6.4.3.1余弦定理（培优教学课件）高一数学人教A版必修第二册

第六章 平面向量及其应用 6.4平面向量的应用 6.4.3.1余弦定理 学 习 目 标 1 2 3 掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法. 学会用余弦定理解决三类基本的解三角形问题. 培养学生在方程思想指导下处理理解三角形问题的运算能力，理解事物间的普遍联系与辩证统一. 新课引入 问题1：初中数学学习中，判定三角形全等的方法有哪些？ 问题2：为什么这些方法可以判断全等呢？ 问题3：如图，在两地之间隔着一个山丘，现要修一条隧道穿过山丘，测量人员在点测得,，.请问，你能求出隧道的长度吗？ 给定三角形的三个角、三条边这六个元素中的某些元素，这个三角形就是唯一确定的．那么三角形的其他元素与给定的某些元素有怎样的数量关系？下面我们利用向量方法研究这个问题． 新知探究 思考：如图，在,两地之间隔着一个山丘，现要修一条隧道穿过山丘，测量人员在点测得,，.请问，你能求出隧道的长度吗？ 问题1：你能将这个实际问题转化为数学问题吗？ 在，已知：，，，求 追问：这个三角形是唯一确定的吗？ 是 新知探究 我们知道，两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。这说明，给定两边及其夹角的三角形是唯一确定的。也就是说，三角形的其他边、角都可以用这两边及其夹角来表示。那么，应该如何表示呢？ 探究：在，已知：，，，求 上节课我们学习了用向量解决几何问题，那么这一问题你能否借助向量探究呢？ 新知探究 问题2：在中，三个角所对的边分别是,怎样用和表示？ b c=？ a 设，，，那么 ①把几何元素用向量表示： ②向量如何转化成数量？等式两边同时平方： ③向量式化成几何式： 新知探究 余弦定理 余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍.即 ； ； . b c a 新知探究 思考1：利用余弦定理可以解决三角形的哪类问题？ 思考2：你能用其它方法证明余弦定理吗？ 由余弦定理，我们可知：已知三角形的两边及其夹角，可直接求出第三边. 几何法 情况一：当为直角 情况二：当为锐角 情况三：当为钝角， 新知探究 特殊 一般 情况一：当为直角 情况二：当为锐角 情况三：当为钝角， 新知探究 () 在中，内角，，所对的边分别为如图以点为坐标原点，边所在直线为轴，建立平面直角坐标系，则 由两点间距离公式得： = 即 同理可证 ， 坐标法 新知探究 典例分析 余弦定理(law of cosines) 余弦定理的推论 SSS （1）轮换对称，简洁优美； （2）每个等式中有同一个三角形的四个元素.---（三边一角） （3）三角函数把几何中关于三角形的定性结论变成了可定量计算的公式. SAS 新知探究 余弦定理指出了三角形的三边与其中的一个角之间的关系.特别的，当定理中的角为时，你能得到什么？ 当时，，则 . 勾股定理 由此可见，余弦定理是勾股定理的推广，而勾股定理是余弦定理的特例. 新知探究 解三角形 一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做解三角形. b c a 角A的对边边长：a 角B的对边边长：b 角C的对边边长：c 新知探究 思考：当角为直角时，有，当角为锐角时，这三者的关系是什么？钝角呢？ 典例分析 例5 在中，已知，，，解这个三角形(角度精确到，边长精确到). 【分析】解三角形，即需求三角形已知两边及一角，可利用余弦定理 解：由余弦定理，得： ， 所以 由余弦定理的推论，得： 利用计算器，可得 所以 典例分析 例6 在中，，，锐角满足，求(精确到). 【分析】已知两边及一角，可利用余弦定理求边，再求解. 解：因为，且为锐角， 所以. 由余弦定理，得：， 所以 进而 利用计算器，可得 即时训练 1. 在中，若，，，求及. 解：由余弦定理，得: =，∴ 由 ∵， ∴ 题型1 余弦定理的直接应用（两边一角） 即时训练 2. 在中，若，，，求角和边. 解：由余弦定理 ， 得， 即 ∴或 当时，由 可得 当时，同理得 题型1 余弦定理的直接应用（两边一角） 即时训练 3. 在中，若，，，求，. 解：由余弦定理，得: =， ∴即 由解得或 题型1 余弦定理的直接应用（两边一角） 即时训练 4. 在中，若，，，求周长. 解：由余弦定理，得: =， ∴即 所以，周长 题型1 余弦定理的直接应用（两边一角） 即时训练 1. 在中，若，，，求. 解：根据余弦定理，得 ∵∴. 又 ∵∴. ∴. ∴，. 题型2 余弦定理的直接应用（三边） 即时训练 2. 在中，若，求中各角的度数. 解：已知，可令 由余弦定理的推论，得： ∵∴ ∵∴ ∴ 题型2 余弦定理的直接应用（三边） 即时训练 3. 在中，已知且试确定的形状 解：∵∴ 而∴∴∴ 又， ∴ 即∴ 又∴ 故为等边三角形. 题型3 判断三角形形状 即时训练 1. 在中，若，试判断的形状. 解：∵ 则， 是直角三角形. 2. 在中，若，，，则是一个. 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 不确定 【答案】： 题型3 判断三角形形状 即时训练 3. 在中，若，试判断的形状. 解：将已知等式变形为 由余弦定理并整理，得： ∴ ∴ ∴是直角三角形. 题型3 判断三角形形状 课堂总结 余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍.即 ； ； . 感谢聆听! $