专题04 方程及其应用（四大考点，80题）（贵州专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题04 整式方程及其应用（四大考点，80题） 考点01：一元一次方程及其应用 1．（2025·贵州·中考真题）已知是关于的方程的解，则的值为（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2024·贵州·中考真题）小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“■”“●”“▲”三种物体，如图所示，天平都保持平衡．若设“■”与“●”的质量分别为x，y，则下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·贵州·中考真题）《孙子算经》中有这样一道题，大意为：今有100头鹿，每户分一头鹿后，还有剩余，将剩下的鹿按每3户共分一头，恰好分完，问：有多少户人家？若设有x户人家，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2022·贵州六盘水·中考真题）我国“DF－41型”导弹俗称“东风快递”，速度可达到26马赫（1马赫＝340米/秒），则“DF－41型”导弹飞行多少分钟能打击到12000公里处的目标？设飞行分钟能打击到目标，可以得到方程（    ） A． B． C． D． 5．（2022·贵州黔西·中考真题）小明解方程的步骤如下： 解：方程两边同乘6，得① 去括号，得② 移项，得③ 合并同类项，得④ 以上解题步骤中，开始出错的一步是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 6．（2022·贵州铜仁·中考真题）为了增强学生的安全防范意识，某校初三（1）班班委举行了一次安全知识抢答赛，抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分．小红一共得70分，则小红答对的个数为（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 7．（2024·贵州·中考真题）在元朝朱世杰所著的《算术启蒙》中，记载了一道题，大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，则快马追上慢马需要的天数是 ． 考点02：二元一次方程组及其应用 8．（2021·贵州毕节·中考真题）九章算术中记载了一个问题，大意是：甲、乙两人各带了若干钱．若甲得到乙所有钱的一半，则甲共有钱50．若乙得到甲所有钱的，则乙也共有钱50．甲、乙两人各带了多少钱?设甲带了钱，乙带了钱，依题意，下面所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（2022·贵州贵阳·中考真题）“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”如： 从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数，的系数与相应的常数项，即可表示方程，则 表示的方程是 ． 10．（2021·贵州黔西·中考真题）有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货，则3辆大货车与2辆小货车一次可以运货 ． 11．（2021·贵州遵义·中考真题）已知x，y满足的方程组是，则x+y的值为 ． 12．（2025·贵州·中考真题）贵州省江口县被誉为“中国抹茶之都”，这里拥有全球最大的抹茶单体生产车间．为满足市场需求，某抹茶车间准备安装A、B两种型号生产线.已知，同时开启一条A型和一条B型生产线每月可以生产抹茶共，同时开启一条A型和两条B型生产线每月可以生产抹茶共． (1)求一条A型和一条B型生产线每月各生产抹茶多少吨？ (2)为扩大生产规模，若另一车间准备同时安装相同型号的A、B两种生产线共5条，该车间接到一个订单，要求4个月生产抹茶不少于，至少需要安装多少条A型生产线？ 13．（2024·贵州·中考真题）为增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，某校组织学生参加劳动实践．经学校与劳动基地联系，计划组织学生参加种植甲、乙两种作物．如果种植3亩甲作物和2亩乙作物需要27名学生，种植2亩甲作物和2亩乙作物需要22名学生． 根据以上信息，解答下列问题： (1)种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要多少名学生？ (2)种植甲、乙两种作物共10亩，所需学生人数不超过55人，至少种植甲作物多少亩？ 14．（2022·贵州六盘水·中考真题）钢钢准备在重阳节购买鲜花到敬老院看望老人，现将自己在劳动课上制作的竹篮和陶罐拿到学校的“跳蚤市场”出售，以下是购买者的出价： (1)根据对话内容，求钢钢出售的竹篮和陶罐数量； (2)钢钢接受了钟钟的报价，交易后到花店购买单价为5元/束的鲜花，剩余的钱不超过20元，求有哪几种购买方案． 15．（2022·贵州毕节·中考真题）2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价-进货价） 类别价格 A款钥匙扣 B款钥匙扣 进货价（元/件） 30 25 销售价（元/件） 45 37 (1)网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数； (2)第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A、B两款冰墩墩钥匙扣共80件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ (3)冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？ 16．（2021·贵州黔东南·中考真题）黔东南州某销售公司准备购进A、B两种商品，已知购进3件A商品和2件B商品，需要1100元；购进5件A商品和3件B商品，需要1750元． （1）求A、B两种商品的进货单价分别是多少元？ （2）若该公司购进A商品200件，B商品300件，准备把这些商品全部运往甲、乙两地销售．已知每件A商品运往甲、乙两地的运费分别为20元和25元；每件B商品运往甲、乙两地的运费分别为15元和24元．若运往甲地的商品共240件，运往乙地的商品共260件． ①设运往甲地的A商品为（件），投资总运费为（元），请写出与的函数关系式； ②怎样调运A、B两种商品可使投资总费用最少？最少费用是多少元？（投资总费用＝购进商品的费用＋运费） 17．（2021·贵州贵阳·中考真题）为庆祝“中国共产党的百年华诞”，某校请广告公司为其制作“童心向党”文艺活动的展板、宣传册和横幅，其中制作宣传册的数量是展板数量的5倍，广告公司制作每件产品所需时间和利润如下表： 产品 展板 宣传册 横幅 制作一件产品所需时间（小时） 1 制作一件产品所获利润（元） 20 3 10 （1）若制作三种产品共计需要25小时，所获利润为450元，求制作展板、宣传册和横幅的数量； （2）若广告公司所获利润为700元，且三种产品均有制作．求制作三种产品总量的最小值． 18．（2021·贵州铜仁·中考真题）某快递公司为了提高工作效率，计划购买、两种型号的机器人来搬运货物，已知每台型机器人比每台型机器人每天多搬运20吨，并且3台型机器人和2台型机器人每天共搬运货物460吨． （1）求每台型机器人和每台型机器人每天分别搬运货物多少吨？ （2）每台型机器人售价3万元，每台型机器人售价2万元，该公司计划采购、两种型号的机器人共20台，必须满足每天搬运的货物不低于1800吨，请根据以上要求，求出、两种机器人分别采购多少台时，所需费用最低﹖最低费用是多少？ 考点03：一元二次方程及其应用 19．（2024·贵州·中考真题）一元二次方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 20．（2022·贵州黔东南·中考真题）已知关于的一元二次方程的两根分别记为，，若，则的值为（    ） A．7 B． C．6 D． 21．（2021·贵州遵义·中考真题）在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（　　） A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0 22．（2021·贵州毕节·中考真题）某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则八年级班级的个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 23．（2021·贵州毕节·中考真题）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 24．（2021·贵州黔东南·中考真题）若关于的一元二次方程 的一个根是2，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 25．（2025·贵州·中考真题）一元二次方程 的根是 ． 26．（2023·贵州·中考真题）若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是 ． 27．（2021·贵州黔西·中考真题）三角形两边的长分别为2和5，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为 . 28．（2022·贵州贵阳·中考真题）（1）a，b两个实数在数轴上的对应点如图所示． 用“<”或“>”填空：a_______b，ab_______0； （2）在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法，他们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程． ①x2+2x−1=0；②x2−3x=0；③x2−4x=4；④x2−4=0． 考点04：分式方程及其应用 29．（2022·贵州黔西·中考真题）某农户承包的36亩水田和30亩旱地需要耕作．每天平均耕作旱地的亩数比耕作水田的亩数多4亩．该农户耕作完旱地所用的时间是耕作完水田所用时间的一半，求平均每天耕作水田的亩数．设平均每天耕作水田x亩，则可以得到的方程为（    ） A． B． C． D． 30．（2022·贵州毕节·中考真题）小明解分式方程的过程下． 解：去分母，得         ．① 去括号，得             ．② 移项、合并同类项，得   ．③ 化系数为1，得          ．④ 以上步骤中，开始出错的一步是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 31．（2021·贵州黔西·中考真题）高铁为居民出行提供了便利，从铁路沿线相距360km的甲地到乙地，乘坐高铁列车比乘坐普通列车少用3h．已知高铁列车的平均速度是普通列车平均速度的3倍，设普通列车的平均速度为x km/h，依题意，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 32．（2023·贵州·中考真题）为推动乡村振兴，政府大力扶持小型企业．根据市场需求，某小型企业为加快生产速度，需要更新生产设备，更新设备后生产效率比更新前提高了，设更新设备前每天生产x件产品．解答下列问题： (1)更新设备后每天生产_______件产品（用含x的式子表示）； (2)更新设备前生产5000件产品比更新设备后生产6000件产品多用2天，求更新设备后每天生产多少件产品． 33．（2022·贵州安顺·中考真题）阅读材料：被誉为“世界杂交水稻之父”的“共和国勋章”获得者袁隆平，成功研发出杂交水稻，杂交水稻的亩产量是普通水稻的亩产量的2倍．现有两块试验田，块种植杂交水稻，块种植普通水稻，块试验田比块试验田少4亩． (1)块试验田收获水稻9600千克、块试验田收获水稻7200千克，求普通水稻和杂交水稻的亩产量各是多少千克？ (2)为了增加产量，明年计划将种植普通水稻的块试验田的一部分改种杂交水稻，使总产量不低于17700千克，那么至少把多少亩块试验田改种杂交水稻？ 34．（2022·贵州贵阳·中考真题）国发（2022）2号文发布后，贵州迎来了高质量快速发展，货运量持续增加．某物流公司有两种货车，已知每辆大货车的货运量比每辆小货车的货运量多4吨，且用大货车运送80吨货物所需车辆数与小货车运送60吨货物所需车辆数相同．每辆大、小货车货运量分别是多少吨？ 35．（2022·贵州铜仁·中考真题）科学规范戴口罩是阻断新冠病毒传播的有效措施之一，某口罩生产厂家接到一公司的订单，生产一段时间后，还剩280万个口罩未生产，厂家因更换设备，生产效率比更换设备前提高了40%．结果刚好提前2天完成订单任务．求该厂家更换设备前和更换设备后每天各生产多少万个口罩？ 36．（2022·贵州遵义·中考真题）遵义市开展信息技术与教学深度融合的精准化教学，某实验学校计划购买，两种型号教学设备，已知型设备价格比型设备价格每台高20%，用30000元购买型设备的数量比用15000元购买型设备的数量多4台． (1)求，型设备单价分别是多少元？ (2)该校计划购买两种设备共50台，要求型设备数量不少于型设备数量的．设购买台型设备，购买总费用为元，求与的函数关系式，并求出最少购买费用． 37．（2022·贵州黔东南·中考真题）某快递公司为了加强疫情防控需求，提高工作效率，计划购买A、B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天少搬运10吨，且A型机器人每天搬运540吨货物与B型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同． (1)求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？ (2)每台A型机器人售价1.2万元，每台B型机器人售价2万元，该公司计划采购A、B两种型号的机器人共30台，必须满足每天搬运的货物不低于2830吨，购买金额不超过48万元． 请根据以上要求，完成如下问题： ①设购买A型机器人台，购买总金额为万元，请写出与的函数关系式； ②请你求出最节省的采购方案，购买总金额最低是多少万元？ 一、单选题 38．（2025·贵州铜仁·三模）若关于的方程组与有相同的解，则的值为（    ） A． B． C．3 D． 39．（2025·贵州铜仁·三模）用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，下列变形正确的是 （    ） A． B． C． D． 40．（2025·贵州贵阳·一模）根据表格中的信息，估计一元二次方程的一个解的范围是（    ） x 0 1 2 5 A． B． C． D． 41．（2025·贵州遵义·三模）解分式方程时，去分母的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 42．（2025·贵州黔西·二模）如图，将等式进行变形，最后得到一个明显错误的结论，则下列说法正确的是（   ） A．第一步错误 B．第二步错误 C．第三步错误 D．三步都正确，原等式错误 43．（2025·贵州黔西·二模）分式方程的解为（   ） A． B． C． D． 44．（2025·贵州黔西·二模）不等式的最大整数解为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 45．（2025·贵州毕节·三模）在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（   ） A． B． C． D． 46．（2025·贵州贵阳·二模）小妍同学在翻阅《九章算术》时，看到这样一个问题：“今有二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”题目大意为：甲、乙两人各有钱若干，若乙将他所有钱的给甲，则甲有钱50；若甲将他所有钱的给乙，则乙也有钱50，问甲、乙原本各有多少钱？ 为解决这个问题，小妍设甲原有钱，乙原有钱，可以得到方程组（   ） A． B． C． D． 47．（2025·贵州铜仁·二模）定义新运算：例如：，若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 48．（2025·贵州贵阳·三模）代数式与的值相等，则的值为（　　） A． B．2 C．3 D．6 49．（2025·贵州安顺·三模）《九章算术》一书中记载一道题，其大意：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行，问：人与车各多少？设有辆车，个人，甲列出方程组乙列出方程，则下列说法正确的是（   ） A．甲、乙都正确 B．甲、乙都错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 50．（2025·贵州贵阳·三模）若，则下列变形正确的是（　　） A． B． C． D． 51．（2025·贵州·二模）某旅行社带游客去哈尔滨雪乡游玩，晚上包下当地的一家民宿住宿．如图，该民宿的每一个房间都有一个火炕，炕上面铺上被褥，人都睡在炕上．若每间房住4人，则余下3人无房住；若每间房住5人，则余下一间无人住．设该民宿共有间房，游客共有人，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 52．（2025·贵州毕节·一模）观察图①，若天平保持平衡，则在图②天平的右盘中需放入○的个数为（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 53．（2025·贵州·二模）将多项式进行配方，正确的是（   ） A． B． C． D． 54．（2025·贵州贵阳·一模）已知每个推车式灭火器（如图①）的价格比手提式灭火器（如图②）价格的6倍多20元．用1900元购买的推车式灭火器数量和用300元购买的手提式灭火器数量相同．设手提式灭火器的单价为x元，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 55．（2025·贵州遵义·二模）科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用，已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，两片银杏树叶与三片国槐树叶一年的平均滞尘总量为146毫克．设一片银杏树叶一年的平均滞尘量为毫克，一片国槐树叶一年的平均滞尘量为毫克．依据题意，可列方程组（   ） A． B． C． D． 56．（2025·贵州贵阳·一模）一元二次方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 57．（2025·贵州贵阳·一模）用加减消元法解方程组时，将可得（    ） A． B． C． D． 58．（2025·贵州贵阳·一模）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有善行者一百步，不善行者六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”大意为：“甲走路快，乙走路慢，两个人在相同时间里，甲走100步，乙走60步．现在乙先走100步，甲随后就追，甲要走多少步才能追上乙？设甲走了x步才追上乙，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 59．（2025·贵州黔西·一模）若关于x的方程有两个相等的实数根，则k的值为（   ） A． B．4 C．2 D． 60．（2025·贵州黔南·二模）已知反比例函数的图象与直线交于点，．若，，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 61．（2025·贵州贵阳·二模）若一元二次方程的一个根是，则另一个根是（   ） A．4 B．1 C．0 D． 62．（2025·贵州黔东南·一模）一元二次方程没有实数根，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 63．（2025·贵州铜仁·三模）孙权曾致巨象，太祖欲知其斤重，访之群下，咸莫能出其理，冲曰：“置象大船之上，而刻其水痕所至，称物以载之，则校可知矣．”------《三国志》．某动物保护区按照曹冲称象的方法：先将象牵到大船上，并在船的侧面标记水位再将象牵出，然后往船上抬入30块等重的条形石，并在船上留4个搬运工，这时水位恰好到达标记位置；如果再抬入2块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记的位置．已知每个搬运工体重为，则每块条形石的重量为 ，大象的重量为 ． 64．（2025·贵州黔东南·一模）若关于x的一元二次方程恰有两个不相等的实数根，则m的值可以为 ．（任意写出一个即可） 65．（2025·贵州黔西·二模）“一千官兵一千布，一官四尺无零数，四兵才得布一尺，请问官兵多少数？”这首诗的意思是：一千名官兵分一千尺布，一名军官分四尺，四名士兵分一尺，正好分完，则军官和士兵各有多少名？若设军官有名，则可列方程为 ． 66．（2025·贵州铜仁·三模）关于的方程有两个不相等的实数根，则整数的值可以是 (填一个即可)． 67．（2025·贵州贵阳·三模）是关于的一元一次方程的解，则 ． 68．（2025·贵州毕节·一模）把1－9这9个数填入方格中，使每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，这样便构成了一个三阶幻方，它源于我国古代的洛书．如图是仅可以看到部分数值的三阶幻方，则其中的值为 ． x 1 2 9 4 69．（2025·贵州毕节·一模）若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围为 ． 70．（2025·贵州遵义·三模）若是关于x的一元一次方程，则k的值不可能是 ． 71．（2025·贵州贵阳·二模）已知为方程的根，那么代数式的值为 ． 三、解答题 72．（2025·贵州铜仁·三模）“骑车戴头盔，放心平安归”．越来越多的人上下班会选择骑行电动车，佩戴头盔更能保证大家的行车安全．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出350个，六月份售出504个，且从四月份到六月份月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌每个头盔应涨价多少元？ (3)该品牌头盔每个涨价多少元时，月销售利润最大？最大利润是多少？ 73．（2025·贵州黔东南·二模）为了提高广大人民群众的生活品质，使劣质高芥酸菜籽油变革成大宗植物油中营养品质最好的低芥酸菜籽油，省农科院油料所计划用基地的甲、乙两区农田进行菜籽试种，甲区的农田比乙区的农田多100亩，甲区农田的和乙区全部农田均适宜试种，且两区适宜试种农田的面积刚好相同． (1)求甲、乙两区各有农田多少亩； (2)在甲、乙两区适宜试种的农田全部种上菜籽后，为加强菜籽的虫害治理，基地派出一批性能相同的无人机，对试种农田喷洒除虫药·由于两区地势差别，派往乙区的无人机架次是甲区的1.2倍（每架次无人机喷洒时间相同），喷洒任务完成后，发现派往甲区的每架次无人机比乙区的平均多喷洒亩，求派往甲区每架次无人机平均喷洒多少亩． 74．（2025·贵州贵阳·二模）茶产业是遵义市的特色优势产业和主导产业．某商店用1200元购进A种茶叶若干盒，用600元购进B种茶叶若干盒，所购A种茶叶比B种茶叶多10盒，且每盒A种茶叶的进价是每盒B种茶叶进价的1.5倍．求每盒A种茶叶和每盒B种茶叶的进价分别为多少元． 根据题意，小红、小星两名同学分别列出如下方程： 小红：．小星：． (1)小红所列方程中的x表示_______，小星所列方程中的y表示_______； (2)请你任选一个同学的方程解决问题． 75．（2025·贵州黔东南·二模）（1）计算： （2）下面是小星同学解不等式的过程： 解：去分母，得：．．．．．．．．．．．第一步 去括号，得：．．．．．．．．．．．第二步 移项，得：．．．．．．．．．．．．