专题03 方程与不等式（五大考点60题）（江西专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题03 方程与不等式（五大考点60题） 一、填空题 1．（2025·江西·中考真题）不等式的解集为 2．（2025·江西·中考真题）小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多50元，求纯电汽车每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，可列分式方程为 3．（2022·江西·中考真题）甲、乙两人在社区进行核酸采样，甲每小时比乙每小时多采样10人，甲采样160人所用时间与乙采样140人所用时间相等，甲、乙两人每小时分别采样多少人？设甲每小时采样x人，则可列分式方程为 ． 4．（2022·江西·中考真题）已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值是 ． 5．（2021·江西·中考真题）已知，是一元二次方程的两根，则 ． 二、解答题 6．（2025·江西·中考真题）系文物考古研究院用复原的青铜蒸馏器进行了蒸馏酒实验．用复原的青铜蒸馏器蒸馏粮食酒和芋头酒，需要的原材料与出酒率（）如下表： 类别 原材料 出酒率 粮食酒 粮食糟醅（含大米、糯米、谷壳、大曲和蒸馏水 30% 芋头酒 芋头糟醅（含芋头、小曲和蒸馏水） 20% 如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共16公斤；第二次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共36公斤，且所用的粮食糟醅量是第一次的2倍，芋头糟醅量是第一次的3倍． (1)求第一次实验分别用了多少公斤粮食糟醅和芋头糟醅？ (2)受限于当时的生产条件，古代青铜装馏器的出酒量约为现代复原品的80%．若粮食糟醅中大米占比约为，请问，在古代要想蒸馏出这两次实验得到的粮食酒总量，需要准备多少公斤大米？ 7．（2024·江西·中考真题）如图，书架宽，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚，每本语文书厚． (1)数学书和语文书共90本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各多少本； (2)如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本？ 8．（2023·江西·中考真题）今年植树节，某班同学共同种植一批树苗，如果每人种3棵，则剩余20棵；如果每人种4棵，则还缺25棵． (1)求该班的学生人数； (2)这批树苗只有甲、乙两种，其中甲树苗每棵30元，乙树苗每棵40元．购买这批树苗的总费用没有超过5400元，请问至少购买了甲树苗多少棵？ 9．（2022·江西·中考真题）（1）计算：； （2）解不等式组： 10．（2021·江西·中考真题）甲，乙两人去市场采购相同价格的同一种商品，甲用2400元购买的商品数量比乙用3000元购买的商品数量少10件． （1）求这种商品的单价； （2）甲，乙两人第二次再去采购该商品时，单价比上次少了20元/件，甲购买商品的总价与上次相同，乙购买商品的数量与上次相同，则甲两次购买这种商品的平均单价是______元/件，乙两次购买这种商品的平均单价是______元/件． （3）生活中，无论油价如何变化，有人总按相同金额加油，有人总按相同油量加油，结合（2）的计算结果，建议按相同______加油更合算（填“金额”或“油量”）． 11．（2021·江西·中考真题）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来． 考点01：一元一次方程 12．（2025·江西九江·二模）小亮利用杠杆原理（动力动力臂=阻力阻力臂）制作了如图所示的天平（杠杆、托盘质量忽略不计），然后用它来称取物品质量．如图1，当天平左盘放置质量为的物品，右盘中放置砝码时，天平平衡．如图2，将某物品放在右盘后，左盘放置砝码，才可使天平再次平衡，则该物品的质量是 g． 13．（2025·江西抚州·二模）2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨召开．吉祥物“滨滨”和“妮妮”玩偶热销．某商场现购进“滨滨”和“妮妮”玩偶共300个，已知一个“滨滨”25元，一个“妮妮”20元，共花去6750元．求购进“滨滨”和“妮妮”各多少个？若设购进“滨滨”x个，则可列方程为 ． 14．（2025·江西吉安·一模）《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题的大意为：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长为x尺，则绳子长尺，则可以列出方程为 ． 考点02：二元一次方程组 15．（2025·江西·二模）小亮妈妈逛超市时看中一套碗，她将碗叠成一列（如图），测量后发现：用3个碗叠放时，总高度为；用5个碗叠放时，总高度为．若将10个碗叠成一列能放入消毒柜，则这个消毒柜的内置高度至少有 ． 16．（2025·江西赣州·二模）某港口码头使用A，两种型号的机器人搬运货物．在内，3台A型机器人和2台型机器人共搬运货物，且每台型机器人比型机器人多搬运货物，每台A型机器人和每台型机器人24h的搬运量分别是多少？ 17．（2025·江西新余·三模）江西省居民用电采取阶梯电价的方式收费，分档标准如图所示．已知小明家在2023年用电总量为2760千瓦时，交纳电费1686元；小华家在2023年用电总量为3160千瓦时，交纳电费1946元． 分档 年电量水平（千瓦时/户） 第一档 第二档 （含4200） 第三档 (1)求第一档与第二档用电收费标准； (2)若小华家在2024年用电总量为4100千瓦时，求小华家2024年应交纳的电费总额． 18．（2025·江西宜春·二模）（1）计算：． （2）解方程组：． 19．（2025·江西上饶·一模）清明果是上饶的特色美食之一．某美食商铺推出了萝卜馅清明果和肉馅清明果．下表列出了小李、小艺在该美食商铺的购买数量（单位：个）和付款金额（单位：元）． 萝卜馅清明果／个 肉馅清明果／个 付款金额／元 小李 40 10 85 小艺 20 20 80 根据上表，求萝卜馅清明果和肉馅清明果的单价． 20．（2025·江西新余·一模）（1）计算：； （2）解方程组：． 考点03：一元二次方程 21．（2025·江西新余·二模）已知α，β是一元二次方程的两个实数根，则（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 22．（2025·江西吉安·一模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则满足条件的最小整数的值是（     ） A．－1 B．0 C．1 D．2 23．（2025·江西抚州·二模）已知关于x的一元二次方程的两个实数根之积为正数，则实数m的取值范围是 ． 24．（2025·江西吉安·一模）已知一元二次方程的两个根分别为和，则 ． 25．（2025·江西上饶·一模）若a，b是一元二次方程的两根，则的值为 ． 26．（2025·江西宜春·一模）已知是关于x的一元二次方程的一个根，则另外一个根的值是 ． 27．（2025·江西景德镇·一模）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 28．（2025·江西九江·三模）解下列方程： (1)； (2) 29．（2025·江西上饶·三模）（1）计算：； （2）解方程． 30．（2025·江西抚州·一模）2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以40元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨1元，就少卖10个 (1)设每件商品售价为x元时，则每件商品的利润为______元，此时每周可以卖出______个； (2)若商场计划一周的利润达到12000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？ 考点04：分式方程 31．（2025·江西抚州·一模）在物理学中，物质的密度等于物体的质量m与它的体积V之比，即．已知两个物体的密度之比为，当物体A的质量是，物体B的质量是时，物体B的体积比物体A的体积小．如果设物体A的体积是，那么根据题意列方程为（    ） A． B． C． D． 32．（2025·江西抚州·一模）以下是小张同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解： ．第一步 ．第二步 ．第三步 经检验，是原方程的根．第四步 任务一：填空：以上解方程的过程中，第___________步开始出现错误； 任务二：请你帮他写出正确的解答过程． 33．