第1章 反比例函数（复习讲义）数学湘教版九年级上册

第一章 反比例函数（复习讲义） 单元基础目标： 1.通过对实际问题情境的分析确定反比例函数的表达式，并体会反比例函数的定义. 2.结合具体情境体会反比例函数作为一种数学模型的意义，并了解反比例函数的有关概念. 3.会用描点法画出反比例函数的图象，能通过图象和表达式认识反比例函数的性质. 4.会通过对现实情境的分析，确定反比例函数的表达式，并能运用反比例函数及其性质解决简单的实际问题. 5.能据已知条件确定反比例函数的表达式，领悟用函数的观点来解决实际问题的基本思路. 6.渗透数形结合的思想，使学生进一步提高用函数观点解决实际问题的能力，体会和认识反比例函数这一数学模型，培养学生的建模思想. 单元进阶目标 重点： 1.掌握各种形式的反比例函数的图象和性质. 2.会求解反比例函数的表达式. 难点： 利用反比例函数解决实际问题，能对变量的变化趋势进行预测. 单元拓展目标 1.注重用图形变换的思想叙述性质、从图形变换的角度观察、分析图形之间的联系. 2.在画反比例函数的图象时充分发挥“自主探索，合作学习”. 3.通过数学建模，对数学的广泛应用有了进一步认识，促使学生在积极思考中、在问题的解决中发现数学的价值与美. 知识点 重点归纳 常见易错点 反比例函数定义 定义：一般地，形如 y = ( k为常数，k≠0) 的函数叫做反比例函数 两个变量可以是单项式或多项式 两个变量的的乘积为定值 用待定系数法求反比例函数的解析式 y = ( k为常数，k≠0 ) 中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k的值， 步骤要弄清 反比例函数的图象 定义：图象有两条曲线组成，称之为双曲线，它的两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，她们关于原点对称 用描点法画双曲线 列表：自变量的值应以0为中心，向两边分别取至少三对互为相反数的数 描点 连线：按照从左往右的顺序用平滑的曲线连接各点延伸，注意两个分支间是断开的 列表时选取的数值越多，画的图像越精确 连线时，切忌画成折线 反比例函数的性质 (k为常数，k≠0） k>0 k<0 反比例函数的图象是由k的符号决定的，反过来通过反比例函数的 图象的位置和增减性也可以推断出k 的符号 在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小 在每个象限内，函数值 y 随自变量x 的增大而增大 比例系数的几何意义 过双曲线 (k≠0)上任意一点分别作x轴、y轴的垂线，所得的矩形的面积为|k| 过双曲线 上任意一点P(x，y)分别作x轴、y轴的垂线 PM,PN,所得的矩形 PMON 的面积S=PM·PN=|y|·|x|=| xy|. 因为 所以 xy=k.所以S=|k|. 同理，△OEF的面积为 k由正负之分，所以在利用k值表示矩形或三角形的面积时，都要加上绝对值符号 过双曲线 (k≠0)上任意一点作某一坐标轴的垂线，连接该点与原点，所得三角形的面积为 反比例函数的应用 一般步骤： 建立反比例函数模型求【解析】 审：审清题意，找出问题中的常量，变量，并理清变量与常量之间的关系。 设：根据题目的已知条件列出方程（组），设出表达式 列：列出函数表达式，求出待定系数 写:写出表达式，并注意自变量的取值范围 【解析】运用函数的表达式和相关性质解决实际问题 抓关键，建模型，准决策 题型一 根据反比例函数的定义求字母的值 【例1】已知 若y 是x的反比例函数，试求a的值. 【变式1】若 是反比例函数，试求此反比例函数的表达式. 题型二 反比例函数与一次函数定义的综合应用 【例2】已知函数 与x成正比例关系，y₂与x成反比例关系.当x=1时， 当 时， 求：(1)y关于x的函数表达式 (2)当x=-2时,y的值. 【变式2】已知函数 与x成反比例关系， 与 成反比例关系.当 时， 当 时， 求y关于x的函数表达式. 题型三 利用反比例函数的性质比较函数值的大小 【例3】若点 和点 都在反比例函数 的图象上,则m n.(填“>”“<”或“=”). 【变式3】在反比例函数 y = (m为常数)的图象上有两点 且 则( ). 题型四 反比例函数中比例系数k 的几何意义的应用 【例4】如图所示,M 为反比例函数y= 的图象上的一点，MA 垂直于y轴，垂足为点A， 的面积为2，则k的值为 . 【变式4】如图1.2-4,点 A 是反比例函数 的图象上一点,过点A 作AB⊥x轴,垂足为点 B，线段AB 交反比例函数 的图象于点C，求△OAC的面积. 题型五 反比例函数与一次函数图象结合的问题 【例5】在同一平面直角坐标系中，函数 与 的大致图象是( ). 【变式5】函数y= mx+n与y= 其中m≠0,n≠0,那么它们在同一平面直角坐标系中的图象可能是( ). 【例6】.如图所示,反比例函数 的图象与一次函数y=mx+b的图象交于A(c,4),B(2,-2)两点.求: (1)反比例函数与一次函数的表达式； (2)当x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值? 【变式6】如图1.2-6,正比例函数 ax(a 为常数,且a≠0)和反比例函数 (k为常数，且k≠0)的图象交于A(-2,m)，B两点，则不等式 的解集为( ). A． x<-2或x>2 B． 或x>2 D． x<-2或0<x<2 题型六 结合实际问题确定反比例函数的图象 【例7】已知矩形的面积为8，则它的长y与宽x之间的函数关系用图象大致可以表示为( ). 【变式7】：小明乘车从南充到成都，行车的平均速度y(km/h)和行车时间x(h)之间的函数图象是下列中的( ). 【例8】(跨学科融合)在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度 是体积的反比例函数，图象如图1.3-2所示，当 时，气体的密度是( ). 【变式8】（跨学科融合)某校举行田径运动会，学校准备了某种气球，这些气球内充满了一定质量的气体，当温度一定时，气球内气体的气压p(kPa)是气体体积 的反比例函数，其图象如图1.3-3所示. (1)写出此函数的表达式； (2)当气体的体积为 时，气压是多少? 【例9】心理学家研究发现，一般情况下，一节课40 min内，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化.开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散.经过试验分析可知，学生的注意力指数y 随时间x(min)的变化规律如图1.3-8所示(其中 AB,BC 分别为线段，CD 为双曲线的一部分). (1)开始上课后第5m in时与第30 min时相比较,何时学生的注意力更集中? (2)若讲解一道数学竞赛题，需要19 min，为了达到较好的效果，要求学生的注意力指数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目? 【变式9】病人按规定的剂量服用某种药物，测得服药2h后，每毫升血液中的含药量达到最大值为4mg，已知服药后的前2h内，每毫升血液中的含药量y(mg)与时间x(h)成正比例关系,2h后,y与x成反比例关系(如图1.3-9所示).根据以上信息解答下列问题： (1)求当 时,y与x之间的函数表达式； (2)求当x>2时,y与x之间的函数表达式； (3)若每毫升血液中的含药量不低于 2mg时治疗有效，则服药一次，治疗疾病的有效时间是多长? 基础巩固通关测 1.正在建设中的临滕高速是我省“十四五”重点建设项目.一段工程施工需要运送土石方总量为10⁵ m³,设土石方日平均运送量为V(m³/天)，完成运送任务所需要的时间为t(天)，则V与t 满足( ). A．反比例函数关系 B．正比例函数关系 C．一次函数关系 D．二次函数关系 2.若 是反比例函数，则a 的值为( ). A．1 B．-1 C．±1 D．2 3.反比例函数 的图象在( ). A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限 4.当k>0时，反比例函数 和一次函数y=kx+2的图象大致是( ). 5.在反比例函数 图象上有三点A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),C(x₃,y₃),若 则下列结论正确的是 ( ). 6.如图1.2-9,在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 A，B两点，下列结论正确的是( ). A．当x>3时, B．当x<-1时,y₁<y₂ C．当0<x<3时,y₁>y₂ D．当 -1<x<0时, 7.已知一块蓄电池的电压U(V)为定值，以此蓄电池为电源时，电流 I(A)与电阻R(Ω)之间的函数关系如图1.3-10，则电流I关于电阻R 的函数表达式为( ). 8.面积为2 的直角三角形的一直角边长为x，另一直角边长为 y，则y与x 的变化规律用图象大致表示为 ( ). 9. 在反比例函数 中，自变量x的取值范围是 ，当x=3时，y的值是 . 10.在反比例函数 中,x,y 同号,则k的取值范围是 . 11.已知点 P(3,-2)在反比例函数 (k≠0)的图象上,则k= ;在第四象限，函数值 y 随x 的增大而_______ 12.在反比例函数 的图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，则m的取值范围是 . 13.在对物体做功一定的情况下，力F(N)与物体在力的方向上移动的距离s(m)成反比例函数关系，其图象如图1.3-12(示意图)所示，点P(5，1)在图象上，则当力达到 10 N 时，物体在力的方向上移动的距离是 m. 13.(跨学科融合)由欧姆定律可知，当电压不变时,电流 I(A)与电阻 R(Ω)成反比例关系.已知电压U(V)不变，当电阻R=12.5 Ω时,电流I=0.2 A． (1)求I 关于R 的函数表达式； (2)当R=5Ω时,求电流I. 14..反比例函数 的图象的一支曲线如图1.2-10 所示,根据图象回答下列问题： (1)这个函数图象的另一支曲线位于哪个象限?常数a 的取值范围是什么? (2)在这个函数图象的某一支曲线上任取两点A(x₁,y₁)和B(x₂,y₂),如果 比较y₁,y₂的大小. 15.药品研究所所测得的某种新药在成人用药后，血液中的药物浓度y(μg/mL)随用药后的时间x(h)变化的图象(图象由线段OA 与部分双曲线AB 组成)如图1.3-13 所示,并测得当y=a时，该药物才具有疗效.若成人用药4 h，药物开始产生疗效，且用药后9 h，药物仍具有疗效，则成人用药后，血液中药物至少需要多长时间达到最大浓度? 能力提升进阶练 1.若 与y成反比例关系，¹/y与z 成正比例关系，则x与z( ). A．成正比例关系 B．成反比例关系 C．不成比例 D．成一次函数关系 2.已知点A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)是反比例函数 图象上的两个点，当 时,y₁>y₂,那么一次函数y=kx-k的图象不经过( ). A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3.教室里的饮水机接通电源后就进入自动程序：开机加热时水温每分钟上升10℃，升高到100℃后停止加热，水温开始下降，此时水温(℃)与开机后用时(min)成反比例关系，直至水温降至30℃，饮水机关机.饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序.若在水温为30℃时接通电源，水温y(℃)和时间x(min)的关系如图1.3-14所示,为了在上午第一节下课时(8：45)能喝到不超过50℃的水，则接通电源的时间可以是当天上午的( ). A．7:20 B．7:30 C．7:45 D．7:50 4.把一个长、宽、高分别为3cm, 2cm ,1 cm 的长方体铜块铸成一个圆柱体铜块，则该圆柱体铜块的底面积S(cm²)与高 h(cm)之间的函数 表达式为 5.已知 y+a 与x 成反比例.当 时,y=5;当 时,y=2. (1)求y与x的函数表达式； (2)当x=2时,求 y的值. 6.小王开车到某市接朋友，他家到该市的路程为300 km,其车速x(km/h)与每千米耗油量 y(L)的关系如下表所示： x 10 20 40 80 y 0.4 0.2 0.1 0.05 (1)求y 与x 之间的函数表达式； (2)若该车油箱最大容积为35 L，小王把油箱加满油后出发，接到朋友后立即返回，如果他保持60km/h的速度匀速行驶，则油箱中的油是否够用? 7.如图1.2-12 所示,正比例函数 y=k₁x与反比例函数 的图象交于点A，过点 A 向x轴和y轴分别作垂线，所组成的正方形的面积为4. (1)分别求出正比例函数和反比例函数的表达式； (2)求出正比例函数与反比例函数图象的另一个交点D 的坐标； (3)求△ODC 的面积. 8.我市某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种适宜生长温度为 15~20℃的新品种，某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚里温度 y(℃)随时间x(h)变化的函数图象如图所示，其中 AB 段是恒温阶段，BC 段是双曲线 的一部分，请根据图中信息解答下列问题： (1)求 k 的值; (2)恒温系统在一天内保持大棚里温度在 15 ℃及15 ℃以上的时间有多少小时? 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 反比例函数（复习讲义） 单元基础目标： 1.通过对实际问题情境的分析确定反比例函数的表达式，并体会反比例函数的定义. 2.结合具体情境体会反比例函数作为一种数学模型的意义，并了解反比例函数的有关概念. 3.会用描点法画出反比例函数的图象，能通过图象和表达式认识反比例函数的性质. 4.会通过对现实情境的分析，确定反比例函数的表达式，并能运用反比例函数及其性质解决简单的实际问题. 5.能据已知条件确定反比例函数的表达式，领悟用函数的观点来解决实际问题的基本思路. 6.渗透数形结合的思想，使学生进一步提高用函数观点解决实际问题的能力，体会和认识反比例函数这一数学模型，培养学生的建模思想. 单元进阶目标 重点： 1.掌握各种形式的反比例函数的图象和性质. 2.会求解反比例函数的表达式. 难点： 利用反比例函数解决实际问题，能对变量的变化趋势进行预测. 单元拓展目标 1.注重用图形变换的思想叙述性质、从图形变换的角度观察、分析图形之间的联系. 2.在画反比例函数的图象时充分发挥“自主探索，合作学习”. 3.通过数学建模，对数学的广泛应用有了进一步认识，促使学生在积极思考中、在问题的解决中发现数学的价值与美. 知识点 重点归纳 常见易错点 反比例函数定义 定义：一般地，形如 y = ( k为常数，k≠0) 的函数叫做反比例函数 两个变量可以是单项式或多项式 两个变量的的乘积为定值 用待定系数法求反比例函数的解析式 y = ( k为常数，k≠0 ) 中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k的值， 步骤要弄清 反比例函数的图象 定义：图象有两条曲线组成，称之为双曲线，它的两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，她们关于原点对称 用描点法画双曲线 列表：自变量的值应以0为中心，向两边分别取至少三对互为相反数的数 描点 连线：按照从左往右的顺序用平滑的曲线连接各点延伸，注意两个分支间是断开的 列表时选取的数值越多，画的图像越精确 连线时，切忌画成折线 反比例函数的性质 (k为常数，k≠0） k>0 k<0 反比例函数的图象是由k的符号决定的，反过来通过反比例函数的 图象的位置和增减性也可以推断出k 的符号 在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小 在每个象限内，函数值 y 随自变量x 的增大而增大 比例系数的几何意义 过双曲线 (k≠0)上任意一点分别作x轴、y轴的垂线，所得的矩形的面积为|k| 过双曲线 上任意一点P(x，y)分别作x轴、y轴的垂线 PM,PN,所得的矩形 PMON 的面积S=PM·PN=|y|·|x|=| xy|. 因为 所以 xy=k.所以S=|k|. 同理，△OEF的面积为 k由正负之分，所以在利用k值表示矩形或三角形的面积时，都要加上绝对值符号 过双曲线 (k≠0)上任意一点作某一坐标轴的垂线，连接该点与原点，所得三角形的面积为 反比例函数的应用 一般步骤： 建立反比例函数模型求【解析】 审：审清题意，找出问题中的常量，变量，并理清变量与常量之间的关系。 设：根据题目的已知条件列出方程（组），设出表达式 列：列出函数表达式，求出待定系数 写:写出表达式，并注意自变量的取值范围 【解析】运用函数的表达式和相关性质解决实际问题 抓关键，建模型，准决策 题型一 根据反比例函数的定义求字母的值 【例1】已知 若y 是x的反比例函数，试求a的值. 【分析】思路分析在反比例函数中，根据自变量的次数是--1，且比例系数k≠0可得， 从而得字母a 【解析】根据题意，得 解得a=-2, 所以a 的值为-2. 【变式1】若 是反比例函数，试求此反比例函数的表达式. 【解析】根据题意，得 解得a=-1 所以a 的值为-1 y=-2 题型二 反比例函数与一次函数定义的综合应用 【例2】已知函数 与x成正比例关系，y₂与x成反比例关系.当x=1时， 当 时， 求：(1)y关于x的函数表达式 (2)当x=-2时,y的值. 【分析】根据“y₁与x成正比例关系，y₂与x成反比例关系”，设正比例函数为 反比例函数为 再分别代入给定特殊值列出关于待定系数的方程(组)，求出待定系数. 【解析】(1)由题意，设 则 因为当x=1时,y=4,当x=2时,y=5, 所以 解得 所以y关于x的函数表达式为 (2)当x=-2时, 【变式2】已知函数 与x成反比例关系， 与 成反比例关系.当 时， 当 时， 求y关于x的函数表达式. 【解析】由题意，设 则 因为当x=1时,y=12,当x=2时,y=4,所以 解得 所以y关于x的函数表达式为 题型三 利用反比例函数的性质比较函数值的大小 【例3】若点 和点 都在反比例函数 的图象上,则m n.(填“>”“<”或“=”). 【分析】比较函数值大小时，首先判断两点是否在函数图象的同一分支上.对于在同一分支上的点，可以通过比较其横坐标的大小并结合反比例函数在这一分支上的增减性来判断函数值的大小. 【解析】在反比例函数 中，因为 所以当 或x<0时，y随x的增大而减小.又因为 所以m<n. 【变式3】在反比例函数 y = (m为常数)的图象上有两点 且 则( ). 【解析】因为k=-|m|-1=-(|m|+1)<0,所以函数图象在第二、四象限内，且在每个象限内，y随x的增大而增大.因为所以(x₁,y₁),(x₂,y₂)都在第二象限内，所以y₂>y₁>0，故选D． 答案选D 题型四 反比例函数中比例系数k 的几何意义的应用 【例4】如图所示,M 为反比例函数y= 的图象上的一点，MA 垂直于y轴，垂足为点A， 的面积为2，则k的值为 . 【分析】利用几何图形的面积求k的值时，一般考虑应用比例系数k的几何意义求解，求解时要注意k的符号. 【解析】设点M 的坐标为(x,y),因为MA⊥y轴, 所以 k有正、负之分， 表示面积时须加绝对值符号.所以 又根据函数图象的位置可知， →图象在第一象限, 故k>0.所以 【变式4】如图1.2-4,点 A 是反比例函数 的图象上一点,过点A 作AB⊥x轴,垂足为点 B，线段AB 交反比例函数 的图象于点C，求△OAC的面积. 【解析】因为AB⊥x轴, 所以 所以S△OAC=S△AOB-S△COB=2 题型五 反比例函数与一次函数图象结合的问题 【例5】在同一平面直角坐标系中，函数 与 的大致图象是( ). 分析:此类题目需根据反比例函数与一次函数表达式中系数k 的符号进行分类讨论.对选择题来说，可以直接从选项入手，观察图象特点，从而推导出k的正负，使解答更简便，更快捷. 答案选C 【变式5】函数y= mx+n与y= 其中m≠0,n≠0,那么它们在同一平面直角坐标系中的图象可能是( ). 【解析】A项中，因为函数y=mx+n的图象经过第一、三、四象限,所以m>0,n<0,所以 所以函数 的图象应位于第二、四象限内，与图象不符.故本选项错误. B项中，因为函数y=mx+n的图象经过第一、三、四象限,所以m>0,n<0,所以 所以函数 的图象应位于第二、四象限内，与图象一致.故本选项正确.C项中，因为函数y=mx+n的图象经过第一、二、四象限,所以m<0,n>0,所以 所以函数 的图象应位于第二、四象限内，与图象不符.故本选项错误.D项中，因为函数y=mx+n的图象经过第二、三、四象限，所以m<0,n<0,所以 所以函数 的图象应位于第一、三象限内，与图象不符.故本选项错误.故选 B． 答案选B 【例6】.如图所示,反比例函数 的图象与一次函数y=mx+b的图象交于A(c,4),B(2,-2)两点.求: (1)反比例函数与一次函数的表达式； (2)当x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值? 【分析】(1)先由B 点坐标求出反比例函数表达式，利用反比例函数表达式求出A 点坐标，再将A，B两点坐标同时代入求出一次函数表达式. (2)根据图象来比较函数值的大小，然后结合交点A，B 的横坐标写出x的取值范围 【解析】(1)把点 B(2,-2)的坐标代入 得 即k=-4, 所以反比例函数的表达式为 把点A(c，4)的坐标代入 得 即c=-1,所以点A(-1,4). 把点A(--1,4),B(2,-2)的坐标代入y= mx+b,得 解得 所以一次函数的表达式为y=-2x+2. （2）若一次函数的值大于反比例函数的值，则一次函数的图象应在反比例函数的图象的上方，由题图可知，当x<-1或0<x<2时，一次函数的图象在反比例函数的图象的上方，即一次函数的值大于反比例函数的值 【变式6】如图1.2-6,正比例函数 ax(a 为常数,且a≠0)和反比例函数 (k为常数，且k≠0)的图象交于A(-2,m)，B两点，则不等式 的解集为( ). A． x<-2或x>2 B． 或x>2 D． x<-2或0<x<2 【解析】由A(-2,m),知B(2,-m),所以不等式 的解集为x<-2或0<x<2.故选D 答案选D 题型六 结合实际问题确定反比例函数的图象 【例7】已知矩形的面积为8，则它的长y与宽x之间的函数关系用图象大致可以表示为( ). 【分析】解决此类问题要把握两点：一是准确判断函数类型，选择对应函数图象；二是根据实际问题确定自变量的取值范围，并以此判断函数图象所在象限或位置. 【解析】由矩形的面积8=xy可知，它的长y与宽x之间的函数表达式为 该函数的图象是反比例函数图象，且其图象在第一象限内.故选B． 答案选B 【变式7】：小明乘车从南充到成都，行车的平均速度y(km/h)和行车时间x(h)之间的函数图象是下列中的( ). 【解析】本题主要考查反比例函数在实际问题中的应用，考虑自变量的取值范围，故排除选项A，D．因为从南充到成都的距离不变，所以平均速度 y和行车时间x之间是反比例函数关系，故排除选项C． 答案选B题型七 利用反比例函数解决实际问题 【例8】(跨学科融合)在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度 是体积的反比例函数，图象如图1.3-2所示，当 时，气体的密度是( ). 【分析】解答此类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的表达式. 【解析】设密度ρ与体积V的反比例函数表达式为 (k≠0),把点(5,2)的坐标代入,得k=10,所以密度ρ与体积V的反比例函数表达式为 把 代入，得 故选A． 答案选A 【变式8】（跨学科融合)某校举行田径运动会，学校准备了某种气球，这些气球内充满了一定质量的气体，当温度一定时，气球内气体的气压p(kPa)是气体体积 的反比例函数，其图象如图1.3-3所示. (1)写出此函数的表达式； (2)当气体的体积为 时，气压是多少? 【解析】(1)设 将A(0.5,120)的坐标代入 得k=60, 所以此函数的表达式为 (2)当V=1m³时,p=60kPA． 所以当气体的体积为1m³时，气压是60 kPA．题型八 利用反比例函数和一次函数解决实际问题 【例9】心理学家研究发现，一般情况下，一节课40 min内，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化.开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散.经过试验分析可知，学生的注意力指数y 随时间x(min)的变化规律如图1.3-8所示(其中 AB,BC 分别为线段，CD 为双曲线的一部分). (1)开始上课后第5m in时与第30 min时相比较,何时学生的注意力更集中? (2)若讲解一道数学竞赛题，需要19 min，为了达到较好的效果，要求学生的注意力指数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目? 【分析】观察图象，知AB段是一次函数，BC 段是注意力稳定阶段，y=40，CD段为反比例函数，根据图中信息先分别求出三段的表达式.(1)由图，知第5m in在AB段,第30 min在CD段,分别计算对应的y值比较即可.(2)分别求出AB，CD 两段当 时x的值，相减(取绝对值)后与19比较即得结果. 【解析】(1)设AB 段对应的函数表达式为 x≤10), 把B(10,40)的坐标代入,得 所以 设CD 段对应的函数表达式为 把C(25,40)的坐标代入,得 所以 当x=5时, 当x=30时, 因为 所以第30 min时学生的注意力更集中. (2)令 ,得36=2x+20,解得x=8. 令 得 解得 因为27.8-8=19.8>19, 所以经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目. 【变式9】病人按规定的剂量服用某种药物，测得服药2h后，每毫升血液中的含药量达到最大值为4mg，已知服药后的前2h内，每毫升血液中的含药量y(mg)与时间x(h)成正比例关系,2h后,y与x成反比例关系(如图1.3-9所示).根据以上信息解答下列问题： (1)求当 时,y与x之间的函数表达式； (2)求当x>2时,y与x之间的函数表达式； (3)若每毫升血液中的含药量不低于 2mg时治疗有效，则服药一次，治疗疾病的有效时间是多长? 【解析】(1)根据图象，知正比例函数的图象经过点(2，4)，设该函数表达式为y= kx,则2k=4,解得k=2,所以该函数表达式为y=2x(0≤x≤2). (2)根据图象，知反比例函数的图象经过点(2，4)，设该函数表达式为 即 解得k=8,所以该函数表达式为 (3)当y=2时,2x=2,解得x=1; 解得x=4. 所以服药一次，治疗疾病的有效时间是4-1=3(h) 基础巩固通关测 1.正在建设中的临滕高速是我省“十四五”重点建设项目.一段工程施工需要运送土石方总量为10⁵ m³,设土石方日平均运送量为V(m³/天)，完成运送任务所需要的时间为t(天)，则V与t 满足( ). A．反比例函数关系 B．正比例函数关系 C．一次函数关系 D．二次函数关系 【解析】根据题意,得 Vt=10⁵,所以 所以V与t 满足反比例函数关系.故选 A． 答案选A 2.若 是反比例函数，则a 的值为( ). A．1 B．-1 C．±1 D．2 【解析】因为函数 是反比例函数所以 解得a=1. 答案选A 3.反比例函数 的图象在( ). A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限 【解析】因为在反比例函数 中，,k=2>0,所以此函数图象的两个分支分别位于第一、三象限.故选 B． 答案选B 4.当k>0时，反比例函数 和一次函数y=kx+2的图象大致是( ). 【解析】因为k>0，所以反比例函数 的图象位于第一、三象限内，一次函数y=kx+2的图象经过第一、二、三象限.故选C． 答案选C 5.在反比例函数 图象上有三点A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),C(x₃,y₃),若 则下列结论正确的是 ( ). 【解析】因为点A(x₁,y₁)在反比例函数 的图象上，x₁<0，所以y₁>0.对于反比例函数 的图象，在第四象限中，y随x的增大而增大.因为 所以 y₂<y₃<0.所以.y₂<y₃<y₁,故选C 答案选C 6.如图1.2-9,在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 A，B两点，下列结论正确的是( ). A．当x>3时, B．当x<-1时,y₁<y₂ C．当0<x<3时,y₁>y₂ D．当 -1<x<0时, 【解析】由题意,得当x>3时,y₁>y₂,故A选项结论错误,不符合题意;当x<-1时, y₁<y₂,故 B选项结论正确,符合题意;当0<x<3时, y₁<y₂,故C选项结论错误,不符合题意;当-1<x<0时, y₁>y₂,故D选项结论错误，不符合题意.故选 B． 答案选B 7.已知一块蓄电池的电压U(V)为定值，以此蓄电池为电源时，电流 I(A)与电阻R(Ω)之间的函数关系如图1.3-10，则电流I关于电阻R 的函数表达式为( ). 【解析】设 因为图象经过点(4，8)，所以8=U/₄，解得U=32，所以电流Ⅰ关于电阻R的函数表达式为 故选C． 答案选C 8.面积为2 的直角三角形的一直角边长为x，另一直角边长为 y，则y与x 的变化规律用图象大致表示为 ( ). 【解析】因为 所以 xy=4,所以 0,y>0),当x=1时,y=4,当x=4时,y=1.故选 D． 答案选D 9. 在反比例函数 中，自变量x的取值范围是 ，当x=3时，y的值是 . 【解析】反比例函数中，自变量不能为0，即x≠0.把x=3代入 中，得 答案是x≠0， 10.在反比例函数 中,x,y 同号,则k的取值范围是 . 【解析】因为 所以k-1= xy.又因为x,y同号,所以 xy>0,所以k-1>0,所以k>1. 答案是 k>1 11.已知点 P(3,-2)在反比例函数 (k≠0)的图象上,则k= ;在第四象限，函数值 y 随x 的增大而_______ 【解析】因为点P(3,-2)在反比例函数 y= 的图象上,所以k=3×(-2)=-6.因为k=-6<0，所以反比例函数 的图象在第二、四象限内，且在每个象限内，y随x的增大而增大，所以在第四象限内，函数值y随x的增大而增大. 答案是 -6 ，增大 12.在反比例函数 的图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，则m的取值范围是 . 【解析】由题意,得1-m>0,所以m<1 答案是 m<1 13.在对物体做功一定的情况下，力F(N)与物体在力的方向上移动的距离s(m)成反比例函数关系，其图象如图1.3-12(示意图)所示，点P(5，1)在图象上，则当力达到 10 N 时，物体在力的方向上移动的距离是 m. 【解析】设函数表达式为 由题图可知,函数的图象经过点(5,1),所以k=5×1=5,所以 当F=10 N时 答案是 13.(跨学科融合)由欧姆定律可知，当电压不变时,电流 I(A)与电阻 R(Ω)成反比例关系.已知电压U(V)不变，当电阻R=12.5 Ω时,电流I=0.2 A． (1)求I 关于R 的函数表达式； (2)当R=5Ω时,求电流I. 【解析】(1)由欧姆定律可得， 把R=12.5Ω,I=0.2 A代入上式,得U=2.5 V,所以 (2)把R=5Ω代入 得 14..反比例函数 的图象的一支曲线如图1.2-10 所示,根据图象回答下列问题： (1)这个函数图象的另一支曲线位于哪个象限?常数a 的取值范围是什么? (2)在这个函数图象的某一支曲线上任取两点A(x₁,y₁)和B(x₂,y₂),如果 比较y₁,y₂的大小. 【解析】(1)由反比例函数图象的性质可知，函数图象的一支曲线位于第二象限，则另一支曲线一定位于第四象限.因为反比例函数图象在第二、四象限，所以比例系数a+6<0,即a<-6. (2)因为k=a+6<0，所以在反比例函数图象的每一个分支上，y随x的增大而增大.因为点A，B在同一分支上，且. 所以y₁>y₂. 15.药品研究所所测得的某种新药在成人用药后，血液中的药物浓度y(μg/mL)随用药后的时间x(h)变化的图象(图象由线段OA 与部分双曲线AB 组成)如图1.3-13 所示,并测得当y=a时，该药物才具有疗效.若成人用药4 h，药物开始产生疗效，且用药后9 h，药物仍具有疗效，则成人用药后，血液中药物至少需要多长时间达到最大浓度? 【解析】设线段OA 所在直线的表达式为y=kx，把(4,a)的坐标代入,得a=4k,解得 即线段OA 所在直线的表达式为 若(9，a)在反比例函数的图象上，则反比例函数的表达式为 当 时，即 由平方根定义，得x=6(负值舍去)， 故成人用药后，血液中药物至少需要6 h达到最大浓度. 能力提升进阶练 1.若 与y成反比例关系，¹/y与z 成正比例关系，则x与z( ). A．成正比例关系 B．成反比例关系 C．不成比例 D．成一次函数关系 【解析】由 与y成反比例关系，可设y=k₁x 由 与z成正比例关系，可设 所以 所以x与z成反比例关系. 答案选A 2.已知点A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)是反比例函数 图象上的两个点，当 时,y₁>y₂,那么一次函数y=kx-k的图象不经过( ). A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解析】因为当 时,y₁>y₂,所以k>0,所以-k<0，所以一次函数y=kx-k的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限.故选 B． 答案选B 3.教室里的饮水机接通电源后就进入自动程序：开机加热时水温每分钟上升10℃，升高到100℃后停止加热，水温开始下降，此时水温(℃)与开机后用时(min)成反比例关系，直至水温降至30℃，饮水机关机.饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序.若在水温为30℃时接通电源，水温y(℃)和时间x(min)的关系如图1.3-14所示,为了在上午第一节下课时(8：45)能喝到不超过50℃的水，则接通电源的时间可以是当天上午的( ). A．7:20 B．7:30 C．7:45 D．7:50 【解析】因为开机加热时水温每分钟上升10℃，所以从30℃到100℃需要7 min.当0≤x≤7时,设y= ,将(0,30),(7,100)的坐标代入. 解得k₁=10,b=30,所以当0≤x≤7时,y=10x+30.当7<x≤a时,设 将(7,100)的坐标代入 得k=700,所以当7<x≤a时, 将y=30代入 解得 所以 min为一个循环周期.当在上午7:20接通电源时,7:20~8:45 共85 min, 符合题意.同理可验证选项B，C，D均不合适，故选 A． 答案选A 4.把一个长、宽、高分别为3cm, 2cm ,1 cm 的长方体铜块铸成一个圆柱体铜块，则该圆柱体铜块的底面积S(cm²)与高 h(cm)之间的函数 表达式为 【解析】长方体铜块的体积为3×2×1=6(cm³)，圆柱体体积公式为V=Sh，根据体积相等可得,6= Sh,所以 答案是_ 5.已知 y+a 与x 成反比例.当 时,y=5;当 时,y=2. (1)求y与x的函数表达式； (2)当x=2时,求 y的值. 【解析】(1)由y+a 与x成反比例,设 则由题意，得 解得 所以 (2)当x=2时, 6.小王开车到某市接朋友，他家到该市的路程为300 km,其车速x(km/h)与每千米耗油量 y(L)的关系如下表所示： x 10 20 40 80 y 0.4 0.2 0.1 0.05 (1)求y 与x 之间的函数表达式； (2)若该车油箱最大容积为35 L，小王把油箱加满油后出发，接到朋友后立即返回，如果他保持60km/h的速度匀速行驶，则油箱中的油是否够用? 【解析】(1)由表可知，速度x与每千米耗油量y 的积是定值，即xy=4，所以y与x之间的函数表达式为 (2)当保持60 km/h的速度匀速行驶时， 所以总路程所需油量为 因为40>35，所以油箱中的油不够用. 7.如图1.2-12 所示,正比例函数 y=k₁x与反比例函数 的图象交于点A，过点 A 向x轴和y轴分别作垂线，所组成的正方形的面积为4. (1)分别求出正比例函数和反比例函数的表达式； (2)求出正比例函数与反比例函数图象的另一个交点D 的坐标； (3)求△ODC 的面积. 【解析】(1)设点 A 的坐标为(x,y). 因为正方形ABOC 的面积为4， 所以点A 的横、纵坐标相等，且. 所以x=y=2,所以点A 的坐标为(2,2), 所以反比例函数的表达式为 把A(2,2)的坐标代入y=k₁x,得2=2k₁,所以 所以正比例函数的表达式为y=x. (2)因为正比例函数与反比例函数的图象的交点关于原点对称， 所以点A 与点D 关于原点对称. 因为点A 的坐标为(2,2), 所以点 D 的坐标为(-2,-2). (3)因为点A 的坐标为(2,2), 所以点C 的坐标为(2,0). 又因为点 D 的坐标为(-2,-2), 所以 8.我市某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种适宜生长温度为 15~20℃的新品种，某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚里温度 y(℃)随时间x(h)变化的函数图象如图所示，其中 AB 段是恒温阶段，BC 段是双曲线 的一部分，请根据图中信息解答下列问题： (1)求 k 的值; (2)恒温系统在一天内保持大棚里温度在 15 ℃及15 ℃以上的时间有多少小时? 【解析】(1)把B(12,20)的坐标代入 中,得k=12×20=240. (2)设AD所在直线对应的函数表达式为y=mx+n.把(0,10),(2,20)的坐标代入 y = mx+n 中,得 解得m=5,n=10. 所以AD所在直线对应的函数表达式为y=5x+10. 当y=15时,15=5x+10,解得x=1; 当 时， 所以16-1=15(h). 答：恒温系统在一天内保持大棚里温度在15℃及15℃以上的时间有15 h. 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$