝角，点在边上，，点在边上，点在边的延长线上，，，若，的面积是9，求与的面积之和． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由题意易得，，，然后可得，于是得解； （2）由（1）可得，进而可得，利用即可得出结论； （3）由题意可得，进而可得，于是可得，设的底边上的高为h，则的底边上的高为h，进而根据各三角形之间的面积关系即可得出答案． 【详解】（1）解：∵在中，为中线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：由（1）可知：， ， ， ， ， ； （3）解：，，， ， 在和中， ， ， ， 设的底边上的高为h，则的底边上的高为h， ，， ， ， ， 与的面积之和为． 类型二、全等三角形动点求t 1．如图，，，点M在线段上以的速度由点C向点B运动，同时，点N在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点M运动结束时，点N运动随之结束）．在射线上取点A，在M、N运动到某处时，有与全等，则此时的长度为（   ）． A．1或 B．2或 C．2或 D．1或 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，分类讨论是解答本题的性质． 根据题意分两种全等情况：①，②，然后利用全等的性质求解即可 【详解】解：①若，则，， ∴，， 解得：，； ②若，则，， ∴，， 解得：， ∴AB的长度为或． 故选：D． 2．如图，在长方形中，，，延长到点，使，连接，动点从点B出发，以每秒个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当t的值为 秒时，和全等． 【答案】或 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确理解题意，进行分类讨论． 由矩形的性质可得角度和线段长度，由三角形全等可得对应边相等，结合运动过程进行分类讨论，分别计算不同情形对应的运动时间即可． 【详解】解：∵在长方形中，，， ∴，，， ∵点在延长线上， ∴， 若，则， ∴运动时间， 若，则， ∴运动时间， 故答案为：或． 3．如图，在中，，，，.点从点出发沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点运动；在点出发的同时，点从点出发沿折线以每秒3个单位长度的速度向终点运动.直线经过点，且、两点在直线的上方，分别过、两点作于点，于点.设点的运动时间为秒. (1)用含的代数式表示的长； (2)当、两点相遇时，求的值； (3)当与全等时，求的值； (4)当、两点的连线将的周长分成两部分时，直接写出的值. 【答案】(1)当点在上时，；当点在上时， (2) (3)或或 (4)的值为或 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的实际应用，全等三角形的判定与性质，正确理解题意，运用分类讨论思想求解是解题的关键． （1）分两种情况讨论，列代数式即可； （2）相遇时，则走的路程和为，据此列方程求解； （3）分三种情况讨论，当点在上，点在上时，可证明，则时，；当点在上，点在上时，当点，重合时，，则；当点在上时，点到终点与点A重合，，分别列出关于的一元一次方程求解； （4）由于当、两点的连线将的周长分成两部分时，即其中一部分周长是另一部分周长的或，点运动到点用时，点运动到点用时，当点分别在上时， 则，或；当点重合，点在上时，则或，再得到关于t的一元一次方程求解． 【详解】（1）解：由题意得，当点在上时，；当点在上时，； （2）解：由题意，得， 解得． ∴当，两点相遇时，的值为； （3）解：当点运动到点时，；当点运动到点时，． 当点在上，点在上时，如图： ∵， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． 当时，． ∴， 解得． 当点在上，点在上时，当点，重合时，． ∴． 即， 解得． 当点在上时，点到终点与点A重合，． ∴． 即， 解得． 综上，当与全等时，的值为或或； （4）解：∵当、两点的连线将的周长分成两部分时， ∴其中一部分周长是另一部分周长的或， 点运动到点用时，点运动到点用时， 当点分别在上时，如图： 则，或 ∴，或 解得：（舍），或； 当点重合，点在上时，如图： 则或 ∴或 解得：（舍）或， 综上：当、两点的连线将的周长分成两部分时，的值为或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 14.1—14.3全等三角形及其性质 三角形全等的判定 角平分线 全等三角形及其性质 一、基本定义 1.全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。 2.全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 3.对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点。 4.对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边。3 5.对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角。 二、基本性质 1.三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性。 2.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。 三角形全等的判定 1.边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等。 2.边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 3.角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。 4.角角边（AAS）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。 5.斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 角平分线 1.性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。 2.性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。 巩固课内例1:全等三角形的性质求度数 1．如图，和是对应角，和是对应角．若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知，其中，则的度数是 ． 3．如图，，若，，求的度数． 巩固课内例2:利用“SAS”证边角相等 1．如图，，根据“”判定，还需添加的条件是（   ） A． B． C． D．以上都不对 2．如图，延长，在的延长线上截取，延长，在的延长线上截取，则这两个三角形全等的依据是 （写出全等依据的简写）．    3．如图，在和中，，，，求证：． 巩固课内例3:利用“ASA”证边角相等 1．小明不饱将块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带（　　） A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块 2．如图，在中，以，为腰作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，为边上的高线，延长交于点N，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 （写上序号） 3．如图，，，，、相交于点．求证：． 巩固课内例4:利用“SSS”证垂直 1．如图是一个平分角的简单仪器，其中，，将点A放在角的顶点，和沿着角的两边放下，沿画一条射线，则就是的平分线．在这个过程中与全等，全等的理由是（   ） A．边角边 B．角角边 C．角边角 D．边边边 2．如图，B，C都是直线上的点，点A是直线上方的一个动点，连接得到，D，E分别为上的点，且．当线段与具有 的位置关系时满足． 3．如图，在中，，，，试猜想与的位置关系，并说明理由．    巩固课内例5:尺规作等角 1．如图，观察图中的尺规作图痕迹，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，D是边上一点，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点；②以点D为圆心，以长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交前面的弧于点；④过点作射线交于点E．若，，则 ． 3．如图，已知，点D是上一点． (1)尺规作图：过点D作，交于点E；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，若，且平分，求的度数． 巩固课内例6:尺规作平行线 1．如图，用尺规作出了，作图痕迹中，弧是（　　） A．以为圆心，长为半径的弧 B．以为圆心，长为半径的弧 C．以为圆心，长为半径的弧 D．以为圆心，长为半径的弧 2．阅读下列材料： 数学课上老师布置一道作图题： 小东的作法如下：      老师说：“小东的作法是正确的．” 请回答：小东的作图依据是 ． 3．如图，直线及上方一点，请仅用圆规和直尺作一直线，使得直线与直线平行不写作法，保留作图痕迹． 巩固课内例7:利用“HL”证边角相等 1．如图，在四边形中，，，于点，于点，、分别是、上的点，且，则下列结论正确的有（   ） ①；②；③；④平分； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，在和中，，要使，若根据“”判定，则还需要添加条件： ． 3．如图，，，，求证：． 巩固课内例8:三角形三条角平分线交于一点 1．如图，在中，，是内一点，过点作于点，于点于点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．如图，点在内，且到三边的距离相等，若，则 ． 3．如图，在中，和的平分线交于点，过点作，，，垂足分别为． (1)求证：点在的平分线上； (2)若的周长和面积都为24，求的长． 类型一、全等三角形的对应边与对应角 1．在中，，与全等的三角形有一个角是，那么在中与这个角对应相等的角是（    ） A． B． C． D．或 2．如图，和全等，点B和点C对应．，，，则 ． 3．如图，，在中，是最长的边，在中，是最长的边，和是对应角，且，，． (1)写出对应相等的边及对应相等的角． (2)求线段及线段的长度． 类型二、添加条件证全等 1．如图，已知，那么添加下列一个条件后不能证明的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，，相交于点O，，试添加一个条件使得，你添加的条件是 （只需写一个）． 3．甲、乙两位同学想要测量某公园池塘两端的距离，分别设计了如下两种方案． 甲同学：如图1，①在平地上取一个可以直接到达点的点； ②连接并延长到点，连接并延长到点，使； ③连接，测出的长，即为池塘两端的距离． 乙同学：如图2，①确定射线，过点作直线； ②在直线上找可以直接到达点的一点，连接； ③作，交射线于点； ④测量的长，即为池塘两端的距离． (1)试说明甲同学的方案可行的理由； (2)如果乙同学将方案进行修改，请你添加一个条件使乙同学的方案可行，并说明理由． 类型三、测量池塘距离 1．同学们在学习完全等三角形之后，体会到了全等具有转化等线段的作用．如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A、B间的距离，如图所示的这种方法，只需测量（）就可得到A、B间的距离． A． B． C． D． 2．如图，要测量池塘两岸的两地A，B的距离，可在池塘外取的垂线上的两点C，D，使，再画出的垂线，使E 与A，C在一条直线上，测得米，米，米，则 A，B的距离是 米． 3．综合与实践： 【问题情境】如图所示，池塘的两端有A，B两点，现需要测量该池塘的两端A，B之间的距离，需要如何进行呢？ 【提出方案】同学们想出了如下的两种方案： 甲同学：如图（1）所示，先在平地上取一个可直接到达A，B的点C，再连接，并分别延长至点D，至点E，使，，最后量出的距离就是的距离； 乙同学：如图（2）所示，过点B作的垂线，在上取C，D两点，使，接着过点D作的垂线，在垂线上选一点E，使A，C，E三点在一条直线上，则测出的长即是的距离． 