（2025·江西新余·三模）下面是小轩学习“分式方程的应用”后所作的学习笔记，请认真阅读并解答相应的问题． 题目，某校准备购买甲、乙两种图书，甲种图书的单价比乙种图书的单价多20元，用2000元购买甲种图书和用1200元购买乙种图书的数量相同．问甲、乙两种图书的单价各是多少元？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 设……，等量关系：甲图书数量乙图书数量 解法二 设……，等量关系：甲图书单价乙图书单价20 (1)解法一所列方程中的x表示______，解法二所列方程中的x表示______．（填序号） ①甲种图书的单价；②乙种图书的单价；③甲种图书购买的数量． (2)请选择一种解法，求出甲、乙两种图书的单价． (3)若该校用不超过2500元钱购买甲、乙两种图书共60本，求甲种图书最多能购买的数量． 34．（2025·江西南昌·二模）为迎接端午节水果销售旺季，某商家计划购进甲、乙两种水果进行销售，若用1000元购买甲种水果的重量比用1800元购买乙种水果多10千克，且乙种水果每千克的进价是甲种水果进价的2倍． (1)求甲、乙两种水果的进价分别是多少； (2)若甲种水果的售价为14元/千克，乙种水果的售价为26元/千克，该商家购进甲、乙两种水果共500千克，要使总销售利润不低于2400元，则甲种水果最多购进多少千克? 35．（2025·江西萍乡·二模）如图，书架宽，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本语文书的厚度是每本数学书厚度的1.5倍，且厚度和为的数学书比厚度和为的语文书多30本． (1)求书架上每本数学书和每本语文书的厚度； (2)若书架上已摆放20本语文书，则最多还可以摆多少本数学书？ 考点05：不等式与不等式组 36．（2025·江西吉安·一模）若关于x的不等式组的整数解共有3个，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 37．（2025·江西抚州·二模）在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则的取值范围是 ． 38．（2025·江西九江·二模）不等式组的解集是 ． 39．（2025·江西抚州·一模）不等式组 的解集是 ． 40．（2025·江西景德镇·一模）古巴比伦有这样一个有趣的问题：“有二田，其一比其二广五亩．若以其一之十亩予其二，则其二之广不逾其一之倍，问初时其一田最小几何？”其大意为：两块土地，第一块面积比第二块大5亩，若从第一块取10亩给第二块，则第二块面积不超过第一块的2倍，问最初第一块土地的最小面积为 ． 41．（2025·江西宜春·一模）若代数式在实数范围内有意义，则实数的取值范围为 ． 42．（2025·江西上饶·一模）不等式的解集为 ． 43．（2025·江西南昌·一模）不等式组的解集是 ． 44．（2025·江西抚州·二模）“一盔一带，安全行动”是全国公安部门启动的一项重要安全措施，旨在打造文明城市，提升市民文明素质，此行动要求电动自行车驾驶者及其乘客必须佩戴安全头盔，某商场计划采购一批头盔以响应此倡议．已知购进3个A型头盔和2个B型头盔需要225元，购进2个A型头盔和3个B型头盔需要245元． (1)购进1个A型头盔和1个B型头盔分别需要多少元？ (2)如果该商场准备购进60个这两种型号的头盔，总费用不超过2600元，则至少购进A型头盔多少个？ 45．（2025·江西南昌·三模）南昌著名地标建筑——滕王阁，在五一期间成为了热门的旅游打卡景点．已知滕王阁的门票价格为成人票价50元/人，学生票价25元/人，若能完整背诵王勃的《滕王阁序》则可免门票．某学校组织1000名师生前往参观，其中有200人凭借流利背诵《滕王阁序》享受免票优惠，最终此次参观累计花费20250元门票费用． (1)问在需要购票的师生中，学生和老师的人数各有多少？ (2)已知能背出《滕王阁序》的老师人数占所有参观滕王阁老师人数的，为控制实际购票费用不超过18000元，在所有老师都要背出《滕王阁序》的前提下，至少还需多少名学生背出《滕王阁序》？ 46．（2025·江西抚州·二模）某校举行了“诵读红色家书讲述英烈故事”的演讲比赛，并计划购买A，B两种奖品共30个．已知种奖品的单价是20元，种奖品的单价是15元． (1)若该校购买奖品共花费510元，求购买种奖品的个数； (2)如果学校购买种奖品的数量不少于种奖品数量的．求至少购买种奖品多少个？ 47．（2025·江西抚州·一模）某花店计划在国庆节来临之前购进一批康乃馨和百合花，已知购买2枝康乃馨和3枝百合共需40元；购买3枝康乃馨和1枝百合共需25元． (1)求每枝康乃馨和百合花的价格分别是多少元？ (2)若该花店准备同时购进这两种花共360枝，并且康乃馨的数量不多于百合花数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 48．（2025·江西新余·二模）某市为响应国家家电补贴政策，推出了购买节能家电的补贴方案．补贴方案具体如下：购买1台节能冰箱可获得300元补贴，购买1台节能空调可获得500元补贴，每户家庭购买节能家电的总补贴金额不超过2000元． (1)小明家购买了若干台节能冰箱和节能空调，共获得补贴1900元，且小明家购买的节能冰箱比节能空调多1台，小明家购买了节能冰箱和节能空调各多少台？ (2)如果小明家希望购买节能冰箱和节能空调的总台数为6台，且总补贴金额不超过2000元，求小明家最多可以购买多少台节能空调？ 49．（2025·江西抚州·一模）（1）计算： （2）解不等式组： 50．（2025·江西吉安·一模）小宇同学在做练习时，有一道不等式组题是这样的：解不等式组，小宇仿照用解方程组所使用的加减消元法，做了如下的解答： 第一步：由，得； 第二步：化简，得； 第三步：原不等式组的解集为． (1)小宇的解法是从第______步开始出现错误的； (2)请写出正确的解答过程，并将解集在数轴上表示出来． 51．（2025·江西九江·一模）某工厂生产型号和型号两种扎染图案挂件，每天只能生产一种型号的挂件．如果生产2天型号挂件和3天型号挂件，一共可以生产2100个；如果生产1天型号挂件和2天型号挂件，一共可以生产1300个． (1)每天能生产型号挂件或型号挂件多少个？ (2)工厂接到一个旅游节的订单，要求用10天时间至少交付3800个挂件，在完成订单任务的前提下，请问至少要安排生产型号挂件多少天？ 52．（2025·江西九江·一模）（1）计算：． （2）解不等式组： 53．（2025·江西新余·二模）学校组织部分师生到某红色教育基地进行研学活动，此次研学活动中，在该基地购买门票的信息如下： 信息一 门票类别 单价/元 购票总额/元 学生票 2500 成人票 2000 信息二：购买学生票的数量是购买成人票数量的2倍． (1)求学生票和成人票的单价分别是多少？ (2)该学校决定再次组织50名师生到该基地研学，若购买门票的费用不超过2800元，求此次研学活动最多能安排多少位老师参加? 54．（2025·江西吉安·一模）2024年10月30日，神舟十九号载人飞船发射取得圆满成功，神舟十九号航天员乘组顺利进驻中国空间站．某航模商店购进A、两种航空模型进行销售，已知购进种航空模型和种航空模型各1个共65元，购进A种航空模型2个和种航空模型1个共需90元． (1)求A、两种航空模型进价分别多少元； (2)某商店计划购买、两种航空模型共80个，若、两种航空模型的售价分别是40元和50元，要使获得的利润不低于1100元，请问至少购买种航空模型多少个？ 55．（2025·江西·二模）某商家销售两款盲盒．已知购进4个款盲盒的费用与购进5个款盲盒的花费相同，每个款盲盒的进价比每个款盲盒的进价多20元． (1)每个款盲盒和每个款盲盒的进价分别是多少元？ (2)根据网上预定的情况，该商家计划用不超过17000元的资金购进A，B两款盲盒共200个，求最多可以购进款盲盒的个数． 56．（2025·江西抚州·一模）骑电动车时佩戴安全头盔至关重要，可以减少意外伤害，某商店销售进价分别为45元/个、36元/个的甲、乙两种安全头盔，下表是近两天的销售情况： 时间 甲头盔销量（个） 乙头盔销量（个） 销售金额（元） 周一 10 10 1150 周二 8 12 1120 (1)求甲、乙两种头盔的销售单价； (2)甲、乙两种头盔共售出60个，为实现利润达到950元的目标，求至少需要卖多少个甲头盔． 57．（2025·江西南昌·一模）解不等式组并将解集在数轴上表示出来. 58．（2025·江西宜春·一模）某工厂为了提高生产效率，计划对甲、乙两种型号机器进行改造，根据预算，改造2个甲种型号机器比3个乙种型号机器多需资金1万元，改造3个甲种型号机器和1个乙种型号机器共需资金18万元． (1)改造1个甲种型号机器和1个乙种型号机器所需资金分别是多少万元？ (2)已知改造1个甲种型号机器的时间是3天，改造1个乙种型号机器的时间是2天，该工厂计划改造甲、乙两种型号机器共16个，改造资金最多能投入68万元，要求改造时间不少于40天，请问有几种改造方案？哪种方案工厂投入资金最少，最少是多少？ 59．（2025·江西·二模）（1）计算：； （2）解不等式组：． 