第十七章 因式分解 单元测试卷（培优提升卷 ） 2025-2026学年人教版八年级数学上册

答案和解析 1.【答案】  2.【答案】  3.【答案】  4.【答案】  5.【答案】  6.【答案】  7.【答案】  8.【答案】  【解析】，，故选D． 9.【答案】  10.【答案】  解：根据题图可知，图是由图中的个面积为的正方形，个的长方形，个面积为的正方形拼成， 则有：， 故选：． 11.【答案】  12.【答案】  13.【答案】  14.【答案】   【解析】，， ． 15.【答案】  解：设分解后的另一个因式为， 根据题意得：， 可得，， 解得：，． 故答案为：． 16.【答案】  解： ， 又， 原式． 故答案为：． 17.【答案】  解：， 两边同时乘以得，， 移项得：， ， 即， 由数的非负性可得：，， 故，， ． 故答案为． 18.【答案】  解：，， ． 19.【答案】；   ；   ；   ．  【解析】 ； ； ； ． 20.【答案】．  【解析】解： ， 因为，， 所以，， 原式． 21.【答案】证明： ． 因为，，是的三条边的长， 所以，， 所以，， 所以， 即．   22.【答案】；   ，；   ；  ， ．  【解析】； 号卡片的面积是， 号卡片的面积是， 号卡片的面积是， ， 所以需要号卡片张，号卡片张； ； 故答案为：； 如图： ， ． 23.【答案】不是“聪明数”；是“聪明数”；  见解析；  不存在，理由见解析．  【解析】，， 不是“聪明数”， ， 是“聪明数”； 设两个连续偶数为，， 则， 是奇数， 不是的倍数．即所有的“聪明数”都不是的倍数； 设两个连续奇数为和， 其平方差为：， 由可得，所有的“聪明数”都不是的倍数， 不存在两个连续的奇数，它们的平方差是“聪明数”． 24.【答案】；  ；  ．  【解析】解： ， 故答案为：； ， 当，即时，取最小值，最小值为， 故答案为：； ， ， 即， ，， ，，，解得，， ． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十七章 因式分解 单元测试卷（培优提升卷 ） （满分为100分，考试时间为100分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列各式从左边到右边的变形中，属于因式分解的是(    ) A. B. C. D. 2.单项式与单项式的公因式是(    ) A. B. C. D. 3.下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是(    ) A. B. C. D. 4.计算：(    ) A. B. C. D. 5.已知是一个完全平方式，则的值为(    ) A. B. 或 C. D. 6.下列式子为完全平方式的是(    ) A. B. C. D. 7.已知，，则的值是(    ) A. B. C. D. 8.如果，，那么的值为(    ) A. B. C. D. 9.如图是甲、乙两位同学因式分解的结果，下列判断正确的是(    ) A. 甲、乙的结果都正确 B. 甲、乙的结果都不正确 C. 只有甲的结果正确 D. 只有乙的结果正确 10.用如图中的三种纸片拼成如图的长方形，据此可写出一个多项式的因式分解，下列正确的是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.分解因式：          ． 12.因式分解：          ． 13.如果二次三项式可以分解为，那么的值为          ． 14.若，，则的值为          ． 15.多项式的一个因式为，则的值为______． 16.已知，则 ______． 17.已知，则___________________． 18.已知，，则 ______． 三、解答题：本题共6小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 分解因式： ； ； ； ． 20.本小题分 已知，，求的值． 21.本小题分 阅读下面的分解因式的过程： ． 利用上述分解因式的方法证明： 如果，，是的三条边的长，那么． 22.本小题分 我们不仅可以用几何图形直观地解释多项式乘法，还可以用几何图形直观地将多项式因式分解． 小刚同学动手剪了如图所示的正方形与长方形纸片若干张． 他用张号、张号和张号卡片拼出一个新的图形如图根据这个图形的面积关系你能得到的多项式乘法公式是______； 如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，则需要号卡片______张，号卡片______张； 当他拼成如图所示的长方形，根据张小纸片的面积和等于大纸片长方形的面积可以把多项式因式分解，其结果是______； 动手操作，请依照小刚的方法，利用拼图把多项式因式分解，画出拼图的图形并写出因式分解的结果． 23.本小题分 如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“聪明数”，比如，，，则说明，，都是“聪明数”． 是“聪明数”吗？是“聪明数”吗？为什么？ 试说明所有的“聪明数”都不可能是的倍数． 是否存在两个连续的奇数，它们的平方差是“聪明数”？为什么？ 24.本小题分 【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例：因式分解：． 解：原式． 例：若，利用配方法求的最小值． 解：． ，， 当时，有最小值． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： 用配方法因式分解： ______； 若，则的最小值为______； 已知，求的值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1页，共 4页 第十七章 因式分解 单元测试卷（培优提升卷 ） （满分为 100 分，考试时间为 100 分钟） 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 的。 1.下列各式从左边到右边的变形中，属于因式分解的是( ) A. �(� + �) = �� + �� B. 10� − 5 = 5� 2 − 1� C. �2 − 4� + 4 = (� − 2)2 D. �2 − 16 + 3� = (� + 4)(� − 4) + 3� 2.单项式 3�3�与单项式 9�2�3的公因式是( ) A. 3�2� B. 3�3�3 C. �2� D. �3�3 3.下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是( ) A. �2 − 49�2 B. − 149 − � 4 C. 14 (� + �) 2 − 9 D. −�4 + �2 4.计算：1252 − 50 × 125 + 252 =( ) A. 100 B. 150 C. 10000 D. 22500 5.已知�2 + 2(� − 1)� + 9 是一个完全平方式，则�的值为( ) A. 4 B. 4 或−2 C. ±4 D. −2 6.下列式子为完全平方式的是( ) A. �2 + �� + �2 B. �2 + 2� + 2 C. �2 − 2� + �2 D. �2 + 2� + 1 7.已知�� =− 3，� + � = 2，则�2� + ��2的值是( ) A. 6 B. −6 C. 1 D. −1 8.如果� + � = 3，�� = 1，那么�3� + 2�2�2 + ��3的值为( ) A. 0 B. 1 C. 4 D. 9 9.如图是甲、乙两位同学因式分解− �2 + �的结果，下列判断正确的是( ) A.甲、乙的结果都正确 B.甲、乙的结果都不正确 C.只有甲的结果正确 D.只有乙的结果正确 第 2页，共 4页 10.用如图 1 中的三种纸片拼成如图 2 的长方形，据此可写出一个多项式的因式分解，下列正确的是( ) A. 3�2 + 3�� + �2 = (� + �)(� + 3�) B. 3�2 − 3�� + �2 = (� − �)(3� + �) C. 3�2 + 4�� + �2 = (� + �)(3� + �) D. �2 + 4�� + 3�2 = (� + �)(3� + �) 二、填空题：本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分。 11.分解因式：�(� − �) + �(� − �) = ． 12.因式分解：�4 − 16 = ． 13.如果二次三项式�2 + �� − 6 可以分解为(� − 3)(� + 2)，那么�的值为 ． 14.若� + � = 4，� − � = 1，则 � + 2 2 − � − 2 2的值为 ． 15.多项式 3�2 −�� + 6 的一个因式为� − 3，则�的值为______． 16.已知� = �2 + 2023，则�3 − �� + 2023� = ______． 17.已知 4� + 4� −�2 − �2 = 8，则 2� + � =___________________． 18.已知�� =− 1，� + � = 2，则12� 3� + �2�2 + 12 �� 3 = ______． 三、解答题：本题共 6 小题，共 56 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.(本小题 12 分) 分解因式： (1)3�2 + 6� + 3； (2)�2� + 6�� − 16�； (3)�2(� − 1) − 4(1 − �)2； (4)(� − �)2 + 6�(� − �) + 9�2． 20.(本小题 4 分) 已知� = � − 1，�� = 2，求− �4�2 + 2�3�3 − �2�4的值． 第 3页，共 4页 21.(本小题 7 分) 阅读下面的分解因式的过程： �2 − 1 + �2 + 2�� = (�2 + 2�� + �2) − 1 = (� + �)2 − 1 = (� + � + 1)(� + � − 1)． 利用上述分解因式的方法证明： 如果�，�，�是△ ���的三条边的长，那么�2 − �2 + �2 − 2�� < 0． 22.(本小题 12 分) 我们不仅可以用几何图形直观地解释多项式乘法，还可以用几何图形直观地将多项式因式分解． 小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张． (1)他用 1 张 1 号、1 张 2 号和 2 张 3 号卡片拼出一个新的图形(如图②).根据这个图形的面积关系你能得到 的多项式乘法公式是______； (2)如果要拼成一个长为(� + 2�)，宽为(� + �)的大长方形，则需要 2 号卡片______张，3 号卡片______张； (3)当他拼成如图③所示的长方形，根据 8 张小纸片的面积和等于大纸片(长方形)的面积可以把多项式�2 + 4�� + 3�2因式分解，其结果是�2 + 4�� + 3�2 =______； (4)动手操作，请依照小刚的方法，利用拼图把多项式�2 + 5�� + 6�2因式分解，画出拼图的图形并写出因 式分解的结果． 第 4页，共 4页 23.(本小题 9 分) 如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“聪明数”，比如 4 = 22 − 0，12 = 42 − 2，20 = 62 − 42，则说明 4，12，20 都是“聪明数”． (1)24 是“聪明数”吗？36 是“聪明数”吗？为什么？ (2)试说明所有的“聪明数”都不可能是 8 的倍数． (3)是否存在两个连续的奇数，它们的平方差是“聪明数”？为什么？ 24.(本小题 12 分) 【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性 质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的 应用． 例 1：因式分解：�2 + 6� + 8． 解：原式= �2 + 6� + 9 − 1 = (� + 3)2 − 1 = (� + 3 − 1)(� + 3 + 1) = (� + 2)(� + 4)． 例 2：若� = �2 − 2�� + 2�2 − 2� + 2，利用配方法求�的最小值． 解：�2 − 2�� + 2�2 − 2� + 2 = �2 − 2�� + �2 + �2 − 2� + 1 + 1 = (� − �)2 + (� − 1)2 + 1． ∵ (� − �)2 ≥ 0，(� − 1)2 ≥ 0， ∴当� = � = 1 时，�有最小值 1． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)用配方法因式分解：�2 − 12� + 35 = ______； (2)若� = �2 − 3� + 1，则�的最小值为______； (3)已知�2 + 2�2 + �2 − 2�� + 4� − 6� + 13 = 0，求� + � + �的值．