第04章 相似三角形 章节（14知识点回顾+31题型练习）核心知识点与常见题型通关讲解练【暑假预习】2025-2026学年九年级上册数学（浙教版）

第04章 相似三角形 章节（14知识点回顾+31题型练习） 题型汇聚 题型一 比例线段 题型二 比例的性质 题型三 成比例线段 题型四 黄金分割 题型五 由平行判断成比例的线段 题型六 由平行截线求相关线段的长或比值 题型七 利用两角对应相等判定相似 题型八 利用三边对应成比例判定相似 题型九 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 题型十 相似三角形的判定综合 题型十一 选择或补充条件使两个三角形相似 题型十二 利用相似三角形的性质求解 题型十三 证明三角形的对应线段成比例 题型十四 利用相似求坐标 题型十五 在网格中画与已知三角形相似的三角形 题型十六 相似三角形——动点问题 题型十七 相似三角形实际应用 题型十八 相似三角形的综合问题 题型十九 相似三角形的判定与性质综合 题型二十 重心的有关性质 题型二十一 相似多边形 题型二十二 相似多边形的性质 题型二十三 求位似图形的对应坐标 题型二十四 位似图形的识别 题型二十五 判断位似中心 题型二十六 位似图形相关概念辨析 题型二十七 求两个位似图形的相似比 题型二十八 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 题型二十九 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 题型三十 在坐标系中画位似图形 题型三十一 在坐标系中画位似中心 知识清单 知识点1．比例的性质 （1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项． （2）常用的性质有： ①内项之积等于外项之积．若＝，则ad＝bc． ②合比性质．若＝，则＝． ③分比性质．若＝，则＝． ④合分比性质．若＝，则＝． ⑤等比性质．若＝＝…＝（b+d+…+n≠0），则＝． 知识点2．比例线段 （1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 ab＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． （2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系． 知识点3．黄金分割 （1）黄金分割的定义： 如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点． 其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个． （2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值． 黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：． （3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为． 知识点4．平行线分线段成比例 （1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． （2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． （3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 知识点5．相似多边形的性质 （1）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形． （2）相似多边形对应边的比叫做相似比． （3）全等多边形的相似比为1或相似比为1的相似多边形是全等形． （4）相似多边形的性质为： ①对应角相等； 知识点6．相似三角形的判定 （1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形． （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 知识点7．相似三角形的判定与性质 （1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等． （2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． 知识点8．射影定理 （1）射影定理： ①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项． ②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． （2）Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：①AD2＝BD•DC； ②AB2＝BD•BC；AC2＝CD•BC． ②对应边的比相等． 知识点9．相似三角形的应用 （1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度． （2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． （3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 知识点10．作图-相似变换 （1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到． （2）相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单的相似变换作图．如图所示： （3）如果题目有条件限制，可根据相似三角形的判定条件作为作图的依据．比较简单的是把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形． 知识点11．相似多边形的性质 （1）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形． （2）相似多边形对应边的比叫做相似比． （3）全等多边形的相似比为1或相似比为1的相似多边形是全等形． （4）相似多边形的性质为： ①对应角相等； ②对应边的比相等． 知识点12．几何变换的类型 （1）平移变换：在平移变换下，对应线段平行且相等．两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等．　　 （2）轴对称变换：在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分．　　 　　 （3）旋转变换：在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角．　　 （4）位似变换：在位似变换下，一对位似对应点与位似中心共线；一条线上的点变到一条线上，且保持顺序，即共线点变为共线点，共点线变为共点线；对应线段的比等于位似比的绝对值，对应图形面积的比等于位似比的平方；不经过位似中心的对应线段平行，即一直线变为与它平行的直线；任何两条直线的平行、相交位置关系保持不变；圆变为圆，且两圆心为对应点；两对应圆相切时切点为位似中心． 知识点13．位似变换 （1）位似图形的定义： 如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 注意：①两个图形必须是相似形； ②对应点的连线都经过同一点； ③对应边平行． （2）位似图形与坐标 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 知识点14．作图-位似变换 （1）画位似图形的一般步骤为： ①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小． （2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的． 题型练习 题型一 比例线段 1．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）下列各组数中，不成比例的是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·浙江绍兴·期中）已知线段a，b满足，且． (1)求a，b的值； (2)若线段x是线段a，b的比例中项，求x的值． 题型二 比例的性质 3．已知，则 ． 题型三 成比例线段 4．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）已知线段，，满足，且． (1)求，，的值； (2)若线段是线段，的比例中项，求． 题型四 黄金分割 5．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，已知点C是线段的黄金分割点（其中），，则线段的大小是（   ） A． B． C． D． 题型五 由平行判断成比例的线段 6．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图是的正方形网格，已知格点（顶点在小正方形顶点处的三角形称为格点三角形），请按下列要求完成作图（要求保留作图痕迹，不要求写作法和结论） (1)将绕点A按逆时针方向旋转，得到，请在图1中作出（点与点是对应点）． (2)在图2中，仅用无刻度直尺在线段找一点，使． 题型六 由平行截线求相关线段的长或比值 7．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，直线，直线依次交、、于、、三点，直线依次交、、于、、三点，若，，则 ． 题型七 利用两角对应相等判定相似 8． 平行四边形中，过A作，垂足为，连、为线段上一点，且．求证：． 题型八 利用三边对应成比例判定相似 9．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是（   ） A．①和② B．②和③ C．②和④ D．①和④ 题型九 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 10．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在中，，是边上一点，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 题型十 相似三角形的判定综合 11．在和中，，下列不能判定这两个三角形相似的是（     ） A．， B．，，， C．，，， D．，，， 12．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，是边上的高，点为线段上一点（不与点，点重合），连接，作与的延长线交于点，与交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求证：； 题型十一 选择或补充条件使两个三角形相似 13．（24-25九年级上·浙江·期中）如图，在中，，点在上，请添加一个条件 ，使得与相似． 14．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，下列条件中能判定的是（    ） A． B． C． D． 题型十二 利用相似三角形的性质求解 15．（24-25九年级上·浙江湖州·期末）如图，在由小正方形组成的网格中，已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 16．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在的网格中，请按要求作图． (1)在图1中画出线段绕点顺时针旋转后的线段； (2)图2中在上作点，使．（保留作图痕迹） 题型十三 证明三角形的对应线段成比例 17．如图，在△ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC上，若 DE∥BC，AD=2BD，则 DE：BC 等于 ．    题型十四 利用相似求坐标 18．如图，已知直角坐标系中四点A（﹣2，4），B（﹣2，0），C（2，﹣3），D（2，0）、设P是x轴上的点，且PA、PB、AB所围成的三角形与PC、PD、CD所围成的三角形相似，请写出所有符合上述条件的点P的坐标： ． 题型十五 在网格中画与已知三角形相似的三角形 19．（24-25九年级上·浙江衢州·期中）在的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上）． (1)在图1中将绕点顺时针旋转，画出旋转得到的； (2)在图2中画出一个与相似的，且使得相似比不为1．（画出一个即可） 题型十六 相似三角形——动点问题 20．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如图所示，在矩形中，，，两只小虫和同时分别从，出发沿、向终点，方向前进，小虫每秒走，小虫每秒走，它们同时出发秒时，使，则 秒 21．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，，．动点从点出发，以每秒的速度沿向终点移动，同时动点从点出发，以每秒的速度沿向终点移动，连接，设移动时间为（）． (1)当时，求的值． (2)设四边形的面积为，求与之间的函数关系式： (3)是否存在某一时刻，使以，，为顶点的三角形与相似？若存在，求出相应的值：若不存在，说明理由． 22．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，地面上的点处放置平面镜，光线从点射出经平面镜（点处）反射后照射到点．已知，，垂足分别为、，米，米，米，则长为 米． 23．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，小虎自制了一个小孔成像装置，其中，纸筒的长度为，他准备了一支长为的蜡烛，想要得到高度为的像，求此时蜡烛与纸筒的距离的长度． 题型十八 相似三角形的综合问题 24．如图，点G是△ABC的重心，下列结论中正确的个数有（　　） ①；②；③△EDG∽△CBG；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 25．如图，已知正方形，点E在的延长线上，连结交对角线于点G，交于点F． （1）若，求的值； （2）求证：； （3）若，求n关于m的关系式． 题型十九 相似三角形的判定与性质综合 26．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，已知点，分别在的边，上，．若，，，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 27．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，，，点在边上． (1)判断与是否相似？请说明理由． (2)当时，求的度数． 题型二十 重心的有关性质 28．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图（保留作图痕迹）．    (1)在图中画，使得与的相似比为． (2)在图中画出的重心． 题型二十一 相似多边形 29．下面我们做一次折叠活动：第一步：在一张宽为2的矩形纸片的一端，利用图1的方法折叠出一个正方形，然后把纸片展开． 第二步：如图（2），把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步：折出内侧矩形的对角线AB，并将AB折到图（3）中所示的AD处． 第四步：展平纸片，按照所得的点D折出DE，矩形BCDE就是黄金矩形，你能说明为什么吗？（注：当矩形的宽与长的比为时，称这个矩形为黄金矩形） 题型二十二 相似多边形的性质 30．观察下面这张残破的图（如图所示），其中残破的七边形与七边形相似，如果量得，，你能求出七边形的面积吗？    题型二十三 求位似图形的对应坐标 31．在如图所示的直角坐标系中，． (1)作出图形关于x轴对称的图形； (2)求出图形的面积； (3)以图中为位似中心，将图形放大2倍，并在点E的右侧作出放大后的图形，并写出点的坐标． 题型二十四 位似图形的识别 32．如图，已知△ABC，任取一点O，连结AO、BO、CO，并取它们的中点D、E、F，得△DEF，则下列说法错误的是（　　） A．△ABC与△DEF是位似图形 B．△ABC与△DEF是相似图形 C．△ABC与△DEF的面积之比为4：1 D．△ABC与△DEF的周长之比为4：1 题型二十五 判断位似中心 33．如图，已知和是位似图形，那么其位似中心是点　　 A．点A B．点B C．点C D．点D 题型二十六 位似图形相关概念辨析 34．（2023九年级·全国·专题练习）如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心，若OA：OD=1：3，△ABC的面积为3，则△DEF的面积为 ． 题型二十七 求两个位似图形的相似比 35．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，与是位似图形，点为位似中心，．若的面积为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 题型二十八 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 36．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，在网格中，点A，B，C，O都在格点上，用无刻度直尺作图并保留作图痕迹． (1)以O为位似中心，在网格中作，且与的位似比为． (2)在线段上作点P，使． 题型二十九 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 37．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，图形甲与图形乙位似，O是位似中心，已知，点A，B的对应点分别为点，．若，则的长为（    ） A．8 B．9 C．10 D．15 题型三十 在坐标系中画位似图形 38．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）在的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上）． (1)在图1中画出一个以点C为位似中心，且与位似的（位似比不为1）； (2)在图2中，仅用无刻度直尺（不使用直角）在线段上找一点M，使得． 题型三十一 在坐标系中画位似中心 39．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在网格中，和位似，则位似中心为（　　） A．点O B．点P C．点Q D．点R 40．如图，与是位似图形，且位似比是，若，在图中画出位似中心O，并求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04章 相似三角形 章节（14知识点回顾+31题型练习） 题型汇聚 题型一 比例线段 题型二 比例的性质 题型三 成比例线段 题型四 黄金分割 题型五 由平行判断成比例的线段 题型六 由平行截线求相关线段的长或比值 题型七 利用两角对应相等判定相似 题型八 利用三边对应成比例判定相似 题型九 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 题型十 相似三角形的判定综合 题型十一 选择或补充条件使两个三角形相似 题型十二 利用相似三角形的性质求解 题型十三 证明三角形的对应线段成比例 题型十四 利用相似求坐标 题型十五 在网格中画与已知三角形相似的三角形 题型十六 相似三角形——动点问题 题型十七 相似三角形实际应用 题型十八 相似三角形的综合问题 题型十九 相似三角形的判定与性质综合 题型二十 重心的有关性质 题型二十一 相似多边形 题型二十二 相似多边形的性质 题型二十三 求位似图形的对应坐标 题型二十四 位似图形的识别 题型二十五 判断位似中心 题型二十六 位似图形相关概念辨析 题型二十七 求两个位似图形的相似比 题型二十八 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 题型二十九 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 题型三十 在坐标系中画位似图形 题型三十一 在坐标系中画位似中心 知识清单 知识点1．比例的性质 （1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项． （2）常用的性质有： ①内项之积等于外项之积．若＝，则ad＝bc． ②合比性质．若＝，则＝． ③分比性质．若＝，则＝． ④合分比性质．若＝，则＝． ⑤等比性质．若＝＝…＝（b+d+…+n≠0），则＝． 知识点2．比例线段 （1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 ab＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． （2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系． 知识点3．黄金分割 （1）黄金分割的定义： 如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点． 其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个． （2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值． 黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：． （3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为． 知识点4．平行线分线段成比例 （1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． （2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． （3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 知识点5．相似多边形的性质 （1）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形． （2）相似多边形对应边的比叫做相似比． （3）全等多边形的相似比为1或相似比为1的相似多边形是全等形． （4）相似多边形的性质为： ①对应角相等； 知识点6．相似三角形的判定 （1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形． （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 知识点7．相似三角形的判定与性质 （1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等． （2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． 知识点8．射影定理 （1）射影定理： ①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项． ②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． （2）Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：①AD2＝BD•DC； ②AB2＝BD•BC；AC2＝CD•BC． ②对应边的比相等． 知识点9．相似三角形的应用 （1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度． （2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． （3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 知识点10．作图-相似变换 （1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到． （2）相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单的相似变换作图．如图所示： （3）如果题目有条件限制，可根据相似三角形的判定条件作为作图的依据．比较简单的是把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形． 知识点11．相似多边形的性质 （1）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形． （2）相似多边形对应边的比叫做相似比． （3）全等多边形的相似比为1或相似比为1的相似多边形是全等形． （4）相似多边形的性质为： ①对应角相等； ②对应边的比相等． 知识点12．几何变换的类型 （1）平移变换：在平移变换下，对应线段平行且相等．两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等．　　 （2）轴对称变换：在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分．　　 　　 （3）旋转变换：在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角．　　 （4）位似变换：在位似变换下，一对位似对应点与位似中心共线；一条线上的点变到一条线上，且保持顺序，即共线点变为共线点，共点线变为共点线；对应线段的比等于位似比的绝对值，对应图形面积的比等于位似比的平方；不经过位似中心的对应线段平行，即一直线变为与它平行的直线；任何两条直线的平行、相交位置关系保持不变；圆变为圆，且两圆心为对应点；两对应圆相切时切点为位似中心． 知识点13．位似变换 （1）位似图形的定义： 如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 注意：①两个图形必须是相似形； ②对应点的连线都经过同一点； ③对应边平行． （2）位似图形与坐标 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 知识点14．作图-位似变换 （1）画位似图形的一般步骤为： ①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小． （2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的． 题型练习 题型一 比例线段 1．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）下列各组数中，不成比例的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】比例线段、成比例线段 【分析】本题考查了比例线段，熟练掌握概念是解答本题的关键．对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如即，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段，由此逐项判断即可． 【详解】解：A、，所以成比例，故不符合题意； B、，所以不成比例，故符合题意； C、，所以成比例，故不符合题意； D、，所以成比例，故不符合题意． 故选：B． 2．（22-23九年级上·浙江绍兴·期中）已知线段a，b满足，且． (1)求a，b的值； (2)若线段x是线段a，b的比例中项，求x的值． 【答案】(1)， (2) 【知识点】比例线段、成比例线段 【分析】（1）根据可得，再代入计算即可得； （2）根据比例中项的定义求解即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 则． （2）解：∵线段x是线段a、b的比例中项， ∴，即， 解得或（不符合题意，舍去）， 则x的值为． 【点睛】本题主要考查了比例线段和比例中项，属于基础题，熟记定义是解题关键． 题型二 比例的性质 3．已知，则 ． 【答案】 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查了比例的基本性质及求代数式的值，运用比例的基本性质是关键．由比例的基本性质得：，把代入代数式代入即可求得值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 题型三 成比例线段 4．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）已知线段，，满足，且． (1)求，，的值； (2)若线段是线段，的比例中项，求． 【答案】(1)6；4；12 (2)12 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解决问题的关键，同时利用“设k法”用k表示出a、b、c可以使计算更加简便． （1）设，则，，，代入，求得k的值，即可求出a、b、c的值； （2）由线段x是线段、b的比例中项，可得，计算即可． 【详解】（1）解：设，则，， ∵， 所以， 解得， ∴，，； （2）解：∵线段x是线段、b的比例中项， ∴， ∴（负值舍去）． 题型四 黄金分割 5．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，已知点C是线段的黄金分割点（其中），，则线段的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】黄金分割 【分析】本题考查了黄金分割，解决本题的关键是掌握黄金分割的定义．根据黄金分割的定义可得到，然后把代入计算即可． 【详解】解：根据题意得． 故选：B． 题型五 由平行判断成比例的线段 6．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图是的正方形网格，已知格点（顶点在小正方形顶点处的三角形称为格点三角形），请按下列要求完成作图（要求保留作图痕迹，不要求写作法和结论） (1)将绕点A按逆时针方向旋转，得到，请在图1中作出（点与点是对应点）． (2)在图2中，仅用无刻度直尺在线段找一点，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】画旋转图形、由平行判断成比例的线段 【分析】本题主要考查了旋转作图，平行线分线段成比例，解题的关键是熟练掌握旋转的性质和平行线分线段成比例定理． （1）根据旋转的性质，先作出点B、C的对应点、，然后再顺次连接即可； （2）取格点D，连接交于点P，即可得出答案． 【详解】（1）解：为所求作的三角形； （2）解：点P即为所求作的点． ∵，，， ∴． 题型六 由平行截线求相关线段的长或比值 7．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，直线，直线依次交、、于、、三点，直线依次交、、于、、三点，若，，则 ． 【答案】 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用平行线分线段成比例定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算得到答案． 【详解】解：∵， ， ， ，， ， 解得：． 故答案为：． 题型七 利用两角对应相等判定相似 8． 平行四边形中，过A作，垂足为，连、为线段上一点，且．求证：． 【答案】见解析 【知识点】利用两角对应相等判定相似 【分析】本题考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的性质及相似三角形的判定方法．先根据平行四边形的性质证出，再根据可得出，由此可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 题型八 利用三边对应成比例判定相似 9．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是（   ） A．①和② B．②和③ C．②和④ D．①和④ 【答案】D 【知识点】利用三边对应成比例判定相似、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查勾股定理，相似三角形的判定，掌握相似三角形的定理是解题关键．利用勾股定理分别求出每个三角形的三边长，再根据两三角形的三组对应边的比例相等，则这两个三角形相似判断即可． 【详解】解：①中三角形三边分别为，2，， ②中三角形三边分别为，3，， ③中三角形三边分别为，，， ④中三角形三边分别为2，，， ∵， ∴是相似三角形的是①和④． 故选D． 题型九 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 10．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在中，，是边上一点，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】含30度角的直角三角形、相似多边形的性质、利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键． （1）直接利用两边成比例，夹角相等的两个三角形相似判定即可； （2）先利用相似性质得出，再分别在两个直角三角形和中，利用角所对的直角边等于斜边的一半求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴． 题型十 相似三角形的判定综合 11．在和中，，下列不能判定这两个三角形相似的是（     ） A．， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】C 【知识点】相似三角形的判定综合 【分析】本题主要考查相似三角形的判定定理：两角对应相等，两组边对应成比例且夹角相等，三边对应成比例．根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析即可． 【详解】解：A、， ， ， ， 又∵， ，故该选项不符合题意； B、，，，， ， ， ，故该选项不符合题意； C、，，，， ， 不能判定这两个三角形相似，故该选项符合题意； D、，，，， ， ， ，故该选项不符合题意； 故选：C． 12．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，是边上的高，点为线段上一点（不与点，点重合），连接，作与的延长线交于点，与交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求证：； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】相似三角形的判定综合、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证，结合，则结论得证； （2）证明即可； 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即． 题型十一 选择或补充条件使两个三角形相似 13．（24-25九年级上·浙江·期中）如图，在中，，点在上，请添加一个条件 ，使得与相似． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．利用相似三角形的判定即可求解． 【详解】解：添加， 则， ∵， ∴； 故答案为：． 14．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，下列条件中能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题主要考查添加条件式三角形相似，根据已知相似三角形的逐一判断选项是否符合条件即可． 【详解】解：．若，则， ∵， ∴，该选项正确，符合题意； ．若，无法得出和对应边成比例，该选项错误，不符合题意； ．若，无和对应边成比例，选项错误，不符合题意； ．若，无和对应边成比例，该选项错误，不符合题意； 故选：A． 题型十二 利用相似三角形的性质求解 15．（24-25九年级上·浙江湖州·期末）如图，在由小正方形组成的网格中，已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据网格求出，再利用相似三角形的性质可得结论，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：由网格可知， ∵， ∴， ∴， 故选：． 16．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在的网格中，请按要求作图． (1)在图1中画出线段绕点顺时针旋转后的线段； (2)图2中在上作点，使．（保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】画旋转图形、利用相似三角形的性质求解 【分析】本题主要考查了旋转作图和相似三角形的性质的应用： （1）利用旋转变换的性质作出点A的对应点，连接即可； （2）构造相似比为的相似三角形即可解决问题 【详解】（1）如图所示，线段即为所作， （2）如图所示，点P即为扎作， 题型十三 证明三角形的对应线段成比例 17．如图，在△ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC上，若 DE∥BC，AD=2BD，则 DE：BC 等于 ．    【答案】2：3 【知识点】证明三角形的对应线段成比例 【分析】根据DE∥BC得出△ADE∽△ABC，结合AD=2BD可得出相似比即可求出DE：BC． 【详解】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∵AD=2BD， ∴， ∴DE：BC=2：3， 故答案为：2：3． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，属于基础题型，解题的关键是熟悉相似三角形的判定及性质，灵活运用线段的比例关系． 题型十四 利用相似求坐标 18．如图，已知直角坐标系中四点A（﹣2，4），B（﹣2，0），C（2，﹣3），D（2，0）、设P是x轴上的点，且PA、PB、AB所围成的三角形与PC、PD、CD所围成的三角形相似，请写出所有符合上述条件的点P的坐标： ． 【答案】（，0）、（14，0）、（4，0）、（-4，0）． 【分析】此题需要分情况分析，当点P在AB左边，在AB与CD之间，在CD的右边，通过相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例即可求得 【详解】解：设OP=x（x＞0），分三种情况： （1）若点P在AB的左边，有两种可能： ①此时△ABP∽△PDC，则PB：CD=AB：PD， 则（x-2）：3=4：（x+2） 解得x=4， ∴点P的坐标为（-4，0）； ②若△ABP∽△CDP，则AB：CD=PB：PD， 则（-x-2）：（2-x）=4：3 解得：x=14，与假设在B点左边矛盾，舍去． （2）若点P在AB与CD之间，有两种可能： ①若△ABP∽△CDP，则AB：CD=BP：PD， ∴4：3=（x+2）：（2-x） 解得：x=， ∴点P的坐标为（，0）； ②若△ABP∽△PDC，则AB：PD=BP：CD， ∴4：（2-x）=（x+2）：3， 方程无解； （3）若点P在CD的右边，有两种可能： 若△ABP∽△CDP，则AB：CD=BP：PD， ∴4：3=（2+x）：（x-2）， ∴x=14， ∴点P的坐标为（14，0）， ②若△ABP∽△PDC，则AB：PD=BP：CD， ∴4：（x-2）=（x+2）：3， ∴x=4， ∴点P的坐标为（4，0）； ∴点P的坐标为（，0）、（14，0）、（4，0）、（-4，0）． 故答案为：（，0）、（14，0）、（4，0）、（-4，0）． 【点睛】此题考查相似三角形的性质．解题的关键是数形结合思想的应用．注意分类讨论，小心别漏解． 题型十五 在网格中画与已知三角形相似的三角形 19．（24-25九年级上·浙江衢州·期中）在的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上）． (1)在图1中将绕点顺时针旋转，画出旋转得到的； (2)在图2中画出一个与相似的，且使得相似比不为1．（画出一个即可） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】在网格中画与已知三角形相似的三角形、画旋转图形 【分析】本题考查作图相似变换，旋转变换等知识，解题的关键是掌握相似变换旋转变换的性质． （1）根据要求作出图形； （2）根据两条直角边的比对应相等，构造相似三角形即可． 【详解】（1）解：如图1，即为所求； （2）解：如图2中，即为所求． ． 题型十六 相似三角形——动点问题 20．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如图所示，在矩形中，，，两只小虫和同时分别从，出发沿、向终点，方向前进，小虫每秒走，小虫每秒走，它们同时出发秒时，使，则 秒 【答案】2或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、相似三角形——动点问题 【分析】本题考查相似三角形的性质，一元一次方程的运用，根据相似三角形的性质分情况①当时，②当时，讨论建立等式求解，即可解题． 【详解】解：由题意，设经秒后，， 由于，，， ①当时， ． 解得． 故经过秒时，． ②当时， ． 解得． 故经过秒时，． 故答案为：或． 21．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，，．动点从点出发，以每秒的速度沿向终点移动，同时动点从点出发，以每秒的速度沿向终点移动，连接，设移动时间为（）． (1)当时，求的值． (2)设四边形的面积为，求与之间的函数关系式： (3)是否存在某一时刻，使以，，为顶点的三角形与相似？若存在，求出相应的值：若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在以，，为顶点的三角形与相似，或 【知识点】相似三角形——动点问题、用勾股定理解三角形、图形运动问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）因为，，所以当时，则，解方程即可求解； （2）过点作于点，则，根据得，利用可求出函数关系式； （3）分和两种情况讨论． 【详解】（1）解：如图所示： ∵在中，，，． ∴根据勾股定理，得． ， 当时，则， 解得：， ∴当时，； （2）过点作于点，则． ∴ ∴， 即， ∴， ， ∴， 即； （3）存在以M，P，A为顶点的三角形与相似，分两种情况： ①当时，， 即， 解得：； ②当时，， 即， 解得：． 综上所述，当或时，以M，P，A为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，函数关系式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 题型十七 相似三角形实际应用 22．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，地面上的点处放置平面镜，光线从点射出经平面镜（点处）反射后照射到点．已知，，垂足分别为、，米，米，米，则长为 米． 【答案】/ 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据物理性质找到求得的长度．设米，则米，由物理性质可得入射角等于反射角、，证明，得出，代入数据求得，即可求解． 【详解】解：设米， 米， 米， 由物理性质可得入射角等于反射角，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴ ∴， ∴， 即， 解得，即米． 故答案为：． 23．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，小虎自制了一个小孔成像装置，其中，纸筒的长度为，他准备了一支长为的蜡烛，想要得到高度为的像，求此时蜡烛与纸筒的距离的长度． 【答案】 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，根据题意可证明，再利用相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴此时蜡烛与纸筒的距离的长度为． 题型十八 相似三角形的综合问题 24．如图，点G是△ABC的重心，下列结论中正确的个数有（　　） ①；②；③△EDG∽△CBG；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】相似三角形的综合问题 【分析】根据三角形的重心的概念和性质得到AE，CD是△ABC的中线，根据三角形中位线定理得到DE∥BC，DE＝BC，根据相似三角形的性质定理判断即可． 【详解】解：∵点G是△ABC的重心， ∴AE，CD是△ABC的中线， ∴DE∥BC，DE＝BC， ∴△DGE∽△BGC， ∴ ＝，①正确； ，②正确； △EDG∽△CBG，③正确； ,④正确， 故选D． 【点睛】本题考查三角形的重心的概念和性质，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题关键． 25．如图，已知正方形，点E在的延长线上，连结交对角线于点G，交于点F． （1）若，求的值； （2）求证：； （3）若，求n关于m的关系式． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【知识点】相似三角形的综合问题 【分析】（1）证明△ABG∽△EDG，得到，根据，可得，即； （2）证明△ADG∽△FBG，得到，再根据AB∥DE，得到，通过等量代换可得结果； （3）根据△ADG∽△FBG，△ABG∽△EDG，推出，根据，可以推出，再根据，得到GE=nGF-AG，结合（2）中，得到nGF-AG=，令，则根据nGF-AG=x·GA，变形可得，证明△ABF∽△ECF，得到，推出x=m+1，结合可得m和n的关系． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD为正方形， ∴AB∥DE，AD∥BC，AB=AD=BC=DC， ∴△ABG∽△EDG， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵AD∥BC， ∴△ADG∽△FBG， ∴， ∵AB∥DE， ∴△ABG∽△EDG， ∴， ∴， ∴； （3）∵AD∥BC， ∴△ADG∽△FBG， ∴， ∵AB∥DE， ∴△ABG∽△EDG， ∴， 又∵，即， ∴， ∵，CF∥AD， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 则AG=AE-GE=nGF-GE， 则GE=nGF-AG， 由（2）可知：， ∴， ∴nGF-AG=， 令， 则nGF-AG=x·GA， 变形得：， ∴， 则， ∵AB∥CE， ∴△ABF∽△ECF， ∴， 又∵， ∴， 则， ∴，又∵BC=AD， ∴， ∴， 又∵， ∴x=m+1， ∵， ∴=， ∴m与n的关系为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，有一定的综合性，熟练运用相似三角形的性质，遇到线段比，通常联想到相似三角形，需熟练掌握． 题型十九 相似三角形的判定与性质综合 26．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，已知点，分别在的边，上，．若，，，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的对应边成比例是解题关键．证明出，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 解得：， 故选：D． 27．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，，，点在边上． (1)判断与是否相似？请说明理由． (2)当时，求的度数． 【答案】(1)相似，理由见解析 (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）利用两边对应成比例且夹角为公共角即可证明与相似． （2）利用相似三角形的性质即可求出答案． 本题考查了相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：相似，理由如下： ，，， ． 又为公共角， △△； （2）解：△△，， ． 题型二十 重心的有关性质 28．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图（保留作图痕迹）．    (1)在图中画，使得与的相似比为． (2)在图中画出的重心． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【知识点】重心的有关性质、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（）根据相似三角形的性质作出图形即可； （）根据三角形重心的定义即可得到结论； 本题考查了作图-相似变换，三角形的重心，正确地作出图形是解题的关键． 【详解】（1）画图如图，    由网格可知：，，， ，，， ∴， ∴与相似且相似比为， ∴即为所求； （2）画图如图，    由和为的中线， ∴点是的重心， ∴点即为所求． 题型二十一 相似多边形 29．下面我们做一次折叠活动：第一步：在一张宽为2的矩形纸片的一端，利用图1的方法折叠出一个正方形，然后把纸片展开． 第二步：如图（2），把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步：折出内侧矩形的对角线AB，并将AB折到图（3）中所示的AD处． 第四步：展平纸片，按照所得的点D折出DE，矩形BCDE就是黄金矩形，你能说明为什么吗？（注：当矩形的宽与长的比为时，称这个矩形为黄金矩形） 【答案】答案见解析 【知识点】成比例线段、相似多边形 【分析】设正方形BCNM的边长为2，利用对折的性质得ACNC＝1，再在△ABC中根据勾股定理计算出AB，接着利用对折得AD＝AB，所以CD＝AD﹣AC＝1，于是有，然后根据黄金矩形的定义进行判断． 【详解】解：由题意可得正方形BCNM的边长为2， ∵正方形BCNM沿AF对折， ∴ACNC＝1， 在△ABC中，∵BC＝2，AC＝1， ∴AB， ∵AD＝AB， ∴CD＝AD﹣AC＝1， ∴， ∴矩形BCDE就是黄金矩形． 【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中ACAB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．也考查了折叠的性质． 题型二十二 相似多边形的性质 30．观察下面这张残破的图（如图所示），其中残破的七边形与七边形相似，如果量得，，你能求出七边形的面积吗？    【答案】能， 【知识点】相似多边形的性质 【分析】先得出两个相似图形的相似比，再根据相似多边形面积比等于相似比的平方，即可求解． 【详解】解：能．求解过程如下： 七边形与七边形相似，且其相似比等于， 七边形与七边形的面积比为，则， ． 故七边形的面积为． 【点睛】本题主要考查了相似图形的性质，解题的关键是掌握相抵图形面积比等于相似比的平方． 题型二十三 求位似图形的对应坐标 31．在如图所示的直角坐标系中，． (1)作出图形关于x轴对称的图形； (2)求出图形的面积； (3)以图中为位似中心，将图形放大2倍，并在点E的右侧作出放大后的图形，并写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)图形的面积为3 (3)见解析，点的坐标为（1，3） 【知识点】画轴对称图形、画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形、求位似图形的对应坐标 【分析】（1）根据平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点作图； （2）将不规则图形转化为规则图形的和差计算其面积； （3）根据位似的坐标特点作图． 【详解】（1）如图； （2）图形的面积为； （3）如图所示，点的坐标为． 【点睛】本题考查了关于x轴对称的图形、位似图形的作法，及不规则图形的面积计算，是常考题型． 题型二十四 位似图形的识别 32．如图，已知△ABC，任取一点O，连结AO、BO、CO，并取它们的中点D、E、F，得△DEF，则下列说法错误的是（　　） A．△ABC与△DEF是位似图形 B．△ABC与△DEF是相似图形 C．△ABC与△DEF的面积之比为4：1 D．△ABC与△DEF的周长之比为4：1 【答案】D 【知识点】利用相似三角形的性质求解、位似图形的识别 【分析】根据位似图形的性质，得出△ABC与△DEF是位似图形进而根据位似图形一定是相似图形得出△ABC与△DEF是相似图形，再根据周长比等于位似比，以及根据面积比等于相似比的平方，即可得出答案． 【详解】解：根据位似性质可得：A、△ABC与△DEF是位似图形，故本选项正确，不符合题意； △ABC与△DEF是相似图形，故B选项正确，不符合题意； ∵将△ABC的三边缩小到原来的， ∴△ABC与△DEF的周长之比为2：1，故D选项不正确，符合题意； ∵面积比等于相似比的平方， ∴△ABC与△DEF的面积之比为4：1，故C选项正确，不符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，正确的记忆位似图形性质是解决问题的关键． 题型二十五 判断位似中心 33．如图，已知和是位似图形，那么其位似中心是点　　 A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【知识点】判断位似中心 【分析】根据位似中心的概念可知位似中心是对应顶点的连线的交点． 【详解】∵位似图形对应顶点的连线交于一点，即位似中心， ∴位似中心是点B． 故选B． 【点睛】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，注意位似图形对应顶点的连线交于一点，即位似中心． 题型二十六 位似图形相关概念辨析 34．（2023九年级·全国·专题练习）如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心，若OA：OD=1：3，△ABC的面积为3，则△DEF的面积为 ． 【答案】27 【知识点】位似图形相关概念辨析 【详解】∵△ABC与△DEF是位似图形，∴△ABC∽△DEF，AB∥DE， ∴△OAB∽△ODE，∴，∴=2=． ∵△ABC的面积为3， ∴△DEF的面积为27． 题型二十七 求两个位似图形的相似比 35．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，与是位似图形，点为位似中心，．若的面积为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求两个位似图形的相似比、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了位似变换，掌握位似图形的概念，相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 根据根据位似图形的概念得到，证明，根据相似三角的形的性质得到，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，计算即可． 【详解】解：与是位似图形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C ． 题型二十八 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 36．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，在网格中，点A，B，C，O都在格点上，用无刻度直尺作图并保留作图痕迹． (1)以O为位似中心，在网格中作，且与的位似比为． (2)在线段上作点P，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 【分析】本题考查了作图-位似变换： （1）延长到使，延长到使，点在C点，则满足条件； （2）点向右4格的点与点向左2格点连接起来与交点即为点P，此时根据平行可得，即得到． 【详解】（1）解：如图：即为所求； （2）解：如图，点P即为所求． 题型二十九 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 37．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，图形甲与图形乙位似，O是位似中心，已知，点A，B的对应点分别为点，．若，则的长为（    ） A．8 B．9 C．10 D．15 【答案】B 【知识点】在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【分析】本题考查的是位似图形，解题的关键是掌握位似图形的位似比是对应边的比．根据位似比的概念解答即可． 【详解】解：∵图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心， ， ，即位似比为， ， ， ． 故答案为：B． 题型三十 在坐标系中画位似图形 38．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）在的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上）． (1)在图1中画出一个以点C为位似中心，且与位似的（位似比不为1）； (2)在图2中，仅用无刻度直尺（不使用直角）在线段上找一点M，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】在坐标系中画位似图形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查作图-位似变换，熟练掌握位似的性质、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）根据位似的性质画图即可． （2）取格点N，使，且，连接交于点M，则点M即为所求． 【详解】（1）解：如图1，即为所求． （2）解：如图2，取格点N，，且，连接交于点M， 此时， ∴， 则点M即为所求． 题型三十一 在坐标系中画位似中心 39．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在网格中，和位似，则位似中心为（　　） A．点O B．点P C．点Q D．点R 【答案】B 【知识点】在坐标系中画位似中心 【分析】利用位似图形的性质得出位似中心即可． 【详解】解：如图，和'位似，位似中心为点P． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了找位似图形的位似中心，解题的关键是熟练掌握位似图形的性质，对应点连线的交点为位似中心． 40．如图，与是位似图形，且位似比是，若，在图中画出位似中心O，并求的长． 【答案】见解析， 【知识点】在坐标系中画位似中心、求两个位似图形的相似比 【分析】本题考查了位似中心的确定方法，位似图形的性质； 连接，的交点即为位似中心O，然后根据位似比可求的长． 【详解】解：如图，点O即为所求； ∵与的位似比是，， ∴. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$