精品解析：2025年河南省平顶山市鲁山县四校联考中考三模数学试题

2025鲁山县四校中考三模数学试卷九年级数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 的绝对值是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值，直接根据绝对值的定义计算． 【详解】解：负数的绝对值等于其相反数， 故||＝． 故选：B． 【点睛】本题考查绝对值．熟记正数的绝对值等于它本身，0的绝对值等于0，负数的绝对值等于它的相反数，是解题的关键． 2. 如图为一个积木示意图，这个几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图，熟练掌握左视图即从左边看到的图形，正视图即从正面看到的图形，俯视图即从上面看到的图形是解题的关键． 根据左视图是从左边看到的图形求解即可． 【详解】解：从左边看这个几何体，看到的图形为． 故选：A． 3. 著名的数学家苏步青被誉为“数学大王”，为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球约的行星命名为“苏步青星”，数据218000000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．根据科学记数法的表示方法，进行解答即可． 【详解】解：218000000用科学记数法表示为． 故选：B． 4. 如图，在空心圆柱口放置一面平面镜，与水平线的夹角，入射光线经平面镜反射后反射光线为（点A，B，C，D，E，F，M在同一竖直平面内），已知．若要使反射光线恰好垂直于圆柱底面射出，则需要把入射光线与水平线的夹角的度数调整为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了几何图中角度的计算，由题意可得，由平角的定义求出，再由计算即可得解． 【详解】解：由题意可得：， ∴， ∴， 故选：B． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查同底数幂乘法、完全平方公式、二次根式的加减、幂的乘方．根据同底数幂乘法、完全平方公式、二次根式的加减、幂的乘方运算法则逐项计算判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、与不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，不符合题意； D、，原计算正确，符合题意， 故选：D． 6. 下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可． 【详解】解：能运用平方差公式分解因式的是． 故选：C． 【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 7. 关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m 的值可以是( ) A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据方程有两个不相等的实数根的条件，列式求解，即可解答． 【详解】解：∵关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 符合的数为1， 故选D． 8. 如图，电路图上有4个开关A，B，C，D和1个小灯泡，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了概率的应用，掌握概率的计算公式以及树状图或列表法是解题关键．画出树状图，确定可能出现的所有结果以及满足条件的结果数，即可求解． 【详解】解：画出树状图如下： 一共有种等可能的情况，小灯泡发光的情况有种， ∴小灯泡发光的概率是：， 故选：C 9. 如图，已知在中，与中线相交于点，，，的长为（ ） A. 16 B. 14 C. 18 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形中线交点的性质，勾股定理的运用，掌握三角形中线交点（重心）的性质，等腰三角形的三线合一的性质是解题的关键． 根据题意可得是等腰三角形，可得点是重心，根据重心的性质“三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍”可得，可算出的值，再根据勾股定理可得的值，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴是边上的中线，则， ∵是边上的中线， ∴，且， ∴， 在中，， ∴，   故选：A ． 10. 小明在游乐场坐过山车，在某一段秒时间内过山车的高度h（米）与时间t（秒）之间的函数关系图象如图所示，下列结论错误的是（　　） A. 当时， B. 过山车距水平地面的最高高度为98米 C. 在范围内，当过山车高度是80米时，t的值只能等于30 D. 当时，高度h（米）随时间t（秒）的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】根据某一分钟内过山车高度h（米）与时间t（秒）之间的函数图象逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. 结合图象，当时，，故该选项正确，不符合题意； B. 结合图象，过山车距水平地面的最高高度为98米，故该选项正确，不符合题意； C. 在范围内，当过山车高度是80米时，的值有3个，故该选项不正确，符合题意； D. 当时，高度h（米）随时间t（秒）的增大而增大，故该选项正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了函数的图象，解决本题的关键是利用数形结合思想． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若在实数范围内有意义，则a的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握被开方数为非负数时，二次根式有意义是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数，即可求解． 【详解】解：根据题意得： ， ∴ ． 故答案为： 12. 不等式组的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键；分别求出两不等式的解集，再根据同小取小即可解得． 【详解】解： 由得， 由得 所以不等式组的解集为：， 故答案为：． 13. 如图是甲、乙两名射击运动员10次射击成绩的折线统计图，根据折线图判断________运动员的成绩更稳定． 【答案】乙 【解析】 【分析】根据折线图的波动情况判断，即可得到答案． 【详解】解：由图可得：乙的数据波动比甲的数据波动更小，说明运动员乙的成绩比运动员甲的成绩更稳定些， 故答案为：乙． 【点睛】本题考查了折线统计图及其应用，方差的意义，熟练掌握方差的意义是解题的关键． 14. 如图，是的切线，切点为B，连接交于点C，是的直径，连接，若，，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，切线的性质和扇形面积的计算，由条件可求得的度数，根据切线性质得出，则可求得长，再利用可求得答案． 【详解】解：， ， 是的切线， ， 在中，， ， 图中阴影部分的面积， 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，，点E在边上，连接，将绕点E顺时针旋转得到，连接．当时，的长为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，过点作于点，由旋转的性质，可知，，由矩形的性质得出，证明得出，．设．再分两种情况：当点在矩形内部时，．证明，由相似三角形的性质得出，结合勾股定理即可得解，当点在矩形外部时，同理即可得出答案． 【详解】解：过点作于点，如图所示． 由旋转的性质，可知，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴． ∴，． 设． 当点在矩形内部时，． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴． 在中，∵， ∴， 解得（另一个值已舍去）． 如图，当点矩形外部时， ． 同理可得（另一个值已舍去）． ∴的长为或， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16 （1）计算： （2）计算： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值；实数的运算． （1）先根据零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值化简，再计算即可求解； （2）先计算括号内的，再计算除法，即可求解． 【详解】解：（1）原式 （2）原式 17. “元宵节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“元宵”的习俗．某超市为在元宵节前对购进的元肖袋数作出计划，在该超市附近某居民区对该居民区每户去年购买元宵的袋数进行了抽样调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 请根据以上信息回答： （1）补全条形统计图，所调查居民中去年购买元宵袋数的众数是______袋，中位数是______袋； （2）求所调查的居民去年平均每户购买元宵的袋数； （3）若该居民区共有6000户居民，请估计该居民区去年购买2袋元宵的户数． 【答案】（1）图见解析，2，2 （2）1.98袋 （3）2400户 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图综合，用样本估计总体，众数，中位数等知识，灵活运用各知识点是解答本题的关键． （1）先根据购买4袋的情况求出调查的总户数，再求出购买3袋的户数，可补全条形统计图；根据中位数和众数的定义求出中位数和众数即可； （2）根据平均数的计算方法求解即可； （3）用6000乘以样本中购买2袋的户数所占的比例即可． 【小问1详解】 解：户， 户， 补全条形统计图如下： ∵从小到大排列后排在100和101位的数都是2， ∴中位数是2． ∵2出现了80次，出现的次数最多， ∴众数是2． 故答案为：2，2； 【小问2详解】 （袋）， ∴所调查的居民去年平均每户购买元宵1.98袋． 【小问3详解】 解：（户）， ∴估计该居民区去年购买2袋元宵的有2400户． 18. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，轴于点D，分别交反比例函数与一次函数图象于点B，C．连接． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）当时，求的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题及三角形的面积，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将点A坐标分别代入反比例函数及一次函数的解析式即可解决问题． （2）根据求出点B和点C的坐标，再结合三角形的面积公式即可解决问题． 【小问1详解】 解：由题知，将点A坐标代入得，， 所以反比例函数的解析式为． 将点A坐标代入得，， 所以一次函数的解析式为． 【小问2详解】 因为，且轴于点D， 则将代入得，， 所以点B的坐标为． 同理可得，点C的坐标为． 又因为点A坐标为， 所以． 19. 九年级数学活动小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面的中点处竖直上升米到达处，测得实验楼顶部的俯角为，综合楼顶部的俯角为，已知实验楼高度为米，且图中点在同一平面内，求综合楼的高度． （参考数据：；，精确到米．） 【答案】约为米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，作，垂足为，由题意可得，，米，， 米，即得，分别解和，求出、即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：作，垂足为，则， 由题意可知：，，米，， 米， ∴米， 在中，， 米 ， ， 在中，， 米， 米， 答：综合楼的高度约为米． 20. 某仓库放置若干个A型部件和B型部件．已知1个A型部件和2个B型部件的总质量为吨，2个A型部件和3个B型部件的质量刚好相等． （1）求1个A型部件和1个B型部件的质量各是多少？ （2）来自工业和信息化部公布的数据，2023年我国汽车出口首次跃居全球第一．现有一种我国自产的卡车，最大额定载重质量为15吨，要用一辆这种卡车运输16个两种部件去往某地，由于其它方面都满足运输要求，只需考虑所载部件的总质量不能超过汽车的最大额定载重量．求这辆卡车最少要运输多少个B型部件？ 【答案】（1）1个A型部件的质量吨，1个B型部件的质量是吨； （2）这辆卡车最少要运输11个B型部件． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一不等式的应用，读懂题意，找出数量关系是解题关键． （1）设1个A型部件的质量吨，1个B型部件的质量是吨，根据题意列二元一次方程求解即可； （2）设这辆卡车要运输个B型部件，则运输个A型部件，根据题意列不等式求解，取最小正整数解即可． 【小问1详解】 解：设1个A型部件的质量吨，1个B型部件的质量是吨， 由题意得：，解得：， 答：1个A型部件的质量吨，1个B型部件的质量是吨； 【小问2详解】 解：设这辆卡车要运输个B型部件，则运输个A型部件， 由题意得：， 解得：， 为正整数， 这辆卡车最少要运输11个B型部件． 21. 如图，是半圆O的直径，C是半圆上一点，作射线，以点A为圆心，适当长为半径作弧，与，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交半圆O于点D，过点D画半圆O的切线，分别交射线，于点E，F． （1）求的度数； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）2 【解析】 【分析】（1）连结，根据圆的切线的性质得，然后根据角平分线的作图及等腰三角形的性质可证明，即可证明结论； （2）先根据直角三角形的性质求得，再根据相似三角形的判定与性质，即可求得答案． 【小问1详解】 证明：连结， 与半圆O相切于点D， ， 由题意知，平分， ， ， ， ， ， 又， ， ； 【小问2详解】 解：连结， 由（1）知，，， 在中，， ， ， ， ， ， ， 是半圆O的直径， ， ， ， ， 解得． 【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质，相似三角形的判定与性质， 直角三角形的性质，角平分线的尺规作图等知识，熟练掌握圆的切线的性质是解题的关键． 22. 某数学兴趣小组设计了一个投掷乒乓球游戏：将一个无盖长方体盒子放在水平地面上，从箱外向箱内投乒乓球．建立如图所示的平面直角坐标系（长方形为箱子截面图，x轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，米，米），王同学站在原点，将乒乓球从1.5米的高度P处抛出，乒乓球运行轨迹为抛物线，当乒乓球离王同学1米时，达到最大高度2米． （1）求抛物线解析式； （2）王同学抛出的乒乓球能不能投入箱子，请通过计算说明； （3）若乒乓球投入箱子后立即向右上方弹起，沿与原抛物线形状相同的抛物线运动，且无阻挡时乒乓球的最大高度达到原最大高度的一半，请判断乒乓球是否弹出箱子，并说明理由． 【答案】（1） （2）能，见解析 （3）乒乓球不能弹出箱子，见解析 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是将实际问题转化为二次函数中坐标问题，然后利用坐标数值关系反推实际问题． （1）由题意得，抛物线的顶点坐标为，利用待定系数法求解即可； （2）只要判断出乒乓球在运行中，高于，并落在之间即可； （3）依题意，设乒乓球弹出后的抛物线解析式为，利用待定系数法求得值，并求得当时，的值，即可判断． 【小问1详解】 解：由题意得，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为，即 【小问2详解】 解：能，理由如下： 当时，， 当时，， 解得（舍去），， ∴乒乓球在运行中，高于，并落在的中点处， ∴王同学抛出的乒乓球能投入箱子； 【小问3详解】 解：乒乓球不能弹出箱子．理由如下： 依题意，设乒乓球弹出后的抛物线解析式为， ∵抛物线的图象经过点， ∴， 解得（舍去），， ∴弹出后抛物线解析式为， 当时，， ∴乒乓球不能弹出箱子． 23. 在数学课上，王老师组织同学们以“正方形纸片的折叠”为主题开展数学活动．王老师对正方形纸片进行如下操作：如图1，将正方形纸片沿过点的一条直线翻折，使点落在点处，折痕为，请同学们在图1的基础上进行探究． 【操作发现】 （1）如图2，小明延长交射线于点，连接，过点作的垂线，交的延长线于点，则线段与的数量关系是________． 【深入探究】 （2）如图3，小华在图2的基础上延长，交的延长线于点，在图3中是否存在一条线段与相等？若存在，请找出这条线段并给出证明；若不存在，请说明理由． 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，若正方形纸片的边长为4，当时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）；（2）存在，，证明见解析；（3）4或 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质，得，证出，再根据，和，得出，即可证明； （2）根据正方形性质得出，，证明．得出，即可证明； （3）根据题意，分两种情况讨论．①当点在线段上时，如图1所示．②当点在的延长线上时，如图2所示． 【详解】解：（1）． 由折叠的性质，得， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． （2）存在，． 证明：在正方形中，，， ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∵， ∴， 即． （3）4或． 根据题意，分两种情况讨论． ①当点在线段上时，如图1所示． ∵，， ∴，． ∴． 由（1）知， ∴． 由（2）知， ∴． ②当点在的延长线上时，如图2所示． 同①可得，． ∴． ∴． ∴． 综上所述，线段的长为4或． 【点睛】该题主要考查了折叠的性质，正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025鲁山县四校中考三模数学试卷九年级数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 2. 如图为一个积木示意图，这个几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 3. 著名数学家苏步青被誉为“数学大王”，为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球约的行星命名为“苏步青星”，数据218000000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 4. 如图，在空心圆柱口放置一面平面镜，与水平线的夹角，入射光线经平面镜反射后反射光线为（点A，B，C，D，E，F，M在同一竖直平面内），已知．若要使反射光线恰好垂直于圆柱底面射出，则需要把入射光线与水平线的夹角的度数调整为（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 7. 关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m 的值可以是( ) A. B. C. D. 1 8. 如图，电路图上有4个开关A，B，C，D和1个小灯泡，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知在中，与中线相交于点，，，的长为（ ） A. 16 B. 14 C. 18 D. 20 10. 小明在游乐场坐过山车，在某一段秒时间内过山车的高度h（米）与时间t（秒）之间的函数关系图象如图所示，下列结论错误的是（　　） A. 当时， B. 过山车距水平地面最高高度为98米 C. 在范围内，当过山车高度是80米时，t值只能等于30 D. 当时，高度h（米）随时间t（秒）的增大而增大 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若在实数范围内有意义，则a取值范围是__________． 12. 不等式组的解集为______． 13. 如图是甲、乙两名射击运动员10次射击成绩的折线统计图，根据折线图判断________运动员的成绩更稳定． 14. 如图，是的切线，切点为B，连接交于点C，是的直径，连接，若，，则图中阴影部分的面积为______． 15. 如图，在矩形中，，点E在边上，连接，将绕点E顺时针旋转得到，连接．当时，的长为_____． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. （1）计算： （2）计算： 17. “元宵节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“元宵”的习俗．某超市为在元宵节前对购进的元肖袋数作出计划，在该超市附近某居民区对该居民区每户去年购买元宵的袋数进行了抽样调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 请根据以上信息回答： （1）补全条形统计图，所调查居民中去年购买元宵袋数的众数是______袋，中位数是______袋； （2）求所调查的居民去年平均每户购买元宵的袋数； （3）若该居民区共有6000户居民，请估计该居民区去年购买2袋元宵的户数． 18. 如图，反比例函数与一次函数图象交于点，轴于点D，分别交反比例函数与一次函数图象于点B，C．连接． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）当时，求的面积． 19. 九年级数学活动小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面的中点处竖直上升米到达处，测得实验楼顶部的俯角为，综合楼顶部的俯角为，已知实验楼高度为米，且图中点在同一平面内，求综合楼的高度． （参考数据：；，精确到米．） 20. 某仓库放置若干个A型部件和B型部件．已知1个A型部件和2个B型部件的总质量为吨，2个A型部件和3个B型部件的质量刚好相等． （1）求1个A型部件和1个B型部件的质量各是多少？ （2）来自工业和信息化部公布的数据，2023年我国汽车出口首次跃居全球第一．现有一种我国自产的卡车，最大额定载重质量为15吨，要用一辆这种卡车运输16个两种部件去往某地，由于其它方面都满足运输要求，只需考虑所载部件的总质量不能超过汽车的最大额定载重量．求这辆卡车最少要运输多少个B型部件？ 21. 如图，是半圆O的直径，C是半圆上一点，作射线，以点A为圆心，适当长为半径作弧，与，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交半圆O于点D，过点D画半圆O的切线，分别交射线，于点E，F． （1）求的度数； （2）若，，求的长． 22. 某数学兴趣小组设计了一个投掷乒乓球游戏：将一个无盖的长方体盒子放在水平地面上，从箱外向箱内投乒乓球．建立如图所示的平面直角坐标系（长方形为箱子截面图，x轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，米，米），王同学站在原点，将乒乓球从1.5米的高度P处抛出，乒乓球运行轨迹为抛物线，当乒乓球离王同学1米时，达到最大高度2米． （1）求抛物线的解析式； （2）王同学抛出的乒乓球能不能投入箱子，请通过计算说明； （3）若乒乓球投入箱子后立即向右上方弹起，沿与原抛物线形状相同的抛物线运动，且无阻挡时乒乓球的最大高度达到原最大高度的一半，请判断乒乓球是否弹出箱子，并说明理由． 23. 在数学课上，王老师组织同学们以“正方形纸片的折叠”为主题开展数学活动．王老师对正方形纸片进行如下操作：如图1，将正方形纸片沿过点的一条直线翻折，使点落在点处，折痕为，请同学们在图1的基础上进行探究． 【操作发现】 （1）如图2，小明延长交射线于点，连接，过点作的垂线，交的延长线于点，则线段与的数量关系是________． 【深入探究】 （2）如图3，小华在图2的基础上延长，交的延长线于点，在图3中是否存在一条线段与相等？若存在，请找出这条线段并给出证明；若不存在，请说明理由． 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，若正方形纸片的边长为4，当时，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $