专题06 方程（组）与不等式（组）（湖南专用）-【好题汇编】三年（2023-2025）中考数学真题分类汇编

专题06 方程（组）与不等式（组） 考点01 一次方程（组） 1．（2023•永州）关于x的一元一次方程2x+m＝5的解为x＝1，则m的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．7 D．﹣7 【分析】根据方程的解的定义把x＝1代入方程即可求出m的值． 【解答】解：∵x＝1是关于x的一元一次方程2x+m＝5的解， ∴2×1+m＝5， ∴m＝3， 故选：A． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，熟知：使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解． 2．（2023•益阳）某学校为进一步开展好劳动教育实践活动，用1580元购进A，B两种劳动工具共145件，A，B两种劳动工具每件分别为10元，12元．设购买A，B两种劳动工具的件数分别为x，y，那么下面列出的方程组中正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用总价＝单价×数量，结合学校用1580元购进A，B两种劳动工具共145件，可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【解答】解：∵购进A，B两种劳动工具共145件， ∴x+y＝145； ∵A，B两种劳动工具每件分别为10元，12元．且购买这批劳动工具共花费1580元， ∴10x+12y＝1580， ∴根据题意可列出方程组． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 3．（2023•衡阳）《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．” 设有x只鸡，y只兔，依题意，可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据今有鸡兔同笼，上有三十五头，可以得到x+y＝35，再根据下有九十四足，可以得到2x+4y＝94，然后即可得到相应的方程组． 【解答】解：由题意可得， ， 故选：C． 【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组． 4.（2025•长沙）衣服穿戴整不整齐，系好第一粒扣子很重要．青少年迈开人生第一步就要走正道，要严格遵守国家法律法规．同样的道理，学习数学首先就必须遵守数学中的基本法则． 例如：下面命题的推理过程所得出的错误结论就是由于不遵守数学的基本法则导致的． 命题：如果a，b，c为实数，且满足．那么． 推理过程如下： 第一步：根据上述命题条件有；    ① 第二步：根据七年级学过的整式运算法则有；    ② 第三步：把②代入①，可得；    ③ 第四步：把③两边利用移项、去括号法则、加法交换律等，变形可得；  ④ 第五步：把④两边同时除以，得．⑤ 请你判断上述推理过程中，第 步是错误的，它违背了数学的基本法则． 【答案】五 【知识点】等式的性质2 【分析】本题考查了等式的性质，熟记相关结论即可． 【详解】解：∵等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，或是等式左右两边同时乘方，等式仍然成立． ∴对于等式； 当时，该等式恒成立； 当，两边同时除以，得； ∵， ∴ ∴上述推理过程中，第五步是错误的； 故答案为：五． 5．（2024•长沙）为庆祝中国改革开放46周年，某中学举办了一场精彩纷呈的庆祝活动，现场参与者均为在校中学生，其中有一个活动项目是“选数字猜出生年份”，该活动项目主持人要求参与者从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取一个数字，先乘以10，再加上4.6，将此时的运算结果再乘以10，然后加上1978，最后减去参与者的出生年份（注：出生年份是一个四位数，比如2010年对应的四位数是2010），得到最终的运算结果．只要参与者报出最终的运算结果，主持人立马就知道参与者的出生年份．若某位参与者报出的最终的运算结果是915，则这位参与者的出生年份是 　2009　． 【分析】根据题意列出方程，再根据实际情况推理即可得解． 【解答】解：设这位参与者的出生年份x，选取的数字为m， （10m+4.6）×10+1978﹣x＝915 ∴100m+46+1978﹣x＝915， ∴x＝1109+100m， ∵此时中学生的出生时间应该在2000年后， ∴m＝9， ∴x＝2009． 故答案为：2009． 【点评】本题主要考查一元一次方程实际应用以及逻辑推理等知识，理解题意列出关系式进行推理是解题关键． 6．（2023•常德）解方程组：． 【分析】利用加减消元法求解即可． 【解答】解：①×2+②得：5x＝25， 解得：x＝5， 将x＝5代入①得：5﹣2y＝1， 解得：y＝2， 所以原方程组的解是． 【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 7．（2023•张家界）为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 45 60 租金（元/辆） 200 300 （1）参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？ （2）若租用同一种客车，要使每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？ 【分析】（1）本题中的等量关系为：45×45座客车辆数+15＝师生总数，60×（45座客车辆数﹣3）＝师生总数，据此可列方程组求出第一小题的解； （2）需要分别计算45座客车和60座客车各自的租金，比较后再取舍． 【解答】解：（1）设参加此次研学活动的师生人数是x人，原计划租用y辆45座客车． 根据题意，得， 解得． 答：参加此次研学活动的师生人数是600人，原计划租用13辆45座客车； （2）租45座客车：600÷45≈14（辆），所以需租14辆，租金为200×14＝2800（元）， 租60座客车：600÷60＝10（辆），所以需租10辆，租金为300×10＝3000（元）， ∵2800＜3000， ∴租用14辆45座客车更合算． 【点评】本题考查二元一次方程的应用，注意租车时最后一辆不管几个人都要用一辆，所以在计算车的辆数时用“收尾法”，而不是“四舍五入”． 考点02 不等式与不等式组 1．（2024•湖南）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若x，y均为整数，则称点P为“整点”，特别地，当（其中xy≠0）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”．已知点P（2a﹣4，a+3）在第二象限，下列说法正确的是（　　） A．a＜﹣3 B．若点P为“整点”，则点P的个数为3个 C．若点P为“超整点”，则点P的个数为1个 D．若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和大于10 【分析】根据点P（2a﹣4，a+3）在第二象限得2a﹣4＜0，a+3＞0，解得﹣3＜a＜2，由此可对选项A进行判断；根据“整点”定义得a＝﹣2，﹣1，0，1，进而得当a＝﹣2时，点P（﹣8，1）；当a＝﹣1时，点P（﹣6，2）；当a＝0时，点P（﹣4，3）；当a＝1时，点P（﹣2，4），由此可对选项B进行判断；根据“超整点”的定义得：当a＝1时，点P（﹣2，4）是“超整点”，由此可对选项C进行判断；根据当点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和为6可对选项D进行判断，综上所述即可得出答案． 