2.8 对数函数（讲义）-2026届高三数学一轮复习

2.8 对数函数 知识梳理 一．对数函数的概念 1. 定义：一般地，我们把函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 2. 对数函数的特征： 特征 如：函数y＝log7x是对数函数，而函数y＝－3log4x和y＝logx2均不是对数函数 典例剖析 【考点一 对数函数的定义】 【总结归纳】指数函数的特征 特征 【注】化简后再判断 【题型一 对数函数的定义与解析式】 1．函数是对数函数，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】需要满足对数函数的系数为，同时对数函数的底数要满足大于且不等于，真数大于等条件，然后据此逐步求出的值. 【详解】由解得或，又，且，所以 故选：B. 【变式】（24云南昆明高一上月考）已知函数且，若的图象过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据求出的值，可得出函数的解析式，然后代值计算可得出的值. 【详解】由题意可得，可得，解得，所以，， 因此，. 故选：B. 二．对数函数的图象与性质知识梳理 1．对数函数的图象与性质 定义 函数且叫做对数函数 图象 1 1 过定点 图象过定点，即当时，. 定义域 值域 奇偶性 非奇非偶 单调性 在上是增函数 在上是减函数 2．指数函数与对数函数的性质比较 解析式 y＝ax(a＞0，且a≠1) y＝logax(a＞0，且a≠1) 性 质 定义域 R (0，＋∞) 值域 (0，＋∞) R 过定点 (0,1) (1,0) 单调性 单调性一致，同为增函数或减函数 奇偶性 奇偶性一致，都既不是奇函数也不是偶函数 典例剖析 【考点二 对数函数的图象及应用】 【题型一 对数型函数过定点】 【归纳总结】对数型函数过定点：令真数部分=1 2．已知函数（，）的图象恒过定点，若点也在函数的图象上，则 ． 【答案】 【分析】通过对数函数的性质求出定点的坐标，再将点坐标代入函数求出的值，最后把代入得出结果. 【详解】对于函数，因为恒成立. 令，解得 把代入函数，解得. 所以函数过定点. ，. 故. 所以． 故答案为：. 【变式】（25河南高三下联考）函数过定点A，若，则的最小值为（    ）． A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出点的坐标，进而求出的关系式，再借助＂1＂的妙用计算作答． 【详解】当，即时，恒有，即过定点， 因为，所以点在上， 则，且， 于是得， 当且仅当，即时取＂＂，由且得：， 所以当时，取得最小值8． 故选：C 【题型二 对数函数的图象特征】 【归纳总结】对数函数的图象特征 1.底数对图象的影响： （1）图象“上升”或“下降”确定底数a>1或0<a<1 （2）在一象限，“底大图高” 2.同一坐标系内，底数的大小比较 （1）画线法：y=1 （2）口诀法：在一象限，“底大图高” （3）分段法：先根据图象“上升”或“下降”确定底数a>1或0<a<1，再根据图象特征判断，底数越大，越靠近x轴 3．（内蒙古高一上期中）图中曲线分别表示的图像，，的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在坐标系中，令，根据与函数交点的横坐标的大小得到结论. 【详解】如图所示： 当时，， 因为， 所以 故选：C 4．函数与的图象只可能是下图中的（   ） A．  B． C．D．   【答案】C 【分析】由一次函数图象得出的取值范围，利用对数函数的图象和性质逐项判断可得. 【详解】A中，由的图象知，则为增函数，A错； B中，由的图象知，则为减函数，B错； C中，由的图象知，则为减函数，所以C对； D中，由的图象知，此时无意义，D错． 故选：C. 【变式】（25湖南长沙高三下模拟）已知，且，则函数与的图象可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】依题意可得，再由指数函数和对数函数单调性即可判断得出结论. 【详解】由可知，， 故，故函数与函数的单调性相同， 故选：B. 5．（24黑龙江牡丹江高一上联考）若函数的图象经过第一、二、三象限，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据底数大于1的对数函数的性质，得出满足条件的图象只需满足即可得解. 【详解】根据对数函数的性质可知，函数在定义域上单调递增， 要使函数的图象经过第一、二、三象限， 则，即，所以， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【考点三 对数函数的性质】 【题型一 对数型函数的定义域】 6．（25江苏淮安高二下期末）求下列函数的定义域 （1） 【答案】 【分析】根据对数函数中真数大于零列不等式求解即可. 【详解】要使函数有意义， 则，解得或， 所以函数的定义域为. （2） 【答案】 【分析】根据函数解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可． 【详解】由，解得，且， 所以函数的定义域为. 故答案为：. （3） 【答案】 【分析】根据题意得解出即可. 【详解】由题意有或， 所以，（25湖南株洲高三下模拟） 故答案为：. （根据定义域求参） 7．（25湖北恩施高三下模拟）若函数定义域为，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】应用一元二次不等式恒为正分两种情况计算求解. 【详解】对一切实数均成立， 所以当时，显然成立； 当时，， 解得； 故的取值范围为. 故答案为： 【题型二 指数型函数的值域】 （求值域）→ 复合函数求值域 8．（25湖南株洲高三下模拟）函数的值域是 . 【答案】 【分析】先得到二次函数的值域，再结合对数函数的单调性，即可得到结果. 【详解】对于，对称轴为， 所以， 又在上单调递增，其中， 所以当时，取得最小值，即， 所以，即函数的值域为. 故答案为： 【变式】（24重庆八中高一上期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式求的范围，结合对数的性质求复合函数定义域，判断端点值是否可取，进而确定值域. 【详解】由，当且仅当时等号成立， 所以，故值域为. 故选：D 9．（24安徽高一上期末）函数的值域为 ． 【答案】 【分析】由及对数函数的性质，可得到的取值范围，进而得到的取值范围，从而得到的取值范围，即可求得函数的值域. 【详解】因为，所以，， 所以，即的值域为． 故答案为：. 【变式】（25湖南岳阳高一上期末）已知函数，，则函数的值域为 ． 【答案】 【分析】由原函数和所求函数求得其定义域，化简所求函数解析式，利用换元，得到一元二次函数，结合其图象性质即可求得函数值域. 【详解】因，，， 则由，解得：， 即函数的定义域为， 设，则，且在上单调递增， 故当时，即时，；当，即时，， 因，故函数的值域为. 故答案为：. 10．（25河北邯郸高二下期末）已知，函数则的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算分段函数在每一段上的值域，求并集可得结果. 【详解】当时，，在上为减函数， 所以. 当时，， 因为，所以在上为增函数， 所以. 综上得，的值域为. 故选：C. （根据值域求参） 11．（25陕西西安高二下学业水平测试）若函数的值域为，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D．] 【答案】D 【分析】令，等价于的值域能取到内的任意实数即可， 【详解】令，等价于的值域能取到内的任意实数， 若，则，符合题意， 若，则需，解得，∴a的范围为， 故选：D． 12．（25湖北高一下月考）已知函数的值域为，其中且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别计算分段函数在每段上的值域，再取并集，根据并集为即可求出范围. 【详解】因在上单调递增，故， 若，则在上单调递减， 因，故， 此时不满足值域为； 若，则在上单调递增， 因，故， 若值域为，则，即， 综上，实数a的取值范围是. 故选：A 【题型三 对数型函数的单调性】 （求单调区间）→复合函数求单调区间 13．（24天津高一上月考）已知函数的单调递增区间为 ． 【答案】 【分析】求出函数的定义域，再利用二次函数、对数函数及复合函数单调性求出递增区间. 【详解】函数有意义，，解得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 而函数在上单调递减， 所以函数的单调递增区间是. 故答案为： 【变式】（25湖南涟源高一下月考）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数定义域，由复合函数的单调性法则，外函数是增函数，要求函数的递增区间，则求内函数递增区间即可. 【详解】由题得由，得， 解得，即函数定义域为， 因为函数是增函数，故求函数的单调递增区间即求函数在上的单调递增区间， 令，则， 所以函数的递增区间为. 故选：D. （根据单调性求参） 14．（25广东深圳高一下期末）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据对数函数的单调性确定函数的单调区间，结合对数函数的定义域可求出答案. 【详解】因为函数在区间上单调递增， 所以在区间上单调递增，且在区间上恒成立. 所以，解得. 故选：A. 【变式1】（25广西高一下月考）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用对数型复合函数单调性，结合定义域列式求解. 【详解】函数在上单调递减，而函数在上单调递减， 则函数在上单调递增，且恒有， 因此且，解得， 所以的取值范围为. 故选：D 【变式2】（25重庆南开高二下期末）已知，，若函数在单调递增，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据复合函数单调性的判断方法，以及函数定义域，对参数分类讨论，分别求出单调性的情况，求出参数范围. 【详解】由题意知，化简得，因为且，所以， 且在上，单调递增， 所以当函数在有定义时，即， 当时，函数在定义域上单调递增，在上也单调递增，满足题意， 所以的取值范围是. 故答案为： 15．（25甘肃白银高三下模拟）已知是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由分段函数的单调性得到求解即可. 【详解】由是R上的单调递增函数， 可得：， 解得：， 所以实数a的取值范围为， 故答案为： 【题型四 对数型函数的奇偶性】 16．（25贵州贵阳高二下月考）函数为定义在上的奇函数，当时，，则（   ） A．20 B．21 C．－20 D．－21 【答案】C 【分析】由函数的奇偶性知，令带入相应解析式即可求得，取其相反数即可. 【详解】， 因为为定义在上的奇函数，所以. 故选：C. 【变式】（24天津河西高三上期末）已知函数的定义域为是偶函数，是奇函数，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据是偶函数和是奇函数，分别得到，，联立求得即可. 【详解】解：因为函数的定义域为是偶函数， 所以， 又因为是奇函数， 所以， 两式联立，解得， 所以， 故选：C 17．（25湖南高二下月考）已知为奇函数，则a的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据奇函数的性质来建立等式，进而求出的值. 【详解】已知为奇函数，则. 先求， 因为，所以， 即， 两边同时减去可得：， 根据对数的运算法则， 则，所以， 交叉相乘可得：，化简得， 即，那么，所以，解得. 当时，，无意义，舍去. 当时，，此时函数有意义，所以. 故选：D. 【变式】（25河北高三下模拟）已知是偶函数，则的取值为 ． 【答案】 【分析】由题意得，代入解出即可. 【详解】由题意有，即， 所以，所以， 解得，解得， 故答案为：. 【考点四 对数函数性质的应用】 【题型一 比较大小】 【归纳总结】比较对数值大小时常用的四种方法 (1)同底数 → 利用对数函数的单调性． (2)同真数 → 利用对数函数的图象或用换底公式转化． (3)底数和真数都不同 → 找中间量． (4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论． 【注】比较数的大小时先利用性质比较出与0或1的大小． 18．（24天津高三上诊断考试）三个数的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用幂函数、对数函数的性质比较大小即得. 【详解】依题意，， 所以. 故选：D 【练习】（25河南洛阳高一下期末）已知，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用中间值法，根据指数函数与对数函数的单调性，可得答案. 【详解】由题意可得，，， 所以，即. 故选：D. 19．（24福建福州高三上月考）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用对数函数、幂函数性质比较大小. 【详解】依题意，，， 所以. 故选：A 【变式】（25河南濮阳高一下期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】初步可确定，，利用对数的运算性质可得，得到，即. 【详解】由单调递减，则， ， 又，则， 所以. 故选：A. 【题型二 解不等式】 20．（24江苏张家港高一上期末）已知函数，且，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性、单调性，由得，可得答案. 【详解】因为，所以函数的定义域为， 则定义域关于原点对称，且， 所以为偶函数， 又时，是单调递增函数，而是单调递减函数， 所以是单调递减函数， 根据对称性知时，所以是单调递增函数， 函数中，， 由得，解得或. 故选：D. 【变式】（25辽宁高三下模拟）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得函数的定义域，判断奇偶性，再单调性的定义判断函数的单调性，进而求解不等式. 【详解】由，解得，即函数的定义域为， 由，则， 所以函数为偶函数，图象关于轴对称， 当时，函数， 由于函数在上单调递增， 且，则， 对于任意的、，且，即， 所以，，所以，，即, 所以函数在上单调递增，则函数在上单调递减， 由，则， 解得，即不等式的解集为. 故选：A. 21．（24上海高一上期末）已知函数，若，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】判断函数的单调性，根据其单调性解不等式，可得答案. 【详解】当时，，函数单调递增， 当时，， 由复合型对数函数的单调性“同增异减”可知，函数单调递增， 作出函数大致图象如图： 所以函数是定义在R上的增函数， 因此,不等式等价于， 解得， 故答案为：. 【变式】（25天津南开高二下月考）函数，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分析分段函数的单调性，可知在上是增函数，结合单调性和定义域列出不等式组，即得解 【详解】令，由于在区间上单调递减， 在定义域单调递减，由复合函数的单调性可知：在区间上单调递增， 又在区间上单调递增， 且函数在处连续，所以在区间上是增函数， 由，得,解得：， 故选：D 第 2 页 共 19 页 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.8 对数函数 知识梳理 一．对数函数的概念 1. 定义：一般地，我们把函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 2. 对数函数的特征： 特征 如：函数y＝log7x是对数函数，而函数y＝－3log4x和y＝logx2均不是对数函数 典例剖析 【考点一 对数函数的定义】 【总结归纳】指数函数的特征 特征 【注】化简后再判断 【题型一 对数函数的定义与解析式】 1．函数是对数函数，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式】（24云南昆明高一上月考）已知函数且，若的图象过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 二．对数函数的图象与性质知识梳理 1．对数函数的图象与性质 定义 函数且叫做对数函数 图象 1 1 过定点 图象过定点，即当时，. 定义域 值域 奇偶性 非奇非偶 单性 在上是增函数 在上是减函数 2．指数函数与对数函数的性质比较 解析式 y＝ax(a＞0，且a≠1) y＝logax(a＞0，且a≠1) 性 质 定义域 R (0，＋∞) 值域 (0，＋∞) R 过定点 (0,1) (1,0) 单调性 单调性一致，同为增函数或减函数 奇偶性 奇偶性一致，都既不是奇函数也不是偶函数 典例剖析 【考点二 对数函数的图象及应用】 【题型一 对数型函数过定点】 【归纳总结】对数型函数过定点：令真数部分=1 2．已知函数（，）的图象恒过定点，若点也在函数的图象上，则 ． 【变式】（25河南高三下联考）函数过定点A，若，则的最小值为（    ）． A．4 B．6 C．8 D．10 【题型二 对数函数的图象特征】 【归纳总结】对数函数的图象特征 1.底数对图象的影响： （1）图象“上升”或“下降”确定底数a>1或0<a<1 （2）在一象限，“底大图高” 2.同一坐标系内，底数的大小比较 （1）画线法：y=1 （2）口诀法：在一象限，“底大图高” （3）分段法：先根据图象“上升”或“下降”确定底数a>1或0<a<1，再根据图象特征判断，底数越大，越靠近x轴 3．（内蒙古高一上期中）图中曲线分别表示的图像，，的关系是（    ） A． B． C． D． 4．函数与的图象只可能是下图中的（   ） A．  B． C．D．   【变式】（25湖南长沙高三下模拟）已知，且，则函数与的图象可能是（    ） A．B．C．D． 5．（24黑龙江牡丹江高一上联考）若函数的图象经过第一、二、三象限，则实数a的取值范围为 . 【考点三 对数函数的性质】 【题型一 对数型函数的定义域】 6．（25江苏淮安高二下期末）求下列函数的定义域 （1） （2） （3） （根据定义域求参） 7．（25湖北恩施高三下模拟）若函数定义域为，则a的取值范围是 . 【题型二 指数型函数的值域】 （求值域）→复合函数求值域 8．函数的值域是 . 【变式】（24重庆八中高一上期末）函数的值域为（     ） A． B． C． D． 9．（24安徽高一上期末）函数的值域为 ． 【变式】（25湖南岳阳高一上期末）已知函数，，则函数的值域为 ． 10．（25河北邯郸高二下期末）已知，函数则的值域为（   ） A． B． C． D． （根据值域求参） 11．（25陕西西安高二下学业水平测试）若函数的值域为，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D．] 12．（25湖北高一下月考）已知函数的值域为，其中且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型三 对数型函数的单调性】 （求单调区间）→复合函数求单调区间 13．（24天津高一上月考）已知函数的单调递增区间为 ． 【变式】（25湖南涟源高一下月考）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． （根据单调性求参） 14．（25广东深圳高一下期末）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25广西高一下月考）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25重庆南开高二下期末）已知，，若函数在单调递增，则实数的取值范围是 . 15．（25甘肃白银高三下模拟）已知是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为 ． 【题型四 对数型函数的奇偶性】 16．（25贵州贵阳高二下月考）函数为定义在上的奇函数，当时，，则（   ） A．20 B．21 C．－20 D．－21 【变式】（24天津河西高三上期末）已知函数的定义域为是偶函数，是奇函数，则（    ） A．2 B． C．3 D． 17．（25湖南高二下月考）已知为奇函数，则a的值为（    ） A． B． C．1 D． 【变式】（25河北高三下模拟）已知是偶函数，则的取值为 ． 【考点四 对数函数性质的应用】 【题型一 比较大小】 【归纳总结】比较对数值大小时常用的四种方法 (1)同底数 → 利用对数函数的单调性． (2)同真数 → 利用对数函数的图象或用换底公式转化． (3)底数和真数都不同 → 找中间量． (4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论． 【注】比较数的大小时先利用性质比较出与0或1的大小． 18．（24天津高三上诊断考试）三个数的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【练习】（25河南洛阳高一下期末）已知，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 19．（24福建福州高三上月考）已知，则（ ） A． B． C． D． 【变式】（25河南濮阳高一下期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【题型二 解不等式】 20．（24江苏张家港高一上期末）已知函数，且，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式】（25辽宁高三下模拟）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 21．（24上海高一上期末）已知函数，若，则的取值范围为 ． 【变式】（25天津南开高二下月考）函数，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 第 2 页 共 19 页 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $$