13.1—13.3 三角形的概念 与三角形有关的线段 三角形的内角与外角 考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年八年级数学上册（人教版2024新教材）

13.1—13.3 三角形的概念 与三角形有关的线段 三角形的内角与外角 三角形的概念 一、三角形的定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 二、三角形的元素 1.边：组成三角形的线段叫做三角形的边。 2.顶点：相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点。 3.角：相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。 通常用大写字母A、B、C表示三角形的顶点，用小写字母a、b、c表示对应的边，用∠A、∠B、∠C表示对应的角。顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。三个字母没有先后顺序。 三、三角形的表示 三角形用符号“△”表示，例如，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。 四、三角形的分类 1.按角的大小分类： 锐角三角形：最大内角为锐角的三角形。 直角三角形：最大内角为直角的三角形。 钝角三角形：最大内角为钝角的三角形。 2.按边的相等关系分类： 三边都不相等的三角形。 等腰三角形：有两条边相等的三角形，其中相等的两边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角。 等边三角形：三边都相等的三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。 与三角形有关的线段 一、三角形的边及三边关系 三角形的边是构成三角形的元素。三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。这是三角形的一个基本性质，也是判断三条线段能否构成三角形的重要依据。 二、三角形的稳定性 三角形具有稳定性，这一性质在工程建筑等领域有广泛应用。例如，屋顶钢架结构等常常采用三角形的结构，以利用其稳定性。 三、与三角形有关的线段 1.中线：连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点的线段叫做三角形的中线。三角形有三条中线，它们相交于一点，这一点叫做三角形的重心。 2.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫做三角形的角平分线。三角形有三条角平分线，它们也相交于一点。 3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形有两条高与直角边重合；钝角三角形有两条高在三角形外部。 三角形的内角与外角 一、三角形的内角和定理 三角形的三个内角的和等于180度。这是三角形内角和的基本性质，也是解决三角形角度问题的基础。证明方法通常涉及将三角形的三个内角转化为一个平角，或者利用平行线的性质进行证明。 二、直角三角形的性质与判定 直角三角形有一个90度的角，其余两个角互余。即，如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形就是直角三角形。直角三角形的表示符号为“Rt△”。 三、三角形的外角 三角形的一边与另一条边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，且大于与它不相邻的任何一个内角。这是三角形外角的基本性质，也是解决三角形外角问题的基础。 巩固课内例1:认识三角形 1．观察下列图形，其中是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接而组成的图形是三角形．据此即可解答． 【详解】 解：图形中是三角形的是 故选：B． 2．（1）如图所示的图形中共有 个三角形，它们分别是 ； （2）的三个顶点分别是 ，三条边分别是 ，三个角分别是 ． 【答案】 4 B，G，E 【分析】该题主要考查了三角形的概念和三角形的角和边，解题的关键是掌握三角形中的相关定义． （1）根据三角形的定义解答即可； （2）根据三角形的顶点、边、角解答即可． 【详解】解：（1）根据图形可得，如图所示的图形中共有4个三角形，它们分别是； （2）根据图形可得，的三个顶点分别是B，G，E，三条边分别是，三个角分别是． 故答案为：；B，G，E；；． 3．（1）图中共有_________个三角形，它们分别是_________； （2）以为边的三角形有_________； （3）分别是，，中_________，_________，_________边的对角； （4）是_________，_________，_________的内角；是_________，_________的内角． 【答案】（1）6，，，，，， （2），， （3），， （4），，；， 【分析】本题考查认识三角形，根据三角形的相关定义解答即可． 【详解】解：（1）图中的三角形为：，，，，，，共6个； （2）以为边的三角形有，，； （3）分别是，，中，，边的对角； （4）是，，的内角，是，的内角． 故答案为：6；，，，，，；，，；，，；，，；，． 巩固课内例2:等腰三角形的底、腰长 1．等腰三角形周长为17，其中两条边长分别为x和，则这个等腰三角形的腰长为（    ） A．4或7 B．4 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的三条边的关系和一元一次方程的应用的问题． 根据三角形的两边之和大于第三边，可得判断出底边是x，腰长是，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：若x是腰，则底边长是，应该满足两腰之和大于底，但是， 所以只能x是底边，则腰长是， 由题意得， 解得， ， 故答案为：D． 2．已知等腰三角形两边的长分别为a，b，且满足．则这个等腰三角形的周长为 ． 【答案】17 【分析】首先依据非负数的性质求得a，b的值，然后得到三角形的三边长，接下来，利用三角形的三边关系进行验证，最后求得三角形的周长即可． 【详解】解：∵ ∴， 解得， 3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、7， ∵， ∴不能组成三角形， 3是底边时，三角形的三边分别为7、7、3， 能组成三角形，周长＝， 所以，三角形的周长为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是非负数的性质、等腰三角形的定义，三角形的三边关系，利用三角形的三边关系进行验证是解题的关键． 3．已知，的三边长分别为，，． (1)求的取值范围； (2)若它是一个等腰三角形，求它的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的三边关系定理（三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边），三角形周长的求解，先确定为等腰三角形时，再用三角形周长公式即可求解，能熟练运用三角形的三边关系定理是解题的关键. 【详解】（1）解：∵三角形的三边关系是：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，   ∴， ∴． （2）解：若为等腰三角形，或， 当时，不符合三角形的三边关系，应舍去， ∴， ∴等腰的周长为． 巩固课内例3:已知角平分线求角度 1．如图所示，是的角平分线，是的角平分线．若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，是的角平分线，得出，根据是的角平分线，即可得出． 【详解】解：∵，是的角平分线， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形的角平分线，解题的关键是掌握三角形的角平分线将三角形的内角平均分为两份． 2．如图，若点为轴负半轴上的一个动点，当时，与的角平分线交于点，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的知识，解题的关键是掌握平行线的判定和性质，过点作，根据平行公理，则，根据，则，根据平行线的性质，则，根据角平分线的性质，则，，推出，在根据平行线的性质，得到，，根据，即可． 【详解】解：过点作， ∵ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵与的角平分线交于点 ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴ 故答案为：． 3．如图，已知直线，． (1)证明：； (2)连接，平分，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线等知识．熟练掌握平行线的判定与性质，角平分线是解题的关键． （1）由，可得，由，可得，进而可得． （2）如图，由平分，可得，由（1）可知，，，，则，由，可得，即，可求，根据，计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：如图， ∵平分， ∴， 由（1）可知，，，， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得，， ∴， ∴的度数为． 巩固课内例4:方向角问题 1．某哨兵在灯塔A处观察到船只B在灯塔的北偏西方向上，船只C在灯塔的北偏东方向上，船只B上的人观察到船只C在他的南偏东方向上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了方向角的有关计算，平行线的性质，三角形内角和定理，根据题意可知：，，，由平行线的性质得出，进而可求出，最后根据三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：根据题意可知：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B 2．如图，点在点的北偏东方向，点在点的北偏西方向，若，则点C在点E的南偏西 方向． 【答案】 【分析】本题考查了方位角的概念，平行线的性质，直角三角形两个锐角互余，解题关键是掌握平行线的性质． 先利用平行线的性质证得，再利用平行线的性质证得，从而可得，求得，再利用求得，从而可得，再求得即可． 【详解】解：如图， ， ， ， ， ，解得：， ， ， ， ∴点C在点E的南偏西方向． 故答案为：． 3．如图，是，，三个便民核酸采样点和小亮家（点）的平面图，已知，，三点在同一条东西方向的路段上，在的北偏东方向，在的北偏西方向，且点到，两点的距离相等，试求出从小亮家（点）观测检测点，两处的视角的度数． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是方向角、三角形的内角和定理，解题关键是正确理解方位角的定义． 根据在的北偏东方向，在的北偏西方向，得，，根据推得，再根据三角形内角和定理即可得解． 【详解】解：由题意可知： ，，，， ，，， ， 在中，， ． 巩固课内例5:比较角的大小 1．将两张三角形纸片 和按如图1位置放置，点D、C分别在的延长线上， 记； 沿虚线将剪掉一部分得到图2的， 记， 则正确的是（    ） A． B． C． D．无法比较α与β的大小 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理．熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 由题意知，，，则，整理作答即可． 【详解】解：由题意知，，， ∴，即， 故选：B． 2．如图，下列4个结论①，②，③，④无法比较以上四个角的大小，正确的是 ．（填序号）    【答案】② 【分析】根据邻补角的性质和四边形内角和进行计算即可得． 【详解】解：如图所示，    ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴， 故②正确， 故答案为：②． 【点睛】本题考查了邻补角的性质和四边形内角和，解题的关键是掌握这些知识点． 3．按下列要求画图并回答问题： (1)在图1中将的面积分成1：3的两部分，并描述你的作法______________； (2)在图2中，完成以下问题： ①作的高，； ②比较______的大小（用“>”“<”“=”填空）； ③请用无刻度的直尺（只能画直线）作出边上的高，描述的作法_____． 【答案】(1)作图见解析，作法：找到线段的四等分点E，连接； (2)①作图见解析；②；③见解析，延长，交于点O，连接并延长，交于点F，则为边上的高． 【分析】（1）若将的面积分成1：3的两部分，找到的四等分点，利用三角形面积计算公式即可解答； （2）①根据高线的作法作图即可； ②根据三角形内角和定理可得答案； ③根据三角形的三条高线交于一点，先作出交点，进而可得高线． 【详解】（1）解：如图所示， 找到线段的四等分点E，连接，则，， ∴． （2）解：①作图如下： 如图，，分别为边和边上的高， 作法：过点B作的垂线交的延长线于点D，过点C作的垂线交的延长线于点E，垂足分别为点D和点E，线段，即为所求； ②∵,, ∴， 故答案为：； ③如图，延长，交于点O，连接并延长，交于点F，则为边上的高． 理由：∵点O为边和边上的高线的交点， ∴高线过点O， ∴连接并延长，交于点F，为边上的高． 【点睛】本题考查了三角形的面积，三角形高线的作法和性质，三角形内角和定理等知识，掌握三角形三条高线交于一点（即垂心）是解题的关键． 巩固课内例6:三角形的外角 1．如图，是的一个外角，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的外角和定理，由是的一个外角是解决本题的关键． 根据三角形的外角和定理，即“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”，由此求解即可． 【详解】解：因为，， 又因为是的一个外角， 所以， 即． 所以的度数为． 故选：A ． 2．如图，和是的外角，若，则的度数是 ． 【答案】/36度 【分析】本题考查三角形的外角，根据三角形的外角的性质，结合平角的定义，得到，即可得出结果． 【详解】解：∵和是的外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数是． 故答案为： 3．【特例研究】 （1）如图1，直线经过点，，，， ①求，，的度数 ②三角形三个内角，，度数的和为_____； 【拓广探索】 在小学，通过度量或剪拼的方法，可以验证一个三角形的内角和都等于．但是，由于测量常常有误差，这种“验证”不是“数学证明”，不能完全让人信服，因此需要用推理的方法进行证明．学习完平行线的性质后，我们可以借助平行线的性质来推理验证这一结论． 请根据（1）中的解题思路，尝试完成证明； （2）如图2，已知三角形，求证：； 【启发应用】 （3）如图3，在所示的“箭头”图形中，，，，直接写出的度数． 【答案】（1）①，；②；（2）见解析；（3） 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，三角形内角和定理和三角形外角的性质等知识，熟练掌握三角形内角和定理是关键． （1）①由平行线的性质和平角的定义进行解答即可；②由平行线的性质和平角的定义进行解答即可； （2）过点C作直线，则，根据平角的定义即可证明结论； （3）延长分别交于点H，Q，根据三角形外角的性质求出过点G作，则，得，从而可求出． 【详解】（1）解：①解：∵，，， ∴， ∴ ②∵， ∴， ∴ 故答案为： （2）证明：如图，过点C作直线， ∴， ∴ （3）解：延长分别交于点H，Q，如图， ∵，， ∴ 过点G作， ∵， ∴， ∴， ∴， 类型一、组成三角形的条件 1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，根据三角形三边关系，只需验证两条较短的线段长度之和是否大于最长的线段即可判断能否组成三角形． 【详解】解：选项A：最长边为，较短两边之和为，，满足三角形三边关系，能组成三角形． 选项B：最长边为，较短两边之和为，，不满足条件，不能组成三角形． 选项C：最长边为，较短两边之和为，，不满足“两边之和大于第三边”，不能组成三角形． 选项D：最长边为，较短两边之和为．，同样不满足条件，不能组成三角形． 故选：A 2．有4根长度分别为，，，的木棒，从中任意取3根，则这根木棒恰好能首尾相接构成三角形的周长是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形三边的关系，解题的关键是熟练掌握三角形三边的关系． 根据三角形三边的关系，选出能围成三角形的三条木棒，计算周长即可． 【详解】解：∵，，，， ∴恰好能首尾相接构成三角形的三根木棒长为：，，，或，，， ∴这根木棒恰好能首尾相接构成三角形的周长是或， 故答案为： 或． 3．以下列长度的三条线段为边，能构成三角形的有哪些？ （1），，； （2），，； （3）三条线段的长度之比为； （4），，． 【答案】（1）（3）（4）能构成三角形，（2）不能构成三角形 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边．根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边分别进行计算分析即可． 【详解】解：根据三角形的三边关系： （1）可以构成三角形； （2）不能构成三角形； （3），可以构成三角形； （4），可以构成三角形； 故（1）（3）（4）可以构成三角形，（2）不能构成三角形． 类型二、三角形的中线 1．如图，，，依次是的高、中线和角平分线，下列选项中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的高、中线和角平分线的定义，根据各自的定义一一判定即可． 