第三步 合并同类项，得：．．．．．．．．．．．第四步 系数化为1，得：．．．．．．．．．．．．第五步 ①小星同学的解答过程从第_______步开始出错； ②请写出你认为正确的解答过程． 76．（2025·贵州黔东南·三模）如图1，在平面直角坐标系中中，一次函数的图象上与反比例函数的图象交于点A，与x轴负半轴交于点B，其中点A的坐标为． (1)求直线的表达式． (2)如图2，若另外有一反比例函数与直线有交点，求取值范围． 77．（2025·贵州黔东南·一模）如图，某工厂与，两地有公路和铁路相连．该工厂从地购买1000元/吨的原料运回工厂，加工成8000元/吨的产品运到地．已知公路的运价为元/（吨·km），铁路的运价为元/（吨·km）． (1)从地运回吨原料到工厂，需要的运费是多少？（用含的代数式表示） (2)若其中一批原料，从地运回工厂，到加工成产品运到地，两次运输共支出公路运费16500元，铁路运费93000元．这一批原料为多少吨？每吨原料能加工成的产品的重量是多少？ 78．（2025·贵州遵义·三模）某水果商收购了120吨水果打算运往外省售卖，现有甲、乙、丙三种车型供选择，且要求每辆车均满载，每辆车的运载量和运费如下表所示： 车型 甲 乙 丙 运载量/（吨/辆） 5 8 10 运费/（元/辆） 300 400 500 (1)若全部水果都用甲、乙两种车型车辆来运送，所需运费为6400元，则需甲、乙两种车型车辆各多少辆？ (2)该水果商决定从甲、乙、丙三种车型中至少选择两种车型车辆来运送，已知它们的总辆数为18辆，请通过列方程的方法求出符合题意的运送方案． 79．（2025·贵州贵阳·二模）象棋是一种源自中国的传统棋类游戏，具有悠久的历史和深厚的文化底蕴．九年级（1）班利用课余时间开展象棋比赛，班主任要求每个选手都与其他选手恰好比赛一局，信息如下： (1)若该班级共有n个参赛选手，则每个选手都要与_______个选手比赛一局，比赛总共有______局； (2)求这次比赛共有多少个选手参加？ 80．（2025·贵州六盘水·二模）在2025年的春晚舞台上，来自宇树科技的机器人扭秧歌表演惊艳了无数观众．某商家推出A、B两种机器人模型，买2个模型3个模型共需120元；买3个模型，1个模型共需110元． (1)求模型和模型的销售单价各是多少元？ (2)某公司计划购买A、B两种模型共100个作为团建活动的奖品．商家给出两种优惠方案．甲方案为：按标价的八折销售；乙方案为：花288元成为会员后，可按标价的7折销售，购买多少个模型时，两种方案费用相同． 试卷第48页，共48页 试卷第47页，共48页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 整式方程及其应用（四大考点，80题） 考点01：一元一次方程及其应用 1．（2025·贵州·中考真题）已知是关于的方程的解，则的值为（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的解，将已知解代入方程，解关于m的一元一次方程即可． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴ ∴ 故选C． 2．（2024·贵州·中考真题）小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“■”“●”“▲”三种物体，如图所示，天平都保持平衡．若设“■”与“●”的质量分别为x，y，则下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等式的性质，设“▲”的质量为a，根据题意列出等式，，然后化简代入即可解题． 【详解】解：设“▲”的质量为a， 由甲图可得，即， 由乙图可得，即， ∴， 故选C． 3．（2023·贵州·中考真题）《孙子算经》中有这样一道题，大意为：今有100头鹿，每户分一头鹿后，还有剩余，将剩下的鹿按每3户共分一头，恰好分完，问：有多少户人家？若设有x户人家，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】每户分一头鹿需x头鹿，每3户共分一头需头鹿，一共分了100头鹿，由此列方程即可． 【详解】解：x户人家，每户分一头鹿需x头鹿，每3户共分一头需头鹿， 由此可知， 故选C． 【点睛】本题考查列一元一次方程，解题的关键是正确理解题意． 4．（2022·贵州六盘水·中考真题）我国“DF－41型”导弹俗称“东风快递”，速度可达到26马赫（1马赫＝340米/秒），则“DF－41型”导弹飞行多少分钟能打击到12000公里处的目标？设飞行分钟能打击到目标，可以得到方程（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合单位的换算，根据路程=速度时间建立方程即可得． 【详解】解：因为1分钟秒，1公里米， 所以可列方程为， 故选：D． 【点睛】本题考查了列一元一次方程，找准等量关系是解题关键． 5．（2022·贵州黔西·中考真题）小明解方程的步骤如下： 解：方程两边同乘6，得① 去括号，得② 移项，得③ 合并同类项，得④ 以上解题步骤中，开始出错的一步是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】按照解一元一次方程的一般步骤进行检查，即可得出答案． 【详解】解：方程两边同乘6，得① ∴开始出错的一步是①， 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤以及注意事项是解决问题的关键． 6．（2022·贵州铜仁·中考真题）为了增强学生的安全防范意识，某校初三（1）班班委举行了一次安全知识抢答赛，抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分．小红一共得70分，则小红答对的个数为（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】B 【分析】设小红答对的个数为x个，根据抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分，列出方程求解即可． 【详解】解：设小红答对的个数为x个， 由题意得， 解得， 故选B． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是列出方程求解是解题的关键． 7．（2024·贵州·中考真题）在元朝朱世杰所著的《算术启蒙》中，记载了一道题，大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，则快马追上慢马需要的天数是 ． 【答案】20 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设快马追上慢马需要x天，根据快马走的路程等于慢马走的总路程，列方程求解即可． 【详解】解∶设快马追上慢马需要x天， 根据题意，得， 解得， 故答案为：20． 考点02：二元一次方程组及其应用 8．（2021·贵州毕节·中考真题）九章算术中记载了一个问题，大意是：甲、乙两人各带了若干钱．若甲得到乙所有钱的一半，则甲共有钱50．若乙得到甲所有钱的，则乙也共有钱50．甲、乙两人各带了多少钱?设甲带了钱，乙带了钱，依题意，下面所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得，甲的钱+乙的钱的一半=50，乙的钱+甲所有钱的=50，据此列方程组即可. 【详解】甲需带钱x，乙带钱y，根据题意，得.故选:A. 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答此类的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程组． 9．（2022·贵州贵阳·中考真题）“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”如： 从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数，的系数与相应的常数项，即可表示方程，则 表示的方程是 ． 【答案】 【分析】根据横着的算筹为10，竖放的算筹为1，依次表示的系数与等式后面的数字，即可求解． 【详解】解： 表示的方程是 故答案为： 【点睛】本题考查了列二元一次方程组，理解题意是解题的关键． 10．（2021·贵州黔西·中考真题）有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货，则3辆大货车与2辆小货车一次可以运货 ． 【答案】17 【分析】设每辆大货车一次可以运货x吨，每辆小货车一次可以运货y吨，由题意：2辆大货车与3辆小货车一次可以运货15.5t，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货35t，列出方程组，解方程组，即可求解． 【详解】解：设每辆大货车一次可以运货吨，每辆小货车一次可以运货吨， 由题意，得：， 解得：， 则， 即3辆大货车与2辆小货车一次可以运货， 故答案为：17． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键． 11．（2021·贵州遵义·中考真题）已知x，y满足的方程组是，则x+y的值为 ． 【答案】5． 【分析】将方程组中的两个方程直接相减即可求解． 【详解】解： 用②﹣①得：x+y＝5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法，通过观察方程组中两个方程的特点，灵活计算是解题的关键． 12．（2025·贵州·中考真题）贵州省江口县被誉为“中国抹茶之都”，这里拥有全球最大的抹茶单体生产车间．为满足市场需求，某抹茶车间准备安装A、B两种型号生产线.已知，同时开启一条A型和一条B型生产线每月可以生产抹茶共，同时开启一条A型和两条B型生产线每月可以生产抹茶共． (1)求一条A型和一条B型生产线每月各生产抹茶多少吨？ (2)为扩大生产规模，若另一车间准备同时安装相同型号的A、B两种生产线共5条，该车间接到一个订单，要求4个月生产抹茶不少于，至少需要安装多少条A型生产线？ 【答案】(1)一条A型生产线每月生产抹茶，一条B型生产线每月生产抹茶 (2)至少需要安装3条A型生产线 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设一条A型生产线每月生产抹茶，一条B型生产线每月生产抹茶，根据“同时开启一条A型和一条B型生产线每月可以生产抹茶共，同时开启一条A型和两条B型生产线每月可以生产抹茶共”建立二元一次方程组求解； （2）设需要安装条A型生产线，则安装B种生产线条，根据“4个月生产抹茶不少于”建立一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：设一条A型生产线每月生产抹茶，一条B型生产线每月生产抹茶， 由题意得：， 解得：， 答：一条A型生产线每月生产抹茶，一条B型生产线每月生产抹茶； （2）解：设需要安装条A型生产线，则安装B种生产线条， 由题意得：， 解得：， ∵为正整数， ∴最小取， 答：至少需要安装3条A型生产线． 13．（2024·贵州·中考真题）为增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，某校组织学生参加劳动实践．经学校与劳动基地联系，计划组织学生参加种植甲、乙两种作物．如果种植3亩甲作物和2亩乙作物需要27名学生，种植2亩甲作物和2亩乙作物需要22名学生． 根据以上信息，解答下列问题： (1)种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要多少名学生？ (2)种植甲、乙两种作物共10亩，所需学生人数不超过55人，至少种植甲作物多少亩？ 【答案】(1)种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要5、6名学生 (2)至少种植甲作物5亩 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用， （1）设种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要x、y名学生，根据“种植3亩甲作物和2亩乙作物需要27名学生，种植2亩甲作物和2亩乙作物需要22名”列方程组求解即可； （2）设种植甲作物a亩，则种植乙作物亩，根据“所需学生人数不超过55人”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要x、y名学生， 根据题意，得， 解得， 答：种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要5、6名学生； （2）解：设种植甲作物a亩，则种植乙作物亩， 根据题意，得：， 解得， 答：至少种植甲作物5亩． 14．（2022·贵州六盘水·中考真题）钢钢准备在重阳节购买鲜花到敬老院看望老人，现将自己在劳动课上制作的竹篮和陶罐拿到学校的“跳蚤市场”出售，以下是购买者的出价： (1)根据对话内容，求钢钢出售的竹篮和陶罐数量； (2)钢钢接受了钟钟的报价，交易后到花店购买单价为5元/束的鲜花，剩余的钱不超过20元，求有哪几种购买方案． 【答案】(1)钢钢出售的竹篮为5个，陶罐为3个 (2)共有四种购买方案：①购买9束鲜花；②购买10束鲜花；③购买11束鲜花；④购买12束鲜花 【分析】（1）设钢钢出售的竹篮为个，陶罐为个，根据两位购买者的报价建立方程组，解方程组即可得； （2）设钢钢购买了束鲜花，根据剩余的钱不超过20元建立不等式组，解不等式组求出正整数解即可得． 【详解】（1）解：设钢钢出售的竹篮为个，陶罐为个， 由题意得：， 解得， 答：钢钢出售的竹篮为5个，陶罐为3个． （2）解：设钢钢购买了束鲜花， 由题意得：， 解得， 因为为正整数， 所以共有四种购买方案：①购买9束鲜花；②购买10束鲜花；③购买11束鲜花；④购买12束鲜花． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，正确建立方程组和不等式组是解题关键． 15．（2022·贵州毕节·中考真题）2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价-进货价） 类别价格 A款钥匙扣 B款钥匙扣 进货价（元/件） 30 25 销售价（元/件） 45 37 (1)网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数； (2)第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A、B两款冰墩墩钥匙扣共80件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ (3)冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？ 【答案】(1)A、B两款钥匙扣分别购进20件和10件 (2)购进A款冰墩墩钥匙扣40件，购进B款冰墩墩钥匙扣40件时利润最大，最大为1080元 (3)销售价定为每件30元或34元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元 【分析】(1)设A、B两款钥匙扣分别购进x和y件，根据“用850元购进A、B两款钥匙扣共30件”列出二元一次方程组即可求解； (2)设购进A款冰墩墩钥匙扣m件，则购进B款冰墩墩钥匙扣(80-m)件，根据“进货总价不高于2200元”列出不等式求出；设销售利润为元，得到，随着m的增大而增大，结合m的范围由此即可求出最大利润； (3)设B款冰墩墩钥匙扣降价a元销售，则平均每天多销售2a件，每天能销售(4+2a)件，每件的利润为(12-a)元，由“平均每天销售利润为90元”得到(4+2a)(12-a)=90，求解即可． 【详解】（1）解：设A、B两款钥匙扣分别购进x和y件， 由题意可知： ， 解出：， 故A、B两款钥匙扣分别购进20和10件． （2）解：设购进A款冰墩墩钥匙扣m件，则购进B款冰墩墩钥匙扣(80-m)件， 由题意可知：， 解出：， 设销售利润为元，则， ∴是关于m的一次函数，且3＞0， ∴随着m的增大而增大， 当时，销售利润最大，最大为元， 故购进A款冰墩墩钥匙扣40件，购进B款冰墩墩钥匙扣40件时利润最大，最大为1080元． （3）解：设B款冰墩墩钥匙扣降价a元销售，则平均每天多销售2a件，每天能销售(4+2a)件，每件的利润为(12-a)元， 由题意可知：(4+2a)(12-a)=90， 解出：a1=3，a2=7， 故B款冰墩墩钥匙扣售价为34元或30元一件时，平均每天销售利润为90元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式的应用、一次函数增减性求利润最大问题及一元二次方程的应用，属于综合题，读懂题意是解决本题的关键． 16．（2021·贵州黔东南·中考真题）黔东南州某销售公司准备购进A、B两种商品，已知购进3件A商品和2件B商品，需要1100元；购进5件A商品和3件B商品，需要1750元． （1）求A、B两种商品的进货单价分别是多少元？ （2）若该公司购进A商品200件，B商品300件，准备把这些商品全部运往甲、乙两地销售．已知每件A商品运往甲、乙两地的运费分别为20元和25元；每件B商品运往甲、乙两地的运费分别为15元和24元．若运往甲地的商品共240件，运往乙地的商品共260件． ①设运往甲地的A商品为（件），投资总运费为（元），请写出与的函数关系式； ②怎样调运A、B两种商品可使投资总费用最少？最少费用是多少元？（投资总费用＝购进商品的费用＋运费） 【答案】（1）A商品的进货单价为200元，B商品的进货单价为250元；（2）①；②最佳调运方案为：调运240件B商品到甲地，调运200件A商品、60件B商品到乙地．最小费用为125040元 【分析】（1）设A商品的进货单价为x元，B商品的进货单价为y元，根据购进3件A商品和2件B商品，需要1100元；购进5件A商品和3件B商品，需要1750元列出方程组求解即可； （2）①设运往甲地的A商品为x件，则设运往乙地的A商品为（200﹣x）件，运往甲地的B商品为（240﹣x）件，运往乙地的B商品为（60+x）件，根据投资总运费＝运往甲、乙两地运费之和列出函数关系式即可；②根据投资总费用＝购买商品的费用+总运费，列出函数关系式，由自变量的取值范围是：0≤x≤200，根据函数的性质判断最佳运输方案并求出最低费用． 【详解】解：（1）设A商品的进货单价为x元，B商品的进货单价为y元， 根据题意，得， 解得：， 答：A商品的进货单价为200元，B商品的进货单价为250元； （2）①设运往甲地的A商品为x件，则设运往乙地的A商品为（200﹣x）件， 运往甲地的B商品为（240﹣x）件，运往乙地的B商品为（60+x）件， 则y＝20x+25（200﹣x）+15（240﹣x）+24（60+x）＝4x+10040， ∴y与x的函数关系式为y＝4x+10040； ②投资总费用w＝200×200+300×250+4x+10040＝4x+125040， 自变量的取值范围是：0≤x≤200， ∵k＝4＞0， ∴y随x增大而增大． 当x＝0时，w取得最小值，w最小＝125040（元）， ∴最佳调运方案为：调运240件B商品到甲地，调运200件A商品、60件B商品到乙地，最小费用为125040元． 答：调运240件B商品到甲地，调运200件A商品、60件B商品到乙地总费用最小，最小费用为125040元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用和二元一次方程组的应用，关键是根据投资总费用＝购进商品的费用+运费列出函数关系式． 17．（2021·贵州贵阳·中考真题）为庆祝“中国共产党的百年华诞”，某校请广告公司为其制作“童心向党”文艺活动的展板、宣传册和横幅，其中制作宣传册的数量是展板数量的5倍，广告公司制作每件产品所需时间和利润如下表： 产品 展板 宣传册 横幅 制作一件产品所需时间（小时） 1 制作一件产品所获利润（元） 20 3 10 （1）若制作三种产品共计需要25小时，所获利润为450元，求制作展板、宣传册和横幅的数量； （2）若广告公司所获利润为700元，且三种产品均有制作．求制作三种产品总量的最小值． 【答案】（1）制作展板、宣传册和横幅的数量分别是：10，50，10；（2）制作三种产品总量的最小值为75． 【分析】（1）设展板数量为x，则宣传册数量为5x，横幅数量为y，根据等量关系，列出二元一次方程组，即可求解； （2）设展板数量为x，则宣传册数量为5x，横幅数量为y，可得，结合x，y取正整数，可得制作三种产品总量的最小值． 【详解】（1）解：设展板数量为x，则宣传册数量为5x，横幅数量为y， 根据题意得：，解得：， 5×10=50， 答：制作展板、宣传册和横幅的数量分别是：10，50，10； （2）设展板数量为x，则宣传册数量为5x，横幅数量为y，制作三种产品总量为w， 由题意得：，即：， ∴， ∴w=， ∵x，y取正整数， ∴x可取的最小整数为2， ∴w=的最小值=55，即：制作三种产品总量的最小值为75． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组以及一次函数的实际应用，根据数量关系，列出方程组以及一次函数的解析式，是解题的关键． 18．（2021·贵州铜仁·中考真题）某快递公司为了提高工作效率，计划购买、两种型号的机器人来搬运货物，已知每台型机器人比每台型机器人每天多搬运20吨，并且3台型机器人和2台型机器人每天共搬运货物460吨． （1）求每台型机器人和每台型机器人每天分别搬运货物多少吨？ （2）每台型机器人售价3万元，每台型机器人售价2万元，该公司计划采购、两种型号的机器人共20台，必须满足每天搬运的货物不低于1800吨，请根据以上要求，求出、两种机器人分别采购多少台时，所需费用最低﹖最低费用是多少？ 【答案】（1）每台A型机器人每天分别微运货物100吨，每台B型机器人每天分别微运货物80吨；（2）购买10台A型机器人，10台B型机器人时，所需费用最低，最低费用为50万元． 【分析】（1）设每台A型机器人每天分别搬运货物x吨，每台B型机器人每天分别搬运货物y吨，根据“每台型机器人比每台型机器人每天多搬运20吨，并且3台型机器人和2台型机器人每天共搬运货物460吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m台A型机器人，则购买（20-m）台B型机器人，根据这些机器人每天搬运的货物不低于1800吨，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设该公司计划采购、两种型号的机器人所需费用为w万元，根据总价=单价×数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】解：（1）设每台A型机器人每天分别搬运货物x吨，每台B型机器人每天分别搬运货物y吨，根据题意得： ， 解得：． 答：每台A型机器人每天分别搬运货物100吨，每台B型机器人每天分别搬运货物80吨． （2）设购买m台A型机器人，则购买（20-m）台B型机器人，根据题意得： 100m+80（20-m）≥1800， 解得：m≥10． 设该公司计划采购、两种型号的机器人所需费用为w万元，则w=3m+2（20-m）=m+40， ∵k=1＞0， ∴w随m的增大而增大， ∴当m=10时，w有最小值，且最小值为w=10+40=50（万元）， 此时20-m=10． 所以，购买10台A型机器人，10台B型机器人时，所需费用最低，最低费用为50万元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式以及一次函数的应用，读懂题意，找到关键描述语句，找准等量关系，正确列出二元一次方程组及一元一次不等式是解题的关键． 考点03：一元二次方程及其应用 19．（2024·贵州·中考真题）一元二次方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可． 【详解】解∶ ， ∴， ∴或， ∴，， 故选∶B． 20．（2022·贵州黔东南·中考真题）已知关于的一元二次方程的两根分别记为，，若，则的值为（    ） A．7 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】根据根与系数关系求出=3，a=3，再求代数式的值即． 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别记为，， ∴+=2， ∵， ∴=3， ∴·=-a=-3， ∴a=3， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数关系，代数式的值，掌握一元二次方程的根与系数关系，代数式的值是解题关键． 21．（2021·贵州遵义·中考真题）在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（　　） A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0 【答案】B 【分析】分别按照看错的情况构建出一元二次方程，再舍去错误信息，从而可得正确答案. 【详解】解： 小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1， 所以此时方程为： 即： 小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4， 所以此时方程为： 即： 从而正确的方程是： 故选： 【点睛】本题考查的是根据一元二次方程的根构建一元二次方程，掌握利用一元二次方程的根构建方程的方法是解题的关键. 22．（2021·贵州毕节·中考真题）某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则八年级班级的个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】设有x个班级参加比赛，根据题目中的比赛规则，可得一共进行了场比赛，即可列出方程，求解即可． 【详解】解：设有x个班级参加比赛， ， ， 解得：（舍）， 则共有6个班级参加比赛， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，得到比赛总数的等量关系． 23．（2021·贵州毕节·中考真题）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】利用一元二次方程的定义及根的判别式列不等式a≠0且，从而求解． 【详解】解：根据题意得：a≠0且，即 ， 解得：且， 故选D． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根． 24．（2021·贵州黔东南·中考真题）若关于的一元二次方程 的一个根是2，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据韦达定理，可知另一个根为，再根据韦达定理可知的值为根之和，即可求得 【详解】的一个根为2，设另一根为 ，解得 又 故选D 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系即韦达定理，熟悉韦达定理是解题的关键． 25．（2025·贵州·中考真题）一元二次方程 的根是 ． 【答案】， 【分析】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键； 根据题意，先移项，然后利用直接开平方法即可求解． 【详解】解： ，， 故答案为：，． 26．（2023·贵州·中考真题）若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是 ． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根． 27．（2021·贵州黔西·中考真题）三角形两边的长分别为2和5，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为 . 【答案】12 【分析】解方程得第三边边长可能的值，代入三角形三边关系验证，进而求出周长即可． 【详解】∵第三边的长是方程的根，解得x=3或5 当x=3时，由于2＋3=5，不能构成三角形； 当x=5时，由于2＋5>5，能构成三角形； 故该三角形三边长分别为2,5,5，则周长为2＋5＋5=12． 故答案为12． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，三角形三边关系，利用三角形三边关系验证三边长是否能构成三角形是解决本题的关键． 28．（2022·贵州贵阳·中考真题）（1）a，b两个实数在数轴上的对应点如图所示． 用“<”或“>”填空：a_______b，ab_______0； （2）在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法，他们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程． ①x2+2x−1=0；②x2−3x=0；③x2−4x=4；④x2−4=0． 【答案】（1）＜，＜；（2）①x1=-1+，x2=-1-；②x1=0，x2=3；③x1=2+，x2=2-；④x1=-2，x2=2． 【分析】（1）由题意可知：a＜0，b＞0，据此求解即可； （2）找出适当的方法解一元二次方程即可． 【详解】解：（1）由题意可知：a＜0，b＞0， ∴a＜b，ab＜0； 故答案为：＜，＜； （2）①x2+2x−1=0； 移项得x2+2x=1， 配方得x2+2x+1=1+1，即(x+1)2=2， 则x+1=±， ∴x1=-1+，x2=-1-； ②x2−3x=0； 因式分解得x(x-3)=0， 则x=0或x-3=0， 解得x1=0，x2=3； ③x2−4x=4； 配方得x2-4x+4=4+4，即(x-2)2=8， 则x-2=±， ∴x1=2+，x2=2-； ④x2−4=0． 因式分解得(x+2) (x-2)=0， 则x+2=0或x-2=0， 解得x1=-2，x2=2． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．还考查了实数与数轴． 考点04：分式方程及其应用 29．（2022·贵州黔西·中考真题）某农户承包的36亩水田和30亩旱地需要耕作．每天平均耕作旱地的亩数比耕作水田的亩数多4亩．该农户耕作完旱地所用的时间是耕作完水田所用时间的一半，求平均每天耕作水田的亩数．设平均每天耕作水田x亩，则可以得到的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出平均每天耕作旱地的亩数为亩，再根据该农户耕作完旱地所用的时间是耕作完水田所用时间的一半建立方程即可． 【详解】解：由题意可知，平均每天耕作旱地的亩数为亩， 则可列方程为， 故选：D． 【点睛】本题考查了列分式方程，找准等量关系是解题关键． 30．（2022·贵州毕节·中考真题）小明解分式方程的过程下． 解：去分母，得         ．① 去括号，得             ．② 移项、合并同类项，得   ．③ 化系数为1，得          ．④ 以上步骤中，开始出错的一步是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】写出分式方程的正确解题过程即可作出判断． 【详解】解：， 去分母，得  ， 去括号，得  ， 移项，得， 合并同类项，得   ， ∴以上步骤中，开始出错的一步是②． 故选：B 【点睛】此题考查了解分式方程，以及分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键． 31．（2021·贵州黔西·中考真题）高铁为居民出行提供了便利，从铁路沿线相距360km的甲地到乙地，乘坐高铁列车比乘坐普通列车少用3h．已知高铁列车的平均速度是普通列车平均速度的3倍，设普通列车的平均速度为x km/h，依题意，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】题中设列车的平均速度为xkm/h，则高铁列车的平均速度为3xkm/h，总路程为360km，可求出高铁列出和普通列车所用的时间，根据乘坐高铁列车比乘坐普通列车少用3h，即可列出方程． 【详解】根据题意可得：列车的平均速度为xkm/h，则高铁列车的平均速度为3xkm/h， 高铁列车所用的时间为：， 普通列车的时间为：， 所列方程为：， 故选：A． 【点睛】题目主考查分式方程的应用，理解题意运用速度、时间、路程的关系是解题关键． 32．（2023·贵州·中考真题）为推动乡村振兴，政府大力扶持小型企业．根据市场需求，某小型企业为加快生产速度，需要更新生产设备，更新设备后生产效率比更新前提高了，设更新设备前每天生产x件产品．解答下列问题： (1)更新设备后每天生产_______件产品（用含x的式子表示）； (2)更新设备前生产5000件产品比更新设备后生产6000件产品多用2天，求更新设备后每天生产多少件产品． 【答案】(1) (2)125件 【分析】（1）根据“更新设备后生产效率比更新前提高了”列代数式即可； （2）根据题意列分式方程，解方程即可． 【详解】（1）解：更新设备前每天生产x件产品，更新设备后生产效率比更新前提高了， 更新设备后每天生产产品数量为：（件）， 故答案为：； （2）解：由题意知：， 去分母，得， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， （件）， 因此更新设备后每天生产125件产品． 【点睛】本题考查分式方程的实际应用，解题的关键是根据所给数量关系正确列出方程． 33．（2022·贵州安顺·中考真题）阅读材料：被誉为“世界杂交水稻之父”的“共和国勋章”获得者袁隆平，成功研发出杂交水稻，杂交水稻的亩产量是普通水稻的亩产量的2倍．现有两块试验田，块种植杂交水稻，块种植普通水稻，块试验田比块试验田少4亩． (1)块试验田收获水稻9600千克、块试验田收获水稻7200千克，求普通水稻和杂交水稻的亩产量各是多少千克？ (2)为了增加产量，明年计划将种植普通水稻的块试验田的一部分改种杂交水稻，使总产量不低于17700千克，那么至少把多少亩块试验田改种杂交水稻？ 【答案】(1)普通水稻亩产量是600千克，杂交水稻的亩产量是1200千克． (2)至少把B块试验田改亩种植杂交水稻． 【分析】（1）设普通水稻的亩产量是x千克，则杂交水稻的亩产量是2x千克，利用种植亩数=总产量÷亩产量，结合A块试验田比B块试验田少4亩，即可得出关于x的分式方程，解之即可得出普通水稻的亩产量，再将其代入2x中即可求出杂交水稻的亩产量； （2）设把B块试验田改y亩种植杂交水稻，利用总产量=亩产量×种植亩数，结合总产量不低于17700千克，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论． 【详解】（1）解：设普通水稻亩产量是x千克，则杂交水稻的亩产量是2x千克， 依题意得：， 解得：； 经检验，x=600是原方程的解，且符合题意， ∴2x=2×600=1200． 答：普通水稻亩产量是600千克，杂交水稻的亩产量是1200千克． （2）解：设把B块试验田改y亩种植杂交水稻， 依题意得：9600+600（）+1200y≥17700， 解得：． 答：至少把B块试验田改亩种植杂交水稻． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 34．（2022·贵州贵阳·中考真题）国发（2022）2号文发布后，贵州迎来了高质量快速发展，货运量持续增加．某物流公司有两种货车，已知每辆大货车的货运量比每辆小货车的货运量多4吨，且用大货车运送80吨货物所需车辆数与小货车运送60吨货物所需车辆数相同．每辆大、小货车货运量分别是多少吨？ 【答案】每辆大货车货运量是16吨，每辆小货车货运量是12吨 【分析】设每辆小货车货运量吨，则每辆大货车货运量吨，根据题意，列出分式方程，解方程即可求解． 【详解】解：设每辆小货车货运量吨，则每辆大货车货运量吨，根据题意，得， ， 解得， 经检验，是原方程的解， 吨， 答：每辆大货车货运量是16吨，每辆小货车货运量是12吨． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 35．（2022·贵州铜仁·中考真题）科学规范戴口罩是阻断新冠病毒传播的有效措施之一，某口罩生产厂家接到一公司的订单，生产一段时间后，还剩280万个口罩未生产，厂家因更换设备，生产效率比更换设备前提高了40%．结果刚好提前2天完成订单任务．求该厂家更换设备前和更换设备后每天各生产多少万个口罩？ 【答案】该厂家更换设备前每天生产口罩40万只，更换设备后每天生产口罩56万只． 【分析】设该厂家更换设备前每天生产口罩x万只，则该厂家更换设备后每天生产口罩（1+40%）x万只，利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合提前2天完成订单任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【详解】解：设该厂家更换设备前每天生产口罩x万只，则该厂家更换设备后每天生产口罩（1+40%）x万只， 依题意得：， 解得：x=40， 经检验，x=40是原方程的解，且符合题意． 答：该厂家更换设备前每天生产口罩40万只，更换设备后每天生产口罩56万只． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 36．（2022·贵州遵义·中考真题）遵义市开展信息技术与教学深度融合的精准化教学，某实验学校计划购买，两种型号教学设备，已知型设备价格比型设备价格每台高20%，用30000元购买型设备的数量比用15000元购买型设备的数量多4台． (1)求，型设备单价分别是多少元？ (2)该校计划购买两种设备共50台，要求型设备数量不少于型设备数量的．设购买台型设备，购买总费用为元，求与的函数关系式，并求出最少购买费用． 【答案】(1)，型设备单价分别是元． (2)，最少购买费用为元 【分析】（1）设型设备的单价为元，则型设备的单价为元，根据题意建立分式方程，解方程即可求解； （2）设型设备的单价为元，则型设备的单价为元，根据题意建立一元一次不等式，求得的最小整数解，根据单价乘以数量即可求的与的函数关系式，根据一次函数的性质即可求得最少购买费用． 【详解】（1）解：设型设备的单价为元，则型设备的单价为元，根据题意得， ， 解得， 经检验是原方程的解， 型设备的单价为元； 答：，型设备单价分别是元． （2）设购买台型设备，则购买型设备台，依题意， ， 解得， 的最小整数解为， 购买总费用为元，， ， ，随的增大而增大， 时，取得最小值，最小值为． 答：最少购买费用为元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意列出关系式是解题的关键． 37．（2022·贵州黔东南·中考真题）某快递公司为了加强疫情防控需求，提高工作效率，计划购买A、B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天少搬运10吨，且A型机器人每天搬运540吨货物与B型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同． (1)求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？ (2)每台A型机器人售价1.2万元，每台B型机器人售价2万元，该公司计划采购A、B两种型号的机器人共30台，必须满足每天搬运的货物不低于2830吨，购买金额不超过48万元． 请根据以上要求，完成如下问题： ①设购买A型机器人台，购买总金额为万元，请写出与的函数关系式； ②请你求出最节省的采购方案，购买总金额最低是多少万元？ 【答案】(1)每台A型机器人每天搬运货物90吨，每台B型机器人每天搬运货物为100吨． (2)①；②当购买A型机器人17台，B型机器人13台时，购买总金额最少，最少金额为46.4万元． 【分析】（1）设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物为（x+10）吨，然后根据题意可列分式方程进行求解； （2）①由题意可得购买B型机器人的台数为台，然后由根据题意可列出函数关系式；②由题意易得，然后可得，进而根据一次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物为（x+10）吨，由题意得： ， 解得：； 经检验：是原方程的解； 答：每台A型机器人每天搬运货物90吨，每台B型机器人每天搬运货物为100吨． （2）解：①由题意可得：购买B型机器人的台数为台， ∴； ②由题意得：， 解得：， ∵-0.8＜0， ∴w随m的增大而减小， ∴当m=17时，w有最小值，即为， 答：当购买A型机器人17台，B型机器人13台时，购买总金额最少，最少金额为46.4万元． 【点睛】本题主要考查分式方程的应用、一元一次不等式组的应用及一次函数的应用，熟练掌握分式方程的应用、一元一次不等式组的应用及一次函数的应用是解题的关键． 一、单选题 38．（2025·贵州铜仁·三模）若关于的方程组与有相同的解，则的值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是已知二元一次方程组的解的情况求参数、加减消元法，解题关键是熟练掌握加减消元法．由于两个方程组有相同的解，可知它们的解为和，将此解代入两个方程组的第二个方程，得到关于和的方程组，通过加减消元法直接求解的值． 【详解】解：两个方程组的公共解为， 将，代入第一个方程组的，得： 代入第二个方程组的，得： 将①和②相加： 整理得： 两边同时除以3，得： 因此，的值为， 故选：A． 39．（2025·贵州铜仁·三模）用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，下列变形正确的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本考查配方法解一元二次方程，先将常数项移到等号右边，再利用完全平方公式进行配方，即可求解． 【详解】解：， 移项，得， 配方，得， 即， 故选B． 40．（2025·贵州贵阳·一模）根据表格中的信息，估计一元二次方程的一个解的范围是（    ） x 0 1 2 5 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查估算一元二次方程的近似值．由表格数据可知当时，的值大于0，当时，的值小于0，因此的一个解的取值范围是． 【详解】解：由表格数据可知当时，的值大于0， 当时，的值小于0， 因此的一个解的取值范围是． 故选：A． 41．（2025·贵州遵义·三模）解分式方程时，去分母的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了解分式方程，根据去分母的过程进行解答即可，熟练掌握解分式方程方法步骤是解题关键． 【详解】解：， 去分母得， ， 故选：D． 42．（2025·贵州黔西·二模）如图，将等式进行变形，最后得到一个明显错误的结论，则下列说法正确的是（   ） A．第一步错误 B．第二步错误 C．第三步错误 D．三步都正确，原等式错误 【答案】C 【分析】本题考查等式的性质．根据等式的性质，等式的两边同时加上或减去同一个整式，等式的值不变，等式的两边同时除以一个不等于0的整式，等式的值不变．据此进行作答即可． 【详解】解：第一步等式两边同时加，第二步合并同类项，都是正确的， 第三步两边同时除以a是错误的，因为a可能等于零． 正确的做法是移项得，解得， 故选：C． 43．（2025·贵州黔西·二模）分式方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的求解，注意在去分母时，常数也要乘以公分母，并且最后必须验根，这是解分式方程的易错点和关键点．根据解分式方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，解方程，最后验根即可求解． 【详解】解： 去分母得： ， 移项，合并同类项得： ， 系数化为1得： ， 检验：当时， ， 是原方程的根． 故选：B． 44．（2025·贵州黔西·二模）不等式的最大整数解为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查解不等式及不等式的整数解，解题的关键是求出不等式的解集． 先求出不等式的解集，再找最大的整数解，即可解题． 【详解】解： ， 不等式的最大整数解为3， 故选：C． 45．（2025·贵州毕节·三模）在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查不等式组解集在数轴上的表示方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来(，向右画；，向左画)，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．根据不等式的基本性质求得不等式组的解集为，从而得解． 【详解】解：依题意得：不等式组的解集为． 即 故选B． 46．（2025·贵州贵阳·二模）小妍同学在翻阅《九章算术》时，看到这样一个问题：“今有二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”题目大意为：甲、乙两人各有钱若干，若乙将他所有钱的给甲，则甲有钱50；若甲将他所有钱的给乙，则乙也有钱50，问甲、乙原本各有多少钱？ 为解决这个问题，小妍设甲原有钱，乙原有钱，可以得到方程组（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组，审清题意、弄清楚量之间的关系成为解题的关键． 设甲原有钱，乙原有钱，根据乙将他所有钱的给甲，则甲有钱50；若甲将他所有钱的给乙，则乙也有钱50列二元一次方程组即可解答． 【详解】解：设甲原有钱，乙原有钱， 由题意可得：． 故选C． 47．（2025·贵州铜仁·二模）定义新运算：例如：，若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．根据新定义可得原方程为，再利用一元二次方程根的判别式解答，即可． 【详解】解：根据题意得：， ∴原方程为， ∵该方程有两个实数根， ∴， 即， 解得：． 故选：D 48．（2025·贵州贵阳·三模）代数式与的值相等，则的值为（　　） A． B．2 C．3 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了解分式方程，由题意得，解分式方程即可，掌握解分式方程的方法是解题的关键． 【详解】解：∵代数式与的值相等， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴分式方程的解为：， 故选：D． 49．（2025·贵州安顺·三模）《九章算术》一书中记载一道题，其大意：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行，问：人与车各多少？设有辆车，个人，甲列出方程组乙列出方程，则下列说法正确的是（   ） A．甲、乙都正确 B．甲、乙都错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程和二元一次方程组，找准等量关系，正确列出一元一次和二元一次方程组是解题的关键． 根据“若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行”，即可得出关于，的二元一次方程组，和关于的一元一次方程． 【详解】解：设有辆车，个人， 若3人坐一辆车，则两辆车是空的， ∴， 若2人坐一辆车，则9人需要步行， ∴，即， ∴， 根据意可列出方程组为， 即甲、乙所列的方程都正确， 故选：A． 50．（2025·贵州贵阳·三模）若，则下列变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质．解题的关键是掌握等式的性质：性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．根据等式的性质，可得答案． 【详解】解：∵， ∴，，，， 故选：B． 51．（2025·贵州·二模）某旅行社带游客去哈尔滨雪乡游玩，晚上包下当地的一家民宿住宿．如图，该民宿的每一个房间都有一个火炕，炕上面铺上被褥，人都睡在炕上．若每间房住4人，则余下3人无房住；若每间房住5人，则余下一间无人住．设该民宿共有间房，游客共有人，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意正确列出方程组是解题的关键． 根据题意列方程组得，即可得到答案． 【详解】解：根据题意列方程组得， 故选：B． 52．（2025·贵州毕节·一模）观察图①，若天平保持平衡，则在图②天平的右盘中需放入○的个数为（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】B 【分析】考查了等式的性质的应用．性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 设△的质量为x，□的质量为y，○的质量为z，根据图1列出等式，然后由等式的性质参照图2进行答题． 【详解】解：设△的质量为x，□的质量为y，○的质量为z， 则，即． 所以． 所以 在图2天平的右盘中需放入6个○才能使其平衡． 故选：B． 53．（2025·贵州·二模）将多项式进行配方，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了配方法的应用，把多项式加上一次项系数一半的平方，再减去一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：A． 54．（2025·贵州贵阳·一模）已知每个推车式灭火器（如图①）的价格比手提式灭火器（如图②）价格的6倍多20元．用1900元购买的推车式灭火器数量和用300元购买的手提式灭火器数量相同．设手提式灭火器的单价为x元，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意，找到等量关系列出方程是解题的关键．设手提式灭火器的单价为x元，则推车式灭火器的单价为元，根据题意列出方程，即可解答． 【详解】解：设手提式灭火器的单价为x元，则推车式灭火器的单价为元， 根据题意可列方程为． 故选：C． 55．（2025·贵州遵义·二模）科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用，已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，两片银杏树叶与三片国槐树叶一年的平均滞尘总量为146毫克．设一片银杏树叶一年的平均滞尘量为毫克，一片国槐树叶一年的平均滞尘量为毫克．依据题意，可列方程组（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用， 根据一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国愧树叶一年的平均滞尘量得2倍少4毫克，可得，两片银杏树叶与三片国愧树叶一年的平均滞尘量为146，可得可得方程组． 【详解】解：根据题意，得． 故选：B． 56．（2025·贵州贵阳·一模）一元二次方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】此题考查了解一元二次方程-直接开平方法，方程利用平方根定义开方即可求出解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，． 故选：D． 57．（2025·贵州贵阳·一模）用加减消元法解方程组时，将可得（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用加减消元法解二元一次方程组，按照加减消元法的步骤求解即可， 【详解】解：将可得， 即， 故选：D． 58．（2025·贵州贵阳·一模）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有善行者一百步，不善行者六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”大意为：“甲走路快，乙走路慢，两个人在相同时间里，甲走100步，乙走60步．现在乙先走100步，甲随后就追，甲要走多少步才能追上乙？设甲走了x步才追上乙，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据实际问题列方程，根据甲的路程减去100等于乙在和甲相同时间内所走的路程，列出方程即可． 【详解】解：根据题意得，甲走的时间为：，故可列方程为： ； 故选A． 59．（2025·贵州黔西·一模）若关于x的方程有两个相等的实数根，则k的值为（   ） A． B．4 C．2 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式．根据题意，运用根的判别式即可求解． 【详解】解：∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得，． 故选：B． 60．（2025·贵州黔南·二模）已知反比例函数的图象与直线交于点，．若，，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的交点问题，一次函数与反比例函数的图像与性质，同时考查了一元二次方程的根与系数的关系，不等式的性质，掌握以上知识是解题的关键． 由题意得： ，且，则，那么，结合，可得，由，可得，结合，可得，从而可得答案． 【详解】由题意得： ，且 两函数的交点为：，． 当时，， 且， ． 故选：C． 61．（2025·贵州贵阳·二模）若一元二次方程的一个根是，则另一个根是（   ） A．4 B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．根据一元二次方程根与系数的关系可得，即可求解． 【详解】解：设另一个根是m， ∵一元二次方程的一个根是， ∴， ∴． 故选：D 62．（2025·贵州黔东南·一模）一元二次方程没有实数根，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程没有实数根，可得：，解不等式求出的取值范围，根据取值范围确定的值． 【详解】解：一元二次方程没有实数根， ， 解得：， 四个选项中只有， 的值可能是． 故选：A． 二、填空题 63．（2025·贵州铜仁·三模）孙权曾致巨象，太祖欲知其斤重，访之群下，咸莫能出其理，冲曰：“置象大船之上，而刻其水痕所至，称物以载之，则校可知矣．”------《三国志》．某动物保护区按照曹冲称象的方法：先将象牵到大船上，并在船的侧面标记水位再将象牵出，然后往船上抬入30块等重的条形石，并在船上留4个搬运工，这时水位恰好到达标记位置；如果再抬入2块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记的位置．已知每个搬运工体重为，则每块条形石的重量为 ，大象的重量为 ． 【答案】 /120千克 /3920千克 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，需根据水位到达相同的标记位置即两次装船的总重量相等这一条件列方程是解决本题的关键 ． 通过曹冲称象的原理，设出每块条形石的重量，由两次不同的装船的情况建立等量关系来求解条形石的重量，再根据第一次的装船情况即可求解大象的重量 ． 【详解】解：设每块条形石的重量为， 因为第一次装船是30块等重的条形石和4个搬运工， 第二次装船是32块等重的条形石和1个搬运工， 且每个搬运工体重为， 又因为两次水位都到达标记的位置， 所以， 解得， 所以每块条形石的重量为， 又因为第一次装船的情况是大象的重量，即30块等重的条形石和4个搬运工， 所以大象的重量为 ． 故答案为：； ． 64．（2025·贵州黔东南·一模）若关于x的一元二次方程恰有两个不相等的实数根，则m的值可以为 ．（任意写出一个即可） 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查了由一元二次方程根的判别式求参数的值，由一元二次方程有两个不相等的实数根，可得即可求解． 【详解】解：由条件可知，且， 解得，且， 可以为1（答案不唯一）． 故答案为：1（答案不唯一）． 65．（2025·贵州黔西·二模）“一千官兵一千布，一官四尺无零数，四兵才得布一尺，请问官兵多少数？”这首诗的意思是：一千名官兵分一千尺布，一名军官分四尺，四名士兵分一尺，正好分完，则军官和士兵各有多少名？若设军官有名，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设军官有名，由题意列出一元一次方程即可． 【详解】解：设军官有名，则士兵有名， 根据题意得：． 故答案为：． 66．（2025·贵州铜仁·三模）关于的方程有两个不相等的实数根，则整数的值可以是 (填一个即可)． 【答案】（不唯一） 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，利用一元二次方程根的情况推导的符号是解题的关键．利用的方程有两个不相等的实数根，得出，求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 故只需整数即可， 故答案为：（不唯一）． 67．（2025·贵州贵阳·三模）是关于的一元一次方程的解，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程的解，正确理解方程的解是解题的关键．将代入中，即可求解． 【详解】解：将代入中，得， ， 故答案为：． 68．（2025·贵州毕节·一模）把1－9这9个数填入方格中，使每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，这样便构成了一个三阶幻方，它源于我国古代的洛书．如图是仅可以看到部分数值的三阶幻方，则其中的值为 ． x 1 2 9 4 【答案】6 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，根据题意，得到第二列和所在的对角线的数字之和相等，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：6． 69．（2025·贵州毕节·一模）若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查根的判别式，根据一元二次方程无解得到，代入求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程没有实数根， ∴， ∴． 故答案为： 70．（2025·贵州遵义·三模）若是关于x的一元一次方程，则k的值不可能是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，解题的关键是掌握只含有一个未知数，且未知数最高次为1的整式方程，是一元一次方程，据此即可解答． 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程， ∴， ∴， ∴k的值不可能是6， 故答案为：6． 71．（2025·贵州贵阳·二模）已知为方程的根，那么代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义．解题时，注意“整体代入”数学思想的应用． 把代入已知方程，求得，然后将其整体代入所求的代数式求值． 【详解】解∶由题意，得 ，则 ． ． 故答案为： 三、解答题 72．（2025·贵州铜仁·三模）“骑车戴头盔，放心平安归”．越来越多的人上下班会选择骑行电动车，佩戴头盔更能保证大家的行车安全．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出350个，六月份售出504个，且从四月份到六月份月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌每个头盔应涨价多少元？ (3)该品牌头盔每个涨价多少元时，月销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)该品牌的每个头盔应涨价5元 (3)该品牌头盔每个涨价元时，月销售利润最大，最大利润是6125元 【分析】本题主要考查了利用一元二次方程解决实际问题，利用二次函数解决最值问题，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，找出等量关系列出方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个应涨价元，找出等量关系列出方程求解即可； （3）设该品牌头盔每个涨价元，利润为元，列出，利用二次函数的性质求出最值即可． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 由题意得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）解：设该品牌头盔每个应涨价元． 由题意，得， 整理得， 解得，． ∵要尽可能让顾客得到实惠， ． 答：该品牌的每个头盔应涨价5元； （3）解：设该品牌头盔每个涨价元，利润为元． 由题意得， ， ∴当.时，月销售利润最大，最大值为6125． 答：该品牌头盔每个涨价元时，月销售利润最大，最大利润是6125元． 73．（2025·贵州黔东南·二模）为了提高广大人民群众的生活品质，使劣质高芥酸菜籽油变革成大宗植物油中营养品质最好的低芥酸菜籽油，省农科院油料所计划用基地的甲、乙两区农田进行菜籽试种，甲区的农田比乙区的农田多100亩，甲区农田的和乙区全部农田均适宜试种，且两区适宜试种农田的面积刚好相同． (1)求甲、乙两区各有农田多少亩； (2)在甲、乙两区适宜试种的农田全部种上菜籽后，为加强菜籽的虫害治理，基地派出一批性能相同的无人机，对试种农田喷洒除虫药·由于两区地势差别，派往乙区的无人机架次是甲区的1.2倍（每架次无人机喷洒时间相同），喷洒任务完成后，发现派往甲区的每架次无人机比乙区的平均多喷洒亩，求派往甲区每架次无人机平均喷洒多少亩． 【答案】(1)甲区有农田500亩，乙区有农田 400亩 (2)派往甲区每架次无人机平均喷洒100亩 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设乙区有农田x亩，则甲区有农田亩，根据甲区农田的和乙区全部农田均适宜试种，且两区适宜试种农田的面积刚好相同建立方程，解方程即可得； （2）设派往甲区每架次无人机平均喷洒y亩，则派往乙区每架次无人机平均喷洒亩，根据派往乙区的无人机架次是甲区的1.2倍（每架次无人机喷洒时间相同），再建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：设乙区有农田x亩，则甲区有农田亩． 根据题意得 ， 解得， ∴． 答：甲区有农田500亩，乙区有农田 400亩． （2）解：设派往甲区每架次无人机平均喷洒y亩，则派往乙区每架次无人机平均喷洒亩． 根据题意得， 解得 ． 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意． 答：派往甲区每架次无人机平均喷洒100亩． 74．（2025·贵州贵阳·二模）茶产业是遵义市的特色优势产业和主导产业．某商店用1200元购进A种茶叶若干盒，用600元购进B种茶叶若干盒，所购A种茶叶比B种茶叶多10盒，且每盒A种茶叶的进价是每盒B种茶叶进价的1.5倍．求每盒A种茶叶和每盒B种茶叶的进价分别为多少元． 根据题意，小红、小星两名同学分别列出如下方程： 小红：．小星：． (1)小红所列方程中的x表示_______，小星所列方程中的y表示_______； (2)请你任选一个同学的方程解决问题． 【答案】(1)每盒B种茶叶的进价，A种茶叶的数量 (2)见解析 【分析】本题主要考查了分式方程在实际问题中的应用，涉及到进价、数量、总价之间的关系，熟练掌握“总价 = 单价×数量”以及分式方程的求解步骤（列方程、解方程、检验）是解题的关键． （1）分析小红和小星所列方程的含义，结合题目中的数量关系，确定和分别代表的量．小红的方程是根据“种茶叶盒数种茶叶盒数”列的，小星的方程是根据“种茶叶进价种茶叶进价”列的，以此判断、代表的内容． （2）若选小红的方程，先明确是种茶叶进价，是种茶叶进价，根据“总价÷单价 = 数量”，得出是种茶叶盒数，是种茶叶盒数，再利用盒数差列方程求解；若选小星的方程，是种茶叶盒数，是种茶叶盒数，根据“总价÷数量 = 单价”，得出是种茶叶进价，是种茶叶进价，再利用进价倍数关系列方程求解． 【详解】（1）解：小红的方程，表示用元购进种茶叶的盒数， ∴表示每盒种茶叶的进价；表示用元购进种茶叶的盒数 ． 小星的方程：表示种茶叶的进价， ∴表示种茶叶的数量 ． 故答案为：每盒种茶叶的进价；种茶叶的数量 ． （2）解：选择小红的方程：， 解得， 经检验：是原分式方程的解． （元）． 选择小星的方程：， 解得， 经检验：是原分式方程的解． （元）， （元）． 答：每盒A种茶叶的进价为30元，每盒B种茶叶的进价为20元． 75．（2025·贵州黔东南·二模）（1）计算： （2）下面是小星同学解不等式的过程： 解：去分母，得：．．．．．．．．．．．第一步 去括号，得：．．．．．．．．．．．第二步 移项，得：．．．．．．．．．．．．第三步 合并同类项，得：．．．．．．．．．．．第四步 系数化为1，得：．．．．．．．．．．．．第五步 ①小星同学的解答过程从第_______步开始出错； ②请写出你认为正确的解答过程． 【答案】（1）；（2）①一；② 【分析】本题考查了零指数幂，实数的混合运算，解一元一次方程. （1）先计算零指数幂，二次根式，绝对值，再计算加减即可； （2）①第一步，去分母错误； ②根据求解一元一次方程的运算法则计算即可. 【详解】解：（1）原式 （2）①第一步，去分母错误， 故答案为：一； ②解：去分母，得： 去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 系数化为1，得： 76．（2025·贵州黔东南·三模）如图1，在平面直角坐标系中中，一次函数的图象上与反比例函数的图象交于点A，与x轴负半轴交于点B，其中点A的坐标为． (1)求直线的表达式． (2)如图2，若另外有一反比例函数与直线有交点，求取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，一元二次方程根的判别式，勾股定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）把点A坐标代入反比例函数解析式中求出点A坐标，过点作轴，垂足为，利用勾股定理求出的长，进而可得点B坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）联立直线解析式和反比例函数解析式，得到一个一元二次方程，利用判别式求解即可． 【详解】（1）解；点在反比例函数的图像上， ∴ ， 点的坐标为， 过点作轴，垂足为 ， ， 点的坐标为， 把点代入得： 解得： 一次函数的解析式为：； （2）解：联立得到 整理的：， ∴， 解得：， ． 77．（2025·贵州黔东南·一模）如图，某工厂与，两地有公路和铁路相连．该工厂从地购买1000元/吨的原料运回工厂，加工成8000元/吨的产品运到地．已知公路的运价为元/（吨·km），铁路的运价为元/（吨·km）． (1)从地运回吨原料到工厂，需要的运费是多少？（用含的代数式表示） (2)若其中一批原料，从地运回工厂，到加工成产品运到地，两次运输共支出公路运费16500元，铁路运费93000元．这一批原料为多少吨？每吨原料能加工成的产品的重量是多少？ 【答案】(1)需要的运费是元 (2)这一批原料有500吨，每吨原料能加工成的产品的重量是吨 【分析】本题主要考查了列代数式，利用二元一次方程组解决实际问题，解题的关键是列出未知数，找准等量关系． （1）根据题意，列代数式，合并同类项即可； （2）设这一批原料有吨，加工成的产品有吨，根据所需的费用列出方程组进行求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得（元）， 答：需要的运费是元； （2）解：设这一批原料有吨，加工成的产品有吨， 解得 ， 答：这一批原料有500吨；每吨原料能加工成的产品的重量是吨． 78．（2025·贵州遵义·三模）某水果商收购了120吨水果打算运往外省售卖，现有甲、乙、丙三种车型供选择，且要求每辆车均满载，每辆车的运载量和运费如下表所示： 车型 甲 乙 丙 运载量/（吨/辆） 5 8 10 运费/（元/辆） 300 400 500 (1)若全部水果都用甲、乙两种车型车辆来运送，所需运费为6400元，则需甲、乙两种车型车辆各多少辆？ (2)该水果商决定从甲、乙、丙三种车型中至少选择两种车型车辆来运送，已知它们的总辆数为18辆，请通过列方程的方法求出符合题意的运送方案． 【答案】(1)需甲车型车辆8辆，乙车型车辆10辆 (2)共有3种运送方案： 方案1：使用甲车型车辆12辆，丙车型车辆6辆； 方案2：使用甲车型车辆10辆，乙车型车辆5辆，丙车型车辆3辆； 方案3：使用甲车型车辆8辆，乙车型车辆10辆 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．熟练掌握单价与单价和数量的关系，总吨数与每辆车载重和车辆数的关系，是解题的关键．二元一次方程的解有无数组，但在限定条件下，往往可以求出其整数解；求二元一次方程的整数解，在问题不是特别复杂的条件下，可以采用枚举法，即将其中一个未知数在可以取值的范围内的数一一列出来，求出对应的另一个未知数的值，并找出符合题意的整数解． （1）设需甲车型x辆，乙车型y辆，根据120吨水果和6400元运费列方程组求解； （2）设需甲车型m辆，乙车型n辆，丙车型辆，根据水果120吨，18辆车列二元一次方程，结合未知数的实际意义求解. 【详解】（1）解：（1）设需甲车型车辆x辆，乙车型车辆y辆． 根据题意，得 解得 答：需甲车型车辆8辆，乙车型车辆10辆． （2）解：设使用甲车型车辆m辆，乙车型车辆n辆，则使用丙车型车辆辆． 根据题意，得， ． 均为非负整数， 或或 ∴共有3种运送方案： 方案1：使用甲车型车辆12辆，丙车型车辆6辆； 方案2：使用甲车型车辆10辆，乙车型车辆5辆，丙车型车辆3辆； 方案3：使用甲车型车辆8辆，乙车型车辆10辆 79．（2025·贵州贵阳·二模）象棋是一种源自中国的传统棋类游戏，具有悠久的历史和深厚的文化底蕴．九年级（1）班利用课余时间开展象棋比赛，班主任要求每个选手都与其他选手恰好比赛一局，信息如下： (1)若该班级共有n个参赛选手，则每个选手都要与_______个选手比赛一局，比赛总共有______局； (2)求这次比赛共有多少个选手参加？ 【答案】(1) (2)45个 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，正确的列出方程，是解题的关键： （1）根据题意，列出代数式即可； （2）根据每局比赛必得2分，以及所获总分，列出一元二次方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：该班级共有n个参赛选手，则每个选手都要与个选手比赛一局，比赛总共有局； （2）设这次比赛共有个选手参加，依题意，得， 解方程，得（不符合题意，舍） 答：这次比赛共有45个选手参加． 80．（2025·贵州六盘水·二模）在2025年的春晚舞台上，来自宇树科技的机器人扭秧歌表演惊艳了无数观众．某商家推出A、B两种机器人模型，买2个模型3个模型共需120元；买3个模型，1个模型共需110元． (1)求模型和模型的销售单价各是多少元？ (2)某公司计划购买A、B两种模型共100个作为团建活动的奖品．商家给出两种优惠方案．甲方案为：按标价的八折销售；乙方案为：花288元成为会员后，可按标价的7折销售，购买多少个模型时，两种方案费用相同． 【答案】(1)购买模型的销售单价为元，模型的销售单价为元 (2)购买个模型时，两种方案费用相同 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，一元一次方程的应用，熟知等量关系列出方程是解题的关键． （1）设模型的销售单价为元，模型的销售单价为元，根据题意列方程即可； （2）设购买种模型个，则购买种模型个，表示出两种方案需要价格，列方程即可解答． 【详解】（1）解：设模型的销售单价为元，模型的销售单价为元， 可得， 解得， 答：购买模型的销售单价为元，模型的销售单价为元； （2）解：设购买种模型个，则购买种模型个， 则可得， 解得， 答：购买个模型时，两种方案费用相同． 试卷第48页，共48页 试卷第47页，共48页 学科网（北京）股份有限公司 $$