【解答】解：∵点P（2a﹣4，a+3）在第二象限， ∴，解得：﹣3＜a＜2， 故选项A不正确，不符合题意； ∵点P（2a﹣4，a+3）为“整点”， ∴a为整数， 又∵﹣3＜a＜2， ∴a＝﹣2，﹣1，0，1， 当a＝﹣2时，2a﹣4＝﹣8，a+3＝1，此时点P（﹣8，1）； 当a＝﹣1时，2a﹣4＝﹣6，a+3＝2，此时点P（﹣6，2）； 当a＝0时，2a﹣4＝﹣4，a+3＝3，此时点P（﹣4，3）； 当a＝1时，2a﹣4＝﹣2，a+3＝4，此时点P（﹣2，4）； ∴“整点”P的个数是4个， 故选项B不正确，不符合题意； 根据“超整点”的定义得：当a＝1时，点P（﹣2，4）是“超整点”， ∴点P为“超整点”，则点P的个数为1个， 故选项C正确，符合题意； 当点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和为：|﹣2|+|4|＝6， 故选项D不正确，不符合题意． 故选：C． 【点评】此题主要考查了点的坐标，一元一次不等式组的应用，理解点的坐标，“整点”及“超整点”的定义，熟练掌握解一元一次不等式组的方法与技巧是解决问题的关键． 2．（2023•长沙）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式组的解集表示在数轴上即可． 【解答】解：由2x+4＞0得x＞﹣2， 由x﹣1≤0得x≤1， 解集在数轴上表示为： ， 则不等式组的解集为﹣2＜x≤1． 故选：A． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 3．（2023•娄底）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答． 【解答】解：， 解不等式①得：x＞﹣2， 解不等式②得：x≤1， ∴原不等式组的解集为：﹣2＜x≤1， ∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示： 故选：C． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 4．（2023•郴州）一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【解答】解：解不等式3﹣x≥0，得：x≤3， 解不等式x+1＞0，得：x＞﹣1， 则不等式组的解集为﹣1＜x≤3， 故选：C． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 5．（2023•益阳）将不等式组的解集在数轴上表示，正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可． 【解答】解：由x＝2≤0得x≤2，又x＞0， 则不等式组的解集为0＜x≤2． A项代表0≤x＜2； B项代表0＜x≤2； C代表x＜0且x≥2； D代表x＞0． 故选：B． 【点评】本题主要考查解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来，解题的关键是注意＞，≥向右画；＜，≤向左画；同时还要注意“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 6．（2023•邵阳）不等式组的解集在数轴上可表示为（　　） A． B． C． D． 【分析】分别求出各不等式的解集，再在数轴上表示出来即可． 【解答】解：， 由①得，x＜1， 由②得，x≥﹣2， 在数轴上表示为： ． 故选：A． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 7．（2023•湘西州）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，确定不等式组的解集，然后在数轴上表示出来即可． 【解答】解：由x﹣1＜2，得：x＜3； 由1﹣x＜4，得：x＞﹣3； ∴不等式组的解集为：﹣3＜x＜3； 在数轴上表示如下： 故选：A． 【点评】本题考查求不等式组的解集，并在数轴上表示出解集．解题的关键是正确的求出每一个不等式的解集． 8．（2023•常德）不等式组的解集是（　　） A．x＜5 B．1≤x＜5 C．﹣1≤x＜5 D．x≤﹣1 【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集． 【解答】解：， 解不等式①，得：x＜5， 解不等式②，得：x≥﹣1， ∴该不等式组的解集是﹣1≤x＜5， 故选：C． 【点评】本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 9.（2025•湖南）已知，，，是的三条边长，记，其中为整数． （1）若三角形为等边三角形，则 ； （2）下列结论正确的是 （写出所有正确的结论） ①若，，则为直角三角形 ②若，，，则 ③若，，，，为三个连续整数，且，则满足条件的的个数为7 【答案】 2 ①②/②① 【知识点】求不等式组的解集、三角形三边关系的应用、等边三角形的性质、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解一元一次不等式组，三角形三边的关系，等边三角形的性质等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质可得，据此求解即可； （2）当，时，可证明，由勾股定理的逆定理可判断①；当，，时，可得；当时，可得，当时，可得，则可求出，据此求出t的取值范围即可判断②；当时，则，则可得到；根据题意不妨设，则剩下两个数分别为（n为正整数），则可得，解不等式组求出整数n即可判断③． 【详解】解：（1）∵，，是的三条边长，且是等边三角形， ∴， ∴ ， 故答案为；2； （2）①当，时，∵， ∴， ∴， ∴， ∴为直角三角形，故①正确； ②当，，时， ∵， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴t随b的增大而增大， 当时，， 当时，， ∴，故②正确； ③当时，则， ∵， ∴， ∴； ∵a、b、c是三个相邻的正整数，， ∴不妨设，则剩下两个数分别为（n为正整数）， ∵， ∴， 解得， ∴符合题意的n的值有2、3、4、5、6、7，共6个， ∴符合题意的a、b、c的取值一共有6组， ∴满足条件的的个数为6，故③错误； 故答案为：①②． 10．（2023•株洲）关于x的不等式的解集为 　x＞2　． 【分析】根据一元一次不等式的解法，即可得出答案． 【解答】解：x﹣1＞0， 移项，得：x＞1， 系数化1，得x＞2． 故答案为：x＞2． 【点评】此题主要考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握不等式的性质是解题关键． 11.（2025•长沙）解不等式组： 【答案】 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①，得． 解不等式②，得． ∴不等式组的解集为． 12．（2023•岳阳）解不等式组：． 【分析】利用解一元一次不等式组的方法进行求解即可． 【解答】解：， 解不等式①得：x＞2， 解不等式②得：x＜4， 故不等式组的解集为：2＜x＜4． 【点评】本题主要考查解一元一次不等式组，解答的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的方法． 13．（2023•湘潭）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【分析】先解不等式组求得其解集，然后在数轴上表示其解集即可． 【解答】解：， 由①得7x≤14， 则x≤2， 由②得2x+6＞x+4， 则x＞﹣2， 故原不等式组的解集为：﹣2＜x≤2， 在数轴上表示其解集如下： 【点评】本题考查在数轴上表示一元一次不等式组的解集，正确解不等式组求得其解集是解题的关键． 14．（2023•衡阳）解不等式组：． 【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答． 【解答】解：， 解不等式①得：x≤4， 解不等式②得：x＞2， ∴原不等式组的解集为：2＜x≤4． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 15．（2023•永州）解关于x的不等式组：． 【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可． 【解答】解：解不等式2x﹣2＞0得，x＞1， 解不等式3（x﹣1）﹣7＜﹣2x得，x＜2， 所以不等式组的解集为1＜x＜2． 【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，掌握求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）是解题的关键． 16．（2025•湖南）同学们准备在劳动课上制作艾草香包，需购买，两种香料．已知种材料的单价比种材料的单价多3元，且购买4件种材料与购买6件种材料的费用相等． (1)求种材料和种材料的单价； (2)若需购买种材料和种材料共50件，且总费用不超过360元，则最多能购买种材料多少件？ 【答案】(1)A种材料的单价为9元，B种材料的单价为6元； (2)最多能购买种材料20件． 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用． （1）设A种材料的单价为x元，B种材料的单价为y元，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设最多可以购买种材料m件，则购买种材料件，根据题意列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设A种材料的单价为x元，B种材料的单价为y元， 依题意， 解得， 答：A种材料的单价为9元，B种材料的单价为6元； （2）解：设最多可以购买种材料m件，则购买种材料件， 依题意得：． 解得． ∴m的最大值为20． 答：最多能购买种材料20件． 17．（2025•长沙）为落实科技兴农政策，某乡办食品企业应用新科技推动农产品由粗加工向精加工转变．根据市场需求，该食品企业将收购的农产品加工成A，B两种等级的农产品对外销售，已知销售6千克A等级农产品和4千克B等级农产品共收入元，销售4千克A等级农产品和2千克B等级农产品共收入元．（不考虑加工损耗） (1)求每千克A等级农产品和每千克B等级农产品的销售单价分别为多少元？ (2)若该食品企业以每千克8元购进千克农产品，全部加工后对外销售，要求总利润不低于元，则至少需加工A等级农产品多少千克？ 【答案】(1)A等级农产品每千克销售单价为元，B等级农产品每千克销售单价为元 (2)要求总利润不低于元，则至少需加工A等级农产品千克 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式在实际问题中的应用，正确理解题意即可． （1）设A等级农产品每千克销售单价为元，B等级农产品每千克销售单价为元，由题意得即可求解； （2）设需加工A等级农产品千克，则需加工B等级农产品千克，由题意得．即可求解； 【详解】（1）解：设A等级农产品每千克销售单价为元，B等级农产品每千克销售单价为元， 由题意得解得 答：A等级农产品每千克销售单价为元，B等级农产品每千克销售单价为元． （2）解：设需加工A等级农产品千克，则需加工B等级农产品千克， 由题意得． 解得， 答：要求总利润不低于元，则至少需加工A等级农产品千克． 18．（2024•长沙）刺绣是我国民间传统手工艺，湘绣作为中国四大刺绣之一，闻名中外，在巴黎奥运会倒计时50天之际，某国际旅游公司计划购买A、B两种奥运主题的湘绣作品作为纪念品．已知购买1件A种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需要700元，购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要1200元． （1）求A种湘绣作品和B种湘绣作品的单价分别为多少元？ （2）该国际旅游公司计划购买A种湘绣作品和B种湘绣作品共200件，总费用不超过50000元，那么最多能购买A种湘绣作品多少件？ 【分析】（1）设A种湘绣作品的单价为x元，B种湘绣作品的单价为y元，根据“购买1件A种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需要700元，购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要1200元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买A种湘绣作品m件，则购买B种湘绣作品（200﹣m）件，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过50000元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设A种湘绣作品的单价为x元，B种湘绣作品的单价为y元， 根据题意得：， 解得：． 答：A种湘绣作品的单价为300元，B种湘绣作品的单价为200元； （2）设购买A种湘绣作品m件，则购买B种湘绣作品（200﹣m）件， 根据题意得：300m+200（200﹣m）≤50000， 解得：m≤100， ∴m的最大值为100． 答：最多能购买100件A种湘绣作品． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 19．（2024•湖南）某村决定种植脐橙和黄金贡柚，助推村民增收致富．已知购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元． （1）求脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价； （2）该村计划购买脐橙树苗和黄金贡柚树苗共1000棵，总费用不超过38000元，问最多可以购买脐橙树苗多少棵？ 【分析】（1）设脐橙树苗的单价为x元，黄金贡柚树苗的单价为y元，根据购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元．列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设可以购买脐橙树苗m棵，则购买黄金贡柚树苗（1000﹣m）棵，根据总费用不超过38000元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【解答】解：（1）设脐橙树苗的单价为x元，黄金贡柚树苗的单价为y元， 由题意得：， 解得：， 答：脐橙树苗的单价为50元，黄金贡柚树苗的单价为30元； （2）设可以购买脐橙树苗m棵，则购买黄金贡柚树苗（1000﹣m）棵， 由题意得：50m+30（1000﹣m）≤38000， 解得：m≤400， 答：最多可以购买脐橙树苗400棵． 【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找出数量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． 20．（2023•娄底）为落实“五育并举”，绿化美化环境，学校在劳动周组织学生到校园周边种植甲、乙两种树苗，已知购买甲种树苗3棵，乙种树苗2棵共需12元；购买甲种树苗1棵，乙种树苗3棵共需11元． （1）求每棵甲、乙树苗的价格； （2）本次活动共种植了200棵甲、乙树苗，假设所种的树苗若干年后全部长成了参天大树，并且平均每棵树的价值（含生态价值、经济价值等）均为原来树苗价的100倍，要想获得不低于5万元的价值，请问乙种树苗种植数量不得少于多少棵？ 【分析】（1）设甲种树苗的价格为x元/棵，乙种树苗的价格为y元/棵，根据“购买甲种树苗3棵，乙种树苗2棵共需12元；购买甲种树苗1棵，乙种树苗3棵共需11元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设种植乙种树苗m棵，则种植甲种树苗（200﹣m）棵，根据要获得不低于5万元的价值，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设甲种树苗的价格为x元/棵，乙种树苗的价格为y元/棵， 根据题意得：， 解得：． 答：甲种树苗的价格为2元/棵，乙种树苗的价格为3元/棵； （2）设种植乙种树苗m棵，则种植甲种树苗（200﹣m）棵， 根据题意得：2×100（200﹣m）+3×100m≥50000， 解得：m≥100， ∴m的最小值为100． 答：乙种树苗种植数量不得少于100棵． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 21．（2023•怀化）某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客45人的A种客车若干辆，则有30人没有座位；若租用可坐乘客60人的B种客车，则可少租6辆，且恰好坐满． （1）求原计划租用A种客车多少辆？这次研学去了多少人？ （2）若该校计划租用A、B两种客车共25辆，要求B种客车不超过7辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？ （3）在（2）的条件下，若A种客车租金为每辆220元，B种客车租金每辆300元，应该怎样租车才最合算？ 【分析】（1）设原计划租用A种客车x辆，则这次研学去了（45x+30）人，根据这次去研学的人数不变，可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设租用B种客车y辆，则租用A种客车（25﹣y）辆，根据“租用的25辆客车可乘坐人数不少于1200人，且租用的B种客车不超过7辆”，可得出关于y的一元一次不等式组，解之可得出y的取值范围，再结合y为正整数，即可得出各租车方案； （3）利用总租金＝每辆A种客车的租金×租用A种客车的辆数+每辆B种客车的租金×租用B种客车的辆数，可分别求出选择各方案所需总租金，比较后，即可得出结论． 【解答】解：（1）设原计划租用A种客车x辆，则这次研学去了（45x+30）人， 根据题意得：45x+30＝60（x﹣6）， 解得：x＝26， ∴45x+30＝45×26+30＝1200． 答：原计划租用A种客车26辆，这次研学去了1200人； （2）设租用B种客车y辆，则租用A种客车（25﹣y）辆， 根据题意得：， 解得：5≤y≤7， 又∵y为正整数， ∴y可以为5，6，7， ∴该学校共有3种租车方案， 方案1：租用5辆B种客车，20辆A种客车； 方案2：租用6辆B种客车，19辆A种客车； 方案3：租用7辆B种客车，18辆A种客车； （3）选择方案1的总租金为300×5+220×20＝5900（元）； 选择方案2的总租金为300×6+220×19＝5980（元）； 选择方案3的总租金为300×7+220×18＝6060（元）． ∵5900＜5980＜6060， ∴租用5辆B种客车，20辆A种客车最合算． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用、一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次方程，（3）根据各数量之间的关系，求出选择各方案所需总租金． 22．（2023•邵阳）低碳生活已是如今社会的一种潮流形式，人们的环保观念也在逐渐加深．“低碳环保，绿色出行”成为大家的生活理念，不少人选择自行车出行．某公司销售甲、乙两种型号的自行车，其中甲型自行车进货价格为每台500元，乙型自行车进货价格为每台800元．该公司销售3台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利650元，销售1台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利350元． （1）该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润各是多少元？ （2）为满足大众需求，该公司准备加购甲、乙两种型号的自行车共20台，且资金不超过13000元，最少需要购买甲型自行车多少台？ 【分析】（1）设该公司销售一台甲型自行车的利润是x元，一台乙型自行车的利润是y元，根据该公司销售3台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利650元，销售1台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利350元．列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）需要购买甲型自行车m台，则需要购买乙型自行车（20﹣m）台，根据资金不超过13000元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【解答】解：（1）设该公司销售一台甲型自行车的利润是x元，一台乙型自行车的利润是y元， 由题意得：， 解得：， 答：该公司销售一台甲型自行车的利润是150元，一台乙型自行车的利润是100元； （2）需要购买甲型自行车m台，则需要购买乙型自行车（20﹣m）台， 由题意得：500m+800（20﹣m）≤13000， 解得：m≥10， 答：最少需要购买甲型自行车10台． 【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． 23．（2023•长沙）为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神．某校利用课后服务时间，在八年级开展“体育赋能，助力成长”班级篮球赛，共16个班级参加． （1）比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场积1分．某班级在15场比赛中获得总积分为41分，问该班级胜负场数分别是多少？ （2）投篮得分规则：在3分线外投篮，投中一球可得3分，在3分线内（含3分线）投篮，投中一球可得2分，某班级在其中一场比赛中，共投中26个球（只有2分球和3分球），所得总分不少于56分，问该班级这场比赛中至少投中了多少个3分球？ 【分析】（1）设胜了x场，负了y场，根据15场比赛中获得总积分为41分可列方程组，求解即可． （2）设班级这场比赛中投中了m个3分球，则投中了（26﹣m）个2分球，根据所得总分不少于56分，列出相应的不等式，从而可以求出答案． 【解答】解：（1）设胜了x场，负了y场， 根据题意得：， 解得， 答：该班级胜负场数分别是13场和2场； （2）设班级这场比赛中投中了m个3分球，则投中了（26﹣m）个2分球， 根据题意得：3m+2（26﹣m）≥56， 解得m≥4， 答：该班级这场比赛中至少投中了4个3分球． 【点评】本题考查二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式． 考点03 分式方程 1．（2025•湖南）将分式方程去分母后得到的整式方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解． 将分式方程两边同时乘以最简公分母，消去分母，转化为整式方程． 【详解】解：． 方程两边同时乘以，得：． 故选：A． 2．（2023•株洲）将关于x的分式方程去分母可得（　　） A．3x﹣3＝2x B．3x﹣1＝2x C．3x﹣1＝x D．3x﹣3＝x 【分析】方程两边同乘2x（x﹣1），然后整理即可判断哪个选项符合题意． 【解答】解：， 去分母，得：3（x﹣1）＝2x， 整理，得：3x﹣3＝2x， 故选：A． 【点评】本题考查解分式方程，解答本题的关键是找出最简公分母． 3．（2023•湘潭）某校组织九年级学生赴韶山开展研学活动，已知学校离韶山50千米．师生乘大巴车前往，某老师因有事情，推迟了10分钟出发，自驾小车以大巴车速度的1.2倍前往，结果同时到达．设大巴车的平均速度为x千米/时，则可列方程为（　　） A． B．10 C．10 D． 【分析】设大巴车的平均速度为x千米/时，则小车的平均速度为1.2x千米/时，根据题意列出方程即可． 【解答】解：设大巴车的平均速度为x千米/时，则小车的平均速度为1.2x千米/时， 根据题意可得：． 故选：A． 【点评】本题主要考查由实际问题抽象出分式方程，解题关键关键是分析题意找出相等关系． 4．（2023•张家界）《四元玉鉴》是我国古代的一部数学著作．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”，大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设6210文购买椽的数量为x株，则符合题意的方程是（　　） A．3（x﹣1） B．3（x﹣1）＝6210 C．3（x﹣1） D．3x 【分析】设6210元购买椽的数量为x株，根据单价＝总价÷数量，求出一株椽的价钱为，再根据少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可列出分式方程，得到答案． 【解答】解：设6210文购买椽的数量为x株，则一株椽的价钱为， 由题意得：3（x﹣1）， 故选：C． 【点评】本题考查了从实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找出等量关系是解题关键． 5．（2023•郴州）小王从A地开车去B地，两地相距240km．原计划平均速度为x km/h，实际平均速度提高了50%，结果提前1小时到达．由此可建立方程为（　　） A． B． C． D．x+1.5x＝240 【分析】设原计划平均速度为x km/h，实际平均速度为（1+50%）x＝1.5x km/h，根据走过相同的距离时间缩短了1小时，列方程即可． 【解答】解：设原计划平均速度为x km/h， 由题意得，1， 故选：B． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程． 6．（2025•长沙）分式方程的解为 ． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了解分式方程，首先去分母把分式方程化为整式方程，解整式方程求出未知数的值，再把求出的值代入最简公分母检验是否增根即可． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 检验：当时， 可得：， 是原分式方程的解． 故答案为：． 7．（2024•湖南）分式方程1的解为 　x＝1　． 【分析】观察可得最简公分母是（x+1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 【解答】解：方程的两边同乘（x+1），得 2＝x+1， 解得x＝1． 检验：把x＝1代入（x+1）＝2≠0． ∴原方程的解为：x＝1． 【点评】本题考查了分式方程的解法，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根． 8．（2023•益阳）分式方程的解是 　x＝﹣2　． 【分析】根据解分式方程的步骤，方程两边同乘最简公分母，化为整式方程后再求解，然后进行检验，可得结果． 【解答】解：， 方程两边同乘x（x﹣2），去分母得4x＝2（x﹣2）， 解这个整式方程得x＝﹣2， 检验：把x＝﹣2代入x（x﹣2）≠0， ∴x＝﹣2是分式方程的解． 故答案为：x＝﹣2． 【点评】此题主要是考查了解分式方程，能够熟练掌握解分式方程的方法是解答此题的关键，注意要检验． 9．（2023•邵阳）分式方程0的解是 　4　． 【分析】确定最简公分母去分母将分式方程化为一元一次方程即可得出结论． 【解答】解：0 分式两边同乘以x（x﹣2）得：2（x﹣2）﹣x＝0， 去括号得：2x﹣4﹣x＝0， 合并化系数为1得：x＝4． 检验：当x＝4时，x（x﹣2）≠0， ∴原分式方程的解为：x＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查了解分式方程，能正确找到最简公分母是解题的关键． 10．（2023•永州）若关于x的分式方程（m为常数）有增根，则增根是 　x＝4　． 【分析】根据关于x的分式方程（m为常数）有增根，可知x﹣4＝0，进一步计算即可． 【解答】解：∵关于x的分式方程（m为常数）有增根， ∴x﹣4＝0， ∴x＝4， 故答案为：x＝4． 【点评】本题考查了分式方程的增根，熟练掌握分式方程增根的含义是解题的关键． 11．（2023•常德）“六一”儿童节将至，张老板计划购买A型玩具和B型玩具进行销售，若用1200元购买A型玩具的数量比用1500元购买B型玩具的数量多20个，且一个B型玩具的进价是一个A型玩具进价的1.5倍． （1）求A型玩具和B型玩具的进价分别是多少？ （2）若A型玩具的售价为12元/个，B型玩具的售价为20元/个，张老板购进A，B型玩具共75个，要使总利润不低于300元，则A型玩具最多购进多少个？ 【分析】（1）设A型玩具的单价为x元/件．根据用1200元购买A型玩具的数量比用1500元购买B型玩具的数量多20个，列方程即可得到结论； （2）设购买A型玩具m个．根据张老板购进A，B型玩具共75个，要使总利润不低于300元，列不等式即可得到结论． 【解答】解：（1）设A型玩具的进价为x元/个，则B型玩具的进价是1.5x元/个． 由题意得：， 解得：x＝10， 经检验，x＝10是原方程的解， ∴B型玩具的进价为10×1.5＝15（元/个）， 答：A型玩具的进价是10元/个，B型玩具的进价是15元/个． （2）设购买A型玩具m个，则购进B型玩具（75﹣m）个． 根据题意得，（12﹣10）m+（20﹣15）（75﹣m）≥300， 解得：m≤25， 答：最多可购进A型玩具25个． 【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，正确地理解题意是解题的关键． 12．（2023•岳阳）水碧万物生，岳阳龙虾好．小龙虾产业已经成为岳阳乡村振兴的“闪亮名片”．已知翠翠家去年龙虾的总产量是4800kg，今年龙虾的总产量是6000kg，且去年与今年的养殖面积相同，平均亩产量去年比今年少60kg，求今年龙虾的平均亩产量． 【分析】设今年龙虾的平均亩产量为x kg，则去年龙虾的平均亩产量为（x﹣60）kg，利用养殖面积＝总产量÷平均亩产量，结合去年与今年的养殖面积相同，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【解答】解：设今年龙虾的平均亩产量为x kg，则去年龙虾的平均亩产量为（x﹣60）kg， 根据题意得：， 解得：x＝300， 经检验，x＝300是所列方程的解，且符合题意． 答：今年龙虾的平均亩产量为300kg． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 考点4 一元二次方程 1．（2023•永州）某市2020年人均可支收入为2.36万元，2022年达到2.7万元，若2020年至2022年间每年人均可支配收入的增长率都为x，则下面所列方程正确的是（　　） A．2.7（1+x）2＝2.36 B．2.36（1+x）2＝2.7 C．2.7（1﹣x）2＝2.36 D．2.36（1﹣x）2＝2.7 【分析】利用2022年间每年人均可支配收入＝2020年间每年人均可支配收入×（1+每年人均可支配收入的增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得2.36（1+x）2＝2.7． 故选：B． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 2．（2024•湖南）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+2k＝0有两个相等的实数根，则k的值为 　2　． 【分析】利用判别式的意义得到Δ＝（﹣4）2﹣8k＝0，然后解关于k的方程即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+2k＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝16﹣8k＝0， 解得：k＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握Δ＝0有两个相等的实数根是解题的关键． 3．（2023•邵阳）某校截止到2022年底，校园绿化面积为1000平方米．为美化环境，该校计划2024年底绿化面积达到1440平方米．利用方程思想，设这两年绿化面积的年平均增长率为x，则依题意列方程为 　1000（1+x）2＝1440　． 【分析】根据2022年底绿化面积×（1+年平均增长率）2＝2024年底绿化面积，列出一元二次方程即可． 【解答】解：根据题意得：1000（1+x）2＝1440， 故答案为：1000（1+x）2＝1440． 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 4．（2023•衡阳）已知关于x的方程x2+mx﹣20＝0的一个根是﹣4，则它的另一个根是 　5　． 【分析】设方程的另一个解为t，则利用根与系数的关系得﹣4t＝﹣20，然后解一次方程即可． 【解答】解：设方程的另一个解为t， 根据根与系数的关系得﹣4t＝﹣20， 解得t＝5， 即方程的另一个根为5． 故答案为：5． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2，x1x2． 5．（2023•张家界）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 　a＞﹣1　． 【分析】根据判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣a）＞0，然后解不等式即可． 【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣a）＞0， 解得a＞﹣1． 故答案为：a＞﹣1． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 6．（2023•岳阳）已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m+2＝0有两个不相等的实数根x1、x2，且x1+x2+x1•x2＝2，则实数m＝　3　． 【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＞0，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，由根与系数的关系，可得出x1+x2＝﹣2m，x1•x2＝m2﹣m+2，结合x1+x2+x1•x2＝2，可得出关于m的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：∵原方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（2m）2﹣4×1×（m2﹣m+2）＞0， ∴m＞2． ∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m+2＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝﹣2m，x1•x2＝m2﹣m+2， ∵x1+x2+x1•x2＝2， ∴﹣2m+m2﹣m+2＝2， 解得：m1＝0（不符合题意，舍去），m2＝3， ∴实数m的值为3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，由根与系数的关系结合x1+x2+x1•x2＝2，找出关于m的一元二次方程是解题的关键． 7．（2023•湘西州）已知一元二次方程x2﹣4x+m＝0的一个根为x1＝1．则另一个根x2＝　3　． 【分析】根据根与系数的关系得：x2+1＝4，求出即可． 【解答】解：则根据根与系数的关系得：， 解得：x2＝3， 即方程的另一个根为3， 故答案为：3． 【点评】本题考查了一元二次方程的解和根与系数的关系，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键，注意：当x1和x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）的两个根时，那么，． 8．（2023•娄底）若m是方程x2﹣2x﹣1＝0的根，则m2　6　． 【分析】把m代入x2﹣2x﹣1＝0得到m2﹣2m﹣1＝0，即m2﹣1＝2m，把m2﹣1＝2m代入变形后的式子计算即可． 【解答】解：∵m是方程x2﹣2x﹣1＝0的根， ∴m2﹣2m﹣1＝0，即m2﹣1＝2m， ∴m2 ＝（m）2+2 ＝（）2+2 ＝22+2 ＝6． 故答案为：6． 【点评】本题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了代数式求值，本题代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设中获取代数式m2﹣1＝2m的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值． 9．（2023•怀化）已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0的一个根为﹣1，则m的值为 　﹣1　，另一个根为 　2　． 【分析】将x＝﹣1代入原方程，可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值，再结合两根之积等于﹣2，即可求出方程的另一个根． 【解答】解：将x＝﹣1代入原方程可得1﹣m﹣2＝0， 解得：m＝﹣1， ∵方程的两根之积为2， ∴方程的另一个根为﹣2÷（﹣1）＝2． 故答案为：﹣1，2． 【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 10．（2023•常德）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 　a＜1　． 【分析】由关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0有两个不相等的实数根，即可得判别式Δ＞0，继而可求得a的范围． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×a＝4﹣4a＞0， 解得：a＜1， ∴a的取值范围是：a＜1． 故答案为：a＜1． 【点评】此题考查了一元二次方程判别式，解答的关键是注意掌握一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得Δ＞0． 11．（2023•株洲）已知实数m、x满足：（mx1﹣2）（mx2﹣2）＝4． ①若，则x2＝　18　； ②若m、x1、x2为正整数，则符合条件的有序实数对（x1，x2）有 　7　个． 【分析】①把m，x1＝9代入求值即可； ②由题意知：（mx1﹣2），（mx2﹣2）均为整数，mx1≥1，mx2≥1，mx1﹣2≥﹣1，mx2﹣2≥﹣1，则4＝1×4＝2×2＝4×1，再分三种情况讨论即可． 【解答】解：①把m，x1＝9时，（9﹣2）×（x2﹣2）＝4， 解得：x2＝18； 故答案为：18． ②当m，x1，x2为正整数时， （mx1﹣2），（mx2﹣2）均为整数，mx1≥1，mx2≥1，mx1﹣2≥﹣1，mx2﹣2≥﹣1， 而4＝1×4＝2×2＝4×1， ∴或或， ∴或或， 当时，m＝1时，x1＝3，x2＝6；m＝3时，x1＝1，x2＝2， 故（x1，x2）为（3，6），（1，2），共2个； 当时，m＝1时，x1＝4，x2＝4；m＝2时，x1＝2，x2＝2，m＝4时，x1＝1，x2＝1， 故（x1，x2）为（4，4），（2，2），（1，1），共3个； 当时，m＝1时，x1＝6，x2＝3；m＝3时，x1＝2，x2＝1， 故（x1，x2）为（6，3），（2，1），共2个； 综上所述：共有2+3+2＝7个． 故答案为：7． 【点评】本题考查了整式方程的代入求值、整式方程的整数解，因式分解的应用，及分类讨论的思想方法．本题的关键及难点是运用分类讨论的思想方法解题． 12．（2023•郴州）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人． （1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； （2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？ 【分析】（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x，由2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人，列出方程可求解； （2）设5月份后10天日均接待游客人数是a万人，由增长率不会超过前两个月的月平均增长率，列出不等式，即可求解． 【解答】解：（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x， 由题意可得：1.6（1+x）2＝2.5， 解得：x＝25%，x（不合题意舍去）， 答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25%； （2）设5月份后10天日均接待游客人数是a万人， 由题意可得：2.125+10a≤2.5（1+25%）， 解得：a≤0.1， 答：5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，找到正确的数量关系是解题的关键． 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 方程（组）与不等式（组） 考点01 一次方程（组） 1．（2023•永州）关于x的一元一次方程2x+m＝5的解为x＝1，则m的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．7 D．﹣7 2．（2023•益阳）某学校为进一步开展好劳动教育实践活动，用1580元购进A，B两种劳动工具共145件，A，B两种劳动工具每件分别为10元，12元．设购买A，B两种劳动工具的件数分别为x，y，那么下面列出的方程组中正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（2023•衡阳）《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．” 设有x只鸡，y只兔，依题意，可列方程组为（　　） A． B． C． D． 4.（2025•长沙）衣服穿戴整不整齐，系好第一粒扣子很重要．青少年迈开人生第一步就要走正道，要严格遵守国家法律法规．同样的道理，学习数学首先就必须遵守数学中的基本法则． 例如：下面命题的推理过程所得出的错误结论就是由于不遵守数学的基本法则导致的． 命题：如果a，b，c为实数，且满足．那么． 推理过程如下： 第一步：根据上述命题条件有；    ① 第二步：根据七年级学过的整式运算法则有；    ② 第三步：把②代入①，可得；    ③ 第四步：把③两边利用移项、去括号法则、加法交换律等，变形可得；  ④ 第五步：把④两边同时除以，得．⑤ 请你判断上述推理过程中，第 步是错误的，它违背了数学的基本法则． 5．（2024•长沙）为庆祝中国改革开放46周年，某中学举办了一场精彩纷呈的庆祝活动，现场参与者均为在校中学生，其中有一个活动项目是“选数字猜出生年份”，该活动项目主持人要求参与者从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取一个数字，先乘以10，再加上4.6，将此时的运算结果再乘以10，然后加上1978，最后减去参与者的出生年份（注：出生年份是一个四位数，比如2010年对应的四位数是2010），得到最终的运算结果．只要参与者报出最终的运算结果，主持人立马就知道参与者的出生年份．若某位参与者报出的最终的运算结果是915，则这位参与者的出生年份是 　 　． 6．（2023•常德）解方程组：． 7．（2023•张家界）为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 45 60 租金（元/辆） 200 300 （1）参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？ （2）若租用同一种客车，要使每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？ 考点02 不等式与不等式组 1．（2024•湖南）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若x，y均为整数，则称点P为“整点”，特别地，当（其中xy≠0）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”．已知点P（2a﹣4，a+3）在第二象限，下列说法正确的是（　　） A．a＜﹣3 B．若点P为“整点”，则点P的个数为3个 C．若点P为“超整点”，则点P的个数为1个 D．若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和大于10 2．（2023•长沙）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（2023•娄底）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（2023•郴州）一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（2023•益阳）将不等式组的解集在数轴上表示，正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（2023•邵阳）不等式组的解集在数轴上可表示为（　　） A． B． C． D． 7．（2023•湘西州）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 8．（2023•常德）不等式组的解集是（　　） A．x＜5 B．1≤x＜5 C．﹣1≤x＜5 D．x≤﹣1 9.（2025•湖南）已知，，，是的三条边长，记，其中为整数． （1）若三角形为等边三角形，则 ； （2）下列结论正确的是 （写出所有正确的结论） ①若，，则为直角三角形 ②若，，，则 ③若，，，，为三个连续整数，且，则满足条件的的个数为7 10．（2023•株洲）关于x的不等式的解集为 　 　． 11.（2025•长沙）解不等式组： 12．（2023•岳阳）解不等式组：． 13．（2023•湘潭）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 14．（2023•衡阳）解不等式组：． 15．（2023•永州）解关于x的不等式组：． 16．（2025•湖南）同学们准备在劳动课上制作艾草香包，需购买，两种香料．已知种材料的单价比种材料的单价多3元，且购买4件种材料与购买6件种材料的费用相等． (1)求种材料和种材料的单价； (2)若需购买种材料和种材料共50件，且总费用不超过360元，则最多能购买种材料多少件？ 17．（2025•长沙）为落实科技兴农政策，某乡办食品企业应用新科技推动农产品由粗加工向精加工转变．根据市场需求，该食品企业将收购的农产品加工成A，B两种等级的农产品对外销售，已知销售6千克A等级农产品和4千克B等级农产品共收入元，销售4千克A等级农产品和2千克B等级农产品共收入元．（不考虑加工损耗） (1)求每千克A等级农产品和每千克B等级农产品的销售单价分别为多少元？ (2)若该食品企业以每千克8元购进千克农产品，全部加工后对外销售，要求总利润不低于元，则至少需加工A等级农产品多少千克？ 18．（2024•长沙）刺绣是我国民间传统手工艺，湘绣作为中国四大刺绣之一，闻名中外，在巴黎奥运会倒计时50天之际，某国际旅游公司计划购买A、B两种奥运主题的湘绣作品作为纪念品．已知购买1件A种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需要700元，购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要1200元． （1）求A种湘绣作品和B种湘绣作品的单价分别为多少元？ （2）该国际旅游公司计划购买A种湘绣作品和B种湘绣作品共200件，总费用不超过50000元，那么最多能购买A种湘绣作品多少件？ 19．（2024•湖南）某村决定种植脐橙和黄金贡柚，助推村民增收致富．已知购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元． （1）求脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价； （2）该村计划购买脐橙树苗和黄金贡柚树苗共1000棵，总费用不超过38000元，问最多可以购买脐橙树苗多少棵？ 20．（2023•娄底）为落实“五育并举”，绿化美化环境，学校在劳动周组织学生到校园周边种植甲、乙两种树苗，已知购买甲种树苗3棵，乙种树苗2棵共需12元；购买甲种树苗1棵，乙种树苗3棵共需11元． （1）求每棵甲、乙树苗的价格； （2）本次活动共种植了200棵甲、乙树苗，假设所种的树苗若干年后全部长成了参天大树，并且平均每棵树的价值（含生态价值、经济价值等）均为原来树苗价的100倍，要想获得不低于5万元的价值，请问乙种树苗种植数量不得少于多少棵？ 21．（2023•怀化）某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客45人的A种客车若干辆，则有30人没有座位；若租用可坐乘客60人的B种客车，则可少租6辆，且恰好坐满． （1）求原计划租用A种客车多少辆？这次研学去了多少人？ （2）若该校计划租用A、B两种客车共25辆，要求B种客车不超过7辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？ （3）在（2）的条件下，若A种客车租金为每辆220元，B种客车租金每辆300元，应该怎样租车才最合算？ 22．（2023•邵阳）低碳生活已是如今社会的一种潮流形式，人们的环保观念也在逐渐加深．“低碳环保，绿色出行”成为大家的生活理念，不少人选择自行车出行．某公司销售甲、乙两种型号的自行车，其中甲型自行车进货价格为每台500元，乙型自行车进货价格为每台800元．该公司销售3台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利650元，销售1台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利350元． （1）该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润各是多少元？ （2）为满足大众需求，该公司准备加购甲、乙两种型号的自行车共20台，且资金不超过13000元，最少需要购买甲型自行车多少台？ 23．（2023•长沙）为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神．某校利用课后服务时间，在八年级开展“体育赋能，助力成长”班级篮球赛，共16个班级参加． （1）比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场积1分．某班级在15场比赛中获得总积分为41分，问该班级胜负场数分别是多少？ （2）投篮得分规则：在3分线外投篮，投中一球可得3分，在3分线内（含3分线）投篮，投中一球可得2分，某班级在其中一场比赛中，共投中26个球（只有2分球和3分球），所得总分不少于56分，问该班级这场比赛中至少投中了多少个3分球？ 考点03 分式方程 1．（2025•湖南）将分式方程去分母后得到的整式方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2023•株洲）将关于x的分式方程去分母可得（　　） A．3x﹣3＝2x B．3x﹣1＝2x C．3x﹣1＝x D．3x﹣3＝x 3．（2023•湘潭）某校组织九年级学生赴韶山开展研学活动，已知学校离韶山50千米．师生乘大巴车前往，某老师因有事情，推迟了10分钟出发，自驾小车以大巴车速度的1.2倍前往，结果同时到达．设大巴车的平均速度为x千米/时，则可列方程为（　　） A． B．10 C．10 D． 4．（2023•张家界）《四元玉鉴》是我国古代的一部数学著作．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”，大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设6210文购买椽的数量为x株，则符合题意的方程是（　　） A．3（x﹣1） B．3（x﹣1）＝6210 C．3（x﹣1） D．3x 5．（2023•郴州）小王从A地开车去B地，两地相距240km．原计划平均速度为x km/h，实际平均速度提高了50%，结果提前1小时到达．由此可建立方程为（　　） A． B． C． D．x+1.5x＝240 6．（2025•长沙）分式方程的解为 ． 7．（2024•湖南）分式方程1的解为 　 　． 8．（2023•益阳）分式方程的解是 　 　． 9．（2023•邵阳）分式方程0的解是 　 　． 10．（2023•永州）若关于x的分式方程（m为常数）有增根，则增根是 　 　． 11．（2023•常德）“六一”儿童节将至，张老板计划购买A型玩具和B型玩具进行销售，若用1200元购买A型玩具的数量比用1500元购买B型玩具的数量多20个，且一个B型玩具的进价是一个A型玩具进价的1.5倍． （1）求A型玩具和B型玩具的进价分别是多少？ （2）若A型玩具的售价为12元/个，B型玩具的售价为20元/个，张老板购进A，B型玩具共75个，要使总利润不低于300元，则A型玩具最多购进多少个？ 12．（2023•岳阳）水碧万物生，岳阳龙虾好．小龙虾产业已经成为岳阳乡村振兴的“闪亮名片”．已知翠翠家去年龙虾的总产量是4800kg，今年龙虾的总产量是6000kg，且去年与今年的养殖面积相同，平均亩产量去年比今年少60kg，求今年龙虾的平均亩产量． 考点4 一元二次方程 1．（2023•永州）某市2020年人均可支收入为2.36万元，2022年达到2.7万元，若2020年至2022年间每年人均可支配收入的增长率都为x，则下面所列方程正确的是（　　） A．2.7（1+x）2＝2.36 B．2.36（1+x）2＝2.7 C．2.7（1﹣x）2＝2.36 D．2.36（1﹣x）2＝2.7 2．（2024•湖南）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+2k＝0有两个相等的实数根，则k的值为 　 　． 3．（2023•邵阳）某校截止到2022年底，校园绿化面积为1000平方米．为美化环境，该校计划2024年底绿化面积达到1440平方米．利用方程思想，设这两年绿化面积的年平均增长率为x，则依题意列方程为 　 　． 4．（2023•衡阳）已知关于x的方程x2+mx﹣20＝0的一个根是﹣4，则它的另一个根是 　 　． 5．（2023•张家界）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 　 　． 6．（2023•岳阳）已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m+2＝0有两个不相等的实数根x1、x2，且x1+x2+x1•x2＝2，则实数m＝　 　． 7．（2023•湘西州）已知一元二次方程x2﹣4x+m＝0的一个根为x1＝1．则另一个根x2＝　 　． 8．（2023•娄底）若m是方程x2﹣2x﹣1＝0的根，则m2　 　． 9．（2023•怀化）已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0的一个根为﹣1，则m的值为 　 　，另一个根为 　 　． 10．（2023•常德）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 　 　． 11．（2023•株洲）已知实数m、x满足：（mx1﹣2）（mx2﹣2）＝4． ①若，则x2＝　 　； ②若m、x1、x2为正整数，则符合条件的有序实数对（x1，x2）有 　 　个． 12．（2023•郴州）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人． （1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； （2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？ 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $$