重难点培优02 查漏补缺-数列新定义解答题压轴（复习讲义）（北京专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

重难点培优02 查漏补缺-数列新定义解答题压轴 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 3 题型一 高考真题鉴赏与学习（★★★★★） 3 题型二 新性质类（★★★★★） 5 题型三 最值类（★★★★★） 6 题型四 数列的变换与操作（★★★★★） 8 题型五 数学归纳法证明（★★★★★） 9 题型六 数列与集合（★★★★★） 10 题型七 存在性与构造性问题（★★★★★） 11 题型八 数列中的组合数的计算（★★★★★） 12 题型九 其他综合（★★★★★） 12 03 实战检测・分层突破验成效 14 检测Ⅰ组 重难知识巩固 14 检测Ⅱ组 创新能力提升 16 数列新定义大题压轴题（通常为第21题）是北京高考数学的巅峰挑战与核心区分点，集中体现了命题的高度创新性、深刻思想性和严密的逻辑推理要求。这类试题超越常规的等差、等比模型与递推关系，通过创设一个全新的数学概念、规则或情境来定义数列或其相关对象（如子列、变换列、特征量等），构建一个微型的“数学研究”场景。其核心目标是考查考生在陌生情境下的七大关键能力： 1. 深度阅读理解与信息转化能力： 题目往往提供一段富含数学语言（可能涉及初等数论、组合、图论、函数迭代、算法思想等背景）的新定义描述。考生必须精准提炼定义的核心要素、操作规则和限定条件，将其转化为可操作的数学语言（如递推式、通项结构、约束不等式、集合关系等），这是解题的绝对前提。 2. 抽象建模与符号化表达能力： 基于新定义，考生需要构建抽象的数学模型，定义关键变量，并运用恰当的数学符号清晰、严谨地表达数列的生成过程、元素间关系或待研究的性质。这要求具备高度的数学抽象思维。 3. 演绎推理与逻辑证明能力： 这是压轴大题的核心要求。试题通常包含多问，层层递进： 基础验证/计算：可能要求直接根据新定义计算初始项或简单性质。 性质探究与猜想：要求通过有限项的观察或逻辑分析，提出关于数列某方面（如单调性、有界性、周期性、存在性、最值、特定项满足的条件等）的猜想。 严格数学证明：这是最具挑战性的部分。要求运用数学归纳法（尤其关键）、反证法、构造法、分类讨论、不等式放缩、抽屉原理、数论性质等工具，对提出的猜想进行逻辑严密、步骤清晰、书写规范的证明。证明过程往往需要深刻洞察定义蕴含的不变性、递归结构或矛盾点。 4. 代数运算与变形技巧： 在推导递推关系、证明不等式、求解特定项或表达式时，需要熟练进行复杂代数式（含参数、求和、连乘、取整函数等）的恒等变形、化简与求解，运算量可能较大且技巧性强。 5. 分类整合与化归思想： 新定义常引入参数或边界条件，导致结论或证明路径依赖于参数的取值或初始状态。考生必须全面、无遗漏地进行分类讨论，将复杂问题分解为若干子问题，并能在不同情况下灵活运用化归思想，将新问题转化为已知的模型或方法解决。 6. 创新思维与问题解决策略： 面对全新的结构和规则，要求考生具备探索性思维，敢于尝试特例、寻找模式、逆向思考或构造反例（尤其在证明不存在性或否定某些结论时）。需要制定有效的解题策略，如何由浅入深、从具体到抽象地展开分析。 7. 融合高等数学思想： 北京卷压轴题有时会隐性地渗透高等数学思想（如极限、不动点、压缩映射、生成函数、组合结构等），虽然解题工具限定在中学范围内，但理解这些背景有助于洞察问题的本质。 命题特征与趋势： 背景新颖多元：定义可能源于数论（如与素数、同余相关）、组合（如路径计数、子集操作）、计算机科学（如状态转移、迭代函数系统）、甚至物理或经济学中的离散模型。 结构复杂嵌套：定义本身可能包含多层规则（如“对数列进行某种变换得到新数列，再对新数列进行另一操作”），或涉及多个数列的交互。 强调存在性、唯一性与最值：经常要求证明满足特定性质的项是否存在、是否唯一，或求某项的最大/最小值（界）。 与集合、函数、不等式深度结合：常要求研究数列项构成的集合的性质，或将数列视为定义在正整数集上的函数，研究其函数性质（值域、最值），并涉及复杂不等式的证明。 突出“过程性”与“研究性”：试题设计模拟数学研究过程，引导考生经历“定义理解-特例观察-猜想形成-逻辑证明”的完整链条。 备考关键： 吃透历年真题与新定义模型：精研北京卷及全国卷优秀试题，理解不同新定义类型的解题范式与核心思想。 夯实基础，融会贯通：对等差等比数列、递推求解、数学归纳法、不等式证明、数论组合基础等核心知识炉火纯青。 强化逻辑推理与证明训练：系统练习如何严谨地表述定义、提出命题、书写证明（尤其数学归纳法），注重步骤的规范性和逻辑的严密性。 提升抽象思维与建模能力：练习将复杂的文字描述转化为精确的数学符号和关系式。 培养分类讨论习惯与完整性：在复杂问题中自觉考虑所有可能情形，避免遗漏。 拓展数学视野：了解一些基本的离散数学、初等数论或迭代函数思想，有助于更快理解新定义的背景和意图。 总而言之， 数列新定义大题压轴是北京高考数学皇冠上的明珠，它不仅仅考查数列知识本身，更是对考生数学核心素养（数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、数据分析） 和综合能力极限的全面检验。攻克此题，要求考生具备扎实的根基、敏锐的洞察、严谨的思维、灵活的应变以及在高压环境下进行深度数学思考的毅力。其备考过程本身就是一次极佳的数学思维与能力的淬炼。 题型一 高考真题鉴赏与学习 1．（2024·北京·高考真题）已知集合．给定数列，和序列，其中，对数列进行如下变换：将的第项均加1，其余项不变，得到的数列记作；将的第项均加1，其余项不变，得到数列记作；……；以此类推，得到，简记为． (1)给定数列和序列，写出； (2)是否存在序列，使得为，若存在，写出一个符合条件的；若不存在，请说明理由； (3)若数列的各项均为正整数，且为偶数，求证：“存在序列，使得的各项都相等”的充要条件为“”． 2．（2023·北京·高考真题）已知数列的项数均为m，且 的前n项和分别为，并规定．对于，定义，其中，表示数集M中最大的数. (1)若，求的值； (2)若，且，求； (3)证明：存在，满足 使得． 3．（2022·北京·高考真题）已知为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的，在Q中存在，使得，则称Q为连续可表数列． (1)判断是否为连续可表数列？是否为连续可表数列？说明理由； (2)若为连续可表数列，求证：k的最小值为4； (3)若为连续可表数列，且，求证：． 4．（2021·北京·高考真题）设p为实数.若无穷数列满足如下三个性质，则称为数列： ①，且； ②； ③，． （1）如果数列的前4项为2，-2，-2，-1，那么是否可能为数列？说明理由； （2）若数列是数列，求； （3）设数列的前项和为.是否存在数列，使得恒成立？如果存在，求出所有的p；如果不存在，说明理由． 5．（2020·北京·高考真题）已知是无穷数列．给出两个性质： ①对于中任意两项，在中都存在一项，使； ②对于中任意项，在中都存在两项．使得． (Ⅰ)若，判断数列是否满足性质①，说明理由； (Ⅱ)若，判断数列是否同时满足性质①和性质②，说明理由； (Ⅲ)若是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：为等比数列. 题型二 新性质类 6．（2025·北京·模拟预测）若有限数列A：的各项均为正整数，且对，都有，则称数列A具有性质P.将数列A各项之和记为. (1)分别判断下列两个数列：1，6，2，4，3，：1，2，3，4，5，…，10，是否具有性质P，并说明理由. (2)若数列A具有性质P，且项数m为6，求的最小值. (3)对具有性质P且项数固定为m的数列A，记的最小值为.判断是否存在正整数使得.若存在，求出所有的m；若不存在，请说明理由. 7．（2025·北京·三模）已知整数数列的项数均为m（m>2），且同时满足以下两个性质： ①； ② 记 (1)若m=3，且，写出的值； (2)记其中表示集合A中元素的最大值. （i）若，，求的最大值； （ii）当时，若，求Q的最小值. 8．（2025·北京东城·一模）已知有限数列满足.对于给定的，若中存在项满足，则称有项递增子列；若中存在项满足，则称有项递减子列.当既有项递增子列又有项递减子列时，称具有性质. (1)判断下列数列是否具有性质； ①； ②. (2)若数列中有，证明：数列不具有性质； (3)当数列具有性质时，若中任意连续的项中都包含项递增子列，求的最大值. 9．（2025·北京门头沟·一模）已知有限数列，其中，.在中选取若干项按照一定次序排列得到的数列称为的一个子列，对某一给定正整数，若对任意的，均存在的相应子列，使得该子列的各项之和为，则称具有性质. (1)判断：，，，，，，是否具有性质？说明理由； (2)若，是否存在具有性质？若存在，写出一个，若不存在，说明理由； (3)若，且存在具有性质，求的取值范围. 10．（24-25高三下·北京朝阳·阶段练习）已知数集具有性质:对任意的 ，，使得成立. (1)分别判断数集与是否具有性质，并说明理由; (2)求证：; (3)若，求数集中所有元素的和的最小值. 11．（22-23高三下·北京·开学考试）若无穷数列满足：只要，必有，则称数列具有性质． (1)若数列具有性质，且，，求； (2)若数列具有性质，且，，求证：； (3)设数列是无穷数列，已知.求证：“数列为常数列”是“对任意，都具有性质”的充要条件． 12．（24-25高三上·北京·阶段练习）数列有100项，，对任意，存在，，若与前项中某一项相等，则称具有性质. (1)若，，求可能的值； (2)数列中不存在具有性质的项，求证：是等差数列； (3)若中恰有三项具有性质，这三项和为，使用，，表示. 题型三 最值类 13．（2025·北京丰台·二模）设数列是的一个排列．由中连续项组成的集合称作“的长为的子列集”，其中．任取不大于的正整数，当时，若数列的任意长为的子列集和数列的任意长为的子列集，都有，则称数列为“好数列”． (1)判断下列数列是否为“好数列”： ①1，3，5，2，4；②1，4，6，2，5，3． (2)证明：由的排列构成的所有“好数列”中，存在首项不超过的“好数列”（表示不超过的最大整数）； (3)若数列为“好数列”，求的最大值． 14．（2025·北京东城·二模）已知有穷整数数列，满足.记集合为，或，或，.若数列，则称数列是的“恒元”. (1)已知数列，请写出中所有满足的数列； (2)当时，是否存在数列满足，且是的“恒元”?若存在，请写出一个满足条件的数列；若不存在，请说明理由； (3)当数列是的“恒元”时，若是个连续正整数的一个排列，求数列的项数的最大值. 15．（2025·北京石景山·一模）已知有穷数列：，，…，经过一次M变换后得到数列：，，…，，． 其中，表示a，b中的最小者．记数列A的所有项之和为． (1)若：1，3，2，4，写出数列并求； (2)若：，，…，是1，2，3，…，n的一个排列，例如，当时，4，1，3，2可以为1，2，3，4的一个排列． （i）当时，求的最小值； （ii）若经过一次M变换后得到数列，求的最小值． 16．（24-25高三上·北京海淀·期末）已知为各项均为整数的无穷递增数列，且. 对于中的任意一项 ，在中都存在两项 ，使得或. (1)若，，写出的所有可能值； (2)若. ①当时，求的最大值； ②当时，求的最小值. 17．（24-25高三上·北京·阶段练习）对于有穷正整数列，记，若数列满足：，使得，则称为平滑数列. (1)已知数列，判断是否为平滑数列，并说明理由； (2)若平滑数列是公差为的等差数列，求的最大值； (3)若平滑数列的项数为5，求的最大值. 18．（2025·北京西城·一模）如图，设是由个实数组成的行列的数表，其中表示位于第行第列的实数，且满足与均是公差不为的等差数列． … … … … 若根据条件，能求出数表中所有的数，则称能被确定． (1)已知，分别根据下列条件，直接判断数表能否被其确定： 条件“已知”； 条件“已知”． (2)设条件“任意给定数表中的个数”，能被确定，证明：的最小值为； (3)设条件“已知集合或其中中的任意个元素”，求的最小值，使得能被确定． 题型四 数列的变换与操作 19．（2025·北京·二模）已知项数列，对于给定，定义变换：将数列中的项替换为，其余项均保持不变，记得到的新数列为．其中，当时，；当时，；当时，．若将数列再进行上述变换，记得到的新数列为，重复操作，得到数列，并称为第一次变换，为第二次变换，⋯． (1)若数列：，求数列和； (2)设为递增数列，对进行有限次变换后得到数列．证明：为递增数列； (3)当第次变换前后两个数列的首项乘积为负数时，令；否则．对于给定的项数列，进行2025次变换，证明：． 20．（2025·北京平谷·一模）对于数列，若满足，则称数列为“数列”.定义变换，若，将变成0，1，若，将变成1，0，得到新的“数列”.设是“数列”，令. (1)若数列，求数列； (2)若数列共有10项，则数列中连续两项相等的数对至多有多少对？请说明理由； (3)若为0，1，记数列中连续两项都是0的数对个数为.求关于的表达式. 21．（2025·北京海淀·一模）设正整数，对于数列，定义变换，将数列变换成数列：．已知数列满足．记． (1)若：，写出数列，； (2)若为奇数且不是常数列，求证：对任意正整数，都不是常数列； (3)求证：当且仅当时，对任意，都存在正整数，使得为常数列． 22．已知项数列，满足有.若变换满足，有，且有，则称数列是数列的一个排列.，记，如果是满足的最小正整数，称数列存在阶逆序排列，称是的阶逆序变换. (1)已知数列，数列，求： (2)证明：对于项数列，不存在阶逆序变换： (3)若项数列存在阶逆序变换，求的最小值. 题型五 数学归纳法证明 23．（2025·北京·模拟预测）设是正整数，数列满足:， 且其任意两项互不相同. 对满足条件的数列，若，定义为，对正整数，定义为. (1)若，数列，直接写出； (2)证明:对任意满足条件的数列，都存在正整数，使得的首项为1； (3)若. 是否存在满足条件的数列，使得的首项不为1？请说明理由. 24．（2025·北京顺义·一模）已知数列：各项为正整数.对任意正整数，定义：，，其中表示有限集中的元素个数，规定. (1)对于数列：1，3，2，2，写出，，，的值； (2)若数列：满足. （i）若，令，当时，求； （ii）求证：. 25．已知为有穷正整数数列，，且．从中选取第项，第项，，第项，称数列，为的长度为的子列．规定：数列的任意一项都是的长度为1的子列．若对于任意的正整数，数列存在长度为的子列，使得，则称数列为全覆盖数列． (1)判断数列和数列是否为全覆盖数列； (2)在数列中，若，求证：当时，； (3)若数列满足：，且当时，，求证：数列为全覆盖数列． 26．已知无穷数列是首项为1，各项均为正整数的递增数列，集合．若对于集合A中的元素k，数列中存在不相同的项，使得，则称数列具有性质，记集合数列具有性质． (1)若数列的通项公式为写出集合A与集合B； (2)若集合A与集合B都是非空集合，且集合A中的最小元素为t，集合B中的最小元素为s，当时，证明：； (3)若满足，证明：． 题型六 数列与集合 27．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知无穷数列，各项都是正整数，定义集合：，； (1)已知，，直接写出集合； (2)若，，，求证：中有无穷多个1； (3)若，均为等差数列，且，均为无限集，求证：． 28．（24-25高三下·北京·阶段练习）已知m为大于0的偶数，集合．给定项数为的有限数列，对于集合中任意元素，记． (1)若，数列，写出的所有可能值． (2)对于各项均为正数的数列，证明：存在，使得． (3)对于各项均为正数的数列和，证明：存在，使得同时成立． 注：表示中最大的数，表示中最小的数． 29．（24-25高三上·北京·阶段练习）有穷数列中，令，当时规定. (1)已知数列，写出所有的有序数对，且，使得； (2)已知整数列，为偶数.若 满足：当为奇数时，；当为偶数时，.求的最小值； (3)已知数列满足，定义集合.若且为非空集合，求证：. 题型七 存在性与构造性问题 30．（2025·北京海淀·三模）设是一个项数为的数列，其中每一项均为集合中的元素．定义数列如下：若，则，其中，当时，，当时，，，其中记． (1)①若数列，则______； ②若数列，则______． (2)对于给定的正整数，若正整数满足对任意，均有数列与为同一数列，则称为“阶好数”． （ⅰ）求最小的“3阶好数”． （ⅱ）求使得“阶好数”存在的的所有可能取值． 31．（2025·北京通州·一模）已知数列（N是大于3的整数）为有穷数列，定义为“卷积核”数列满足： (1)若数列，卷积核，求数列B. (2)设，已知且，，若.求证：数列B中最大的项为，（表示a，b中的最大值）. (3)已知且不全为0，卷积核，是否存在数列A，使得数列B的任意一项均为0?若存在，请写出一个满足条件的数列A；若不存在，请说明理由. 32．若有穷自然数数列：满足如下两个性质，则称为数列： ①，其中，表示，这个数中最大的数； ②，其中，表示，这个数中最小的数. (1)判断：2，4，6，7，10是否为数列，说明理由； (2)若：是数列，且，，成等比数列，求； (3)证明：对任意数列：，存在实数，使得.（表示不超过的最大整数） 题型八 数列中的组合数的计算 33．（2025·北京昌平·二模）设为正整数，数列是公差不为的等差数列，若从中去掉两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的个数都能构成等差数列，则称数列是的可分数列． (1)写出所有，使得数列是、的可分数列； (2)当时，证明：数列是的可分数列； (3)若数列是的可分数列，记所有满足条件的的个数为，求的值． 34．对正整数，设数列.是行列的数阵，表示中第行第列的数，，且同时满足下列三个条件：①每行恰有三个1；②每列至少有一个1；③任意两行不相同．记集合或中元素的个数为． (1)若，求的值； (2)若对任意中都恰有行满足第列和第列的数均为1． ①能否满足？说明理由； ②证明：． 题型九 其他综合 35．（24-25高三下·北京·阶段练习）对于项数为m+1的有限数列A:，定义为数k在数列A中出现的次数.若其对于任意的均满足：①，② 则称数列A为自表数列. (1)判断下列数列是否为自表数列： ； (2)已知数列A：为自表数列，求证： (3)求证：时，项数为的自表数列存在且唯一. 36．（24-25高三上·北京·阶段练习）在无穷数列中，，对于任意，都有，．设，记使得成立的n的最大值为． (1)设数列为，写出，，，的值； (2)若为等比数列，且，求的值． (3)设，，直接写出的值．（用表示） 37．（2025·北京·模拟预测）已知有穷数列：，，满足，，且恰有项为.  定义，其中，.  对于给定的正整数，若正整数满足，则称是一个“险胜时刻”. (1)对于满足的数列：，写出全部的“险胜时刻”. (2)当时，数列：中“险胜时刻”最多有多少个? (3)求的所有可能值，使得数列：一定存在“险胜时刻”. 38．（2025·北京丰台·一模）已知无穷递增数列各项均为正整数，记数列为数列的自身子数列. (1)若，写出数列的自身子数列的前4项； (2)证明：； (3)若数列与是公差分别为，的等差数列. （i）证明：； （ii）当，时，求数列的通项公式. 39．（2025·北京朝阳·一模）已知，，，为有穷正整数数列，若存在，其使得，其中，则称Q为连续可归零数列． (1)判断：1，3，2和：4，2，4是否为连续可归零数列？并说明理由； (2)对任意的正整数，记，其中表示数集S中最大的数．令，求证：数列，，，不是连续可归零数列； (3)若，，，的每一项均为不大于的正整数，求证：当时，Q是连续可归零数列． 40．给定正整数，已知项数为且无重复项的数对序列满足如下三个性质： ①，且； ②； ③与不同时在数对序列A中． (1)当时，写出所有满足的数对序列A； (2)当时，证明：； (3)当为奇数时，记的最大值为，求． 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．数列，满足：或，对任意i，j都存在s，t，使得，其中且两两不相等． (1)若，直接写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号： ①1，1，2，2    ②1，1，1，2，2，2    ③1，1，1，1，2，2，2，2 (2)记，若，求S的最小值； (3)若，求n的最小值． 2．若有穷正整数数列A：，，，…，满足如下两个性质，则称数列A为T数列：①；②对任意的，都存在正整数，使得. (1)判断数列A：1，1，1，3，3，5和数列B：1，1，2，2，4，4，4，12是否为T数列，说明理由； (2)已知数列A：，，，…，是T数列. （i）证明：对任意的，与不能同时成立； （ii）若n为奇数，求的最大值. 3．已知数列是由正整数组成的无穷数列.若存在常数，使得对任意的成立，则称数列具有性质. (1)分别判断下列数列是否具有性质；（直接写出结论） ①； ②. (2)若数列满足，求证：“数列具有性质”是“数列为常数列”的充分必要条件； (3)已知数列中，且.若数列具有性质，求数列的通项公式. 4．对于数列，若存在正数k，使得对任意m，都满足，则称数列符合“条件”. (1)试判断公差为2的等差数列是否符合“条件”？ (2)若首项为1，公比为q的正项等比数列符合“条件”. ①求q的取值范围； ②记数列的前n项和为，证明：存在正数，使得数列符合“条件”. 5．已知有穷数列，从数列中选取第项，第项，，第项，顺次排列构成数列，其中，则称新数列为的长度为的子列.规定：数列的任意一项都是的长度为1的子列，若数列的每一子列的所有项的和都不相同，则称数列为完全数列.设数列满足. (1)判断下面数列的两个子列是否为完全数列，并说明由； 数列①：；数列②：. (2)数列的子列长度为，且为完全数列，证明：的最大值为6； (3)数列的子列长度，且为完全数列，求的最大值. 6．若数列中且对任意的恒成立，则称数列为“数列”. (1)若数列为“数列”，写出所有可能的； (2)若“数列”中，，求的最大值； (3)设为给定的偶数，对所有可能的“数列”，记，其中表示这个数中最大的数，求的最小值. 7．已知数列，对于任意的，都有，则称数列为“凹数列”. (1)已知数列，的前项和分别为，，且，，试判断数列，数列是否为“凹数列”，并说明理由； (2)已知等差数列，首项为4，公差为，且为“凹数列”，求的取值范围； (3)证明：数列为“凹数列”的充要条件是“对于任意的，，，当时，有”. 8．已知数列，从中选取第项、第项、…、第项，若，则称新数列为的长度为m的递增子列，若，则称新数列为的长度为m的递减子列，递增子列和递减子列统称为的单调子列．规定：数列的任意一项都是的长度为1的单调子列． (1)写出数列1，8，3，7，5，6，9的最长单调子列； (2)已知数列的长度为的递增子列的末项的最小值为，长度为q的递增子列的末项的最小值为．若，求证：<； (3)若数列有项，且任意两项均不相等，证明：必存在长度为的单调子列． 9．设数列：．已知，定义数表，其中 (1)若，写出； (2)若是不同的数列，求证：数表满足“”的充分必要条件为“”； (3)若数列与中的1共有个，求证：数表中1的个数不大于． 10．给定正整数，，其中，如果有限数列同时满足下列两个条件，则称为-数列.记-数列的项数的最小值为. 条件①：的每一项都属于集合； 条件②：从集合中任取个不同的数排成一列，得到的数列都是的子数列. 注：从中选取第项、第项、...、第项（其中）形成的新数列，称为的一个子数列. (1)分别判断下面两个数列是否为-数列，并说明理由：数列；数列； (2)求证：； (3)求的值. 检测Ⅱ组 创新能力提升 1．若项数为的数列满足：，且存在，使得，则称数列具有性质P. (1)①若，写出所有具有性质P的数列； ②若，写出一个具有性质P的数列； (2)若，数列具有性质P，求的最大项的最小值； (3)已知数列均具有性质P，且对任意，当时，都有．记集合，，求中元素个数的最小值. 2．已知是个正整数组成的行列的数表，当时，记．设，若满足如下两个性质： ①； ②对任意，存在，使得，则称为数表． (1)判断是否为数表，并求的值； (2)若数表满足，求中各数之和的最小值； (3)证明：对任意数表，存在，使得． 3．设为给定的正奇数，定义无穷数列：若是数列中的项，则记作. (1)若数列的前6项各不相同，写出的最小值及此时数列的前6项； (2)求证：集合是空集； (3)记集合正奇数，求集合.（若为任意的正奇数，求所有数列的相同元素构成的集合.） 4．若无穷数列的各项均为整数．且对于，，都存在，使得，则称数列满足性质P． (1)判断下列数列是否满足性质P，并说明理由． ①，，2，3，…； ②，，2，3，…． (2)若数列满足性质P，且，求证：集合为无限集； (3)若周期数列满足性质P，求数列的通项公式． 5．对于数列定义为的差数列，为的累次差数列.如果的差数列满足，，则称是“绝对差异数列”；如果的累次差数列满足，，则称是“累差不变数列”. (1)设数列：2，4，8，10，14，16；：6，1，5，2，4，3，判断数列和数列是否为“绝对差异数列”或“累差不变数列”，直接写出你的结论； (2)若无穷数列既是“绝对差异数列”又是“累差不变数列”，且的前两项，，（为大于0的常数），求数列的通项公式； (3)已知数列：是“绝对差异数列”，且.证明：的充要条件是. 11 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点培优02 查漏补缺-数列新定义解答题压轴 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 3 题型一 高考真题鉴赏与学习（★★★★★） 3 题型二 新性质类（★★★★★） 16 题型三 最值类（★★★★★） 26 题型四 数列的变换与操作（★★★★★） 34 题型五 数学归纳法证明（★★★★★） 40 题型六 数列与集合（★★★★★） 46 题型七 存在性与构造性问题（★★★★★） 51 题型八 数列中的组合数的计算（★★★★★） 58 题型九 其他综合（★★★★★） 61 03 实战检测・分层突破验成效 69 检测Ⅰ组 重难知识巩固 69 检测Ⅱ组 创新能力提升 82 数列新定义大题压轴题（通常为第21题）是北京高考数学的巅峰挑战与核心区分点，集中体现了命题的高度创新性、深刻思想性和严密的逻辑推理要求。这类试题超越常规的等差、等比模型与递推关系，通过创设一个全新的数学概念、规则或情境来定义数列或其相关对象（如子列、变换列、特征量等），构建一个微型的“数学研究”场景。其核心目标是考查考生在陌生情境下的七大关键能力： 1. 深度阅读理解与信息转化能力： 题目往往提供一段富含数学语言（可能涉及初等数论、组合、图论、函数迭代、算法思想等背景）的新定义描述。考生必须精准提炼定义的核心要素、操作规则和限定条件，将其转化为可操作的数学语言（如递推式、通项结构、约束不等式、集合关系等），这是解题的绝对前提。 2. 抽象建模与符号化表达能力： 基于新定义，考生需要构建抽象的数学模型，定义关键变量，并运用恰当的数学符号清晰、严谨地表达数列的生成过程、元素间关系或待研究的性质。这要求具备高度的数学抽象思维。 3. 演绎推理与逻辑证明能力： 这是压轴大题的核心要求。试题通常包含多问，层层递进： 基础验证/计算：可能要求直接根据新定义计算初始项或简单性质。 性质探究与猜想：要求通过有限项的观察或逻辑分析，提出关于数列某方面（如单调性、有界性、周期性、存在性、最值、特定项满足的条件等）的猜想。 严格数学证明：这是最具挑战性的部分。要求运用数学归纳法（尤其关键）、反证法、构造法、分类讨论、不等式放缩、抽屉原理、数论性质等工具，对提出的猜想进行逻辑严密、步骤清晰、书写规范的证明。证明过程往往需要深刻洞察定义蕴含的不变性、递归结构或矛盾点。 4. 代数运算与变形技巧： 在推导递推关系、证明不等式、求解特定项或表达式时，需要熟练进行复杂代数式（含参数、求和、连乘、取整函数等）的恒等变形、化简与求解，运算量可能较大且技巧性强。 5. 分类整合与化归思想： 新定义常引入参数或边界条件，导致结论或证明路径依赖于参数的取值或初始状态。考生必须全面、无遗漏地进行分类讨论，将复杂问题分解为若干子问题，并能在不同情况下灵活运用化归思想，将新问题转化为已知的模型或方法解决。 6. 创新思维与问题解决策略： 面对全新的结构和规则，要求考生具备探索性思维，敢于尝试特例、寻找模式、逆向思考或构造反例（尤其在证明不存在性或否定某些结论时）。需要制定有效的解题策略，如何由浅入深、从具体到抽象地展开分析。 7. 融合高等数学思想： 北京卷压轴题有时会隐性地渗透高等数学思想（如极限、不动点、压缩映射、生成函数、组合结构等），虽然解题工具限定在中学范围内，但理解这些背景有助于洞察问题的本质。 命题特征与趋势： 背景新颖多元：定义可能源于数论（如与素数、同余相关）、组合（如路径计数、子集操作）、计算机科学（如状态转移、迭代函数系统）、甚至物理或经济学中的离散模型。 结构复杂嵌套：定义本身可能包含多层规则（如“对数列进行某种变换得到新数列，再对新数列进行另一操作”），或涉及多个数列的交互。 强调存在性、唯一性与最值：经常要求证明满足特定性质的项是否存在、是否唯一，或求某项的最大/最小值（界）。 与集合、函数、不等式深度结合：常要求研究数列项构成的集合的性质，或将数列视为定义在正整数集上的函数，研究其函数性质（值域、最值），并涉及复杂不等式的证明。 突出“过程性”与“研究性”：试题设计模拟数学研究过程，引导考生经历“定义理解-特例观察-猜想形成-逻辑证明”的完整链条。 备考关键： 吃透历年真题与新定义模型：精研北京卷及全国卷优秀试题，理解不同新定义类型的解题范式与核心思想。 夯实基础，融会贯通：对等差等比数列、递推求解、数学归纳法、不等式证明、数论组合基础等核心知识炉火纯青。 强化逻辑推理与证明训练：系统练习如何严谨地表述定义、提出命题、书写证明（尤其数学归纳法），注重步骤的规范性和逻辑的严密性。 提升抽象思维与建模能力：练习将复杂的文字描述转化为精确的数学符号和关系式。 培养分类讨论习惯与完整性：在复杂问题中自觉考虑所有可能情形，避免遗漏。 拓展数学视野：了解一些基本的离散数学、初等数论或迭代函数思想，有助于更快理解新定义的背景和意图。 总而言之， 数列新定义大题压轴是北京高考数学皇冠上的明珠，它不仅仅考查数列知识本身，更是对考生数学核心素养（数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、数据分析） 和综合能力极限的全面检验。攻克此题，要求考生具备扎实的根基、敏锐的洞察、严谨的思维、灵活的应变以及在高压环境下进行深度数学思考的毅力。其备考过程本身就是一次极佳的数学思维与能力的淬炼。 题型一 高考真题鉴赏与学习 1．（2024·北京·高考真题）已知集合．给定数列，和序列，其中，对数列进行如下变换：将的第项均加1，其余项不变，得到的数列记作；将的第项均加1，其余项不变，得到数列记作；……；以此类推，得到，简记为． (1)给定数列和序列，写出； (2)是否存在序列，使得为，若存在，写出一个符合条件的；若不存在，请说明理由； (3)若数列的各项均为正整数，且为偶数，求证：“存在序列，使得的各项都相等”的充要条件为“”． 【答案】(1) (2)不存在符合条件的，理由见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）因为数列， 由序列可得； 由序列可得； 由序列可得； 所以. （2）解法一：假设存在符合条件的，可知的第项之和为，第项之和为， 则，而该方程组无解，故假设不成立， 故不存在符合条件的； 解法二：由题意可知：对于任意序列，所得数列之和比原数列之和多4， 假设存在符合条件的，且， 因为，即序列共有8项， 由题意可知：， 检验可知：当时，上式不成立， 即假设不成立，所以不存在符合条件的. （3）解法一：我们设序列为，特别规定. 必要性： 若存在序列，使得的各项都相等. 则，所以. 根据的定义，显然有，这里，. 所以不断使用该式就得到，必要性得证. 充分性： 若. 由已知，为偶数，而，所以也是偶数. 我们设是通过合法的序列的变换能得到的所有可能的数列中，使得最小的一个. 上面已经说明，这里，. 从而由可得. 同时，由于总是偶数，所以和的奇偶性保持不变，从而和都是偶数. 下面证明不存在使得. 假设存在，根据对称性，不妨设，，即. 情况1：若，则由和都是偶数，知. 对该数列连续作四次变换后，新的相比原来的减少，这与的最小性矛盾； 情况2：若，不妨设. 情况2-1：如果，则对该数列连续作两次变换后，新的相比原来的至少减少，这与的最小性矛盾； 情况2-2：如果，则对该数列连续作两次变换后，新的相比原来的至少减少，这与的最小性矛盾. 这就说明无论如何都会导致矛盾，所以对任意的都有. 假设存在使得，则是奇数，所以都是奇数，设为. 则此时对任意，由可知必有. 而和都是偶数，故集合中的四个元素之和为偶数，对该数列进行一次变换，则该数列成为常数列，新的等于零，比原来的更小，这与的最小性矛盾. 综上，只可能，而，故是常数列，充分性得证. 解法二：由题意可知：中序列的顺序不影响的结果， 且相对于序列也是无序的， （ⅰ）若， 不妨设，则， ①当，则， 分别执行个序列、个序列， 可得，为常数列，符合题意； ②当中有且仅有三个数相等，不妨设，则， 即， 分别执行个序列、个序列 可得， 即， 因为为偶数，即为偶数， 可知的奇偶性相同，则， 分别执行个序列，，，， 可得， 为常数列，符合题意； ③若，则，即， 分别执行个、个， 可得， 因为， 可得， 即转为①，可知符合题意； ④当中有且仅有两个数相等，不妨设，则， 即， 分别执行个、个， 可得， 且，可得， 因为为偶数，可知的奇偶性相同， 则为偶数， 且，即转为②，可知符合题意； ⑤若，则，即， 分别执行个、个， 可得， 且，可得， 因为为偶数， 则为偶数， 且，即转为④，可知符合题意； 综上所述：若，则存在序列，使得为常数列； （ⅱ）若存在序列，使得为常数列， 因为对任意， 均有 成立， 若为常数列，则， 所以； 综上所述：“存在序列，使得为常数列”的充要条件为“”. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键在于对新定义的理解，以及对其本质的分析. 2．（2023·北京·高考真题）已知数列的项数均为m，且 的前n项和分别为，并规定．对于，定义，其中，表示数集M中最大的数. (1)若，求的值； (2)若，且，求； (3)证明：存在，满足 使得． 【答案】(1)，，， (2) (3)证明见详解 【详解】（1）由题意可知：， 当时，则，故； 当时，则，故； 当时，则故； 当时，则，故； 综上所述：，，，. （2）由题意可知：，且， 因为，且，则对任意恒成立， 所以， 又因为，则，即， 可得， 反证：假设满足的最小正整数为， 当时，则；当时，则， 则 ， 又因为，则， 假设不成立，故， 即数列是以首项为1，公差为1的等差数列，所以. （3）因为均为正整数，则均为递增数列， （ⅰ）若，则可取，满足 使得； （ⅱ）若，则， 构建，由题意可得：，且为整数， 反证，假设存在正整数，使得， 则，可得， 这与相矛盾，故对任意，均有. ①若存在正整数，使得，即， 可取， 满足，使得； ②若不存在正整数，使得， 因为，且， 所以必存在，使得， 即，可得， 可取， 满足，使得； （ⅲ）若， 定义，则， 构建，由题意可得：，且为整数， 反证，假设存在正整数，使得， 则，可得， 这与相矛盾，故对任意，均有. ①若存在正整数，使得，即， 可取， 即满足，使得； ②若不存在正整数，使得， 因为，且， 所以必存在，使得， 即，可得， 可取， 满足，使得. 综上所述：存在使得． 3．（2022·北京·高考真题）已知为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的，在Q中存在，使得，则称Q为连续可表数列． (1)判断是否为连续可表数列？是否为连续可表数列？说明理由； (2)若为连续可表数列，求证：k的最小值为4； (3)若为连续可表数列，且，求证：． 【答案】(1)是连续可表数列；不是连续可表数列． (2)证明见解析． (3)证明见解析． 【详解】（1），，，，，所以是连续可表数列；易知，不存在使得，所以不是连续可表数列． （2）若,设为 ,则至多，6个数字，没有个，矛盾； 当时,数列，满足，，，，，，，， ． （3）解法一：先证明. 从5个正整数中，取一个数字只能表示自身，最多可表示5个数字， 取连续两个数字最多能表示4个数字，取连续三个数字最多能表示3个数字， 取连续四个数字最多能表示2个数字，取连续五个数字最多能表示1个数字， 所以对任意给定的5个整数，最多可以表示 个正整数，不能表示20个正整数，即. 若，最多可以表示个正整数， 由于为连续可表数列，且，所以至少有一项为负数， 既然任意5个正整数都不可能为20-连续可表数列，那么中间若插人一个负数项，更不能连续表示的正整数. 所以至少要有6个正整数才能连续表示的正整数.所以中至少包含6个正整数和一个负数，故. 当时，数列满足题意， ． 解法二：若数列为连续可表数列， 则，这不可能！因而满足题设的． 若，得整数数列中的连续若干项（至少一项，下同）的和， ； ， ； ； 最多能表示（下简称数列的连续项和表示）出21个两两互异的正整数， 且题设是能表示出这20个正整数． ①若数列的六项均是自然数，由题设， 可得数列的连续项和均小于20（没有表示出20），与题设矛盾！ 所以数列中有负项且负项的项数是1（若存在两个负项，则数列的连续项和表示中会少两个正整数，至多能表示个正整数，不满足题设）． 若数列的项中还有0，则数列的连续项和表示中会少两个正整数（负项与0），不满足题设，因而数列的项是一项负五项正（且这五个正项两两互异）． 还可得：数列的连续项和表示中除负项这个和外组成的集合是． 因为其中最大的是20，所以20的连续项和表示是最多的连续若干个正项之和（即对数列的连续正项全部求和）． ②因为＂若数列满足题设，则数列 满足题设＂， 所以可只考虑数列或 或的情形． 若且数列的其余五项都是正项，则 或．若，则由 ， 可得 ，得数列的连续项和表示中的 均不是正整数；若， 则由，可得， 得数列的连续项和表示中的均不是正整数．均不满足题设． 同理，可证得也不满足题设．因而， 且． ③若两两互异的五个正整数中没有1，则 ． 因而． 再由数列的连续项和表示中最小的正数是1，可得． 若，则 得数列的连续项和表示中会少表示一个正整数，不满足题设， 因而． 而，所以． 再由，可得， ， 再得数列的连续项和表示中17的表示只可能是， 进而可得 . 又由数列的连续项和表示中有14，可得， ，得数列是（但或但，均不可能，因而中有1． ④由数列的连续项和表示中有19及 ， 可得或（得 或 ． 若，则，得数列的连续项和表示中会少表示一个正整数； 若，可得（否则，数列的连续项和表示中会少表示一个正整数）， 所以 ，得， 数列的连续项和表示中会少表示一个正整数．均不满足题设． 所以． ⑤由数列的连续项和表示中有18及和为19的两两互异的四个数均大于1及 ， 可得 得或（得 ， 数列的连续项和表示中会少表示一个正整数）. 所以． ⑥由数列的连续项和表示中有16及和为19的两两互异的四个数均大于1， （且4：因为及 ， 可得（得）或 得或 ， （得，与矛盾）或 得，与矛盾）． （i）． 由数列的连续项和表示中有15（可证得15的表示中没有也没有），可得 得， 这不可能）或（得，，这不可能）或（得，与矛盾）或 得，再得 ，这不可能）． （ii）． 由数列的连续项和表示中有14，可得 得与或重复，这不可能）， 或 （得， 这不可能）或（得，， 进而可得数列是，（此时，这不可能）或，3，2，1（此时，这不可能））或 得， 再由数列的连续项和表示中有13， 可得数列是（但，这不可能）或（但 ，这不可能）） 或（得 ，这不可能）． 综上所述，可得欲证结论成立． 【点睛】关键点睛，先理解题意，是否为可表数列核心就是是否存在连续的几项（可以是一项）之和能表示从到中间的任意一个值．本题第二问时，通过和值可能个数否定；第三问先通过和值的可能个数否定，再验证时，数列中的几项如果符合必然是的一个排序，可验证这组数不合题． 4．（2021·北京·高考真题）设p为实数.若无穷数列满足如下三个性质，则称为数列： ①，且； ②； ③，． （1）如果数列的前4项为2，-2，-2，-1，那么是否可能为数列？说明理由； （2）若数列是数列，求； （3）设数列的前项和为.是否存在数列，使得恒成立？如果存在，求出所有的p；如果不存在，说明理由． 【答案】（1）不可以是数列；理由见解析；（2）；（3）存在；． 【详解】(1)因 为 所以， 因 为所 以 所以数列，不可能是数列. (2)性质①， 由性质③，因此或，或， 若，由性质②可知，即或，矛盾； 若，由有，矛盾. 因此只能是. 又因为或，所以或. 若，则， 不满足，舍去. 当，则前四项为:0，0，0，1， 下面用数学归纳法证明： 当时，经验证命题成立，假设当时命题成立， 当时： 若，则，利用性质③： ，此时可得：； 否则，若，取可得：， 而由性质②可得：，与矛盾. 同理可得： ，有； ，有； ，又因为，有 即当时命题成立，证毕. 综上可得：，. (3)令，由性质③可知： ， 由于， 因此数列为数列. 由（2）可知: 若； ，， 因此，此时，，满足题意. 【点睛】本题属于数列中的“新定义问题”，“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 5．（2020·北京·高考真题）已知是无穷数列．给出两个性质： ①对于中任意两项，在中都存在一项，使； ②对于中任意项，在中都存在两项．使得． (Ⅰ)若，判断数列是否满足性质①，说明理由； (Ⅱ)若，判断数列是否同时满足性质①和性质②，说明理由； (Ⅲ)若是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：为等比数列. 【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)详解解析；(Ⅲ)证明详见解析. 【详解】(Ⅰ)不具有性质①； (Ⅱ)具有性质①； 具有性质②； (Ⅲ)解法一 首先，证明数列中的项同号，不妨设恒为正数： 显然，假设数列中存在负项，设， 第一种情况：若，即， 由①可知：存在，满足，存在，满足， 由可知，从而，与数列的单调性矛盾，假设不成立. 第二种情况：若，由①知存在实数，满足，由的定义可知：， 另一方面，，由数列的单调性可知：， 这与的定义矛盾，假设不成立. 同理可证得数列中的项恒为负数. 综上可得，数列中的项同号. 其次，证明： 利用性质②：取，此时， 由数列的单调性可知， 而，故， 此时必有，即， 最后，用数学归纳法证明数列为等比数列： 假设数列的前项成等比数列，不妨设， 其中，（的情况类似） 由①可得：存在整数，满足，且 （*） 由②得：存在，满足：，由数列的单调性可知：， 由可得： （**） 由（**）和（*）式可得：， 结合数列的单调性有：， 注意到均为整数，故， 代入（**）式，从而. 总上可得，数列的通项公式为：. 即数列为等比数列. 解法二： 假设数列中的项均为正数： 首先利用性质②：取，此时， 由数列的单调性可知， 而，故， 此时必有，即， 即成等比数列，不妨设， 然后利用性质①：取，则， 即数列中必然存在一项的值为，下面我们来证明， 否则，由数列的单调性可知， 在性质②中，取，则，从而， 与前面类似的可知则存在，满足， 若，则：，与假设矛盾； 若，则：，与假设矛盾； 若，则：，与数列的单调性矛盾； 即不存在满足题意的正整数，可见不成立，从而， 然后利用性质①：取，则数列中存在一项， 下面我们用反证法来证明， 否则，由数列的单调性可知， 在性质②中，取，则，从而， 与前面类似的可知则存在，满足， 即由②可知：， 若，则，与假设矛盾； 若，则，与假设矛盾； 若，由于为正整数，故，则，与矛盾； 综上可知，假设不成立，则. 同理可得：，从而数列为等比数列， 同理，当数列中的项均为负数时亦可证得数列为等比数列. 由推理过程易知数列中的项要么恒正要么恒负，不会同时出现正数和负数. 从而题中的结论得证，数列为等比数列. 【点睛】本题主要考查数列的综合运用，等比数列的证明，数列性质的应用，数学归纳法与推理方法、不等式的性质的综合运用等知识，意在考查学生的转化能力和推理能力. 题型二 新性质类 6．（2025·北京·模拟预测）若有限数列A：的各项均为正整数，且对，都有，则称数列A具有性质P.将数列A各项之和记为. (1)分别判断下列两个数列：1，6，2，4，3，：1，2，3，4，5，…，10，是否具有性质P，并说明理由. (2)若数列A具有性质P，且项数m为6，求的最小值. (3)对具有性质P且项数固定为m的数列A，记的最小值为.判断是否存在正整数使得.若存在，求出所有的m；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)数列不具有性质，数列具有性质，理由见详解 (2)9 (3)不存在，理由见详解 【详解】（1）对于数列 因为 因为存在两个连续三项的和相等，所以数列不具有性质； 对于数列 因为所有连续三项的和互不相等，所以数列具有性质. （2）因为数列的各项均为正整数，所以为了使最小，数列的项应尽可能小，从1开始尝试， 构造数列， ，要求互不相等， 当数列A的项全为1时，，所有连续三项的和为，不满足互不相等； 当数列A的项有5个1时，若有4个或5个1相邻，不满足互不相等，当有3个1相邻时，如， 不满足互不相等； 当数列A的项有4个1时，若有4个1相邻，不满足互不相等， 若有3个1相邻，如或或， 均不满足互不相等； 当数列A的项有3个1时，如或，满足题意； 此时数列的和最小，最小值为. （3）记 ，又因为为互不相等， 即，且所以，。由于要用到，我们先计算 ， 将按从小到大重新排序，不影响的值， 不妨设为， 要使最小，则相邻间的间隔最小，只能为1， 即 所以， 那么， （其中取） 所以， ①当时，。 这就是说，当时，的最小值不会为都不满足条件。 ②当时，由（2）的解析知不满足条件，所以不取$4，5，6$ ③当时， 这里，否则，不满足互不相等，又要最小，所以 这时，所以m不取7． 当时， 这里，否则，不满足互不相等，又要最小，所以 这时，所以m不取8． 同样可算得 当时，； 当时，； 当时，. 所以m不取9，10，11． 综上，满足条件的不存在. 7．（2025·北京·三模）已知整数数列的项数均为m（m>2），且同时满足以下两个性质： ①； ② 记 (1)若m=3，且，写出的值； (2)记其中表示集合A中元素的最大值. （i）若，，求的最大值； （ii）当时，若，求Q的最小值. 【答案】(1)，； (2)（i）2；（ii）30. 【详解】（1）由题意可得，， 所以. （2）（i）由②可得，两个数列均值相等，则要使越大，则可考虑一组数据更集中， 一组数据更分散，作为极端情况来考虑，此时要使取到最大值，对应极端情况，取数列为1，3，5；取数列为2，3，4， 则， 下证：的最大值为2： 法1：（反证法）假设，则，不妨设， 若： 因为，所以， 则，与性质②矛盾，舍去；若： 因为，所以，可得 则，与性质②矛盾，舍去； 若： 因为，所以， 则，与性质②矛盾，舍去． 所以，同理可得，所以. 取数列为1，3，5；取数列为2，3，4， 则成立，所以的最大值为2． 法2：（一般性证明）设，不妨设， 则， 所以，（7分） 取数列为1，3，5；取数列为2，3，4， 则成立，所以的最大值为2． 法3：（枚举法） 取为1，2，3，则只能为1，2，3，此时； 取为1，2，4，则只能为1，2，4，此时； 取为1，2，5，则可能为1，2，5，也可能为1，3，4，此时或2； 取为1，3，4，则可能为1，2，5，也可能为1，3，4，此时或2； 取为1，3，5，则可能为1，3，5，也可能为2，3，4，此时或2； 取为1，4，5，则可能为1，4，5，也可能为2，3，5，此时或2； 取为2，3，4，则可能为2，3，4，也可能为1，3，5，此时或2； 取为2，3，5，则可能为1，4，5，也可能为2，3，5，此时或2； 取为2，4，5，则只能为2，4，5，此时； 取为3，4，5，则只能为3，4，5，此时． 综上，的最大值为2． （ii）考虑极端情况，显然， 若为偶数，取为， 取为 则 解得成立； 若为奇数，取为， 取为 则 解得，与为奇数矛盾，舍去， 所以的最小值为30， 当为为11，12，13，14，15，16，17，18，19，20时取到． 证明： 记， 则， ，设 则有，其中分别表示集合的元素个数 由（i）可得， 所以（＊） 又因为，所以，进一步有， 将代入（＊）中可得 ， 再次代入（＊）中可得，解得， 另一方面，当为为11，12，13，14，15，16，17，18，19，20时． 所以的最小值为30． 8．（2025·北京东城·一模）已知有限数列满足.对于给定的，若中存在项满足，则称有项递增子列；若中存在项满足，则称有项递减子列.当既有项递增子列又有项递减子列时，称具有性质. (1)判断下列数列是否具有性质； ①； ②. (2)若数列中有，证明：数列不具有性质； (3)当数列具有性质时，若中任意连续的项中都包含项递增子列，求的最大值. 【答案】(1)数列①具有性质，数列②不具有性质 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）数列①：具有性质；数列②：不具有性质.理由如下： 对数列①，记该数列为， 该数列有项递增子列：， 该数列有项递减子列：，故数列①具有性质； 对于数列②，记该数列为， 该数列有项递增子列：，该数列没有项递减子列， 故数列②不具有性质. （2）假设数列具有性质，则数列中存在项递增的数列和项递减数列， 因为，所以为，为， 所以对任意的，在中至少存在一项， 因为中有项，所以存在在中恰出现一次，不妨记为， 记，则必有， 因为递增，递减， 所以，数列中排在前面的项至少有，共项， 排在后面的项至少有，共项， 因为数列中有项，所以是第项，即. 这与题设矛盾，所以假设不成立，即数列不具有性质. （3）当数列具有性质时， 记数列的项递增子列为为和项递减子列为， 由（2）知，数列中恰有一项既是的项，也是的项， 记，所以，， 所以数列的前项由组成， 因为， 所以项数最多的递增子列只能是或， 所以递增子列的项数最多为， 数列的后项由组成， 所以项数最多的递增子列是或， 所以递增子列的项数最多为，所以，， 因为，所以 当为奇数，时，有最大值，所以， 构造数列， 该数列具有性质，且满足任意连续的项中，都包含项的递增子列； 当为偶数，时，有最大值，所以， 构造数列， 该数列具有性质，且满足任意连续的项中，都包含项的递增子列， 综上所述，. 9．（2025·北京门头沟·一模）已知有限数列，其中，.在中选取若干项按照一定次序排列得到的数列称为的一个子列，对某一给定正整数，若对任意的，均存在的相应子列，使得该子列的各项之和为，则称具有性质. (1)判断：，，，，，，是否具有性质？说明理由； (2)若，是否存在具有性质？若存在，写出一个，若不存在，说明理由； (3)若，且存在具有性质，求的取值范围. 【答案】(1)具有，理由见解析； (2)不存在，理由见解析； (3). 【详解】（1）根据定义知取，有； 取，有， 取，有， 即对任意，都存在的相应子列，使得该子列的各项之和为， 所以：，，，，，，具有性质； （2）不能，理由如下： 假设，具有性质， 因为，所以M的任意四项和小于4， 所以， 则对于M的任意四项子列S，不妨设， 有， 又具有性质，，所以M的任意三项和小于3， 故不存在的子列其各项和为3，与具有性质矛盾， 所以时，不存在具有性质； （3）由题可知，时，又，所以， 由（2）道理相同可知，， 取， 因为， ，， 所以具有性质， 综上. 10．（24-25高三下·北京朝阳·阶段练习）已知数集具有性质:对任意的 ，，使得成立. (1)分别判断数集与是否具有性质，并说明理由; (2)求证：; (3)若，求数集中所有元素的和的最小值. 【答案】(1)数集不具有性质，数集具有性质，理由见解析 (2)证明见及解析 (3) 【详解】（1）∵无法表示，∴数集不具有性质. ∵，，，，∴数集具有性质． （2）∵集合具有性质即对任意的，，使得成立， 又，， ∴，， ，， ∴， 即，，，， 累加得， 化简得． （3）最小值为． 首先注意到，根据性质，得到， 所以数集的元素都是整数， 构造或者，这两个集合具有性质，此时元素和为．下面证明是最小的和． 假设数集，满足最小， 第一步：首先说明集合中至少有个元素： 由（）可知，，，，又， ∴，，，，， ∴． 第二步：证明，， 若，设， ∵，为了使最小， 在集合中一定不含有元素，使得，从而； 若，根据性质，对，有，，使得，显然，∴， 此时集合中至少有个不同于，，的元素，从而，矛盾， ∴，且． 同理可证： ． 至此，我们得到，， 根据性质，有，，使得，我们需要考虑如下几种情形： ①，，此时集合中至少还需要一个大于等于的元素，才能得到元素，则； ②，，此时集合中至少还需要一个大于的元素，才能得到元素，则； ③，，此时集合，； ④，，此时集合，． 综上所述，若，则数集中所有元素的和的最小值是． 11．（22-23高三下·北京·开学考试）若无穷数列满足：只要，必有，则称数列具有性质． (1)若数列具有性质，且，，求； (2)若数列具有性质，且，，求证：； (3)设数列是无穷数列，已知.求证：“数列为常数列”是“对任意，都具有性质”的充要条件． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）数列具有性质， 则由，可得，进而， 所以由，可得. 故； （2）法一：因为，，且数列具有性质， 所以，进而， 因此，依此类推可得，，，， 所以有任意，都有， 又由已知，得，且，故， 所以得证； 法二：由数列具有性质，只要，则， 即， 则有，， ，， 令，则有， 故得证. （3）充分性：当为常数列时，， 对于任意给定的，只要，则， 则有，即成立. 故“是常数列”是“对任意，都具有性质”的充分条件； 必要性：由，则. 设，又， 当时，则有，取，； 当时，则有，取，； 故由零点存在性定理可知，存在，使，即， 若对任意，都具有性质， 不妨取，则， 由性质，依此类推，则有，即数列是常数列. 由，可得为常数， 故数列为常数列. 所以“是常数列”是“对任意，都具有性质”的必要条件； 综上所述，“数列为常数列”是“对任意，都具有性质”的充要条件. 【点睛】关键点点睛：题目属数列新定义题型，其关键点是性质的正确理解与灵活应用，第（2）问等量关系的证明关键在于从条件入手，两个角度使用性质，寻找到两个角度探求的公共项从而得证；第（3）问若数列满足性质，探索其必要条件，关键在于构造函数证明的存在性，再次应用性质证明数列是常数列即可. 12．（24-25高三上·北京·阶段练习）数列有100项，，对任意，存在，，若与前项中某一项相等，则称具有性质. (1)若，，求可能的值； (2)数列中不存在具有性质的项，求证：是等差数列； (3)若中恰有三项具有性质，这三项和为，使用，，表示. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）数列有100项，， 对任意，存在，， 所以若，，则当时，， 当时，，则，或， 当时，，则，或， 或，或， 所以可能的值： （2），，， 当时，，则满足了性质P，矛盾， 当时，，不矛盾，所以， 以此类推，， 当时，分别等于、、、……、，则满足了性质P，矛盾. 所以只能，即，不矛盾，即数列是等差数列， （3）将数列中具有性质P的三项去掉，得到一个新的数列，， 且中没有满足性质P的项， 由（2）可知，数列是等差数列， 所以， 又因为数列中去掉的三项和为c，所以； 【点睛】方法点睛：（1）理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论. （2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况. （3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 题型三 最值类 13．（2025·北京丰台·二模）设数列是的一个排列．由中连续项组成的集合称作“的长为的子列集”，其中．任取不大于的正整数，当时，若数列的任意长为的子列集和数列的任意长为的子列集，都有，则称数列为“好数列”． (1)判断下列数列是否为“好数列”： ①1，3，5，2，4；②1，4，6，2，5，3． (2)证明：由的排列构成的所有“好数列”中，存在首项不超过的“好数列”（表示不超过的最大整数）； (3)若数列为“好数列”，求的最大值． 【答案】(1)①是“好数列”；②不是“好数列” (2)证明见解析 (3)7 【详解】（1）对于①：检验可知①是“好数列”； 对于②：例如，取长为2的子列集和长为3的子列集， 此时，所以②不是“好数列”． （2）若是“好数列”，可知存在． 令与， 于是集合和也分别是数列和数列的子列集， 又存在，得． 因此． 所以，数列也是“好数列”． 设与中较小者为，则且， 因此，即，于是， 所以存在首项不超过的“好数列”． （3）的最大值为7． ①先考虑． 假设存在“好数列”．由（2）可知，不妨设． 若，则由长为的子列集和与集合的交集非空，知， 即此“好数列”为：． 又，长为的子列集和与集合的交集非空． 所以且，与矛盾． 若，则由长为的子列集和与集合的交集非空，知； 又与集合的交集非空，知，矛盾； ②再考虑．假设存在“好数列”． 由（2）可知，不妨设． 若，则由长为的子列集和 与集合的交集非空，知． 又，长为的子列集和与集合的交集非空． 所以且，与矛盾． 若，则由长为的子列集和 与集合的交集非空，知； 又与集合的交集非空，知， 此时，长为的子列集，矛盾． 所以，当时，不存在“好数列”． 又数列1，4，6，2，5，3，7是“好数列”． 综上，的最大值为7． 14．（2025·北京东城·二模）已知有穷整数数列，满足.记集合为，或，或，.若数列，则称数列是的“恒元”. (1)已知数列，请写出中所有满足的数列； (2)当时，是否存在数列满足，且是的“恒元”?若存在，请写出一个满足条件的数列；若不存在，请说明理由； (3)当数列是的“恒元”时，若是个连续正整数的一个排列，求数列的项数的最大值. 【答案】(1)；；；. (2)不存在，理由见解析； (3)7 【详解】（1）因为数列，所以中的数列满足．因为， 所以中所有满足的数列有 ；；；. （2）假设存在满足条件的数列， 则满足，有，或，或． 所以与同为奇数或同为偶数． 所以是偶数． 所以是偶数． 又是奇数，矛盾． 所以假设不成立，不存在满足条件的数列． （3）当数列是的“恒元”时， 因为数列中，是个连续正整数的一个排列， 所以当时，有，且至多一项为1． 不妨记，所以，且． 当时，. 当时，有. 此时，或． 又，所以，，或，． ①当时，有，或，所以，或者． 当时，有，，，， 所以，，. 因为，，所以．所以． 当时，有，，，，所以（舍）． ②当时，有，或，所以，或者． 当时，有，，，， 所以，，, 所以． 当时，有，，，， 所以．所以（舍）． 又由于数列和满足条件． 综上所述，． 15．（2025·北京石景山·一模）已知有穷数列：，，…，经过一次M变换后得到数列：，，…，，． 其中，表示a，b中的最小者．记数列A的所有项之和为． (1)若：1，3，2，4，写出数列并求； (2)若：，，…，是1，2，3，…，n的一个排列，例如，当时，4，1，3，2可以为1，2，3，4的一个排列． （i）当时，求的最小值； （ii）若经过一次M变换后得到数列，求的最小值． 【答案】(1)：1，2，2，1；； (2)（i）9；（ii） 【详解】（1）由题意，，即1，2，2，1． 所以． （2）（i）由题意知，中元素两两互异，故中的任一元素， 如，在中至多在和中出现两次（规定，）， 且若出现两次则这两个数处于邻位（和也视为邻位）． 所以的所有项中至多有两个1和两个2．所以． 当为1，4，2，5，3时等号能取到，所以的最小值为9． （ii）同（i）可知，中的任一元素若在中仅出现一次，则在中至多出现两次； 若在中出现两次，由于这两个数处于邻位，故在中至多出现三次． ①若，则， 当满足时等号能取到． ②若，则． 当满足时等号能取到． ③若，则． 当满足时等号能取到． 综上，． 16．（24-25高三上·北京海淀·期末）已知为各项均为整数的无穷递增数列，且. 对于中的任意一项 ，在中都存在两项 ，使得或. (1)若，，写出的所有可能值； (2)若. ①当时，求的最大值； ②当时，求的最小值. 【答案】(1)的所有可能值为7，9，15，17． (2)①1013；②的最小值为7. 【详解】（1）或， 当时，因为，符合条件； 则或或或， 又因为为各项均为整数的无穷递增数列，则或. 当时， 则或或或， 当时，，符合题意， 当时，，符合题意， 当或27，此时不满足数列为递增数列，故舍去， 综上，的所有可能值为7，9，15，17． （2）①的最大值为1013，理由如下： （i）当时符合题意且． （ii）假设中存在偶数，且首个偶数为， 因为为递增数列，所以存在，使得或，进而有． 所以为奇数，此时均不为偶数，与为偶数矛盾． 所以中各项均为正奇数， 又因为为递增数列，所以， 即． 综上的最大值为1013． ②的最小值为7，理由如下： （i）首先证明时存在符合条件的： 当前7项为$1，2，3，9，27，45，2025$时， 且可构造的后续项使其符合题意（如可取． （ii）其次证明． 由题，当时，， 所以， 进而有， 所以， 所以． （iii）最后证明． 假设存在符合题意且， 因为，所以当时，， 所以存在，有，从而， 所以，所以，从而，且因为， 所以当时，， 所以存在，有，从而为整数， 又因为，所以为5的倍数，与矛盾． 综上有的最小值为7． 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是分为两部分证明，第一部分证明满足题意，再证明即可. 17．（24-25高三上·北京·阶段练习）对于有穷正整数列，记，若数列满足：，使得，则称为平滑数列. (1)已知数列，判断是否为平滑数列，并说明理由； (2)若平滑数列是公差为的等差数列，求的最大值； (3)若平滑数列的项数为5，求的最大值. 【答案】(1)是，不是，理由见解析 (2)2 (3)121 【详解】（1）是平滑数列，不是平滑数列. 理由： 对于，又.符合平滑数列的定义. 对于，考虑到， 因此9无法被表示. （2）的最大值为2. 先证.假设：因为，于是. 则，即. 因为，于是. 所以 ， 可以得到，与假设矛盾，因此假设不成立，即. 再证可以取到2：构造数列.以下用归纳法证明对于任意， 该数列是平滑数列.根据等差数列的性质，有. 首先，由（1）知为平滑数列. 假设为平滑数列，即， 使得 那么对于，由归纳假设，此时若令，可以表示中的任意数； 若令，可以表示中的任意数. 因为时，，所以上述两集合包含了从1到中的所有自然数. 所以为平滑数列.因此合题意. 所以的最大值为2. （3）的最大值为121.先证. 对于平滑数列，对于， 考虑的所有可能情况，共有种. 当时，此时和为零，于是非零的情况至多有242种. 又对于每一组，都可取与之对应， 此时， 因此和为正数的情况至多有种. 因此. 再证可取到121. 构造数列.由于及上面的论证， 只需证明对于不同的各不相同. ，设，有， 若满足， 即. 若，此时不是3的倍数，但是3的倍数，矛盾.因此； 若，此时不是9的倍数，但是9的倍数，矛盾.因此； 同理可证均等于零. 因此若，必有.得证. 【点睛】方法点睛：求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及运算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解.对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性.抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析；计算特性是将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解. 18．（2025·北京西城·一模）如图，设是由个实数组成的行列的数表，其中表示位于第行第列的实数，且满足与均是公差不为的等差数列． … … … … 若根据条件，能求出数表中所有的数，则称能被确定． (1)已知，分别根据下列条件，直接判断数表能否被其确定： 条件“已知”； 条件“已知”． (2)设条件“任意给定数表中的个数”，能被确定，证明：的最小值为； (3)设条件“已知集合或其中中的任意个元素”，求的最小值，使得能被确定． 【答案】(1)数表不能被确定，数表能被确定 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）数表不能被确定；数表能被确定． 对于条件，假设数表中每行、每列的公差都相等，均为， 则，，， 则， 、均无法确定，故数表不能被确定； 对于条件，因为、确定，可以根据确定，则第二行可以全部确定， 对于第二列，由于确定，结合可确定第二列的公差，进而可求出，则第二列可以全部确定， 对于第三行，由于确定了，结合可求出第三行的公差，由此可确定，则第三行可以全部确定， 对于第一列，由于确定了、，可以求出第一列的公差，由此可确定，则第一列可以全部确定， 综上所述，数表可由条件确定. （2）对于一个公差为的等差数列，若知其中两项与， 便可根据，求出该等差数列中的每一项． 故对于数表中的任意一行（或列），若知道其中的两个数，便可利用条件得到该行（或列）中的所有数． 一方面，若知这个数，则无法求出，故不能得出数表中所有的数， 所以． 另一方面，若知数表中的任意个数，则必存在表中的两行，且这两行中至少有两个数已知， 于是数表中这两行的数都能被求出，即数表中每一列都至少有两个数已知， 所以数表中所有的数都能求出，即能被确定． 综上，的最小值为． （3）当时，若知中的个数，则不能求出中所有的数． 当时，已知与中的任意个数， 则必存在两个数在中位于同一行（记为第行），从而可求出这一行中的所有数． 因为与中至多有两个数在同一行， 所以除去第行的两个数外，余下已知的个数必在其余的行中． 当时，通过列举可知：余下已知的2个数不在同一列中（所在列分别记为第列和第列）； 当时，， 因为在与中至多有两个数在同一列， 所以至少有两列（记为第列和第列）中含有这已知的数中的数． 又因为第行的数均已得到， 所以在第列与第列中均至少知道两个数，故这两列中所有的数都可求出， 于是数表中每一行至少有两个数均已得到，从而可求出数表中所有的数． 综上，的最小值为． 题型四 数列的变换与操作 19．（2025·北京·二模）已知项数列，对于给定，定义变换：将数列中的项替换为，其余项均保持不变，记得到的新数列为．其中，当时，；当时，；当时，．若将数列再进行上述变换，记得到的新数列为，重复操作，得到数列，并称为第一次变换，为第二次变换，⋯． (1)若数列：，求数列和； (2)设为递增数列，对进行有限次变换后得到数列．证明：为递增数列； (3)当第次变换前后两个数列的首项乘积为负数时，令；否则．对于给定的项数列，进行2025次变换，证明：． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）解：由题意得，数列，数列， 故数列． （2）证明：若对：进行变换，即将替换为，其余项不变， 由，得，故仍为递增数列； 若对进行变换，即将替换为，其余项不变， 由，很，故仍为递增数列： 若对进行变换，即将替换为，其余项不变， 由，得，故仍为递增数列． 综上，对于任意，对进行变换后仍为递增数列． 以此类推，知对进行有限次变换后，所得的数列为递增数列． （3）解：记数列：中去除等于0的项后得到的数列为（其余项相对位置不变，下同），中去除为0的项后得到的数列为． 设中相邻两项乘积为负数的有对，中相邻两项乘积为负数的有对， 则． 如果对进行变换，即将替换为， 此时若与同号，则数列中相邻两项乘积为负数的仍有对，即； 若与异号，则或； 若与中有0，则一定不与异号，故． 如果对进行变换，即将替换为， 此时若与同号，则； 若与异号，有以下三种情况： ①若与同号，显然也与异号，则； ②若与异号，则； ③若与中有0，只有一个0， 不妨设，则与异号，故，或，或． 若与同为0，则； 若，，不妨设，则与同号，故； 若，，不妨设，则与异号，故或； 对进行变换与进行变换类似． 综上，对进行一次变换后，． 以此类推，对进行2025次变换，每一次变换后所得数列中去除等于0的项后相邻两项乘积为负数的对数比变换前的并不会增大，且． 在此之中，若某一次变换使得第一项的正负号发生改变， 则该变换一定是变换，且变换之前数列的第一项与第二项异号， 故变换之后所得数列中去除等于0的项后相邻两项乘积为负数的对数比变换前减少1对． 所以对进行2025次变换时，其第一项的正负号最多发生次改变， 即． 20．（2025·北京平谷·一模）对于数列，若满足，则称数列为“数列”.定义变换，若，将变成0，1，若，将变成1，0，得到新的“数列”.设是“数列”，令. (1)若数列，求数列； (2)若数列共有10项，则数列中连续两项相等的数对至多有多少对？请说明理由； (3)若为0，1，记数列中连续两项都是0的数对个数为.求关于的表达式. 【答案】(1) (2)至少有19对，理由见解析 (3)答案见解析 【详解】（1）由变换的定义可得. （2）数列中连续两项相等的数对至多有19对. 证明：对于任意一个“数列”中每一个1在中对应连续四项， 在中每一个0在中对应的连续四项为， 因此，共有10项的“数列”中的每一个项在中都会对应一个连续相等的数对， 在中若出现连续两项的数对最多， 对于中的每一个第项和第项之间产生一个连续相等的数对， 所以中至多有19对连续相等的数对. 比如：取，则 . （3）设中有个0，1数对， 中的“0，0”数对只能由中的“0，1”数对得到，所以， 中的“0，1”数对有两个产生途径：①由中的1得到；②由中“0，0”得到， 由变换的定义及可得中0和1的个数总相等，且共有个. 所以，得， 由可得， 所以， 当时， 若为偶数，． 上述各式相加可得， 经检验，时，也满足． 若为奇数，． 上述各式相加可得， 经检验，时，也满足． 所以． 【点睛】方法点睛：学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质. 21．（2025·北京海淀·一模）设正整数，对于数列，定义变换，将数列变换成数列：．已知数列满足．记． (1)若：，写出数列，； (2)若为奇数且不是常数列，求证：对任意正整数，都不是常数列； (3)求证：当且仅当时，对任意，都存在正整数，使得为常数列． 【答案】(1)； (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）由题意可得；. （2）证明：设，其中． 假设存在正整数，使得是常数列，由不是常数列， 不妨设不为常数列且为常数列， 记，则． 令 当时，因为，且，所以． 故． 此时为常数列，矛盾． 另法： ①若，则， 有 此时为常数列，矛盾． ②若，则， 有， 矛盾． 综上，对于任意正整数，都不是常数列. （3）首先证明，若，其中， 则存在项的数列，使得对任意的正整数都不是常数列． 证明：构造项的数列，其中， 构造项的数列 对任意的正整数，设，则 由于不是常数列，故不是常数列． 其次证明：若，其中，对任意，都存在正整数是常数列． 证明：假设存在，其中，使得存在数列， 使得对任意的正整数都不是常数列，不妨设的最小值为． 情形一：，则，记，则为常数列，矛盾． 情形二：，对任意的数列，则 记， 定义数列，其中． 则． 则依此类推，对任意正整数，记， 存在正整数，使得为常数列，记，则数列均为常数列， 设，则的各项均为．即时，是常数列，矛盾． 综上，当且仅当时，对任意，都存在正整数，使得为常数列． 22．已知项数列，满足有.若变换满足，有，且有，则称数列是数列的一个排列.，记，如果是满足的最小正整数，称数列存在阶逆序排列，称是的阶逆序变换. (1)已知数列，数列，求： (2)证明：对于项数列，不存在阶逆序变换： (3)若项数列存在阶逆序变换，求的最小值. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）由于，，故，，，. 所以，即. 所以，即. 所以，即. 故，. （2）对数列的任意变换， ①若存在，有，则， 则不是的阶逆序变换； ②若对，由，，，， 则，，，， 所以，和是相同的数列. 若是的逆序排列，则也是的逆序排列，所以，不是阶逆序变换； ③若，有，，， 则，， 所以，不是的阶逆序变换， 综上所述，对于项数列，不存在阶逆序变换. （3）由（2）知阶数列不存在阶逆序变换， 对于项数列、、， （i）若，则，所以，变换不是的阶逆序变换； （ii）若， 当时，有，则，所以，变换不是的阶逆序变换； 当时，有，则， 所以，变换不是的阶逆序变换； （iii）若，同（ii）可知，变换不是的阶逆序变换； 所以，项数列不存在阶逆序变换； 对于项数列、、、、， 若存在阶逆序变换，则，，，，， （i）若，则对于数列、、、、，和上述的变换， 有，，，， 所以，这项数列、、、存在阶逆序变换，与（2）的结论矛盾； （ii）若，因为，则存在、，有，， 此时，，与是阶逆序变换矛盾， 所以，项数列不存在阶逆序变换. 对于项数列、、、、、，存在变换，使得、、、、、， 则、、、、、，、、、、、， 所以，项数列存在阶逆序变换. 综上所述，的最小值为. 【点睛】关键点点睛：解决数列中新定义问题的关键是准确理解新定义的实质，紧扣新定义进行推理论证，把其转化为我们熟知的基本运算． 题型五 数学归纳法证明 23．（2025·北京·模拟预测）设是正整数，数列满足:， 且其任意两项互不相同. 对满足条件的数列，若，定义为，对正整数，定义为. (1)若，数列，直接写出； (2)证明:对任意满足条件的数列，都存在正整数，使得的首项为1； (3)若. 是否存在满足条件的数列，使得的首项不为1？请说明理由. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3)不存在，理由见解析 【详解】（1）数列，由题意得数列；； ；. （2）下面用数学归纳法证明. 证明：①当时，数列或满足条件； 显然，对数列：经过任意（为正整数）次变换均为数列本身，即首项恒为； 对数列，有，故经过次变换，的首项为， 故当时，存在正整数，使得的首项为； ②假设（）时， 对数列，其中， 都存在正整数，使得的首项为1， 为便于理解，下面叙述为：经过有限次变换，可使首项为； 自然经过有限次变换，也可使首项变为数列的任意项，. 当时，对，其中， （i）若，则是数列的前项中的项，，且， 由题意，的首项也不等于，且经过任意次变换后首项均不为， 即变换仅对前项产生顺序调整，相当于对数列的变换， 故由归纳假设可知，经过有限次变换，可使首项为； (ii)若，设，，， 由题意，经过任意变换，只要没有变换至首项位置，则相当于对数列的变换， 则由归纳假设，经过有限次（设为次）变换，可使首项为， 当时，即，则的首项为，即经过次变换，可使首项为； 当时，即，则的最后一项变换为，则转化为新数列满足，即（i）的情况，故经过有限次变换，也可使首项为； 故对数列，都存在正整数，使得的首项为1； 综合①②可知，对任意满足条件的数列，都存在正整数，使得的首项为1. （3）不存在满足条件的数列，使得的首项不为1. 原因如下： 以上结论可转化为：任意数列，的首项均为. 由变换的可逆性，又可转化为：任意首项为的数列，均可经过不多于步的逆向变换，可转化为任意原数列. 不妨设原数列为. 首先，定义逆变换：设是正整数，对数列， 若存在，，定义逆变换为， 对正整数，定义为. 由（2）可知，任意数列，要使首项为，当数列中任意项，时，数列才可能取到最大变换次数. 故结论还可转化为，数列，可经过不多于步的逆变换，可使数列中任意项均不在原位置.下面用数学归纳法证明该结论. ①当时，数列，经过一次逆变换得. 由， ②假设（）时，数列可经过不多于步的逆变换，可使数列中任意项均不在原位置. 则当时，对数列， 先将前项即数列：，作逆变换， 由归纳假设，可经过不多于步的逆变换，使数列的前项均不在原位置，记为； 再作一次逆变换可得数列，其中第项， （假设，） 故后面的变换只与前项有关，可经过不多于步的逆变换，使数列的前项均不在原位置， 故共不超过步逆变换. 24．（2025·北京顺义·一模）已知数列：各项为正整数.对任意正整数，定义：，，其中表示有限集中的元素个数，规定. (1)对于数列：1，3，2，2，写出，，，的值； (2)若数列：满足. （i）若，令，当时，求； （ii）求证：. 【答案】(1)，，，； (2)（i），其中； 【详解】（1），，，； （2）（i）令，则，根据的定义，可知数列中有两项等于1， 根据数列的增减性质，可得；令，则， 可知数列中有四项小于等于2，可得， 以此类推可得得前项为， ，其中. （ii）法一：用数学归纳法证明对成立，（**） 当时，令，，， （**）式左边=， （**）式右边=， （**）式左边=（**）式右边，（**）式对成立； 假设时，（**）式成立， 即① 当时，（**）式左边= 设，令， 则,，……，，， （**）式左边=， （**）式右边= 根据①可知（**）式对成立，由数学归纳法原理可知（**）成立. （法二）设数列中等于的项分别有个，则 ，，……，，， 从而,，……，， 注意到 等式成立. 25．已知为有穷正整数数列，，且．从中选取第项，第项，，第项，称数列，为的长度为的子列．规定：数列的任意一项都是的长度为1的子列．若对于任意的正整数，数列存在长度为的子列，使得，则称数列为全覆盖数列． (1)判断数列和数列是否为全覆盖数列； (2)在数列中，若，求证：当时，； (3)若数列满足：，且当时，，求证：数列为全覆盖数列． 【答案】(1)不是全覆盖数列，是全覆盖数列 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）对于，有，但该数列不存在和为的子列，故不是全覆盖数列； 对于，有，由 ； . 可知是全覆盖数列. （2）由题知，.若不成立，则，那么与假设矛盾. 因为，即.① 又， 所以. 所以. 由①②得，. 所以. 当时，， 得，命题成立. 此时，当时，成立. 当时，得. 同理可得，. 归纳可得，当时，. 综上可得，命题成立. （3）下面证明，当时，对于任意的， 存在子列，其中，使得. （i）当时，，所以当时，有. 当时，则. 所以.对于任意，命题成立. 或.对于任意，命题成立. （ii）假设当时，命题成立. 即对于任意的正整数，存在子列， 其中，使得. 则当时，对于任意的正整数. ①当正整数时，由假设成立. 存在子列，其中， 使得. ②当正整数时， 因为，所以.若，则此时成立. 若，则. 由假设，存在子列，其中， 使得 整理得， 此时.即命题成立. 综上，对于任意的，存在子列， 其中，使. 所以数列为全覆盖数列. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于第3小问中数学归纳法的使用. 26．已知无穷数列是首项为1，各项均为正整数的递增数列，集合．若对于集合A中的元素k，数列中存在不相同的项，使得，则称数列具有性质，记集合数列具有性质． (1)若数列的通项公式为写出集合A与集合B； (2)若集合A与集合B都是非空集合，且集合A中的最小元素为t，集合B中的最小元素为s，当时，证明：； (3)若满足，证明：． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）定义，由题意可知， 若数列的通项公式为，可知， 所以， 因为2只能写成，不合题意，即； ，符合题意，即； ，符合题意，即； ，符合题意，即； ，符合题意，即； ，符合题意，即； 所以. （2）因为，由题意可知：，且， 即， 因为，即存在不相同的项，使得 可知，所以. （3）因为， 令，可得，则，即， 即集合在内均不存在元素，此时我们认为集合在内的元素相同； （i）若集合A是空集，则B是空集，满足； （ⅱ）若集合A不是空集，集合A中的最小元素为t，可知， 由（2）可知：集合B存在的最小元素为s，且， 设存在，使得， 可知集合在内的元素相同, 可知，则， 因为，即，则， 可知， 且， 即集合在内的元素相同，可知集合在内的元素相同， 现证对任意，集合在内的元素相同， 当，可知集合在内的元素相同，成立； 假设，集合在内的元素相同， 可知集合在内的元素相同； 对于，因为，则， 若，则，可知， 可以认为集合在内的元素相同； 若，则， 若存在元素不属于集合C， 则元素属于集合A，且，可知元素属于集合B， 即数列中存在不相同的项，使得， 则，可知， 可知， 即集合在内的元素相同； 综上所述：对任意，集合在内的元素相同， 所以集合在内的元素相同，结合n的任意性，可知； 综上所述：. 【点睛】方法点睛：对于新定义问题，要充分理解定义，并把新定义问题转化为已经学过的知识，常常利用数学归纳法分析证明. 题型六 数列与集合 27．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知无穷数列，各项都是正整数，定义集合：，； (1)已知，，直接写出集合； (2)若，，，求证：中有无穷多个1； (3)若，均为等差数列，且，均为无限集，求证：． 【答案】(1); (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）对于集合，已知，根据的定义当且仅当，当时，. 要使，即，解得.因为n是正整数， 所以都满足. 所以 对于集合，已知，. 根据的定义当且仅当 当时，.要使，即，解得    . 当时，，满足 当时，,满足 当时，，满足 所以 （2）假设中只有有限个1.因为，所以. 由于，则存在N，当时，或者恒成立. 不妨设，那么，即，这与各项都是正整数矛盾.所以假设不成立，即中有无穷多个1. （3）设. 因为是无限集，对于任意大的n，存在j使得， 即，整理得对任意大的n成立，所以.同理，因为是无限集，对于任意大的n，存在j使得， 即，整理得对任意大的n成立，.所以. 设.对于任意，存在j使得， 即，移项得. 对于这个n，也存在k使得，即， 移项得，所以，即. 同理可证，所以. 【点睛】关键点点睛：本题考查数列与集合新定义，读懂题目意思是关键.第2问想到用反证法就可解决，第3问借助集合，研究集合与集合之间的包含关系，进而得到 28．（24-25高三下·北京·阶段练习）已知m为大于0的偶数，集合．给定项数为的有限数列，对于集合中任意元素，记． (1)若，数列，写出的所有可能值． (2)对于各项均为正数的数列，证明：存在，使得． (3)对于各项均为正数的数列和，证明：存在，使得同时成立． 注：表示中最大的数，表示中最小的数． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）当时，集合. 中的元素有以下几种情况： 当时，数列，根据，则. 当时，. 当时，. 当时，. 当时，. 当时，. 所以的所有可能值为. （2）记，， 对于集合中元素可采用天平法的思想构造， 将数列从大到小排序为， 对应的，按照从大到小的顺序交替分配，（因为为偶数，这种分配就可以完成）， 此时， 即存在使得. （3）对数列重新排列使得， 令， 易得， 对重排使得， 当为奇数时，对使用数学归纳法证明且， ①时，取，， ， ②，设，符合条件，时， 记， ， 由归纳假设， ， 令， 则，从而，， ， ， 若，则， ，令即可，同理若，则 ，令即可， 综上为奇数的情形得证. 若为偶数，令，其中， 则，使得，， 令， 则且满足，同时成立， 综上，为大于0的偶数时，存在使得同时成立 【点睛】方法点睛：1.求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解.2.对于新型数列，首先要了解数列的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将新定义的数列类比已经学习了的等比、等差数列求解.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解. 29．（24-25高三上·北京·阶段练习）有穷数列中，令，当时规定. (1)已知数列，写出所有的有序数对，且，使得； (2)已知整数列，为偶数.若 满足：当为奇数时，；当为偶数时，.求的最小值； (3)已知数列满足，定义集合.若且为非空集合，求证：. 【答案】(1)、、、 (2) (3)证明见解析 【详解】（1）为时，， 为时，， 为时，， 为时，， 故，且使得的有序数对有、、、； （2）由题意可得，， 又为整数，故，， 则， 同理可得， 即有， 同理可得，当时，有， 即当时，有， 当时，， 故 ； （3）对于数列，，不妨设， ①首先考虑的情况， 由于，，故，同理，，， 故. ②再考虑中有连续一段是连续的正整数的情况， 此时 , 因为，， 故这说明此连续的项的和为负. 同理，当含有多段的连续正整数的情况时，每段的和为负， 再由①中结论，可得. ③若在①②中，由于， 此时去掉前项，则可转化①②的情况，所以有. ④若，则， 所以此时有， 综上，结论成立. 【点睛】关键点点睛：本题最后一小问关键点在于将展开，从而得到证明与之间的项之和，，都为正数，即可得证. 题型七 存在性与构造性问题 30．（2025·北京海淀·三模）设是一个项数为的数列，其中每一项均为集合中的元素．定义数列如下：若，则，其中，当时，，当时，，，其中记． (1)①若数列，则______； ②若数列，则______． (2)对于给定的正整数，若正整数满足对任意，均有数列与为同一数列，则称为“阶好数”． （ⅰ）求最小的“3阶好数”． （ⅱ）求使得“阶好数”存在的的所有可能取值． 【答案】(1)；. (2)（ⅰ）3；（ⅱ）． 【详解】（1）①已知， 由，则；由，则；由，则，可得； 由，则；由，则；由，则，可得； 由，则；由，则；由，则，可得. ②已知， 由，则首项为，由，则，由，则，由，则，可得； 由，则，由，则，由，则，由，则，可得； 由，则首项为，由，则，由，则第三项为，由，则，可得. 由，则首项为，由，则，由，则第三项为，由，则，可得. （2）（ⅰ）法一： 根据（1）中的①可猜测：最小的“3阶好数”是3． 最小的“3阶好数”为3． 证明如下： 当时，记数列的第项为，其中，．其中． 若的三项互不相同，设，其中． 由于，故，，．所以． 同理，．此时与为同一数列，且均不与为同一数列．故． 若的三项中有且仅有两项相同，考虑到，不妨设．则；； 故与也是同一数列． 若的三项均相同，设，则由题意，依此类推与也是同一数列． 综上，最小的“3阶好数”是3． 法二： 最小的“3阶好教”为3 列举： 所有情况综合得出最小的“3阶好数”为3． （ⅱ）当为偶数时，考虑．则．故． 此时，不存在正整数，使得数列与为同一数列，故当为偶数时不存在“阶好数”． 当为奇数时，因为的每一项均为中的元素，所以数列至多有种不同可能． 故由抽屉原理，这个数列中一定至少存在两个相同数列． 即，对于任意，总存在，以及，使得与为同一数列． 下证：当时，若与为同一数列，则与为同一数列． 由题意，若，则，所以，即， 若，则，所以，即 所以总有． 如果与为同一数列，则有成立． 从而有成立． 所以 即 因为为奇数，且，所以有，所以． 又因为所有都是之间的数，所以一定有． 由题意，，如果，，则必有． 所以．依此类推，，有．即与为同一数列． 依此类推，可得与为同一数列，……，与为同一数列． 所以，对于任意均存在正整数，使得与为同一数列． 当取遍所有可能取值时，所有的最小公倍数即为“阶好数”． 综上，使得“阶好数”存在的的所有可能取值为． 31．（2025·北京通州·一模）已知数列（N是大于3的整数）为有穷数列，定义为“卷积核”数列满足： (1)若数列，卷积核，求数列B. (2)设，已知且，，若.求证：数列B中最大的项为，（表示a，b中的最大值）. (3)已知且不全为0，卷积核，是否存在数列A，使得数列B的任意一项均为0?若存在，请写出一个满足条件的数列A；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在，理由解析 【详解】（1）, , 所以数列 （2）方法一：依题意有 当时， 由 又则， 即当时，， 当时，记， 由 即当时，， 综上可得：数列B中最大的项为. 方法二：由已知可得. 当时，， 因为>0, 所以 当时，， 因为<0, 所以 因为 所以 因为 所以 所以 所以当时，, 所以数列中最大的项为或或. 因为 所以 因为 所以 所以. （与无法比较大小，假设，当时数列B的最大值为， 当时，数列B的最大值为；当时，数列B的最大值为.） 综上，数列中最大的项为或. （3）方法一：当为偶数时，取数列的通项， 此时对,有， 故当为偶数时，存在数列，使得数列的各项为0， 当为奇数时，设且， 下面用反证法证明不存在数列，使得数列的各项为0， 假设存在数列，使得数列的各项为0.为了更好地描述，我们记中不存在的， 则对任意的，有， 上式相减可得，即数列中的奇偶项分别为等差数列， 设， 且有, 进而 又由知， 故， 整理可得进而代入可得， 故， 则， 取，有，即， 故， 因为，故， 由知,故只能为的常数列，不符合题意，假设不成立， 综上，当为偶数时，存在数列:符合题意. 方法二：①当N为偶数时，存在数列A使得数列B的任意一项均为0， 此时可令 ②当N为奇数时，不存在数列A使得数列B的任意一项均为0，证明如下： 假设存在数列A使得数列B的任意一项均为0 因为 所以，，，…,，. 所以，， ，，. 所以, 所以, 所以 所以 因为 所以. 与不全为0矛盾. 所以假设不成立. 32．若有穷自然数数列：满足如下两个性质，则称为数列： ①，其中，表示，这个数中最大的数； ②，其中，表示，这个数中最小的数. (1)判断：2，4，6，7，10是否为数列，说明理由； (2)若：是数列，且，，成等比数列，求； (3)证明：对任意数列：，存在实数，使得.（表示不超过的最大整数） 【答案】(1)不是，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【详解】（1）：2，4，6，7，10不是数列，理由如下： 因为， 所以， 但，所以不满足性质①，故不是数列； （2）根据：是数列可得：满足： 或，或， ①若，因为，，成等比数列，所以， 又，所以，所以，得， ②若，因为，，成等比数列，所以， 当时，，解得，与为自然数矛盾，舍去； 当时，，解得，与为自然数矛盾，舍去； 所以， 由以及， 得，所以， 由以及， 得， 由以及， 可知，所以； （3）当时，根据数列的定义，可知或, 若，取，则，结论成立， 若，取，则，结论成立， 假设存在自然数，存在数列使得结论不成立，设这样的的最小值为， 即存在数列对任意实数，存在，使得， 根据假设，数列的前项组成的数列是一个数列， 从而存在实数，使得，， 即， 令，则， 令 ，则， ①若，根据的定义，存在，使得， 又， 则且， 所以， ②若，根据的定义，存在，使得， 又， 则，且， 所以， 所以， 令，则， 即， 所以， 所以， 即 ，与假设矛盾， 综上，结论成立. 【点睛】关键点点睛：本题第三问，假设存在自然数，存在数列使得结论不成立，设这样的的最小值为，即存在数列对任意实数，存在，使得，利用反证法达到解决问题的目的. 题型八 数列中的组合数的计算 33．（2025·北京昌平·二模）设为正整数，数列是公差不为的等差数列，若从中去掉两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的个数都能构成等差数列，则称数列是的可分数列． (1)写出所有，使得数列是、的可分数列； (2)当时，证明：数列是的可分数列； (3)若数列是的可分数列，记所有满足条件的的个数为，求的值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）根据题意，可以为． （2）设数列的公差为． 当时，去掉后，剩余项按照：； 分为三组（*），每组都是公差为的等差数列． 当时，去掉后，前项按如上（*）分组；后面的项按原顺序每项分为一组，每组都是公差为的等差数列． 综上，数列是的可分数列． （3）若数列是的可分数列，设其公差为， 将数列表示为：． ①当时，可以去掉数列中的项和，其余项顺序保持不变， 从前往后按原顺序每项分为一组，每组均为公差为的等差数列， 所以数列是的可分数列． 其中，符合的一组“”的取值有个． ②当时，且时，可以去掉数列中的和． 若，则数列分组为：， ， 其中、部分按原顺序每项分为一组，每组均为公差为的等差数列； 部分按照被除所得余数分组，余数相同的每组数按序号从小到大每项分为一组， 则每组数均为等差数列，公差为． 若或，由上述证明，数列仍可分为组等差数列． 所以数列是的可分数列． 而符合的一组“”的取值有个． 满足上述两类的的个数为． 设，记， 用表示数列中的项组成的集合（下同）． 则，且中元素个数均为中元素个数均为． 由题意，数列去掉和两项后可分为每项一组的等差数列共组， 记为，，对应的公差为，则． 考虑被除所得余数： 当时，数列中的项均在某一个中； 当时，数列中的项分别在中， 且没有两项在同一个中，所以，或． 综上，所有满足条件的的个数． 34．对正整数，设数列.是行列的数阵，表示中第行第列的数，，且同时满足下列三个条件：①每行恰有三个1；②每列至少有一个1；③任意两行不相同．记集合或中元素的个数为． (1)若，求的值； (2)若对任意中都恰有行满足第列和第列的数均为1． ①能否满足？说明理由； ②证明：． 【答案】(1) (2)①不满足，理由见解析；②证明见解析 【详解】（1）记， 则， ， ，故； （2）①不满足，理由如下： 假设满足， 因为的每行恰有三个1，故中满足的的个数共有个， 另一方面，从中任选两列共有种可能，且对任意两列， 都恰有行使得这两列的数均为1，故中满足的的个数共有个， 所以，当时，得，此方程无解， 所以不满足； ②由①可得，即， 下面考虑满足，但的的个数： 对中满足和3的行，每行恰有两组使且， 所以满足，但的的个数为， 设数列中有项为项为0， 满足，但的的个数为， 所以满足，但的的个数为， 所以， 所以 ． 【点睛】关键点点睛：本题考查新定义，关键点在于结合定义，得到满足，但的的个数为且为. 题型九 其他综合 35．（24-25高三下·北京·阶段练习）对于项数为m+1的有限数列A:，定义为数k在数列A中出现的次数.若其对于任意的均满足：①，② 则称数列A为自表数列. (1)判断下列数列是否为自表数列： ； (2)已知数列A：为自表数列，求证： (3)求证：时，项数为的自表数列存在且唯一. 【答案】(1)数列A是自表数列，数列B不是自表数列. (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）判断下列数列是否为自表数列. 定义：对于数列，，，，，若表示数字i在数列中出现的次数，则称该数列为自表数列. 数列 数字0出现3次，；数字1出现2次，；数字2出现1次，； 数字3出现1次，；数字4出现0次，；数字5出现0次，； 数字6出现0次，. 所有条件均满足，因此数列A是自表数列. 数列； 数字0出现3次，但不正确，其他条件也不满足. 因此，数列B不是自表数列. （2）已知数列A为自表数列， 由于数列A为自表数列，每个数字出现的次数为，且总项数为. 对于任意自表数列，必然存在唯一一个数字，其出现次数为1（即）. 其余数字的出现次数均为0或大于1. 因此，从第项到第项中，必然有且仅有一个数字出现一次，其余数字出现次数为0. 由此可得：； （3）对于项的自表数列，其构造需满足以下条件： 每个数字的出现次数为，总项数为. 存在性：当时，构造数列A:为（其中有个0）， 数字0出现次，；数字1出现2次，； 数字2出现1次，；数字3出现1次，； 数字出现0次，，满足自表数列定义， 所以时，项数为m+1的自表数列存在； 唯一性：设项数为的自表数列A:， 因为，且， 假设，即有个， 设初外，非零的中最大的数为由前可知或， 若，会出现矛盾， 若，无法构造符合条件的数列， 当时，只能有（其中有个0）这一种情况， 得证唯一性. 36．（24-25高三上·北京·阶段练习）在无穷数列中，，对于任意，都有，．设，记使得成立的n的最大值为． (1)设数列为，写出，，，的值； (2)若为等比数列，且，求的值． (3)设，，直接写出的值．（用表示） 【答案】(1) (2)243； (3) 【详解】（1）由使得成立的的最大值为，数列为， 得，则， ，则， ，则， ，则， 所以； （2）∵为等比数列，，，∴， 所以， ∵使得成立的的最大值为， ∴，，，， ，， ∴； （3）设， 因为， 所以，且 ， 所以数列中等于1的项有个，即个， 设， 则，且， 所以数列中等于2的项有个，即个， 以此类推，数列中等于的项有个.， 所以 ， 即. 【点睛】关键点点睛：本题巧妙得将数列和不等关系融合在一起，理解题目所表达得具体含义是解决本题得关键. 37．（2025·北京·模拟预测）已知有穷数列：，，满足，，且恰有项为.  定义，其中，.  对于给定的正整数，若正整数满足，则称是一个“险胜时刻”. (1)对于满足的数列：，写出全部的“险胜时刻”. (2)当时，数列：中“险胜时刻”最多有多少个? (3)求的所有可能值，使得数列：一定存在“险胜时刻”. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）所谓“险胜时刻”的含义为：数列从第项开始的连续项里，恰好比多一个. 该数列的第项和第项为，其余为. 所以是数列的“险胜时刻”的含义为：数列从第项开始的连续项里，恰好比多一个. 那么满足条件的全部为：. （2）①首先证明：数列的“险胜时刻”的个数不会超过. 由于是数列的“险胜时刻”的含义为：数列从第项开始的连续项里，恰好比多一个. 这就意味着，中有两个，一个，此时，称这样的是一个险胜三元组. 当某个属于某个险胜三元组时，将这个和这个险胜三元组配一对，设一共配了对. 设数列的“险胜时刻”的个数为，则恰好也是险胜三元组的个数. 每个险胜三元组恰包含两个，所以. 那么，很显然，中的每个至多属于三个险胜三元组，而第一个和最后一个至多属于两个险胜三元组. 而中恰有个，这就表明，所以，得. 这就证明了数列的“险胜时刻”的个数不会超过. ②另一方面，当的第项为，其它项为时，验证即知中的每个正整数都是的“险胜时刻”. 综合①②两个方面，即知数列的“险胜时刻”最多有个. （3）是数列的“险胜时刻”的含义为：数列从第项开始的连续项里，恰好比多一个，即有五个和四个. ①若，则当的第项为，其它项为时，数列的任意连续项之和都为负数，不可能为，所以不存在“险胜时刻”； ②若，可从下面的项数列中任意删去个得到数列： . 此时，数列的任意连续项至少有项为，所以不存在“险胜时刻”； ③若，由于对任意的，都是九个奇数相加，从而一定是奇数。 而对，都有，所以如果无解，则必定有或之一恒成立. 此时，又有 . 假设恒成立，则 由于，故数列的任意连续项至少有项为，故 . 所以. 这表明每个等号都成立，所以，. 且，. 但这导致，矛盾. 再假设恒成立，则 由于，故数列的任意连续项至少有项为，故 . 所以，矛盾. 以上过程表明，和均不能恒成立，所以一定有解，即一定存在“险胜时刻”. 综合①②③，可知全部可能值为. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于理解“险胜时刻”的定义。只有理解了定义，方可解决相应问题。同时，（3）中的分类讨论也是解决问题的关键。 38．（2025·北京丰台·一模）已知无穷递增数列各项均为正整数，记数列为数列的自身子数列. (1)若，写出数列的自身子数列的前4项； (2)证明：； (3)若数列与是公差分别为，的等差数列. （i）证明：； （ii）当，时，求数列的通项公式. 【答案】(1)1，5，9，13； (2)证明见详解； (3) 【详解】（1）因为 所以数列的自身子数列为， 所以前4项为：， 即数列的自身子数列的前4项为1，5，9，13. （2）因为数列是递增数列且各项均为正整数，于是， 所以， 设，则， 所以. （3）（i）由题得，， 又及是递增数列，得， 即， 即， 由于对任意正整数均成立，则，否则矛盾. 所以. （ii）由， 若存在，使得， 设， 不妨设，有， 则， 又， 因此与矛盾， 所以对任意，都有. 若存在，使得， 设， 不妨设，有， 则， 又， 因此与矛盾， 所以对任意，都有， 综上，对任意，都有. 设， 则数列是公差为的等差数列，， 又， 因此，又， 所以. 39．（2025·北京朝阳·一模）已知，，，为有穷正整数数列，若存在，其使得，其中，则称Q为连续可归零数列． (1)判断：1，3，2和：4，2，4是否为连续可归零数列？并说明理由； (2)对任意的正整数，记，其中表示数集S中最大的数．令，求证：数列，，，不是连续可归零数列； (3)若，，，的每一项均为不大于的正整数，求证：当时，Q是连续可归零数列． 【答案】(1)数列是连续可归零数列，数列不是连续可归零数列，理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）数列是连续可归零数列，理由如下： 取，则， 所以数列是连续可归零数列． 数列不是连续可归零数列，理由如下： 当时，， 因为是奇数，故是奇数，所以． 当时，， 因为是奇数，故是奇数，所以． 当时，， 因为是奇数，故是奇数，所以． 所以数列不是连续可归零数列． （2）因为1，3，5，7是奇数，故， 所以． 因为，所以． 因为，所以． 所以数列． 因为， 所以与奇偶性相同． 当或时，因为中，为奇数，其余各项均为偶数， 所以为奇数． 所以． 当取时， 由（1）可知， 综上，数列不是连续可归零数列． （3）设， 则是整数数列． 下面证明对任意，均有． 显然满足． 假设结论不成立，则存在，使得或， 且当时都有． （i）若，当时，， 因为，所以，矛盾； 当时，， 因为，所以，矛盾． （ii）若，当时，， 因为，所以，矛盾； 当时，， 因为， 又是整数，所以，矛盾． 综上，对任意，均有． 若存在，使得， 则存在且，使得， 此时数列是连续可归零数列． 若任意， 因为中共个非零整数， 当时，数列中存在且，使得， 从而存在，使得， 此时数列是连续可归零数列． 综上，当时，数列是连续可归零数列． 40．给定正整数，已知项数为且无重复项的数对序列满足如下三个性质： ①，且； ②； ③与不同时在数对序列A中． (1)当时，写出所有满足的数对序列A； (2)当时，证明：； (3)当为奇数时，记的最大值为，求． 【答案】(1)或 (2)证明见详解 (3) 【详解】（1）依题意，当时，有或； （2）当时，因与不同时在数对序列中，故， 即每个数至多出现5次. 又因，所以只有对应的数可以出现5次， 故.得证. （3）当是奇数时，先证明. 因与不同时在数对序列中，所以, 当时，构造恰有项，且首项的第一个分量与末项的第二个分量都为1. 对奇数，如果可以构造一个恰有项的序列，且首项的第一个分量与末项的第二个分量都为1， 那么对奇数而言，可按如下方式构造满足条件的序列： 首先，对于如下个数对集合： 每个集合中都至多有一个数对出现在序列中，所以， 其次，对每个不大于的偶数, 将如下4个数对并成一组：， 共得到组，将这组对数以及按如下方式补充到的后面， 即： , 此时恰有项，所以. 综上，当是奇数时， . 【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤： （1）理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论; （2）重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况; （3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．数列，满足：或，对任意i，j都存在s，t，使得，其中且两两不相等． (1)若，直接写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号： ①1，1，2，2    ②1，1，1，2，2，2    ③1，1，1，1，2，2，2，2 (2)记，若，求S的最小值； (3)若，求n的最小值． 【答案】(1)③ (2)20 (3)2032 【详解】（1）数列满足：或1（k=1,2,…,n－1）．对任意i，j，都存在s，t，使得，其中i，j，s，t∈{1,2，…，n}且两两不相等． ∴在①中，1，1，2，2，不符合题目条件； 在②中，1，1，1，2，2，2，不符合题目条件； 在③中，1，1，1，1，2，2，2，2，符合题目条件； 故所有符合题目条件的数列的序号为③． （2）当m=3时，设数列中1,2,3，出现频数依次为，由题意． ①假设，则有（对任意）， 与已知矛盾，所以． 同理可证：． ②假设，则存在唯一的，使得． 则对，有（k，s，t两两不相等），与已知矛盾， 所以． 综上，，， 所以， 故S的最小值为20. （3）设1，2，…，2024出现频数依次为． 同（2）的证明，可得， 所以． 取，，得到的数列为： 下面证明满足题目要求． 对，不妨令， ①如果或，由于，所以符合条件； ②如果或， 由于，， 所以也成立； ③如果，则可选取；同样的，如果，则可选取，使得，且i，j，s，t两两不相等； ④如果，则可选取，注意到这种情况每个数最多被选取了一次，因此也成立． 综上对任意i，j，总存在s，t，使得，其中i，j，s，t∈{1,2，…，n}且两两不相等． 因此满足题目要求， 所以n的最小值为2032． 【点睛】本题是给出了数列需满足的要求。也可以认为是数列的一个新定义，因此解答的关键是要理解这些要求，按其要求去判断解答问题；难点在于第三问的解答，设出现的频数依次为，要判断出，，进而取，求得n的最小值，继而分类讨论，证明求得的值符合题目要求. 2．若有穷正整数数列A：，，，…，满足如下两个性质，则称数列A为T数列：①；②对任意的，都存在正整数，使得. (1)判断数列A：1，1，1，3，3，5和数列B：1，1，2，2，4，4，4，12是否为T数列，说明理由； (2)已知数列A：，，，…，是T数列. （i）证明：对任意的，与不能同时成立； （ii）若n为奇数，求的最大值. 【答案】(1)数列A不是T数列，理由见解析 (2)（i）证明见解析；（ii） 【详解】（1）数列A不是T数列，理由如下： 对于数列A，因为，，且对任意的正整数，有 ， 所以数列A不满足性质②，所以数列A不是T数列； 数列B是T数列，理由如下： 对于数列B，因为，，，， 所以数列B满足性质①， 又因为，，，， ，，， 所以数列B满足性质②. 所以数列B是T数列. （2）（i）假设存在，使得， 由性质①，可得， 由性质②，存在正整数，使得， 又因为，所以，故， 所以， 而，矛盾， 所以与不能同时成立； （ii）由性质①，当时，可得， 又因为，为正整数，所以， 由性质②，对任意的，有， 因为对任意，， 所以， 所以 ， 当，， （）时， 上述不等式取到等号，且此时数列A满足①和②，是T数列， 综上，的最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题关键是对“T数列”的定义与理解，证明部分关键是灵活运用反证法，求和部分结合不等式的性质进行放缩处理. 3．已知数列是由正整数组成的无穷数列.若存在常数，使得对任意的成立，则称数列具有性质. (1)分别判断下列数列是否具有性质；（直接写出结论） ①； ②. (2)若数列满足，求证：“数列具有性质”是“数列为常数列”的充分必要条件； (3)已知数列中，且.若数列具有性质，求数列的通项公式. 【答案】(1)①具有，②不具有 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）①，对于，，所以数列具有“性质”； ②，对于，， 故，所以数列不具有“性质”． （2）证明：先证“充分性”： 当数列具有“性质”时，有， 又因为， 所以， 进而有 结合有， 即“数列为常数列”； 再证“必要性”： 若“数列为常数列”， 则有， 即“数列具有“性质”． （3）首先证明：． 因为具有“性质”， 所以． 当时，有． 又因为，且， 所以有，， 进而有， 所以， 结合可得：． 然后利用反证法证明：． 假设数列中存在相邻的两项之差大于3， 即存在满足：或， 进而有 ． 又因为， 所以 依此类推可得：，矛盾， 所以有． 综上有：， 结合可得， 经验证，该通项公式满足， 所以． 4．对于数列，若存在正数k，使得对任意m，都满足，则称数列符合“条件”. (1)试判断公差为2的等差数列是否符合“条件”？ (2)若首项为1，公比为q的正项等比数列符合“条件”. ①求q的取值范围； ②记数列的前n项和为，证明：存在正数，使得数列符合“条件”. 【答案】(1)公差为2的等差数列符合“条件”； (2)①；②证明见解析 【详解】（1）数列是公差为2的等差数列，则， 则， 所以公差为2的等差数列符合“条件”. （2）①首项为1，公比为的正项等比数列符合“条件”， 则，且对恒成立， ， 若，则，符合， 若数列单调递增，不妨设， 由条件知，即（*）， 设，由（*）式中的任意性，得数列不递增， ， 但当时，，矛盾， 若，则数列单调递减，不妨设， 由条件知，即（**）， 设，由（**）式中的任意性，得数列不递减， ， 时，单调递增， ，，， 综上，公比的取值范围为， ②由①得 当时，，要存在使得，只需即可； 当时，要证数列符合“条件”， 只要证存在，使得， 不妨设，则只要证：， 只要证：， 设，由的任意性可知， 只要证， 只要证：， 存在使得上式成立， 存在正数使得数列符合条件. 【点睛】思路点睛：在第（2）②中判断数列是否符合“条件”时，分类讨论，根据数列的单调性去掉绝对值，通过构造新数列，由不等式恒成立得到新数列不递减，研究此数列不递减的条件即可. 5．已知有穷数列，从数列中选取第项，第项，，第项，顺次排列构成数列，其中，则称新数列为的长度为的子列.规定：数列的任意一项都是的长度为1的子列，若数列的每一子列的所有项的和都不相同，则称数列为完全数列.设数列满足. (1)判断下面数列的两个子列是否为完全数列，并说明由； 数列①：；数列②：. (2)数列的子列长度为，且为完全数列，证明：的最大值为6； (3)数列的子列长度，且为完全数列，求的最大值. 【答案】(1)数列①不是完全数列，数列②是完全数列，理由见详解 (2)证明见详解 (3) 【详解】（1）数列①不是完全数列，数列②是完全数列，理由如下： 数列①：因为，所以数列①不是完全数列； 数列②：因为， ， 即每一子列的所有项的和都不相同，所以数列②是完全数列. （2）假设存在完全数列，其长度为，则， 则长度为的数列的每一子列的所有项的和有个， 设其所有项的和的最小值为，最大值为， 则， 可得， 整理得， 当时，； 当时，； 当时，； 当，则，， 所以； 综上所述：当时，不存在，使得成立. 所以假设不成立，则，且，符合题意， 所以m的最大值为6. （3）因为长度，且为完全数列，且， 可知的最小值为1，的最小值为2，取； 因为，则的最小值为4，取； 因为，则的最小值为8，取； 因为， ， 则的最小值为16，取； 此时均取到对应的最小值，则均取到对应的最大值， 则， 所以的最大值为. 【点睛】关键点点睛：1.对于数列新定义问题，要充分理解题意，根据题意分析运算； 2.对于直接证明比较困难，可以采用反证法，适当放缩运算求解. 6．若数列中且对任意的恒成立，则称数列为“数列”. (1)若数列为“数列”，写出所有可能的； (2)若“数列”中，，求的最大值； (3)设为给定的偶数，对所有可能的“数列”，记，其中表示这个数中最大的数，求的最小值. 【答案】(1)或或 (2) (3) 【详解】（1）依题意，因为数列1，，，7为“数列”， 则，注意到， 故所有可能的，为或或. （2）一方面，注意到：， 对任意的，令， 则且，故对任意的恒成立（★）， 当时，注意到， 得， 此时， 即，解得，故； 另一方面，取， 则对任意的，，故数列为“数列”， 此时，即符合题意. 综上，的最大值为. （3）当时， 一方面：由（★）式，， 则， 此时有 ， 故， 另一方面，当，，，，，，，时， ， 取，则，，， 且， ， 此时， 综上，的最小值为. 【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤： （1）理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论. （2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况. （3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 7．已知数列，对于任意的，都有，则称数列为“凹数列”. (1)已知数列，的前项和分别为，，且，，试判断数列，数列是否为“凹数列”，并说明理由； (2)已知等差数列，首项为4，公差为，且为“凹数列”，求的取值范围； (3)证明：数列为“凹数列”的充要条件是“对于任意的，，，当时，有”. 【答案】(1)数列是为“凹数列”， 数列不是为“凹数列”，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【详解】（1）由于为等差数列，所以，为等比数列，，任意的，都有，故，所以数列是为“凹数列”， 任意的，都有， 故，所以数列不是为“凹数列”， （2）因为等差数列的公差为，，所以， 因为数列是凹数列，所以对任意，恒成立， 即， 所以，即， 因为，解得.所以的取值范围为. （3）先证明必要性：因为为“凹数列”所以对任意的，都有，即，所以对任意的，，，当时，有，所以， 又， 所以，所以，必要性成立； 再证明充分性：对于任意的，，，当时，有， 取，，则有， 即，所以为“凹数列”. 【点睛】方法点睛：本题是数列新定义问题，主要考查了等差数列，等比数列，递推公式和求和公式等的综合运用，对常见的求通项公式和求和公式要掌握牢固，同时要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题. 8．已知数列，从中选取第项、第项、…、第项，若，则称新数列为的长度为m的递增子列，若，则称新数列为的长度为m的递减子列，递增子列和递减子列统称为的单调子列．规定：数列的任意一项都是的长度为1的单调子列． (1)写出数列1，8，3，7，5，6，9的最长单调子列； (2)已知数列的长度为的递增子列的末项的最小值为，长度为q的递增子列的末项的最小值为．若，求证：<； (3)若数列有项，且任意两项均不相等，证明：必存在长度为的单调子列． 【答案】(1)1，3，5，6，9 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）由题意知，数列1，8，3，7，5，6，9的最长单调子列为递增子列，是1，3，5，6，9； （2）设长度为，末项为的递增子列为，，，，， 由，可得， 因为数列的长度为的递增子列的末项的最小值为， 又因为，，，，是的长度为的递增子列， 所以， 由此可得. （3）因为数列任意两项均不相等，现以数列的每一项为首项选取长度最大的单调子列，设其共有项，组成数列， 若中有一个，那么数列存在一个长度为的递增子列， 所以数列存在一个长度为的单调子列. 若数列不存在长度超过的递增子列，即，. 所以在中，至少有个数是相等的. 取其中项，不妨设为，其中， 下面证明当，且时， 假设，将加到以为首项长度为的递增子列前面， 构成了以为首项、长度为的递增子列， 以为首项的最长递增子列的项数为矛盾，假设不成立， 所以 由此可知， 所以构成了一个长为的递减子列. 综上所述，必存在长度为的单调子列． 【点睛】本题主要考查“新定义”数列，主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，用反证法来证明新结论，这样有助于对新定义的透彻理解. 9．设数列：．已知，定义数表，其中 (1)若，写出； (2)若是不同的数列，求证：数表满足“”的充分必要条件为“”； (3)若数列与中的1共有个，求证：数表中1的个数不大于． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）将代入计算可得． （2）证明： 充分性： 若，由于 令，由此数列． 由于． 从而有，即充分性成立； 必要性： 若． 由于是不同的数列， （1）设，对任意的正整数， ①若，可得， 所以． ②若，可得， 所以． 同理可证时，有成立． （2）设，对任意的正整数， 若，可得， 所以有，则是相同的数列，不符合要求． 若，可得， 所以有，则是相同的数列，不符合要求． 同理可证时，是相同的数列，不符合要求． 综上，数表满足“”的充分必要条件为“”； （3）证明： 由于数列中的1共有个，设中1的个数为，因此中0的个数为，中1的个数为，中0的个数为， 若，则数表的第行为数列， 若，则数表的第行为数列； 所以数表中1的个数为； 因此，数表中1的个数不大于. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解运算法则之后对中1的个数和0的个数与中1的个数和0的个数进行统一处理，得出表达式再由基本不等式可得结论. 10．给定正整数，，其中，如果有限数列同时满足下列两个条件，则称为-数列.记-数列的项数的最小值为. 条件①：的每一项都属于集合； 条件②：从集合中任取个不同的数排成一列，得到的数列都是的子数列. 注：从中选取第项、第项、...、第项（其中）形成的新数列，称为的一个子数列. (1)分别判断下面两个数列是否为-数列，并说明理由：数列；数列； (2)求证：； (3)求的值. 【答案】(1)数列是数列，数列不是数列，理由见解析 (2)证明见解析 (3)12 【详解】（1）， 数列和中每一项都属于集合，符合条件①， 从集合中取出个不同的元素，排成一列得到；；；；；. 根据子数列的定义可知，以上个数列都是数列的子数列，故数列是数列； 而数列不是数列的子数列，故数列不是数列. （2）， 若从集合中任取个不同的数排成一列，得到的数列都是数列的子数列， 则为了满足；；，；；；；；等数列都是的子数列， 则数列中一定有， 又为了满足；；；；等数列都为的子数列， 则数列中一定有， 则当数列为时，取到的值， 故. （3）， 从集合中取出个不同的数排成一列，可得；；；；；； ；；；，；；；；；；； ；；；；；；，共个数列. 故数列中一定有 ， 为保证数列的子数列中有和，则数列中一定有 ， 为保证数列的子数列中有，数列中一定有 ， 为保证数列的子数列中有和..，则数列中一定有 ， 故. 【点睛】关键点点睛：正确理解数列的定义和的含义是解题关键. 检测Ⅱ组 创新能力提升 1．若项数为的数列满足：，且存在，使得，则称数列具有性质P. (1)①若，写出所有具有性质P的数列； ②若，写出一个具有性质P的数列； (2)若，数列具有性质P，求的最大项的最小值； (3)已知数列均具有性质P，且对任意，当时，都有．记集合，，求中元素个数的最小值. 【答案】(1)①：，2，1或1，3，1或1，3，2； ②：1，2，4，3（或1，3，4，3或1，3，5，3） (2)1013 (3)3 【详解】（1）①：，2，1或1，3，1或1，3，2； ②：1，2，4，3（或1，3，4，3或1，3，5，3） （2）当时，． 由，累加得； 又由，累加得； 相加得，又，所以. 所以数列的最大项的最小值为1013， 一个满足条件的数列为； （3）由，累加得． 又，所以，同理，， 所以， 因为， 所以， 所以中元素个数的最小值为3，一组满足条件的数列为 此时. 【点睛】思路点睛：此题考查数列与集合结合的新定义问题，属于难题，关于新定义题的思路有： (1)找出新定义有几个要素,找出要素分别代表什么意思； (2)由已知条件,看所求的是什么问题,进行分析,转换成数学语言； (3)将已知条件代入新定义的要素中； (4)结合数学知识进行解答. 2．已知是个正整数组成的行列的数表，当时，记．设，若满足如下两个性质： ①； ②对任意，存在，使得，则称为数表． (1)判断是否为数表，并求的值； (2)若数表满足，求中各数之和的最小值； (3)证明：对任意数表，存在，使得． 【答案】(1)是； (2) (3)证明见详解 【详解】（1）是数表， （2）由题可知 . 当时，有， 所以. 当时，有， 所以. 所以 所以 或者， 或者， 或，或， 故各数之和， 当时， 各数之和取得最小值. （3）由于数表中共个数字， 必然存在，使得数表中的个数满足 设第行中的个数为 当时，将横向相邻两个用从左向右的有向线段连接， 则该行有条有向线段， 所以横向有向线段的起点总数 设第列中的个数为. 当时，将纵向相邻两个用从上到下的有向线段连接， 则该列有条有向线段， 所以纵向有向线段的起点总数 所以, 因为,所以. 所以必存在某个既是横向有向线段的起点，又是纵向有向线段的起点， 即存在 使得， 所以， 则命题得证. 3．设为给定的正奇数，定义无穷数列：若是数列中的项，则记作. (1)若数列的前6项各不相同，写出的最小值及此时数列的前6项； (2)求证：集合是空集； (3)记集合正奇数，求集合.（若为任意的正奇数，求所有数列的相同元素构成的集合.） 【答案】(1)，6项为 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）由题意，因为是正奇数， 当时，由，得，，这与前6项各不相同矛盾，不合题意； 当时，由，得，，，不合题意； 当时，由，得，，，，，符合题意； 综上，的最小值为5，此时数列的前6项为：. （2）证明：假设集合非空， 当时，，又是正奇数，，而，不合题意， 当时，，若，则需，又是正奇数，不合题意， 设中元素的最小值为（显然， 因为，所以，因此为奇数，且. 若，则为偶数， 但此时应有，与矛盾； 若，则，即，与的最小性矛盾. 因此假设不成立，集合为空集. （3）猜想. 因为，以下只需证对任意大于1的奇数，. 若，则，故只需证必存在. 由（2）知无穷数列中所有的项都属于集合， 因此必存在，使得，取其中的值最小的一组. 若，则； 若，则必有，与的最小性矛盾； 若，则必有，也与的最小性矛盾. 因此只能，因此，即. 综上，. 【点睛】思路点睛：（1）问根据题意对分类讨论，得出的最小值；（2）问利用反证法结合无穷等比数列的定义分析找矛盾；（3）问根据时，，提出猜想，证明对任意大于1的奇数，. 4．若无穷数列的各项均为整数．且对于，，都存在，使得，则称数列满足性质P． (1)判断下列数列是否满足性质P，并说明理由． ①，，2，3，…； ②，，2，3，…． (2)若数列满足性质P，且，求证：集合为无限集； (3)若周期数列满足性质P，求数列的通项公式． 【答案】(1)数列不满足性质P；数列满足性质P，理由见解析 (2)证明见解析 (3)或． 【详解】（1）对①，取，对，则， 可得， 显然不存在，使得， 所以数列不满足性质P； 对②，对于，则，， 故 ，因为， 则，且， 所以存在，， 使得， 故数列满足性质P； （2）若数列满足性质，且，则有： 取，均存在，使得， 取，均存在，使得， 取，均存在，使得， 故数列中存在，使得，即， 反证：假设为有限集，其元素由小到大依次为， 取，均存在，使得， 取，均存在，使得， 取，均存在，使得， 即这与假设相矛盾，故集合为无限集. （3）设周期数列的周期为，则对，均有， 设周期数列的最大项为，最小项为， 即对，均有， 若数列满足性质： 反证：假设时，取，则，使得， 则，即， 这对，均有矛盾，假设不成立；则对，均有； 反证：假设时，取，则，使得， 这与对，均有矛盾，假设不成立，即对，均有； 综上所述：对，均有， 反证：假设1为数列中的项，由（2）可得：为数列中的项， ∵，即为数列中的项， 这与对，均有相矛盾，即对，均有，同理可证：， ∵，则， 当时，即数列为常数列时，设，故对，都存在， 使得，解得或，即或符合题意； 当时，即数列至少有两个不同项，则有： ①当为数列中的项，则，即为数列中的项，但，不成立； ②当为数列中的项，则，即为数列中的项，但，不成立； ③当为数列中的项，则，即为数列中的项，但，不成立； 综上所述：或. 【点睛】关键点点睛：（1）对于证明中出现直接证明不方便时，我们可以利用反证法证明； （2）对于周期数列满足性质，证明思路：先逐步缩小精确的取值可能，再检验判断. 5．对于数列定义为的差数列，为的累次差数列.如果的差数列满足，，则称是“绝对差异数列”；如果的累次差数列满足，，则称是“累差不变数列”. (1)设数列：2，4，8，10，14，16；：6，1，5，2，4，3，判断数列和数列是否为“绝对差异数列”或“累差不变数列”，直接写出你的结论； (2)若无穷数列既是“绝对差异数列”又是“累差不变数列”，且的前两项，，（为大于0的常数），求数列的通项公式； (3)已知数列：是“绝对差异数列”，且.证明：的充要条件是. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）对于数列：2，4，8，10，14，16；可得： 差数列为：2，4，2，4，2，不满足，所以不是“绝对差异数列”； 累次差数列为：2，，2，，满足，所以是“累差不变数列”， 对于数列：6，1，5，2，4，3；可得： 差数列为：，4，，2，，满足，所以是“绝对差异数列”； 累次差数列为：9，，5，，不满足，所以不是“累差不变数列”. （2）因为，则， 反证：假设不是定值，即存在，使得， 可得，即， 这与是“绝对差异数列”相矛盾，假设不成立，所以为定值， ①若，即， 可知数列是以首项为，公差为的等差数列， 当时，则 ， 当时，符合上式， 综上所述：； ②若，同理可得； 综上所述：若，； 若，. （3）因为，根据集合的互异性可知，， 则， 又因为数列是“绝对差异数列”，则，， 必要性：若， 可得， 即，所以， 若差数列为，符合的排序只能为； 若差数列为，符合的排序只能为或， 若差数列为，符合的排序只能为或， 若差数列为，符合的排序只能为或或或， 若排序为，则当差数列为时，无法排序，不合题意； 若排序为，则当差数列为时，无法排序，不合题意； 所以符合的排序只能为或， 利用数学归纳法证明：当差数列为，符合的排序为， 显然，符合题意； 假设在差数列有意义的前提下： 当差数列为，符合的排序为； 则当差数列为时，符合的排序为或， 当差数列为时， 对于可得符合的排序为； 对于，无法排序； 所以符合的排序为， 即当差数列为，符合的排序为； 所以当差数列为，符合的排序为，成立； 同理可证：当差数列为，符合的另一种排序为； 依次类推，可得其排列为或， 所以，故必要性成立； 下证充分性： 若，则， 若差数列为，则符合的排序为或， 若差数列为，则符合的排序为或或或， 若差数列为，则符合的排序为或， 因为的排序为，不合题意， 的排序为，不合题意， 所以若差数列为，则符合的排序为， 若差数列为，则符合的排序为或， 若差数列为，则符合的排序为或， 利用数学归纳法证明：当差数列为时，符合的排序为， 当时，成立； 假设在差数列有意义的前提下： 当差数列为，符合的排序为； 当差数列为，符合的排序为或， 当差数列为， 对于可得排序为， 对于则无法排序， 所以当差数列为，符合的排序为； 同理可证：当差数列为，符合的排序为； 此时满足数列是“绝对差异数列”的排序只有两种： 或， 则 ，充分性成立； 所以的充要条件是. 【点睛】方法点睛：本题主要考查数列新定义的问题，处理此类问题时，通常根据题中新定义的概念，结合已知结论求解，根据题中的定义，结合等差数的通项公式与求和公式进行求解. 11 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$