【详解】解：∵是中线， ∴，故A选项正确， ∵是的高， ∴，故B选项正确， ∵是角平分线， ∴，故D选项正确， ∵是中线，不是角平分线， ∴无法得出，故C选项无法得出， 故选：C 2．如图，为的中线，，，的周长为，则 的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中线，熟练掌握中线的定义是解题的关键；根据中线的定义得到，然后根据的周长可得，然后计算的周长即可． 【详解】解：∵为的中线， ∴， 又∵的周长为，， ∴， ∴的周长为， 故答案为：． 3．如图所示的方格纸中有一个，将经过一次平移后得到，图中已经标出了点C的对应点． (1)在方格纸中画出平移后的； (2)画出的角平分线，边上的中线； (3) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)8 【分析】（1）根据点平移后的对应点是，得到平移规则为：向右平移4个单位，再向下平移1个单位，按照平移规则作图即可． （2）在上取格点，连接，即为的角平分线；取的中点，连接，即为边上的中线； （3）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：∵点平移后的对应点是， ∴平移规则为：向右平移4个单位，再向下平移1个单位， 如图，即为所求； （2）解：如图所示，角平分线，中线即为所求； （3）解：． 【点睛】本题考查了平移作图，作角平分线和中线，割补法求三角形面积，解题的关键是掌握以上知识点． 类型三、三角形的高 1．如图，用三角板作的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的高，从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．根据高线的定义即可得出结论． 【详解】解：．作出的是中边上的高线，故该选项不符合题意； ．不能作出的高线，故该选项不符合题意； ．不能作出的高，故该选项不符合题意； ．作出的是中边上的高线，故该选项符合题意． 故选：D． 2．如图，的边上的高是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的高，从顶点作的垂线段即为边上的高，掌握三角形的高的定义是解题的关键． 【详解】解：边上的高是， 故答案为：． 3．如图，每个小正方形的边长为1个单位． (1)画出的边上的高，垂足为D； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析； (2)的面积为． 【分析】本题考查画三角形的高，求格点三角形的面积，解题的关键是会用割补法求面积． （1）延长，过点作延长线的垂线即可； （2）用割补法，借助网格，即可求得三角形的面积． 【详解】（1）解：如图，延长，过点作延长线的垂线，垂足为，线段即为的边上的高． （2）解：∵每个小正方形的边长为1个单位， ∴ 答：的面积为． 类型四、三角形的角平分线 1．如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了中线、角平分线和中线的定义，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．分别根据三角形的中线意义和性质可判断B和D；根据三角形高的定义，直角三角形两锐角互余判断A；根据三角形角平分线的意义可判断C． 【详解】解：∵是中线， ∴，故D选项不正确，不符合题意； ∴，故B选项正确，符合题意； ∵是高， ∴， ∴，故A选项不正确，不符合题意； ∵是角平分线， ∴，故C选项不正确，不符合题意； 故选：B． 2．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的有 ．（只填序号） 【答案】②③④ 【分析】此题考查了三角形的高、中线、角平分线等相关线段的性质，根据相关性质和角之间的关系逐项进行判断即可 ． 【详解】解：∵是的中线， ∴， 故④正确，符合题意； ∵是角平分线，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故②正确，符合题意； ∵， ∴， 故③正确，符合题意； 由已知条件不能确定， ∴与的关系不能确定，故⑤错误，不符合题意； 根据已知条件无法证明，故①错误，不符合题意； 故答案为：②③④． 3．如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，的顶点都在方格纸格点上． (1)仅利用无刻度的直尺画出的中线与角平分线； (2)的面积为___________，的面积为___________． 【答案】(1)作图见解析 (2)， 【分析】本题考查了中线，角平分线，三角形与格点等知识．熟练掌握知识并灵活运用是解题的关键． （1）取上格点，满足，取与格线的交点，满足即可； （2）割补法求的面积，根据，求的面积即可． 【详解】（1）解：如图，，即为所求； 理由如下： 由格点可知，， ∴为的角平分线， ∴， 由网格特点可得：， ∴为中上的中线； （2）解：由题意知， ∵为中上的中线， ∴. 类型五、三角形的内角和定理 1．在探究证明三角形的内角和定理时，综合实践小组的同学们作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和是”的是（   ） A．图①过点C作 B．图②作于点D C．图③过上一点D作 D．图④延长到点F，过点C作 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形内角和定理的证明，根据平行线的性质，平角的定义即可得解，熟练掌握三角形内角和定理的证明方法，是解决本题的关键． 作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决此题． 【详解】解：A、由， 得，． 由， 得． 故A不符合题意； B、由于D， 得， 无法证得三角形内角和是． 故B符合题意； C、由， 得，，． 由， 得，， 那么． 由， 得． 故C不符合题意， D、由， 得，． 由， 得． 故D不符合题意； 故选：B． 2．如图，，，为三角形的内角，求： ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理的证明，过点作，可得，，结合，即可求解． 【详解】解：如图，过点作， ， ，， ， ， 故答案为：． 3．如图，已知三角形． (1)用直尺和三角尺作图：过点A画； (2)在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了平行线的作法，平行线的性质，及平角的性质，熟悉相关性质是解题的关键． （1）平移过点A，画即可； （2）利用平行线的性质，推出，，再利用平角的性质即可求证． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求： （2）证明：， ，， ， ， 即． 类型一、三边关系求取值范围 1．已知中，，，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形三边之间的关系，根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可知，通过计算即可确定的范围． 【详解】解：，，是的三条边， ， ， ． 故选：A． 2．若三角形三边长为4，，10，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得答案． 【详解】解：三角形的三边长分别为4，，10， 根据三角形的三边关系可得：， 即， 故答案为：． 3．已知的三边长分别是，，． (1)求的取值范围； (2)若三角形的周长是大于的正整数，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形三边之间的关系，解题的关键是掌握三角形三边关系； （1）根据三角形的三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”列不等式求解即可； （2）根据题意，确定的取值范围，根据周长大于，进而求解的值． 【详解】（1）解：根据题意得： 的取值范围为：； （2）解： 、、、、 ∵三角形的周长是大于的正整数， ∴当时，三角形的周长为； 的值是； 类型二、等腰三角形边长与周长分类 1．在等腰三角形中，，若中线将该三角形的周长分为5和3两个部分，则该等腰三角形的底边长为（    ） A． B．4 C．或4 D．或4 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，三角形中线的定义，三角形的三边关系，掌握三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．设腰长，底边长，结合三角形中线的定义，列二元一次方程组，求出、的值，再根据三角形的三边关系检验即可． 【详解】解：设腰长，底边长， 是中线， ， 中线将该三角形的周长分为5和3两个部分， 或， 或， 解得：或， 当等腰三角形腰长为，底边长为时，，可以组成三角形； 当等腰三角形腰长为，底边长为时，，不可以组成三角形； 该等腰三角形的底边长为， 故选：A． 2．等腰三角形的周长为16厘米，腰长为厘米，底边长为厘米，其中的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，解一元一次不等式组，三角形三边之间的关系． 根据三角形的周长公式结合等腰三角形的周长为16厘米，即可得出底边长关于腰长的式子，再由三角形的三边关系即可得出关于的一元一次不等式组，解不等式组即可得出的取值范围． 【详解】解：依题意， 根据三边关系可得 解得： 故答案为：． 3．已知a、b、c为的三边长． (1)化简； (2)若为等腰三角形，且周长为16，已知，求b、c的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的三边关系得到：，，根据绝对值的性质进行化简，即可求解； （2）对进行a为腰长或a为底边进行分类讨论，即可作答． 【详解】（1）解：因为a、b、c为的三边长， 所以，， 则，， 所以； （2）解：因为为等腰三角形，且周长为16， 所以当为腰长时，那么底边为， 因为，所以不能构成三角形，故为腰长舍去； 所以当为底边时，那么腰长为， 故4为底边，腰长为，符合三角形的三边关系， 则． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系以及绝对值的化简，三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 类型三、三角形与平行线结合 1．如图，直线，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，先求出，再根据三角形内角和求出结论即可． 【详解】解：如下图： ，， ， ， ， ， 故选：D． 2．如图，在三角形中，平分交于点，过点D作交于点E，平分交于点，点F为线段上一点．若，则 ；若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理． 根据题意得，得到，得出，继而得到，得到，即可得到答案． 【详解】解：平分， ， ∵， ，， 平分， ， ， ， 即， ，， ， ， ， ， 故答案为：，． 3．如图，中，分别是上的点，满足． (1)，是否平行？说明理由． (2)若平分，，求度数． 【答案】(1)平行 (2) 【分析】本题考查了三角形的内角和，平行线的判定等知识点． （1）由三角形内角和为，结合已知可得，由同位角相等两直线平行即可得出结论； （2）根据角平分线定义可得，结合可得． 【详解】（1）结论：平行， ∵， ， ∴， ∴． （2）∵平分， ∴， ∵， ∴． 类型一、三边关系化简绝对值 1．若a、b、c是三角形的三边长，则化简的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的三边关系以及绝对值的化简. 根据三角形三边之间的关系得出a、b、c之间的大小关系，再根据绝对值的性质求值． 【详解】解：∵a、b、c是三角形的三边长， ∴，，， ∴，，， ∴． 故选：A． 2．已知a、b、c为的三边，则化简 【答案】 【分析】本题考查三角形的三边关系，化简绝对值．熟练掌握三角形的三边关系，是解题的关键．根据三角形的三边关系，以及绝对值的意义，进行化简即可． 【详解】解：∵为的三边，， ∴，，即， ∴． 故答案为：． 3．已知的三边长分别为，，，且，，都是整数． (1)若，，且为奇数，求的周长． (2)化简：． 【答案】(1)12 (2) 【分析】（1）根据三角形存在的条件，解答即可． （2）根据三角形三边关系，化简解答即可． 本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的存在性条件是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵第三边长c为奇数，， ∴． 的周长为． （2）解：∵，，是三角形的三边长， 故， ∴，， ∴ ． 类型二、角平分线与高夹角结合 1．如图，，，分别是的中线、角平分线、高线，下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的高、角平分线和中线的定义，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，掌握定义是解题的关键．根据三角形的中线，角平分线，高的定义进而判断即可． 【详解】解：，，分别是的中线、角平分线、高线， ∴，，，故选项A、B正确，不合题意； ，故选项C正确，不合题意； 由与不一定相等，故选项D错误，符合题意． 故选：D． 2．如图，在中，是的高线，是的角平分线，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的高线，角平分线以及直角三角形两锐角互余定理的应用，熟练掌握相关定理是解题的关键．先根据是的角平分线，得到，再由是的高线，得到，再由角的和差即可解答． 【详解】解：， ， 是的角平分线， ， 是的高线， ， ， ． 故答案为： 3．在中，，，是的角平分线，若是的高，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和，垂直的定义等知识，属于基础题；由三角形内角和可求得，由角平分线定义求得；再由垂直定义及三角形内角和得，由两角差即可求得结果． 【详解】解：∵，， ∴； ∵是的角平分线， ∴； ∵是的高， ∴， ∴， ∴． 类型三、角平分线与三角形内角和 1．如图，在中，为边上的高，平分，，相交于点F．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键． 先根据三角形的内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据垂直的定义可得，最后根据直角三角形两锐角互余的即可得． 【详解】解：在中，，， ， 平分， ， 为边上的高， ， ． 故选：C． 2．如图，在中，是的角平分线，，则 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，由角平分线的定义可得的度数，再由三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解：∵是的角平分线，， ∴， 又∵，， ∴， 故答案为：． 3．已知，直线与交于点C，与交于点D，点C，D均不与点O重合，平分，平分． (1)如图1，的度数为______； (2)如图2，延长与交于点F，过E作射线与交于点G，且满足．求证：． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，内错角相等两直线平行，弄清各角之间的数量关系是解题的关键． （1）根据已知得，进而得出，再根据三角形内角和定理可得答案； （2）根据角平分线定义得，进而得，再根据三角形外角的性质得，然后结合已知可得，则答案可证． 【详解】（1）解：∵，平分，平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵平分，平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 类型四、复杂的多角和 1．如图，直线与正六边形的边分别相交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正多边形内角和问题，三角形内角和定理，根据正多边形内角和定理求出，再由对顶角相等，，则由三角形内角和定理得到． 【详解】解：∵六边形是正六边形， ∴， ∵，， ∴在中，， 故选：A． 2．如图： ． 【答案】 【分析】本题考查了多边形内角和以及三角形外角的性质，解题的关键是利用三角形外角的性质将所求角转化到一个四边形中进行计算． 通过连接，利用三角形外角的性质将和转化为和，再根据四边形内角和为求出的度数． 【详解】连接，为与的交点， 在和中， ， ， 那么． 而正好是四边形的内角和． 根据多边形内角和公式：边形内角和为， 四边形内角和为， 所以． 故答案为：． 3．如图①，易证明：．应用这个结论解决问题： (1)如图②，在“五角星”形中，求． 分析：在图形中，根据（1）可得，所以_______． (2)如图③，在“七角星”形中，求． (3)如图④，在“八角星”形中，可以求得_______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查多边形的内角和与三角形外角的性质，能够根据三角形外角的性质进行转化是解题关键． （1）根据三角形外角的性质把5个角转化到一个三角形中可得答案； （2）根据三角形外角的性质把7个角转化到一个三角形中可得答案． （3）根据三角形外角的性质把8个角转化到一个四边形中可得答案． 【详解】（1）解：如图， 由三角形外角的性质可得，，，， ． （2）解：如图， 由三角形外角的性质可得，，，， ， ． （3）解：如图， 由三角形外角的性质可得，，，，， ，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 13.1—13.3 三角形的概念 与三角形有关的线段 三角形的内角与外角 三角形的概念 一、三角形的定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 二、三角形的元素 1.边：组成三角形的线段叫做三角形的边。 2.顶点：相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点。 3.角：相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。 通常用大写字母A、B、C表示三角形的顶点，用小写字母a、b、c表示对应的边，用∠A、∠B、∠C表示对应的角。顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。三个字母没有先后顺序。 三、三角形的表示 三角形用符号“△”表示，例如，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。 四、三角形的分类 1.按角的大小分类： 锐角三角形：最大内角为锐角的三角形。 直角三角形：最大内角为直角的三角形。 钝角三角形：最大内角为钝角的三角形。 2.按边的相等关系分类： 三边都不相等的三角形。 等腰三角形：有两条边相等的三角形，其中相等的两边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角。 等边三角形：三边都相等的三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。 与三角形有关的线段 一、三角形的边及三边关系 三角形的边是构成三角形的元素。三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。这是三角形的一个基本性质，也是判断三条线段能否构成三角形的重要依据。 二、三角形的稳定性 三角形具有稳定性，这一性质在工程建筑等领域有广泛应用。例如，屋顶钢架结构等常常采用三角形的结构，以利用其稳定性。 三、与三角形有关的线段 1.中线：连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点的线段叫做三角形的中线。三角形有三条中线，它们相交于一点，这一点叫做三角形的重心。 2.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫做三角形的角平分线。三角形有三条角平分线，它们也相交于一点。 3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形有两条高与直角边重合；钝角三角形有两条高在三角形外部。 三角形的内角与外角 一、三角形的内角和定理 三角形的三个内角的和等于180度。这是三角形内角和的基本性质，也是解决三角形角度问题的基础。证明方法通常涉及将三角形的三个内角转化为一个平角，或者利用平行线的性质进行证明。 二、直角三角形的性质与判定 直角三角形有一个90度的角，其余两个角互余。即，如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形就是直角三角形。直角三角形的表示符号为“Rt△”。 三、三角形的外角 三角形的一边与另一条边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，且大于与它不相邻的任何一个内角。这是三角形外角的基本性质，也是解决三角形外角问题的基础。 巩固课内例1:认识三角形 1．观察下列图形，其中是三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．（1）如图所示的图形中共有 个三角形，它们分别是 ； （2）的三个顶点分别是 ，三条边分别是 ，三个角分别是 ． 3．（1）图中共有_________个三角形，它们分别是_________； （2）以为边的三角形有_________； （3）分别是，，中_________，_________，_________边的对角； （4）是_________，_________，_________的内角；是_________，_________的内角． 巩固课内例2:等腰三角形的底、腰长 1．等腰三角形周长为17，其中两条边长分别为x和，则这个等腰三角形的腰长为（    ） A．4或7 B．4 C．6 D．7 2．已知等腰三角形两边的长分别为a，b，且满足．则这个等腰三角形的周长为 ． 3．已知，的三边长分别为，，． (1)求的取值范围； (2)若它是一个等腰三角形，求它的周长． 巩固课内例3:已知角平分线求角度 1．如图所示，是的角平分线，是的角平分线．若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 2．如图，若点为轴负半轴上的一个动点，当时，与的角平分线交于点，则的度数为 ． 3．如图，已知直线，． (1)证明：； (2)连接，平分，，求的度数． 巩固课内例4:方向角问题 1．某哨兵在灯塔A处观察到船只B在灯塔的北偏西方向上，船只C在灯塔的北偏东方向上，船只B上的人观察到船只C在他的南偏东方向上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，点在点的北偏东方向，点在点的北偏西方向，若，则点C在点E的南偏西 方向． 3．如图，是，，三个便民核酸采样点和小亮家（点）的平面图，已知，，三点在同一条东西方向的路段上，在的北偏东方向，在的北偏西方向，且点到，两点的距离相等，试求出从小亮家（点）观测检测点，两处的视角的度数． 巩固课内例5:比较角的大小 1．将两张三角形纸片 和按如图1位置放置，点D、C分别在的延长线上， 记； 沿虚线将剪掉一部分得到图2的， 记， 则正确的是（    ） A． B． C． D．无法比较α与β的大小 2．如图，下列4个结论①，②，③，④无法比较以上四个角的大小，正确的是 ．（填序号）    3．按下列要求画图并回答问题： (1)在图1中将的面积分成1：3的两部分，并描述你的作法______________； (2)在图2中，完成以下问题： ①作的高，； ②比较______的大小（用“>”“<”“=”填空）； ③请用无刻度的直尺（只能画直线）作出边上的高，描述的作法_____． 巩固课内例6:三角形的外角 1．如图，是的一个外角，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，和是的外角，若，则的度数是 ． 3．【特例研究】 （1）如图1，直线经过点，，，， ①求，，的度数 ②三角形三个内角，，度数的和为_____； 【拓广探索】 在小学，通过度量或剪拼的方法，可以验证一个三角形的内角和都等于．但是，由于测量常常有误差，这种“验证”不是“数学证明”，不能完全让人信服，因此需要用推理的方法进行证明．学习完平行线的性质后，我们可以借助平行线的性质来推理验证这一结论． 请根据（1）中的解题思路，尝试完成证明； （2）如图2，已知三角形，求证：； 【启发应用】 （3）如图3，在所示的“箭头”图形中，，，，直接写出的度数． 类型一、组成三角形的条件 1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．有4根长度分别为，，，的木棒，从中任意取3根，则这根木棒恰好能首尾相接构成三角形的周长是 ． 3．以下列长度的三条线段为边，能构成三角形的有哪些？ （1），，； （2），，； （3）三条线段的长度之比为； （4），，． 类型二、三角形的中线 1．如图，，，依次是的高、中线和角平分线，下列选项中错误的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，为的中线，，，的周长为，则 的周长为 ． 3．如图所示的方格纸中有一个，将经过一次平移后得到，图中已经标出了点C的对应点． (1)在方格纸中画出平移后的； (2)画出的角平分线，边上的中线； (3) 类型三、三角形的高 1．如图，用三角板作的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，的边上的高是 ． 3．如图，每个小正方形的边长为1个单位． (1)画出的边上的高，垂足为D； (2)求的面积． 类型四、三角形的角平分线 1．如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的有 ．（只填序号） 3．如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，的顶点都在方格纸格点上． (1)仅利用无刻度的直尺画出的中线与角平分线； (2)的面积为___________，的面积为___________． 类型五、三角形的内角和定理 1．在探究证明三角形的内角和定理时，综合实践小组的同学们作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和是”的是（   ） A．图①过点C作 B．图②作于点D C．图③过上一点D作 D．图④延长到点F，过点C作 2．如图，，，为三角形的内角，求： ． 3．如图，已知三角形． (1)用直尺和三角尺作图：过点A画； (2)在（1）的条件下，求证：． 类型一、三边关系求取值范围 1．已知中，，，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．无法确定 2．若三角形三边长为4，，10，则x的取值范围是 ． 3．已知的三边长分别是，，． (1)求的取值范围； (2)若三角形的周长是大于的正整数，求的值； 类型二、等腰三角形边长与周长分类 1．在等腰三角形中，，若中线将该三角形的周长分为5和3两个部分，则该等腰三角形的底边长为（    ） A． B．4 C．或4 D．或4 2．等腰三角形的周长为16厘米，腰长为厘米，底边长为厘米，其中的取值范围是 ． 3．已知a、b、c为的三边长． (1)化简； (2)若为等腰三角形，且周长为16，已知，求b、c的值． 类型三、三角形与平行线结合 1．如图，直线，若，则等于（   ） A． B． C． D． 2．如图，在三角形中，平分交于点，过点D作交于点E，平分交于点，点F为线段上一点．若，则 ；若，，则 ． 3．如图，中，分别是上的点，满足． (1)，是否平行？说明理由． (2)若平分，，求度数． 类型一、三边关系化简绝对值 1．若a、b、c是三角形的三边长，则化简的结果为（　　） A． B． C． D． 2．已知a、b、c为的三边，则化简 3．已知的三边长分别为，，，且，，都是整数． (1)若，，且为奇数，求的周长． (2)化简：． 类型二、角平分线与高夹角结合 1．如图，，，分别是的中线、角平分线、高线，下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，是的高线，是的角平分线，，，则的度数为 ． 3．在中，，，是的角平分线，若是的高，求的度数． 类型三、角平分线与三角形内角和 1．如图，在中，为边上的高，平分，，相交于点F．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，是的角平分线，，则 ． 3．已知，直线与交于点C，与交于点D，点C，D均不与点O重合，平分，平分． (1)如图1，的度数为______； (2)如图2，延长与交于点F，过E作射线与交于点G，且满足．求证：． 类型四、复杂的多角和 1．如图，直线与正六边形的边分别相交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图： ． 3．如图①，易证明：．应用这个结论解决问题： (1)如图②，在“五角星”形中，求． 分析：在图形中，根据（1）可得，所以_______． (2)如图③，在“七角星”形中，求． (3)如图④，在“八角星”形中，可以求得_______． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$