【问题解决】请你选择一位同学的方案，判断其是否可行，并说明理由． 类型四、尺规作图 1．课本第109页有一道习题：“先画一个，然后选择中适当的边和角，用尺规作出与全等的三角形”，晋晋的作法如下图．这一作法中，“”的依据是（    ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 2．如图，直线，直线分别与，交于点，，小明同学利用尺规按以下步骤作图：（1）点为圆心，以任意长为半径作弧交射线于点，交射线于点；（2）分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；（3）作射线交直线于点；若，则 度． 3．如图，直线与相交于点A，平分． (1)利用尺规：过点B作直线，交于点D； (2)若，求的度数． 类型五、角平分线的性质定理 1．如图，在中，，是的角平分线，于点，，周长为，则的长是（   ）    A． B． C． D． 2．如图，在中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以小于长为半径作弧，分别交，于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，在内两弧交于点O；③作射线，交于点D．若的长为3，，则的面积为 ． 3．已知中，是的角平分线，于E． (1)求的度数； (2)若，求． 类型一、全等的判定——SAS 1．如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，点Q在线段上由点B向点D运动，两个动点同时出发，设运动时间为，则当点Q的运动速度为 时，与有可能全等．    3．在中，，点为直线上一点，，，连接交于．，为中点，求证： 类型二、全等的判定——ASA(AAS) 1．如图，且，点在上．若，，则的长为（  ） A． B． C． D． 2．如图，在中，是中线，直线于F，于E，若，，则中线的长是 ． 3．如图，在中，，、分别是、的平分线，、交于点，过点作交的延长线于点、交于点． (1)求证：； (2)、、之间有怎样的数量关系，请说明理由． 类型三、全等的判定——sss 1．如图1是一乐谱架，利用立杆可进行高度调节，图2是底座部分的平面图，其中支撑杆，点E，F分别为，中点，，是连接立杆和支撑杆的支架，且．立杆在伸缩过程中，总有，其判定依据是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在和中，点在边上，交于点．若，，，，则 ． 3．如图．已知点C，F在直线上，且有，，．求证： 类型四、全等的判定—HL 1．如图，能用“”判定和全等的条件是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，边上的高，点E为边上的点，且，若，则图中阴影部分面积为 ． 3．如图， 已知 E、F在线段BC上， DE与AF交于点O， 且 求证： 类型五、角平分线的判定定理 1．如图，，，若，，，则（    ） A．26° B．29° C．58° D．32° 2．如图，在中，，，点为边上一点，连接，过点作于点，且，则的度数为 ． 3．如图，于点E，于点F，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 类型一、一线三等角 1．（1）如图1，和都是直角三角形，直角顶点都在直线l上，，其中，则有：． 阅读下面的解答过程并将①，②处补充完整． 理由：因为 所以， 所以（①______） 又因为 所以（②______） （2）在中，．点D是直线上一动点，分别过点A，B作直线的垂线，垂足分别为点E，F． ①如图2，点D在线段上，试说明：； ②如图3，点D在线段延长线上，若，则______； ③连接，若，的面积为4，直接写出的面积． 2．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型认知】如图①，点A在直线l上． ， 过点B作于点C， 过点D作．于点E． 易得， 又，可以推理得到． 进而得到结论： ．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型． 【模型运用】如图②，在 中，点D是上一点， 于点E， 且点E为中点，， 请求出 的面积． 根据“一线三直角”模型，以下是部分解题过程： 解：如图③，过点 C 作的延长线于点F， ∵， 过程缺失 请你补全缺失的解题过程． 【拓展提升】如图④，点A在直线l上， 连结，且． 于点F，与直线l交于点G．若． 则 ． 3．利用全等三角形面积相等可以解决与图形面积相关的问题． [初步感知]如图1，在中，为中线，过点作于点，过点作交的延长线于点．在延长线上取一点，连接，使． （1）填空：________．（填“”“”或“”） （2）求证：． [拓展应用]（3）如图2，在中，是钝角，点在边上，，点在边上，点在边的延长线上，，，若，的面积是9，求与的面积之和． 类型二、全等三角形动点求t 1．如图，，，点M在线段上以的速度由点C向点B运动，同时，点N在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点M运动结束时，点N运动随之结束）．在射线上取点A，在M、N运动到某处时，有与全等，则此时的长度为（   ）． A．1或 B．2或 C．2或 D．1或 2．如图，在长方形中，，，延长到点，使，连接，动点从点B出发，以每秒个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当t的值为 秒时，和全等． 3．如图，在中，，，，.点从点出发沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点运动；在点出发的同时，点从点出发沿折线以每秒3个单位长度的速度向终点运动.直线经过点，且、两点在直线的上方，分别过、两点作于点，于点.设点的运动时间为秒. (1)用含的代数式表示的长； (2)当、两点相遇时，求的值； (3)当与全等时，求的值； (4)当、两点的连线将的周长分成两部分时，直接写出的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$