第02讲 三角恒等变换（和差公式、倍角公式、升降幂公式、辅助角公式）（专项训练）（北京专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第02讲 三角恒等变换 （和差公式、倍角公式、升降幂公式、辅助角公式） 目录 01 常考题型过关练 题型01 两角和差正弦、余弦、正切公式应用 题型02 两角和差正弦、余弦、正切公式逆应用 题型03 辅助角公式应用 题型04 二倍角公式 题型05 三角函数求值（给角求值型） 题型06 三角函数求值（给值求值型） 题型07 三角函数求值（给值求角型） 02 核心突破提升练 03 真题溯源通关练 01 两角和差正弦、余弦、正切公式应用 1．（    ） A． B． C．0 D．1 2．已知，是第四象限角，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，且，则（    ） A．2 B． C． D． 4．已知，，则 ． 5．已知． (1)求的值； (2)求的值． 02 两角和差正弦、余弦、正切公式逆应用 6．（    ） A． B． C． D．1 7．（   ） A． B． C． D． 8．（   ） A． B． C． D． 9． ． 10．求下列各式的值． (1)； (2)． 03 辅助角公式应用 11．若的图象关于对称，则（   ） A． B．0 C．1 D． 12．函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为（    ） A． B． C． D． 13．已知，则的值是（ ） A． B． C． D． 14．已知函数．求的值． 15．求函数的最小正周期． 04 二倍角公式 16．已知，则（   ） A． B． C． D． 17．已知是角终边上一点，则（  ） A． B． C． D． 18．已知，则（   ） A． B． C． D． 19．若，则（   ） A． B． C． D． 20．若，则（    ） A． B． C． D． 05 三角函数求值（给角求值型） 21．计异下列合式的值， 结果为2的是（      ） A． B． C． D． 22． （    ） A．2 B． C．1 D． 23． ． 24．（1）化简：； （2）计算：. 25．（1）若，求的值； （2）化简 06 三角函数求值（给值求值型） 26．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 27．已知，均为锐角，且，，则（    ） A． B． C． D． 28．已知，则（   ） A． B． C． D． 29．已知，，，则的值为 . 30．已知，，则 ． 31．已知，其中，若，则 ． 07 三角函数求值（给值求角型） 32．已知，且，则 ． 33．在平面直角坐标系中，点、、满足：在轴的正半轴上，的横坐标是，，．记是锐角，是钝角． (1)求的值； (2)求的值． 34．已知向量，，其中，且. (1)求和的值； (2)若，且，求角. 35．已知，，，. (1)求的值； (2)求的值. 36．已知，且. (1)求； (2)若，且，求. 37．已知，，且与共线. (1)求的值； (2)若，求的值. 1．（2025·北京朝阳·一模）已知，，则（   ） A． B． C． D．1 2．（2023·北京西城·三模）已知，则的值为（    ） A．3 B．－3 C． D． 3．（2025·北京延庆·一模）已知是第四象限角且，，则的值为 . 4．（2024·北京·模拟预测）已知满足：，则 ； . 5．（2023·北京海淀·三模）若点与点关于轴对称，写出一个符合题意的 . 6．（2023·北京房山·二模）已知角终边过点，角终边与角终边关于轴对称，则 ； ． 1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·上海·高考真题）下列函数的最小正周期是的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·全国甲卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 . 学科 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 三角恒等变换 （和差公式、倍角公式、升降幂公式、辅助角公式） 目录 01 常考题型过关练 题型01 两角和差正弦、余弦、正切公式应用 题型02 两角和差正弦、余弦、正切公式逆应用 题型03 辅助角公式应用 题型04 二倍角公式 题型05 三角函数求值（给角求值型） 题型06 三角函数求值（给值求值型） 题型07 三角函数求值（给值求角型） 02 核心突破提升练 03 真题溯源通关练 01 两角和差正弦、余弦、正切公式应用 1．（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】利用正弦和余弦的差角公式及诱导公式，即可求解. 【详解】 . 故选：C. 2．已知，是第四象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求，利用二倍角公式计算出和，即可求出. 【详解】由题意， ， ， ∵是第四象限角， ∴， , ， . 故选：D. 3．已知，且，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同角三角函数的基本关系求，再利用两角和的正切公式即可求解. 【详解】由且，所以， 所以，所以， 故选：B. 4．已知，，则 ． 【答案】 【分析】利用两角和的正切公式求解即可． 【详解】． 故答案为：． 5．已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，求得，结合两角和的余弦公式，即可求解； （2）由（1），求得，结合两角和的正弦公式，即可求解. 【详解】（1）解：由，可得， 则. （2）解：由（1）知， 则. 02 两角和差正弦、余弦、正切公式逆应用 6．（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】应用两角和余弦公式计算求解. 【详解】， 故选：A. 7．（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由诱导公式及正弦和角公式逆用可求值. 【详解】 . 故选：B. 8．（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，逆用和角的正切公式求解即得. 【详解】. 故选：B 9． ． 【答案】 【分析】根据诱导公式及两角差的正切公式求解即可. 【详解】． 故答案为：. 10．求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）利用正切的和角公式逆用可解． （2），然后利用正切的和角公式逆用可解． 【详解】（1）． （2） 因为，所以． 03 辅助角公式应用 11．若的图象关于对称，则（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】B 【分析】根据辅助角公式化简得，根据对称轴求出的值，将代入解出的值. 【详解】根据辅助角公式得：， 因为的图象关于对称， 所以，解得即， 则. 故选：B 12．函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用辅助角公式将函数解析式进行化简；再利用正弦型函数的性质可求解. 【详解】因为函数的最小正周期， 所以函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为. 故选：B. 13．已知，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用辅助公式及二倍角的余弦公式计算得解. 【详解】依题意，，解得， 所以． 故选：C 14．已知函数．求的值． 【答案】2 【分析】先利用二倍角公式及辅助角公式化简，进而代入求解． 【详解】由， 则． 15．求函数的最小正周期． 【答案】 【分析】利用诱导公式结合二倍角的正弦公式、辅助角公式化简得，再利用正弦型函数的周期性求解. 【详解】 ． 则最小正周期. 04 二倍角公式 16．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将两边平方，可求得，再利用二倍角公式，即可求得答案. 【详解】因为，所以， 即得，则， 故， 故选：A 17．已知是角终边上一点，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据任意角三角函数定义可得，再结合倍角的正切公式求解即可. 【详解】∵是角终边上一点，∴， ∴ 故选：A. 18．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据余弦的二倍角公式以及诱导公式即可求解. 【详解】，即， 故选：D 19．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用二倍角余弦公式计算求解. 【详解】因为，则. 故选：A. 20．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用三角函数的二倍角公式求出的值，再根据三角函数的诱导公式将转化为与有关的形式，进而求出的值. 【详解】已知，根据二倍角公式，令，则可得： 根据三角函数诱导公式，对进行变形可得： 令，则 由，所以 故选：A. 05 三角函数求值（给角求值型） 21．计异下列合式的值， 结果为2的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用和角的正切公式计算求值判断A；利用二倍角的正弦公式计算可判断B；运用两角和的正切公式计算判断C；利用辅助角公式二倍角的正弦公式和诱导公式计算可判断D. 【详解】对于A， ，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，， 则有， 所以 ，故C正确； 对于D， ，故D错误. 故选：C 22． （    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】利用诱导公式、二倍角公式化简即得. 【详解】. 故选：D 23． ． 【答案】 【分析】利用和角的余弦公式及诱导公式化简即得. 【详解】. 故答案为： 24．（1）化简：； （2）计算：. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）运用两角差的余弦公式，结合辅助角公式计算即可. （2）运用诱导公式五，六化简，再结合同角三角函数关系式计算. 【详解】（1） （2） . 25．（1）若，求的值； （2）化简 【答案】（1）2；（2）1 【分析】（1）利用正切和角公式得到，故； （2）利用同角三角函数关系，辅助角公式，正弦二倍角公式和诱导公式，化简得到答案. 【详解】（1），故， 即，所以， ， 所以； （2） . 06 三角函数求值（给值求值型） 26．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用，，再结合两角和与差的三角公式进行化简，再利用同角三角函数的基本关系可得答案. 【详解】因为， ， 所以：，. 又. 故选：B 27．已知，均为锐角，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用两角差的余弦公式计算求解得出，进而应用同角三角函数关系计算求解正切. 【详解】因为，均为锐角，，， 所以，所以，， 所以， 所以 则 故选：A. 28．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用利用两角和的余弦公式和辅助角公式将题设等式化简，得到，再利用二倍角余弦公式及诱导公式即可求得. 【详解】 ，所以，所以， 故. 故选：D 29．已知，，，则的值为 . 【答案】/ 【分析】由三角函数和差公式，根据同角三角函数的商式，结合角的取值范围，可得答案. 【详解】因为， ， 所以， 分子分母同时除以，得①． 由于，所以，所以， 所以， 所以，，代入①， 得，解得. 故答案为：. 30．已知，，则 ． 【答案】/ 【分析】利用两角差的正弦公式以及同角关系联立解方程，再由两角和的正弦公式代入计算可得结果. 【详解】由可得， 由可得，即， 联立解得； 所以. 故答案为： 31．已知，其中，若，则 ． 【答案】/ 【分析】由已知，商数关系及差角正弦公式得，再结合角的范围得，即可得. 【详解】， 由，则， ，， . 故答案为： 07 三角函数求值（给值求角型） 32．已知，且，则 ． 【答案】 【分析】根据二倍角公式和诱导公式可得，即可根据角的范围求解. 【详解】由于，则，，进而， ，则，进而， 所以， ，故， 结合， 由于，， 因此由得，故， 故答案为： 33．在平面直角坐标系中，点、、满足：在轴的正半轴上，的横坐标是，，．记是锐角，是钝角． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可设，，利用 可得的值，再根据的横坐标，是钝角可得，最后利用余弦和角公式可计算； （2）由（1）可求，根据题意得到，再求利用正弦差角公式即可确定的值. 【详解】（1）由题意，可知， 因为， 故可设点的坐标为， 则有，所以， 又为锐角，所以， 因为钝角的终边与单位圆的交点的横坐标是， 所以，则， 所以； （2）由（1）知， ， 所以， 因为，所以， 又，所以， 又，所以， 所以． 34．已知向量，，其中，且. (1)求和的值； (2)若，且，求角. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由结合与的范围，求出和，代入二倍角的正余弦公式即可计算出和的值； （2）确定范围，由的值计算出，利用和两角差的正弦公式计算出，即可得出角. 【详解】（1）因为，，且， 所以，即， 代入，得，， 因为，所以，，故， 则， 根据二倍角的正余弦公式：， . （2）因为，，所以， 又，所以，， 所以， 故 ， 因为，所以. 35．已知，，，. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）转化为齐次式即可求解； （2）根据，结合两角和差的正切公式即可求解. 【详解】（1）. （2）， ， 因为，，所以， 所以. 36．已知，且. (1)求； (2)若，且，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）可先根据二倍角余弦公式求出与的关系，进而求出； （2）先求出的值，再结合的取值范围确定其具体值. 【详解】（1）已知，根据二倍角余弦公式， 且，可得： 设，则，即，解得. 因为，所以，则. （2）将代入二倍角正切公式可得：. 再根据两角和的正切公式. 因为，所以，又，所以. 在这个区间内，正切值为的角是，而，所以. 37．已知，，且与共线. (1)求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由与共线得，进而得，利用诱导公式即可求解； （2）由（1）知，由得，即可求解. 【详解】（1）由与共线得：，则， ， ， 则. （2）由（1）知，，则 故或，或 1．（2025·北京朝阳·一模）已知，，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】将给定的两个等式平方相加，再逆用差角的余弦公式即得. 【详解】由，，得， 整理得，所以. 故选：B 2．（2023·北京西城·三模）已知，则的值为（    ） A．3 B．－3 C． D． 【答案】B 【分析】利用两角和的正切公式求解. 【详解】解：因为， 所以， 故选：B 3．（2025·北京延庆·一模）已知是第四象限角且，，则的值为 . 【答案】 【分析】由已知求得，再根据两角差的正切公式计算即可． 【详解】因为是第四象限角且，所以，， 因为，所以， 则. 故答案为：. 4．（2024·北京·模拟预测）已知满足：，则 ； . 【答案】 / 【分析】根据同角三角比的基本关系求解出的值，然后利用二倍角的余弦公式并结合弦化切即可求出的值. 【详解】因为，所以； 因为，所以， 所以， 故答案为：；. 5．（2023·北京海淀·三模）若点与点关于轴对称，写出一个符合题意的 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】依题意可得，利用和角公式展开得到，即可求出的取值. 【详解】因为点与点关于轴对称， 则， 由可得，则，所以， 由，可得，则，所以， 因此，取. 故答案为：（答案不唯一） 6．（2023·北京房山·二模）已知角终边过点，角终边与角终边关于轴对称，则 ； ． 【答案】 /0.6 【分析】根据三角函数的定义求出角的正切值，得到点关于轴的对称点，即可求得，再结合余弦的差角公式即可得到结果. 【详解】由题意，角终边过点，由三角函数定义知：， ，， 由角终边与角终边关于轴对称得角的终边过点， 所以，， 故. 故答案为：，. 1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两角和的余弦可求的关系，结合的值可求前者，故可求的值. 【详解】因为，所以， 而，所以， 故即， 从而，故， 故选：A. 2．（2024·上海·高考真题）下列函数的最小正周期是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可 . 【详解】对A，，周期，故A正确； 对B，，周期，故B错误； 对于选项C，，是常值函数，不存在最小正周期，故C错误； 对于选项D，，周期，故D错误， 故选：A． 3．（2024·全国甲卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将弦化切求得，再根据两角和的正切公式即可求解. 【详解】因为， 所以，， 所以， 故选：B. 4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 . 【答案】 【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得，再缩小的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案. 【详解】法一：由题意得， 因为，， 则，， 又因为， 则，，则， 则，联立 ，解得. 法二： 因为为第一象限角，为第三象限角，则, ，， 则 故答案为：. 学科 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$