60．（2025·江西新余·模拟预测）随着科技的进步和农业现代化的发展，无人机喷洒农药技术得到了广泛的推广和应用，相比传统的人工打药，无人机的作业速度更快，覆盖面积更广．已知每小时使用一台无人机对玉米地喷洒农药的面积是一个人打药面积的6倍，使用一台无人机对600亩玉米地喷洒农药的时间比一个人对200亩玉米地打药的时间少25小时． (1)求每小时一台无人机对玉米地喷洒农药的面积和一个人打药的面积． (2)王伯伯种植了亩玉米，他想用一小时完成对所有玉米地的打药作业．现有两台无人机可供使用，若每个人打药的效率相同，王伯伯参与其中，则王伯伯至少还需要多少个人同时打药？ 试卷第36页，共37页 试卷第37页，共37页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 方程与不等式（五大考点60题） 一、填空题 1．（2025·江西·中考真题）不等式的解集为 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式．根据一元一次不等式的解法，先移项，再系数化为，即可求解． 【详解】解：移项，得， 系数化为，得． 故答案为：． 2．（2025·江西·中考真题）小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多50元，求纯电汽车每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，可列分式方程为 【答案】 【分析】本题考查分式方程的应用．设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，由每百公里的耗油费为元，根据“燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同”列出分式方程即可． 【详解】解：设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，由每百公里的耗油费为元， 根据题意得，， 故答案为：． 3．（2022·江西·中考真题）甲、乙两人在社区进行核酸采样，甲每小时比乙每小时多采样10人，甲采样160人所用时间与乙采样140人所用时间相等，甲、乙两人每小时分别采样多少人？设甲每小时采样x人，则可列分式方程为 ． 【答案】 【分析】先表示乙每小时采样（x-10）人，进而得出甲采样160人和乙采样140人所用的时间，再根据时间相等列出方程即可． 【详解】根据题意可知乙每小时采样（x-10）人，根据题意，得 ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了列分式方程，确定等量关系是列方程的关键． 4．（2022·江西·中考真题）已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值是 ． 【答案】1 【分析】由一元二次方程根的判别式列方程可得答案． 【详解】解：一元二次方程有两个相等的实数根， 可得判别式， ∴， 解得：． 故答案为： 【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式的含义是解题的关键． 5．（2021·江西·中考真题）已知，是一元二次方程的两根，则 ． 【答案】1 【分析】直接利用根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴，， ∴． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，若是方程()的两根，则，． 二、解答题 6．（2025·江西·中考真题）系文物考古研究院用复原的青铜蒸馏器进行了蒸馏酒实验．用复原的青铜蒸馏器蒸馏粮食酒和芋头酒，需要的原材料与出酒率（）如下表： 类别 原材料 出酒率 粮食酒 粮食糟醅（含大米、糯米、谷壳、大曲和蒸馏水 30% 芋头酒 芋头糟醅（含芋头、小曲和蒸馏水） 20% 如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共16公斤；第二次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共36公斤，且所用的粮食糟醅量是第一次的2倍，芋头糟醅量是第一次的3倍． (1)求第一次实验分别用了多少公斤粮食糟醅和芋头糟醅？ (2)受限于当时的生产条件，古代青铜装馏器的出酒量约为现代复原品的80%．若粮食糟醅中大米占比约为，请问，在古代要想蒸馏出这两次实验得到的粮食酒总量，需要准备多少公斤大米？ 【答案】(1)第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是40、20公斤． (2)需要准备公斤大米． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组、一元一次方程的应用等知识点，审清题意、正确列出方程组和方程是解题的关键． （1）第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是x、y公斤，则第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是公斤，然后根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）先求出两次得到粮食酒的总质量，设需要准备z公斤大米，则粮食糟醅的质量为，再根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是x、y公斤，则第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是公斤， 由题意可得：，解得：． 答：第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是40、20公斤． （2）解：两次实验得到的粮食酒总量为公斤， 设需要准备z公斤大米，则粮食糟醅的质量为， 由题意可得：，解得：千克． 答：需要准备公斤大米． 7．（2024·江西·中考真题）如图，书架宽，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚，每本语文书厚． (1)数学书和语文书共90本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各多少本； (2)如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本？ 【答案】(1)书架上有数学书60本，语文书30本． (2)数学书最多还可以摆90本 【分析】本题主要考查了一元一次方程及不等式的应用，解题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程． （1）首先设这层书架上数学书有本，则语文书有本，根据题意可得等量关系：本数学书的厚度本语文书的厚度，根据等量关系列出方程求解即可； （2）设数学书还可以摆m本，根据题意列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设书架上数学书有本，由题意得： ， 解得：， ． ∴书架上有数学书60本，语文书30本． （2）设数学书还可以摆m本， 根据题意得：， 解得：， ∴数学书最多还可以摆90本． 8．（2023·江西·中考真题）今年植树节，某班同学共同种植一批树苗，如果每人种3棵，则剩余20棵；如果每人种4棵，则还缺25棵． (1)求该班的学生人数； (2)这批树苗只有甲、乙两种，其中甲树苗每棵30元，乙树苗每棵40元．购买这批树苗的总费用没有超过5400元，请问至少购买了甲树苗多少棵？ 【答案】(1)该班的学生人数为45人 (2)至少购买了甲树苗80棵 【分析】（1）设该班的学生人数为x人，根据两种方案下树苗的总数不变列出方程求解即可； （2）根据（1）所求求出树苗的总数为155棵，设购买了甲树苗m棵，则购买了乙树苗棵树苗，再根据总费用不超过5400元列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设该班的学生人数为x人， 由题意得，， 解得， ∴该班的学生人数为45人； （2）解：由（1）得一共购买了棵树苗， 设购买了甲树苗m棵，则购买了乙树苗棵树苗， 由题意得，， 解得， ∴m得最小值为80， ∴至少购买了甲树苗80棵， 答：至少购买了甲树苗80棵． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程，找到不等关系列出不等式是解题的关键． 9．（2022·江西·中考真题）（1）计算：； （2）解不等式组： 【答案】（1）3；（2）1＜x＜3 【分析】（1）根据绝对值的性质，算术平方根的意义，零指数幂的意义解答即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】（1）原式=2+2-1， =3． （2） 解不等式①得：x＜3， 解不等式②得：x＞1， ∴不等式组的解集为：1＜x＜3． 【点睛】本题考查的是实数的运算和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 10．（2021·江西·中考真题）甲，乙两人去市场采购相同价格的同一种商品，甲用2400元购买的商品数量比乙用3000元购买的商品数量少10件． （1）求这种商品的单价； （2）甲，乙两人第二次再去采购该商品时，单价比上次少了20元/件，甲购买商品的总价与上次相同，乙购买商品的数量与上次相同，则甲两次购买这种商品的平均单价是______元/件，乙两次购买这种商品的平均单价是______元/件． （3）生活中，无论油价如何变化，有人总按相同金额加油，有人总按相同油量加油，结合（2）的计算结果，建议按相同______加油更合算（填“金额”或“油量”）． 【答案】（1）这种商品的单价为60元/件；（2）48,50；（3）金额 【分析】（1）根据题意设这种商品的单价为元/件，通过甲乙之间购买的商品数量间的数量关系列分式方程进行求解即可； （2）利用两次购买总价÷两次购买总数量=平均单价，列式分别求出甲乙两次购买的平均单价即可； （3）对比（2）中的计算数据总结即可得解． 【详解】（1）设这种商品的单价为元/件， ，解得，经检验是原分式方程的解， 则这种商品的单价为60元/件； （2）甲，乙两人第二次再去采购该商品时，单价为元/件， ∵甲两次购买总价为元，购买总数量为件， ∴甲两次购买这种商品的平均单价是元/件； ∵乙两次购买总价为元，购买总数量为件， ∴乙两次购买这种商品的平均单价是元/件； 故答案为：48,50； （3）∵， ∴按照甲两次购买商品的总价相同的情况下更合算， ∴建议按相同金额加油更合算， 故答案为：金额． 【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，通过题目找准数量关系，利用总价÷数量=单价的基本等量关系式进行求解是解决本题的关键． 11．（2021·江西·中考真题）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【分析】根据题意，先对不等式组进行求解，然后将其解集在数轴上表示即可． 【详解】根据题意，令为①式，为②式 解：由①式得，由②式得 则原不等式组的解集为：． 解集在数轴上表示如下： 【点睛】本题主要考查了不等式组的求解，熟练掌握不等式组的解法并将其解集在数轴上进行表示是解决本题的关键． 考点01：一元一次方程 12．（2025·江西九江·二模）小亮利用杠杆原理（动力动力臂=阻力阻力臂）制作了如图所示的天平（杠杆、托盘质量忽略不计），然后用它来称取物品质量．如图1，当天平左盘放置质量为的物品，右盘中放置砝码时，天平平衡．如图2，将某物品放在右盘后，左盘放置砝码，才可使天平再次平衡，则该物品的质量是 g． 【答案】40 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 设该药品质量为x克，根据“动力×动力臂=阻力×阻力臂”得，根据题意列出方程，即可求解． 【详解】解：设该药品质量为x克， 由题意可得： 解得． 故答案为：． 13．（2025·江西抚州·二模）2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨召开．吉祥物“滨滨”和“妮妮”玩偶热销．某商场现购进“滨滨”和“妮妮”玩偶共300个，已知一个“滨滨”25元，一个“妮妮”20元，共花去6750元．求购进“滨滨”和“妮妮”各多少个？若设购进“滨滨”x个，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设购进“滨滨”x个，根据“商场现购进“滨滨”和“妮妮”玩偶共300个，已知一个“滨滨”25元，一个“妮妮”20元，共花去6750元”，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设购进“滨滨”x个， 根据题意得：， 故答案为：． 14．（2025·江西吉安·一模）《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题的大意为：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长为x尺，则绳子长尺，则可以列出方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，根据“长木长绳长的一半尺”列方程即可． 【详解】解：根据题意得：， 故答案为：． 考点02：二元一次方程组 15．（2025·江西·二模）小亮妈妈逛超市时看中一套碗，她将碗叠成一列（如图），测量后发现：用3个碗叠放时，总高度为；用5个碗叠放时，总高度为．若将10个碗叠成一列能放入消毒柜，则这个消毒柜的内置高度至少有 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用．设一个碗的高度为，增加一个碗高度增加，根据题意列方程组求出，进而求解即可． 【详解】解：设一个碗的高度为，增加一个碗高度增加， 根据题意得：， 解得：． 则10个碗放在一起时，它的高度为． 故答案为：． 16．（2025·江西赣州·二模）某港口码头使用A，两种型号的机器人搬运货物．在内，3台A型机器人和2台型机器人共搬运货物，且每台型机器人比型机器人多搬运货物，每台A型机器人和每台型机器人24h的搬运量分别是多少？ 【答案】每台A型机器人的搬运量是，每台型机器人的搬运量是 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，申请题意、正确列出二元一次方程组成为解题的关键． 设每台A型机器人的搬运量是，每台型机器人的搬运量是，然后根据题意列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设每台A型机器人的搬运量是，每台型机器人的搬运量是， 根据题意得，解得：， 答：每台A型机器人的搬运量是，每台型机器人的搬运量是． 17．（2025·江西新余·三模）江西省居民用电采取阶梯电价的方式收费，分档标准如图所示．已知小明家在2023年用电总量为2760千瓦时，交纳电费1686元；小华家在2023年用电总量为3160千瓦时，交纳电费1946元． 分档 年电量水平（千瓦时/户） 第一档 第二档 （含4200） 第三档 (1)求第一档与第二档用电收费标准； (2)若小华家在2024年用电总量为4100千瓦时，求小华家2024年应交纳的电费总额． 【答案】(1)第一档用电收费标准为元/千瓦时，第二档用电收费标准为元/千瓦时 (2)小华家2024年应交纳的电费总额为2557元 【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键． （1）设第一档用电收费标准为元/千瓦时，第二档用电收费标准为元千瓦时，由此列二元一次方程组求解即可； （2）根据阶段收费的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：设第一档用电收费标准为元/千瓦时，第二档用电收费标准为元千瓦时， 则， 解得， 答：第一档用电收费标准为0.6元/千瓦时，第二档用电收费标准为0.65元/千瓦时； （2）解：（元）， 答：小华家2024年应交纳的电费总额为2557元． 18．（2025·江西宜春·二模）（1）计算：． （2）解方程组：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查零次幂，解二元一次方程组，正确计算是解题的关键． （1）根据有理数的乘方，零次幂，绝对值的性质计算即可； （2）利用代入消元法求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）， 由②得③， 将③代入①，得出：， 解得， 将代入③，得：， ∴方程组的解为：． 19．（2025·江西上饶·一模）清明果是上饶的特色美食之一．某美食商铺推出了萝卜馅清明果和肉馅清明果．下表列出了小李、小艺在该美食商铺的购买数量（单位：个）和付款金额（单位：元）． 萝卜馅清明果／个 肉馅清明果／个 付款金额／元 小李 40 10 85 小艺 20 20 80 根据上表，求萝卜馅清明果和肉馅清明果的单价． 【答案】萝卜馅清明果的单价是1.5元，肉馅清明果的单价是2.5元． 【分析】本题考查二元一次方程组，解题的关键是找准等量正确列出方程组． 设萝卜馅清明果的单价是元，肉馅清明果的单价是元，根据表格信息可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； 【详解】（1）解：设萝卜馅清明果的单价是元，肉馅清明果的单价是元， 根据题意，得， 解得， 答：萝卜馅清明果的单价是1.5元，肉馅清明果的单价是2.5元． 20．（2025·江西新余·一模）（1）计算：； （2）解方程组：． 【答案】（1）2；（2） 【分析】此题考查了解二元一次方程组，以及绝对值和零指数幂． （1）原式先计算绝对值和零指数幂，再算减法即可； （2）方程组利用加减消元法求出解即可． 【详解】解：（1）； （2）， ①+②得：， 解得：， 把2代入②得：， 则方程组的解为． 考点03：一元二次方程 21．（2025·江西新余·二模）已知α，β是一元二次方程的两个实数根，则（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：如果是方程的两根，那么，．直接根据根与系数的关系求出，再整体代入计算求解即可． 【详解】解：是一元二次方程的两个实数根， ， ∴． 故选：C． 22．（2025·江西吉安·一模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则满足条件的最小整数的值是（     ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查根的判别式，掌握根的判别式与根的个数之间的关系是解题的关键．首先根据根的判别式求出的取值范围，然后从中找到最小整数即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∴满足条件的最小整数的值是， 故选：D． 23．（2025·江西抚州·二模）已知关于x的一元二次方程的两个实数根之积为正数，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解不等式，一元二次方程的判别式，根与系数的关系，结合题意，得出，再代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：记关于x的一元二次方程的两个实数根分别为， ∵关于x的一元二次方程的两个实数根之积为正数， ∴， 即，， ∴， 故答案为：． 24．（2025·江西吉安·一模）已知一元二次方程的两个根分别为和，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题关键是熟练掌握关于x的一元二次方程有两根为和，则，． 根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根分别为和， ∴　 故答案为：5． 25．（2025·江西上饶·一模）若a，b是一元二次方程的两根，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系可得出，然后对进行变形后整体代入即可解答．掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个根， ∴， ∴． 故答案为：． 26．（2025·江西宜春·一模）已知是关于x的一元二次方程的一个根，则另外一个根的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的一个根， ∴由根与系数的关系可得方程的另一个根的值为， 故答案为：． 27．（2025·江西景德镇·一模）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．由，是一元二次方程的两个实数根，可得，，然后代入求值即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故答案为：． 28．（2025·江西九江·三模）解下列方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）先移项，然后利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得． 29．（2025·江西上饶·三模）（1）计算：； （2）解方程． 【答案】（1）；（2）， 【分析】（1）根据计算即可； （2）利用因式分解法解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 解得，． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，二次根式的化简，绝对值的化简，解方程，熟练掌握二次根式的化简，解方程是解题的关键． 30．（2025·江西抚州·一模）2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以40元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨1元，就少卖10个 (1)设每件商品售价为x元时，则每件商品的利润为______元，此时每周可以卖出______个； (2)若商场计划一周的利润达到12000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？ 【答案】(1) (2)售价应定为每个50元 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用； （1）每个利润为售价减进价元，根据“价格每涨元，就少卖个”求销量即可； （2）利用总利润为每件商品的利润乘以销售量，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设每件商品售价为元时，则每件商品的利润为元， ∵价格每涨元，就少卖个， ∴每周可以卖出个数为， 故答案为：； （2）解：由题意得： 整理得： 解得：， ∵更大优惠让利消费者， ， 答：售价应定为每个元． 考点04：分式方程 31．（2025·江西抚州·一模）在物理学中，物质的密度等于物体的质量m与它的体积V之比，即．已知两个物体的密度之比为，当物体A的质量是，物体B的质量是时，物体B的体积比物体A的体积小．如果设物体A的体积是，那么根据题意列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意；因此此题可根据题意直接进行求解 【详解】解：设物体A的体积是，则物体B的体积是，根据题意，得． 故选D． 32．（2025·江西抚州·一模）以下是小张同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解： ．第一步 ．第二步 ．第三步 经检验，是原方程的根．第四步 任务一：填空：以上解方程的过程中，第___________步开始出现错误； 任务二：请你帮他写出正确的解答过程． 【答案】任务一：一；任务二：无解 【分析】本题主要考查了求解分式方程，掌握解分式方程的基本步骤是解答本题的关键． 任务一：根据解分式方程的方法进行判断即可； 任务二：先去分母，变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【详解】解：任务一：第一步去分母时，常数项没有乘以，因此第一步开始出现错误； 任务二：解：， 方程两边同乘以，得 解得， 检验，当时，， ∴不是原方程的根， ∴原方程无解． 33．（2025·江西新余·三模）下面是小轩学习“分式方程的应用”后所作的学习笔记，请认真阅读并解答相应的问题． 题目，某校准备购买甲、乙两种图书，甲种图书的单价比乙种图书的单价多20元，用2000元购买甲种图书和用1200元购买乙种图书的数量相同．问甲、乙两种图书的单价各是多少元？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 设……，等量关系：甲图书数量乙图书数量 解法二 设……，等量关系：甲图书单价乙图书单价20 (1)解法一所列方程中的x表示______，解法二所列方程中的x表示______．（填序号） ①甲种图书的单价；②乙种图书的单价；③甲种图书购买的数量． (2)请选择一种解法，求出甲、乙两种图书的单价． (3)若该校用不超过2500元钱购买甲、乙两种图书共60本，求甲种图书最多能购买的数量． 【答案】(1)①；③ (2)50元，30元 (3)甲种图书最多能购买35本． 【分析】本题考查的是分式方程的应用，分式方程的解法，一元一次不等式的应用． （1）根据等量关系中代数式的含义可得答案； （2）分别选择两个方程求解即可得到答案； （3）设甲种图书购买的数量为本，则乙种图书购买的数量为本，该校用不超过2500元钱的资金购进甲、乙两种图书，求解的范围，可得答案． 【详解】（1）解：由甲商品数量乙商品数量，可得：中的x表示甲种商品每件进价x元， 由甲商品进价乙商品进价可得：中的x表示甲种商品购进x件； 故答案为：①，③； （2）解：解法一：， 方程两边同乘，得， 解得， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲、乙两种图书的单价分别为50元、30元； 解法二：， 方程两边同乘，得， 解得， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲、乙两种图书的单价分别为50元、30元； （3）解：设甲种图书购买的数量为本，则乙种图书购买的数量为本， 根据题意得， 解得 答：甲种图书最多能购买35本． 34．（2025·江西南昌·二模）为迎接端午节水果销售旺季，某商家计划购进甲、乙两种水果进行销售，若用1000元购买甲种水果的重量比用1800元购买乙种水果多10千克，且乙种水果每千克的进价是甲种水果进价的2倍． (1)求甲、乙两种水果的进价分别是多少； (2)若甲种水果的售价为14元/千克，乙种水果的售价为26元/千克，该商家购进甲、乙两种水果共500千克，要使总销售利润不低于2400元，则甲种水果最多购进多少千克? 【答案】(1)甲种水果的进价为10元/千克，乙种水果的进价为20元/千克 (2)300千克 【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是总价与单价和数量的关系列出相应的分式方程，利用总利润与每千克利润和千克数的关系列不等式，是解题的关键． （1）设甲种水果的进价为x元/千克，根据1000元购买甲种水果的重量比用1800元购买乙种水果多10千克，列出分式方程，即可求出甲、乙两种水果的单价分别是多少元； （2）设甲种水果购进a千克，根据甲种水果的售价为14元/千克，乙种水果的售价为26元/千克，该商家购进甲、乙两种水果共500千克，要使总销售利润不低于2400元，列不等式即可解答． 【详解】（1）解：设甲种水果的进价为x元/千克． 解得． 检验：当时，． 所以，原分式方程的解为．则． 答：甲种水果的进价为10元/千克，乙种水果的进价为20元/千克． （2）设甲种水果购进a千克． 解得：． 答：甲种水果最多购进300千克． 35．（2025·江西萍乡·二模）如图，书架宽，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本语文书的厚度是每本数学书厚度的1.5倍，且厚度和为的数学书比厚度和为的语文书多30本． (1)求书架上每本数学书和每本语文书的厚度； (2)若书架上已摆放20本语文书，则最多还可以摆多少本数学书？ 【答案】(1)每本数学书的厚度为，每本语文书的厚度为 (2)75本数学书 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出分式方程和一元一次不等式是解此题的关键． （1）设每本数学书的厚度为，则每本语文书的厚度为，根据题意列出分式方程，解分式方程即可得解； （2）设还可以摆本数学书，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得解． 【详解】（1）解：设每本数学书的厚度为，则每本语文书的厚度为， 由题意得：． 解得：， 经检验，是方程的解且符合题意， 则， 答：每本数学书的厚度为，每本语文书的厚度为． （2）解：设还可以摆本数学书， 由题意得，， 解得： 答：最多还可以摆75本数学书． 考点05：不等式与不等式组 36．（2025·江西吉安·一模）若关于x的不等式组的整数解共有3个，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查不等式组整数解问题，解题的关键是正确求出不等式的解．分别解不等式①和不等式②，结合三个整数解直接求解即可得到答案． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组有解， ∴不等式组的解集为：， ∵整数解共有个， ∴ 故选：B． 37．（2025·江西抚州·二模）在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查各象限内的点的坐标特点，解一元一次不等式组．根据第二象限内的点的横坐标为负数，纵坐标为正数即可列出不等式组，求解即可． 【详解】解：点在第二象限， ， 解得． 故答案为：． 38．（2025·江西九江·二模）不等式组的解集是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， 故答案为：． 39．（2025·江西抚州·一模）不等式组 的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，先解出不等式组中的每一个不等式，再由“同大取大、同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”求不等式组的解集即可得到答案．熟记一元一次不等式组的解法是解决问题的关键． 【详解】解：， 由①得； 由②得； 原不等式组的解集为， 故答案为：． 40．（2025·江西景德镇·一模）古巴比伦有这样一个有趣的问题：“有二田，其一比其二广五亩．若以其一之十亩予其二，则其二之广不逾其一之倍，问初时其一田最小几何？”其大意为：两块土地，第一块面积比第二块大5亩，若从第一块取10亩给第二块，则第二块面积不超过第一块的2倍，问最初第一块土地的最小面积为 ． 【答案】亩 【分析】本题考查了一元一次不等式的实际应用，设第一块土地面积为x亩，则第二块面积为亩，根据从第一块取10亩给第二块，则第二块面积不超过第一块的2倍，列出不等式，求解即可． 【详解】解：设第一块土地面积为x亩，则第二块面积为亩， 根据题意：， 解得：， 则最初第一块土地的最小面积为亩， 故答案为：亩． 41．（2025·江西宜春·一模）若代数式在实数范围内有意义，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式的分母不能为零． 利用分式的分母不能为零即可解答此题． 【详解】解：根据代数式在实数范围内有意义得， 解得，， 故答案为：． 42．（2025·江西上饶·一模）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，先移项再合并同类项，系数化1，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 43．（2025·江西南昌·一模）不等式组的解集是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，再取它们的公共部分即可得到不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得，； 解不等式②得，； 所以，不等式组的解集为：， 故答案为：． 44．（2025·江西抚州·二模）“一盔一带，安全行动”是全国公安部门启动的一项重要安全措施，旨在打造文明城市，提升市民文明素质，此行动要求电动自行车驾驶者及其乘客必须佩戴安全头盔，某商场计划采购一批头盔以响应此倡议．已知购进3个A型头盔和2个B型头盔需要225元，购进2个A型头盔和3个B型头盔需要245元． (1)购进1个A型头盔和1个B型头盔分别需要多少元？ (2)如果该商场准备购进60个这两种型号的头盔，总费用不超过2600元，则至少购进A型头盔多少个？ 【答案】(1)购进1个A型头盔需要37元，购进1个B型头盔需要57元 (2)至少购进A型头盔41个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设购进1个A型头盔需要x元，购进1个B型头盔需要y元，根据题意即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进A型头盔a个，则购进B型头盔个，由题意可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，再取其中的最小整数值即可得出结论． 【详解】（1）解：设购进1个A型头盔需要x元，购进1个B型头盔需要y元， 由题意得 解得 答：购进1个A型头盔需要37元，购进1个B型头盔需要57元． （2）解：设购进A型头盔a个，则购进B型头盔个，由题意得， 解得， ∴a的最小值为41． 答：至少购进A型头盔41个． 45．（2025·江西南昌·三模）南昌著名地标建筑——滕王阁，在五一期间成为了热门的旅游打卡景点．已知滕王阁的门票价格为成人票价50元/人，学生票价25元/人，若能完整背诵王勃的《滕王阁序》则可免门票．某学校组织1000名师生前往参观，其中有200人凭借流利背诵《滕王阁序》享受免票优惠，最终此次参观累计花费20250元门票费用． (1)问在需要购票的师生中，学生和老师的人数各有多少？ (2)已知能背出《滕王阁序》的老师人数占所有参观滕王阁老师人数的，为控制实际购票费用不超过18000元，在所有老师都要背出《滕王阁序》的前提下，至少还需多少名学生背出《滕王阁序》？ 【答案】(1)学生790人，老师10人 (2)70名 【分析】本题考查一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意是解答的关键． （1）设在需要购票的师生中，学生人数有x，则老师有人，根据“此次参观累计花费20250元门票费用”列方程求解即可； （2）设还需要y名学生，“控制实际购票费用不超过18000元”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设在需要购票的师生中，学生人数有x人，则老师有人， 根据题意，得， 解得: ， 则， ∴在需要购票的师生中，学生790人，老师10人； （2）解：设还需要y名学生， 根据题意，得， 解得 答：至少还需70名学生背出《滕王阁序》． 46．（2025·江西抚州·二模）某校举行了“诵读红色家书讲述英烈故事”的演讲比赛，并计划购买A，B两种奖品共30个．已知种奖品的单价是20元，种奖品的单价是15元． (1)若该校购买奖品共花费510元，求购买种奖品的个数； (2)如果学校购买种奖品的数量不少于种奖品数量的．求至少购买种奖品多少个？ 【答案】(1)购买种奖品12个 (2)至少购买种奖品9个 【分析】本题考查了一元一次方程，一元一次不等式的应用，解题的关键是列出相应的方程或不等式； （1）设购买种奖品个，则购买种奖品个，然后列出方程进行求解即可； （2）设购买种奖品个，则购买种奖品个．根据题意得列出，进行求解，再根据整数的概念进行取值． 【详解】（1）解：设购买种奖品个，则购买种奖品个． 根据题意得，， 解得． 答：购买种奖品12个； （2）解：设购买种奖品个，则购买种奖品个． 根据题意得，， 解得． 又为正整数， 的最小值为9， 答：至少购买种奖品9个． 47．（2025·江西抚州·一模）某花店计划在国庆节来临之前购进一批康乃馨和百合花，已知购买2枝康乃馨和3枝百合共需40元；购买3枝康乃馨和1枝百合共需25元． (1)求每枝康乃馨和百合花的价格分别是多少元？ (2)若该花店准备同时购进这两种花共360枝，并且康乃馨的数量不多于百合花数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 【答案】(1)每枝康乃馨5元，每枝百合10元 (2)购买康乃馨240枝，百合120枝，理由见解析 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用． （1）根据购买2支康乃馨和3支百合共需40元；购买3支康乃馨和1支百合共需25元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可； （2）根据题意，先设出购买康乃馨m支，费用为w元，即可得到w关于m的函数式，再根据康乃馨的数量不多于百合花数量的2倍，可以求得m的取值范围，然后根据一次函数的性质，即可得到最省钱的方案． 【详解】（1）解：设每枝康乃馨x元，每枝百合y元， 根据题意得：， 解得， 答：每枝康乃馨5元，每枝百合10元； （2）解：最省钱的购买方案是购买康乃馨240枝，百合120枝，理由如下： 设购买康乃馨m枝，则购买百合枝，费用为W元， ， ， ， ∵， ∴当时，W取得最小值，此时， 即最省钱的购买方案是购买购买康乃馨240枝，百合120枝． 48．（2025·江西新余·二模）某市为响应国家家电补贴政策，推出了购买节能家电的补贴方案．补贴方案具体如下：购买1台节能冰箱可获得300元补贴，购买1台节能空调可获得500元补贴，每户家庭购买节能家电的总补贴金额不超过2000元． (1)小明家购买了若干台节能冰箱和节能空调，共获得补贴1900元，且小明家购买的节能冰箱比节能空调多1台，小明家购买了节能冰箱和节能空调各多少台？ (2)如果小明家希望购买节能冰箱和节能空调的总台数为6台，且总补贴金额不超过2000元，求小明家最多可以购买多少台节能空调？ 【答案】(1)小明家购买了3台节能冰箱，2台节能空调 (2)小明家最多可以购买1台节能空调 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意正确列出方程组以及不等式为解题关键． （1）设小明家购买了x台节能冰箱，y台节能空调，根据小明家购买了若干台节能冰箱和节能空调，共获得补贴1900元，且小明家购买的节能冰箱比节能空调多1台，列出方程组求解即可； （2）设小明家购买了m台节能空调，则购买了台节能冰箱，根据总补贴金额不超过2000元，列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设小明家购买了x台节能冰箱，y台节能空调， 根据题意，得 解得， 答：小明家购买了3台节能冰箱，2台节能空调． （2）设小明家购买了m台节能空调，则购买了台节能冰箱， 根据题意，得， 解得． 答：小明家最多可以购买1台节能空调． 49．（2025·江西抚州·一模）（1）计算： （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了实数的混合运算，解一元一次不等式组，掌握相应的运算法则是解本题的关键． （1）先计算零指数幂，化简绝对值，特殊角的三角函数值，再计算加减即可； （2）先分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可． 【详解】解：（1） ； （2） 解不等式①，得， 解不等式②，得 ， 原不等式组的解集是． 50．（2025·江西吉安·一模）小宇同学在做练习时，有一道不等式组题是这样的：解不等式组，小宇仿照用解方程组所使用的加减消元法，做了如下的解答： 第一步：由，得； 第二步：化简，得； 第三步：原不等式组的解集为． (1)小宇的解法是从第______步开始出现错误的； (2)请写出正确的解答过程，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】(1)一 (2)见详解 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式的解法和步骤是解题的关键； （1）按照解一元一次不等式组的步骤，即可判断； （2）先求出两个不等式的解集，再求出公共解，进而可表示在数轴上； 【详解】（1）解：小宇的解法是从第一步开始出现错误的， 故答案为：一； （2）解：， 解①得， 解②得， 故该不等式组的解集为． 51．（2025·江西九江·一模）某工厂生产型号和型号两种扎染图案挂件，每天只能生产一种型号的挂件．如果生产2天型号挂件和3天型号挂件，一共可以生产2100个；如果生产1天型号挂件和2天型号挂件，一共可以生产1300个． (1)每天能生产型号挂件或型号挂件多少个？ (2)工厂接到一个旅游节的订单，要求用10天时间至少交付3800个挂件，在完成订单任务的前提下，请问至少要安排生产型号挂件多少天？ 【答案】(1)每天能生产型号挂件300个，或型号挂件500个 (2)4天 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用； （1）设该工厂每天能生产型号挂件个，或型号挂件个．根据如果生产2天型号挂件和3天型号挂件，一共可以生产2100个；如果生产1天型号挂件和2天型号挂件，一共可以生产1300个，再建立方程组解题即可； （2）设应安排生产型号挂件天，则生产型号挂件天．根据用10天时间至少交付3800个挂件，再建立不等式解题即可. 【详解】（1）解：设该工厂每天能生产型号挂件个，或型号挂件个． 根据题意，得， 解得， 答：该工厂每天能生产型号挂件300个，或型号挂件500个． （2）解：设应安排生产型号挂件天，则生产型号挂件天． 根据题意，得， 解得． 答：至少要安排生产型号挂件4天． 52．（2025·江西九江·一模）（1）计算：． （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了二次根式的加减，特殊角的三角函数值，求不等式组的解集． （1）先代入特殊角的三角函数值，二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可； （2）先分别求出两个不等式的解集，再根据同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解求出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1）原式． （2） 解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解集为． 53．（2025·江西新余·二模）学校组织部分师生到某红色教育基地进行研学活动，此次研学活动中，在该基地购买门票的信息如下： 信息一 门票类别 单价/元 购票总额/元 学生票 2500 成人票 2000 信息二：购买学生票的数量是购买成人票数量的2倍． (1)求学生票和成人票的单价分别是多少？ (2)该学校决定再次组织50名师生到该基地研学，若购买门票的费用不超过2800元，求此次研学活动最多能安排多少位老师参加? 【答案】(1)学生票单价为50元，则成人票单价为80元； (2)此次研学活动最多能安排位老师． 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用等知识． （1）由题意得学生票、成人票单价分别为元、元，根据题意找到等量关系构造出分式方程即可解决问题． （2）设此次研学活动安排了位老师，根据题意找到不等量关系构造出不等式即可解决最值问题． 【详解】（1）解：由题意得学生票、成人票单价分别为元、元， 依题意得：， 解得：， 经检验是分式方程的根且符合题意， ∴ 答：学生票单价为50元，则成人票单价为80元； （2）解：此次研学活动安排了位老师，则安排了个学生， 依题意得： ， 解得：， 答：此次研学活动最多能安排位老师． 54．（2025·江西吉安·一模）2024年10月30日，神舟十九号载人飞船发射取得圆满成功，神舟十九号航天员乘组顺利进驻中国空间站．某航模商店购进A、两种航空模型进行销售，已知购进种航空模型和种航空模型各1个共65元，购进A种航空模型2个和种航空模型1个共需90元． (1)求A、两种航空模型进价分别多少元； (2)某商店计划购买、两种航空模型共80个，若、两种航空模型的售价分别是40元和50元，要使获得的利润不低于1100元，请问至少购买种航空模型多少个？ 【答案】(1)种航空模型进价为25元，种航空模型进价为40元 (2)至少购买种航空模型60个 【分析】本题考查二元一次方程组与一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出方程组与不等式是解题的关键． （1）设A种航天飞船模型每件的进价为x元，B种航天飞船模型每件的进价为y元，根据购进种航空模型和种航空模型各1个共65元，购进A种航空模型2个和种航空模型1个共需90元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购买种航模个，根据利润不低于1100元，列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设A种航空模型进价为元/个，种航空模型进价为元/个． 依题意可得， 解得， 答：A种航空模型进价为25元，种航空模型进价为40元． （2）解：设购买A种航模个，由题意可得： 解得， 答：至少购买A种航空模型60个． 55．（2025·江西·二模）某商家销售两款盲盒．已知购进4个款盲盒的费用与购进5个款盲盒的花费相同，每个款盲盒的进价比每个款盲盒的进价多20元． (1)每个款盲盒和每个款盲盒的进价分别是多少元？ (2)根据网上预定的情况，该商家计划用不超过17000元的资金购进A，B两款盲盒共200个，求最多可以购进款盲盒的个数． 【答案】(1)每个A款盲盒进价100元，每个B款盲盒进价80元； (2)最多购买A款盲盒50个． 【分析】本题主要考查一元一次方程和一元一次不等式的实际应用． （1）根据题意，设每个B款盲盒的进价是x元，则每个A款盲盒的进价是元，根据题意列出一元一次方程即可得到答案； （2）设购买A款盲盒m个，则购买B款盲盒个，根据题意列出一元一次不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：设每个B款盲盒的进价是x元，则每个A款盲盒的进价是元． 由题意可得， 解得， 则． 即每个A款盲盒进价100元，每个B款盲盒进价80元； （2）解：设购买A款盲盒m个，则购买B款盲盒个． ， 解得， 因为m为整数，所以m最大为50， 即最多购买A款盲盒50个． 56．（2025·江西抚州·一模）骑电动车时佩戴安全头盔至关重要，可以减少意外伤害，某商店销售进价分别为45元/个、36元/个的甲、乙两种安全头盔，下表是近两天的销售情况： 时间 甲头盔销量（个） 乙头盔销量（个） 销售金额（元） 周一 10 10 1150 周二 8 12 1120 (1)求甲、乙两种头盔的销售单价； (2)甲、乙两种头盔共售出60个，为实现利润达到950元的目标，求至少需要卖多少个甲头盔． 【答案】(1)甲头盔的销售单价为65元，乙头盔的销售单价为50元 (2)至少需要卖19个甲头盔 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意； （1）设甲头盔的销售单价为x元，乙头盔的销售单价为y元，由题意可得方程组，进而求解即可； （2）设卖出m个甲头盔，则卖出了个乙头盔，由题意可得，进而求解即可 【详解】（1）解：设甲头盔的销售单价为x元，乙头盔的销售单价为y元． 根据题意得， 解得． 答：甲头盔的销售单价为65元，乙头盔的销售单价为50元； （2）解：设卖出m个甲头盔，则卖出了个乙头盔． 根据题意得，， 解得． 是正整数， 的最小值为19． 答：至少需要卖19个甲头盔． 57．（2025·江西南昌·一模）解不等式组并将解集在数轴上表示出来. 【答案】，数轴见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键. 首先分别解出两个不等式的解集，然后找出它们的公共部分，即为不等式组的解集.最后，在数轴上表示出解集. 【详解】解： 解不等式①得. 解不等式②得. 故原不等式组的解集为. 将解集在数轴上表示为： ． 58．（2025·江西宜春·一模）某工厂为了提高生产效率，计划对甲、乙两种型号机器进行改造，根据预算，改造2个甲种型号机器比3个乙种型号机器多需资金1万元，改造3个甲种型号机器和1个乙种型号机器共需资金18万元． (1)改造1个甲种型号机器和1个乙种型号机器所需资金分别是多少万元？ (2)已知改造1个甲种型号机器的时间是3天，改造1个乙种型号机器的时间是2天，该工厂计划改造甲、乙两种型号机器共16个，改造资金最多能投入68万元，要求改造时间不少于40天，请问有几种改造方案？哪种方案工厂投入资金最少，最少是多少？ 【答案】(1)改造1个甲种型号机器需要5万元，改造1个乙种型号机器需要3万元 (2) 共有3种改造方案：方案1：改造8个甲种型号机器和8个乙种型号机器；方案2：改造9个甲种型号机器和7个乙种型号机器；方案3：改造10个甲种型号机器和6个乙种型号机器．其中方案1：改造8个甲种型号机器和8个乙种型号机器投入资金最少，最少资金是64万元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意建立方程组和不等式组是解题的关键． （1）设改造1个甲种型号机器需要x万元，改造1个乙种型号机器需要y万元，根据改造2个甲种型号机器比3个乙种型号机器多需资金1万元，改造3个甲种型号机器和1个乙种型号机器共需资金18万元建立方程组求解即可； （2）设改造m个甲种型号机器，则改造个乙种型号机器，根据改造资金最多能投入68万元，要求改造时间不少于40天建立不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设改造1个甲种型号机器需要x万元，改造1个乙种型号机器需要y万元， 由题意得 解得， 答：改造1个甲种型号机器需要5万元，改造1个乙种型号机器需要3万元． （2）解：设改造m个甲种型号机器，则改造个乙种型号机器， 由题意得 解得． ∵m为正整数， ∴， ∴共有3种改造方案： 方案1：改造8个甲种型号机器和8个乙种型号机器； 方案2：改造9个甲种型号机器和7个乙种型号机器； 方案3：改造10个甲种型号机器和6个乙种型号机器． 方案1所需费用为（万元）； 方案2所需费用为（万元）； 方案3所需费用为（万元）． ∵， ∴方案1：改造8个甲种型号机器和8个乙种型号机器投入资金最少，最少资金是64万元． 59．（2025·江西·二模）（1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了实数的混合运算，解一元一次不等式组，熟练掌握相关知识法则是解题的关键． （1）根据乘方，负整数指数幂，零指数幂，绝对值的意义计算各项，再算加减法即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，将不等式的解集表示在数轴上或者根据口诀确定其公共部分即可． 【详解】解：（1） ． （2）解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴该不等式组的解集为． 60．（2025·江西新余·模拟预测）随着科技的进步和农业现代化的发展，无人机喷洒农药技术得到了广泛的推广和应用，相比传统的人工打药，无人机的作业速度更快，覆盖面积更广．已知每小时使用一台无人机对玉米地喷洒农药的面积是一个人打药面积的6倍，使用一台无人机对600亩玉米地喷洒农药的时间比一个人对200亩玉米地打药的时间少25小时． (1)求每小时一台无人机对玉米地喷洒农药的面积和一个人打药的面积． (2)王伯伯种植了亩玉米，他想用一小时完成对所有玉米地的打药作业．现有两台无人机可供使用，若每个人打药的效率相同，王伯伯参与其中，则王伯伯至少还需要多少个人同时打药？ 【答案】(1)一个人打药的面积为4亩，则一台无人机对玉米地喷洒农药的面积为24亩． (2)王伯伯至少还需要47个人同时打药． 【分析】本题主要考查分式方程及一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意； （1）设一个人打药的面积为x亩，则一台无人机对玉米地喷洒农药的面积为亩，由题意易得，然后进行求解即可； （2）设王伯伯还需要y个人同时打药，由题意易得，然后进行求解即可． 【详解】（1）解：设一个人打药的面积为x亩，则一台无人机对玉米地喷洒农药的面积为亩， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴， 答：一个人打药的面积为4亩，则一台无人机对玉米地喷洒农药的面积为24亩． （2）解：设王伯伯还需要y个人同时打药，由题意得： ， 解得：； 答：王伯伯至少还需要47个人同时打药． 试卷第36页，共37页 试卷第37页，共37页 学科网（北京）股份有限公司 $$