10.2 直线与直线的位置关系（第2课时 异面直线）（教学课件）数学沪教版2020必修第三册

10.2 直线与直线的位置关系 第10章 空间直线与平面 沪教版2020必修第三册·高二 第2课时 异面直线 学 习 目 标 1 2 3 理解异面直线的定义，辨析与平行/相交直线的区别 掌握异面直线的判定定理，能用反证法证明 能在简单空间图形中识别并应用异面直线判定定理 知识回顾 空间的两条直线，除了平行和相交这两种位置关系，是 否还有其他的位置关系呢？ 平面内两直线位置关系 类型 公共点 共面性 实例 相交 1个 共面 十字路口的道路 平行 无 共面 梯子横杠 空间的两条平行直线仍然位于同一平面！ 知识回顾 观察下面的两幅实景图．在图（１）中，如果把远方的高楼看作是一条直线，将马路看作是另外一条直线，这两条直线看起来既不平行，也不相交．类似地，在图（２）中，如果把高铁轨道和其下的高速公路分别 看作是两条直线，那么它们看起来不会在同一个平面上． 像上述这种不在同一个平面上，既不相交也不平行的两条直 线是空间中特有的一种两直线位置关系．相应地，我们给出下面 的定义． 1.异面直线的定义 不同在任何一个平面内的两条直线。 新知探究 图形语言： 问题1 什么是异面直线？ 问题2 若两条直线不在同一平面内，是否一定是异面直线？ 解析：不一定！需同时满足“不相交且不平行”。 异面直线既不相交也不平行 问题3 空间的两条直线的位置可以怎么分类？ 位置关系 相交 平行 异面 新知探究 问题4 如何证明两条直线是异面直线呢？ 如图所示，在长方体ABCD-中，如何证明AB与C的直线是异面直线？ 为了判断两条直线是否为异面直线，由定义，就是要证明“这两条直线不同在任何一个平面上”,或者说只要证明“这两条直线不能在同一个平面上”,根据已有的学 习经验，凡是证明否定性的命题，我们通常可以采用反证法. 方法技巧 证明： 假设存在一个平面α同时包含直线AB与 C, 那么不共线的三点A、 B、 C就在这个平面上， 由公理2可 知，平面α就应是平面ABC, 由公理 1, 从而直线C就 应在平面ABC上，但这是不可能的， 这样的平面 α是不存在的. 棱 AB与 C所在的直线是异面直线. 2. 异面直线判定定理 过平面外一点与平面上一点的直线，和此平面上不经过该点的任何一条直线都是异面直线. 新知探究 图形语言： 符号语言：设平面为α，点A，点B，直线a，且Ba，则直线AB与直线a是异面直线. 例1 已知：如图，直线a在平面α上，点A 不在平面α上，直线AB与平面α交于点B，点B 在平面α上但不在直线a上． 求证：直线AB和a是异面直线． 证明： 假设存在一个平面β，使得直线AB与a均在平面β上，那么平面β一定经过点A、B和直线a． Ba，由公理2推论1，经过点B与直线a只能有一个平面，它就是α，平面α与β是同一个平面． 点A就应在平面α上，与假设Aα矛盾． 直线AB和a必为异面直线． 典例分析 方法技巧 可以采用反证法. 例2 如图，在长方体ABCD- 中， 哪些棱所在的直线与直线B是异面直线？ 典例分析 解: 长方体共有12条棱．过顶点B和的棱各有3条，这6条棱所在的直线都 与直线B相交，必定与其共面．对于棱C，它落在平面BC上，而B是过此平面上点B及此平面外点的直线，由上述定理知，棱C所在的直线与直线B是异面直线．同理，棱D、DC、、AD及所在的直线均分别与直线B是异面直线． • 相交于 B的棱：, BC, BA,,； • 平行棱：无； • 异面棱：C, D, DC, , , AD。 面对角线中不共面的即为异面，（如D与C） 规律总结 典例分析 例3 已给定不共面的4点，作过其中3个点的平面，所有4个这样的平面围成的几何体称为四面体如图．预先给定的4个点称为四面体的顶点，2个顶点的连线称为四面体的棱，3个顶点所确定的三角形称为四面体的面． 求证：四面体中任何一对不共顶点的棱所在的直线一定是异面直线． 反证法和异面直线判定定理是证明两条直线异面的常用方法. 本例可以运用异面直线判定定理证明吗？ 方法技巧 【证明】一条棱上有2个顶点，两条不共顶点的棱上一共有4个不同的顶点，也就是说，两条不共顶点的棱上有全部预先给定的4个了．如果这两条棱共面，那么4个顶点也共面，这与已知的4点不共面条件矛盾．由此可见，任何一对不共顶点的棱所在的直线一定是异面直线． 问题思考 规律总结 1）根据题意，分析可得这条直线与另一条直线不可能平行，由空间中直线与直线的位置关系，分析即可得到答案。 【解】例如可以从灯管、门框、黑板、课桌等找出许多异面直线。 题型探究 １．在教室里找出几对异面直线的例子． 2）本题考查空间直线与直线的位置关系，涉及异面直线的定义，属于基础题。 ２．如果一条直线和两条异面直线中的一条平行，那么它和另一条直线的位置关系是　　 相交或异面 【解】根据题意，一条直线和两条平行直线中的一条是异面直线，那么它和另一条直线不可能平行，故它和另一条直线的位置关系是相交或异面。 易错点： 异面直线既不相交也不平行，但不相交的直线未必是异面（可能是平行） 题型一 异面直线的概念及辨析 【解】DN所在的直线是异面直线的线段有AF、 BM、ME。 题型探究 3．左图是一个正方体的平面展开图，请在右图的正方体中画出对应的线段,并指出正方体中的线段CN、AF、BM、ME 中，哪些线段所在的直线与DN所在的直线是异面直线． E N M F 题型二 判断空间内两直线的位置关系 题型探究 4．如图，已知E,F,G,H分别是正方体ABCD-的棱AB，BC，C，的中点，且EF与HG相交于点Q.  (1)求证：点Q在直线DC上； (2)求证：EF与是异面直线. 【解】（1）平面ABCD平面CD=DC， 由于Q平面，Q平面 所以QDC，也即点Q在直线DC上. （2）假设EF与不是异面直线. 则EF与是共面直线，又E在直线外， 则过E与直线有唯一平面，所以可得F平面，这与在平面外矛盾，故EF与是异面直线. 题型三 异面直线的判定 （2）假设AC和BD不是异面直线，则AC与BD平行或相交， 即AC与BD确定一个平面，则A，B，C，D， 这与四边形ABCD为空间四边形矛盾，故AC和BD是异面直线. 题型探究 5．如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD边AB，BC，CD，DA的中点. (1)若AC=BD，判断四边形EFGH的形状： (2)证明：AC和BD是异面直线. 【解】（1）因为E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点，所以线段EF是ABC的中位线，所以EF//AC且EF=AC，同理可得HG//AC且HG=AC， 即EF//HG，EF=HG，所以四边形EFGH为平行四边形， 又同理可得EH//BD且EH=BD，且AC=BD，所以EH=EF，故平行四边形EFGH为菱形； 题型三 异面直线的判定 课堂小结 异面直线 判断空间内两直线的位置关系 异面直线的判定 异面直线的概念及辨析 1.（基础层）教材P21复习题A组第5题 分层作业 2.（进阶层）教材P21复习题A组第6题 3.（拓展层）教材P22复习题B组第4题 感谢聆听! Lavf58.20.100 $$