专题07 反比例函数及其应用（60题）（贵州专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题07 反比例函数及其应用（60题） 一、单选题 1．（2025·贵州·中考真题）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过反比例函数图象上点作轴垂线，垂足为点，交的图象于点，点的横坐标为1．有以下结论： ①线段的长为8； ②点的坐标为； ③当时，一次函数的值小于反比例函数的值． 其中结论正确的个数是（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，求出点的坐标进而求出的长，判断①，联立两个函数解析式，求出点坐标，判断②，图象法判断③即可． 【详解】解：∵点的横坐标为1， ∴， ∴， ∵过反比例函数图象上点作轴垂线，垂足为点，交的图象于点， ∴； ∴；故①正确； 联立，解得：或（舍去）； ∴点的坐标为，故②正确； 由图象可知，当，直线在双曲线上方，一次函数的值大于反比例函数的值，故③错误； 故选C． 2．（2022·贵州黔西·中考真题）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过的象限是（    ） A．一、二、三 B．一、二、四 C．一、三、四 D．二、三、四 【答案】B 【分析】由图可知，反比例函数位于二、四象限，则根据反比例函数的性质可知k<0，再结合一次函数的图象和性质即可作答． 【详解】由图可知，反比例函数位于二、四象限， ∴k<0， ∴y=kx+2经过一、二、四象限． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质以及一次函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数和一次函数的图象和性质是解题的关键． 3．（2022·贵州贵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中有，，，四个点，其中恰有三点在反比例函数的图象上．根据图中四点的位置，判断这四个点中不在函数的图象上的点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】根据反比例函数的性质，在第一象限内随的增大而减小，用平滑的曲线连接发现点不在函数的图象上 【详解】解：在第一象限内随的增大而减小，用平滑的曲线连接发现点不在函数的图象上 故选C 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例数图象的性质是解题的关键． 4．（2021·贵州黔西·中考真题）对于反比例函数y＝﹣，下列说法错误的是（　　） A．图象经过点（1，﹣5） B．图象位于第二、第四象限 C．当x＜0时，y随x的增大而减小 D．当x＞0时，y随x的增大而增大 【答案】C 【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：反比例函数y＝﹣， A、当x＝1时，y＝﹣＝﹣5，图像经过点（1，-5），故选项A不符合题意； B、∵k＝﹣5＜0，故该函数图象位于第二、四象限，故选项B不符合题意； C、当x＜0时，y随x的增大而增大，故选项C符合题意； D、当x＞0时，y随x的增大而增大，故选项D不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 5．（2021·贵州贵阳·中考真题）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于两点，若点的坐标是，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正比例函数与反比例函数图像的中心对称性，可得关于原点中心对称，进而即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于两点， ∴关于原点中心对称， ∵点的坐标是， ∴点的坐标是． 故选C． 【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，掌握正比例函数与反比例函数图像的中心对称性，是解题的关键． 二、填空题 6．（2022·贵州黔西·中考真题）已知点，在反比例函数的图象上，则与的大小关系是 ． 【答案】/ 【分析】根据反比例函数的图象和性质，即可解答． 【详解】解：在反比例函数中，， 此函数的图象分别在第一、第三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小， ，且这两点都在第一象限， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握和运用反比例函数的图象与性质是解决本题的关键． 7．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，点A、B在反比例函数的图象上，轴，垂足为D，．若四边形的面积为6，，则k的值为 ． 【答案】3 【分析】设点，可得，，从而得到CD=3a，再由．可得点B，从而得到，然后根据，即可求解． 【详解】解∶设点， ∵轴， ∴，， ∵， ∴， ∴CD=3a， ∵．轴， ∴BC∥y轴， ∴点B， ∴， ∵，四边形间面积为6， ∴， 解得：． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键． 8．（2022·贵州遵义·中考真题）反比例函数与一次函数交于点，则的值为 ． 【答案】6 【分析】将点，代入，求得，进而即可求解． 【详解】解：将点，代入， 即， ， ， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，求得点的坐标是解题的关键． 9．（2022·贵州毕节·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，B分别在x轴、y轴上，对角线交于点E，反比例函数的图像经过点C，E．若点，则k的值是 ． 【答案】4 【分析】作CF垂直y轴， 设点B的坐标为(0，a)，可证明（AAS），得到CF=OB=a，BF=AO=3，可得C点坐标，因为E为正方形对称线交点，所以E为AC中点，可得E点坐标，将点C、E的坐标代入反比例函数解析式中，即可求出k的值． 【详解】作CF垂直y轴于点F，如图，设点B的坐标为(0，a)， ∵四边形是正方形， ∴AB=BC，∠ABC=90°， ∵∠OBA+∠OAB=∠OBA+∠FBC=90° ∴∠OAB=∠FBC 在△BFC和△AOB中 ∴ ∴BF=AO=3，CF=OB=a ∴OF=OB+BF=3+a ∴点C的坐标为(a，3+a) ∵点E是正方形对角线交点， ∴点E是AC中点， ∴点E的坐标为 ∵反比例函数的图象经过点C，E ∴ 解得：k=4 故答案为：4 【点睛】本题考查了反比例函数与图形的综合应用，巧用正方形的性质求C、E点的坐标是解题的关键． 10．（2022·贵州黔东南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的斜边轴于点，直角顶点在轴上，双曲线经过边的中点，若，则 ． 【答案】 【分析】根据是等腰直角三角形，轴，得到是等腰直角三角形，再根据求出 A点，C点坐标，根据中点公式求出D点坐标，将D点坐标代入反比例函数解析式即可求得k． 【详解】∵是等腰直角三角形，轴． ∴；． ∴是等腰直角三角形． ∴． 故：，． ． 将D点坐标代入反比例函数解析式． ． 故答案为：． 【点睛】本题考查平面几何与坐标系综合，反比例函数解析式；本体解题关键是得到是等腰直角三角形，用中点公式算出D点坐标． 11．（2021·贵州毕节·中考真题）如图，直线与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，且，连接OA．已知的面积为12，则k的值为 ． 【答案】8. 【分析】过点A作AE⊥x交x轴于E，过点B作BF⊥x交x轴于F，根据AB=BC，可以得到EF=FC，再根据三角形面积公式即可求解. 【详解】解：如图所示，过点A作AE⊥x轴交x轴于E，过点B作BF⊥x轴交x轴于F ∵AE⊥x轴，BF⊥x轴，AB=BC ∴EF=FC，AE=2BF（中位线定理） 设A点坐标为（，），则B点坐标为（，） ∵OC=OE+EF+FC ∴OC=OE+EF+FC=3a ∴ 解得 故答案为：8. 【点睛】本题主要考查了中位线定理，反比例函数的性质和三角形面积公式，解题的关键在于能够熟练运用相关知识进行求解. 12．（2021·贵州黔东南·中考真题）如图，若反比例函数的图像经过等边三角形POQ的顶点P，则△POQ的边长为 ． 【答案】2 【分析】如图，过点P作x轴的垂线于M，设P（a，），则OM=a，PM=，根据等边三角形三线合一的性质得：OQ=OP=2a，在Rt△OPM中，根据勾股定理求得PM=a，从而得到方程=a，解得a=1，所以△POQ的边长为OQ=2a=2． 【详解】解：如图，过点P作x轴的垂线于M， ∵△POQ为等边三角形， ∴OP=OQ，OM=QM=OQ， 设P（a，）， 则OM=a，OQ=OP=2a，PM=， 在Rt△OPM中， ， ∴=a， ∴a=1（负值舍去）， ∴OQ=2a=2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，在反比例函数的题中，经常设出反比例函数图象上点的坐标，从而得到线段的长度，根据几何性质列出方程求解． 13．（2021·贵州铜仁·中考真题）如图，矩形的顶点在反比例函数的图象上，矩形的面积为3，则 ； 【答案】3 【分析】根据反比例函数k的几何意义，|k|=S矩形ABOC，再根据图像在第一象限，所以k＞0，即可求得k的值． 【详解】由题可知，S矩形ABOC=|k|=3， 又∵反比例图像过第一象限， ∴k＞0， ∴k=3， 故答案为3． 【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义，解题关键是知道过反比例图像上任意一点作x轴和y轴的垂线段，与坐标轴围成的矩形面积等于|k|． 三、解答题 14．（2025·贵州·中考真题）小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔的古代汲水工具（如图①），有一横杆固定于桔槔上点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小星发现与有一定的关系，记录了拉力的大小与的变化，如下表： 点与点的距离 1 2 3 拉力的大小 300 200 150 120 (1)表格中的值是 ； (2)小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画与之间的关系．在如图②所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象； (3)根据以上数据和图象判断，当的长增大时，拉力是增大还是减小？请说明理由． 【答案】(1)100 (2)见解析 (3)当的长增大时，拉力减小，理由见解析 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，画反比例函数图象，根据函数图象判断增减性，解题的关键是熟练掌握反比例函数的定义，判断出是的反比例函数． （1）根据表格中的数据找出规律，求出a的值即可； （2）先描点，然后连线，画出函数图象即可； （3）根据反比例函数的性质，得出答案即可． 【详解】（1）解：根据表格中的数据发现： ， 因此点与点的距离与拉力F的乘积不变， ∴； （2）解：与之间的函数图象，如图所示： （3）解：由函数图象可知：F是l的反比例函数，且该函数图象在第一象限内，根据反比例函数的性质可知，F随l的增大而减小，所以当的长增大时，拉力减小． 15．（2024·贵州·中考真题）已知点在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)点，，都在反比例函数的图象上，比较a，b，c的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，以及函数图象上点的坐标特点，待定系数法求反比例函数解析式，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式． （1）把点代入可得k的值，进而可得函数的解析式； （2）根据反比例函数表达式可得函数图象位于第一、三象限，再根据点A、点B和点C的横坐标即可比较大小． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵， ∴函数图象位于第一、三象限， ∵点，，都在反比例函数的图象上，， ∴， ∴． 16．（2023·贵州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，反比例函数的图象分别与交于点和点，且点为的中点．    (1)求反比例函数的表达式和点的坐标； (2)若一次函数与反比例函数的图象相交于点，当点在反比例函数图象上之间的部分时（点可与点重合），直接写出的取值范围． 【答案】(1)反比例函数解析式为， (2) 【分析】（1）根据矩形的性质得到，再由是的中点得到，从而得到点E的纵坐标为2，利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而求出点E的坐标即可； （2）求出直线恰好经过D和恰好经过E时m的值，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴点E的纵坐标为2， ∵反比例函数的图象分别与交于点和点， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为， 在中，当时，， ∴； （2）解：当直线 经过点时，则，解得； 当直线 经过点时，则，解得； ∵一次函数与反比例函数的图象相交于点，当点在反比例函数图象上之间的部分时（点可与点重合）， ∴． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与反比例函数综合，矩形的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 17．（2022·贵州安顺·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，，两点的坐标分别为，，直线：与反比例函数的图象交于，两点． (1)求该反比例函数的解析式及的值； (2)判断点是否在该反比例函数的图象上，并说明理由． 【答案】(1)， (2)点在该反比例函数的图象上，理由见解答 【分析】（1）因为点在双曲线上，所以代入点坐标即可求出双曲线的函数关系式，又因为点在双曲线上，代入即可求出的值； （2）先求出点的坐标，判断即可得出结论． 【详解】（1）解：将点代入中，得， 反比例函数的解析式为， 将点代入中， 得； （2）解：因为四边形是菱形，，， ，， ， 由（1）知双曲线的解析式为； ， 点在双曲线上． 【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，菱形的性质，解题的关键是用表示出点的坐标． 18．（2022·贵州六盘水·中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求，两点的坐标； (2)将直线向下平移个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点，若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立与解方程即可求解； （2）过点作轴于点，可得，根据平行线分线段成比例可得，根据平移求得平移后的解析式为，求得,进而求得的坐标，的坐标，将点的坐标代入一次函数，解方程即可求解． 【详解】（1）解：联立与， 解得， ； （2）解：如图，过点作轴于点， ， ， ， 直线向下平移个单位长度得到，根据图象可知, 令，得， 令，得， ，， ， ， 与反比例函数在第一象限的图象交于点， ， 将代入， 得， 解得或（舍去）． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，平行线分线段成比例，解一元二次方程，掌握以上知识是解题的关键． 19．（2022·贵州贵阳·中考真题）一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)根据图象写出使一次函数值小于反比例函数值的的取值范围． 【答案】(1) (2)或者 【分析】（1）根据A、B点在一次函数上，即可出A、B点的坐标，再将A点坐标代入到反比例函数解析式中即可求出k值，则问题得解； （2）依据图象以及A、B两点的坐标可知找出一次函数图象在反比例函数图象下方时x的取值范围，则问题得解． 【详解】（1）∵A、B点是一次函数与反比例函数的交点， ∴A、B点在一次函数上， ∴当x=-4时，y=1；当y=-4时，x=1， ∴A(-4,1)、B(1,-4)， 将A点坐标代入反比例函数， ∴，即k=-4， 即反比例函数的解析式为： （2）一次函数值小于反比例函数值，在图象中表现为，一次函数图象在反比例函数图象的下方， ∵A(-4,1)、B(1,-4)， ∴一次函数值小于反比例函数值的x的取值范围为：或者． 【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的性质、求解反比例函数解析式、根据图象确定自变量x的取值范围等知识，注重数形结合是解答本题的关键． 20．（2021·贵州贵阳·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，若． （1）求点的坐标及的值； （2）若，求一次函数的表达式． 【答案】（1）（2，0），m=-5；（2） 【分析】（1）在直线y＝kx＋k中令y＝0可求得A点坐标；连接CO，得=3，根据反比例函数比例系数的几何意义，即可求解； （2）利用勾股定理求出OB=2，设C(b，2)，代入反比例函数，求出C点坐标，再利用待定系数法，即可求解． 【详解】解：（1）在中，令y＝0可得，解得x＝2， ∴A点坐标为（2，0）； 连接CO， ∵CB ⊥y轴， ∴CB∥x轴， ∴=3， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴， ∵反比例函数的图象在二、四象限， ∴，即：m=-5； （2）∵点A(2，0)， ∴OA=2， 又∵AB=， ∴在中，OB=， ∵CB ⊥y轴， ∴设C(b，2)， ∴，即b=-3，即C(-3，2)， 把C(-3，2)代入，得：，解得：k=， ∴一次函数的解析式为：． 【点睛】本题主要考查待定系数法求函数解析式及函数图象的交点坐标，掌握两函数图象的交点坐标满足两函数解析式是解题的关键，注意反比例函数y＝中k的几何意义的应用． 四、单选题 21．（2025·贵州铜仁·三模）如图，在反比例函数的图象上任取一点A，过点A作轴交反比例函数的图象于点B，C是x轴负半轴上一点，连接，则的面积为（   ） A．4 B．5 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的系数k的几何意义，掌握求解的方法是关键； 如图，设与y轴交于点D，连接，根据轴可得，再结合反比例函数的系数k的几何意义即可求解. 【详解】解：如图，设与y轴交于点D，连接， ∵轴， ∴， ∵点A在上，点B在上， ∴， ∴； 故选：A. 22．（2025·贵州毕节·三模）学校的自动饮水机，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若在水温为20℃时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中，正确的是（   ） A．水温从20℃加热到100℃，需要7min B．水温上升过程中，y与x的函数关系式是 C．若上午8点在水温为20℃时接通电源，则可以保证当天上午能用到不低于80℃的水泡茶 D．一个加热周期的时间为20min 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质，反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法确定函数解析式、灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． 因为开机加热时，饮水机每分钟上升，所以开机加热到，所用时间为，即可判断A；利用点，可以求出反比例函数解析式，令，则，求出每40分钟，饮水机重新加热，即可判断D；若上午8点在水温为20℃时接通电源，则当天时第二个周期结束，根据剩余时间计算即可判断C；将代入，即可判断B． 【详解】解：∵开机加热时每分钟上升， ∴水温从加热到，所需时间为：，故A选项说法不正确，不合题意； ∴在反比例函数图象上， 设反比例函数解析式为， 代入点可得，， ∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是， 在中，令，则， 即：每40分钟，饮水机重新加热，故D选项说法不正确，不符合题意； 若上午8点在水温为20℃时接通电源， 则当天时第二个周期结束， 此时距还有10分钟， ∵ ∴把代入，得：， 即：时的水温为80℃，故C选项说法正确，符合题意； 将代入 可得，故B选项说法不正确，不合题意； 故选：C． 23．（2025·贵州铜仁·三模）如图，在平面直角坐标系中，的直角边与反比例函数的图象交于点，若点为的中点，的面积为6，则的值为（   ） A．6 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了根据反比函数k的几何意义求k值，三角形面积的计算．根据线段中点定义得，再由可得，根据反比例函数系数k的几何意义得，以此即可求解． 【详解】解：∵C为的中点， ∴， ∴， ∴，即， ∵反比例函数图象在第一象限， ∴． 故选：A． 24．（2025·贵州贵阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数（k为常数，）的图象上．将直线沿y轴向上平移后的直线与y轴交于点B，与此反比例函数的图象交于点C．若，则点B的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数、解直角三角形、平移的性质等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 过点A作x轴的垂线交x轴于点E，过点C作y轴的垂线交y轴于点D，则轴，根据题意可得，再求出反比例函数解析式，然后根据平行线的性质可得，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作x轴的垂线交x轴于点E，过点C作y轴的垂线交y轴于点D，则轴， ∵点， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵将直线沿y轴向上平移后得到直线， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点C的横坐标为，， 把代入，得： ， 即， ∴， ∴点D的坐标为． 故选：D 25．（2025·贵州毕节·三模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数图象与性质，熟练掌握反比函数图象与性质是解题的关键．根据反比例函数图象与性质进行比较即可． 【详解】解：∵点都在反比例函数的图象上， ∵反比例函数的图象在第二、四象限上， ∴在每个象限，y随x的增大而增大， ∵， ∴，即， 故选：A． 26．（2025·贵州黔南·二模）已知反比例函数的图象与直线交于点，．若，，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的交点问题，一次函数与反比例函数的图像与性质，同时考查了一元二次方程的根与系数的关系，不等式的性质，掌握以上知识是解题的关键． 由题意得： ，且，则，那么，结合，可得，由，可得，结合，可得，从而可得答案． 【详解】由题意得： ，且 两函数的交点为：，． 当时，， 且， ． 故选：C． 27．（2025·贵州遵义·一模）若点，都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键；由反比例函数可知该函数图象在第一、三象限，然后根据“点”可进行求解． 【详解】解：∵， ∴函数图象在第一、三象限， ∵点，都在反比例函数的图象上， ∴； 故选D． 五、填空题 28．（2025·贵州黔东南·一模）一定质量的二氧化碳，其密度是体积的反比例函数，请你根据图中的已知条件，若时， （）． 【答案】3 【分析】本题考查了反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数的解析式，根据解析式求函数值，从图像获取信息是解题的关键． 由函数图像信息可得反比例函数过点，根据待定系数法求解析式；将代入即可求得． 【详解】解：∵反比例函数过点， 设反比例函数解析式为， 则， ∴反比例函数解析式为， 当时，， 故答案为：3． 29．（2025·贵州六盘水·一模）如图，反比例函数的图象经过的顶点B，在x轴上，若点，的面积为3，则k值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质，延长交y轴于点D，根据平行四边形面积可求出，继而可得点B坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出k值即可． 【详解】解：如图，延长交y轴于点D， ∵，， ∴ ∴， ∵是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵点B在反比例函数图象上， ∴． 故答案为：． 六、解答题 30．（2025·贵州铜仁·三模）我国传统的计重工具叫称杆也称杆称，是利用杠杆原理来称质量的简易衡器（如图1），小亮模拟杆称设计了杠杆平衡试验（如图2）：在一根米长，匀质的木杆中点处绑细绳将木杆吊起来，在点的左侧距离中点处挂一个重的物体，在点右侧挂一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，小亮调整弹簧秤与点的距离（单位：），发现弹簧秤的示数（单位：）会随之发生改变，他将得到的几组数据四舍五入后制作了下面的表格． 5 10 15 20 25 30 35 32 16 8 (1)在已学过的函数中选择合适的模型，求关于的表达式，并在已给的平面直角坐标系中画出与的大致函数图象； (2)若弹簧秤的最大量程是，求的取值范围． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例的性质是解题的关键． （1）根据杠杆平衡原理可得，即可求解； （2）根据弹簧秤的最大量程是，即可求解． 【详解】（1）解：由杠杆平衡原理可知，， 所以关于的表达式为，     画出与的大致函数图象如答图所示． （2）解：∵， ∴当时，， ∴ 又∵木杆长，点为木杆中点， ∴， ∴． 31．（2025·贵州毕节·二模）我们知道当电压一定时，电流与电阻成反比例函数关系．现有某学生利用一个最大电阻为72欧姆的滑动变阻器及一电流表测电源电压，结果如图所示，当电阻为12欧姆时，电流为12安培． (1)求电流（安培）关于电阻（欧姆）的函数表达式； (2)若，求电流的变化范围． 【答案】(1)I= (2) 【分析】本题考查反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式及反比例函数的性质是解题关键． （1）设函数解析式为，把当时，，代入求出值即可得答案； （2）根据反比例函数性质，把，代入求出的最大值和最小值即可得答案． 【详解】（1）解：设函数表达式为 ∵当时，， ∴，解得：， ∴电流I（安培）与电阻R（欧姆）之间的表达式为； （2）解：∵中，， ∴图象在第一象限，I随R的增大而减小， ∵， ∴把电阻最小值代入，得到电流的最大值，． 把电阻最大值代入，得到电流的最小值，． ∴电流I的变化范围是． 32．（2025·贵州贵阳·二模）如图，正方形的中心在直角坐标系的原点，正方形的边与坐标轴平行，点是正方形与反比例函数图象的一个交点，点是正方形与正半轴的交点．已知点在该反比例函数的图象上． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)25 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合、正方形的性质，掌握反比例函数关于原点对称的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求反比例函数的表达式即可； （2）由得到点的纵坐标为，代入到得出点的坐标，进而得出点的坐标，计算得出正方形的面积，再根据反比例函数关于原点对称的性质，可得阴影部分的面积正好是正方形面积的，即可求解． 【详解】（1）解：设反比例函数的表达式为， 代入点到，得， 反比例函数的表达式为． （2）解：轴，， 点的纵坐标为， 代入到，则，解得， ， ，则， 正方形的面积为， 反比例函数的图象关于原点对称， 阴影部分的面积正好是正方形面积的， 阴影部分的面积， 图中阴影部分的面积为25． 33．（2025·贵州毕节·一模）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，且矩形的面积为8． (1)求的值； (2)若点，是该反比例函数图象上的两点，若，求的取值范围． 【答案】(1)8 (2)或 【分析】（1）先根据反比例函数k的几何意义，求出k，再反比例函数的图象位置确定k的值； （2）先写出反比例函数的表达式，再求出点的坐标，然后分“点在第一象限”、“点在第三象限”两种情况，分别求出当时的取值范围． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，且矩形的面积为8， ∴， ， 反比例函数的图象位于第一、三象限， ， ； （2）， ∴反比例函数的表达式是， ∵点在该反比例函数的图象上， ， ， 点在第一象限． 分情况讨论： ①当点在第一象限时， 随的增大而减小， 当时，； ②当点在第三象限时，， ，符合题意，此时． 综上所述，的取值范围是或． 【点睛】本题考查了根据图形面积求比例系数（解析式），已知反比例函数的增减性求参数，解题关键是理解反比例函数k的几何意义． 34．（2025·贵州贵阳·二模）小星将“赵爽弦图”置于如图所示的平面直角坐标系中（“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成），点A与点重合，点B的横坐标为3，点E，H在x轴上，小正方形的边长为2．反比例函数的图象经过点B，C． (1)求反比例函数的表达式； (2)若一次函数与反比例函数（）的图象相交于点M，当点M在反比例函数图象上点B，C之间的部分时（点M可与点B，C重合），求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是全等三角形性质、待定系数法求反比例函数表达式及一次函数与反比例函数综合， （1）先求出，再用待定系数法求表达式即可； （2）先求出，把，代入一次函数表达式计算即可； 【详解】（1）解：∵点A与点重合，点B的横坐标为3， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故反比例函数的表达式为． （2）解：由（1）知，， ∴点C的横坐标为． 当时，， ∴， 当，时，， 则； 当，时，， 则； 综上所述，m的取值范围是． 35．（2025·贵州黔东南·二模）如图，平面直角坐标系中，反比例函数（是常数，且）与一次函数（，是常数，且）的图象相交于，两点，一次函数的图象与轴交于点． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)直接写出当时的取值范围； (3)在轴上是否存在一点，使得最小，若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)存在， 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的综合应用. （1）把点代入求出，进而求出，把点，代入，即可求出； （2）直接根据函数图像作答即可； （3）求出直线与y轴的交点C的坐标为，点关于x轴的对称点D的坐标为，求出直线的解析式为：，求出直线与x轴的交点P的坐标即可. 【详解】（1）把点代入，得： ∴反比例函数的解析式为. 把点代入，得： ∴ 把点，代入，得 ，解得:. ∴一次函数的解析式为. （2）∵， 由图可知，当时，或. （3）存在. 直线与y轴的交点C的坐标为，点关于x轴的对称点D的坐标为，直线与x轴的交点就是所求点P. 设直线的解析式为：. 把，代入，得： ，解得：. ∴直线的解析式为：. ∴直线与x轴的交点P的坐标为. 36．（2025·贵州铜仁·三模）如图是反比例函数，的图象，点为图象上的一点，且轴，轴，垂足分别为点、点，、分别交的图象于点、点． (1)当点的横坐标为1时，求点、点的坐标； (2)在（1）的条件下，求的面积． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为； (2) 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，理解题意，结合图形求解是解题关键． （1）先求得点的坐标，由轴，可求得点的坐标，由轴，得到点的纵坐标为，据此求解即可； （2）由（1）得，，同理点的坐标为，求得，，根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵点的横坐标为1， ∴点的纵坐标为， ∴点的坐标为， ∵轴， ∴点的坐标为， ∵轴， ∴点的纵坐标为， 当时，，， ∴点的坐标为； （2）解：由（1）得，，同理点的坐标为， ∴，， ∴． 37．（2025·贵州毕节·三模）如图，一次函数（k为常数，且）的图象与反比例函数的图象相交于，B两点． (1)求反比例函数的表达式； (2)若直线与反比例函数的图象相交于点C，求的面积． 【答案】(1)反比例函数的表达式为； (2)． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题； （1）先将代入求出b的值，再将代入求出k的值； （2）先把一次函数与反比例函数解析式联立求出交点B的坐标，连接并延长，交反比例函数于点，连接，过点分别作轴于点轴于点，则，即可得到，然后根据解答即可． 【详解】（1）解：把代入，得， 点的坐标为． 把代入，得， 解得， 反比例函数的表达式为． （2）解：根据题意列方程组 解得或 点的坐标是， 如图，连接并延长，交反比例函数于点，连接，过点分别作轴于点轴于点， ， ， 由点的坐标可得， ， ． 38．（2025·贵州黔东南·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，连接，的面积为1． (1)求反比例函数的解析式； (2)点为第三象限内反比例函数图象上一点，且位于直线下方，过点作轴交直线于点，作轴于点，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，坐标与图形的性质，平行四边形的性质等知识，熟练掌握中点坐标公式是解题的关键． （1）过点作轴于，由的面积为1，可得的长，从而得出点的坐标，即可得出答案； （2）设，则，利用坐标与图形的性质表示出和的长，从而列出方程解决问题． 【详解】（1）解：过点作轴于点， 对于一次函数， 当时，， ∴， ∵的面积为1， ∴， ∴， 当时，， ∴， 将点代入反比例函数， 得， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：当时，解得或， 经检验，或都是原分式方程的根， 当时，， ∴， 设，则， ∴，， ∵， ∴， 解得或， 经检验，得或都是原分式方程的根， ∵点在直线下方的反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴， ∴． 39．（2025·贵州贵阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，过点作轴，交轴于点，连接，点为的中点，过点的反比例函数与相交于点． (1)点的坐标是___________； (2)求反比例的函数表达式； (3)求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征，熟知待定系数法、反比例函数的图象及性质是解题的关键． （1）根据点的坐标及点为的中点，即可求解； （2）根据（1）中点的坐标，结合待定系数法即可求解； （3）求出直线的解析式，结合（2）中反比例函数的解析式进行计算即可． 【详解】（1）解：点的坐标为，轴，点为的中点， 点的坐标为， 故答案为：； （2）将点代入得， ， 反比例的函数表达式为； （3）令直线的函数解析式为， 点的坐标为， 则， ， 直线的函数解析式为， 联立，解得， 点的坐标为． 40．（2025·贵州铜仁·三模）在初二物理的学习中，我们知道压强，压力，受力面积满足公式． (1)当F为定值时，如图所示的图象能够正确反映p与S之间函数关系的图象是______（填序号）； (2)已知一块比较薄的冰面最多承受的压强，小明的重量为． ①若小明的一双鞋底与冰面的接触面积共，他能否安全地站在这块冰面上？ ②若小明平躺在冰面上的一块质量不计的薄木板上，为了保证安全，这块薄木板的面积应满足什么条件？ 【答案】(1)① (2)①小明不能安全地站在这块冰面上；②这块薄木板的面积至少为． 【分析】本题考查了函数的图象，反比例函数的应用，掌握函数图象的特点是解题的关键． （）根据函数解析式即可判断求解； （）把，代入计算即可求解； 把，代入计算即可求解； 【详解】（1）解：当为定值时，是的反比例函数，故正确； （2）解：把，代入， 得，， ∵， ∴小明不能安全地站在这块冰面上； 把，代入得，， 解得， ∴这块薄木板的面积至少． 41．（2025·贵州·二模）如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，． (1)求这个反比例函数的表达式及的值； (2)观察图象，直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，正确理解题意是解题的关键． （1）把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，再把点B坐标代入反比例函数解析式求出a的值即可； （2）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解；反比例函数的图象过点， ， 反比例函数的表达式为． 点在这个反比例函数的图象上， ． （2）解：由图象可得，关于的不等式的解集为：或． 42．（2025·贵州遵义·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点． (1)求和的值． (2)横坐标为4的点是反比例函数图象上的一点，现将点向下平移．当点落在一次函数图象上时，求向下平移的距离． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数，点的平移，掌握待定系数法求解析式，平移规律是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）先求出，再根据点向下平移横坐标不变带入即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点， ∴，， 解得，． （2）解：∵横坐标为4的点是反比例函数图象上的一点， ∴， 即， 将点向下平移落在一次函数图象上时， ， ， ∴向下平移的距离为． 43．（2025·贵州贵阳·一模）如图，直线与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点． (1)求直线和反比例函数的表达式； (2)若P是线段上一点，过点P作y轴的垂线交反比例函数图象于点Q，连接，当时，求点Q的坐标． 【答案】(1)直线的表达式为，反比例函数图象的表达式为 (2)点Q的坐标为 【分析】本题考查反比例函数与一次函数综合，涉及待定系数确定函数关系式、反比例函数图象与性质、一次函数图象与性质等知识，熟练掌握一次函数图象与性质、反比例函数图象与性质，数形结合是解决问题的关键． （1）由题意，利用待定系数法确定函数表达式即可得到答案； （2）根据题意，在平面直角坐标系中，由代入坐标求解即可得到答案． 【详解】（1）解：将点和点分别代入中，得， 解得， ∴直线的表达式为， 将点代入中，得， ∴反比例函数图象的表达式为； （2）解：如图，设， ∵轴， ∴点P，Q纵坐标相同， ∴在直线中，当时，， ∴点P坐标为， ∴， 解得 (舍去)，此时在线段上，符合题意， ∴点Q的坐标为． 44．（2025·贵州贵阳·一模）已知反比例函数（k为常数，）的图象经过． (1)求这个函数的表达式； (2)若将点先向上平移m个单位长度，再向右平移m个单位长度，得到点C，且点B和点C（B、C两点不重合)）都在该反比例函数的图象上，求m的值． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，求反比例函数解析式，坐标与图形变换——平移，解一元二次方程，掌握反比例函数的图象和性质是解题关键． （1）将点代入反比例函数，利用待定系数法求解即可； （2）先求出点的坐标，再根据坐标的平移得到点的坐标，将点代入反比例函数解析式，得到关于的一元二次方程，求解即可． 【详解】（1）解：将点代入反比例函数得，， 解得：， 即这个函数的解析式为； （2）解：点在该反比例函数的图象上， ， ， 点先向上平移m个单位长度，再向右平移m个单位长度，得到点C， ， 点C在该反比例函数的图象上， ， 解得，或（舍去）． ∴m的值为5． 45．（2025·贵州毕节·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)将线段沿着轴向左平移个单位长度，当线段的中点恰好落在反比例函数的图象上时，求的值． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为 (2) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，直线平移的性质． （1）利用待定系数法求解即可； （2）联立两解析式求得点B的坐标，进而求出线段中点的坐标，根据沿着轴向左平移后点的纵坐标不变，再将代入求解即可． 【详解】（1）解：将点代入反比例函数中， 得， 解得， 反比例函数的表达式为， 将点代入一次函数中， 得， 解得， 一次函数的表达式为； （2）解：令， 解得或， 当时，， 点的坐标为， 设线段的中点为， 则，， 平移前点的坐标为， 线段沿着轴向左平移， 平移后点的纵坐标不变， 将代入反比例函数中， 得， 解得， 平移后点的横坐标为， ． 46．（2025·贵州六盘水·二模）如图，在平面直角坐标系中，轴于点，反比例函数的图象经过点． (1)求的值； (2)延长OA到点，使得，过点作轴于点，交反比例函数的图象于点，连接OE，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，解直角三角形，正确的求出函数解析式，掌握值的几何意义，是解题的关键： （1）解直角三角形，求出的长，进而求出点坐标，待定系数法求出值即可； （2）根据中点坐标公式，求出点坐标，进而求出，值的几何意义，得到，分割法求出的面积即可． 【详解】（1）解：∵轴于点， ∴， ∴， ∴； （2）∵延长OA到点，使得， ∴为的中点， ∵， ∴， ∵，交反比例函数的图象于点， ∴，， ∴， ∴的面积． 47．（2025·贵州贵阳·二模）如图，点在轴的正半轴上，点在轴上，，将线段AB绕点按顺时针方向旋转得线段．反比例函数的图像经过点． (1)求该反比例函数的表达式； (2)若点关于直线的对称点为点，请判断点是否在反比例函数的图像上，并说明理由． 【答案】(1) (2)在，见解析 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式、反比例函数图像与性质、解直角三角形、旋转的性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，正确确定反比例函数解析式是解题关键． （1）首先根据三角函数确定点坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）根据轴对称的性质确定点的坐标，然后确定其是否在该函数图像上即可． 【详解】（1）解：点在轴上， ， ， 在中，，， ∴ 由旋转得，， ， 点， 将点代入反比例函数， 可得， 反比例函数的表达式为； （2）点，点关于直线AC的对称点为点， 点， 当时，， 点在的图像上． 48．（2025·贵州遵义·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A，B，与y轴交于点C，点A的坐标为． (1)求m及k的值； (2)利用图象直接写出时x的取值范围； 【答案】(1)； (2)或 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数结合，熟练掌握反比例函数和一次函数的图像和性质是解题的关键． （1）将代入，求出，将代入即可得到答案． （2）联立和，求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：将代入， 可得． 将代入可得， 解得：； （2）解：联立和， 即， 解得， 由图象可知，x的取值范围为：或． 49．（2025·贵州贵阳·二模）如果用眼不科学，坐姿不正确，就容易导致视力下降．经调查发现，近视眼镜的度数（度）与镜片的焦距（米）是反比例函数关系，图象如图所示： (1)写出这一函数表达式； (2)小妮原来佩戴200度的近视眼镜，由于用眼不科学，导致视力下降，经复查验光后，所配镜片的焦距调整到了0．25米，求小妮现在的眼镜度数比原来的眼镜度数增加了多少度？ 【答案】(1) (2)200度 【分析】本题考查反比例函数的实际应用； （1）设函数表达式为，把，代入计算即可； （2）将代入解析式计算即可． 【详解】（1）解：设函数表达式为， 把，代入上式，得， 故所求函数的表达式为． （2）解：将代入，得， （度）， 答：小妮现在的眼镜度数比原来的眼镜度数增加了200度． 50．（2025·贵州毕节·三模）在平面直角坐标系中，已知四边形为矩形，其中点，． (1)当反比例函数（）的图象和矩形有交点时，求k的最大值； (2)如图，反比例函数（）的图象与,分别交于点D，E，连接，，．当时，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点，利用数形结合的思想是解题的关键． （1）由反比例函数的性质可得，再根据反比例函数图象和矩形有交点，即，，进而得到当，时，k有最大值； （2）先根据题意得到，，连接，，由，得到，，求得，，，，然后利用割补法即可求得答案． 【详解】（1）解：∵反比例函数（）， ∴． ∵反比例函数（）的图象和矩形OABC有交点，其中，， ∴，， ∴当，时，k有最大值． （2）∵，，且四边形OABC为矩形， ∴， ∴，． ∵反比例函数的图象与AB，BC分别交于点D，E， ∴，． ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴ ． 51．（2025·贵州黔南·二模）模具厂计划生产面积为4，周长为的矩形模具．对于的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下： 建立函数模型 设矩形相邻两边的长分别为，，由矩形的面积为4，得，即；由周长为，得，即．满足要求的应是两个函数图象在第一象限内交点的坐标． 画出函数图象 （1）函数的图象如图所示，而函数的图象可由直线平移得到．请在同一平面直角坐标系中直接画出直线． 观察函数图象 （2）平移直线，在直线平移的过程中，交点个数有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长的取值范围． 得出结论 （3）若能生产出面积为4的矩形模具，则周长的取值范围为________． 【答案】（1）见解析；（2）0个交点时，；1个交点时，；2个交点时，；（3） 【分析】本题为反比例函数综合运用题，涉及到一次函数、一元二次方程、函数平移等知识点，此类探究题，通常按照题设条件逐次求解，一般难度不大． （1）直接画出图象即可； （2）①把点代入即可求解；②在直线平移过程中，交点个数有：0个、1个、2个三种情况，联立和并整理得：，即可求解； （3）运用（2）的相关结论即可． 【详解】解：（1）图象如下所示： （2）在直线平移的过程中，交点个数有0个、1个、2个三种情况， 联立和并整理得． ， 0个交点时，即；即1个交点时，；2个交点时，，． （3）由（2）得：． 52．（2025·贵州·一模）如图，将等腰直角三角形的一条直角边放在轴上，点，斜边与反比例函数交于点． (1)求的值； (2)若在该反比例函数上有一点，过作轴的平行线，分别交于点．当时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了等腰三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）设直线的函数表达式为，根据是等腰直角三角形得到，求出直线的函数表达式为，得到，从而求出的值； （2）设，，根据可得，根据点在直线上和点在反比例图像上，即可求解． 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为， ，，是等腰直角三角形， ， 则， ， 解得， 直线的函数表达式为， 在上， ， ， 则； （2）解：设，， ， ，则，则， 将代入得，，即， 在反比例函数上， ， ， 解得，（舍）， ． 53．（2025·贵州遵义·一模）如图，正比例函数与反比例函数交于点和点B． (1)求，的值； (2)过点A作轴于点C，连接BC，求面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数图象上点的坐标特征，利用待定系数法求反比例函数解析式等知识，利用数形结合的思想是解题的关键． （1）由一次函数解析式求得，得到点，代入求得k， （2）两个解析式联立，解方程组，求得点B的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可． 【详解】（1）解：∵正比例函数图象与反比例函数的图象交于点和点B． ∴把代入，得：，即 ∴． 将代入，得：， 解得：， ∴反比例函数解析式为． （2）联立，解得：或， ∴． ∵轴于点C， ∴， ∴． 54．（2025·贵州黔东南·一模）已知反比例为常数，的图象经过点． (1)求k的值； (2)当时，求函数y的取值范围． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，熟记相关结论是解题关键． （1）把A点坐标代入即可求出k值； （2）分别求出当和时的函数值，结合反比例函数的增减性质即可求解． 【详解】（1）解：把代入得， 即k的值为1； （2）解：由（1）知， 当时，； 当时，； ． 55．（2025·贵州安顺·一模）如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于点． (1)求点的坐标． (2)求该反比例函数的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】（）把代入正比例函数解析式即可求解； （）利用待定系数法解答即可求解； 本题考查了正比例函数和一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴； （2）解：把代入，得， ∴， ∴反比例函数的解析式为． 56．（2025·贵州·一模）如图，一次函数与反比例函数的图像交于A、B两点，且与x轴交于点C，点A的坐标为，点B的坐标为． (1)求反比例函数的解析式和一次函数解析式； (2)由图像直接写出：当时，自变量x的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求出反比例函数和一次函数的解析式等知识点，能用待定系数法求出反比例函数和一次函数的解析式是解题的关键， （1）根据待定系数法就可以求出函数的解析式； （2）由得，一次函数图象高于反比例函数图象，再结合A、B的坐标即可得解． 【详解】（1）解：点在反比例函数的图像上， ， 反比例函数的解析式为， 点在反比例函数的图象上， 点的坐标为， 点和点在一次函数的图象上， ， ， 一次函数的解析式为； （2）解：由图象可知，当时，自变量的取值范围为或． 57．（2025·贵州遵义·一模）如图，在同一平面直角坐标系中，直线（a为常数且）与双曲线相交于A、B两点，已知点B的坐标为． (1)求a的值和反比例解析式； (2)请写出关于x的不等式的解． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了反比例函数与正比例函数的交点问题，熟练掌握反比例函数与正比例函数的性质是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）由题意可得关于原点对称，得出．再结合函数图象即可得解． 【详解】（1）解：把带入 得： ． 把代入 得 ． （2）解：由题意可得：关于原点对称， ． 的解为：或． 58．（2025·贵州·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)点为第一象限内反比例函数图象上一点，过点P作轴于点C，交一次函数图象于点D，若，请直接写出n的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、求一次函数解析式、求反比例函数解析式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）将代入反比例函数解析式即可得出的值，从而得出反比例函数的解析式以及的坐标，再利用待定系数法求一次函数的解析式即可得解； （2）由题意可得，，结合得出，，结合可得，再分情况解不等式即可得解． 【详解】（1）解：将代入中，得， 解得， ∴反比例函数的解析式为， 将代入中，得， ∴， 将，分别代入中，得， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：如图： ∵点为第一象限内反比例函数图象上一点，过点P作轴于点C，交一次函数图象于点D， ∴，， 由（1）可得： ∴，， ∵ ∴， 当，即时，， 解得：， 当，即时，， 解得： 综上所述，或． 59．（2025·贵州·一模）如图，反比例函数（）的图象过格点（网格线的交点）A，点在反比例函数的图象上． (1)点C是第三象限的格点，且其关于原点对称的点在之间（不含点A，B）的反比例函数图象上，请直接写出点C的坐标； (2)求点O到直线的距离． 【答案】(1)点C的坐标为 (2)点O到直线的距离为 【分析】本题考查了反比例函数与面积问题，正确求得反比例函数的解析式是解题的关键． （1）由题图可知，点A的坐标是，求得反比例函数解析式，求得点，即可得到点C关于原点对称的点，即可解答； （2）求得，利用三角形面积公式即可解答． 【详解】（1）解：由题图可知，点A的坐标是，代入，得， ∴反比例函数的表达式为， ∵点在反比例函数的图象上， ， ∴点B的坐标是， 根据题意可得点C关于原点对称的点是格点，且在之间（不含点A，B）的反比例函数图象上， 由于点的横坐标为3，点的横坐标为1，且点C关于原点对称的点的横坐标为整数， ∴点C关于原点对称的点的横坐标只能是， ∴点C关于原点对称的点的坐标是， ∴点C的坐标是； （2）解：如图，连接， ， 根据勾股定理可得， 点O到直线的距离为． 60．（2025·贵州黔南·一模）如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点（点恰好在格点上），反比例函数的图象经过点．    (1)求这个反比例函数的解析式； (2)将矩形向左平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，求出此时点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数综合以及反比例函数的图象和性质． （1）将A点坐标代入即可求解； （2）平移后点的纵坐标为4，代入反比例函数的解析式，即可得平移后点的坐标，进而可得向左平移的距离，即可得出点平移后的坐标． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， ， 解得， 这个反比例函数的解析式为； （2）解：如图，    点向左平移后在反比例函数的图象上， 平移后点的纵坐标为4， ，即， 矩形向左平移了个单位长度， 点平移后的坐标为． 试卷第66页，共66页 试卷第65页，共66页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 反比例函数及其应用（60题） 一、单选题 1．（2025·贵州·中考真题）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过反比例函数图象上点作轴垂线，垂足为点，交的图象于点，点的横坐标为1．有以下结论： ①线段的长为8； ②点的坐标为； ③当时，一次函数的值小于反比例函数的值． 其中结论正确的个数是（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2022·贵州黔西·中考真题）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过的象限是（    ） A．一、二、三 B．一、二、四 C．一、三、四 D．二、三、四 3．（2022·贵州贵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中有，，，四个点，其中恰有三点在反比例函数的图象上．根据图中四点的位置，判断这四个点中不在函数的图象上的点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 4．（2021·贵州黔西·中考真题）对于反比例函数y＝﹣，下列说法错误的是（　　） A．图象经过点（1，﹣5） B．图象位于第二、第四象限 C．当x＜0时，y随x的增大而减小 D．当x＞0时，y随x的增大而增大 5．（2021·贵州贵阳·中考真题）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于两点，若点的坐标是，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2022·贵州黔西·中考真题）已知点，在反比例函数的图象上，则与的大小关系是 ． 7．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，点A、B在反比例函数的图象上，轴，垂足为D，．若四边形的面积为6，，则k的值为 ． 8．（2022·贵州遵义·中考真题）反比例函数与一次函数交于点，则的值为 ． 9．（2022·贵州毕节·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，B分别在x轴、y轴上，对角线交于点E，反比例函数的图像经过点C，E．若点，则k的值是 ． 10．（2022·贵州黔东南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的斜边轴于点，直角顶点在轴上，双曲线经过边的中点，若，则 ． 11．（2021·贵州毕节·中考真题）如图，直线与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，且，连接OA．已知的面积为12，则k的值为 ． 12．（2021·贵州黔东南·中考真题）如图，若反比例函数的图像经过等边三角形POQ的顶点P，则△POQ的边长为 ． 13．（2021·贵州铜仁·中考真题）如图，矩形的顶点在反比例函数的图象上，矩形的面积为3，则 ； 三、解答题 14．（2025·贵州·中考真题）小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔的古代汲水工具（如图①），有一横杆固定于桔槔上点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小星发现与有一定的关系，记录了拉力的大小与的变化，如下表： 点与点的距离 1 2 3 拉力的大小 300 200 150 120 (1)表格中的值是 ； (2)小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画与之间的关系．在如图②所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象； (3)根据以上数据和图象判断，当的长增大时，拉力是增大还是减小？请说明理由． 15．（2024·贵州·中考真题）已知点在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)点，，都在反比例函数的图象上，比较a，b，c的大小，并说明理由． 16．（2023·贵州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，反比例函数的图象分别与交于点和点，且点为的中点．    (1)求反比例函数的表达式和点的坐标； (2)若一次函数与反比例函数的图象相交于点，当点在反比例函数图象上之间的部分时（点可与点重合），直接写出的取值范围． 17．（2022·贵州安顺·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，，两点的坐标分别为，，直线：与反比例函数的图象交于，两点． (1)求该反比例函数的解析式及的值； (2)判断点是否在该反比例函数的图象上，并说明理由． 18．（2022·贵州六盘水·中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求，两点的坐标； (2)将直线向下平移个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点，若，求的值． 19．（2022·贵州贵阳·中考真题）一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)根据图象写出使一次函数值小于反比例函数值的的取值范围． 20．（2021·贵州贵阳·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，若． （1）求点的坐标及的值； （2）若，求一次函数的表达式． 四、单选题 21．（2025·贵州铜仁·三模）如图，在反比例函数的图象上任取一点A，过点A作轴交反比例函数的图象于点B，C是x轴负半轴上一点，连接，则的面积为（   ） A．4 B．5 C．7 D．8 22．（2025·贵州毕节·三模）学校的自动饮水机，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若在水温为20℃时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中，正确的是（   ） A．水温从20℃加热到100℃，需要7min B．水温上升过程中，y与x的函数关系式是 C．若上午8点在水温为20℃时接通电源，则可以保证当天上午能用到不低于80℃的水泡茶 D．一个加热周期的时间为20min 23．（2025·贵州铜仁·三模）如图，在平面直角坐标系中，的直角边与反比例函数的图象交于点，若点为的中点，的面积为6，则的值为（   ） A．6 B．3 C．2 D．1 24．（2025·贵州贵阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数（k为常数，）的图象上．将直线沿y轴向上平移后的直线与y轴交于点B，与此反比例函数的图象交于点C．若，则点B的坐标是（    ） A． B． C． D． 25．（2025·贵州毕节·三模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 26．（2025·贵州黔南·二模）已知反比例函数的图象与直线交于点，．若，，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 27．（2025·贵州遵义·一模）若点，都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 五、填空题 28．（2025·贵州黔东南·一模）一定质量的二氧化碳，其密度是体积的反比例函数，请你根据图中的已知条件，若时， （）． 29．（2025·贵州六盘水·一模）如图，反比例函数的图象经过的顶点B，在x轴上，若点，的面积为3，则k值为 ． 六、解答题 30．（2025·贵州铜仁·三模）我国传统的计重工具叫称杆也称杆称，是利用杠杆原理来称质量的简易衡器（如图1），小亮模拟杆称设计了杠杆平衡试验（如图2）：在一根米长，匀质的木杆中点处绑细绳将木杆吊起来，在点的左侧距离中点处挂一个重的物体，在点右侧挂一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，小亮调整弹簧秤与点的距离（单位：），发现弹簧秤的示数（单位：）会随之发生改变，他将得到的几组数据四舍五入后制作了下面的表格． 5 10 15 20 25 30 35 32 16 8 (1)在已学过的函数中选择合适的模型，求关于的表达式，并在已给的平面直角坐标系中画出与的大致函数图象； (2)若弹簧秤的最大量程是，求的取值范围． 31．（2025·贵州毕节·二模）我们知道当电压一定时，电流与电阻成反比例函数关系．现有某学生利用一个最大电阻为72欧姆的滑动变阻器及一电流表测电源电压，结果如图所示，当电阻为12欧姆时，电流为12安培． (1)求电流（安培）关于电阻（欧姆）的函数表达式； (2)若，求电流的变化范围． 32．（2025·贵州贵阳·二模）如图，正方形的中心在直角坐标系的原点，正方形的边与坐标轴平行，点是正方形与反比例函数图象的一个交点，点是正方形与正半轴的交点．已知点在该反比例函数的图象上． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)若，求图中阴影部分的面积． 33．（2025·贵州毕节·一模）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，且矩形的面积为8． (1)求的值； (2)若点，是该反比例函数图象上的两点，若，求的取值范围． 34．（2025·贵州贵阳·二模）小星将“赵爽弦图”置于如图所示的平面直角坐标系中（“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成），点A与点重合，点B的横坐标为3，点E，H在x轴上，小正方形的边长为2．反比例函数的图象经过点B，C． (1)求反比例函数的表达式； (2)若一次函数与反比例函数（）的图象相交于点M，当点M在反比例函数图象上点B，C之间的部分时（点M可与点B，C重合），求m的取值范围． 35．（2025·贵州黔东南·二模）如图，平面直角坐标系中，反比例函数（是常数，且）与一次函数（，是常数，且）的图象相交于，两点，一次函数的图象与轴交于点． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)直接写出当时的取值范围； (3)在轴上是否存在一点，使得最小，若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 36．（2025·贵州铜仁·三模）如图是反比例函数，的图象，点为图象上的一点，且轴，轴，垂足分别为点、点，、分别交的图象于点、点． (1)当点的横坐标为1时，求点、点的坐标； (2)在（1）的条件下，求的面积． 37．（2025·贵州毕节·三模）如图，一次函数（k为常数，且）的图象与反比例函数的图象相交于，B两点． (1)求反比例函数的表达式； (2)若直线与反比例函数的图象相交于点C，求的面积． 38．（2025·贵州黔东南·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，连接，的面积为1． (1)求反比例函数的解析式； (2)点为第三象限内反比例函数图象上一点，且位于直线下方，过点作轴交直线于点，作轴于点，若，求点的坐标． 39．（2025·贵州贵阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，过点作轴，交轴于点，连接，点为的中点，过点的反比例函数与相交于点． (1)点的坐标是___________； (2)求反比例的函数表达式； (3)求点的坐标． 40．（2025·贵州铜仁·三模）在初二物理的学习中，我们知道压强，压力，受力面积满足公式． (1)当F为定值时，如图所示的图象能够正确反映p与S之间函数关系的图象是______（填序号）； (2)已知一块比较薄的冰面最多承受的压强，小明的重量为． ①若小明的一双鞋底与冰面的接触面积共，他能否安全地站在这块冰面上？ ②若小明平躺在冰面上的一块质量不计的薄木板上，为了保证安全，这块薄木板的面积应满足什么条件？ 41．（2025·贵州·二模）如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，． (1)求这个反比例函数的表达式及的值； (2)观察图象，直接写出关于的不等式的解集． 42．（2025·贵州遵义·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点． (1)求和的值． (2)横坐标为4的点是反比例函数图象上的一点，现将点向下平移．当点落在一次函数图象上时，求向下平移的距离． 43．（2025·贵州贵阳·一模）如图，直线与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点． (1)求直线和反比例函数的表达式； (2)若P是线段上一点，过点P作y轴的垂线交反比例函数图象于点Q，连接，当时，求点Q的坐标． 44．（2025·贵州贵阳·一模）已知反比例函数（k为常数，）的图象经过． (1)求这个函数的表达式； (2)若将点先向上平移m个单位长度，再向右平移m个单位长度，得到点C，且点B和点C（B、C两点不重合)）都在该反比例函数的图象上，求m的值． 45．（2025·贵州毕节·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)将线段沿着轴向左平移个单位长度，当线段的中点恰好落在反比例函数的图象上时，求的值． 46．（2025·贵州六盘水·二模）如图，在平面直角坐标系中，轴于点，反比例函数的图象经过点． (1)求的值； (2)延长OA到点，使得，过点作轴于点，交反比例函数的图象于点，连接OE，求的面积． 47．（2025·贵州贵阳·二模）如图，点在轴的正半轴上，点在轴上，，将线段AB绕点按顺时针方向旋转得线段．反比例函数的图像经过点． (1)求该反比例函数的表达式； (2)若点关于直线的对称点为点，请判断点是否在反比例函数的图像上，并说明理由． 48．（2025·贵州遵义·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A，B，与y轴交于点C，点A的坐标为． (1)求m及k的值； (2)利用图象直接写出时x的取值范围； 49．（2025·贵州贵阳·二模）如果用眼不科学，坐姿不正确，就容易导致视力下降．经调查发现，近视眼镜的度数（度）与镜片的焦距（米）是反比例函数关系，图象如图所示： (1)写出这一函数表达式； (2)小妮原来佩戴200度的近视眼镜，由于用眼不科学，导致视力下降，经复查验光后，所配镜片的焦距调整到了0．25米，求小妮现在的眼镜度数比原来的眼镜度数增加了多少度？ 50．（2025·贵州毕节·三模）在平面直角坐标系中，已知四边形为矩形，其中点，． (1)当反比例函数（）的图象和矩形有交点时，求k的最大值； (2)如图，反比例函数（）的图象与,分别交于点D，E，连接，，．当时，求的面积． 51．（2025·贵州黔南·二模）模具厂计划生产面积为4，周长为的矩形模具．对于的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下： 建立函数模型 设矩形相邻两边的长分别为，，由矩形的面积为4，得，即；由周长为，得，即．满足要求的应是两个函数图象在第一象限内交点的坐标． 画出函数图象 （1）函数的图象如图所示，而函数的图象可由直线平移得到．请在同一平面直角坐标系中直接画出直线． 观察函数图象 （2）平移直线，在直线平移的过程中，交点个数有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长的取值范围． 得出结论 （3）若能生产出面积为4的矩形模具，则周长的取值范围为________． 52．（2025·贵州·一模）如图，将等腰直角三角形的一条直角边放在轴上，点，斜边与反比例函数交于点． (1)求的值； (2)若在该反比例函数上有一点，过作轴的平行线，分别交于点．当时，求点的坐标． 53．（2025·贵州遵义·一模）如图，正比例函数与反比例函数交于点和点B． (1)求，的值； (2)过点A作轴于点C，连接BC，求面积． 54．（2025·贵州黔东南·一模）已知反比例为常数，的图象经过点． (1)求k的值； (2)当时，求函数y的取值范围． 55．（2025·贵州安顺·一模）如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于点． (1)求点的坐标． (2)求该反比例函数的解析式． 56．（2025·贵州·一模）如图，一次函数与反比例函数的图像交于A、B两点，且与x轴交于点C，点A的坐标为，点B的坐标为． (1)求反比例函数的解析式和一次函数解析式； (2)由图像直接写出：当时，自变量x的取值范围． 57．（2025·贵州遵义·一模）如图，在同一平面直角坐标系中，直线（a为常数且）与双曲线相交于A、B两点，已知点B的坐标为． (1)求a的值和反比例解析式； (2)请写出关于x的不等式的解． 58．（2025·贵州·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)点为第一象限内反比例函数图象上一点，过点P作轴于点C，交一次函数图象于点D，若，请直接写出n的取值范围． 59．（2025·贵州·一模）如图，反比例函数（）的图象过格点（网格线的交点）A，点在反比例函数的图象上． (1)点C是第三象限的格点，且其关于原点对称的点在之间（不含点A，B）的反比例函数图象上，请直接写出点C的坐标； (2)求点O到直线的距离． 60．（2025·贵州黔南·一模）如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点（点恰好在格点上），反比例函数的图象经过点．    (1)求这个反比例函数的解析式； (2)将矩形向左平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，求出此时点的坐标． 试卷第66页，共66页 试卷第65页，共66页 学科网（北京）股份有限公司 $$