6.4.3（第1课时）余弦定理课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.4.3 第6章第4节 平面向量的应用 解三角形——余弦定理 问题2 给定两边及其夹角的三角形是唯一确定的。在 ABC中,三个角A, B, C所对的边分别是a, b, c,怎样用a, b和C表示c? 设 , 那么 ①转化:几何—向量 ②运算:向量数量积的运算 ③化归:向量—几何 动手操作,探究新知 一、坐标法 a b c x y 以点C为坐标原点,CB边所在直线为x轴,其垂线为y轴,建系如图 动手操作,探究新知 问题3 其他方法? D a b c 二、几何法 动手操作,探究新知 余弦定理 三角形中任何一边的平方,等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.即 余弦定理的应用:已知三角形两边及其夹角,求第三边 识记理解,巩固内化 欧几里得的《几何原本》第2卷命题12和13涉及类似余弦定理的关系,讨论了三角形边长和角之间的代数关系,为余弦定理的诞生奠定了基础。托勒密在其《天文大成》中利用欧几里得的命题解决了”已知三角形三边,求角“的问题,他的工作在天文学和数学领域都产生了深远影响。 法国数学家韦达在《应用于三角形的数学定律》中明确给出了余弦定理的比例形式,为余弦定理的广泛应用提供了便利。20世纪50年代,人们开始采用解析几何的方法来推导余弦定理,向量方法的出现更是为余弦定理的证明提供了新的工具。这些现代方法使余弦定理的证明更加简洁、严谨。 问题4 观察余弦定理,你是否发现与学过的某个定理相似? 勾股定理是余弦定理的特例,余弦定理是勾股定理的推广. 识记理解,巩固内化 梅文鼎(1633-1721),字定九,号勿庵,汉族,宣州(今安徽省宣城市宣州区)人。清初天文学家、数学家,为清代”历算第一名家“和”“开山之祖”,被世界科技史界誉为与英国牛顿和日本关孝和齐名的“三大世界科学巨擘”。 西法用三角,犹古法之用勾股也。 但三角有钝角,而勾股无之,论者遂谓勾股之数有所穷,殊不知:锐角须分为两勾股,钝角形须补成勾股...... 然则勾股虽不能备三角之形,而能兼三角之理,三角不能出勾股之外,而能尽勾股之用,一而二,二而一者也。 问题5 应用余弦定理,我们还可以解决哪些解三角形问题? 已知三条边求任意角 (SSS) 已知两边夹一角求第三边 (SAS) 从余弦定理及其推论可以看出,三角函数把几何中关于三角形的定性结论变成了可定量计算的公式. 识记理解,巩固内化 例1在 ABC中,a=7,b=8,锐角C满足 求cosB . 解: 类型一:已知两边及其夹角 典例精析 变式1 若不告知C为锐角 例2 在 中,内角 所对的边分别为 其中 , , ,解此三角形. 解: 由余弦定理的推论得, , 又 ,所以 , 又 ,所以 ,所以 . 类型二:已知三条边解三角形 变式2 在 中,内角 , , 所对的边分别为 , , ,且 , 则此三角形中的最大角的大小为 . <m></m> 典例精析 生活应用 人脸识别功能 移动机器人定位 “北斗”导航定位系统 图像修复 $$