第二十五章 锐角的三角比（单元测试·基础卷）数学沪教版五四制九年级上册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九级上册数学单元检测卷 第二十五章 锐角的三角比·基础通关 建议用时：100分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 1．下列实数中，不是有理数的是（    ） A． B． C． D． 2．在中，，，，那么的值是（    ） A． B． C． D． 3．在中，，如果，，那么的长是（   ）    A． B． C． D． 4．一架飞机在离地面6000米的上空测得某一建筑物底部的俯角为30°，此时这架飞机与这一建筑物底部之间的距离是（    ） A．6000米 B．12000米 C．米 D．米 5．如图，河对岸有一座建筑物，在C，D（C、D、B在同一直线上）处用测角仪器分别测得顶部A的仰角为，．已知米，建筑物高是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 6．将图1所示的七巧板，拼成图2所示的四边形，连接，则（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，共48分） 7．的 值等于． 8．已知，那么 ． 9．计算： ． 10．在Rt中，，如果，那么 11．在地铁施工期间，交管部门在施工路段设立了矩形路况警示牌（如图所示），已知立杆的高度是米，从侧面测到路况警示牌顶端点和低端点的仰角分别是和，则路况警示牌宽的值为 ． 12．平面直角坐标系内一点，联结，则线段与y轴夹角的正弦值为 ． 13．在中，，，则 ． 14．在中，，，垂足为点，，，那么的长为 15．如图，为了测量河宽（假设河的两岸平行），测得，，米，则河宽为 米（结果保留根号）． 16．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，它恰好能按图示方式被分割成四个全等的直角梯形，则AB：BC＝ ． 17．已知直线，相邻的两条平行直线间的距离均为，矩形的四个顶点分别在这四条直线上，放置方式如图所示，，则 ． 18．如图，在菱形中，对角线、交于点，点是的中点，联结．如果，，那么 ． 三、解答题（本大题共7小题，共78分） 19．（10分）计算：（1）sin260°-tan30°•cos30°+tan45°； （2）． 20．（10分）如图，在中，已知，，，解这个直角三角形． 21．如图，在△ABC中 （1）作图，作BC边的垂直平分线分别交于AC，BC于点D，E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法） （2）在（1）条件下，连接BD，若BD＝9，BC＝12，求∠C的余弦值． 22．（10分）如图，在中，，，． (1)求的长； (2)求的面积（结果保留根号）． 23．（12分）2023年10月中旬，中国航天迎来了令人振奋的时刻，神舟十七号飞船在酒泉卫星发射中心点火发射，发射取得圆满成功．如图所示，飞船从地面L处发射，在距离L处的地面雷达站R处测得：当飞船到达A点时，飞船底部与地面的仰角为，一秒后，雷达站测得飞船底部与地面的仰角为，问飞船从A点飞到B点的平均速度是多少？（雷达高度忽略不计，） 24．（12分）如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝1，BC＝3，AB＝CD＝2，点E在BC边上，AE与BD交于点F，∠BAE＝∠DBC， （1）求证：△ABE∽△BCD； （2）求tan∠DBC的值； （3）求线段BF的长． 25．（14分）如图，已知四边形ABCD是矩形，cot∠ADB＝，AB＝16．点E在射线BC上，点F在线段BD上，且∠DEF＝∠ADB． （1）求线段BD的长； （2）设BE＝x，△DEF的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出函数定义域； （3）当△DEF为等腰三角形时，求线段BE的长． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第二十四章 锐角的三角比·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C B D B A C 二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，共48分） 7．正切 8． 9．/ 10．60°/60度 11．米 12．/ 14． 15． 16． 17．/ 18． 三、解答题（共9小题，共78分） 19（10分）．解：（1）原式= （3分） = =．（5分） （2）原式= （7分） = =- =-（10分） 20．（10分）解：在中， ∵，，， ∴（6分） ∵ ∴ ∴（10分） 21．（10分）解：（1）如图所示，直线DE为所求；（5分） （2）∵DE是BC的垂直平分线， ∴EC＝BC＝6，BD＝CD＝9，（7分） ∴cos∠C＝＝＝．（10分） 22．（10分）解：（1）过点作于．（1分） 在中， ，， ，（3分） ∵在中，， ；（5分） （2）∵在中，， ，（7分） 在中，根据勾股定理， ， 的面积．（10分） 23．（12分）解：在中，，，， ∴，（3分） 在中，，，， ∴，（6分） ∴， ∴飞船从A点飞到B点的平均速度是．（12分） 24． （12分）解：（1）∵梯形ABCD是等腰梯形， ∴∠ABC＝∠C，（2分） 又∵∠BAE＝∠DBC， ∴△ABE∽△BCD；（4分） （2） 过D作DG⊥BC，如图： 则CG=,（6分） ∴, BG=2， ∴;（8分） (3) ∵△ABE∽△BCD， ∴, ∴ ∴BE,又, （10分） ∵AD∥BC， ∴， ∴, ∴.（12分） 25．（14分）解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=90°，（2分 在Rt△BAD中，，AB=16， ∴AD=12∴；（4分） （2）∵AD∥BC， ∴∠ADB=∠DBC， ∵∠DEF=∠ADB， ∴∠DEF=∠DBC， ∵∠EDF=∠BDE， ∴△EDF∽△BDE， ∴，（7分） ∵BC=AD=12，BE=x， ∴CE=|x﹣12|， ∵CD=AB=16 ∴在Rt△CDE中，， ∵， ∴， ∴，定义域为0＜x≤24（10分） （3）∵△EDF∽△BDE， ∴当△DEF是等腰三角形时，△BDE也是等腰三角形，（11分） ①当BE=BD时 ∵BD=20， ∴BE=20（12分） ②当DE=DB时， ∵DC⊥BE，∴BC=CE=12， ∴BE=24；（13分） ③当EB=ED时，作EH⊥BD于H，则BH=，cos∠HBE=cos∠ADB， 即 ∴， 解得：BE=；（14分） 答案第1页，共2页 答案第1页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 22025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第二十五章 锐角的三角比·基础通关 建议用时：100分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 1．下列实数中，不是有理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：A、是有理数，故本选项不符合题意； B、为循环小数，是有理数，故本选项不符合题意； C、是无理数，故本选项符合题意； D、是有理数，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．在中，，，，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：根据题意，得． 故选：B． 3．在中，，如果，，那么的长是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：如图，   ， 在中，， ． 故选：D． 4．一架飞机在离地面6000米的上空测得某一建筑物底部的俯角为30°，此时这架飞机与这一建筑物底部之间的距离是（    ） A．6000米 B．12000米 C．米 D．米 【答案】B 【解析】解：由题意，得：这架飞机与这一建筑物底部之间的距离是米； 故选B． 5．如图，河对岸有一座建筑物，在C，D（C、D、B在同一直线上）处用测角仪器分别测得顶部A的仰角为，．已知米，建筑物高是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【解析】解：设， ∵在中，， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得 ，即， 故选：A． 6．将图1所示的七巧板，拼成图2所示的四边形，连接，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：如图，设等腰直角的直角边为，则，小正方形的边长为， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，过点作的延长线于点，则，， 由图（）可得，，， ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，共48分） 7．的 值等于． 【答案】正切 【解析】解：因为， 所以的正切值等于， 故答案为：正切 8．已知，那么 ． 【答案】 【解析】解：如图，△ABC中，∠C=90°，∠B=α， ∵， ∴设AC=4x，BC=3x， ∴AB==5x， ∴sinα==， 故答案为：． 9．计算： ． 【答案】/ 【解析】解： 故答案为：． 10．在Rt中，，如果，那么 【答案】60°/60度 【解析】解：在Rt中，，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：60° 11．在地铁施工期间，交管部门在施工路段设立了矩形路况警示牌（如图所示），已知立杆的高度是米，从侧面测到路况警示牌顶端点和低端点的仰角分别是和，则路况警示牌宽的值为 ． 【答案】米 【解析】∵在直角△ABD中,∠BDA=45°， ∴AD=AB=6(米)， 在直角△ADC中,tan∠CDA=， ∴AC=AD⋅tan∠CDA=6×tan60°=6 (米) 则BC=AC−AB=6(−1)米 故答案是6(−1)米 12．平面直角坐标系内一点，联结，则线段与y轴夹角的正弦值为 ． 【答案】/ 【解析】解：作轴于B，    ∵点A的坐标为， ∴， ∴， ． 故答案为：． 13．在中，，，则 ． 【答案】 【解析】解：∵，， 设，则，， ∴， 故答案为：． 14．在中，，，垂足为点，，，那么的长为 【答案】 【解析】解：如图， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15．如图，为了测量河宽（假设河的两岸平行），测得，，米，则河宽为 米（结果保留根号）． 【答案】 【解析】解：，， ， 米， 在中， (米)． 故答案是：． 16．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，它恰好能按图示方式被分割成四个全等的直角梯形，则AB：BC＝ ． 【答案】 【解析】解：如图连接EC，设AB＝a，BC＝b则CD＝2b． 由题意四边形ABCE是矩形， ∴CE＝AB＝a，∠A＝∠AEC＝∠CED＝90°， ∵∠BCF＝∠DCF＝∠D， 又∵∠BCF+∠DCF+∠D＝180°， ∴∠D＝60°， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为． 17．已知直线，相邻的两条平行直线间的距离均为，矩形的四个顶点分别在这四条直线上，放置方式如图所示，，则 ． 【答案】/ 【解析】解：如下图，设与的交点为， ，相邻的两条平行直线间的距离均为， ，， ，矩形的四个顶点分别在这四条直线上， ， 在中，， 则， 故答案为： 18．如图，在菱形中，对角线、交于点，点是的中点，联结．如果，，那么 ． 【答案】 【解析】解：在菱形中，是的中点， 也是对角线的交点，且与垂直平分， 、分别是、的中点， ∴， ∴ 在中，，, ∴ 故答案为： 三、解答题（本大题共7小题，共78分） 19（10分）．计算：（1）sin260°-tan30°•cos30°+tan45°； （2）． 【答案】（1）（2）- 【解析】解：（1）原式= = =． （2）原式= = =- =- 20（10分）．如图，在中，已知，，，解这个直角三角形． 【答案】，， 【解析】 解：在中， ∵，，， ∴ ∵ ∴ ∴ 21．（10分）如图，在△ABC中 （1）作图，作BC边的垂直平分线分别交于AC，BC于点D，E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法） （2）在（1）条件下，连接BD，若BD＝9，BC＝12，求∠C的余弦值． 【答案】(1)见解析;(2) 【解析】解：（1）如图所示，直线DE即为所求； （2）∵DE是BC的垂直平分线， ∴EC＝BC＝6，BD＝CD＝9， ∴cos∠C＝＝＝． 22．（10分）如图，在中，，，． (1)求的长； (2)求的面积（结果保留根号）． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：过点作于． 在中， ，， ， ∵在中，， ； （2）∵在中，， ， 在中，根据勾股定理， ， 的面积． 23．（12分）2023年10月中旬，中国航天迎来了令人振奋的时刻，神舟十七号飞船在酒泉卫星发射中心点火发射，发射取得圆满成功．如图所示，飞船从地面L处发射，在距离L处的地面雷达站R处测得：当飞船到达A点时，飞船底部与地面的仰角为，一秒后，雷达站测得飞船底部与地面的仰角为，问飞船从A点飞到B点的平均速度是多少？（雷达高度忽略不计，） 【答案】 【解析】解：在中，，，， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， ∴飞船从A点飞到B点的平均速度是． 24．（12分）（本题满分12分， 第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分） 如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝1，BC＝3，AB＝CD＝2，点E在BC边上，AE与BD交于点F，∠BAE＝∠DBC， （1）求证：△ABE∽△BCD； （2）求tan∠DBC的值； （3）求线段BF的长． 【答案】（1） (2) (3) 【解析】解：（1）因为梯形ABCD是等腰梯形，所以∠ABC＝∠C，又∠BAE＝∠DBC，所以△ABE∽△BCD；（2）过D作DG⊥BC，如图：则CG=,所以, BG=2，所以;(3) 因为△ABE∽△BCD，所以,所以所以BE,又, 因为AD∥BC，所以，所以,所以. 25．（14分）如图，已知四边形ABCD是矩形，cot∠ADB＝，AB＝16．点E在射线BC上，点F在线段BD上，且∠DEF＝∠ADB． （1）求线段BD的长； （2）设BE＝x，△DEF的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出函数定义域； （3）当△DEF为等腰三角形时，求线段BE的长． 【答案】（1）20；（2），定义域为0＜x≤24；（3）20或24或． 【解析】解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=90°， 在Rt△BAD中，，AB=16， ∴AD=12∴； （2）∵AD∥BC， ∴∠ADB=∠DBC， ∵∠DEF=∠ADB， ∴∠DEF=∠DBC， ∵∠EDF=∠BDE， ∴△EDF∽△BDE， ∴， ∵BC=AD=12，BE=x， ∴CE=|x﹣12|， ∵CD=AB=16 ∴在Rt△CDE中，， ∵， ∴， ∴，定义域为0＜x≤24 （3）∵△EDF∽△BDE， ∴当△DEF是等腰三角形时，△BDE也是等腰三角形， ①当BE=BD时 ∵BD=20，∴BE=20 ②当DE=DB时， ∵DC⊥BE，∴BC=CE=12， ∴BE=24； ③当EB=ED时， 作EH⊥BD于H，则BH=，cos∠HBE=cos∠ADB， 即 ∴， 解得：BE=； 试卷第2页，共20页 试卷第1页，共20页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第二十五章 锐角的三角比·基础通关 建议用时：100分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 1．下列实数中，不是有理数的是（    ） A． B． C． D． 2．在中，，，，那么的值是（    ） A． B． C． D． 3．在中，，如果，，那么的长是（   ）    A． B． C． D． 4．一架飞机在离地面6000米的上空测得某一建筑物底部的俯角为30°，此时这架飞机与这一建筑物底部之间的距离是（    ） A．6000米 B．12000米 C．米 D．米 5．如图，河对岸有一座建筑物，在C，D（C、D、B在同一直线上）处用测角仪器分别测得顶部A的仰角为，．已知米，建筑物高是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 6．将图1所示的七巧板，拼成图2所示的四边形，连接，则（ ） A． B． C． D． 2、 填空题（本大题共12小题，每小题4分，共48分） 7．的 值等于． 8．已知，那么 ． 9．计算： ． 10．在Rt中，，如果，那么 . 11．在地铁施工期间，交管部门在施工路段设立了矩形路况警示牌（如图所示），已知立杆的高度是米，从侧面测到路况警示牌顶端点和低端点的仰角分别是和，则路况警示牌宽的值为 ． 12．平面直角坐标系内一点，联结，则线段与y轴夹角的正弦值为 ． 13．在中，，，则 ． 14．在中，，，垂足为点，，，那么的长为 15．如图，为了测量河宽（假设河的两岸平行），测得，，米，则河宽为 米（结果保留根号）． 16．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，它恰好能按图示方式被分割成四个全等的直角梯形，则AB：BC＝ ． 17．已知直线，相邻的两条平行直线间的距离均为，矩形的四个顶点分别在这四条直线上，放置方式如图所示，，则 ． 18．如图，在菱形中，对角线、交于点，点是的中点，联结．如果，，那么 ． 3、 解答题（本大题共7小题，共78分） 19． （10分）  计算：（1）sin260°-tan30°•cos30°+tan45°； （2）． 20．（10分）如图，在中，已知，，，解这个直角三角形． 21．（10分）如图，在△ABC中 （1）作图，作BC边的垂直平分线分别交于AC，BC于点D，E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法） （2）在（1）条件下，连接BD，若BD＝9，BC＝12，求∠C的余弦值． 22．（10分）如图，在中，，，． (1)求的长； (2)求的面积（结果保留根号）． 23．（12分）2023年10月中旬，中国航天迎来了令人振奋的时刻，神舟十七号飞船在酒泉卫星发射中心点火发射，发射取得圆满成功．如图所示，飞船从地面L处发射，在距离L处的地面雷达站R处测得：当飞船到达A点时，飞船底部与地面的仰角为，一秒后，雷达站测得飞船底部与地面的仰角为，问飞船从A点飞到B点的平均速度是多少？（雷达高度忽略不计，） 24．（12分）如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝1，BC＝3，AB＝CD＝2，点E在BC边上，AE与BD交于点F，∠BAE＝∠DBC， （1）求证：△ABE∽△BCD； （2）求tan∠DBC的值； （3）求线段BF的长． 25．（14分）如图，已知四边形ABCD是矩形，cot∠ADB＝，AB＝16．点E在射线BC上，点F在线段BD上，且∠DEF＝∠ADB． （1）求线段BD的长； （2）设BE＝x，△DEF的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出函数定义域； （3）当△DEF为等腰三角形时，求线段BE的长． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$