第04章 一元一次方程 章节（9知识点回顾+24题型练习） 核心知识点与常见题型通关讲解练【暑假预习】2025-2026学年七年级上册数学（苏科版2024）

第04章 一元一次方程 章节（9知识点回顾+24题型练习） 题型汇聚 题型一 判断各式是否是方程 题型二 等式的性质1 题型三 等式的性质2 题型四 列方程 题型五 判断是否是方程的解 题型六 已知方程的解，求参数 题型七 判断是否是一元一次方程 题型八 判断是否是一元一次方程解 题型九 解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 题型十 解一元一次方程（二）——去括号 题型十一 解一元一次方程（三）——去分母 题型十二 已知一元一次方程的解，求参数 题型十三 一元一次方程解的关系 题型十四 绝对值方程 题型十五 配套问题(一元一次方程的应用) 题型十六 工程问题(一元一次方程的应用) 题型十七 销售盈亏(一元一次方程的应用) 题型十八 比赛积分(一元一次方程的应用) 题型十九 方案选择(一元一次方程的应用) 题型二十 数字问题(一元一次方程的应用) 题型二十一 几何问题(一元一次方程的应用) 题型二十二 动点问题（一元一次方程的应用） 题型二十三 和差倍分问题(一元一次方程的应用) 题型二十四 其他问题(一元一次方程的应用) 知识清单 知识点1．方程的定义 （1）方程的定义：含有未知数的等式叫方程． 方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式；②含有未知数． （2）列方程的步骤： ①设出字母所表示的未知数； ②找出问题中的相等关系； ③列出含有未知数的等式﹣﹣﹣﹣方程． 在未知数等于某特定值时，恰能使等号两边的值相等者称为条件方程，例如x+3＝8，在x＝5时等号成立． 知识点2．方程的解 （1）方程的解：解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值叫方程的解． 注意：方程的解和解方程是两个不同的概念，方程的解是指使方程两边相等的未知数的值，具有名词性．而解方程是求方程解的过程，具有动词性． （2）规律方法总结： 无论是给出方程的解求其中字母系数，还有判断某数是否为方程的解，这两个方向的问题，一般都采用代入计算是方法． 知识点3．等式的性质 （1）等式的性质 性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式； 性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． （2）利用等式的性质解方程 利用等式的性质对方程进行变形，使方程的形式向x＝a的形式转化． 应用时要注意把握两关： ①怎样变形； ②依据哪一条，变形时只有做到步步有据，才能保证是正确的． 知识点4．方程的解 （1）方程的解：解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值叫方程的解． 注意：方程的解和解方程是两个不同的概念，方程的解是指使方程两边相等的未知数的值，具有名词性．而解方程是求方程解的过程，具有动词性． （2）规律方法总结： 无论是给出方程的解求其中字母系数，还有判断某数是否为方程的解，这两个方向的问题，一般都采用代入计算是方法． 知识点5．一元一次方程的定义 （1）一元一次方程的定义 只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 通常形式是ax+b＝0（a，b为常数，且a≠0）．一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．我们将ax+b＝0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1． （2）一元一次方程定义的应用（如是否是一元一次方程，从而确定一些待定字母的值） 这类题目要严格按照定义中的几个关键词去分析，考虑问题需准确，全面．求方程中字母系数的值一般采用把方程的解代入计算的方法． 知识点6．一元一次方程的解 定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 把方程的解代入原方程，等式左右两边相等． 知识点7．解一元一次方程 （1）解一元一次方程的一般步骤： 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化． （2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号． （3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负． 知识点8．由实际问题抽象出一元一次方程 审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程． （1）“总量＝各部分量的和”是列方程解应用题中一个基本的关系式，在这一类问题中，表示出各部分的量和总量，然后利用它们之间的等量关系列方程． （2）“表示同一个量的不同式子相等”是列方程解应用题中的一个基本相等关系，也是列方程的一种基本方法．通过对同一个量从不同的角度用不同的式子表示，进而列出方程． 知识点9．一元一次方程的应用 （一）一元一次方程解应用题的类型有： （1）探索规律型问题； （2）数字问题； （3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）； （5）行程问题（路程＝速度×时间）； （6）等值变换问题； （7）和，差，倍，分问题； （8）分配问题； （9）比赛积分问题； （10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）． （二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答． 列一元一次方程解应用题的五个步骤 1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系． 2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数． 3．列：根据等量关系列出方程． 4．解：解方程，求得未知数的值． 5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句． 题型练习 题型一 判断各式是否是方程 1．下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，是方程的是（    ）． A．①②④⑤ B．①②⑤ C．①④⑤ D．6个都不是 【答案】C 【知识点】判断各式是否是方程 【分析】根据方程的定义对各小题进行逐一分析即可． 【详解】解：①2x-1=5符合方程的定义，故本小题正确； ②4+8=12不含有未知数，不是方程，故本小题错误； ③5y+8不是等式，故本小题错误； ④2x+3y=0符合方程的定义，故本小题正确； ⑤2x2+x=1符合方程的定义，故本小题正确； ⑥2x2-5x-1不是等式，故本小题错误． 综上，是方程的是①④⑤． 故选：C． 【点睛】本题考查了方程的定义，熟知含有未知数的等式叫方程是解答此题的关键． 2．（23-24七年级上·全国·课堂例题）已知式子：①；②；③；④；⑤．其中的等式是 ，其中含有未知数的等式是 ，所以其中的方程是 ．（填序号） 【答案】 ①③④⑤ ③④⑤ ③④⑤ 【知识点】等式的性质、判断各式是否是方程 【分析】根据等式的特点：用等号连接的式子，方程的特点：①含有未知数，②是等式进行判断即可． 【详解】解：由题意可得，含有未知数的等式是方程， ①是等式； ②是多项式，既不是等式也不是方程； ③既是等式也是方程； ④既是等式也是方程； ⑤既是等式也是方程， 故答案为：①③④⑤；③④⑤；③④⑤． 【点睛】本题考查等式和方程的定义，熟练掌握方程的定义是解题的关键． 题型二 等式的性质1 3．（24-25七年级上·江苏南京·期末）下列说法中，错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．根据根据“等式两边同时加（减）同一个数或整式，等式仍然成立；等式两边同时乘（除）同一个不为0的数或整式，等式仍然成立”，逐一判定即可． 【详解】解：A．若，则，故选项A正确，不符合题意； B．若，则，故选项B错误，符合题意； C．若，则，故选项C正确，不符合题意； D．若，则，故选项D正确，不符合题意． 故选：B． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）已知，利用等式的性质，求： (1)和的值； (2)的值． 【答案】(1)，7 (2)16 【知识点】等式的性质2、等式的性质1 【分析】题目主要考查等式的性质及求代数式的值，熟练掌握等式的性质是解题关键． （1）根据题意，得，再由等式的性质求解即可； （2）将原式整理，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 在左右两边同时乘b，得， 在左右两边同时除以，得， 在等式，左右两边同时加3，得，即， 在左右两边同时加b，得； （2）， 由（1）知，， 故原式． 题型三 等式的性质2 5．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）根据等式的性质，下列各式变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【知识点】等式的性质2 【分析】本题考查了等式的性质．熟记等式的性质是解题的关键．根据等式的性质2：等式的两边同时乘以同一个数或式子，或同时除以同一个不为0数或式子，等式仍然成立，逐一判断即得． 【详解】解：A. 若，则，两边同乘c，得，∴选项正确，符合题意； B. 若，则时，无意义，∴选项不正确，不符合题意； C. 若，则时，不成立，∴选项不正确，不符合题意； D. 若，则两边同乘，得，∴选项不正确，不符合题意． 故选：A． 6．（2024七年级上·全国·专题练习）利用等式的基本性质解下列一元一次方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】等式的性质2、等式的性质1 【分析】本题主要考查等式的性质，解一元一次方程，掌握等式的性质，解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）根据等式的性质解一元一次方程即可求解； （2）根据等式的性质解一元一次方程即可求解． 【详解】（1）解： 方程的两边都减，得， 方程的两边都除以，得； （2）解： 方程的两边都减，得， 方程的两边都乘，得． 题型四 列方程 7．（22-23七年级上·江苏淮安·阶段练习）“x的2倍与5的差等于0”，用方程表示为 ． 【答案】 【知识点】列方程 【分析】根据题意列方程即可． 【详解】由题意得，方程为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了根据题意列方程，准确理解题意是解题的关键． 8．某班学生分组参加活动，原来每组8人，后来重新编组，每组6人，这样比原来增加了两组，这个班共有多少名学生？若设共有x名学生，可列方程为 ． 【答案】 【知识点】列方程 【分析】设这个班学生共有人，先表示出原来和后来各多少组，其等量关系为后来的比原来的增加了组，根据此列方程即可． 【详解】解：设这个班学生共有人， 根据题意得： 故答案为：． 【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，其关键是找出等量关系及表示原来和后来各多少组． 题型五 判断是否是方程的解 9．（24-25七年级上·江苏常州·期末）下列方程中，解为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断是否是方程的解 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解题关键是熟练掌握一元一次方程解的定义，把分别代入各个选项中的方程，分别求出方程的左边和右边，然后根据一元一次方程解的定义进行计算，并判断即可． 【详解】解：把代入中，左边，右边， 左边右边， 不是此选项方程的解，故此选项不符合题意； 把代入，左边，右边， 左边=右边， 是此选项方程的解，故此选项符合题意； 把代入，左边，右边， 左边右边， 不是此选项方程的解，故此选项不符合题意； 把代入，左边，右边， 左边右边， 不是此选项方程的解，故此选项不符合题意； 故选：． 10．判断下列方程后面所给出的数，哪些是方程的解． (1)，（，）； (2)，（，）． 【答案】(1)，不是原方程的解；，是原方程的解 (2)，不是原方程的解；，是原方程的解 【知识点】判断是否是方程的解 【分析】本题考查的是方程的解的含义，判断方程的解； （1）把，分别代入，由方程左右两边的值是否相等可得答案； （2）把，分别代入，由方程左右两边的值是否相等可得答案； 【详解】（1）解：（1）将代入原方程， ∵左边，右边， ∴左边≠右边， ∴不是原方程的解； 将代入原方程， ∵左边，右边， ∴左边＝右边， ∴是原方程的解； 将代入原方程， ∵左边，右边， ∴左边＝右边， ∴是原方程的解； 将代入原方程， ∵左边，右边， ∴左边≠右边， ∴不是原方程的解； （2）解：将代入原方程， ∵左边，右边， ∴左边≠右边， ∴不是原方程的解； 将代入原方程， ∵左边，右边， ∴左边＝右边， ∴是原方程的解； 将代入原方程， ∵左边，右边， ∴左边≠右边， ∴不是原方程的解； 将代入原方程， ∵左边，右边， ∴左边＝右边， ∴是原方程的解． 题型六 已知方程的解，求参数 11．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）若是方程的解，则 ． 【答案】1 【知识点】已知方程的解，求参数 【分析】本题考查了一元一次方程的解的知识点，解题的关键是将方程的解代入原方程． 把代入方程，得到关于的方程，进而求解的值． 【详解】因为是方程的解， 将代入方程中，得到， 解得． 故答案为：1． 12．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时整式对应的值：则关于的方程的解为 0 1 2 4 2 0 【答案】 【知识点】已知方程的解，求参数 【分析】本题考查了方程解的定义，将整理为，再根据表格数据分析，即可解题． 【详解】解：由， 得：， 由表可知：当时，， ∴方程的解为， 故答案为：． 题型七 判断是否是一元一次方程 13．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）下列各式中，一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题考查判断一元一次方程，熟记一元一次方程定义中的三点要求是解题的关键．一元一次方程是含有一个未知数，未知数的指数为1的整式方程，根据定义判断即可． 【详解】A. ，未知数的最高次为2，不是一元一次方程； B. 符合一元一次方程的定义，是一元一次方程； C. 含有2个未知数，不是一元一次方程； D. 是不是整式方程，所以不是一元一次方程； 故选：B． 14．（24-25七年级上·江苏南通·期末）已知关于的方程是一元一次方程，则的值为 ． 【答案】0 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，掌握只含有一个未知数，且未知数的次数是1的方程叫一元一次方程是解题关键．根据一元一次方程的定义，得到，，即可求解． 【详解】解：关于的方程是一元一次方程， 且， 解得：， 故答案为：0． 题型八 判断是否是一元一次方程解 15．（24-25七年级上·甘肃张掖·阶段练习）下列方程中，解为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断是否是一元一次方程解 【分析】本题考查一元一次方程的解，把代入每个方程，当左边等于右边时，是该方程的解；当左边不等于右边时，不是该方程的解，据此判断即可．解题的关键是掌握：方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 【详解】解：A．把代入方程得：左边，右边，左边右边，故此选项不符合题意； B．把代入方程得：左边，右边，左边右边，故此选项符合题意； C．把代入方程得：左边，右边，左边右边，故此选项不符合题意； D．把代入方程得：左边，右边，左边右边，故此选项不符合题意． 故选：B． 16．（22-23七年级上·江苏扬州·期中）小马虎在解关于x的方程时，误将“”看成了“”，得方程的解为．求原方程的解． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、判断是否是一元一次方程解 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，根据题意可得是方程的解，据此把代入到方程中求出a的值，进而解方程即可得到答案． 【详解】解：由题意得，是方程的解， ∴， 解得， ∴原方程为， 解得． 题型九 解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 17．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）方程的解是 ． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 通过去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求出x的值． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：． 18．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）定义一种新运算，规定(、是有理数)．例如： (1)计算； (2)若，求的值； (3)比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3)当大于时，大，当等于时，一样大，当小于时，小 【知识点】整式的加减运算、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，有理数的混合运算，整式的加减，正确理解题意是解题的关键． （1）根据给定的新运算，即可求出的值； （2）根据，可列出关于的一元一次方程，求解即可； （3）表示出，分类讨论即可． 【详解】（1）解：， ； （2）， 解得， 的值为； （3）； ， ， 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即， 综上，当时，； 当时，； 当时，即． 题型十 解一元一次方程（二）——去括号 19．（24-25七年级上·江苏常州·期末）当代数式与互为相反数，则 ． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、相反数的定义 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，相反数，熟练掌握解一元一次方程的方法，相反数的性质是解题的关键，根据题意，由相反数的性质得出，再根据解一元一次方程的方法求解即可． 【详解】解：代数式与互为相反数， ， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 将系数化为1，得 故答案为：． 20．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）对于任意四个有理数a、b、c、d．规定：．如：． 根据上述规定解决下列问题： (1)求的值； (2)若，求x； (3)若的值与x的取值无关，求k的值． 【答案】(1)22 (2) (3) 【知识点】有理数四则混合运算、整式加减中的无关型问题、解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，整式加减运算，有理数混合运算，熟练掌握解方程的基本步骤，理解新定义，是解题的关键． （1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）原式利用题中的新定义列出方程，解方程即可求出的值； （3）原式利用题中的新定义计算，得出，根据的值与x的取值无关，列出方程，求出整数的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵， ∴， ， ， ， ； （3）解： 的值与x的取值无关， ， ． 题型十一 解一元一次方程（三）——去分母 21．（2024七年级上·全国·专题练习）小明解方程去分母时，方程右边的忘记乘6，因而求出的解为，那么原方程正确的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程，理解一元一次方程的解法是解答关键． 去分母时，方程右边的忘记乘6，则所得的方程是，把代入即可求得的值，然后把的值代入原方程，解方程即可． 【详解】解：去分母时，方程右边的忘记乘6，则所得的方程是， 把代入方程得， 解得：， 把代入方程得 ， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得． 故选：B． 22．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）解下列方程： (1)； (2) 【答案】(1)； (2)． 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查解一元一次方程： （1）方程按去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求出方程的解即可； （2）方程按去分母、去括号、移项，合并同类项，系数化为1，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：去括号得， 移项，合并得， 把系数化为1，； （2）解：， 去分母，得，， 去括号，得，， 移项，合并得，， 把系数化为1，． 题型十二 已知一元一次方程的解，求参数 23．已知关于的方程有整数解，则正整数的值为（  ） A． B．或 C．或或 D．或或或 【答案】A 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题考查了一元一次方程的解及解法，掌握解一元一次方程的解法是解题的关键．先解关于的方程得到，然后根据整数的整除性求解． 【详解】解： 为整数，为正整数， ， 故选：A． 24．已知：关于x的方程∶ （其中a、b、k为常数）． (1)如果该方程无解，则k的值一定为多少？ (2)如果该方程有解，且不论k为何值时，它的解总是1，试求a，b的值． 【答案】(1) (2)， 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数、一元一次方程解的关系 【分析】本题考查解一元一次方程与一元一次方程的解，正确理解方程无解与有解是解题的关键． （1）将方程整理后由方程无解可求出k的值． （2）根据方程的解的定义，把代入方程，由k可以取得任意值可得到关于a和b式子，求得a和b的值． 【详解】（1）解：整理方程，得 ， ∵该方程无解， ∴， 解得：； （2）解：把代入方程，得， 化简，得， ∵k可以取任意值， ∴， 解得． 题型十三 一元一次方程解的关系 25．（24-25七年级上·江苏南通·期末）若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【知识点】一元一次方程解的关系 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解题关键是熟练掌握一元一次方程解的定义． 把关于的方程化成，然后根据关于的一元一次方程的解为，求出关于的一元一次方程的解即可． 【详解】解：， ， 观察知：关于y的方程，形式与变形后的关于x的方程相似， 令． 关于的一元一次方程的解为， 关于的一元一次方程的解为： ， 故答案为：． 26．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）若关于的一元一次方程的解满足，则称该方程为“友好方程”，例如：方程的解为，而，则方程为“友好方程”． 运用 (1)①，②两个方程中为“友好方程”的是 (填写序号) (2)若关于的一元一次方程是“友好方程”，求的值 (3)若关于的一元一次程是“友好方程”，且它的解为，则 ， 【答案】(1) (2) (3)， 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、一元一次方程解的关系 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，解方程组等知识点，熟练掌握解方程的方法是解决此题的关键． (1)先解方程，再利用题中的新定义判断即可； (2)根据题中的新定义列出有关的方程，求出方程的解即可得到的值；利用题中的新定义确定出所求即可； (3)根据“友好方程”的定义即可得出关于、的方程组，解之即可得出、的值． 【详解】（1）解：，解得： 而，是“友好方程”； ，解得：， 而，不是“友好方程”； 故答案为：； （2）解：方程的解为， ，解得； （3）解：关于x的一元一次方程是”友好方程”，并且它的解是， ，且， 解得，， 故答案为，． 题型十四 绝对值方程 27．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如果，那么 ． 【答案】 【知识点】绝对值方程 【分析】本题考查绝对值方程，掌握当时，a的绝对值为a，当时，a的绝对值为，解题即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 28．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）若，，且，求的值． 【答案】 【知识点】绝对值方程、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查的是绝对值方程，求解代数式的值，由绝对值的含义可得，，再结合，再分情况讨论即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，或，， ∴当，时，则； 当，时，则， ∴． 题型十五 配套问题(一元一次方程的应用) 29．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）某车间有21名工人，每人每天可以生产螺栓10个或螺母18个，设名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，要求每天生产的螺栓和螺母按刚好配套，则可列方程为 ． 【答案】 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用．根据题意设名工人生产螺栓，则名工人生产螺母，再根据题意列方程即可． 【详解】解：设名工人生产螺栓，则名工人生产螺母， 由题意得：． 故答案为：． 30．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）用长方形硬纸板做长方体盒子，底面为正方形．长方形硬纸板以如图两种方法裁剪．A方法：剪3个侧面；B方法：剪2个侧面和2个底面．现有35张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法．    (1)用含x的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数； (2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？ 【答案】(1)侧面个，底面个 (2)能做21个盒子 【知识点】列代数式、整式加减的应用、配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，整式的加减的应用，正确的找出题中的等量关系是解题的关键． （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据题意列出一元一次方程，解方程求解即可． 【详解】（1）方法剪个侧面，方法剪个侧面和个底面， ，， 共有侧面个，底面个； （2）根据已知条件可得， 解得， ， 答：裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，能做21个盒子． 题型十六 工程问题(一元一次方程的应用) 31．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）我校要整理一批图书，如果由一个人单独做需花20小时完成．现先由一部分人整理了1小时，随后又增加7人和他们一起又做了小时，恰好完成整理工作．假设每个人的工作效率相同，那么先安排整理的人员有多少 人． 【答案】8 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】此题考查了一元一次方程的实际运用．设先安排整理的人员有x人，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设先安排整理的人员有x人，根据题意得： ， 解得：， 答：先安排整理的人员有8人． 故答案为：8 32．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）为方便城镇和乡村之间的联系，政府决定修建一条公路，若由甲工程队单独修建需3个月完成，每月耗资万元；若由乙工程队单独修建需个月完成，每月耗资万元． (1)甲、乙两工程队合作修建需几个月完成？共耗资多少万元？ (2)若要求最多个月完成修建任务，请你设计一种方案，既能够保证按时完成任务，又能最大限度节省资金（时间按照整月计算） 【答案】(1)甲、乙两工程队合作修建需个月完成，共耗资万元； (2)甲、乙合作个月，然后乙再单独修建个月既能按时完成任务，又最大限度节省资金 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】（）设甲、乙两工程队合作修建需个月完成，根据“由甲工程队单独修建需个月完成，每月耗资万元；若由乙工程队单独修建需个月完成，每月耗资万元”建立方程求解即可得到，然后计算耗资即可； （）根据题意，有如下三种方案，方案一：由甲工程队单独修建需个月完成任务，耗资万元；方案二：由甲、乙两工程队合作修建需个月完成任务，耗资万元；方案三：由甲、乙两工程队合作修建一段时间，剩下的由乙工程队单独完成，共耗时个月，分别计算出各自的耗资，再比较即可作出判断； 本题考查了一元一次方程的实际应用，理解题意，找准等量关系，建立适当方程求解，并结合题意进行方案设计是解题关键． 【详解】（1）解：设甲、乙两工程队合作修建需个月完成，根据题意： ， 解得， ∴， 答：甲、乙两工程队合作修建需个月完成，共耗资万元； （2）解：根据题意，有如下三种方案： 方案一：由甲工程队单独修建需个月完成任务，耗资（万元）； 方案二：由甲、乙两工程队合作修建需个月完成任务，耗资万元； 方案三：由甲、乙两工程队合作修建一段时间，剩下的由乙工程队单独完成，共耗时个月， 设甲、乙合作个月，剩下的由乙来完成， ， 解得， 此时耗资（万元）， 因为， 所以甲、乙合作个月，然后乙再单独修建个月既能按时完成任务，又最大限度节省资金． 题型十七 销售盈亏(一元一次方程的应用) 33．（23-24七年级上·江苏南通·期末） 某体育用品商店开展促销活动，有两种优惠方案． 方案一：不购买会员卡（会员卡限本人使用）时，乒乓球享受9折优惠，乒乓球拍购买5副以下时，均按标价付款；购买5副（含5副）以上时，所有球拍均8折优惠． 方案二：办理会员卡时，全部商品享受7折优惠． 小红和小明的谈话内容如下： 小红：听说这家商店办一张会员卡是40元． 小明：是的，上次我办了一张会员卡，买了4副乒乓球拍，节省了20元． (1)求该商店销售的乒乓球拍每副的标价； (2)小兵需购买6副乒乓球拍、a盒乒乓球，他发现如果乒乓球每盒10元，按照上面两种方案付费相同，请求出a的值． 【答案】(1)该商店销售的乒乓球拍每副的标价为50元 (2)a的值为5 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】（1）设该商店销售的乒乓球拍每副的标价为x元，则小明花费的总钱数为元，于是列方程，进而求解即可； （2）若选择方案一购买，需要元，若选择方案二购买，需要元，于是列方程求解即可． 此题重点考查一元一次方程的应用，正确地用代数式表示购买乒乓球和乒乓球拍各自需要的钱数是解题的关键 【详解】（1）设该商店销售的乒乓球拍每副的标价为x元， 根据题意得， 解得， 答：该商店销售的乒乓球拍每副的标价为50元． （2）根据题意得， 解得． 题型十八 比赛积分(一元一次方程的应用) 34．（22-23七年级上·江苏常州·期末）列方程解决问题：小华和妈妈一起玩成语竞猜游戏，商定如下规则：小华猜中1个成语得2分，妈妈猜中1个成语得1分，结果两人一共猜中了30个成语，得分恰好相等．请问小华猜中了几个成语？ 【答案】小华猜中了个成语 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用) 【分析】设小华猜中了个成语，则妈妈猜中了个成语，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】设小华猜中了个成语，则妈妈猜中了个成语，根据题意得， 解得：， 答：小华猜中了个成语 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出一元一次方程是解题的关键． 题型十九 方案选择(一元一次方程的应用) 35．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）为持续深入推进“双减”工作，拓展丰富课后服务资源，满足学生兴趣特长发展需求，某校决定购买一批篮球和排球供学生兴趣课使用．每个排球比篮球便宜30元，4只篮球与6只排球的费用一样． (1)求出篮球和排球的单价； (2)经市场调查发现：甲商场优惠方案是：每购买10只篮球送一个排球；乙商场优惠方案是：若购买篮球超过50只，则购买排球打八折．若该校购买100只篮球和a只排球（其中且为整数），则当购买的排球数a为何值时，在两家商场购买所需的费用一样． 【答案】(1)篮球的单价为90元，排球的单价为60元 (2)当购买的排球数为50的时候，费用一样 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设篮球的单价为x元，排球的单价为元，根据4只篮球与6只排球的费用一样，可列出关于的一元一次方程，即可求解； （2）利用总价单价数量，结合在两家商场购买所需的费用一样，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设篮球的单价为x元，排球的单价为元， 由题意得： 解之得：， 答：篮球的单价为90元，排球的单价为60元． （2）由题意得：， 解得： 答：当购买的排球数为50的时候，费用一样． 题型二十 数字问题(一元一次方程的应用) 36．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）将奇数1至2025按照顺序排成下表： 记表示第m行第n个数，如表示第2行第3个数是17 (1)______； (2)若，推理______；______； (3)将表格中的4个阴影格子看成一个整体并平移，所覆盖的4个数之和能否等于100，若能，求出4个数中的最大数；若不能，请说明理由． (4)用m、n的式子表示=______ 【答案】(1)41 (2)169，5 (3)不能，理由见解析 (4) 【知识点】数字类规律探索、数字问题(一元一次方程的应用)、列代数式 【分析】（1）根据题意可知表示第4行第3个数，每行都有6个数，先求出对应的偶数，再得出奇数，然后即可计算出相应的值； （2）根据题意，可以得到，然后m为整数，，即可得到m、n的值； （3）设4个阴影格子中的数分别为,即可列出相应的方程，然后求解即可说明理由； （4）根据表格中的数据和发现，可以用含m、n的代数式表示出. 【详解】（1）解：由题意可得，， 故答案为：41； （2）解：， ∴， 即. ∵m是正整数，， ∴. 故答案为：169，5； （3）解：所覆盖的4个数之和不能等于100. 理由：设4个阴影格子中的数分别为, 由题意可得，, 解得， 为整数， 所覆盖的4个数之和不能等于100； （4）解：由题意可得，， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用、数字的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，找出等量关系，列出相应的方程． 题型二十一 几何问题(一元一次方程的应用) 37．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点B表示的数是 ，点P表示的数是 （用含t的代数式表示）； (2)动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求： ①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为3个单位长度？ 【答案】(1)； (2)①当点P运动5秒时，点P与点Q相遇；②当点P运动秒或秒时，点P与点Q间的距离为3个单位长度． 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】此题考查的知识点是数轴上两点间的距离，绝对值的几何意义，理解并运用绝对值的几何意义是解题的关键． （1）由已知得，则，因为点B在原点左边，从而写出数轴上点B所表示的数；动点P从点A出发，运动时间为秒，所以运动的单位长度为，因为沿数轴向左匀速运动，所以点P所表示的数是； （2）由题意可得点Q表示的数为．①点P与点Q相遇，则点P与点Q表示的数相同，即，解得；②点P与点Q间的距离为3个单位长度，则，根据绝对值的几何意义有，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵数轴上点A表示的数为6， ∴， ∵A，B两点间的距离为10， ∴， ∴， ∵点B在原点左边， ∴数轴上点B所表示的数为； ∵动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴点P所表示的数为：； 故答案为：；； （2）解：∵动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴运动t秒时，点Q表示的数为：． ①点P与点Q相遇，则点P与点Q表示的数相同，即 ， 解得：， ∴当点P运动5秒时，点P与点Q相遇； ②点P与点Q间的距离为3个单位长度，则， 即， 解得：或， ∴当点P运动秒或秒时，点P与点Q间的距离为3个单位长度． 题型二十二 动点问题（一元一次方程的应用） 38．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）在数轴上，点表示的数为，点表示的数为15，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右运动．设运动时间为秒，当点到、两点距离之和为40时，则的值是（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】B 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、动点问题（一元一次方程的应用）、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，设点P表示的数为n，可得，再解方程并进一步解答即可. 【详解】解：设点P表示的数为n， ∴，， ∵点到、两点距离之和为40，即， 当时，， 当时， ∴， 解得：， ∴， ∴； 故选：B 题型二十三 和差倍分问题(一元一次方程的应用) 39．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）航模小组中女生人数占全组人数的一半，如果再增加6名女生，那么女生人数就占全组人数的，求航模小组原来的人数． 解：设航模小组原来的人数为人，则航模小组现在的人数为_____人． 根据题意可得方程：_____． 解这个方程，得_____． 答：_____． 【答案】；；12；航模小组原来的人数为12人 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查用一元一次方程解实际问题，解题的关键是找出题干中的等量关系，根据女生人数占全组人数一半，再增加6人，就等于增加后的全组人数，列式求解即可，特别注意题干中增加6名女生前后全组人数有变化． 【详解】解：设航模小组原来的人数为人，则航模小组现在的人数为人． 根据题意可得方程：． 解这个方程，得． 答：航模小组原来的人数为12人． 题型二十四 其他问题(一元一次方程的应用) 40．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）网约打车已成为人们打车出行的首选，某网约车软件的计费规则如下表：车费由起步费、时长费、里程费三部分构成．例如：小王打车10千米，路上花费时间15分钟，则费用是元． 项目 起步费（3千米，9分钟） 时长费（超过9分钟部分） 里程费（超过3千米部分） 单价 10元 元/分钟 元/千米 (1)如果将行车里程记为m千米（），行车时间为n分钟（），则应付车费多少元？（用含m、n的整式表示，并化简） (2)彭老师准备网约打车，打开高德地图查询出到目的地里程为20千米，时间约为25分钟，实际网约车行驶过程中遇上堵车，最后付款46元，请问堵车时长为多少分钟？ 【答案】(1)元 (2)堵车时长19分钟 【知识点】列代数式、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要了一元一次方程的应用、列代数式等知识点，弄清题意、正确列出方程是解本题的关键． （1）根据网约打车的费规则进行计算即可求解； （2）根据题意，由所付车费列出方程计算出堵车的时间即可． 【详解】（1）解：由题意得，应付车费：元； （2）解：设堵车时长为分钟， 则， 解得：， 答：堵车时长为分钟． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04章 一元一次方程 章节（9知识点回顾+24题型练习） 题型汇聚 题型一 判断各式是否是方程 题型二 等式的性质1 题型三 等式的性质2 题型四 列方程 题型五 判断是否是方程的解 题型六 已知方程的解，求参数 题型七 判断是否是一元一次方程 题型八 判断是否是一元一次方程解 题型九 解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 题型十 解一元一次方程（二）——去括号 题型十一 解一元一次方程（三）——去分母 题型十二 已知一元一次方程的解，求参数 题型十三 一元一次方程解的关系 题型十四 绝对值方程 题型十五 配套问题(一元一次方程的应用) 题型十六 工程问题(一元一次方程的应用) 题型十七 销售盈亏(一元一次方程的应用) 题型十八 比赛积分(一元一次方程的应用) 题型十九 方案选择(一元一次方程的应用) 题型二十 数字问题(一元一次方程的应用) 题型二十一 几何问题(一元一次方程的应用) 题型二十二 动点问题（一元一次方程的应用） 题型二十三 和差倍分问题(一元一次方程的应用) 题型二十四 其他问题(一元一次方程的应用) 知识清单 知识点1．方程的定义 （1）方程的定义：含有未知数的等式叫方程． 方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式；②含有未知数． （2）列方程的步骤： ①设出字母所表示的未知数； ②找出问题中的相等关系； ③列出含有未知数的等式﹣﹣﹣﹣方程． 在未知数等于某特定值时，恰能使等号两边的值相等者称为条件方程，例如x+3＝8，在x＝5时等号成立． 知识点2．方程的解 （1）方程的解：解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值叫方程的解． 注意：方程的解和解方程是两个不同的概念，方程的解是指使方程两边相等的未知数的值，具有名词性．而解方程是求方程解的过程，具有动词性． （2）规律方法总结： 无论是给出方程的解求其中字母系数，还有判断某数是否为方程的解，这两个方向的问题，一般都采用代入计算是方法． 知识点3．等式的性质 （1）等式的性质 性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式； 性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． （2）利用等式的性质解方程 利用等式的性质对方程进行变形，使方程的形式向x＝a的形式转化． 应用时要注意把握两关： ①怎样变形； ②依据哪一条，变形时只有做到步步有据，才能保证是正确的． 知识点4．方程的解 （1）方程的解：解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值叫方程的解． 注意：方程的解和解方程是两个不同的概念，方程的解是指使方程两边相等的未知数的值，具有名词性．而解方程是求方程解的过程，具有动词性． （2）规律方法总结： 无论是给出方程的解求其中字母系数，还有判断某数是否为方程的解，这两个方向的问题，一般都采用代入计算是方法． 知识点5．一元一次方程的定义 （1）一元一次方程的定义 只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 通常形式是ax+b＝0（a，b为常数，且a≠0）．一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．我们将ax+b＝0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1． （2）一元一次方程定义的应用（如是否是一元一次方程，从而确定一些待定字母的值） 这类题目要严格按照定义中的几个关键词去分析，考虑问题需准确，全面．求方程中字母系数的值一般采用把方程的解代入计算的方法． 知识点6．一元一次方程的解 定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 把方程的解代入原方程，等式左右两边相等． 知识点7．解一元一次方程 （1）解一元一次方程的一般步骤： 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化． （2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号． （3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负． 知识点8．由实际问题抽象出一元一次方程 审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程． （1）“总量＝各部分量的和”是列方程解应用题中一个基本的关系式，在这一类问题中，表示出各部分的量和总量，然后利用它们之间的等量关系列方程． （2）“表示同一个量的不同式子相等”是列方程解应用题中的一个基本相等关系，也是列方程的一种基本方法．通过对同一个量从不同的角度用不同的式子表示，进而列出方程． 知识点9．一元一次方程的应用 （一）一元一次方程解应用题的类型有： （1）探索规律型问题； （2）数字问题； （3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）； （5）行程问题（路程＝速度×时间）； （6）等值变换问题； （7）和，差，倍，分问题； （8）分配问题； （9）比赛积分问题； （10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）． （二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答． 列一元一次方程解应用题的五个步骤 1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系． 2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数． 3．列：根据等量关系列出方程． 4．解：解方程，求得未知数的值． 5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句． 题型练习 题型一 判断各式是否是方程 1．下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，是方程的是（    ）． A．①②④⑤ B．①②⑤ C．①④⑤ D．6个都不是 2．（23-24七年级上·全国·课堂例题）已知式子：①；②；③；④；⑤．其中的等式是 ，其中含有未知数的等式是 ，所以其中的方程是 ．（填序号） 题型二 等式的性质1 3．（24-25七年级上·江苏南京·期末）下列说法中，错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（2024七年级上·全国·专题练习）已知，利用等式的性质，求： (1)和的值； (2)的值． 题型三 等式的性质2 5．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）根据等式的性质，下列各式变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．（2024七年级上·全国·专题练习）利用等式的基本性质解下列一元一次方程： (1)； (2)． 题型四 列方程 7．（22-23七年级上·江苏淮安·阶段练习）“x的2倍与5的差等于0”，用方程表示为 ． 8．某班学生分组参加活动，原来每组8人，后来重新编组，每组6人，这样比原来增加了两组，这个班共有多少名学生？若设共有x名学生，可列方程为 ． 题型五 判断是否是方程的解 9．（24-25七年级上·江苏常州·期末）下列方程中，解为的是（    ） A． B． C． D． 10．判断下列方程后面所给出的数，哪些是方程的解． (1)，（，）； (2)，（，）． 题型六 已知方程的解，求参数 11．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）若是方程的解，则 ． 12．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时整式对应的值：则关于的方程的解为 0 1 2 4 2 0 题型七 判断是否是一元一次方程 13．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）下列各式中，一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 14．（24-25七年级上·江苏南通·期末）已知关于的方程是一元一次方程，则的值为 ． 题型八 判断是否是一元一次方程解 15．（24-25七年级上·甘肃张掖·阶段练习）下列方程中，解为的是（    ） A． B． C． D． 16．（22-23七年级上·江苏扬州·期中）小马虎在解关于x的方程时，误将“”看成了“”，得方程的解为．求原方程的解． 题型九 解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 17．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）方程的解是 ． 18．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）定义一种新运算，规定(、是有理数)．例如： (1)计算； (2)若，求的值； (3)比较与的大小． 题型十 解一元一次方程（二）——去括号 19．（24-25七年级上·江苏常州·期末）当代数式与互为相反数，则 ． 20．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）对于任意四个有理数a、b、c、d．规定：．如：． 根据上述规定解决下列问题： (1)求的值； (2)若，求x； (3)若的值与x的取值无关，求k的值． 题型十一 解一元一次方程（三）——去分母 21．（2024七年级上·全国·专题练习）小明解方程去分母时，方程右边的忘记乘6，因而求出的解为，那么原方程正确的解为（   ） A． B． C． D． 22．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）解下列方程： (1)； (2) 题型十二 已知一元一次方程的解，求参数 23．已知关于的方程有整数解，则正整数的值为（  ） A． B．或 C．或或 D．或或或 24．已知：关于x的方程∶ （其中a、b、k为常数）． (1)如果该方程无解，则k的值一定为多少？ (2)如果该方程有解，且不论k为何值时，它的解总是1，试求a，b的值． 题型十三 一元一次方程解的关系 25．（24-25七年级上·江苏南通·期末）若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为 ． 26．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）若关于的一元一次方程的解满足，则称该方程为“友好方程”，例如：方程的解为，而，则方程为“友好方程”． 运用 (1)①，②两个方程中为“友好方程”的是 (填写序号) (2)若关于的一元一次方程是“友好方程”，求的值 (3)若关于的一元一次程是“友好方程”，且它的解为，则 ， 题型十四 绝对值方程 27．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如果，那么 ． 28．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）若，，且，求的值． 题型十五 配套问题(一元一次方程的应用) 29．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）某车间有21名工人，每人每天可以生产螺栓10个或螺母18个，设名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，要求每天生产的螺栓和螺母按刚好配套，则可列方程为 ． 30．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）用长方形硬纸板做长方体盒子，底面为正方形．长方形硬纸板以如图两种方法裁剪．A方法：剪3个侧面；B方法：剪2个侧面和2个底面．现有35张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法．    (1)用含x的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数； (2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？ 题型十六 工程问题(一元一次方程的应用) 31．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）我校要整理一批图书，如果由一个人单独做需花20小时完成．现先由一部分人整理了1小时，随后又增加7人和他们一起又做了小时，恰好完成整理工作．假设每个人的工作效率相同，那么先安排整理的人员有多少 人． 32．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）为方便城镇和乡村之间的联系，政府决定修建一条公路，若由甲工程队单独修建需3个月完成，每月耗资万元；若由乙工程队单独修建需个月完成，每月耗资万元． (1)甲、乙两工程队合作修建需几个月完成？共耗资多少万元？ (2)若要求最多个月完成修建任务，请你设计一种方案，既能够保证按时完成任务，又能最大限度节省资金（时间按照整月计算） 题型十七 销售盈亏(一元一次方程的应用) 33．（23-24七年级上·江苏南通·期末） 某体育用品商店开展促销活动，有两种优惠方案． 方案一：不购买会员卡（会员卡限本人使用）时，乒乓球享受9折优惠，乒乓球拍购买5副以下时，均按标价付款；购买5副（含5副）以上时，所有球拍均8折优惠． 方案二：办理会员卡时，全部商品享受7折优惠． 小红和小明的谈话内容如下： 小红：听说这家商店办一张会员卡是40元． 小明：是的，上次我办了一张会员卡，买了4副乒乓球拍，节省了20元． (1)求该商店销售的乒乓球拍每副的标价； (2)小兵需购买6副乒乓球拍、a盒乒乓球，他发现如果乒乓球每盒10元，按照上面两种方案付费相同，请求出a的值． 题型十八 比赛积分(一元一次方程的应用) 34．（22-23七年级上·江苏常州·期末）列方程解决问题：小华和妈妈一起玩成语竞猜游戏，商定如下规则：小华猜中1个成语得2分，妈妈猜中1个成语得1分，结果两人一共猜中了30个成语，得分恰好相等．请问小华猜中了几个成语？ 题型十九 方案选择(一元一次方程的应用) 35．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）为持续深入推进“双减”工作，拓展丰富课后服务资源，满足学生兴趣特长发展需求，某校决定购买一批篮球和排球供学生兴趣课使用．每个排球比篮球便宜30元，4只篮球与6只排球的费用一样． (1)求出篮球和排球的单价； (2)经市场调查发现：甲商场优惠方案是：每购买10只篮球送一个排球；乙商场优惠方案是：若购买篮球超过50只，则购买排球打八折．若该校购买100只篮球和a只排球（其中且为整数），则当购买的排球数a为何值时，在两家商场购买所需的费用一样． 题型二十 数字问题(一元一次方程的应用) 36．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）将奇数1至2025按照顺序排成下表： 记表示第m行第n个数，如表示第2行第3个数是17 (1)______； (2)若，推理______；______； (3)将表格中的4个阴影格子看成一个整体并平移，所覆盖的4个数之和能否等于100，若能，求出4个数中的最大数；若不能，请说明理由． (4)用m、n的式子表示=______ 题型二十一 几何问题(一元一次方程的应用) 37．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点B表示的数是 ，点P表示的数是 （用含t的代数式表示）； (2)动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求： ①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为3个单位长度？ 题型二十二 动点问题（一元一次方程的应用） 38．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）在数轴上，点表示的数为，点表示的数为15，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右运动．设运动时间为秒，当点到、两点距离之和为40时，则的值是（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 题型二十三 和差倍分问题(一元一次方程的应用) 39．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）航模小组中女生人数占全组人数的一半，如果再增加6名女生，那么女生人数就占全组人数的，求航模小组原来的人数． 解：设航模小组原来的人数为人，则航模小组现在的人数为_____人． 根据题意可得方程：_____． 解这个方程，得_____． 答：_____． 题型二十四 其他问题(一元一次方程的应用) 40．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）网约打车已成为人们打车出行的首选，某网约车软件的计费规则如下表：车费由起步费、时长费、里程费三部分构成．例如：小王打车10千米，路上花费时间15分钟，则费用是元． 项目 起步费（3千米，9分钟） 时长费（超过9分钟部分） 里程费（超过3千米部分） 单价 10元 元/分钟 元/千米 (1)如果将行车里程记为m千米（），行车时间为n分钟（），则应付车费多少元？（用含m、n的整式表示，并化简） (2)彭老师准备网约打车，打开高德地图查询出到目的地里程为20千米，时间约为25分钟，实际网约车行驶过程中遇上堵车，最后付款46元，请问堵车时长为多少分钟？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$